Maradiaga, Nelson Roque. Matemáticas, Séptimo Grado, Libro del Estudiante. -1ra ed-Honduras: Empresa Nacional de Artes Gráficas ENAG, 2016. Programa de Televisión Educativa Hondureña, Telebásica, Secretaría de Educación, Año de Publicación: 2016. 446 p. : il. ; 21.6 x 27.9 cm ISBN: En Proceso de Registro. 1.- Matemáticas - Libro del Estudiante I tit La Secretaría de Educación y TELEBÁSICA, promueven Aprendizajes significativos en el tercer ciclo de la Educación Básica, con la ayuda de materiales impresos y audiovisuales. Por lo que a continuación se presentan una serie de contenidos que ayudarán al estudiante a conocer, poner en práctica y desarrollar una serie de actividades relacionadas con la temática que se encuentra en cada uno los Libros del estudiante de las asignaturas de 7° Grado, que han sido elaboradas de acuerdo a los lineamientos del Currículo Nacional Básico. Secretaría de Estado en el Despacho de Educación MATEMÁTICAS ÍNDICE Introducción...............................................................................................9 Secuencia: Senderos de Matemáticas..............................................................11 Las Matemáticas en la historia ● Ramas de estudio de las Matemáticas en 7º grado: Aritmética, Álgebra, Geometría, Estadística descriptiva ● Organización didáctica de los cursos ● Contenidos de los Bloques ● Metodología y forma de entrega de los contenidos ● Iconografía de las secciones BLOQUE I: NÚMEROS Y OPERACIONES................................................23 Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos Secuencia 1: SENTIDOS OPUESTOS................................................................27 Origen de los Números Naturales ● El cero y la definición de los Números Naturales ● Operaciones con Números Naturales: adición, sustracción, multiplicación, división ● El conjunto de los Números Enteros (ℤ) ● Uso de los Números Enteros positivos y negativos ● Representación gráfica de los Números Enteros ● Números opuestos ● Valor absoluto de un Número Entero ● Definición y propiedades del valor absoluto ● Relaciones de orden en ℤ ● Propiedad de tricotomía ● Menor que (<), mayor que (>), igual a (=) Secuencia 2: LO IMPOSIBLE SE HACE POSIBLE...............................................49 Reseña histórica de la numeración ● Sistema de numeración decimal ● Noción de un Número Entero ● Adición de Números Enteros con igual signo ● Adición de Números Enteros de distinto signo ● Suma y resta combinadas de Números Enteros, con paréntesis ● Propiedades de la adición de Números Enteros: clausura, conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento simétrico u opuesto ● Multiplicación de Números Enteros ● Términos de la multiplicación ● Propiedades de la multiplicación en los Números Enteros: conmutativa, distributiva ● División de Números Enteros ● Definición de división de Números Enteros Secuencia 3: ENTRE ENTEROS ..................................................................................73 Potenciación con Números Naturales ● Raíz cuadrada de un Número Natural ● La adición y sustracción de dos o más Números Enteros ● Polinomios aritméticos ● Múltiplos y divisores de un Número Entero ● Criterios de divisibilidad para Números Enteros ● Divisibilidad por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 ● Potenciación con Números Enteros ● Propiedades de la potenciación ● Multiplicación de potencias de igual base ● División de potencias de igual base ● Potencia de potencia ● Reglas de la potenciación de Números Enteros ● Radicación en los Enteros ● Definición de raíz cuadrada ● Propiedades de la radicación en ℤ Secuencia 4: COMBINADOS ES MEJOR.....................................................................91 Los números negativos ● Operaciones combinadas ● Signos de agrupación 5 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Secuencia 5: APRENDE A COMPARTIR.......................................................................99 Las fracciones ● Lectura de los Números Racionales ● El conjunto de los Números Racionales ● Números mixtos ● Conversiones ● Aplicación de las fracciones ● Fracciones equivalentes ● Amplificación de fracciones ● Simplificación de fracciones ● Fracción reductible ● Fracción irreductible ● Representación gráfica de las fracciones ● Relaciones de orden en los Números Racionales: mayor que, menor que Secuencia 6: LAS PARTES DE UN TODO..................................................................121 Breve historia de las fracciones ● Mínimo común múltiplo ● Método abreviado para hallar el mínimo común múltiplo de Números Enteros ● Adición y sustracción de fracciones (igual denominador, distinto denominador) ● Polinomios aritméticos ● Multiplicación de fracciones ● División de fracciones Secuencia 7: RAÍZ QUEBRADA..................................................................................141 Curiosidades de las fracciones ● Potenciación de fracciones ● Potencia de base racional y exponente negativo ● Regla del exponente negativo ● Propiedades de la potenciación en los números fraccionarios ● Multiplicación de potencias de igual base ● División de potencias de igual base ● Potencia de potencia ● Potencia de un producto ● Potencia de un cociente ● Raíz cuadrada de una fracción ● Raíces con índice mayor que dos Secuencia 8: FRACCIÓN COMBINADA......................................................................157 Resumen de las operaciones con fracciones: suma y resta, multiplicación, división, potenciación ● Operaciones combinadas con Números Racionales ● Signos de agrupación ● Fracciones complejas Secuencia 9: LOS NUMEROS CON PUNTOS ...........................................................171 El metro ● Noción de un número decimal ● Fracciones decimales ● Expresión decimal de una fracción: decimales exactos, decimales periódicos ● Función generatriz de un decimal: lectura y escritura de números decimales ● Relaciones de orden en las expresiones decimales ● Redondeo de decimales ● Representación gráfica de las décimas ● Adición de números decimales ● Sustracción de números decimales Secuencia 10: ESQUIMAL Y DECIMAL NO ES LO MISMO.......................................193 ¿Sabía que: escritura de los decimales? ● Multiplicación de números decimales ● División de números decimales ● Potenciación de expresiones decimales ● Solución de problemas aplicando las operaciones con expresiones decimales Secuencia 11: ¡QUÉ PUNTERÍA!.................................................................................207 Producto y cociente de decimales por potencias de diez ● Propiedades de la adición de números decimales: propiedad conmutativa y asociativa ● Propiedad conmutativa y asociativa en la multiplicación de números decimales ● Operaciones combinadas con números decimales ● Signos de agrupación con números decimales Secuencia 12: VALORANDO LO QUE APRENDO I ................................................. 221 Adición y sustracción de Números Racionales ● Multiplicación de Números Racionales 6 MATEMÁTICAS ● División de Números Racionales ● Potenciación de Números Racionales ● Radicación en los Racionales ● Operaciones combinadas ● Signos de agrupación BLOQUE II: ÁLGEBRA............................................................................233 Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos Secuencia 1: LAS LETRAS EN LAS MATEMÁTICAS................................................235 Introducción al lenguaje matemático ● Perímetro de un rectángulo ● Perímetro de un cuadrado ● Lenguaje algebraico ● Constante, variable y término algebraico ● Expresiones algebraicas Secuencia 2: ¿TÉRMINO O TERMINÓ?......................................................................251 Álgebra ● Términos semejantes, expresión reducida ● Valor numérico de expresiones algebraicas Secuencia 3: ¿PARA QUÉ LAS ECUACIONES?........................................................261 Signo igual que ● Propiedades de la igualdad ● Ecuaciones lineales ● Conjunto solución de una ecuación lineal ● Solución de ecuaciones lineales ● Aplicaciones con ecuaciones lineales ● Transposición de términos ● Ecuaciones con denominadores ● Ecuaciones con paréntesis ● Resolución de problemas con ecuaciones lineales Secuencia 4: LA RAZÓN PROPORCIONADA.............................................................285 Un poco de historia ● Fracciones equivalentes ● Multiplicación y división de fracciones ● Razones ● Términos de una razón geométrica ● Proporciones ● Propiedad fundamental de las proporciones ● Variación proporcional ● Variación directamente proporcional ● Aplicaciones de la proporcionalidad ● Las escalas ● Razones y proporciones en otras ciencias Secuencia 5: VALOR DESCONOCIDO.......................................................................307 Curiosidad matemática: la divina proporción ● Tanto por ciento de una cantidad ● Aplicaciones del tanto por ciento ● Cálculo del tanto por ciento de un número Secuencia 6: VALORANDO LO QUE APRENDO II ...................................................319 Constante, variable y término algebraico ● Término algebraico ● Términos semejantes, expresión reducida ● Valor numérico de expresiones algebraicas ● Ecuaciones lineales ● Solución de ecuaciones lineales ● Cálculo del tanto por ciento BLOQUE III: GEOMETRÍA........................................................................327 Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos Secuencia 1: MÁS DE UN PUNTO .............................................................................329 Instrumentos básicos de dibujo: la regla, las escuadras (escuadra isósceles o de 45º, escuadra escalena de 30º y 60º), el compás ● El punto, la recta y el plano ● Postulados y axiomas ● Definiciones ● Características del punto, la recta y el plano ● Segmentos congruentes ● Punto medio de un segmento ● Bisector del segmento 7 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Secuencia 2: CON LÍNEAS TAMBIÉN SE CONSTRUYE............................................347 Origen de la Geometría ● Semirrecta ● Rayos ● Ángulos ● Medición de ángulos ● Ejemplos de medición de ángulos ● Adición y sustracción de ángulos ● Congruencia de ángulos ● Propiedades de los ángulos ● Bisectriz de un ángulo ● Construcción de ángulos ● Ángulos suplementarios ● Ángulos complementarios ● Ángulos opuestos por el vértice ● Ángulos adyacentes ● Rectas perpendiculares ● Propiedades de las rectas perpendiculares ● Construcción de rectas perpendiculares ● Rectas paralelas ● Propiedades de las rectas paralelas ● Construcción de rectas paralelas Secuencia 3: LA PAREJA PARALELA........................................................................377 Euclides ● Importancia de la Geometría ● Paralelismo ● Recta transversal ● Ángulos internos ● Ángulos externos ● Ángulos alternos internos ● Ángulos alternos externos ● Ángulos correspondientes ● Ángulos opuestos por el vértice Secuencia 4: VALORANDO LO QUE APRENDO III...................................................387 El punto, la recta y el plano ● Ángulos: definición y clasificación ● Relación entre ángulos: ángulos suplementarios, ángulos complementarios, ángulos opuestos por el vértice, ángulos adyacentes ● Perpendicularidad ● Paralelismo ● Ángulos internos, ángulos externos, ángulos alternos internos, ángulos alternos externos, ángulos correspondientes, ángulos opuestos por el vértice BLOQUE IV: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD DISCRETA.................................................................................................................399 Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos Secuencia 1: ORGANIZA Y COMPRENDE MEJOR LA VIDA....................................401 Estadística ● Distribución de frecuencia simple o no agrupada ● Distribución de datos agrupados Secuencia 2: PARTES DE UN PASTEL.......................................................................413 Intervalos de clase, población y muestra ● Representación gráfica de los datos ● Gráfico de frecuencia absoluta ● Frecuencia relativa ● Gráfica de barras ● Gráfica de barras comparativas ● Gráfica circular o diagrama de sectores Secuencia 3: VALORANDO LO QUE APRENDO IV...................................................437 Origen de la Estadística ● Frecuencia ● Rango ● Gráfica de barras ● Gráfica circular o diagrama de sectores Glosario ..................................................................................................................446 Bibliografía..............................................................................................................447 8 MATEMÁTICAS INTRODUCIÓN El gobierno de la República de Honduras a través de la Secretaría de Educación presenta El Libro del Estudiante de Matemáticas 7° grado de Educación Básica a jóvenes como usted que tiene deseos de superarse para mejorar sus condiciones de vida y ser útiles a sí mismas, a su familia, a su comunidad y a su patria. Los temas se han tratado considerando los conocimientos que ha adquirido y las experiencias que ha vivido en la escuela primaria. Estos contenidos se abordan en cuatro bloques de conocimientos, en cuatro ramas de las Matemáticas: Aritmética, Álgebra, Geometría y Estadística, los que a su vez se dividen en Secuencias de Aprendizaje y estas en Sesiones de Aprendizaje. Los contenidos se abordan desde una visión constructivista, apegados completamente al Diseño de Currículo Nacional Básico. En muchos casos se inician las sesiones planteando una situación problemática, que se resolverá utilizando un nuevo concepto y/o un nuevo algoritmo para llegar de manera más directa y efectiva a la solución correcta. Dichas sesiones son reforzadas con programas televisivos que complementan el contenido de la Secuencia de Aprendizaje, suscitando una dinámica interactiva en los elementos que intervienen en el proceso de Aprendizaje. El trabajo que se desarrolla para obtener la solución de un problema, tiene gran valor en la formación de una persona, ya que debe buscar alternativas de solución y tomar una decisión respecto al camino que debe seguir para solucionar el problema. Cuando una persona adquiere el hábito de razonar ante cualquier situación problemática que se le presenta, así como de analizar las posibles soluciones y seleccionar la más adecuada para llevarla a la práctica, sus posibilidades de alcanzar éxito en la actividad a la que dedique su vida, aumentan considerablemente. En esta asignatura no sólo se propone enseñar contenidos informativos, procedimientos, habilidades y destrezas intelectuales para resolver problemas, también se fomentan en los estudiantes principios de identidad, democracia y trabajo para generar estrategias de solución de problemas vinculando los contenidos matemáticos al mundo cotidiano. 9 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 10 MATEMÁTICAS Senderos de la Matemática En la historia, las Matemáticas surgen como una necesidad de la humanidad para contar sus pertenencías. Con el paso del tiempo van evolucionando y sus aplicaciones son más diversas. Esta Secuencia hace alguna reseña de ciertos momentos de esa evolución, del contenido programático de las Matemáticas para Séptimo grado, su metodología de estudio y algunas sugerencias para lograr un Aprendizaje significativo. Resultados del Aprendizaje Al finalizar esta Secuencia se espera que los estudiantes: 1. Aprecien y valoren las Matemáticas como construcción humana, como un medio para desenvolverse en la vida académica y profesional. 2. Conozcan la temática de estudio de los cuatro bloques en los que se divide el área de Matemáticas. 3. Conozcan y comprendan la estructura metodológica del Libro del Estudiante. Las Matemáticas en la historia Las primeras ideas sobre el concepto de número nacieron en tiempos muy remotos y su desarrollo estuvo relacionado con las necesidades que el hombre enfrentó al volverse sedentario, sembrar la tierra y vivir en sociedad. 11 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Varias civilizaciones antiguas se destacaron por sus innovaciones en el campo de las Matemáticas: Los egipcios desarrollaron la geometría, debido a que el río Nilo constantemente inundaba las tierras de cultivo, borrando los límites de propiedad, por este motivo, las tierras tenían que ser medidas y repartidas periódicamente. Los babilonios desarrollaron diversas aplicaciones en ingeniería y administración; ellos poseían fórmulas para obtener áreas y volúmenes de sólidos simples; sus cálculos los realizaban utilizando un sistema sexagesimal. Posteriormente, el pueblo griego dio un impulso sin precedente a las Matemáticas; con éste se formalizaron los conocimientos de la Geometría y los ordenamientos lógicos. A Grecia se le ha llamado la cuna de la civilización occidental. Los trabajos de hombres como Euclides, Pitágoras y Sócrates, por mencionar sólo algunos, muestran el esplendor de ese tiempo. Después de los griegos, el pueblo árabe fue el difusor de los conocimientos, debido a su actividad comercial; un ejemplo de ello es el sistema de numeración desarrollado en la India, que fue difundido en Europa gracias a las caravanas de comerciantes y a la expansión y dominación árabe sobre este continente. Los árabes realizaron mediciones astronómicas y se les reconoce como los creadores del Álgebra. Durante la Edad Media, el avance de las ciencias en general se vio frenado, esto repercutió en las Matemáticas. La actividad científica se practicó dentro de los conventos, y sus impulsores principales fueron los monjes. El Renacimiento surge por el afán del hombre por conocer su entorno y a sí mismo; hombres como Copérnico, Kepler y Galileo revolucionaron la astronomía, explicando el comportamiento planetario.Descartes y Pascal aportaron diversos elementos para el progreso de la Geometría analítica. En el siglo XVll, Newton hace uso de las Matemáticas para dar explicación a ciertos fenómenos físicos y, paralelamente con Leibniz, establecen las bases del cálculo infinitesimal, que es una de las grandes aportaciones del siglo. Las Matemáticas son aliadas y compañeras del ser humano, gracias a ellas se han perfeccionado los medios de producción, la comunicación instantánea como la televisión, el teléfono y las computadoras, que forman parte de la vida cotidiana. Ramas de estudio de las Matemáticas en 7° grado El estudio de las Matemáticas en este grado se realizará enfocando cuatro ramas: Aritmética La Aritmética surge como respuesta a problemas concretos de la humanidad, a través de una larga experiencia realizada por muchas generaciones y es la base para iniciarse en el estudio de las Matemáticas. El término Aritmética se deriva del vocablo griego arithmos que significa números. 12 MATEMÁTICAS El objeto de estudio de la Aritmética son las relaciones entre los números y su cálculo en operaciones como sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y extraer raíces. El concepto de número Natural tan familiar ahora, fue elaborado por la humanidad muy lentamente, al tener la necesidad de conocer cuántas cosas se tenían, por ejemplo: pieles, flechas, hachas... etcétera. En sus orígenes los seres humanos estimaban la idea de cantidad, como pocas o muchas cosas y mediante la comparación que efectuaban con ayuda de sus dedos, con marcas, o con piedras se percataban si faltaba alguna de sus pertenencias. De esta comparación surge el número, al observar que existen conjuntos con la misma cantidad de elementos. Tiempo después se llega a su representación simbólica y hubo de transcurrir más tiempo para que el número llegara a abstraerse, pero siempre partiendo de situaciones cuantitativas reales. La introducción de los símbolos numéricos y su escritura jugó un papel importante en el desarrollo de la Aritmética. Además, fue la primera etapa hacia los signos aritméticos y las fórmulas en general. La segunda etapa en que se introdujeron los signos para las operaciones Aritméticas tuvo lugar mucho más tarde. En Séptimo grado la Aritmética se abordará a través del análisis de la numeración decimal a partir del origen y evolución de los sistemas de numeración. Con respecto al uso de las operaciones que ya se ha manejado en la escuela primaria, se partirá de situaciones problemáticas, en donde se identifique el tipo de problema, se determine la operación u operaciones con que se resuelve, se haga una estimación del resultado, se realicen las operaciones y, el resultado sea la respuesta correcta a la pregunta del problema. También se darán sugerencias de cómo estimar resultados haciendo el redondeo de los datos numéricos dados. Habrá ejercicios recreativos para practicar el cálculo mental y su aplicación en la resolución de problemas, se propician momentos de esparcimiento donde el juego es un reto para la inteligencia. Álgebra La palabra Álgebra proviene del árabe, se origina en el vocablo alchebr que significa reducción. Una forma de definir esta rama de las Matemáticas es: Álgebra es la rama de las Matemáticas cuyo objetivo, es simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números, es decir, que es considerada como una generalización y extensión de la Aritmética. Cuando se cursa el Séptimo grado de Educación Básica, ya se ha estudiado Aritmética 13 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado durante todos los años anteriores de vida escolar. En esta sección del curso se facilitará el conocimiento y uso de los números representados con letras, así como el empleo del lenguaje simbólico que se utiliza para representar cantidades desconocidas en la resolución de problemas, además se iniciará en el manejo de las expresiones compuestas por letras que expresan valores numéricos. Geometría La Geometría y la Aritmética son las raíces sobre las que se han desarrollado las Matemáticas. Al igual que la Aritmética, los conceptos más antiguos de la Geometría se remontan a la época prehistórica y se originan a partir de actividades prácticas y problemas cotidianos. Su transformación en teoría requirió de un largo período. La Geometría estudia las relaciones de los cuerpos y las figuras, considerando su forma, magnitud y posición. Las primeras formas geométricas surgen de las representaciones de la naturaleza, como la luna llena, la línea que describe un rayo de luz, la sombra de un pino, etcétera. La noción de magnitudes geométricas como la longitud, el área o el volumen surgen en las actividades cotidianas y su práctica constante llevó a descubrir las leyes generales más elementales, por ejemplo, observar la relación existente entre las dimensiones de un rectángulo y su área permitió descubrir la fórmula para obtener dicha área. La palabra Geometría se deriva de los vocablos griegos geo-Tierra y metrón-medida, esta denominación se debe al uso que los egipcios le daban, pues medían sus tierras de labranza cada vez que el río Nilo se desbordaba. El campo de la Geometría dentro del Séptimo grado pretende que a través de los trazos y construcciones geométricas se exploren y se conozcan las propiedades de las figuras geométricas, asimismo usen en forma adecuada los instrumentos de medida y se desarrollen las capacidades para estimar magnitudes físicas y geométricas. El estudio de la Geometría en Séptimo grado, parte de lo práctico y de situaciones problemáticas para poder entender los conceptos geométricos. Estadística Descriptiva Otra rama de las Matemáticas es la Estadística Descriptiva que abarca la recolección y presentación de datos, y el tratamiento de la información, de las cuáles se hablará a continuación. Los pueblos antiguos al utilizar registros estadísticos rudimentarios en los censos de población y de propiedades hicieron un tratamiento de la información obtenida, al organizarla y presentarla en tablas con el propósito de llevar un mejor control. En tiempos más recientes se introdujo el uso de las gráficas con la ventaja de que éstas permiten observar mejor las relaciones que se dan entre los datos y se percibe en forma más clara la información. 14 MATEMÁTICAS Actualmente la Estadística contribuye a proporcionar información en estudios científicos, para poder tomar las mejores decisiones en los negocios, la industria, el deporte, etcétera. En el Séptimo grado, el estudio de la presentación y tratamiento de la información incluye el uso de porcentajes, tablas y gráficas. En el desarrollo de estos temas se utilizarán los instrumentos de Geometría para la construcción de tablas y gráficas, y la calculadora para abreviar tiempo en la obtención o comprobación de resultados. Ejercicios 1 Senderos 1) Complete en su cuaderno el siguiente cuadro: 2) Haga una descripción del objeto de estudio de cada rama de las Matemáticas. Aritmética. Álgebra. Geometría. Estadística descriptiva. 3) Dibuje en su cuaderno la siguiente figura sin despegar el lápiz del papel y luego conteste las interrogantes que se formulan: a) ¿Cuántos cuadrados diferentes hay? b) ¿Cuántos cuadrados hay en total? c) Dibuje los cuadrados en la misma posición que los ve, pero separados. 15 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Organización didáctica de los cursos Cuando una persona va a cursar una materia, resulta adecuado que se entere sobre el contenido del programa correspondiente al curso. Esto le permite analizar si tiene antecedentes necesarios para adquirir los nuevos conocimientos o debe obtener algunos que le permitan emprender con posibilidades de éxito el estudio de la materia. Los temas del programa correspondiente al Séptimo grado de Matemáticas de Educación Básica, están contenidos en cuatro áreas de conocimiento, en cuatro bloques respectivamente: I. Números y operaciones. II.Álgebra. III.Geometría. IV.Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta. Aunque en el programa se señalan específicamente los temas que corresponden a cada uno de los cuatro bloques y el tratamiento de ellos sigue un orden, cada tema no se estudia aislado, sino siempre relacionando unos temas con otros, y utilizando cada concepto aprendido, a lo largo del curso para poder comprender los temas siguientes. Contenidos de los Bloques Los bloques de Área de Matemáticas que se describen a continuación son coherentes con las expectativas de logro y se consideran como contenido universal en muchos programas de estudio: I. Los Números y Operaciones: Son el concepto fundamental de las Matemáticas para representar formalmente regularidades, ordenar, clasificar y describir cuantitativamente relaciones entre números. Este bloque combina la Teoría de Conjuntos, Relaciones y Estructuras, y Sistema de Numeración Posicional Decimal. Contenidos principales que integran el bloque I: • • • • Números enteros y sus operaciones Las fracciones y sus operaciones. Expresiones decimales y sus operaciones. Problemas que se resuelven aplicando los conceptos y operaciones que se mencionan. II. El Álgebra: Es una teoría que desarrolla métodos para resolver problemas cotidianos utilizando un lenguaje simbólico. Contenidos principales que integran el bloque II: • Lenguaje algebraico • Variables y expresiones. 16 MATEMÁTICAS • Ecuaciones lineales en una variable. • Problemas que se resuelven aplicando las ecuaciones. • Razón, Proporcionalidad y Porcentaje. III. La Geometría: Es la teoría de las formas y figuras en el plano, y en el espacio, y por el carácter de sus conceptos que pueden representarse fácilmente en forma gráfica, es tal vez el bloque de contenido más accesible para los estudiantes. En combinación con números, operaciones y medidas, tiene amplia aplicación en profesiones técnicas como arquitectura, carpintería, albañilería etc. Contenidos principales que integran el bloque III: • Conjunto de puntos. •Ángulos. • Segmentos y rayos. • Problemas en los que se apliquen los conceptos enumerados. IV. La Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta: Son herramientas para interpretar, evaluar y juzgar hechos concretos. Este bloque está vinculado con la Estadística Matemática y fue seleccionado por su utilidad en profesiones técnicas y financieras. Contenidos principales que integran el bloque IV: • Registro de datos. • Organización y presentación de datos. • Lectura y elaboración de tablas y gráficas. • Problemas en los que se utilice los conocimientos citados. Metodología y forma de entrega de los contenidos Aunque ya conoce la organización de los contenidos en el Libro del Estudiante es importante conocer cómo se va a trabajar; esto le permitirá aprovechar de mejor manera todos los esfuerzos y así enfrentar adecuadamente algunas situaciones problemáticas. Los materiales que utilizará durante el curso son el Libro del Estudiante y los Programas de Televisión. En el Libro del Estudiante encontrará la información que se necesita para comprender los temas que se tratan. Asimismo se incluye las actividades que se sugieren llevar a cabo durante el curso, para que aprenda. Esta información podrá estar relacionada unas veces con conceptos y otras con procedimientos, es decir, con las maneras de hacer algo. El Libro del Estudiante se estructura en distintas Secuencias de Aprendizaje y cada Secuencia se divide en secciones identificadas con nombres e iconos diferentes. Cada sección tiene una finalidad específica. Iconografía de las secciones Para comprender mejor cómo se maneja este libro de conceptos y procedimientos observe cada recuadro en el que se explícita el propósito de cada una de las secciones con su icono correspondiente. 17 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Hace una descripción general de los temas con una intención motivadora que informa a los estudiantes de lo que se tratará en la Secuencia; además, se presentan los resultados del Aprendizaje, para que los estudiantes tengan claridad respecto a lo que lograron al término de las sesiones que integran la Secuencia de Aprendizaje. Se busca que los estudiantes recuperen experiencias y/o conocimientos previos con referencia al contenido de la Secuencia. Se invita a una reflexión breve que les permita recordar los conocimientos que ya poseen y/o experiencias relacionadas con el tema. En ocasiones se les solicita que respondan en su cuaderno, algunas preguntas planteadas en el Libro del Estudiante . Presenta la problematización, consistente en plantear situaciones que requerirán que los estudiantes pongan en juego sus habilidades ante situaciones y/o cuestionamientos específicos; funciona como un incentivador y organizador de todas las actividades de la Secuencia; cumple con un sentido motivacional y hace referencia al contenido temático que se busca desarrollar en las sesiones. En ésta sección se ubican las actividades sugeridas para el desarrollo de la Secuencia. Se proponen actividades para realizar individualmente o bien para trabajar en equipo o todo el grupo; su propósito es propiciar el análisis y síntesis mediante lecturas de textos, observación de programas televisivos, investigaciones, discusión de situaciones o problemas, etc. En las actividades se remite a los estudiantes a la utilización de otras secciones del Libro del Estudiante, como ¿Qué piensan otros? y ¡Descúbralo en la tele! entre otras. 18 MATEMÁTICAS Ésta sección incluye la información básica para el tratamiento del tema, a través de referencias conceptuales, testimonios, cuadros, artículos, estadísticas, etc. Invita e induce a observar el Programa de televisión, propone la entrega de contenidos mediante un estímulo audiovisual; asimismo, destaca el propósito del programa televisivo haciendo una breve referencia a los contenidos y sugerencias para la observación activa de los mensajes. Contiene la información procedimental necesaria e indispensable para la realización de diversas actividades, tanto individuales como en grupo, relacionadas con el desarrollo de habilidades y actitudes. Permite evaluar y valorar el desempeño de los estudiantes al final de la Secuencia. Define los criterios, indicadores y actividades para a apreciar las competencias y/o los productos del aprendizaje. Se incluye actividades que promueven la autoevaluación, las cuales pueden ser utilizadas para la coevaluación. Apartado que hace referencia a artículos relacionados con la legislación, preceptos, reglamentos, reglas gramaticales, teoremas de Ciencias Naturales, Matemáticas, Ciencias Sociales y otras disciplinas. 19 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Otro recurso con el que cuenta el Libro del Estudiante son los Programas de Televisión. Los programas televisivos presentan información interesante de mucha utilidad que le permitirá conocer aspectos de la historia y curiosidades de las Matemáticas, procedimientos para hallar soluciones a diferentes problemas y aplicaciones de los conceptos a la vida cotidiana. Por cada Secuencia de Aprendizaje existe uno o dos programas de televisión el cual podrá observarlo cuando su maestro o su maestra lo estime conveniente. Ejercicios 2 Senderos Conteste en su cuaderno de trabajo, cada pregunta: 1. ¿Cuáles son los cuatro bloques que dividen los contenidos del área de Matemáticas para Séptimo grado? 2. ¿Qué bloque clasifica y describe cuantitativamente relaciones entre los números? 3. ¿Qué bloque desarrolla métodos para resolver ecuaciones? 4. ¿Qué bloque estudia las formas y figuras en el plano y en el espacio? 5. ¿Qué bloque está vinculado con la estadística matemática? Ejercicios 3 Senderos 1. Dibuje a mano alzada y coloree cada uno de los iconos de las diferentes secciones y escriba a la par de cada uno lo que significa. 2. Dibuje en su cuaderno de un solo trazo la siguiente figura sin despegar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea. 20 MATEMÁTICAS 3. Observe la figura que dibujo y conteste lo siguiente: a) ¿Cuántas figuras de diferentes formas hay?, ¿Cuáles son? b) ¿Cuántos tamaños de triángulos hay? c) ¿Cuántos triángulos hay en total? d) ¿Cuántos cuadrados hay en total? e) Dibuje los cuadrados en la misma posición en que los ve, pero separados. 4. En los nueve cuadros de la figura de abajo coloque los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Sin repetir ninguno, de tal manera que la suma de los tres números que queden en forma horizontal sumen 15 (las tres líneas horizontales), a la vez los tres números que queden de forma vertical sumen 15 (las tres líneas verticales), así mismo los que queden en forma diagonal ( las dos diagonales)también sumen 15 5. Coloque los números del 1 al 9 sin repetirlos de forma que cada lado del triángulo sume 17. 21 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 22 MATEMÁTICAS En este bloque Números y Operaciones conocerá los Números Enteros, las fracciones y las expresiones decimales, así como las operaciones entre ellos. Este contenido corresponde a la Aritmética, esta rama de las Matemáticas surge como respuesta a problemas concretos de la humanidad, a través de una larga experiencia realizada por muchas generaciones. La Aritmética es la base para iniciarse en el estudio de las Matemáticas. El término Aritmética se deriva del vocablo griego arithmos que significa números. El objeto de estudio de esta disciplina de las Matemáticas son las relaciones entre los números y su cálculo en operaciones como: sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y extraer raíces. 23 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado EXPECTATIVAS DE LOGRO Al finalizar el bloque Números y Operaciones los estudiantes: 1 Desarrollan el concepto de un número entero. 2 Representan los números enteros en la recta numérica. 3 Identifican el valor absoluto de un número entero. 4 Dominan las operaciones básicas con números enteros para resolver problemas de la vida real. 5 Identifican números racionales en problemas de la vida real y usan las operaciones básicas para resolverlos. 6 Reconocen situaciones de la vida real la conveniencia de los números racionales. CONTENIDO ▪ Números enteros o El conjunto de los números enteros. o Uso de los números negativos y positivos. o Representación gráfica de los números enteros. o Valor absoluto de los números enteros. o Propiedades del valor absoluto. o Relaciones de orden en Z. ▪ Operaciones con números enteros. o Adición de números enteros con el mismo signo. o Adición de números enteros con signos diferentes. o Suma y resta combinadas de números enteros. o Propiedades de la adición de números enteros. o Multiplicación de números enteros. o Propiedades de la multiplicación de números enteros. o División de números enteros. o Múltiplos y divisores de un número entero. o Criterios de divisibilidad para números enteros. o Potenciación con números enteros. Propiedades. o Radicación en los enteros. Propiedades. o Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de números enteros. o Operaciones combinadas. o Signos de agrupación. ▪ Números racionales y sus operaciones. o El conjunto de los números racionales. o Fracciones equivalentes. o Amplificación y simplificación de fracciones. o Representación gráfica de los números racionales. o Relaciones de orden en los números racionales. o Adición y sustracción de números racionales. o Polinomios aritméticos. o Multiplicación de números racionales. o División de números racionales. 24 MATEMÁTICAS o o o o o o o o Potenciación de números racionales. Propiedades de la potenciación de los números racionales. Raíz cuadrada de un número racional. Raíces con índice mayor que dos de números racionales. Aproximación racional de una raíz cuadrada. Operaciones combinadas de números racionales. Signos de agrupación. Fracciones complejas. ▪ Números decimales y sus operaciones. o Expresión decimal de una fracción. o Lectura y escritura de números racionales. o Relaciones de orden en las expresiones decimales. o Redondeo de decimales. o Representación gráfica de las décimas. o Adición de expresiones decimales. o Sustracción de expresiones decimales. o Multiplicación de expresiones decimales. o División de expresiones decimales. o Potenciación de expresiones decimales. o Raíz cuadrada de una expresión decimal. o Solución de problemas aplicando las operaciones con expresiones decimales. o Propiedades de las operaciones con expresiones decimales. o Operaciones combinadas con expresiones decimales. o Signos de agrupación con expresiones decimales. 25 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 26 MATEMÁTICAS Secuencia de aprendizaje 1 Bloque I SENTIDOS OPUESTOS En esta primera secuencia recordará los Números Naturales, como una de las ideas más antiguas de clasificar, contar y ordenar elementos, que constituyen la base de todos los conjuntos numéricos y las Matemáticas, además estudiará las principales operaciones entre los naturales, así como también algunas de sus propiedades, y se analizará ¿Por qué el conocimiento de sólo los Números Naturales no es suficiente para realizar algunas operaciones, como la sustracción. Conjuntamente conocerá el concepto de número entero, aprenderá a diferenciar un número negativo de un positivo, identificará el valor absoluto de cualquier número, asimismo reconocerá situaciones de la vida cotidiana en la que se aplica el conocimiento de la existencia del Conjunto de los Números Enteros y aprenderá a diferenciar cuando un número entero es mayor que otro. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Distingan entre números positivos y negativos. 2. Comprendan el concepto de número entero. 3. Identifiquen el valor absoluto de un número entero. Origen de los Números Naturales La idea de número natural es una de las más antiguas e importantes de las Matemáticas, esta constituye la expresión cultural de la necesidad de contar. Los Números Naturales son los primeros que surgen en distintas civilizaciones, ya que contar y ordenar son las operaciones más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, 27 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena, pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 antes de Cristo donde aparecen los primeros números, que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla, empleando un objeto puntiagudo para elaborar su marca, de aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en Grecia y en Roma antigua. En Grecia se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos. Entre otros sistemas de numeración antiguos se encuentran el utilizado por los chinos, y japoneses, egipcios, romanos, árabes y mayas. A continuación se presentan algunas referencias de los números que civilizaciones a través del tiempo. han utilizado De estas civilizaviones es importante destacar a Los Mayas, estos se ubicaron en la zona nor-occidental de Honduras. El sistema de numeración que utilizaron era vigesimal (veinte números), este método estaba basado en la posición de signos que implica el uso del cero para indicar que no hay unidades de aquel valor (el conocimiento del cero por los mayas fue uno de los aportes más importantes para la numeración en América), haciendo uso de un símbolo ovalado que aparece en numerosas estelas o códices mayas y los demás números se indicaban con puntos y barras hasta el número veinte. Signo que representa el número veinte en la numeración Maya Hacia el año 1,200 después de Cristo en Europa, el estudioso de la matemática conocido como Fibonacci, propuso un sistema de numeración utilizado por los árabes y los hindúes, en el cual se utilizaba el cero y el sistema posicional de notación como el que se utiliza hoy, pero éste tuvo que esperar la invención de la imprenta para ser conocido en toda Europa, lo que permitió el progresivo abandono de la numeración romana vigente hasta la edad media. Quien colocó al conjunto de los Números Naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de Números Naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos 28 MATEMÁTICAS cinco postulados que llevan su nombre. A este modelo adoptado por los europeos se le conoce como Sistema de Numeración Decimal y consta de diez símbolos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; los números siguientes (como el 10, 11,12.. etc.) son una combinación de estos signos e integran la base de los Números Naturales, independientemente de los numerales que se utilicen para representar a los naturales, estos están relacionados con el conteo y son una sucesión infinita de números, en progresión de uno en uno, empezando desde el cero. El cero y la definición de los Números Naturales Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los Números Naturales. De ahí que no exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los Números Naturales. De hecho, algunos matemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número Natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta. Históricamente, el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puras construcciones mentales. Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las Matemáticas y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de los Números Naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número de elementos del conjunto vacío, y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentran en estado off. De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los Números Naturales sea cuestión de contexto y de convenio, observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él El Conjunto de los Números Naturales se representa con la letra N y son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11… constituyen un conjunto infinito, se pueden representar en la recta numérica de la siguiente forma: N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…} } sumados + 2354 251 suma total 2595 Sin embargo el conocimiento de los Números Naturales no es suficiente para describir, operar y, en último caso, registrar muchas situaciones que se dan regularmente, como la sustracción de 3 – 5 que no tiene solución en el Conjunto de los Números Naturales. 29 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicio 1 Secuencia 1 bloque I Con base en la lectura anterior, conteste y comente con sus compañeros (as) de equipo las siguientes interrogantes: 1. ¿Cómo surgen los Números Naturales? 2. ¿Cómo se escriben en la numeración maya el 16, 17, 18, 19 y 20? 3. ¿Cómo se escriben en la numeración Romana el 16, 17, 18, 19 y 20? 4. ¿Cuáles son los Números Naturales y con qué letra se representan? 5. ¿En qué parte de la recta numérica se escriben los Números Naturales? 6. Suponga que usted no conoce los Números Naturales, ¿Cómo contaría un 7. grupo de vacas, sin utilizar rayas? 8. ¿Cuál es la diferencia de la numeración maya con la que se utiliza actualmente? 9. ¿Cuál es el aporte más importante de los mayas en cuanto a la numeración en América? Programa de Televisión 1 Secuencia1 bloque I En el siguiente programa de televisión denominado: Recordar es Dominar las Matemáticas, se muestra la formación del Conjunto de los Números Naturales, las operaciones entre estos, sus principales propiedades y cómo se podrían utilizar para resolver situaciones de la vida cotidiana. Operaciones con los Números Naturales Adición de Números Naturales La adición es una operación binaria (se realiza entre dos cantidades), el objetivo de esta operación consiste en reunir en un solo número varios números del mismo género o conjunto numérico, la adición se indica mediante el signo +. Sus elementos se llaman sumandos y el resultado se llama suma o total. + 2354 241 7634 sumando suma total 30 MATEMÁTICAS Sustracción de Números Naturales La sustracción de Números Naturales es una operación binaria (entre dos cantidades), es la operación inversa de la adición, el objetivo es encontrar un número desconocido (diferencia) cuando 2354se le resta otro (sustraendo) a un número conocido (minuendo). sumando + 241 La sustracción se indica contotal el signo - . Sus elementos son: minuendo, sustraendo y 2595 suma resultado se llama diferencia. + minuendo sustraendo diferencia 867 531 336 Multiplicación de Números Naturales La multiplicación es una operación binaria, su objetivo es abreviar la adición de sumandos iguales. La multiplicación se indica con el signo “x”. Sus elementos son: multiplicando, multiplicador y el resultado se llama producto. 32 X 2 = 64 producto multiplicador multiplicando División de Números Naturales La división es una operación binaria, es la operación inversa de la multiplicación; su objetivo consiste en repartir un todo en cierto número de partes iguales, se indica mediante los símbolos: ÷, /, . Cuando el residuo es cero, la división es exacta, en caso contrario es inexacta. Sus elementos son: Dividendo: Divisor: Cociente: Residuo: Es el número que se reparte o se divide Es el número por el cual se divide Es el resultado de la división Es el sobrante Divisor Residuo 122 6 -12 60 20 31 Divisor Cociente Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicio 2 Secuencia 1 bloque I Forme grupos de cuatro integrantes y realice en su cuaderno lo que se le pide: 1) Efectúe las siguientes operaciones: a) 1966 + 326 + 18 + 1= b) 67 X 19= c) 1984 – 728= d) 7500 ÷ 5 = 2) Escriba el sucesor y el antecesor de: a)______ 34 ______ b)______ 2 ______ 3) Resuelva los siguientes problemas: a) Una fotocopiadora saca 320 copias por hora, ¿Cuántas copias sacará en 5 horas? b) Se compran 10 gallinas a L. 70.00 cada una y después se venden por L. 1000.00 las 10, ¿Cuál es la ganancia? c) ¿Porqué es importante tener conocimientos de Matemáticas en su vida? Escriba su opinión. 4) Complete el cuadro con los resultados de las operaciones indicadas, cuando sea posible efectuar con los Números Naturales: + − − 32 × ÷ ÷ MATEMÁTICAS El conjunto de los Números Enteros (Z) La sustracción de Números Naturales es posible siempre que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Ejemplo: 10 – 3 = 7 porque 3 + 7 = 10 12 – 12 = 0 porque 12 + 0 = 12 ¿Tiene solución en los naturales la sustracción 3 – 7? ¿Existe un número natural que sumándole 7 nos de 3? 7 + = 3 No existe ningún número natural que sumado con 7 de 3, porque cuando el minuendo es menor que el sustraendo la operación no es posible en el conjunto N. Observe también que en la vida cotidiana son muchos los problemas que conducen a operaciones de este tipo o la necesidad de representar simbólicamente expresiones como las siguientes: • • • • La temperatura es 4 grados centígrados bajo cero 200 metros sobre el nivel del mar Caminar 5 metros a la derecha El arrecife de coral en Islas de la Bahía, está 3 metros bajo el nivel del mar. Las expresiones anteriores son mediciones cuya representación con los Números Naturales no es suficiente para expresar la idea exacta del fenómeno que se esta midiendo. Por ejemplo, no es lo mismo una temperatura de 4 grados centígrados bajo cero que 4 grados centígrados sobre cero. Situaciones como las anteriores justifican la necesidad de ampliar el conjunto de los Números Naturales, introduciendo los números enteros negativos, así: Recuerde que los Números Naturales se ubican a la derecha en la recta numérica y son positivos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5…} 0 1 2 3 4 Al ampliar este conjunto de números se ubican los números enteros negativos, a la izquierda de los naturales en la recta numérica. { … –3, –2, –1, 0, …} –4 –3 –2 –1 0 1 33 Contenidos de acuerdo DCNB 0 1 2 3 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado –4 –3 –2 –1 0 1 Los números enteros negativos, el cero y los números enteros positivos o naturales forman un nuevo conjunto de números, que permiten expresar fenómenos o situaciones en dos sentidos, llamado Conjunto de Números Enteros y se representan con la letra Z. Z = { … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} Notas importantes: • • • • • El conjunto de los números enteros (Z) es infinito, no tiene primero ni último elemento y para indicar esto se utilizan los puntos suspensivos (…). Los números negativos se identifican colocándoles un signo”–“(negativo) a la izquierda, ejemplo: - 3, - 10, etc. Los números positivos se identifican colocándoles un signo “+” a la izquierda, ejemplo: + 3, + 10, etc. Si algún número no tiene signo se asume que es positivo. El cero no es positivo ni negativo. Z = 𝑍𝑍 − ∪ {0} ∪ 𝑍𝑍 +, el conjunto de los números enteros está formado por la unión de los enteros negativos, el cero (no es positivo ni negativo) y los enteros positivos. Uso de los Números Enteros negativos y positivos Usando los números con el signo positivo o negativo se puede expresar la posición relativa con respecto a un punto de referencia: 1.Observe el cambio de la temperatura en cada región de América, en los siguientes ejemplos: 34 MATEMÁTICAS La temperatura en Alaska es de –2 ºC La temperatura de San Pedro sula es de 29 ºC La temperatura de New York es de 9°C Para medir la temperatura se toma como punto de referencia el número que marca cero grados centígrados (0 ºC). Las temperaturas arriba del cero se escriben utilizando números positivos, por ejemplo: +29 ºC ó 29ºC. Las temperaturas abajo del cero se escriben utilizando los números negativos, por ejemplo –2ºC. 2. Si se expresa 20 lempiras de ganancia, con + 20 lempiras entonces 20 lempiras de pérdida se expresa con – 20 lempiras. 3. La cumbre de la montaña Pico Bonito se encuentra a 2,435 m sobre el nivel del mar, se expresa la altura como + 2,435 m, tomando como punto de referencia el nivel del mar y la mayor depresión del desierto de Colorado (USA) que queda a 610 m bajo el nivel del mar se expresaría como – 610 m. IMPORTANTE: • El signo negativo en estas magnitudes significa “sentido contrario” a partir de un punto (cero) tomado como referencia. 35 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Representación gráfica de los Números Enteros Para representar en forma gráfica el conjunto de los números enteros (Z), se hace uso de la recta numérica. A cada división hecha sobre ella le corresponde un número entero; los positivos se ubican a la derecha del cero y los negativos en sentido contrario, es decir, a la izquierda. Como se muestra a continuación: Las cantidades positivas y negativas se escriben en la recta numérica de la siguiente manera: 1) Se traza una recta 2) La recta se divide en varios segmentos iguales, señalándolos con marcas. La marca central se identifica con el número cero 3) Las marcas que están a la derecha del cero corresponden a números enteros positivos, no tienen último elemento. 4) Las marcas que están a la izquierda del cero corresponden a números enteros negativos, no tienen primer elemento. 36 MATEMÁTICAS Ejercicio 3 Secuencia 1 bloque I Formar grupos de tres estudiantes y realizar las siguientes actividades: 1) Complete el siguiente mapa conceptual: Números _________ Enteros Enteros positivos __________ _________ _________ Están precedidos por el signo ____________ No pertenece a los positivos, ni a los negativos Están precedidos por el signo ____________ ___________ 2) Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios: a) Escriba frente a cada frase otra que represente la situación opuesta Atrás______________Derecha:______________Perder:_______________ Ir de Atlántida a Choluteca_______________________________________ Sumar 16 a una cantidad_________________________________________ Restar 48 a una cantidad_________________________________________ b) Use la siguiente recta numérica para describir hasta que punto llegó Telebásico después de realizar los recorridos que abajo se indican. Telebásico siempre inicia cualquier recorrido en cero. 37 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 3 pasos a la derecha, 5 pasos a la izquierda, 4 pasos a la derecha, llegó a_____ 2 pasos a la izquierda, 4 pasos a la derecha, 2 pasos a la izquierda, llegó a____ 2 pasos a la derecha, 3 pasos a la de recha, 6 pasos a la izquierda, llegó a_____ c) Conteste las siguientes preguntas tomando en cuenta que la dirección del movimiento de un vehículo es positiva si se dirige hacia el norte y negativa si se dirige hacia el sur. ¿Hacia dónde se dirige el vehículo cuyo movimiento es de +6 km? ¿Cómo se expresa 2 km de movimiento hacia el sur? d) Coloque al final de cada oración el entero que se emplearía para escribir abreviadamente cada una de las siguientes oraciones. 4 metros bajo el nivel del mar_______ 200 lempiras de ganancia________ El termómetro marca 4 grados centígrados bajo cero______ e) Escriba con sus palabras, un párrafo que describa la siguiente figura: 38 MATEMÁTICAS Números opuestos A cada número entero positivo representado en la recta numérica, le corresponde uno negativo y viceversa, ambos se encuentran a la misma distancia del cero, por ello se les conoce con el nombre de números opuestos o simétricos: 1 es el simétrico de –1 2 es el simétrico de –2 –5 es el simétrico de 5 OPUESTOS O SIMÉTRICOS Misma distancia del cero VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO Al localizar dos números simétricos u opuestos en una misma recta numérica, es fácil notar que están ubicados a la misma distancia (a la izquierda o a la derecha) del cero, por ejemplo: En el –1 y el 1, hay una unidad a la izquierda y a la derecha del cero. En el 10 y el –10, hay diez unidades a la derecha y a la izquierda del cero. Estos pares de números simétricos representan las siguientes características: • Tienen signos distintos, uno positivo y otro negativo. • Se encuentran a la misma distancia del cero en la recta numérica. 39 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Definición de valor absoluto El valor absoluto de un número entero, es la distancia que hay de cero a dicho número en la recta numérica. Por ejemplo si una persona hace un recorrido de tres km, desde un punto cero a la izquierda y luego otra persona recorre a la derecha tres km, desde el mismo punto de partida que la primera, las dos han recorrido lo mismo como se puede observar en la figura. Es decir, que la distancia que hay de cero a 3 también es 3 y la distancia que hay de cero a –3 es 3. Para expresar el valor absoluto de un número entero, se encierra entre dos barras verticales y paralelas, así: │ 3 │ = 3, se lee, el valor absoluto de tres es igual a tres. │ –3 │ = 3, se lee, el valor absoluto de negativo tres es tres. Observe los siguientes ejemplos: │ 7 │ = 7 ☺ porque la distancia de cero a siete es siete │ –8 │ = 8 ☺ porque la distancia de cero a negativo ocho es ocho │ –1 │ = 1 ☺ porque… │ 0 │ = 0 ☺ porque… Propiedades del valor absoluto i. “El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de sus factores.” │ a ∙b │ = │ a │ ∙ │ b │ ii. “El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de los términos del cociente.” 40 MATEMÁTICAS iii. “El valor absoluto de una suma es, menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos (aplicable también a la diferencia).” │ a +b│ ≤ │ a │+│ b │ │ a -b │ ≤ │ a │–│ b │ iv. “El valor absoluto de un número negativo, es igual al valor absoluto del mismo número positivo.” │ –a │= │ a │ Ejemplos: Hallar los valores absolutos de: a) │ 5(–3) │ │ 5(–3) │ = │ 5 │ ∙ │ –3 │ … propiedad │ – 15 │ = │ 5 │ ∙ │ –3 │ … efectuando las operaciones indicadas 15 = 15 = 5 ( 3 ) …. Aplicando la propiedad 15 b) 20 4 20 20 4 = 4 │ 5 │ = 20 4 │ 5 │ 5 b) = = 5 5 …Aplicando propiedad …Aplicando la definición de valor absoluto …Dividiendo │ 5 +3 │ │ 5 + 3 │ ≤ │ 5 │ + │ 3 │ … ¿Qué propiedad aplicó? │ 8 │ ≤ │ 5 │ + │ 3 │ … ¿Qué hizo? ≤ ≤ … ¿Qué propiedad aplicó 8 8 5 8 + 8 41 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado c) │ 5 – 3 │ │ 5 – 3 │ ≤ │ 5 │ – │ 3 │ … ¿Qué propiedad aplicó? │ 2 │ ≤ │ 5 │ – │ 3 │ … ¿Qué hizo? 2 ≤ 5 – 3 … ¿Qué propiedad aplicó 2 ≤ 2 d) │ –7 │ = │ 7 │ 7 = 7 … Aplicando la definición de valor absoluto El valor absoluto de un número entero negativo siempre es positivo. El valor absoluto de cero es cero. Ejercicios 4 Secuencia 1 Bloque I 1) Formar grupos de dos estudiantes y realice las siguientes actividades en su cuaderno: ¿Cuál es el opuesto de cada entero? 56_________ – 87__________ 2) Analice y complete la tabla siguiente. Número +4 Opuesto del número - 4 Valor absoluto del número -10 6___________ + 35 0 – 1__________ -100 + 100 - 12 4 3) Evalúe las siguientes proposiciones. a) e) h) b) │ 6 │ = │ –5 │ = │ 4 + 7 │= 60 = 10 c) │ –2 │ = f) │ 8 – 5 │= g) │ –a │ = i) │ 5 × 3 │ = d) │ –9 │= 4) Piense y conteste: Dos automóviles salen al mismo tiempo, uno de Tegucigalpa a 80 km/hr y el otro de Santa Rosa de Copán a 60 km/hr, al momento de encontrarse en la carretera ¿Cuál está más lejos de Tegucigalpa? 42 MATEMÁTICAS Relaciones de orden en ᵶ Los números enteros son una serie ordenada. Esto significa que si se tienen dos números enteros cualquiera, siempre se puede indicar cuál de ellos es mayor, menor o igual que el otro. Entre dos números enteros cualquiera a y b existe una relación de orden, de tal manera que al confrontar los dos, sólo puede ocurrir una de las siguientes comparaciones: • Que uno sea mayor que el otro, a>b (a es mayor que b) • Que sean iguales, a=b (a es igual a b) • Que uno sea menor que el otro, a<b (a es menor que b) PROPIEDAD DE TRICOTOMÍA Si a, b є Z, sólo una de las tres condiciones se cumple a < b ó a = b ó a > b Analice: a) Una persona de 20 años es mayor que una de 12. b) La temperatura en La Esperanza es de 17 ºC y es menor que la de San Pedro Sula que es de 34 ºC. c) Si la temperatura es 0 grados, hace menos frío que a 6 grados bajo cero. d) Una persona recién nacida es menor que una de 10 años. Para definir el orden entre dos números enteros se conservan las mismas reglas que rigen los Números Naturales y se expresarán utilizando la recta numérica. RELACIONES DE ORDEN EN LOS ENTEROS Renación menor que 43 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplos: 1 < 4 porque… –2 < 1 porque… Mayor que Para todo a,b є Z, se dice que a es mayor que b y se representa por a > b, si a se encuentra a la derecha de b en la recta numérica, así: Ejemplos: 4 > 1 porque… 1 > -2 porque… Igual a 44 MATEMÁTICAS Ejemplos: 4 = 4 porque… –2 = –2 porque… IMPORTANTE: • Todo número positivo es mayor que el cero. • Todo número positivo es mayor que cualquier negativo • Todo número negativo es menor que el cero • Todo número negativo es menor que cualquier positivo Ejercicio 5 Secuencia 1 bloque I Realice los siguientes ejercicios en forma individual, puede apoyarse en el contenido de las secciones ¿Qué piensan otros? y ¿Que dice la ley? 1) Compare los siguientes números y escriba el signo >, < o =, según corresponda. Recuerde que la comparación de los números se hace de izquierda a derecha: a) 3___4 f) 0___–8 b) 6___6 g) –9___0 c) –4___4 h) 0___5 d) 5___–6 i) 1___0 e) –2___–4 j) –9___–1 2) Ordene de mayor a menor los siguientes números, en la tabla de la derecha: a) 2, 4, –3, –2, 0, 5, –5 b) –2, –10, 0, –1, 1, –4, –11 3) 4) 5) 6) Escriba tres números enteros menores que 2: Escriba cuatro números enteros mayores que –5: Escriba cinco números pares menores que –2: Escriba el número entero mayor que –1 y menor que 1: 45 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Programa de Televisión 2 Secuencia1 bloque I Observe con atención al programa de televisión, Paga tus cuentas a tiempo en el cual se muestra la importancia de conocer los números enteros y la aplicación que tiene este conocimiento en situaciones de la vida cotidiana, además las propiedades de la igualdad (reflexiva, simétrica y transitiva), así como las propiedades de desigualdad (convexa y transitiva) Ejercicio 6 Secuencia 1 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1) Diga si es verdadera o falsa cada oración: a) b) c) d) e) f) g) h) Todos los números enteros tienen un opuesto o simétrico Todo número entero negativo es mayor que cualquier entero positivo El cero es mayor que cualquier entero negativo El conjunto Z, está formado sólo por enteros positivos y negativos –10 es mayor que –1 El signo “ mayor que “ es “ > “ Todos los Números Naturales son enteros positivos El valor absoluto de un número entero siempre es positivo ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) 2) Piense y responda: a) ¿Qué número negativo esta a la misma distancia de 5, con respecto al cero? b) ¿Cuál es el número que no es positivo ni negativo? c) Exponga dos ejemplos de la vida real en las que se aplique el conocimiento de los números enteros. 46 MATEMÁTICAS d) El conocer ahora los números enteros, ¿En qué le ayuda para poder desarrollarse en su comunidad? 3) Ordene de mayor a menor los siguientes números: a) +2, –3, –5, +4, +6, –1 b) +4, –4, –1, +1, 0 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1) Escriba a la izquierda de cada proposición el entero que se emplea para representarla: a) b) c) d) e) f) -3° C 3 grados centígrados bajo cero. _________ 36 metros sobre el nivel del mar. _________ 10 años antes de Cristo. _________ 20 lempiras de ahorro. _________ 10 metros bajo el nivel del mar. _________ 30 lempiras de pérdida. 2) Represente en la recta numérica los siguientes números: A = Los enteros mayores que 2 B = Los enteros mayores que –2 y menores que 5 incluyéndolos. C = Los enteros mayores que – 10 y menores que -3 D= Los enteros menores que 0 3) Calcule: a) │ –76 │ = b) │ 69 │ = c) │ –24 │ = d) │ –90 │= 4) Escriba dentro de cada paréntesis el signo de relación de orden (>, < ó =) correspondiente: a) b) c) d) e) –2 ( –4 ( 2( 8( 0( ) –3 ) –10 ) 5 ) –8 ) –3 f) –17 g) –20 h) –99 i) –11 j) 12 ( ( ( ( ( ) –16 ) 0 ) –99 ) –11 ) –13 k) –29 ( l) –32 ( m) 43 ( n) –2 ( ñ) –45 ( ) 29 ) –30 ) –50 ) 3 ) –46 5) Ordene en forma descendente (de mayor a menor): A= {-5, -8, 9, 0, 12, 5, 6, -1} B= {-10, 12, -12, 4, -6, -1 } C= {-10, 12, -13, 14, -15, 15, -16} 47 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 6) Resolver los siguientes problemas: a) La temperatura ambiente en Tegucigalpa es de 25°C y luego desciende 17 ºC. ¿Cuánto marcará el termómetro? b) Una persona se sumerge 15 metros en el mar, al regresar se detiene a 4 metros de la superficie por efectos de descompresión. i) Haga una recta numérica que ilustre el recorrido de la persona. ii) ¿Cuántos metros ha recorrido hasta que se detiene? iii) ¿Según la recta numérica, en qué posición queda cuando se detiene? c) La temperatura promedio de Copán es menor que la de Comayagua y la de Comayagua es menor que la de San Pedro Sula. Suponga que la temperatura de San Pedro Sula a 16°C y la de Copán -2 ºC. i) ¿Cuál podría ser la temperatura mínima en Comayagua? ii) ¿Cuál podría ser la temperatura máxima en el Comayagua? 48 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 2 Bloque I LO IMPOSIBLE SE HACE POSIBLE Es común que al analizar un asunto cualquiera, descubramos al poco tiempo de empezar nuestro estudio, que existen conceptos y propiedades nuevas, y sorprendentes, que son completamente lógicas, aunque al principio no lo parezcan. Podrá pensarse por ejemplo que si una persona tiene un salario diario de doscientos lempiras, esta podría gastar trescientos, ¿Cómo que 200 – 300 no da? o que hay tres unidades menores que cero, aunque no poseamos algo. A estas y otras interrogantes se dará respuesta al explorar esta secuencia, que contiene el fascinante mundo de las operaciones fundamentales con los números enteros: Adición, Sustracción, Multiplicación y división, además las propiedades concernientes a cada operación como: asociativa, conmutativa, distributiva, elemento neutro y elemento absorbente. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Identifiquen las propiedades de las operaciones de los números enteros. Reseña histórica de la numeración A través de la historia de la humanidad se constata la necesidad que se tuvo de contar, algunos autores opinan que esta surge con la naciente propiedad privada de las comunidades primitivas y se acentúa con el descubrimiento de la agricultura, con la cual las comunidades se establecen de forma permanente o sedentaria, domestican animales y adquieren bienes y, por lo tanto surge la necesidad de contarlos. Este testimonio se encuentra manifestado en el arte rupestre con marcas que suponen alguna especie de conteo o en las antiguas civilizaciones donde se utilizaron distintos símbolos o caracteres para representar un mismo número. Para entonces se otorga un nombre especial a cada número representado con un símbolo (numeral), con la intención de comunicarse con los demás o para saber cuantos elementos tiene un conjunto determinado. De esta forma, un conjunto que tiene diez elementos se puede identificar con numerales que expresan esa cantidad en diferentes sistemas de numeración como: la numeración babilónica, egipcia, china, maya, etc. 49 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Sistema de numeración decimal Recibe este nombre porque tiene como base el número diez; además se emplea el principio de posición y el cero. Se desarrolló en la India y se introdujo en Europa a través de España por los árabes. Es por eso que se le conoce como numeración árabiga, pero como este sistema de numeración tuvo su origen en la India se le llama ahora numeración indoarábiga. Los símbolos que se utilizan para su escritura se llaman guerismos o cifras. La palabra cifra proviene del vocablo sirf, voz árabe que significa “vacío”, con la cual se designaba al cero. Estas cifras son los símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Del 1 al 9 se le conoce como cifras significativas por tener un valor propio, mientras que el cero indica la carencia de valor. A estos números de una sola cifra se les llama dígitos. En este sistema las cifras de primer orden se les llama unidades, dado su principio de posición; las de segundo orden se llaman decenas, las de tercer orden se llaman centenas, etc.; de tal manera que las posiciones se ubican de derecha a izquierda y a cada una de ellas les corresponde un valor diez veces mayor que el de la posición inmediata a la dedrecha. Las cifras significativas tiene un valor propio , denominado valor absoluto y un valor que depende de la posición que ocupan denominado valor relativo. Por ejemplo en el número 77, la cifra 7 que tiene distintos valores de acuerdo con la posición que ocupa. Esto es, considerado de derecha a izquierda: el primer 7 representa siete unidades y el segundo 7 representa siete decenas, es decir, 7 veces 10, que es lo mismo que 70 unidades. Por lo tanto el primer 7 tiene un valor absoluto de 7 y un valor relativo de 7, el segundo 7 tiene un valor absoluto de 7 y un valor relativo de 70. Noción de un número entero Después de la creación de los números para contar (los Números Naturales), la humanidad se encontró con situaciones como la siguiente: ¿Cómo señalar una cantidad que represente una pérdida?, ¿Qué hacer para identificar un avance en diferentes sentidos? En las operaciones con Números Naturales, se vió la imposibilidad de resolver una diferencia en la que el minuendo es menor que el sustraendo; así por ejemplo, dada la diferencia: 5 –9, no existe ningún número natural que sea resultado de la misma, es decir, no existe número natural que sumado a 9 dé por resultado 5. Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los números negativos, que son los mismos Números Naturales precedidos del signo menos. Así: …–4, –3, –2, –1. 50 MATEMÁTICAS Al ampliar los Números Naturales con los negativos, se estableció El Conjunto de los Números Enteros que pueden considerarse como la unión del conjunto de los números enteros positivos, del conjunto de los números enteros negativos y del número cero, es decir: Simbólicamente: El conjunto de los números enteros se representan con la letra Z (mayúscula), así: Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…}, y para representarlos gráficamente se utiliza la recta numérica: Ejercicios 1 Secuencia 2 Bloque I Con base en la lectura y la secuencia anterior, en la que se refleja el origen de los Números Naturales, comente con sus compañeros las respuestas de los siguientes ejercicios: 1. Diga si cada proposición es verdadera o falsa. a) En los números enteros el cero es el primer elemento. b) Todo número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. c) El cero es mayor que cualquier entero negativo. d) El conjunto Z esta formado sólo por enteros positivos y negativos. e) –3 es mayor que 1. f) El signo “mayor que “es “> “ . g) Todos los Números Naturales son positivos. h) El valor absoluto de un número entero siempre es negativo. 2. Represente en la recta numérica los siguientes números. A = Los enteros menores que –3. B = Los enteros mayores que –1 y menores que 1 incluyéndolos. C = Los enteros mayores que –10 y menores que –3. 3. Calcule a) │ - 10 │ = b) │ 45 │ = c) │ - 8 │ = 51 d) │ 0 │= Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 4. Escriba dentro de cada paréntesis el signo de relación de orden (>, < ó =) correspondiente. a) –5 ( ) – 3 g) –20 ( ) 0 b) –1 ( ) – 10 h) 99 ( ) –99 c) 9 ( ) 9 i) –11 ( ) –11 d) –5 ( ) 5 j) 36 ( ) –37 e) 0 ( ) – 12 k) 43 ( ) –50 f) –89 ( ) – 90 l) –29 ( ) 29 5. Resuelva el siguiente problema. a) Los estudiantes de sexto grado de un centro de educación básica de Olancho organizaron una fiesta de despedida a su maestra, para ello recolectaron Lps. 667, pero los gastos ascendieron a Lps. 998. i. ¿Fue suficiente el dinero reunido para el gasto? ii. ¿Por qué? iii. ¿Hubo ganancia o pérdida? iv.¿Cuánto? Programa de Televisión 1 Secuencia 2 bloque I Observe el programa de televisión Tienes que avanzar y luego realice los ejercicios de adición de enteros que indique su profesor (a), en la recta numérica. Adición de números enteros con igual signo Suponga que Eduardo maneja un elevador, el edificio tiene 6 pisos, una planta baja (P) y tres sótanos (A, B, C), en la recta numérica que se sitúa en el dibujo están representados: Los pisos A, B, C, D, E, F con los números: 1, 2, 3, 4, 5, y 6. La planta baja P con el número 0. Los sótanos X, Y, Z con los números –1, –2 y –3. 52 MATEMÁTICAS Tome en cuenta que ↑ significa subir y ↓ significa bajar para analizar las siguientes situaciones: a. Si Eduardo está en la planta baja P; sube al piso C y luego sube dos pisos más, se encuentra en ese momento en el piso E, es decir: ↑3 y luego ↑2 llegó al piso ↑5 Observe que el símbolo ↑ esta ubicado en los números positivos y como Eduardo primero subió 3 y luego subió 2 más, se tuvo que sumar los dos números para llegar al piso 5. b. Si Eduardo está de nuevo en la planta baja P; baja al sótano X y luego baja 2 sótanos más, se encuentra en ese momento en el sótano Z ,es decir: ↓ –1 y luego ↓ –2 llegó al sótano ↓ –3 Observe que el símbolo ↓ esta ubicado en los números negativos y como Eduardo primero bajó al sótano A y luego bajó 2 más, se tuvo que sumar los dos números para llegar al sótano –3. Indiferentemente de que los números enteros a sumar sean todos positivos o todos negativos, la siguiente regla será un auxiliar valioso: Regla de la adición de números enteros con igual signo. Si los números enteros son del mismo signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y al resultado se le escribe el signo de los sumandos. En general, si a y b є Z , entonces: 1) (+a) + (+ b) = + (│a│ + │b│) = +(a+b) 2) (-a) + (- b) = - (│-a│ + │-b│) = - (a+b) 53 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplos: Sumar los siguientes números enteros: 1) Efectuar: 45 + 16 + 123 + 1 Solución: 45 + 16 + 123 + 1 = +( 45 + 16 + 123 + 1) = +(185) + 45 + 16 + 123 + 1 + 185 2) Efectuar: –10 –234 –16 –2 Solución: –10 –234 –16 –2 = –(+10 + 234 + 16 + 2) = –262. – 10 – 234 – 16 – 2 – 262 Ejercicio 2 Secuencia 2 bloque I Realice lo que a continuación se le pide: 1. Efectúe las siguientes operaciones: a) b) c) d) a) b) c) d) ( –5 ) + ( –4 )= (–10 ) + ( –1 )= 3 + 2 + 5 + 7 + 3= –10 –24 –12 –16 = 2. Calcule el resultado de las siguientes operaciones utilizando la recta numérica: (+3) + (+7) (–8) +(–4) (–1)+(–1) + (–1) (+1) + (+2) + (+3) 54 MATEMÁTICAS Adición de números enteros de distinto signo Siguiendo con el ejemplo de Eduardo y el elevador: a) Si Eduardo está en la planta baja P; sube al piso E y luego baja dos pisos , se encuentra en ese momento en el piso C, es decir: ↑5 y luego ↓ 2 llegó al piso ↑3 Observe que Eduardo primero subió 5 pisos y luego bajó 2 , se tuvo que restar dos para llegar al piso 3 y este número quedó con el símbolo ↑, ubicado en los positivos. b) Si Eduardo está de nuevo en la planta baja P; sube al piso D y luego baja 6 pisos, se encuentra en ese momento en el sótano Y, es decir: ↑4 y luego ↓6 llegó al sótano ↓–2 Observe que Eduardo primero subió al piso 4 y luego bajó 6, se tuvo que restar seis para llegar al sótano –2 y este número quedó con el símbolo ↓, ubicado en los negativos. Regla de la adición de números enteros de distinto signo. Si los números enteros son de signos contrarios, se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto. En general, si a y b є Z , entonces: i. ii. (+a) + (- b) = + (│a│ - │b│) = +(a-b) Si el entero con mayor es positivo (+a) + (- b) = - (│-a│ - │-b│) = - (a- b) Si el enero con mayor es negativo 55 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplos de adición de números enteros. Ejemplos: 1) Efectuar: (+45) + (–30) Solución: Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos. (+45) + (–30) = │+45│ – │–30│= 45 – 30 = 15 El signo del resultado es positivo (+), porque │+45│ >│–30│ y 45 tiene signo +. Entonces: (+45) + (–30) = 15 2) Efectuar: (–15) + (+25) Solución: Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos. (–15) + (+25) = │–15│ – │+25│= 25 – 15 = 10 El signo del resultado es positivo (+), porque │+25│ >│–15│ y 25 tiene signo +. Entonces: (–15) + (+25) = 10 3) Efectuar: (–18) + (+12) Solución: Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos. (–18) + (12) = │–18│ – │+12│= 18 – 12 = 6 El signo del resultado es negativo (–), porque │–18│ >│+12│ y 18 tiene signo –. Entonces: (–18) + (+12) = –6. 4) Efectuar: (+24) + (–28) Solución: Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos. (+24) + (–28)= │+24│ – │–28│= 28 – 24 = 4 56 MATEMÁTICAS El signo del resultado es negativo (–), porque │–28│ >│+24│ y 28 tiene signo –. Entonces: (+24) + (–28) = –4. 5) Efectuar: (–5) + (+5) Solución: Los números tienen signos diferentes, entonces, se restan sus valores absolutos. (–5) + (+5) = │–5│ – │+5│= 5 – 5 = 0 El resultado es 0 y este número no es positivo ni negativo. Entonces: (–5) + (+5) = 0. Ejercicios 3 Secuencia 2 Bloque I Realice lo que a continuación se le pide. 1.Calcule: a) (–8 ) + (+ 6 ) = b) (+2 ) + ( –3 ) = c) ( –1 ) + ( +1) = 2.Calcule: d) (–10) + (+20 ) = e) (–23 ) + (+16) = f) (+20 ) + ( –20 ) = a) –2 – 4 – 7= b) 5 + 8 + 9 +7= c) – 123 - 4,569 – 1,657 = d) 14, 834 + 22,346 + 9, 999 = 3. Escribir dentro del paréntesis, la respuesta a cada una de las siguientes proposiciones. a) ¿Cuál es el número que sumado con 16 da 20? _______( b) ¿Cuál es el número que restado con 10 da 8?_________( c) ¿Cuál es el número que restado con 10 da –2?________( d) ¿Cuál es el número que restado con –1 da 9?_________( ) ) ) ) 4. Calcule el resultado de las siguientes operaciones utilizando la recta numérica. a) (+3) + (–7) b) (–8) +(+4) c) (–1)+(+1) d) (–2) + (+3) 57 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado SUMA Y RESTA COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS 1) Efectuar: –3 + 4 – 1 –3 + 5 Solución: En este caso se presentan sumas y restas combinadas, las cuales se pueden efectuar de dos formas: 1ª Se hacen las operaciones en el orden dado: 2ª Se suman los números que llevan signo +: +4+5=+9 -3 + 4 – 1 – 3 + 5 +1 – 1 – 3 + 5 Se suman los números que llevan signo - : -3 – 1 – 3 = - 7 0–3+5 -3+5 Se resta el segundo resultado del primero : + 9 – 7 = +2. +2 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS CON PARÉNTESIS Efectuar: –10 + ( –23 + 15 ) Solución: En este caso se presentan expresiones con paréntesis, efectúe primero lo que está dentro del paréntesis: –10 + ( –23 + 15 ) –10 + (–8 ) … Son de signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números. –18 …Son de signos iguales, se suman los valores absolutos de los números. 58 MATEMÁTICAS PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS El conocimiento de las propiedades de la adición en el conjunto de los enteros facilita el desarrollo de las operaciones y la interpretación de resultados, este conjunto satisface las propiedades conmutativa, asociativa, clausura, elemento neutro y elemento simétrico u opuesto. Propiedad Clausura: La suma de dos números enteros es siempre otro entero. Si Ejemplo: –3 y 5 son enteros, entonces: –3 + 5 = 2 es un entero. Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: –3 y 5 son enteros, entonces: –3 + 5 = 5 + (–3) +2 = + 2 Propiedad Asociativa: La agrupación de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: –3, 5 y 9 son enteros, entonces: (–3 + 5) + 9 = –3 + ( 5 + 9 ) (+2 ) + 9 = –3 + (+14 ) + 11 = + 11 Elemento neutro: Todo número sumado con cero da como resultado el mismo número. Ejemplo: –3 es un entero, entonces: –3 + 0 = 0 + ( –3 ) –3 = –3 Elemento simétrico u opuesto: Todo número sumado con su simétrico u opuesto da como resultado cero. Ejemplo: 9 es un entero, entonces: 9 + (–9 ) = ( –9 ) + 9 0 = 0 59 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 2 Bloque I 1. Efectúe las siguientes operaciones: a) –4 + 5 –3 + 2 = b) –10 –20 –60 + 20 + 60 + 10 = c) –1 + 2 – 3 + 4 + 5 = d) 233 – 3,522 + 9,980 – 4,487 = e) –5 + ( 5 – 4 )= f) –5 + ( -5 + 4 )= g) (–8 – 3 ) – 12 = h) (45–50)+56= 2. Verificar si la propiedad conmutativa y clausura de la Adición se cumplen con los siguientes valores: a) b) c) a = –1, b = –2 d) a= –80, b=12 a = 1, b = 2 a = –3, b = 10 3. Verificar si la propiedad Asociativa de la Adición, se cumple con los siguientes valores: a) b) a = 1, b = 2, c= 3 a = –3, b = 10, c= –6 4. Verificar si la propiedad Elemento Neutro y Elemento Simétrico u Opuesto de la Adición se cumplen con los siguientes valores: a) b) 5. Resuelva a=1 a = -8 a) En una pista horizontal un automóvil parte de un punto 0, recorre 3 km. a la derecha, se detiene para revisar el motor, luego recorre 8 km. a la izquierda, en ese punto compra combustible y luego recorre 2 km. a la derecha. ¿A cuántos km. se encuentra del punto de partida? Dibuje una recta numérica que ilustre el recorrido, plantee las operaciones Aritméticas para dar respuesta a la pregunta. 60 MATEMÁTICAS Multiplicación de Números Enteros Para comprender la multiplicación de enteros, observe los planteamientos que se presentan y reflexione las respuestas de cada pregunta. a) (+3 ) + ( +3 ) + ( +3) + ( +3) = +12 ¿Cuántas veces se repite el +3 como sumando? Por lo tanto: R/ 4 veces. (+3 ) + ( +3 ) + ( +3) + ( +3) = ( 4 ) ( +3 ) = +12. b) ( –2 ) + ( –2 ) + ( –2 ) = –6 ¿Cuántas veces se repite el - 2 como sumando? Por lo tanto: R/ 3 veces. ( –2 ) + ( –2 ) + ( –2 )= ( 3 ) ( –2 ) = –6 Las adiciones de sumandos iguales se convierten en una multiplicación de dos números: el sumando por el número de veces que se repite él mismo. Dados dos números a, b Є Z, se llamara producto de ambos y se representa por (a)(b) ó ab ó a∙b, a un número c, también entero, tal que c = (a)(b). En la multiplicación a se llama Multiplicando, b se llama Multiplicando y c se llama Producto. También a y b son llamados factores de c. El producto de dos enteros es la multiplicación de los valores absolutos de los factores y es: a) Positivo , si ambos factores son positivos o ambos son negativos. b) Negativo , si ambos factores tienen signos diferentes. 61 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplos de multiplicación de números enteros 1) Efectuar: (+5) (+30) = Solución: (+5) (+30) = + … ambos factores son positivos. (+5) (+30) = +150 2)Efectuar: (–2 ) ( –4 ) = Solución: (–2 ) ( –4 ) = + … ambos factores son positivos. (–2 ) ( –4 ) = +8 3) Efectuar: (10 ) ( -8 ) = Solución: (10) (–8) = – (10) (–8) = – 80 … los factores tiene signos diferentes. 4) Efectuar: (–3 ) ( +12 ) = Solución: ( –3 ) ( +12 ) = – … los factores tiene signos diferente. (–3 ) ( +12 ) = –36 5) Efectuar: (–3 ) ( –5 ) ( –2 ) = Solución: La multiplicación es una operación binaria, es decir se efectúa entre dos números. Cuando se multiplican más de dos factores, esta se desarrolla de la siguiente manera: 62 MATEMÁTICAS ( –3 ) ( –5 ) ( –2 ) = ( –3 ) ( –5 ) = + 15 … los primeros dos factores tiene signos negativos. ( +15 ) ( –2 ) = –30 … se multiplica el producto de los dos primeros factores por el tercer factor, tienen signos contrarios. ( –3 ) ( –5 ) ( –2 ) = –30 Cuando una multiplicación tiene más de dos factores se puede efectuar tomando en cuenta las siguientes consideraciones: 1) Se multiplican los factores y si el signo negativo aparece una cantidad impar, el producto es negativo. Ejemplo: (–1)(3)(–2)(–2) = –12 2) Se multiplican los factores y si el signo negativo aparece una cantidad par, el producto es positivo. Ejemplo: (–2)(–3)(–1)(2)(–2) = 24 De la regla anterior se desprende de la “ley de los signos para la multiplicación” la que afirma que el producto de signos iguales da positivo y el de signos diferentes da negativo, es decir: (+)(+) = + ( +)() = + (+)(-) = (-)(+)= - Si el signo -, aparece una cantidad par de veces el resultado es positivo (+). (-5)(-2)(-3)(-) = +30 Si el signo -, aparece una cantidad impar de veces el resultado es negativo (-). (4)(-2)(1)(3) = -40 63 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Propiedades de la multiplicación en los números enteros. PROPIEDAD CONMUTATIVA. si a,b ∈ Z entonces ab=ba Esta propiedad afirma que: el orden en que se multipliquen los factores no altera el producto. Ejemplo: Verificar la Propiedad Conmutativa, si a= 2, b= –3. Verificación: ab = ba (2) ( –3 ) = ( –3 ) ( 2 ) –6 = –6 …se cumple la Propiedad Conmutativa. PROPIEDAD ASOCIATIVA. si a,b,c ∈ Z entonces a(bc)=(ab) c Esta propiedad afirma que: el orden en que se asocien los factores, no altera el producto. Ejemplo: Verificar la Propiedad Asociativa, si a= 2, b= 5, c= 6. Verificación: a ( bc ) = ( ab ) c 2 ( 5x6 ) = ( 2x5 ) 6 2x 30 = 10x6 60 = 60 … se cumple la Propiedad Asociativa PROPIEDAD DISTRIBUTIVA si a,b,c ∈ Z entonces a(b + c)=ab + ac Esta propiedad combina la multiplicación de números enteros con la adición y/o la sustracción. Ejemplo: Verificar la Propiedad Distributiva con respecto a la sustracción, si a= –3, b= 5, c= 1. 64 MATEMÁTICAS Verificación: a ( b+c ) = ab + ac –3 ( 5+1 ) = ( –3) (5 ) + (–3 ) ( 1 ) –3 ( 6 ) = –15 + ( -3 ) –18 = –18 … se cumple la P. Distributiva con respecto a la adición. Ejemplo: Verificar la Propiedad Distributiva con respecto a la adición, si a= –3, b= 5, c= 1. Verificación: a ( b - c ) = ab - ac –3 ( 5 – 1 ) = ( –3) (5 ) – (–3 ) ( 1 ) –3 ( 4 ) = –15 – ( –3 ) –12 = –12 … se cumple la Propiedad Distributiva con respecto a la sustracción. 65 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicio 5 Secuencia 2 bloque I 1. Efectúe las siguientes multiplicaciones: a) 3 ( –9 ) = b) –9 ( –4 ) = c) 12 ( +5 ) = d) –6 ( –10 ) = e) 3 ( 0 ) = f) –2 ( –2 ) = g) ( +3 ) ( –9 ) ( –1 )= h) ( –5 ) ( –2 ) ( –4 )= i) ( +2 ) ( +3 ) ( 0 )= j) ( +4 ) ( –9 ) (–10 ) = k) ( –1 ) ( –1 ) (–1 ) ( –1 )= l) ( –4 ) ( –5 ) (+10 ) ( –2 ) = a) a = 1, b = 2, c = 3 b) a = -3, b = 10, c = 5 c) a = –1, b = –2, c = –3 d) a = –80, b = 12, c = –20 2. Verificar si la propiedad Asociativa de la Multiplicación y la Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto de la Adición y Sustracción se cumple con los siguientes valores: División de números enteros Para comprender el concepto de división de números enteros, observe los planteamientos que se presentan y reflexione las respuestas de cada pregunta: 1. Calcule las siguientes multiplicaciones: a) ( –3 ) ( –5 ) = + 15 …los factores tiene signos negativos. ( +15 ) ÷ ( –3 ) = –5 porque ( –3 ) ( –5 ) = + 15 Así tenemos que: b) (+2) (-8 ) = –16 ( –16 ) ÷ ( +2 ) = –8 … los factores tiene signos contrarios. porque (+2) (–8 ) = –16 La división es la operación inversa de la multiplicación. 66 MATEMÁTICAS Definición de división de números enteros Dados los números a, b, c Є Z, b≠ 0, se llamará cociente entre ambos y se representa por a ÷ b, 𝒂𝒂 𝒂𝒂 , �𝒃𝒃 a un número c, también entero, tal que a ÷ b = c, si a = bc 𝒃𝒃 En la división exacta a se llama Dividendo, b se llama divisor y c se llama Cociente. El cociente de dos enteros es la división de los valores absolutos del dividendo por el divisor y es: a) Positivo , si el dividendo y el divisor son positivos o ambos son negativos. b) Negativo , si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes. Ejemplos de división de números enteros 1) Efectuar: (+30) ÷ (+5 ) = Solución: (+30 ) ÷ (+5 ) = + … ambos términos son positivos. (+30) ÷ (+5) = +6 2) Efectuar: (–8 ) ÷ ( –4 ) = Solución: (–8 ) ÷ ( –4 ) = + … ambos términos son negativos. (–8 ) ÷ ( –4 ) = +2 67 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 3) Efectuar: (10 ) ÷ ( -2 ) = Solución: ( 10 ) ÷ ( –2 )= – ( 10 ) ÷ ( –2 ) = –5 … los términos tiene signos diferentes. 4) Efectuar: (–36 ) ÷ ( +12 ) = Solución: ( –36 ) ÷ ( +12 ) = – … los términos tiene signos diferentes. (–36 ) ÷ ( +12 ) = –3 De la regla anterior se desprende la “ley de los signos para la División”, la que afirma que el cociente de los signos iguales da positivo y el de signos diferentes da negativo, es decir: (+) ÷ (+) = + (-) ÷ (-) = + (+) ÷ (-) = - 68 MATEMÁTICAS Ejercicio 6 Secuencia 2 bloque I 1. Efectúe las siguientes divisiones exactas: a) ( +30 )÷ ( –10 ) = b) ( –9 ) ÷ ( –3 ) = c) ( +120 ) ÷ ( +30 ) = d) ( –60 ) ÷ ( –5 ) = e) ( +3 ) ÷ ( 0 ) = f) ( –2 ) ÷ ( –2 ) = g) ( +125 )÷ ( –5 ) = h) ( –360 ) ÷ ( –30 ) = i) ( +1200 ) ÷ ( +40 ) = j) ( –17,586 ) ÷ ( –31 ) = k) ( 0 ) ÷ ( –16 ) = l) ( –100 ) ÷ ( +100 ) = Programa de Televisión 2 Secuencia 2 bloque I Observe el programa de televisión denominado Enteros Aplicados y luego resuelva los problemas de razonamiento de adición y sustracción de enteros que indique su profesor (a). Ejercicio 7 Secuencia 2 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, y después puede comparar las respuestas con sus compañeros(as). En las diferentes sesiones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1. De cada una de las afirmaciones siguientes, diga si es verdadera o falsa. De ser falsa justifique su respuesta: a) El producto de dos enteros negativos es positivo. 69 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 2. b) c) d) e) f) g) b) Números enteros con signos iguales se suman sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del mayor. c) El producto de dos enteros negativos es negativo. d) El cociente de dos enteros negativos es positivo. e) El producto de un entero positivo y un entero negativo es un entero negativo. f) Números enteros con signos diferentes se restan sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del mayor. Diga la respuesta de cada una de las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el número que sumado con 5 me da –1? ¿Cuál es el número que sumado con –4 me da 0? ¿Cuál es el número que restado con 5 me da –8? ¿Cuál es el número que restado con 5 me da 1? ¿Cuál es el número que multiplicado con 5 me da –10? ¿Cuál es el número que multiplicado con 4 me da 0? ¿Cuál es el número que dividido con –10 me da 1? 3. Piense y luego conteste cada pregunta. a) Se pueden agrupar los sumandos sin que la suma varíe. ¿Cómo se llama esta propiedad? b) El cambio del orden de los factores no altera el producto. ¿Cómo se llama esta propiedad? c) Se sabe que (–2) ∙ a = –2. ¿Qué número entero es a? EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Dibuje en su cuaderno y complete la siguiente tabla de sumar: 70 MATEMÁTICAS 2. Efectúe las siguientes operaciones: a) (–6 ) + (–9 ) + ( –14 ) = b) –20 – 47 – 72= c) 50 –88 + 90 –70= d) ( –14 ) ( –10 ) = e) ( +342 ) ( 0 ) = f) ( –789) ( –2 ) = g) ( +1 ) ( –1 ) ( –1 )= h) ( –12 ) ( –2 ) ( –2 )= i) ( +144 )÷ ( –12 ) = j) ( –625 ) ÷ ( –5 ) = k) ( +1200) ÷ ( +40 ) = l) ( +10 ) + ( +20 ) + ( + 30 ) = 1. Al encender un fogón, la temperatura asciende 5 °C cada 5 minutos. Si se enciende a las 10 de la mañana y la temperatura ambiental es de 20 °C. a. ¿A qué hora alcanza los 50 °C? b. ¿A qué temperatura se encontrará el fogón después de tenerlo encendido una hora? 2. Al conectar un refrigerador, la temperatura desciende 5°C cada 5 minutos. Si se enciende a las 10 de la mañana y la temperatura ambiental es de 20 °C. a. ¿A qué hora alcanza los – 5 °C? b. ¿A qué temperatura se encontrará el refrigerador después de tenerlo conectado una hora? 3. Un bus de la ruta inter-urbana Ocotepeque – Tegucigalpa viaja a una velocidad de 80 km por hora ¿Qué distancia habrá recorrido en 6 horas? 4. Cuatro amigos compran un uniforme deportivo por un valor de Lps. 24,604 y deciden pagarlo en partes iguales ¿Cuánto debe pagar cada uno? 71 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 72 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 3 ENTRE ENTEROS ¡Felicidades! hasta aquí profundizó en el estudio de las cuatro operaciones fundamentales con los enteros y algunas de sus propiedades, ahora es necesario conocer otras operaciones que se realizan con estos números para resolver algunos problemas de nuestra vida habitual. En esta secuencia de aprendizaje recordaremos operaciones que aplicamos con los naturales, como la potenciación y la raíz cúbica, además algunas características de los naturales que también mantienen los números enteros, como los criterios de divisibilidad, el mínimo común múltiplo y máximo común divisor, propiedades que le prestarán un valioso auxilio en sus actividades cotidianas. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia de aprendizaje se espera que los estudiantes: 1. Dominen las operaciones básicas con números enteros para resolver problemas de la vida real. Potenciación con Números Naturales La potenciación es el producto de números iguales, sus elementos son : Base: Es el número que se multiplica por si mismo. Exponente: Es el que indica cuantas veces se multiplica la base. Base 2³=2x2x2=8 3²=3x3=9 2³ Exponente RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO NATURAL La raíz cuadrada de un número natural a es un número b , tal que multiplicado por si mismo dos veces es b x b es igual a a 73 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo: √9=3, porque 3 x 3=9 √16=4,porque 4 x 4=16 LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DOS O MÁS NÚMEROS ENTEROS La adición o sustracción de dos o más números enteros dependerá de los signos que tengan y en este sentido pueden ocurrir dos situaciones: 1) Si los números enteros son del mismo signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y al resultado se le escribe el signo de los sumandos. Dos ejemplo para observar este procedimiento: a) Efectuar: 45 + 16 + 123 + 1 Solución: 45 + 16 + 123 + 1 = + ( 45 + 16 + 123 + 1) = +(185) + 45 + 16 + 123 + 1 + 185 b) Efectuar: –10 – 234 – 16 – 2 Solución: –10 – 234 – 16 – 2 = – (+10 + 234 + 16 + 2) = –262. – 10 – 234 – 16 – 2 – 262 2) Si los números enteros son de signos contrarios, se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto. Dos ejemplo para observar este procedimiento: 6) Efectuar: (+45) + (–30) Solución: Son signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números. (+45) + (–30) = │+45│ – │–30│= 45 – 30 = 15 74 MATEMÁTICAS El signo del resultado es positivo (+), porque │+45│ >│–30│ y 45 tiene signo +. Entonces: (+45) + (–30) = 15 7) Efectuar: (+15) + (–25) Solución: Son signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números. (+15) + (–25) = │+15│ – │–25│= 25 – 15 = 10 El signo del resultado es positivo (–), porque │-25│ >│+15│ y 25 tiene signo – Entonces: (+15) + (–25) = –10 Ejercicios 1 Secuencia 3 bloque I Efectuar: 1) 7 + 15 – 18 – 3 = 3) –21 + 45 – 20 = 5) 9 + 20 + 3 –24 = Calcule las siguientes raíces: 2) –18 + 32 – 14 = 4) 23 – 15 – 10 = 6) –16 + 20 – 8 + 2 = √64 = √100 = √144 = √81= Desarrolle: 6³= 10 ² = Conteste las siguientes interrogantes: ¿Hay algún número que multiplicado por si mismo dos veces da –9? Piense y justifique su respuesta. ¿Hay algún número que multiplicado por si mismo tres veces da –8? Piense y justifique su respuesta. ¿Cuáles son los números primos entre 1 y 20? ¿Cuáles son los números compuestos entre 20 y 30? 75 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Programa de Televisión 1 Secuencia 3 bloque I Observe el programa de televisión denominado: Polinomios aritmético, el cual presenta la historia del origen de los números enteros y la solución de los polinomios aritméticos. Polinomios aritméticos Un Polinomio aritmético es la combinación de adiciones y sustracciones con números enteros en un mismo problema. Ejemplo1: Resolver las siguientes adiciones y sustracciones simplificando la escritura. (+7) + (–3) – (+8) – (–5) Solución: Primero: las sustracciones se convierten en adiciones sumando el opuesto. (+7) + (–3) + (–8) + (+5) Segundo: se eliminan los signos de sumar (los signos + entre los paréntesis) y también los paréntesis. Si el primer sumando es positivo se escribe sin signo. 7–3–8+5 Tercero: Se suman los números que llevan signo +: 7 + 5 = + 12 Se suman los números que llevan signo - : –3 – 8 = –11 Se resta el segundo resultado del primero: + 12 – 11 = +1. Por lo tanto: (+7) + (–3) – (+8) – (–5) = +1 76 MATEMÁTICAS Ejercicios 2 Secuencia 3 bloque I Resolver las siguientes adiciones y sustracciones simplificando la escritura: a) (2) + (–4) – (–3) – (–5) b) (–7) – (–5) – (6) – (–1) c) –(–4) + (–4) – (–4) – (–4) d) 5 + (–3) – (–10) – 4 e) (–40) – (–90) – (–60) – (–50) f) –(–1) + (–2) – (+8) – (–5) – (–6) + (–3) = Programa de Televisión 2 Secuencia 3 bloque I Observe el programa de televisión denominado Primos Enteros, en el presenta la clasificación de los números enteros (primos, compuestos, perfectos, amigos), asi mismo los múltiplos y divisores de cualquier número. Múltiplos y divisores de un número entero Múltiplo de un número entero es el número que contiene a éste un número exacto de veces. Así, 14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene a 2 siete veces; -20 es múltiplo de 5 porque contiene a 5 cuatro veces. Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie infinita de números enteros: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…; luego todo número entero tiene infinitos múltiplos. Ejemplo: La serie infinita de múltiplos de 5 es: … –3x5= –15 –2x5= –10 –1x5= –5 0x5= 0 1x5= 5 2x5= 10 3x5=15… 77 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Observe que en el ejemplo anterior –15 y 15 son múltiplos de 5, –10 y 10 son múltiplos de 5, –5 y 5 son múltiplos de 5 y 0 también es múltiplo de 5, lo que nos indica que existe infinitas parejas de múltiplos de un número entero que son simétricos u opuestos. Para facilitar el cálculo del conjunto de múltiplos de un número multiplique dicho número por la serie infinita de Números Naturales 0, 1, 2, 3…; y le agrega su simétrico u opuesto. Notación Para indicar el conjunto de múltiplos de un número entero se utilizará M(n) = { }, entonces los múltiplos de 5 se escribe M(5) = { …–15, –10, –5, 0, 5, 10, 15…} ó M(5) = { 0, ±1, ±2, ±3…}. 1. El conjunto de múltiplos de un número entero es infinito. 2. El 0 es múltiplo de todo número natural. DIVISORES DE UN NÚMERO ENTERO Divisor de un número entero es el número que esta contenido en ese número, una cantidad exacta de veces. Así 4 es divisor de 24 porque está contenido en 24 seis veces, 2 es divisor de 10 porque está contenido en 10 cinco veces. Los divisores de un número se forman dividiendo este número entre cada uno de los números que están entre 1 y él, en los casos que la división es exacta se toma como divisor el número y su simétrico u opuesto. Ejemplo: Al encontrar los divisores de 10, tomamos los números que están entre 1 y 10, así: 1, 2, 3, 4 ,5 ,6, 7, 8, 9, 10. En este caso 10 es divisible entre 1, 2, 5 y 10. Notación Para indicar el conjunto de divisores de un número entero utilizará D(n) = { }, entonces los divisores de 10 se escribe D(10) = {±1, ±2, ±5, ±10}. 1. El conjunto de divisores de un número entero es finito. 2. El 1 es divisor de todo número entero. 3. El 0 no es divisor de ningún número entero. 78 MATEMÁTICAS Ejercicios 3 Secuencia 3 bloque I Forme grupos de tres integrantes y realice los siguientes ejercicios en su cuaderno: 1. Hallar los primeros 5 múltiplos de: a) M(2) ={ c) M(0) ={ b) M(–3) ={ d) M(–1) ={ 2. Hallar todos los divisores de: a) D(–12) = { b) D(20) ={ c) D(2) = { d) D(–40) ={ 3. Conteste a) ¿Cuántos divisores tiene un número primo? b) ¿Cuántos múltiplos tiene un número entero? c) ¿Cuál es el menor múltiplo de un número entero? d) Si un número es múltiplo de otro, ¿Qué es este del primero? e) ¿Cuál es el residuo de dividir un número entre uno de sus divisores? Criterios de divisibilidad para números enteros Si se necesita conocer si un número es divisible por otro, no siempre es necesario realizar la división para saber si el cociente es exacto, pues se conocen ciertas características que poseen los números enteros para ser múltiplos de otros determinados. Al conjunto de condiciones que debe cumplir un número cualquiera para ser divisible por otro determinado, se le llama criterio de divisibilidad por este número entero. A continuación se enuncian los criterios de divisibilidad más empleados: Divisibilidad por 2 Un número entero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Ejemplo: a) 40 es divisible por 2 porque termina en 0, entonces 40 ÷ 2 = 20. b)–18 es divisible por 2 porque termina en cifra 8,entonces –18 ÷ 2 = –9. Divisibilidad por 3 Un número entero es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras 79 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado es igual a un múltiplo de 3. Ejemplo: a) 27 es divisible por 3 porque |2|+|7| = 2 + 7 = 9 y es múltiplo de 3; entonces 27 ÷ 3 = 9. b) –18 es divisible por 3 porque |–1| + |8|= 1 + 8 = 9 y es múltiplo de 3; entonces –18÷ 3 = –6 Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, si las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. Ejemplo: a) 40 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras (40) son múltiplos de 4; entonces 40 ÷ 4 = 10. b) –100 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras (00) son ceros ; entonces –100 ÷ 4 = –25. Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco. Ejemplo: a) –95 es divisible por 5 porque termina en 5; entonces –95 ÷ 5 = –19. b) –50 es divisible por 5 porque termina en 0; entonces –50 ÷ 5 = –10. Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 simultáneamente. Ejemplo: a) 60 es divisible por 2 porque termina en 0 y es divisible por 3 porque |6|+|0| = 6 + 0 = 6 y seis es múltiplo de 3. Por lo tanto 60 es divisible por 6, es decir, 60÷ 6 = 10 b) –180 es divisible por 2 porque termina en cifra 0 y es divisible por 3 porque |–1| + |8| + |0|= 1 + 8 +0= 9 y nueve es múltiplo de 3. Por lo tanto –180 es divisible por 6, es decir, –180÷ 6 = –30 Divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Ejemplo: a) 343 34′ 3x2=6 34 – 6 28 1) Se separa la última cifra de la derecha y se multiplica por 2 2) Se resta este producto de lo que quedó a la izquierda, que es 28 y este es múltiplo de 7. 80 MATEMÁTICAS Ahora bien 343 es divisible por 7, entonces 343 ÷ 7 = 49. b) 2,058 por 2 205′ 8x2=16 1) Se separa la última cifra de la derecha y se multiplica 205 – 16 2) Se resta este producto de lo que quedó a la izquierda y se 18′ 9X2=18 repite el paso 1 Y 2 hasta que lo que queda a la izquierda – 18 es 0. 0 Ahora bien 2,058 es divisible por 7, entonces 2,058 ÷ 7 = 294. Divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10 cuando termina en cero. Ejemplo: a) 700 es divisible por 10 porque termina en 0; entonces 700 ÷ 10 = 70. b) –80 es divisible por 10 porque termina en 0; entonces –80 ÷ 10 = –8. Ejercicios 4 Secuencia 3 bloque I Forme pareja con su compañero de al lado, copie y conteste cada pregunta en su cuaderno: 1) Encierre los números que son divisibles por el número indicado a la izquierda de cada inciso. a) Dos: b) Tres: c) Cinco: d) Siete: 101230411500836110 236111850531720435 555400502970675720 140536175736252609 2) Escriba cinco números de tres cifras que sean divisibles por: a) b) c) d) e) f) g) Cuatro: Seis: Diez: Tres: Dos: Siete: Cinco: 81 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Potenciación con números enteros Observe el siguiente producto: ( –4 )( –4 )( –4 ) = ( –64) El factor -4 se repite tres veces. El factor que se repite se denomina base( –4 ), el número de veces que se repite se denomina exponente (3) y el resultado se llama potencia ( –64). exponente ( -4 )³ = -64 potencia base Observe las siguientes potencias: a) b) c) d) (+3)² = (+3)(+3) = +9 (–1)² = (–1)(–1) = +1 (+2)³ = (+2)(+2)(+2) = +8 (–4)³ = (–4)(–4)(–4) = –64 1. Si la base es positiva, sea el exponente par o impar: la potencia positiva. 2. Si la base es negativa y el exponente par: la potencia es positiva. 3. Si la base es negativa y el exponente impar: la potencia es negativa. 4. -3²≠ (-3)², porque -3²= -(3)(3) = -9 y (-3)²= (-3)(-3) = +9 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Recuerde las propiedades que estudió con los Números Naturales: Multiplicación de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. División de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base se copia la base y se restan los exponentes. 82 MATEMÁTICAS Potencia de potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes. Estas propiedades son aplicables también a los números enteros, pero debe tener en cuenta que con los números enteros, los exponentes pueden ser negativos. Ejemplos: Exprese en una sola potencia. a) … los exponentes tienen signos iguales. b) …los exponentes tienen signos contrarios. c) …los exponentes tienen signos iguales. d) …los exponentes tienen signos iguales. e) … los exponentes tienen signos iguales. f) g) h) Reglas de la potenciación de números enteros. 1. Todo número entero, excepto cero, con exponente cero es igual a uno, es decir, 0 Si a ∈ Ζ , a = 1 , a ‡ 0 2. Todo número entero con exponente uno es igual al mismo número, es decir, 1 Si a ∈ Ζ, a = a . 3. El cero con cualquier exponente entero positivo es igual a cero. Es decir, n Si 0 = 0 83 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 5 Secuencia 3 bloque I 1. Efectúe las siguientes potencia: a) 8 = b) (−3) = 2 4 c) (−5) = 0 d) (−2) = e) = f) = g) h) 51 3 2. Exprese en una sola potencia. 84 MATEMÁTICAS Radicación en los enteros Con los Números Naturales estudió ampliamente la raíz cuadrada. Recuerde: √(16 )=porque 4×4=16 √(64 )=porque 8×8=64 (-4)(-4) = 16 Por lo tanto la raíz cuadrada de números enteros negativos no está definida en los enteros. Definición de Raíz cuadrada Ejemplo: Calcule las siguientes raíces: 85 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Propiedades de la radicación en ᵶ • La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de los factores, es decir: n a ⋅b = n a ⋅ n b Ejemplo: • La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas de cada uno de los factores, es decir: Ejemplo: • La raíz enésima de una potencia es igual a la potencia de la raíz, es decir: Ejemplo: 86 MATEMÁTICAS Ejercicios 6 Secuencia 3 Bloque I Desarrolle los siguientes ejercicios. a) ¿Existen en Z?, ¿Por qué? b) Calcule las siguientes raíces: a) b) c) d) e) c) Calcule las siguientes raíces aplicando sus propiedades i. ii. iii. 87 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 7 Secuencia 3 Bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su profesor (a), comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes sesiones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1. Diga si cada una de las afirmaciones siguientes es verdadera o falsa. De ser falsa justifique su respuesta. a) Un número puede ser múltiplo de 9 y no de 3___________________________( ) b) Todos los números enteros son múltiplos de 1__________________________ ( ) c) Un número es divisible por otro si la división entre ellos es exacta__________ ( ) d) es igual a 3________________________________________________ ( ) e) es igual a -1_______________________________________________ ( f) Todo número con exponente cero es igual a él mismo ____________________( g) La no existe en los números enteros____________________________( h) 111 es divisible por 3 ______________________________________________( EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Encuentre 5 múltiplos enteros de cada número dado: a) 6 b) 3 c) 100 d) 1 2. 3. Encuentre todos los divisores enteros de: a)–12 b) 13 c) –8 d) 20 Encuentre las siguientes potencias: a) = b) = c) = 88 ) ) ) ) MATEMÁTICAS d) e) f) g) = = = = 4. Encuentre las siguientes raíces: a) = b) = c) = d) = e) = f) 5. Calcule las siguientes raíces aplicando sus propiedades. a) b) c) 6. Exprese en una sola potencia. a) b) c) d) e) f) g) h) 89 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 90 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 4 Bloque I COMBINADO ES MEJOR La resolución continua de problemas adaptados a las actividades cotidianas inculca en las mentes hábitos de lógica y estimula en alto grado las energías intelectuales, de este modo se adquiere maestría en los problemas de la vida, al mismo tiempo que se obtiene una mejor disciplina mental, constituyendo este proceso el medio más corto y seguro de aprender Aritmética. Es por esa razón que, en esta secuencia de aprendizaje se integrarán los conceptos estudiados en las secuencias anteriores, en cuanto a las operaciones con enteros y sus propiedades, además se ampliará este espacio de operaciones individuales al universo de las operaciones combinadas y la correcta utilización de los signos de agrupación. Resultados del aprendizaje Al final de la secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Resuelvan problemas de la vida real que implican números enteros. Los números negativos Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos y la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V en oriente, y no llegan hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números positivos y negativos, pero sólo se utilizaban los ábacos para diferenciarlos usando tablillas o bolas de diferentes colores, negras para los negativos y rojas para los positivos. Corresponde a los hindúes la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye con la presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas. Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado. 91 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado La notación muy difundida para los números positivos y negativos en cuanto a la difusión de los símbolos germánicos (+) y (–), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos. Los matemáticos, vistos en la imposibilidad de realizar en general, la operación de resta con los Números Naturales crean otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los Números Naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteros. Los números enteros son una extensión del conjunto de Números Naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los Números Naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales. Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y divididos, dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los Números Naturales es la posibilidad de resolver restas del tipo: 3 –5 El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahlen que significa número). Ejercicios 1 Secuencia 4 Bloque I Si lo necesita, retome las secuencias anteriores para efectuar las siguientes operaciones: a) (–8 ) + (+ 6 ) = b) (+2 ) + ( –3 ) = c) ( –1 ) + ( +1) = d) (–10) + (+20 ) = e) (+20 ) + ( –20 ) = Efectúe las siguientes multiplicaciones: a) ( +3 ) ( –9 ) ( –1 )= b) ( –5 ) ( –2 ) ( –4 )= c) ( +2 ) ( +3 ) ( 0 )= d) ( +4 ) ( –9 ) ( –10 ) = e) ( –1 ) ( –1 ) ( –1 ) ( –1 )= Efectúe las siguientes divisiones: a) ( +30 )÷ ( –10 ) = b) ( –9 ) ÷ ( –3 ) = c) ( +120 ) ÷ ( +30 ) = 92 MATEMÁTICAS d) ( –60 ) ÷ ( –5 ) = e) ( +3 ) ÷ ( 0 ) = Desarrollar las siguientes potencias: a) = b) = c) = Calcule las siguientes raíces a) b) c) d) e) Programa de Televisión 1 Secuencia 4 bloque I Observe el programa de televisión: Prioriza, en este se presentará el orden en el cual se deben desarrollar las operaciones combinadas con los números enteros. Operaciones combinadas Con el fin de evitar ambigüedades se establece el siguiente orden para realizar las operaciones combinadas con números enteros: 1° Se desarrollan las potencias y se calculan las raíces. 2° Se realizan las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha. 3° Se realizan las sumas y restas. 93 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado a.Resolver 20 ÷ ( –4 )( 5 ) + ( –2 )²( 3 )( –2 ) 20 ÷ ( –4 )( 5 ) + ( +4 )( 3 )( –2 ) …………… Primero potencias, (–5 )( 5 ) + ( +12 )( –2 ) ( –25) + ( –24 ) .....Segundo multiplicaciones o divisiones primera de izquierda a derecha, –25 – 24……………………………. Simplificando signos, –49 …………………..……….. Sumas o restas. b.Resolver ( –1 ) ÷ ( 1 ) – ( –2 )( 5 ) + ( –10 )( –1) +1 ÷ 1 – ( –2 )( 5 ) + ( –10 )( –1) ……….Primero potencias. 1 – ( –10 ) + ( +10 ) ............................ Segundo multiplicaciones o divisiones primera de izquierda a derecha, 1 + 10 + 10 ………………............….........Simplificando signos, + 21 ………………………………….......... Sumas o restas Ejercicios 2 Secuencia 4 Bloque I Realice los siguientes ejercicios. a) 5² - 16 ÷ 2³ x 2 + 2² ÷ 2 x 10 - 4² b) – 18 +( 3³)(2²)(8) ÷ 12 – 16 ( –4 )² –20 c) 5² x 3 - 8² x 12 ÷ 10 – 5 x 3³ – 10 d) ( –2) ( –1 ) ÷ ( 1 ) – ( –2 )²( 5 ) e) 10 ÷ ( –2)( 5 ) + ( –2 )²( –3 )( –2 ) f) ( –3 )³ + 5² – 16 ÷ 2³ x 2 + 4² ÷ 2 x 10 –4² Signos de agrupación ( ), [ ], { } ( ) paréntesis [ ] Corchetes { } llaves 94 MATEMÁTICAS Para la supresión o eliminación de un signo de agrupación se hace comenzando por el más interno en el conjunto de signos, esto tomando en cuenta los siguientes elementos: a) Para extraer cantidades encerradas en cualquier signo de agrupación, precedidas del signo positivo o negativo, se realizan las operaciones indicadas dentro del signo de agrupación y se reduce a un solo número, utilizando las “leyes de los signos para multiplicación” se suprime el signo de agrupación. i. ii. –3 + ( 2 x 3 – 7) –3 + ( 6 – 7 ) –3 + ( –1 ) –3 – 1 –4 –3 + [ 2 x3 – 7] –3 + [ 6 – 7 ] –3 + [–1 ] –3 – 1 –4 ………efectuando primero la multiplicación en los paréntesis, …………………efectuando la sustracción, …………………reduciendo a un solo signo, …………………efectuando la adición. ……… efectuando primero la multiplicación en los corchetes, …………………efectuando la sustracción, ………………… ¿Qué se hizo? ………………… ¿Qué se hizo? iii. –3 + { 2 x3 – 7} 3 + { 2 x3 – 7} –3 + { 6 – 7 } –3 + { -1 } –3 – 1 –4 b) Para extraer expresiones encerradas en cualquier signo de agrupación precedidos de cualquier número entero, se realizan las operaciones indicadas dentro del signo de agrupación y se multiplica dicho número entero con el resultado que quedó dentro del signo de agrupación. i. –3 ( 2 x3 – 7) –3 ( 6 – 7 ) –3 ( –1 ) +3 ii. –3 [ 2 x3 – 7] –3 [ 6 – 7 ] –3 [–1 ] +3 …………efectuando primero la multiplicación en los paréntesis, …………………efectuando la sustracción, …………………efectuando la multiplicación. ………… efectuando primero la multiplicación en los corchetes, …………………efectuando la sustracción, ………………… ¿Qué se hizo? iii. –3 { 2 x3 – 7} 3 { 2 x3 – 7} –3 { 6 – 7 } –3 { –1 } +3 95 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplos de uso de los signos de ejemplificación. Suprimir los signos de agrupación y efectuar las operaciones indicadas 5{ 2+ [6 + 7 – 8 – ( 2 – 10 ) ] – 5 } 5{ 2+ [6 + 7 – 8 – ( – 8 ) ] – 5 } ………. Se efectúa la operación del paréntesis, 5{ 2+ [6 + 7 – 8 + 8 ] – 5 } ………. se suprimen los paréntesis, 5{ 2+ [ +13 ] – 5 } ………. se efectúa la operación de los corchetes, 5{ 2 +13 –5 } ………. se suprimen los corchetes, 5{ + 10 } ………..se efectúan las operaciones de las llaves, + 50 …....…. Efectuando la multiplicacion. Ejercicios 3 Secuencia 4 Bloque I Realice los siguientes ejercicios: a) –5 + { 2 + 8 [ 10 – 2 ( 3 – 5 ) ] – 3 } b) –4 { 5 ( 2 – 3 [ 8 – 15 ] ) –2} c) 2 – 2 ( 5 – 3 [ 4 – 6 { 8 – 7 ( 2 – 3 ) + 1 } –6 ] ) d) –2 + { 2 + 2 [ 2 – 2 ( 2 – 2 ) ] –2 } e) 4 – 2 ( 3 – 2 [ 2 – 6 { 8 – 5 ( – 1 + 1 ) – 8 } – 2 ] – 3 ) – 4 f) {3-2[6(5+3(2–4)+4)–3(2(5+1)+3)]+4} g) 2 {–3 [8–(2 . 3) + (4 – 3)] + (8 . 5) – (3 + 1) + 2} h) {4–3 [5 – 6 (7 – 2)]} {8 – [2 – (6 – 3)]} Ejercicios 4 Secuencia 4 Bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su maestro(a), comparando con sus compañeros(as) las respuestas. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. 96 MATEMÁTICAS EJERCICIOS VERBALES 1. Conteste lo que se le pregunta. a. ¿En qué orden se deben desarrollar las operaciones? i. __________ ii. __________ iii. __________ b. ¿Cuál es el nombre de cada signo de agrupación? i. { } ii. ( ) iii. [ ] EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Realice las siguientes operaciones combinadas. 2. Suprimir los signos de agrupación y efectuar las operaciones indicadas. a. –10 + ( –13 + 7 – 18) b. – 4 ( 16 – 10) – ( 12 – 46 ) c. { –5 + 3 [ 2 – 4 – ( –5 – 5 ) –3 ]} d. – 4 – 4{ –4 – ( –4 [ –4 + 4 ] – 4 ) – 4 } e. 5 { 2 + [ 6 + 7 + 8 ( 2 – 10 ) ] – 5 } f. 4 – 2 ( 3 – 2 [ 2 – 6 { 8 – 5 ( –1 + 1 ) – 8 } – 2 ] – 3 ) – 4 97 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 98 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 5 Bloque I APRENDE A COMPARTIR Así como fueron creados los números negativos, para hacer posible la sustracción en los casos en que el minuendo es menor que el sustraendo, por ejemplo 2 – 5, también fue necesario crear números para interpretar la división en los casos en que el dividendo no es múltiplo del divisor. Por ejemplo: 8 ÷ 3 no existe en Z, es decir, no existe ningún número entero tal que multiplicado por tres dé por resultado ocho; para interpretar las divisiones de este tipo se crearon los números llamados Números Racionales. En esta secuencia de aprendizaje se dará inicio al estudio de los números racionales conocidos también como fracciones, así como su representación, simplificación y relaciones de orden. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los estudiantes : 1. Identifiquen números racionales en problemas de la vida real y usan las operaciones básicas para resolverlos. 99 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Las fracciones Imagine esta situación Oscar tiene 8 confites y los quiere repartir entre 4 amigos que invitó a su casa, ¿Cuántos confites tendría que darle a cada amigo? 8 confites 4 amigos 8÷4=2 R/ Le daría 2 confites a cada uno. Si en vez de los cuatro amigos invitados sólo llegarán 3, ¿Cuántos confites tendría que darle a cada amigo que llegó? 8 confites 3 amigos 8 ÷ 3 =? R/ la división de 8 entre 3 no está definida en los números enteros. Para solventar este tipo de situaciones se crearon los números racionales o fracciones, por ejemplo: un pastel se representa con el número 1 Si se divide en dos partes ¿Con qué número se representa cada parte? 100 MATEMÁTICAS 1 1 Las partes del pastel se representan con los siguientes números: 2 ó 2 , que no son más que partes o fracciones de números enteros. El número de abajo se llama denominador e indica las veces en que se divide la unidad (en este caso se dividió al pastel en dos) y el número de arriba numerador le indica las veces que se toman la unidad dividida (en este caso se tomó una parte del pastel). INTERPRETACIÓN DE UNA FRACCIÓN a En general, el número racional b significa que la unidad se ha dividido en b partes iguales y se a tomado a de esas partes. Por ejemplo: dibujar un diagrama que represente a cada fracción. a) 2 3 Representa las dos terceras partes de un entero, es decir, se divide un entero en 3 partes iguales y de esas partes tomamos 2 b) 3 5 Se representa por: 101 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado c) 3 2 En este caso 3 es mayor que 2, lo que indica que se ha tomado más de una unidad, es decir una unidad entera y la mitad de la otra. Toda fracción impropia es mayor que la unidad, por esa razón al representarla con un diagrama se hace uso de dos o más figuras. LECTURA DE LOS NÚMEROS RACIONALES Para leer un número racional se lee primero el numerador y a continuación el denominador seguido de la terminación avo, si el denominador es mayor que 10; si el denominador es menor que 10 entonces se lee el numerador seguido de la palabra medios si el denominador es 2, tercios si este es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5, sextos si es 6, Séptimo si es 7, octavo si es 8, noveno si es 9 y décimos si es 10. Ejemplo: a) se lee tres quintos. b) se lee un noveno. c) se lee nueve décimos. d) se lee cuatro doceavos. 102 MATEMÁTICAS Ejercicios 1 Secuencia 5 bloque I Con base en la lectura anterior comente con sus compañeros(as). a) ¿Qué indica el numerador en una fracción? b) ¿Qué indica el denominador de una fracción? c) ¿Cómo se lee una fracción cuando el denominador es mayor que 10? Escriba como se lee cada fracción: a) b) c) d) Escriba con números cada fracción: a) Un Séptimo____ b) Cuatro cuartos____ c) Cinco treceavos____ d) Diez onceavos____ Dibuje un diagrama que represente a cada fracción: 1 = a) 3 3 b) 8 = 4 c) 3 = 5 d) 5 = 5 e) 4 = 103 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Programa de Televisión 1 Secuencia 5 bloque I Observe el programa de televisión Reparte por igual, en el cual se presenta el conjunto de los números racionales y su aplicación en la vida cotidiana. El conjunto de los números racionales Es el conjunto de las expresiones de la forma, donde a y b son números enteros y b es distinto de cero, los Números Racionales se representan con la letra Q. En símbolos: Q = { a b En la expresión } : a se llama numerador (indica las partes que se han tomado de la unidad principal). b se llama denominador (indica las partes en que se ha dividido la unidad principal). Las fracciones están formadas por números enteros, por consiguiente estas pueden ser: positivas o negativas, además de propias o impropias. a) Una fracción Ejemplos: +a −a ó +b −b 3 −5 , 4 −6 b) Una fracción Ejemplos: es positiva, si es de la forma −a +a a a , , b ≠ 0 es negativa, si es de la forma ó− +b −b b b −3 5 1 , ,− 4 −6 2 c) Una fracción a , b ≠ 0 es propia, si el numerador es menor que el denominador, es decir, b 104 MATEMÁTICAS |a| < |b|. Ejemplos: a d) Una fracción , b ≠ 0 es impropia, si el numerador es mayor que el denominador, es decir b |a| > |b|. Ejemplos: 7 −9 , 4 5 Toda fracción impropia se puede escribir como una parte entera y una parte fraccionaria, expresión que se le conoce con el nombre de Número Mixto o Fracción Mixta. Ejemplo: 1 9 =2 4 4 Números Mixtos: • Un número mixto es una expresión que se compone de una parte entera y una parte fraccionaria. Es una forma abreviada de escribir una suma de un entero con una fracción propia omitiendo el signo de suma (+) que separa ambos componentes. Numerador de la Fracción Denominador de la Fracción Ejemplo: Parte Entera • Un número mixto se puede expresar como una fracción impropia y una fracción impropia se puede expresar como un número mixto. Conversiones: Para convertir un número mixto a fracción impropia, se multiplica la parte entera por el denominador de la fracción propia y a ese resultado se le suma el numerador de la fracción propia para formar el numerador de la fracción impropia. Por su parte, el denominador de la fracción impropia será el mismo denominador de la fracción propia. Es decir, el numerador y el denominador de la fracción impropia resultante se consiguen como se indica a continuación: Ejemplos: Convertir las siguientes fracciones impropias a números mixtos: a) 105 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado b) Para convertir una fracción impropia a número mixto, simplemente se lleva a cabo la división del numerador entre el denominador. Recuerde que el numerador viene siendo el dividendo y el denominador el divisor. El cociente será la parte entera; el numerador de la fracción propia corresponderá al residuo de la división y el denominador será el divisor, que viene siendo el mismo denominador de la fracción impropia. Ejemplo: Convertir las siguientes fracciones impropias a números mixtos. 1 9 a) = 2 4 4 b) porque 9 4 2 8 9 ÷ 4 = 2 , con residuo 1. porque 7 2 3 6 7÷2=3, con residuo 1. APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES Las fracciones tienen variadas aplicaciones, una de ellas es averiguar ¿Cuánto representa de una cantidad?, por ejemplo: Suyapa le regaló su hermano? de su dinero a su hermano. Si ella tenía L. 20.00 ¿Cuánto le obsequió a Una forma de saberlo es dividiendo 20 en 4 partes, es decir 20 ÷ 4 =5 y este cociente se multiplica por 3, así: 3 x 5 =15. Por lo tanto, Suyapa le regalo a su hermano L. 15.00. 106 MATEMÁTICAS Ejercicios 2 Secuencia 5 bloque I Con base en el contenido del programa de televisión y la lectura anterior haga lo siguiente: 1. Dibuje un diagrama que represente a cada fracción. a) b) c) d) 2. Convierta las siguientes fracciones impropias a fracciones mixtas: a) b) c) d) 3. Convierta las siguientes fracciones mixtas a fracciones impropias: a) b) c) d) e) 4. Hallar ¿Cuánto es?: a) 4 5 de 20 lempiras b) 3 4 de 32 metros c) 2 3 de 60 libras d) 4 7 de 42 lempiras e) 7 9 de 63 litros de agua 107 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Fracciones equivalentes Observe el diagrama de cada fracción: Observe que la parte sombreada de las tres figuras anteriores se mantiene igual, aunque estén divididas en diferentes partes, se puede afirmar entonces que estas fracciones son equivalentes, es decir que: Para determinar si dos fracciones son equivalentes, multiplíquese el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y multiplíquese el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Si ambos productos son iguales, entonces las fracciones son equivalentes. A este tipo de producto se le llama “producto cruzado” Dos números racionales esto es: Si a c y son equivalentes, si sus productos cruzados son iguales, b d a c = entonces a(d ) = b(c ) b d Ejemplos: Determinar si son o no equivalentes las siguientes fracciones. a) Solución: Si y sólo si –4( –9 ) = 3 ( 12 ) 36=36 108 MATEMÁTICAS b) Solución: si y sólo si 5( –2 ) = 4( 3 ) –10 ≠ 12 AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Las fracciones son equivalentes a , se puede ver que estas fracciones se obtienen multiplicando por un mismo número natural los términos de la fracción . Con estas fracciones se dice que se ha amplificado la fracción . Ejemplos: a) Amplificar a 4 fracciones equivalentes cualesquiera. Luego: b) Amplificar a 4 fracciones equivalentes cualesquiera. c) Luego: 1. Al amplificar una fracción cualquiera, se obtienen otras fracciones equivalentes cuyos términos son mayores que la fracción dada. 2. Para amplificar una fracción cualquiera se multiplican los términos de la fracción dada, por un mismo número natural. 109 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 3 Secuencia 5 bloque I 1. Dada la fracción amplificación encuentre por lo menos 4 fracciones equivalentes a ella por 2. Realice las siguientes amplificaciones con las fracciones: a) a décimos b) a doceavos c) a sextos 3. Encuentre por amplificación 2 fracciones equivalentes a: a) , b) , c) , d) Simplificación de fracciones Para entender mejor la simplificación de fracciones es necesario conocer cuando una fracción es reductible y cuando es irreductible. Fracción Reductible: Toda fracción es reductible si el máximo común divisor del numerador y el denominador es diferente de 1, es decir el MCD(a,b) ≠ 1. Ejemplo: es reductible porque el MCD(4,8) = 4, 4≠1 Fracción Irreductible: Toda fracción es irreductible si el máximo común divisor del numerador y el denominador es igual a 1, es decir si el MCD(a,b) = 1, si esto ocurre a y b son primos entre si. Ejemplo: es irreductible porque que MCD(1,8) = 1. 110 MATEMÁTICAS Al proceso mediante el cual se encuentra el equivalente irreductible de una fracción dada, se le llama Simplificación. Luego, simplificar una fracción no es más que encontrar su equivalente irreductible. Existen tres métodos para simplificar una fracción: a) Utilizando el MCD Ejemplo: Simplificar i. Se encuentra MCD (12, 24) ii. Dividir entre el numerador y denominador de la fracción que se va a simplificar entre el MCD encontrado. 12 ÷ 12 = 1 Luego 24 ÷ 12 = 2 b) Utilizando factores primos Ejemplo: Simplificar i. Descomponemos cada número en sus factores primos. 12 = 2x2x3 24 = 2x2x2x3 111 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado ii. Aplicamos la propiedad cancelativa de la división. c) Utilizando divisiones Ejemplo: Simplificar a) Dividir el numerador y el denominador por el mismo divisor, utilizando los criterios de divisibilidad. = ………. Se dividió cada término de la fracción entre 2 ……….. se dividió cada término de la fracción entre 2 ……….. se dividió cada término de la fracción entre 3 Luego Importante: Cuando en una fracción el numerador y el denominador contienen ceros al inicio, estos se pueden suprimir y la fracción restante se simplifican por cualquiera de los métodos descritos anteriormente. Ejemplo: ……. Se suprimen los ceros en el numerador y el denominador. …….. se simplifica. 112 MATEMÁTICAS Ejercicios 4 Secuencia 5 bloque I 1. Simplificar cada fracción utilizando el método que prefiera: a) b) c) d) e) f) g) Representación gráfica de las fracciones Es interesante determinar en la recta numérica los puntos que corresponden a los números racionales y para esto se tomará en cuenta tres criterios: 1. Si la fracción es propia, es decir (el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador), su gráfica se ubicará entre 0 y 1 si es positiva, y entre 0 y -1 si es negativa. Recuerde: Numerador: indica las partes que se toman de la unidad que se divide. Denominador: indica las partes en que se divide la unidad. Ejemplos: a) Graficar: Es una fracción propia y positiva, por lo tanto su gráfica está entre 0 y 1, para graficar en la recta numérica se divide la unidad en 4 partes iguales y se toman 3, así: 113 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado b) Graficar: También es una fracción propia, pero negativa, por lo tanto su gráfica esta entre 0 y – 1, para graficar en la recta numérica se divide la unidad en tres partes y se toman 2, así: 2. Si la fracción es impropia, es decir (el valor absoluto de numerador es mayor que el valor absoluto del denominador), antes de graficarla conviene convertir la fracción en número mixto, para indagar cuantas unidades enteras contiene y la fracción resultante (residuo entre divisor) se tomará para ubicarla en la unidad siguiente. Ejemplos: a) Graficar: Es una fracción impropia positiva, por lo que su gráfica se encuentra a la derecha de 0, al convertir en número mixto da como resultado ; entonces su gráfica estará entre 3 y 4, ya que son 3 unidades más de la otra, así: 31 2 b) Graficar: Es una fracción impropia negativa, por lo que su gráfica se encuentra a la izquierda de 0, al convertir en número mixto da como resultado ; su gráfica estará entre –1 y –2, ya 2 que es una unidad a la izquierda de cero, más de la otra, así: 3 -1 2 3 2 -1 -5 3 0 3. Si la fracción es igual a la unidad, es decir (el valor absoluto del numerador es igual al valor absoluto del denominador), como el numerador y el denominador son iguales, la división entre ellos es 1 si la fracción es positiva y –1 si la fracción es negativa. 114 MATEMÁTICAS Ejemplos: a) Graficar: Es una fracción igual a la unidad, es decir, su división es 1, por lo tanto su gráfica estará en 1. b) Graficar: Es una fracción igual a la unidad negativa, es decir, su división es – 1, por lo tanto su gráfica estará en – 1. RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS RACIONALES Recuerde que: de dos números enteros, es mayor aquel cuyo punto sobre la recta numérica está situado a la derecha del otro, y es menor el que esta a la izquierda, lo anterior tambíen se aplica a los números racionales. Ejemplos: observe la gráfica de las siguientes fracciones. Se puede observar en la figura anterior que: a) porque está a la derecha de b) porque está a la izquierda de c) porque está a la izquierda de 2 El uso de la representación gráfica en la recta numérica para comparar fracciones se complica un poco cuando las fracciones se amplifican, por tal razón se utilizarán los siguientes criterios para establecer si una fracción es mayor, menor o igual que otra. 115 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado RELACIÓN MAYOR QUE si y solamente si Ejemplos: a) Comparar Solución –3( 7 ) ? 4( –9 ) –21 > –36 Entonces RELACIÓN MENOR QUE si y solamente si Ejemplos: a) Comparar Solución 5(10) ? 6(9) 50<54 Entonces RECUERDE: • Todo número positivo es mayor que el cero. • Todo número positivo es mayor que cualquier negativo • Todo número negativo es menor que el cero • Todo número negativo es menor que cualquier positivo 116 MATEMÁTICAS Ejercicios 5 Secuencia 5 bloque I 1. Graficar cada racional en su propia recta numérica: a) b) c) d) e) f) 2. Utilice una recta numérica para graficar las fracciones de cada inciso. a) 4/8, –½, 5/6, –9 /4 b) 3/6, –¼, 5/8, 7/9. 3. Colocar el signo <, > ó = según sea la primera fracción con respecto a la segunda. a) b) c) d) e) d) e) f) 117 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 6 Secuencia 5 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su maestro(a), comparando con sus compañeros las respuestas. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1. ¿Verdadero o falso? Diga si es verdadera o falsa cada oración, de ser falsa justifique su respuesta. a) 2 es un número racional b) c) son fracciones equivalentes es igual a d) Dos quintos de 100 lempiras son 20 lempiras e) 0 es menor que f) El numerador indica las parte que tomamos de la unidad g) representa una fracción negativa EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Convierta las siguientes fracciones impropias en mixtas. a) b) c) d) 118 MATEMÁTICAS 2. Convierta las siguientes fracciones mixtas a impropias. a) b) c) d) 3. Represente cada fracción en una recta numérica. a) b) c) d) 4. Simplificar las siguientes fracciones. a) b) c) d) 5. Escribir dentro del paréntesis el signo (>, < ó =) que haga cierta cada proposición. a) b) c) d) 6. Resuelva a) Si Juan tiene 50 lempiras y le quiere regalar a su hermano de lo que tiene, ¿Cuánto le regalará a su hermano? b) En un aula hay 35 estudiantes, de ellos son varones, ¿Cuántos varones hay? 119 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 120 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 6 Bloque I LAS PARTES DE UN TODO Es muy común pensar que no hay manera de resolver un problema con números fraccionarios o racionales cuando se nos presenta por primera vez, pero si se analiza con detenimiento, encontramos que la solución es muy sencilla. El meollo del asunto es no darse por vencido y por supuesto tener conocimiento de las operaciones y propiedades de los números racionales. Precisamente ahora que se tiene claro el concepto de número racional, se iniciará en esta secuencia el estudio de las operaciones fundamentales entre las fracciones, como: la adición, sustracción, multiplicación y división. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia de aprendizaje se espera que los y las estudiantes: 1. Operen números racionales. Breve historia de las fracciones Se considera que fueron los egipcios quienes usaron por primera vez las fracciones, pero sólo aquellas de la forma o las que pueden obtenerse como combinación de ellas. Es decir utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y el denominador era cualquier número: 2, 3, 4,..., por ejemplo …, y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Por su parte los babilonios desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionaria, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario 121 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado permitió el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a la comunidad matemática de siglos posteriores a hacer buenos cálculos, por ejemplo las raíces cuadradas. Para los babilónicos era relativamente fácil conseguir aproximaciones muy precisas en sus cálculos utilizando su sistema de notación fraccionaria, fue lo mejor de que dispuso civilización alguna hasta la época del Renacimiento. Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. . Algunas veces se adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación de las fracciones. Los griegos mostraron sus grandes dotes en cuanto a geometría en algunas construcciones geométricas de segmentos cuyas longitudes representan racionales. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo común de todos ellos. Ejemplo: 1. ¿Cúal es el m.c.m de 4 y 8? Los primeros múltiplos de 4 son 0, 4, 8, 12, 16… Los primeros múltiplos de 8 son 8, 16, 24, 32… Como puede observar los múltiplos de 0, 4 y 8 son infinitos, pero el menor de todos ellos es 8 (sin incluir el cero), entonces: 8 es el menor o mínimo común múltiplo. Mínimo común múltiplo por simple inspección Cuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños, este puede hallarse muy fácilmente por simple inspección, de este modo: Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo del mayor de ellos, se debe determinar, si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás. Si es así, el mayor es el m.c.m., si no los contiene, se busca cual es el menor múltiplo del número mayor aplicando el método abreviado. Ejemplo: a) El m.c.m. de 4 y 8 es 8, porque 8 es el mayor y contiene exactamente a 4. b) El m.c.m. de 3, 4 y 12 es 12, porque 12 es el mayor y contiene exactamente a 3 y 4. Método Abreviado para hallar el Mínimo Común Múltiplo de Números Enteros. Encontrar el m.c.m. de 18, 24 y 40: Se dividen los números dados por el menor número primo que sea divisor al menos por 122 MATEMÁTICAS uno de ellos. El número que no es divisible por ese factor primo se copia debajo, este procedimiento se repite en los cocientes obtenidos hasta que todos sean 1. Luego, el mínimo común múltiplo de (18, 24, 40) es el producto de todos los divisores primos. m.c.m. de (18, 24, 40) = 2³ x 3² x 5 = 8 x 9 x 5 = 360. Ejercicios 1 Secuencia 6 bloque I 1. a) b) c) d) Hallar el m.c.m. por simple inspección de: 3 y 25. 5 y 1. 16, 4 y 8. 5, 1 y 10. 2. a) b) c) d) Hallar el m.c.m. utilizando el método abreviado: 2, 5 y 20. 16 y 20. 7, 2 y 5. 40, 30 y 20. 3. Simplificar cada fracción: a) b) c) d) 123 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Programa de Televisión 1 Secuencia 6 bloque I Observe el programa de televisión: Fracciones con clase, en el cual se muestra un resumen de la clasificación de fracciones y su aplicación en situaciones de la vida habitual. Adición y sustracción de fracciones En un cumpleaños se tiene un pastel y se divide en diez partes iguales, cada una de estas porciones se representa por , si el cumpleañero pide 2 pedazos. ¿Con que número racional o fracción se representa la parte del cumpleañero? 1 1 2 = + 10 10 10 El cumpleañero recibirá del pastel En la adición y en la sustracción de racionales se presentan dos casos: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR En este caso se suman o se restan los numeradores de las fracciones y se escribe el mismo denominador. Ejemplos: Determinar el resultado de las siguientes operaciones. a) Solución: …el resultado se convierte a fracción mixta. 124 MATEMÁTICAS b) Solución: c) Solución: d) Solución: …………el resultado se convierte a fracción mixta. e) Solución: ………………simplificando la fracción, …el resultado se convierte a fracción igual a la unidad. …….se convierte la fracción mixta a fracción impropia, f) Solución: …………el resultado se convierte a fracción mixta. 125 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Tome en cuenta lo siguiente: 1. Antes de efectuar cualquier operación con fracciones es recomendable simplificar cada fracción si es posible. 2. Al efectuar cualquier operación que contenga una o más fraciones mixtas es conveniente convertirlas a fracciones impropias. 3. Simplifique el resultado o conviertalo a fracción mixta de ser posible. Ejercicios 2 Secuencia 6 bloque I 1. Con base en el programa de televisión defina los conceptos siguientes y escriba dos ejemplos de cada uno: a) Fracción propia. b) Fracción impropia. c) Fracción igual a la unidad. d) Fracción mixta. e) Fracción reductible. f) Fracción irreductible. g) Fracción decimal. 2. Simplifique: a) b) c) d) e) f) g) Resuelva: a) Un hombre caminó el lunes km, el martes km, si el miércoles tuvo que regresar km desde en punto que había avanzado hasta el martes, ¿Cuánto avanzó desde su punto de partida? 126 MATEMÁTICAS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones con distinto denominador se hace lo siguiente: 1. Simplificar las fracciones dadas si es posible. 2. Calcular el m.c.m. de los denominadores y este será el denominador común. 3. Hallar los numeradores, dividiendo el m.c.m. entre cada denominador y el cociente multiplicarlo por numerador respectivo. 4. Sumar o restar los numeradores obtenidos según el signo que posean. 5. Simplificar si es posible la fracción resultante. Se tiene que: Si Q, entonces Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones indicadas. a) Solución: ………Simplificando las fracciones, paso 1. …sustituyendo. m.c.m.(2,8,5) = 2x2x2x5 = 40 .. Calculando el m.c.m. de los denominadores paso 2. 127 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Por lo tanto: …….Aplicando el paso 3, …… aplicando paso 4, b) Solución: ……¿Qué se hizo? ……¿Qué se hizo? …….¿Que se hizo? b) Mario estudió para el examen de Matemáticas el lunes el miércoles 3 horas, ¿Cuántas horas estudió Mario en total? Lunes horas Martes horas Miércoles 3 horas Mario estudió para el examen horas. 128 horas, el martes horas y MATEMÁTICAS Ejercicios 3 Secuencia 6 bloque I 1. Simplificar si es posible y efectuar las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f) 16g) h) i) 2. Resolver los siguientes problemas: a) Una botella tiene litro de jugo, otra tiene litro de jugo, ¿Qué cantidad de jugo tienen entre las dos botellas?, ¿Cuánto jugo tiene la primera más que la segunda? b) Un aula de un centro básico tiene metro de ancho y otra tiene 4 metros de ancho. ¿Cuántos metros de ancho tienen entre las dos?, ¿Cuántos metros le hacen falta a la primera aula para ser igual que la segunda? Polinomios aritméticos En algunas situaciones de la vida cotidiana, se requiere efectuar adiciones y sustracciones en el mismo problema. 129 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo: ¿Cuánto se puede considerar que un vehículo se ha adelantado hacia el este o hacia el oeste partiendo de un punto A?, si el automóvil avanza 3 km al oeste partiendo de un punto A, luego avanza 5 km hacia el este a partir de ese punto y después avanza 5 km al oeste. Solución: Si se toma el punto A=0 en la recta numérica como punto de partida, entonces el desplazamiento al este se representa con un número positivo y al oeste con un número negativo, observe la siguiente gráfica: Como puede observar el automóvil quedó al final en el punto -3, es decir, recorrió desde el punto inicial (A), 3 km al oeste. Esta situación puede formularse utilizando Polinomios Aritméticos, es decir, adiciones y sustracciones combinadas de números precedidos de paréntesis y de los signos de los sumandos, el ejemplo anterior puede expresarse de la siguiente manera: - 3 + (+ 5 ) + ( - 5 ) Para resolver los polinomios aritméticos primero se suprimen los paréntesis tomando en cuenta lo siguiente: 1. Cuando el paréntesis está precedido del signo menos (-), este se suprime cambiando todos los signos de su interior. 2. Si el paréntesis esta precedido del signo más (+), este se suprime sin cambiar ningún signo. 3. Después se efectúan las operaciones indicadas. Desarrollando el ejemplo anterior se tiene: - 3 + (+ 5 ) + ( - 5 ) … aplicando inciso 1, -3+5-5=-3 … aplicando inciso 3. El vehículo avanza 3 km al oeste. El desarrollo de los polinomios aritméticos en los racionales ( ) tiene los mismos criterios que se consideraron en los enteros ( ), porque los números racionales son una ampliación de los enteros. 130 MATEMÁTICAS Observe el desarrollo del siguiente ejemplo: Entonces el polinomio aritmético queda como: … efectuando las operaciones indicadas. 131 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 6 bloque I 1. Simplifique cada uno de los siguientes polinomios aritméticos: a) - ( -1 ) + ( - 1 ) - ( - 1 ) b) c) d) e) Multiplicación de fracciones Existen situaciones cotidianas que se relacionan con las partes de un entero, es decir las fracciones, estas relaciones se expresan a través de las operaciones que con ellas se realizan. Observe algunos ejemplos concretos de multiplicación en las situaciones siguientes. a) Siete alumnos del grupo de Séptimo grado van a vender licuados de frutas en la fiesta del centro básico. Cada uno aporta litro de leche; ¿Cuántos litros de leche se reunieron? 7 bolsas de litro son litros, o sea, litros 7 veces son b) Un campesino va a sembrar legumbres en la mitad de la tercera parte de su terreno. ¿Qué parte del total del terreno tendrá legumbres? Se puede representar gráficamente la mitad de la tercera parte de un terreno así: 132 MATEMÁTICAS Se divide el terreno en tres partes iguales (tercios) y se marca cada una de ellas, luego esos tercios se dividen en dos partes iguales (medio). La figura queda dividida en seis partes iguales, así que un medio de un tercio es igual a un sexto. de La multiplicación de racionales se define a partir de la de la multiplicación de enteros, consecuentemente la multiplicación de fracciones mantiene las mismas propiedades de la multiplicación de enteros incluyendo la ley de signos. Ejemplos de multiplicación de fracciones. 1. Simplificar cada fracción si es posible. 2. Multiplicar los numeradores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma el numerador de la fracción resultante. 3. Multiplicar los denominadores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma el denominador de la fracción resultante. 4. Simplificar la fracción resultante si es posible. Se tiene: Si entonces Ejemplos: Efectuar las siguientes multiplicaciones. a) Solución: 133 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado . ……….simplificando cada fracción, paso 1, .........multiplicando numeradores y denominadores, pasos 2 y 3. ……simplificando la fracción resultante, paso 4. b) Solución: …….. ¿Qué se hizo?, …….. ¿Qué se hizo?, …….. ¿Qué se hizo? Ejercicios 5 Secuencia 6 bloque I Efectúe las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) 134 MATEMÁTICAS División de fracciones En ocasiones, hay necesidad de dividir una fracción o un número entero en varias partes para repartirlas, o determinar cuántas veces cabe una parte de un número en otro. Situaciones como las anteriores requieren de una división de fracciones como las que se ejemplifican a continuación. 1.Con de litro de leche se llenan 10 vasos pequeños. ¿Cuál es la capacidad de cada vaso? 5 ÷ 10 = 1 8 16 En este caso se reparten los de litro entre 10 vasos, a cada frasco le cabe de litro. 2. ¿Cuántas cajas de de litro de capacidad se nacesitan para envasar de litro de jugo de naranja? 3 ÷ 1 =6 4 8 ¿Cuántas veces cabe en ? cabe 6 veces en Antes de dividir dos fracciones es importante tener presente la definición de recíproco o inverso multiplicativo de una fracción. 135 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Dos fracciones son reciprocas si su producto es 1. Ejemplo 1: es el recíproco de porque Ejemplo 2: es el recíproco de porque Ejemplo 3: es el recíproco de porque Para hallar el recíproco de una fracción se intercambia de lugar el numerador por el denominador Ejemplos de división de fracciones. Para dividir fracciones se hace lo siguiente: 1) Simplificar cada fracción si es posible. 2) Cambiar por el inverso multiplicativo la fracción que ocupa el lugar del divisor, al efectuar este cambio, la división también cambia a multiplicación de racionales. 3) Multiplicar los numeradores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma el numerador de la fracción resultante. 4) Multiplicar los denominadores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma el denominador de la fracción resultante. 5) Simplificar la fracción resultante si es posible. Tomando la idea de recíproco se puede expresar una regla para efectuar la división de dos fracciones: Si entonces Ejemplo: Efectuar las siguientes operaciones indicadas. a) Solución: 136 MATEMÁTICAS ….simplificando cada fracción, paso 1, ….cambiando al divisor por el inverso multiplicativo, paso 2, ….multiplicando numeradores y denominadores, pasos 3 y 4, …simplificando la fracción resultante, paso 5. Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción del divisor. a a c b a d ÷ = = x , b ≠ 0, c ≠ 0 b d c b c d Ejemplo: Efectuar las siguientes divisiones. a) b) c) 137 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 6 Secuencia 6 bloque I 1. Hallar el recíproco de cada número racional. a) b) c) d) 9 2. Efectuar las siguientes divisiones: a) b) f) g) c) h) d) i) e) j) 138 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 2 Secuencia 6 bloque I Observe el programa de televisión Fracción aplicada, en el cual se muestra el algorítmo de cada una de las operaciones fundamentales con fracciones y su aplicación en problemas de la vida cotidiana. Ejercicios 7 Secuencia 6 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, comparare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1. Defina cada concepto: a) Fracción propia. b) Fracción impropia. c) Fracción igual a la unidad. d) Fracción mixta. e) Fracción reductible. f) Fracción irreductible. g) Fracción decimal. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Efectué las siguientes operaciones: a) b) c) 1- 139 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado d) j) e) k) f) g) l) h) m) i) 2. Simplifique cada uno de los siguientes polinomios aritméticos: a) b) c) 140 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 7 Bloque I RAÍZ QUEBRADA En los conjuntos numéricos estudiados hasta el momento, todas las operaciones Matemáticas tienen su operación inversa, la sustracción es la operación inversa de la adición, la división es la operación inversa de la multiplicación y los números racionales no son la excepción, además de efectuar las operaciones anteriores también cumple con la radicación que es la operación inversa de la potenciación. Si se dice que 8 es la tercera potencia de un número, y si se pregunta ¿cuál es ese número?, la respuesta es 2, pues efectivamente . La operación como en el ejemplo dado se conoce como potenciación, pero si se quiere encontrar la base conociendo la potencia 8 y el exponente 3 utilizamos la radicación. Estas dos operaciones se estudiarán en la presente secuencia de aprendizaje, pero ahora con los números fraccionarios. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Desarrollen potencias de fracciones con exponentes positivos y negativos. 2. Simplifiquen operaciones indicadas aplicando las propiedades de las potencias. 3. Aproximen la raíz cuadrada exacta de cualquier número racional. 4. Calculen raíces de fracciones con índice mayor que dos. Curiosidades de las fracciones El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto, pues ya eran conocidas por los babilonios, los egipcios y los griegos, pero el nombre de fracción se le debe a Adelardo de Bath, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de Aritmética de “Al-Juarizmi”. Adelardo de Bath empleó la palabra “FRACTIO” para traducir la palabra árabe “al-Kasr”, que significa QUEBRAR, ROMPER. Por tal razón las fracciones se conocen también con el nombre de “QUEBRADOS”. Adelardo de Bath fue un estudioso inglés del siglo XII. Es conocido principalmente por 141 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado sus traducciones al latín de muchas obras científicas árabes importantes de astrología, astronomía, filosofía, alquimia y matemática, incluyendo antiguos textos griegos que sólo existían como traducciones árabes y fueron así introducidos en Europa. Su obra más conocida es la de sus estudios arábigos, incluyendo los de Al-Jwarizmi, recopilados bajo el título de Perdifficiles Quaestiones Naturales, impreso en masa por primera vez en 1472, con la forma de diálogo entre él mismo y un sobrino entre los años 1,113 y 1,133. Ejercicios 1 Secuencia 7 bloque I Revise las secuencias anteriores para realizar lo siguiente: 1. Efectúe las siguientes potencias. e) (+3)² = f) ( 1)² = g) (+2)³ = h) ( 4)³ = i) j) k) l) m) 2. Calcule las siguientes raíces a) b) c) d) e) Programa de Televisión 1 Secuencia 7 Bloque I En el siguiente programa de televisión Potencia Entera, observará la potenciación de los números enteros y sus propiedades. 142 MATEMÁTICAS Potenciación de fracciones El concepto de potenciación en los números racionales, es semejante al estudiado en los números enteros, sólo que ahora la base es una fracción con exponente entero. Ejemplos: a) b) c) Recuerde que : 1. Las potencias de números positivos son siempre positivas. 2. Las potencias de números negativos son positivas, si el exponente es par. 3. Las potencias de números negativos son negativas, si el exponente es impar. 4. La expresión 00 no está definida La operación que tiene por objeto obtener una potencia de un número se llama potenciación, la que de manera formal se define así: Si 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∈ Q, n ∈ Z entonces �𝑏𝑏 � = �𝑏𝑏 � �𝑏𝑏 � �𝑏𝑏 � … �𝑏𝑏 � n veces como factor. Recuerde: a) Todo número racional con exponente 1, es igual a sí mismo. b) todo número racional con exponente 0, es igual a 1. 143 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado POTENCIA DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NEGATIVO En el conjunto de los números enteros se estudió las leyes de la potenciación con exponentes naturales, recuerde que al dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes y esta diferencia puede ser positiva o negativa. Observe el siguiente ejemplo: Suponga que representa a cualquier número racional. Al efectuar la división se debe copiar la base y restar los exponentes, de esta operación resulta una potencia con exponente negativo; a continuación se tiene una interpretación en forma de fracción para entender lo que pasó: Relacionando los resultados, se puede decir entonces que: Toda potencia enésima con exponente negativo de un número, es igual a 1 sobre dicho número, elevado a un exponente de igual valor absoluto pero positivo. Es decir: Ejemplo: a) 𝑎𝑎− 𝑛𝑛 = 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎 ≠ 0 𝑎𝑎𝑛𝑛 b) Cuando la base es un número fraccionario y el exponente es negativo, se obtiene la potencia invirtiendo la fracción (inverso multiplicativo) y se eleva al exponente de igual valor pero positivo. Es decir: Ejemplos: 1. 2. 144 MATEMÁTICAS Ejercicios 2 Secuencia 7 bloque I 1. Desarrolle las siguientes potencias: a) b) c) d) e) f) g) h) 2. Cambiar a exponente positivo y desarrollar cada potencia: a) b) c) d) e) 145 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Propiedades de la potenciación en los números fraccionarios MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Esta propiedad afirma que: para multiplicar potencias de igual base, se escribe la base y se suman los exponentes. Ejemplos: a) b) c) DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Esta propiedad afirma que: para dividir potencias de igual base, se escribe la base y se restan los exponentes: el exponente del dividendo (numerador) menos el exponente del divisor (denominador), en ese orden. Ejemplos: a) b) POTENCIA DE POTENCIA Esta propiedad afirma que: para desarrollar una potencia de potencia, se escribe la base y se multiplican los exponentes. Ejemplos: a) b) 146 MATEMÁTICAS POTENCIA DE UN PRODUCTO Esta propiedad afirma que: la potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Ejemplos: a) b) POTENCIA DE UN COCIENTE Esta propiedad afirma que: la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de sus términos. Ejemplos: a) b) 147 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 3 Secuencia 7 bloque I Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad que corresponda: a) b) j) k) c) l) d) m) e) n) f) g) h) i) 148 MATEMÁTICAS RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN Partes de un radical: Se llama raíz cuadrada a la raíz cuyo índice es 2 (el índice 2 no se escribe). Recuerde que la raíz cuadrada sólo está definida cuando el radicando es positivo, en cuyo caso se encuentran dos raíces: una positiva y otra negativa. Ejemplos: a) b) Por lo general se utiliza la raíz positiva llamada RAÍZ PRINCIPAL. Cuando se necesite encontrar la raíz cuadrada de una fracción se utilizará la Propiedad del Cociente de la Raíces que dice: La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de la raíz cuadrada del numerador entre la raíz cuadrada del denominador, es decir: Ejemplo: Simplificar. a) Solución: …se aplicó la propiedad de cociente de raíces cuadradas, 149 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Por lo tanto b) Solución: En este caso para calcular …se aplicó la propiedad de cociente de raíces cuadradas. puede seguir el siguiente procedimiento: I. Descomponer 144 en sus factores primos y escribir en forma exponencial. II. Encontrar las raíces cuadradas de los factores primos. 9 3 … desarrollando las potencias, 9 … aplicando la propiedad de la, multiplicación de las raíces cuadradas. III. Multiplicar las raíces encontradas. Por lo tanto: Ahora bien, se tiene que: … ¿Qué se hizo? Entonces Por lo tanto: c) … ¿Qué se hizo? 150 MATEMÁTICAS Ejercicios 4 Secuencia 7 bloque I 1. Hallar la raíz cuadrada de: a) b) c) d) e) f) Programa de Televisión 2 Secuencia 7 bloque I En el siguiente programa de televisión Raíz Cúbica, observará situaciones en las que se puede aplicar las raíces para resolver problemas cotidianos. Raíces con índice mayor que dos La definición general de raíz enésima de números enteros sigue siendo válida para las fracciones. es una raíz enésima de si y sólo si 151 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Es decir: Ejemplos: Hallar las siguientes raíces: a) Solución: Porque b) Solución: Porque c) Solución: Porque 1. La raíz enésima de cero es cero 𝑛𝑛 √0 = 0 porque 0𝑛𝑛 = 0 3 Ejemplo: √0 = 0 porque 03 = 0 2. Las raíces pares de números negativos no pertenecen a los racionales. 𝑛𝑛 𝑎𝑎 �𝑏𝑏 ∉ 𝑄𝑄, si Ejemplo: 4 𝑎𝑎 𝑏𝑏 < 0 , 𝑛𝑛 es par �− 1 16 ∉ 𝑄𝑄 porque no existe ningún número racional que elevado a la cuarta potencia de, 152 1 16 MATEMÁTICAS Ejercicios 5 Secuencia 7 bloque I 1. Hallar las siguientes raíces: a) b) c) d) e) f) ( ) Ejercicios 6 Secuencia 7 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su profesor (a) y comparar las respuestas con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1. a) b) c) d) e) f) Diga si cada una de las siguientes proposiciones es correcta o incorrecta: Las potencias de números positivos son siempre positivas. Las potencias de números negativos son positivas, si el exponente es impar. Todo número racional con exponente 0 es igual a él mismo. Las potencias de números negativos son negativas, si el exponente es par. Todo número racional con exponente 1 es igual a 1. La expresión 0^0 no está definida. 153 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 2. Enuncie la respuesta de cada ejercicio. a) b) c) d) e) EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Desarrolle las siguientes potencias. a) b) c) d) e) f) 154 MATEMÁTICAS 2. Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad que corresponda. a) b) c) d) e) f) g) h) 3. Hallar la raíz cuadrada de: a) b) c) 155 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 156 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 8 Bloque I FRACCIÓN COMBINADA Cuando se estudia matemática es importante mantener frescos los conocimientos anteriores, ya que la mayor parte del contenido es vinculante con la vida cotidiana y la solución de los problemas que a diario enfrentamos. Las operaciones fundamentales que ya conocemos, son de gran utilidad para resolver ejercicios en los cuales la destreza Aritmética que se posea le será de mucho beneficio. Por esta razón en esta secuencia se estudiarán las operaciones combinadas y los signos de agrupación con las fracciones. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes : 1. Determinen el resultado de operaciones combinadas con racionales. Resumen de las operaciones con fracciones. Suma y resta de fracciones 1. Cuando tienen el mismo denominador Se simplifican si se pueden las fracciones dadas, luego se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador, al final si se puede se simplifica el resultado. 2. Cuando tienen distinto denominador a) Se simplifican las fracciones dadas si es posible. b) Se calcula el m.c.m. de los denominadores. c) Se divide el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y este cociente se multiplica por el numerador. d) Ya teniendo todas las fracciones con el mismo denominador, se suman o se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador. e) Se simplifica el resultado si se puede. 157 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Multiplicación de fracciones a) Se simplifican las fracciones dadas si se puede. b) Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador. c) Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador. d) Después se simplifica el producto si se puede. División de fracciones a) Simplificar cada fracción si es posible. b) Cambiar por el inverso multiplicativo la fracción que ocupa el lugar del divisor, al efectuar este cambio, la división también cambia a multiplicación de racionales. c) Multiplicar los numeradores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma el numerador de la fracción resultante. d) Multiplicar los denominadores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma el denominador de la fracción resultante. e) Simplificar la fracción resultante si es posible. Potenciación de fracciones a) Se multiplica por si misma la base las veces que indica el exponente. Raíz de una fracción a) Se encuentra un número que multiplicado por si mismo la veces que indica el índice, el resultado es el radicando. Ejercicios 1 Secuencia 8 bloque I 1. Simplifique si es posible y efectúe las siguientes operaciones: a) b) c) g) h) i) d) e) f) j) k) 158 MATEMÁTICAS l) m) n) o) 2. Desarrollar y simplificar: a) b) c) d) 3. Hallar la raíz cuadrada de: a) b) 159 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Operaciones combinadas con números racionales Una vez que se dominan la operaciones elementales con fracciones: suma, resta, multiplicación división, potenciación y radicación, el siguiente paso es realizar operaciones conjuntas, para ello primero recuerde el orden de las operaciones. Primero: Las potencias y raíces. Segundo: Las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha. Tercero: Las sumas o restas. Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones: a) Solución: … se calcula la raíz cuadrada, … se efectúa la multiplicación, … sumas y restas. Por lo tanto: b) Solución: … ¿Qué se hizo? …se efectuó la división porque es la primera operación de izquierda a derecha. 160 MATEMÁTICAS … ¿Qué se hizo? … ¿Qué se hizo? …Qué se hizo? Por lo tanto: c) …¿Qué se hizo? d) La cuarta parte de un edificio será ocupado por un establecimiento comercial, los 2/3 por oficinas y el resto por apartamentos ¿Qué parte del edificio está ocupado por los apartamentos? Datos establecimiento comercial oficinas Proceso Parte ocupada por el establecimiento comercial y las oficinas. Como el edificio representa la unidad (1), tenemos: 161 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Respuesta del edificio esta ocupado por los apartamentos e) Un depósito de agua de 154 litros de capacidad es llenado por una llave en 6 2/7 minutos. ¿Cuántos litros de agua por minuto vierte la llave? R/ minutos …¿Qué se hizo? Ejercicios 2 Secuencia 8 bloque I 1. Efectúe las siguientes operaciones indicadas: a) b) c) d) e) f) 2. Resuelva los siguientes problemas: a) Una de las principales vertientes del Río Ulua esparce 2 metros cúbicos de agua por minuto a un reservorio. Si se llena en 10 minutos, ¿Cuál es la capacidad del reservorio? b) En una granja hay 240 pollos. Se venden partes del total y se mueren por enfermedades partes del resto, ¿Cuántos pollos quedan? c) Vendí una bicicleta por 200 lempiras ganando la quinta parte de lo que me costó ¿Cuánto me costó? 162 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 1 Secuencia 8 bloque I En el siguiente programa de televisión El camino más corto se muestra la forma correcta de resolver operaciones con números racionales y signos de agrupación. Signos de agrupación Cuando existen operaciones entre signos de agrupación o dentro de un signo radical primero se realizan dichas operaciones respetando su orden. Ejemplos: simplificar: a) i. Primero se resolverá la sustracción indicada en los paréntesis …se sustituye en el paréntesis. 1 resolverá la multiplicación indicada en los corchetes. ii. 1Ahora se 1 1 1 …se sustituye en los corchetes. iii. Ahora se resolverá la sustracción indicada en las llaves. …sustituyendo 163 en las llaves. Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado iv. Por último las operaciones indicadas. Por lo tanto: Ejercicios 3 Secuencia 8 bloque I 1. Simplifique: a) b) c) d) Programa de Televisión 2 Secuencia 8 bloque I En el siguiente programa de televisión Empieza de abajo se muestra el procedimiento para resolver fracciones complejas. Fracciones complejas A una fracción se le llama compleja cuando en su numerador y/o en su denominador contiene fracciones. 164 MATEMÁTICAS Por ejemplo: no es una fracción compleja. si es una fracción compleja porque su numerador y denominador contienen fracciones. Para simplificar una fracción compleja a una fracción simple, es decir, reducirla a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella, se hará lo siguiente: transformar el numerador y denominador en fracciones simples y luego proceder como en la división de fracciones. Ejemplos: simplificar. a) i. Transformación del numerador en una fracción simple. • Primero se resolverá la multiplicación indicada en la raíz. • Ahora se encontrará la raíz cuadrada de ii. Transformación del denominador en una fracción sencilla iii. División de fracciones …sustituyendo y • Ahora se efectuará la división indicada en los paréntesis. 165 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado …sustituyendo • Por último se desarrolla la potencia. Por lo tanto: b) En esta clase de fracciones, donde el numerador esta compuesto por otras fracciones complejas, se reducen a simples realizando las operaciones indicadas de abajo hacia arriba como se indica: • Se efectúa la sustracción: …¿Qué se hizo? •Sustituyendo se tiene: 166 MATEMÁTICAS • Se efectúa la división: •Sustituyendo se tiene: • Se efectúa la suma: …¿Qué se hizo? • Se efectúa la división: Por lo tanto: ... ¿Cómo se hizo? 167 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 8 bloque I 1. Simplificar. a) b) c) 2+ Ejercicios 5 Secuencia 8 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Diga porque son falsas las siguientes proposiciones: a) En las operaciones combinadas, primero se resuelven las divisiones. b) Las potencias de números negativos son siempre negativas. c) es una fracción compleja. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Efectúe las siguientes operaciones: a) 168 MATEMÁTICAS b) c) d) e) g) 2. Simplifique: a) b) c) 1 d) 2. Simplificar: a) b) 169 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 170 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 9 Bloque I LOS NÚMEROS CON PUNTO Se ha preguntado alguna vez ¿para qué sirven los números decimales? o ¿cómo se caracterizan y de qué manera se pueden utilizar en su vida cotidiana? Sabía que las partes de un entero se pueden representar por medio de las fracciones decimales y que estas resultan de dividir la unidad en partes iguales. El estudio de las cifras que se encuentran a la derecha del punto decimal es el propósito de esta secuencia, al igual que en los números enteros se ampliará los conocimientos sobre los algorítmos de las operaciones fundamentales, en este caso: adición y sustracción, para luego aplicarlos a la solución de problemas habituales. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes : 1. Reconozcan en situaciones de la vida real la convivencia de los números racionales. El metro La unidad principal de longitud es el metro, que es la distancia entre dos rayitas señaladas en una barra de platino, que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París. Patrón de medidas del metro (m). Unidad de longitud 171 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Definición: un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. La Oficina Internacional de Pesos y Medidas, es la coordinadora mundial de la metrología. Está ubicada en un suburbio de París, es la depositaria del kilogramo patrón internacional, única unidad materializada del Sistema Internacional de unidades (SI) que persiste. Históricamente la metrología ha pasado por diferentes etapas; inicialmente su máxima preocupación y objeto de estudio fue el análisis de los sistemas de pesas y medidas antiguos. Sin embargo, desde mediados del siglo XVI el interés por la determinación de la medida del globo terrestre y los trabajos correspondientes pusieron de manifiesto la necesidad de un sistema de pesos y medidas universal, proceso que se vio agudizado durante la revolución industrial y culminó con la creación de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, y la construcción de patrones para el metro y el kilogramo en 1872. La Oficina define que su cometido es “asegurar en todo el Mundo la uniformidad de las mediciones y su trazabilidad al Sistema Internacional de Unidades”. Con base en el sistema de medidas universal se utiliza frecuentemente un instrumento de medición llamado “cinta métrica” Las cintas métricas en su parte superior están divididas en centímetros y se representan con números de color negro, a la vez el espacio entre cada uno de estos está dividido en 10 partes representadas con rayitas, si se traslada este contexto al conjunto numérico de los racionales, los números marcados con el color negro son los números enteros positivos o naturales y cada una de las rayitas entre los números representan los números decimales. NOCIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL Los estudiantes de una clase de Educación Física realizaron un trabajo de investigación sobre el atletismo, entre otros datos obtuvieron los correspondientes a algunas marcas mundiales. Por ejemplo: Salto de altura 2.44 metros (1989) Salto de longitud 8.95 metros (1991) Salto con garrocha 6.13 metros (1992) 172 MATEMÁTICAS Al observar los números que expresan estas marcas, es notorio que 2.44, 8.95 y 6.13, no son números enteros. Estos números resultan al medir la distancia total alcanzada en el salto. Desde luego, es razonable pensar en la imposibilidad que los atletas salten siempre un número exacto de metros. Entonces, al ver estas cantidades es necesario considerar que a la izquierda del punto está anotado el número de metros enteros (unidades) que el atleta saltó y a la derecha del punto la fracción del metro que contempla la medición realizada. A las fracciones de metros que aparecen a la derecha del punto se les llama fracciones decimales. Fracciones Decimales Son aquellas que tienen por denominador una potencia de 10, es decir la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1000,… Ejemplos: Para obtener una expresión decimal de una fracción se divide el numerador entre el denominador. Recuerde que cuando se divide un número entre una potencia de 10, se desplaza el punto decimal en el número de derecha a izquierda tantas cifras como ceros tenga la potencia de 10. Ejemplos: Las expresiones decimales se usan en la vida diaria al medir o al contar en el sistema monetario (lempiras y centavos), también se usa en cálculos de carácter científico, técnico y comercial. Por lo tanto se requiere conocer y manejar en forma correcta los decimales en muchas actividades de la vida cotidiana. 173 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 1 Secuencia 9 bloque I 1. a) b) c) Conteste las siguientes preguntas: ¿Qué son las fracciones decimales? ¿Para que sirve el punto decimal? ¿En qué parte se localizan las cifras decimales, según la posición del punto decimal? 2. a) b) c) Escriba con números decimales las cantidades que se mencionan: Juan pagó nueve lempiras y cincuenta centavos por un juego de escuadras. La estatura de María es de un metro con sesenta y cinco centímetros. La longitud de la cintura de mi hermano menor es de cero metros con sesenta centímetros. 3. Determinar la expresión decimal de los siguientes racionales: a) b) c) d) e) f) g) Para que tenga una idea de cómo se clasifican las expresiones decimales, observe el siguiente Programa de Televisión 1 Secuencia 9 bloque I, luego discuta brevemente con sus compañeros y compañeras acerca de los tipos de expresiones decimales. 174 MATEMÁTICAS Expresión decimal de una fracción Hay dos tipos de fracciones: Las que tienen como denominador a la unidad seguida de ceros o Fracciones Decimales. Ejemplos: Y las que no cumplen esta condición se llaman Fracciones Comunes. Ejemplos: Tanto las fracciones decimales como las fracciones comunes, se pueden expresar en la forma decimal, dividiendo el numerador entre el denominador. Se escribe primero la parte entera si la hay, y si no la hay, un cero y enseguida un punto decimal; después se escriben las cifras decimales teniendo cuidado que cada una ocupe el lugar que le corresponde. Ejemplos: = 0.25 10 4 8 0.25 20 − 20 0 10 3 −9 0.333… 10 −9 10 −90 1… 100 12 −96 0.833… 40 −36 40 −36 4 Observe que al dividir el numerador entre el denominador se obtuvo dos clases de decimales: Los exactos: tienen como residuo 0 y termina la división, por ejemplo: 0.25 . Los periódicos: el residuo nunca se hace cero y no termina la división, ejemplo: 0.333… 175 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Decimales Exactos Son los que tienen un número limitado de cifras decimales. Decimales Periódicos Son aquellos en los cuales hay una cifra o un grupo de cifras que se repiten indefinidamente y en el mismo orden, a ese grupo de cifras se les llama Período, el cual se indica con una barra sobre las líneas que lo forman. Ejemplo: 0.333… = 0.3 Hay dos clases de decimales periódicos: a) Periódico Puro: cuando el período comienza inmediatamente después del punto decimal. Ejemplo: 0.333…= 0.3. b) Periódico Mixto: cuando el período no comienza inmediatamente después del punto decimal. Ejemplo: 0.8333… = 0.83. Ejercicios 2 Secuencia 9 bloque I 1. Determinar la clase de número decimal (decimal exacto DE, periódica pura PP, periódica mixta PM) que representa cada fracción. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 176 MATEMÁTICAS Función generatriz de un decimal LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES Para la representación de un número de objetos que integran una colección se usan los números naturales y en algunas ocasiones los enteros; pero cuando se trata de indicar el número de partes iguales en las cuales se divide la unidad, se utilizan los números fraccionarios, los cuales se pueden escribir en forma decimal. Los números decimales tienen el siguiente esquema: 1.5 Punto decimal Parte entera Parte decimal Considérese que si una unidad se divide en diez partes iguales, cada una de ellas se llama Décimo y se representa de la siguiente manera: 0.1. Si una de las partes obtenidas (décimos) se divide nuevamente entre 10, se obtienen otras diez partes y cada una de ellas se llama Centésimo por ser la centésima parte de la unidad. Su representación es: 0.01. De esta forma, dividiendo sucesivamente entre diez, se obtienen partes cada vez más pequeñas llamadas Subórdenes, que se representan y nombran de la siguiente manera: La lectura de fracciones escritas en forma decimal se efectúa primero leyendo la parte entera y después la parte decimal como un número natural pero agregándole el nombre de la posición que ocupa la última cifra de la derecha 177 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplos: Escribir la lectura de los siguientes números decimales: 1.23 un entero veintitrés centésimas. 0.9 cero enteros nueve décimas. Escribir los números decimales que corresponden a las siguientes lecturas: Dos enteros trescientos sesenta y nueve milésimas 2.369 Cero entero dos diezmilésimas 0.0002 Ejercicios 3 Secuencia 9 bloque I 1. Reúnase con su compañero(a) más próximo(a) escriba las siguientes expresiones en su cuaderno completando cada una: a) Para representar fracciones decimales, la unidad se divide sucesivamente entre:______________. b) Todo número decimal consta de dos partes divididas por un punto decimal, dichas partes son______________ y ______________. c) Si se divide una unidad en diez, cada resultante se llama______________. d) Y si nuevamente se dividen las partes obtenidas entre diez, el resultado representa una fracción llamada:_________________. Compare sus respuestas con las de otros compañeros (as), en caso de que no coincida con ellos consulte a su profesor (a). 2. Relacione ambas columnas trazando una línea que una el nombre de la fracción decimal correspondiente: 1.2 0.75043 2.25 0.1043 3.145 un entero dos décimos. dos enteros, veinticinco centésimos. cero enteros, setenta y cinco mil cuarenta y tres cienmilésimos. tres enteros, ciento cuarenta y cinco milésimos mil cuarenta y tres diezmilésimos. 3. De manera individual: Escriba el nombre correcto de cada uno de los siguientes números decimales: a) 0.0101 b) 0.3535 c) 3.1416 d) 0.001 e) 1.100002 f) −3.002 178 MATEMÁTICAS Escriba con cifras las siguientes lecturas: a) Cinco enteros, doce centésimas. b) Cero enteros veinte millonésimas. c) Dos enteros, diez centésimas. d) Negativo tres enteros una diez milésima. e) Doscientos un enteros doscientos dos cienmilésimas. f) Cero enteros ciento un milésimas. Relaciones de orden en las expresiones decimales En muchas ocasiones es necesario comparar dos cantidades y esto ocurre también cuando se utilizan los números decimales. Al comparar dos números decimales, se determina si uno es mayor, menor o igual que el otro; para saberlo, se puede seguir el camino que a continuación se presenta: Comparación de cifras: Sean 0.25 y 0.250 Se comparan las cifras comenzando por la parte entera y como se observa que son iguales, se cotejan entonces las que ocupan el lugar de los décimos, en este caso se tiene que ambas también son iguales, enseguida se comparan las cifras que ocupan el lugar de los centésimos: sucede que también son iguales; además los ceros que están después de la última cifra significativa no representan ningún cambio en la cantidad. Por lo tanto, en este caso, ambas cantidades son iguales y se representa así: 0.25 =0.250 Véase otro caso: Sean 0.9 y 0.38 Las cifras de la parte entera son iguales, entonces se comparan ambas cifras empezando por los décimos; en este caso nueve es mayor que tres, por lo tanto, 0.9 es mayor que 0.38, lo cual se representa así: 0.9 >0.38. Si se tiene ahora: Sean 0.2 56 y 0.2 7 La parte entera es igual, los décimos son iguales, pero en los centésimos se observa que 5 es menor que 7, entonces 0.256 es menor que 0.27. Se representa así: 0.256 < 0.27. Otros ejemplos: 0.75 >0.69 porque 7 es mayor que 6. 0.28 <0.5 porque 2 es menor que 5. 0.3>0.125 porque tres es mayor que 1. 179 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Para determinar si una expresión decimal es mayor, menor o igual a otra, no se toma en cuenta la cantidad de dígitos que la componen, si no que se comparan a partir de la parte entera, si es igual entonces se comparan después los décimos, y si también son iguales se comparan los centésimos, hasta observar en que posición esta una cifra diferente a otra, para determinar de ese modo como es la primera expresión decimal con respecto a la segunda, sea mayor, menor o igual. Ejemplos: 0.456 <0.457 Porque 6 es menor que 7 (esto después de que se haya comparado la parte entera, los décimos y los centésimos, observando que sean iguales). 1.26=1.260 Porque 6 es igual a 6 (pero antes ya se ha comparado la parte entera y los décimos, también hay que recordar que los cero a la derecha, en los decimales no cuentan si están en las últimas posiciones). Ejercicios 4 Secuencia 9 bloque I 1. Observe los siguientes números y después escriba y conteste en su cuaderno las siguientes preguntas: 0.456 y 0.47 a) ¿Qué número tiene más cifras? ¿Cree que ese número sea mayor? b) ¿Qué cifra ocupa el lugar de los décimos de cada número? c) ¿Qué cifra ocupa el lugar de los centésimos de cada número? d) ¿Cuál de ellos es mayor? e) ¿Qué conclusión obtiene de lo anterior? 2. Escriba los signos >,<o= en el paréntesis para comparar los números que se le dan. 3.45 1.625 0.999 12.35 0.04 0.213 1.00 5.3535 2.08 4.369 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 2.45 1.6235 1.0001 12.3500 0.095 0.0213 0.9999 5.3534 2.0800 3.369 180 MATEMÁTICAS 3. a) b) c) d) Ordene de mayor a menor los siguientes grupos de números: 1.2, 1.51, 1.1, 1.5, 1.8, 1.23. −1.32, −2.36, −2.63, −1.326, −0.21. 0.384, 0.002,0.096, 0.56, 1.1, 0.2, 0.37. 8.325, 5.235, 8.231, 7.235, 5.2 Programa de Televisión 2 Secuencia 9 bloque I Observe el programa de televisión Cada decimal en su lugar y comente con su profesor (a) el contenido del programa. Redondeo de decimales Al realizar cálculos numéricos, en muchas ocasiones se obtienen fracciones decimales que deben incluirse como datos para otros cálculos, cuando las fracciones decimales contienen muchas cifras, es necesario reducirlas, con el objeto de facilitar el cálculo y obtener de manera abreviada el resultado. El proceso de reducir una expresión decimal con un número dado de cifras a un número específico de las mismas, se conoce con el nombre de redondeo. El siguiente método para redondear números es muy utilizado en muchas calculadoras y computadoras. Reglas para redondear números Regla 1: Si el dígito siguiente a la cifra de aproximación pedida, es mayor o igual que 5, se suma 1 al dígito que ocupa la posición de la aproximación pedida. Ejemplo 1: Redondear 2.26521 a centésimas: El dígito que ocupa el lugar de las centésimas es 6, el siguiente número es 5 (mayor o igual que 5), por lo tanto: se suma 1 al 6 (1+6 =7). Entonces: 2.26521 2.27 181 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo 2: Redondear -25.3237 a milésimas: El dígito que ocupa el lugar de las milésimas es 3, el siguiente número es 7 (mayor que 5), por lo tanto: se suma 1 al 3 (1+3 =4). Entonces: −25.3237 −25.324 Regla 2: Si el dígito siguiente a la cifra de aproximación pedida, es menor que 5, se eliminan todos los dígitos posteriores a la cifra de aproximación pedida. Ejemplo 1: Redondear 1.54832 a milésimas: El dígito que ocupa el lugar de las milésimas es 8, el siguiente número es 3 (menor que 5), por lo tanto: se eliminan todos los dígitos posteriores. Entonces: 1.54832 1.548 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DÉCIMAS Para representar gráficamente las décimas en la recta numérica se divide cada unidad entera en diez partes iguales, las cuales representan a las décimas de una expresión decimal. Ejemplo 1: Graficar en la recta numérica 0.8 Como se muestra en la figura la primera unidad se dividió en 10 partes iguales, de las cuales se tomaron 8 a partir del 0. Ejemplo 2: Graficar en la recta numérica –2.3 Como se muestra en la figura la tercera unidad negativa se dividió en 10 partes iguales, de las cuales se tomaron 3 a partir del –2. 182 MATEMÁTICAS Ejercicios 5 Secuencia 9 bloque I 1. Trabaje en forma individual para resolver los siguientes ejercicios: a) Localice en la recta numérica los decimales que se le piden: i. 2.3 y 1.5 ii.2.4 y 2.9 iii. –1.6 y 0.6 b) Redondear a décimas cada expresión decimal. i. 0.4568 ii.1.234268 iii.5.28149 iv.2.35145 v.89.5555 vi.0.12345 vii.0.54321 c) Redondear a centésimas las expresiones decimales del inciso anterior. d) Redondear a milésimas las expresiones decimales del inciso b. ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Son muchas las situaciones diarias en las que se requiere realizar adiciones con decimales para resolver problemas que tienen que ver con medidas, peso, tiempo, dinero, etcétera. Para sumar expresiones decimales de un racional que tienen el mismo signo, se colocan los sumandos uno debajo de otro de modo que: 1. En la parte entera las unidades queden bajo las unidades, decenas bajo decenas, centenas bajo centenas, etc. 2. Los puntos decimales queden en la misma columna. 3. En la parte decimal, las décimas queden bajo las décimas, centésimas bajo centésimas, milésimas bajo milésimas, etc. 4. Si algún número no tiene punto decimal, se le coloca en la parte derecha de la última cifra. 5. Si el número de cifras de la parte decimal no es igual en todos los sumandos, se igualan con ceros si se desea. 6. Se comienza a sumar por la primera columna de la derecha, hasta llegar a la última 183 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado columna de la izquierda, como si se tratara de enteros, de modo que el punto decimal del resultado, quede en columna con los demás sumandos. 7. Se le coloca al resultado final el mismo signo que tienen los sumandos. Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones. (Observe que el número 5 es un entero, entonces se le coloca el punto decimal a la derecha de él). a) 0.12 +1.3564 +1.245 + 5 +12.4 0.1200 1.3564 1.2450 5.0000 12.4000 20.1214 Véase el siguiente problema: La mamá de Mario quiere hacerle un traje y para ello necesita tela; para el pantalón requiere 1.10 m y para el saco 1.35 m, ¿Cuántos metros de tela necesita en total? Datos 1.10 metros de tela para el pantalón. 1.35 metros de tela para el saco. Proceso Al resolver el problema con los datos proporcionados, el planteamiento sería: 1.10 + 1.35 Se solucionará como sigue: 1. Se alinean los números, uno debajo de otro de manera que en la parte entera las unidades queden debajo de las unidades, que los décimos queden en columna, los centésimos en otra, y así sucesivamente. 1.10 1.35 2. La suma se iniciará por la columna de la derecha, tomando los lugares vacios como ceros o si se desea completando con ceros dichos lugares, hasta llegar a la últma fila de la izquierda, de modo que el punto decimal del resultado quede en columna con los de los sumandos. 1.10 1.35 2.45 3. Se le coloca al resultado final el signo de los sumandos. En este caso positivo 2.45. Respuesta R/ La mamá de Mario necesita 2.45 metros de tela. Se observa en el resultado de la suma con decimales que las unidades del mismo orden se acomodan en forma vertical y luego se suman por columnas, del mismo modo que se realiza con los números enteros. 184 MATEMÁTICAS Ejercicios 6 Secuencia 9 bloque I 1. Resuelva en su cuaderno con su compañero (a) más próximo (a) lo siguiente: a) Explique los pasos que se siguen para la adición de decimales. b) El sábado fui a jugar futbol al campo. Gasté en transporte L. 7.25, después del juego me compré un refresco que costó L. 5.75 y una enchilada que me costó L.3.35. ¿Cuánto pagué en total? 2. Escriba en el paréntesis la letra que corresponda de acuerdo de las adiciones: a) 17.847 4.25+ 9.8+ 0.325=___________ ( b) 21.138 3.9+ 4.76+ 9.187=___________ ( c) 6.118 6.95+ 8.765+ 4.98=__________( d) 14.375 7.4+ 9.258+ 4.48=___________ ( e) 20.695 0.9+ 1.96+ 3.258=___________ ( con el resultado correcto ) ) ) ) ) 3. Encuentre los datos que se le piden en el siguiente problema: Los estudiantes de Séptimo grado participan en una carrera de relevos de 400 metros; en la competencia se inscriben 3 equipos de 4 corredores cada uno. La tabla final muestra el tiempo en segundos de cada corredor. ¿Cuál fue el equipo ganador? Su docente tiene las repuestas correctas. Si tiene errores corríjalos. 4. De forma individual, resuelva en su cuaderno lo que se le pide. En un mercado existen tres puestos de frutas y verduras. El primero vendió 5.25 kg de frutas y 2.75 kg de verduras, el segundo 3.50 kg de fruta y 3.250 kg de verdura y el último vendió 6.2 kg de fruta y 1.750 kg de verdura. a) ¿Cuántos kilogramos de fruta vendieron los tres puestos? b) ¿Cuántos kilogramos de verdura vendieron los tres puestos? c) ¿Cuántos kilogramos de fruta y verdura vendieron los tres puestos? 185 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 5. a) b) c) d) e) Efectuar las siguientes operaciones: 3.4+9.02+0.25 3+12.56+1.235 45.36+12.006+7.8954 0.0008+0.2589+0.1+2 0.1+0.01+0.001+0.0001 Sustracción de números decimales En los números decimales también es necesario tener en cuenta la forma de realizar la sustracción. El manejo del punto es una situación muy importante en las operaciones con decimales. Para abordar este tema se plantea el siguiente problema. Un trabajador tiene que colocar 12 de ladrillos en una pared, el primer día pone 2.90 . Después de dos días de trabajo ha colocado 6.58 . ¿Cuántos metros cuadrados de ladrillos colocó el segundo día? Datos 2.90 colocó el primer día 6.58 después de dos días de trabajo Proceso La situación planteada se presenta así: + 2.90 trabajo del primer día = trabajo del segundo día 6.58 trabajo de los dos días Hay una adición de sumandos y se desconoce uno de ellos. El procedimiento para encontrar la respuesta es el de la sustracción. 6.58 – 2.90 trabajo del Trabajo de primer los dos días día = 3.68 trabajo del segundo día Ya que la sustracción es la operación inversa de la adición. 186 MATEMÁTICAS Para la sustracción de expresiones decimales se coloca el sustraendo debajo del minuendo de modo que los puntos decimales queden en columna; añadiendo ceros al minuendo o al sustraendo para que tengan igual número de cifras decimales. Hecho lo anterior, se procede a restar de derecha a izquierda, como si fueran números enteros y el punto decimal se alinea con el de los demás elementos. Así: 6.58 –2.90 3.68 Respuesta El segundo día colocó 3.68 Un caso que merece tomarse en cuenta es cuando el minuendo tiene más o menos cifras decimales que el sustraendo. Ejemplo 1: 45.785 – 6.2 Para realizar esta operación, se obtiene un decimal equivalente al sustraendo, agregándole a este dos ceros a la derecha. 45.785 – 6.200 39.585 Ejemplo 2: 2.8 – 1.326 Para realizar esta operación se busca un decimal equivalente al minuendo. Por lo que se agrega a este dos ceros a la derecha y se resta como números enteros. 2.800 – 1.326 1.474 Por otra parte, es notable el hecho de que cuando el minuendo es menor que el sustraendo, no existe un decimal positivo que sea el resultado de la operación. En este caso se hace lo siguiente: Ejemplo 3: 1.426 – 2.85 Para realizar esta operación, se completa con un cero al 2.85, se coloca en el lugar del 187 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado minuendo y se procede a efectuar la sustracción como números enteros (recuerde que números con signos diferentes, se restan los valores absolutos de sus cifras y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto). – 2.850 + 1.426 – 1.424 Ejemplo 4: 2 – 1.14 Para realizar esta operación se le coloca el punto decimal a la derecha del 2 y se le agregan a este dos ceros a la derecha y se resta como números enteros. 2.00 – 1.14 0.86 Ejercicios 7 Secuencia 9 bloque I 1. Con su compañero(a) más próximo conteste lo que se le pide: a) ¿Cuál es la operación inversa de la adición? b) ¿Cuáles son los términos de la adición? c) ¿Cuál es la operación que se realiza para obtener un sumando que falta en la suma? 2. Coloque los nombres que faltan en cada operación: 5.36 – 2.32 3.04 5.632 – 4.233 1.399 minuendo diferencia 3. Escriba en el paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta: a) 7.902 12.378 – 7.5 =_____________________( ) b) 15.299 23.511 – 16.97 =_____________________( ) c) 6.541 19.01 – 3.711 =_____________________( ) d) 41.991 37.002 – 29.1 =_____________________( ) e) 4.878 99.9 – 57.909 =_____________________( ) 188 MATEMÁTICAS 4. Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas: a) Doña María tiene L. 100.00 y realiza las siguientes compras: L. 8.85 en chiles, L. 12.36 en tomates, L. 6.04 en pepinos, L. 45.69 en frijoles. ¿Cuánto gastó?, ¿Cuánto le quedó? b) Juan recorrió en su bicicleta 123.56 km en 6 horas, si en la primera hora recorrió 36.99 km ¿Cuánto recorrió en las restantes 5 horas? Ejercicios 8 Secuencia 9 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES 1. Diga la palabra que complete cada una de las siguientes oraciones: a) Cuando la unidad se divide en diez partes iguales, cada una de ellas se llama________________. Si un centésimo se divide en diez partes iguales cada parte se llama_________________. Si un milésimo se divide en diez partes iguales, cada parte se llama:__________________. b) El número de cifras decimales que se repiten indefinidamente se llama_____________. c) Cuando una expresión decimal no tiene período se llama___________________ y cuando el período va inmediatamente después del punto decimal se llama__________________________. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTOS 1. Encuentre la expresión decimal de cada fracción y clasifíquela como Exacta, Periódica Pura o Periódica mixta: a) b) c) 189 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado d) e) 2. Escriba como se lee cada uno de los siguientes números decimales: a) 1.23 b) 0.1234 c) –3.0003 d) 0.0010 e) 5.2600 f) –3.5020 3. Escriba con cifras las siguientes lecturas: a) Tres enteros, tres milésimas. b) Cero enteros, una diezmilésima. c) Diez enteros, diez centésimas. d) Negativo cinco enteros, diez diezmilésimas. e) Trescientos un mil enteros, doscientos dos milésimas. f) Cero enteros, ciento veintitrés diezmilésimas. 4. Redondear a décimas: a) 0.23 b) 1.35 c) 11.26 d) 0.91 5. Redondear a milésimas: a) 1.1235 b) 5.5555 c) 9.9999 d) 1.2353 6. Efectuar las siguientes operaciones: a) 0.123+1.2+9.36= b) 232.568 +564.23+789.36= c) 56+12.58+1.59+0.01= d) 12.58 – 10.963= e) 66.68 – 45.6= f) 23 – 21.9587= g) 2.5 – 1.999= 190 MATEMÁTICAS 7. Escriba los signos >,<o= en el paréntesis para comparar los números que se le dan: 1.86 ( ) 1.860 1.699 ( ) 1.6999 0.432 ( ) 1.432 1.235 ( ) 12.35 0.01 ( ) 0.001 8.852 ( ) 8.8520 1.11 ( ) 0.111 8. Resuelva los siguientes problemas: a) Un deportista que practica el salto de longitud, logró una marca de 7.95 m; antes de este, su mejor registro era de 5.98 m, ¿Por cuántos metros mejoró su marca? b) Un hombre compra un traje, un sombrero, un bastón y una billetera. La billetera le ha costado L. 22.50, el sombrero L. 3.00 más que la billetera, el bastón L. 10.50 más que el sombrero y el traje 125.63. ¿Cuánto gastó en la compra? 191 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 192 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 10 Bloque I ESQUIMAL Y DECIMAL NO ES LO MISMO Se habrá dado cuenta que las actividades que realiza a lo largo del día requieren tiempo para efectuarlas, usted recorre distancias, compra alimentos que tienen medida y precio, asimismo, realiza otras actividades que demandan medidas y cálculos en los que necesita la multiplicación y la división de decimales. En primaria resolvió problemas con estas operaciones, recuerda ¿Cómo lo hacía?, pues precisamente este es el objetivo de esta secuencia: estudiar la multiplicación, división y potenciación de números decimales. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes : 1. Realicen operaciones básicas con números racionales. ¿Sabía que: escritura de los decimales? Con el paso del tiempo los números decimales se han escrito de diferentes formas, por ejemplo: en el año 1485 el número 372.43 se escribía como 372(0)4(1)3(2), donde el 0 significa la posición de las décimas , el 1 la posición de las centésimas y el 2 las milésimas . Esta notación se simplificó en el año 1552 eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un punto “∙” en la parte superior de las unidades 372•43, poco después en el año 1555 se usó el punto “.” entre las unidades y las décimas: 372.43, uso que se generalizaría hasta nuestro tiempo, aunque también la coma “,” en vez del punto: 372,43 fue usada a comienzos del siglo XVII en Europa y todavía se usa en países como España. 193 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 1 Secuencia 10 bloque I Intégrese a un equipo y realice lo siguiente: 1. Efectúe las siguientes operaciones. a) 2.35+0.987+1.23 b) 9.2-8.1234 c) 10+1.235 d) 12-10.14785 e) 5.2 – (1.6 +2 ) 2.Resuelva: a) La cantidad de agua contenida en tres depósitos es de 479.012 litros. Si el primer depósito contiene 244.938 litros y el segundo 149.982. ¿Cuántos litros tiene el tercer depósito? b) Pedro tiene L. 5.64, Juan L. 2.37 más que Pedro y Enrique L. 1.15 más que Juan. ¿Cuánto tienen entre los tres? c) Tenía L.14.25 el lunes; el martes cobré L.16.89; el miércoles cobré L.97 y el jueves pagué L.56.07. ¿Cuánto me queda? Programa de Televisión 1 Secuencia 10 bloque I Observe el programa de televisión Las ésimas en acción en el cual se mostrará el valor posicional de las cifras decimales. Multiplicación de números decimales En la multiplicación de los números decimales se usa el mismo procedimiento que en los números enteros, la única diferencia es la posición que le corresponde al punto decimal en el producto. Por ejemplo: Si se multiplica 2.35 x 3, hay que considerar que esta operación se puede resolver, si pensamos que 2.35 se suma 3 veces. Entonces se tiene: 194 MATEMÁTICAS 2.35 2.35 + 2.35 7.05 Si la multiplicación se resuelve de manera usual, queda: 2.35 x 3 factores 705 producto Para determinar la posición del punto en el producto, se cuenta el total de cifras decimales que tienen los factores (en este caso hay 2), lo que indica que en le producto habrá dos cifras decimales, mismas que se cuentan de derecha a izquierda. 2 cifras decimales 2.35 x 3 7.05 ninguna cifra decimal producto con 2 cifras decimales Si se multiplican dos fracciones decimales, la multiplicación se efectúa de la forma usual y el punto se coloca de acuerdo al número total de las cifras decimales que hay en los factores. Por ejemplo: 0.123 x 2.3 0369 0246 02829 Como en los factores hay un total de 4 cifras decimales, esto indica que el producto tendrá 4 cifras decimales. Cuando hagan falta cifras se le agregan ceros a la izquierda. 3 cifras decimales 0.123 x 2.3 0369 0246 0.2829 1 cifra decimal } 4 cifras decimales en total En cualquier multiplicación, en la que uno o ambos factores sea un número decimal, el producto tendrá tantos dígitos decimales como haya en estos. Para ubicar el punto decimal, se cuentan los dígitos de derecha a izquierda. Recuerde que la multiplicación es una operación binaria y si se necesita multiplicar tres o más números decimales siempre hágalo de dos en dos. 195 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Por ejemplo: 2.3 x 1.02 x 1.15 2.3 x 1.02 46 00 23 2.346 x 1.15 11730 2346 2346 2.69790 Ejercicios 2 Secuencia 10 bloque I Con su equipo de trabajo resuelva en su cuaderno los ejercicios propuestos: 1. Efectúe las siguientes multiplicaciones: a) 2.34 x 2.5 b) –0.345 x 16 c) 0.023 x 0.001 d) 1.999 x 0.9 e) 1.234 x 5.678 f) 2.005x1.2 g) 0.002x2.03 h) 52x0.52 i) 3.256x1.457 j) 3.45x10 k) 100x7.89 l) 3.4x1000 DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Uno de los significados de dividir es “repartir una cantidad” y si se requiere hacerlo con mayor exactitud se utilizan las divisiones con decimales. Para dividir decimales se realiza lo siguiente: Ejemplo 1: Dividir 3.22 ÷ 4.6 a) Se dividen los signos. 196 MATEMÁTICAS Al dividir dos números que tienen signos positivos el resultado es positivo. Recuerde: + ÷ + = + +÷–=– –÷–=+ –÷+=– b) Se igualan con ceros el número de cifras decimales tanto en el dividendo como en el divisor. 3.22 ÷ 4.6 3.22 ÷ 4.60 c) Se borra el punto decimal de ambos números y los ceros de la izquierda de ambos números (si los hay). 322 ÷ 460 d) Se divide como enteros. 3220 –3220 0 460 0.7 Por lo tanto: 3.22÷4.6 = 0.7 El cociente entre decimales no siempre es un número decimal, puede ser también un número entero. Ejemplo 2: 2.5 ÷ 0.005 2.500 ÷ 0.005 … igualando con ceros el dividendo y el divisor. 2500 ÷ 5 … eliminando los puntos decimales y ceros de la izquierda. 2500 5 –25 500 … dividiendo como enteros. Recuerde: cuando se baja 000 una cifra del dividendo y no contiene la división se agrega cero al cociente. Por lo tanto: 2.5 ÷ 0.005 = 500 Ejemplo 3: Dividir 2.2 ÷ 0.011 R/ 200 Observe el siguiente ejemplo: Juan tiene L. 300.25 y los quiere repartir a sus 5 hijos de forma equitativa. ¿Cuánto le tiene que dar a cada uno? 197 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Datos: - Juan tiene L. 300.25 - Debe repartir entre 5 hijos Proceso Se tiene que dividir 300.25 ÷ 5. 300.25 ÷ 5 300.25 ÷ 5.00 30025 ÷ 500 30025 500 –3000 60.05 0002500 –2500 0 Respuesta Juan tiene que dar a cada hijo L. 60.05 (sesenta lempiras con cinco centavos). Ejercicios 3 Secuencia 10 bloque I Intégrese a un equipo de trabajo y resuelva lo que se le pide: 1. Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuándo completa con ceros al dividendo o al divisor?, ¿Estos los coloca en la parte derecha o izquierda del número? b) Cuando borra el punto decimal, ¿También borra los ceros de la parte izquierda o derecha del número? 2. Realice las siguientes divisiones de números decimales: a) 0.75 ÷ 0.3 b) 4.302 ÷ 1.8 c) 32 ÷ 0.2 d) 0.24 ÷ 3 e) 5.621 ÷ 1.01 f) 100.01 ÷ 0.001 g) 1.16 ÷ 0.2 h) 0.0045 ÷ 0.3 i) (1.05+0.5)÷2 j) (56-55.04) ÷0.06 k) 5.2x1.2÷0.04 l) 678.8÷ 10 m)2.3÷100 n) 123.4 ÷ 1000 198 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 2 Secuencia 10 bloque I Observe el programa de televisión Los ceros mandan en el cual se le informará como multiplicar números por la unidad seguida de ceros de una manera inmediata. Potenciación de expresiones decimales Recuerde que los elementos de la potenciación son: la base, el exponente y la potencia. En el siguiente ejemplo se indican también los factores que dan origen a la potencia obtenida. exponente potencia } Base factores Para obtener la potencia de un número decimal, se toma la base como factor tantas veces como lo indica el exponente. Ejemplos: Desarrollar las siguientes potencias. a) b) c) d) Recuerde: • Todo número, excepto con exponente 0 es igual a uno. • Todo número con exponente 1 es igual a si mismo. 199 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 10 bloque I 1. Intégrese a un grupo de 3 compañeros(as) y encuentre el exponente, dadas la potencia y la base: a) 0.6 b) 0.2 =0.36 =0.04 Compare sus respuestas con otro equipo y si se equivoco corríjalo con su profesor (a). 2. Continúe trabajando en equipo y complete los espacios en blanco del siguiente cuadro, redondee cada resultado a centésimos: 3. Resuelva en forma individual los siguientes ejercicios: a) b) c) d) e) f) Solución de problemas aplicando las operaciones con expresiones decimales. La adquisición de conocimientos matemáticos es sumamente necesario dentro de la formación integral de toda persona. Pero es más importante saber aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones problemáticas que surgen a diario. En esta sesión aplicará su capacidad para razonar, recuerde que la solución de problemas requiere el siguiente razonamiento que debe conducir a la solución correcta. 200 MATEMÁTICAS Estrategia para resolver problemas: En cuanto a los datos 1. Comprender el problema., • Asegurarse de entender qué es lo que se le pregunta. • Si se puede, realizar un dibujo o esquema que ayude a comprender el enunciado. • Identificar los datos. En cuanto al proceso 2. Planear la solución • Pensar las condiciones del problema y buscar una estrategia que ayude a solucionarlo • Escoger las operaciones que debe utilizar. 3. Ejecutar el plan • Resolver las operaciones en el orden establecido En cuanto a la respuesta 4. Revisar y reflexionar sobre la solución. • Verificar si se ha respondido lo que se ha preguntado • Verificar si hay más de una solución • Escribir la respuesta. Analice la solución de los siguientes problemas. 1. Juan, Pedro y Mario quieren viajar de Tegucigalpa a Comayagua, para representar a su CEB en una Olimpiada de Matemáticas, si el costo del autobús es de L. 27.50. ¿Cuánto costarán los tres pasajes?, si pagan con un billete de L. 100.00, ¿Cuánto recibirán de vuelto? Datos El costo del pasaje por persona es de L. 27.50. Son 3 pasajeros. Pagarán con un billete de L. 100.00. Proceso La operación que se percibe es sumar el costo de cada pasaje o multiplicar por tres dicho costo, para encontrar el precio total y después restar esta cantidad de cien lempiras para saber el dinero devuelto. 27.50 x 3 = 82.50 costo de los tres pasajes. costo de pasaje por persona. número de pasajes. Restar 82.50 de 100.00 lempiras para saber el dinero devuelto. 100.00 cantidad con la que se pagaron los tres pasajes. – 82.50 costo de los tres pasajes. 17.50 dinero devuelto. 201 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Respuesta Los pasajes de Juan, Pedro y Mario costarán L. 82.50. El dinero que recibirán de vuelto es de L. 17.50. 2. En el municipio de Opatoro, del departamento de La Paz. José Juan tiene un terreno rectángular de 32.45 metros (m) de largo por 28.63 m de ancho. ¿Cúal es el área que cubre ese terreno?. Datos Área 28.63 m de ancho. 32.45 m de largo Proceso Recuerde que para calcular el área de un rectángulo se multiplica la base del rectángulo (en este caso 32.45) por la altura (28.63). Entonces: base x altura = 32.45 x 28.63 = 929.04 Respuesta El área del terreno de José Juan es de 929.04 3. María y Fernando, interesados en cuidar el bosque de su comunidad, decidieron reforestarlo plantando árboles. En un vivero que ofrece precio de mayoreo al comprar 3 o más artículos, se anuncia: Menudeo (menos de tres) L. 40.00 cada árbol. Mayoreo (3 o más) L. 33.63 cada árbol. María y Fernando desean aprovechar el precio de mayoreo. Sí tienen L. 300.00 ¿Cuántos árboles pueden comprar? Datos Tienen L. 300.00 Quieren aprovechar el precio de L. 33.63 cada árbol. 202 MATEMÁTICAS Proceso Como se puede observar es necesario dividir la cantidad que tienen María y Fernando (L.300.00) entre el costo de mayoreo de cada árbol (L. 33.63), es decir: 300.00 ÷ 33.63 30000 ÷ 3363 30000 3363 –26904 8 3096 El cociente 8, indica el número de árboles que se puede comprar, y el residuo 3096, la cantidad de dinero que le sobra L. 30.96, que es insuficiente para adquirir otro árbol. Lo anterior se puede comprobar multiplicando el costo de mayoreo de un árbol (L. 33.63) por el cociente de la división (8) y agregando el residuo (L. 30.96) 33.63 x 8 269.04 + 30.96 300.00 Respuesta Estas operaciones confirman que con L. 300.00, María y Fernando pueden comprar 8 árboles y sobra L. 30.96. 203 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 5 Secuencia 10 bloque I Intégrese a su equipo de trabajo para resolver los siguientes problemas: 1. El costo del pasaje de un bus cuesta L. 7.50, por lo tanto: 12 pasajes cuestan ___________ 10 pasajes cuestan____________ 2. Doce confites cuestan L. 3.00, entonces: El costo de 1 confite es de ______________ El costo de 20 confites es de _____________ 3. Con la siguiente tabla de precios: Artículos Camiseta Gorra Collar Par de aritos Precios por unidad L. 36.50 L. 65.68 L. 29.00 L. 16.30 Resuelva los siguientes problemas: a) Se compran 2 camisetas, media docena de gorras y un collar, si se paga con dos billetes de L.500.00. ¿Cuánto dinero recibe de regreso? b) Una clienta compra media docena de pares aritos y le cobraron L. 96.00. ¿Cuánto le han rebajado al precio de cada par de aritos? Revise sus respuestas con las que obtuvieron los integrantes de otro equipo. Si no corresponden, consulte con su profesor (a) para rectificar y corregir donde se requiera. Ejercicios 6 Secuencia 10 bloque I En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. 204 MATEMÁTICAS EJERCICIOS VERBALES 1. Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Hacia dónde se corre el punto decimal en el producto, cuando intervienen decimales? b) ¿Cómo se procede cuando al contar los dígitos decimales de los factores y del producto, estos no alcanzan para poder correr el punto decimal? 2. En la estrategia para resolver problemas hay tres etapas: datos, proceso y respuesta. Comente con sus compañeros las actividades que debe tomar en cuenta en cada una de ellas. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. a) b) c) d) e) Efectué las siguientes multiplicaciones: 2.035 x 1.6 1.001 x 2.23 36.658 x 6.025 2 x 2.035 4.561 x 3 2. a) b) c) d) e) Efectué las siguientes divisiones: 0.3 ÷ 0.75 5 ÷ 0.5 0.64 ÷ 16 0.81 ÷ 0.27 0.1284 ÷ 0.4 3. Desarrollar las siguientes potencias: a) b) c) d) e) f) 4. Con el mismo equipo de trabajo, resuelva en su cuaderno los siguientes problemas siguiendo la estrategia de solución de problemas: a) Si un rollo de tela tiene 25.42 m, ¿Cuántos metros hay en 25 rollos? b) Una persona camina 0.2 km/min ¿Cuánto camina en una hora? c) Una mesa tiene 2.3 dm de ancho por 3.1 dm de largo. ¿Cuál es su área? 205 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 206 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 11 Bloque I ¡QUÉ PUNTERÍA! Son muchas las situaciones diarias en las que se requiere realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con decimales para resolver problemas que tienen que ver con: medidas, pesos, tiempo, dinero, etcétera. En este sentido el manejo del punto es muy importante en cada una de las operaciones. Por lo tanto lo aprendido en la escuela es de gran utilidad para resolver problemas que la realidad nos plantea, su capacidad será constantemente evaluada por los problemas que a diario enfrentará, tenga presente lo aprendido en las sesiones anteriores, para resolver los siguientes cuestionamientos planteados en esta secuencia: propiedades de las operaciones con decimales, operaciones combinadas con números decimales, signos de agrupación y también se estudiará la notación científica. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Utilicen los números decimales en la solución de problemas de la vida diaria. Producto y cociente de decimales por potencias de diez El producto de decimales por potencias de 10 se puede obtener sin necesidad de llevar a cabo el algoritmo ya conocido de la multiplicación. Las potencias de diez son ceros como lo indique el exponente) , etcétera (la unidad seguida de Obsérvese los siguientes productos donde uno de los factores es un número decimal y el otro una potencia de 10. a) 2.345 x 10 23.450 b) 1.635 x 100 163.500 c) 0.32425 x 1000 324.25000 207 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Al comparar el multiplicando con su producto, sin considerar los ceros de la derecha, se tiene: a) Multiplicando: 2.345 Producto: 23.45 b) Multiplicando: 1.635 Producto: 163.5 c) Multiplicando: 0.32425 Producto: 324.25 Nótese que cada producto, en relación con el factor decimal correspondiente tiene las mismas cifras, pero la colocación del punto decimal es diferente. En el producto a) el punto decimal se movió un lugar a la derecha respecto al número decimal multiplicado por 10. 2.345 23.45 En el producto b) el punto decimal se movió dos lugares a la derecha respecto al número decimal multiplicado por 100 1.635 163.5 En el producto c) el punto decimal se movió tres lugares a la derecha respecto al número decimal multiplicado por 1000 0.32425 324.25 Ejemplos: a) 2.45347 10 000 = 24534.7 El punto de mueve 4 lugares a la derecha porque 10 000 tiene 4 ceros. b) 56.6363646 x 100 000 = 5663636.46 El punto se mueve 5 lugares a la derecha porque 100 000 tiene 5 ceros. En algunos casos es necesario añadir ceros para colocar el punto decimal en el lugar correcto. Ejemplo: a) 1.36 x 1000 = 1360 Al considerar que la división es la operación inversa de la multiplicación, resulta natural pensar que si al multiplicar un decimal por una potencia de 10 el punto se habrá de mover a la derecha; al dividir un decimal entre una potencia de 10, el punto se habrá de mover a la izquierda. Ejemplos: a) 23.45 ÷ 10 = 2.345 En el cociente el punto decimal se movió un lugar a la izquierda respecto al dividendo, ya que el divisor 10 tiene 1 cero. 208 MATEMÁTICAS b) 149.8 ÷ 100 = 1.498 En el cociente el punto decimal se movió dos lugares a la izquierda respecto al dividendo, ya que el divisor 100 tiene 2 ceros. 726.8 ÷ 1000 = 0.7268 En el cociente el punto decimal se movió tres lugares a la izquierda respecto al dividendo, ya que el divisor 1000 tiene 3 ceros. En algunos casos es necesario agregar ceros a la izquierda para colocar el punto decimal en el lugar correcto. Ejemplo: 1.36 ÷ 1000 = 0.00136 El punto decimal se mueva 3 lugares a la izquierda porque 1000 tiene tres ceros (obsérvese que se colocaron 3 ceros a la izquierda del dividendo para poder colocar el punto decimal) Ejercicios 1 Secuencia 11 bloque I Integre un equipo de trabajo y resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Efectuar las siguientes operaciones: a) 5 + 0.25 b) 1.25 – 0.654 c) 8 – 2.36 d) 12.3 x 0.12 e) 0.45 ÷ 0.3 f) 2. Multiplicar por potencia de 10 Recuerde que para multiplicar por una potencia de 10, basta con correr el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia, si es necesario se agregan ceros. 3. Dividir por potencia de 10 209 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Recuerde que para dividir un número decimal por una potencia de 10, basta con correr el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 , si es necesario se agregan ceros. 4. Resuelva el siguiente problema: Un litro de aceite pesa 0.92 kg. Calcule: a) El peso de 8 envases de aceite de 10 litros cada uno. b) Los litros de aceite que contiene un envase que pesa 23 kg. Propiedades de la adición de números decimales Recuerde que las expresiones decimales también son números racionales porque se obtienen de dividir el numerador entre el denominador de una fracción. Por lo tanto, poseen las mismas propiedades que estos. PROPIEDAD CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA EN LA ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Propiedad Conmutativa Esta propiedad afirma que: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. Ejemplo1: Si a = 3.1, b = 1.5 Verificación: a+b=b+a 3.1 + 1.5 = 1.5 + 3.1 4.6 = 4.6 Se cumple la Propiedad Conmutativa. Ejemplo 2: Si a = –2.54, b = 1.6 210 MATEMÁTICAS Verificación: a +b = b + a –2.54 + 1.6 = 1.6 + (- 2.54) –0.94 = –0.94 Se cumple la Propiedad Conmutativa. Propiedad Asociativa Esta propiedad afirma que: se pueden asociar los sumandos en la forma que se desee sin alterar el resultado. Ejemplo 1: Si a = 3.1, b = - 4.3, c = 7.2 Verificación: a+(b+c)=(a+b)+c 3.1 + ( - 4.3 + 7.2 ) = [ 3.1 + ( –4.3 )] + 7.2 3.1 + ( - 4.3 + 7.2 ) = [ 3.1 + ( –4.3 )] + 7.2 3.1 +(+ 2.9) = (3.1 – 4.3)+ 7.2 3.1 + 2.9 = –1.2 + 7.2 6.0 = 6.0 Se cumple la Propiedad Asociativa. Ejemplo 2: Si a = –0.6, b = –0.5, c = –0.2 Verificación: a+(b+c)=(a+b)+c –0.6 + [–0.5 + ( –0.2)] = [–0.6 +( –0.5 )] + ( –0.2 ) –0.6 + (–0.5 –0.2) = (–0.6 –0.5 ) –0.2 –0.6 + (–0.7) = –0.11 + ( –0.2 ) –0.13 = –0.13 Se cumple la Propiedad Asociativa. PROPIEDAD CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA EN LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Propiedad Conmutativa Esta propiedad afirma que: el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo 1: a = 10.5, b = 1.12 Verificación: ab = ba (10.5)(1.12) = (1.12)(10.5) 11.76 = 11.76 Se cumple la Propiedad Conmutativa 211 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Propiedad Asociativa Esta propiedad afirma que: el orden en que se asocien los factores, no altera el producto. Ejemplo 1: Si a = 1.2, b = 3.6, c = 2.5 Verificación: a(bc) = (ab)c 1.2(3.6 x 2.5) = (1.2 x 3.6)(2.5) 1.2 x 9 = 4.32(2.5) 10.8 = 10.8 Ejercicios 2 Secuencia 11 bloque I Desarrolle en su cuaderno de manera individual cada ejercicio y compare sus repuestas con el (la) compañero (a) más próximo y en caso de error corrija. Verificar si la Propiedad Conmutativa con respecto a la adición y la multiplicación se cumple con cada uno de los siguientes valores: 1. a= 0.01, b = 1.02 2. a = 9.6, b = –3.2 Verificar si la Propiedad Asociativa con respecto a la adición y la multiplicación se cumple con cada uno de los siguientes valores: 1. A = 0.01, b = 0.02, c = 0.1 2. A = 1.11, b = –1.1, c = –0.2 Programa de Televisión 1 Secuencia 11 bloque I Atienda el programa de televisión No es complicado que le informará sobre el orden en que se deben desarrollar las operaciones combinadas con decimales. 212 MATEMÁTICAS Operaciones combinadas con números decimales Muchas veces el trabajo de un mago deja sorprendido a los espectadores gracias a sus trucos, o usted ha visto que algunas personas realizan mentalmente operaciones Matemáticas en apariencia complicadas, pero cuando se descubren en que consisten “ los trucos” o estrategias que se aplican, ya no es tan sorprendente su habilidad. Para desarrollar esas habilidades, se requiere de práctica, por lo que en esta sesión se estudiará como efectuar operaciones combinadas con decimales. Recuerde que el orden de las operaciones que debe tenerse en cuenta es el siguiente: 1. Primero las potencias y raíces. 2. Segundo las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha. 3. Por último las sumas o restas. Ejemplo 1: Simplificar: a) 0.1 x 0.1 = 0.01 … desarrollando la potencia, b) 0.01 + 1.03 x 2 ÷ 0.2 = 1.03 x 2 = 2.06 … efectuando la multiplicación, c) 0.01 + 2.06 ÷ 0.2 = 2.06 ÷ 0.2 = 10.3 …efectuando la división, d) 0.01 + 10.3 = 0.01 + 10.3 10.31… efectuando la adición. Por lo tanto: 10.31 Ejemplo 2: Simplificar: 213 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado a) Se resuelve primero las operaciones indicadas en el numerador. i. (8.006+0.452+0.15)÷0.1 8.006 0.452 + 0.15 8.608 …efectuando primero las operaciones de los paréntesis, ii. 8.608 ÷ 0.1 8.608 ÷ 0.100 8608 ÷ 100 = 86.08 …efectuando la división, Por lo tanto: b) Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador. × i. 8.0 – 0.1 7.9 +0.32 8.22 ii. 8.22 × 4 = 32.88 Por lo tanto: … efectuando primero las operaciones de los paréntesis. …efectuando la multiplicación. × c) Se divide el resultado del numerador entre el resultado del denominador. 86.08 ÷ 32.88 8608 ÷ 3288 = 2.61 Por lo tanto: × 2.61 214 MATEMÁTICAS Ejercicios 3 Secuencia 11 bloque I Simplificar: a) × b) × c) × × d) 2 × 0.9 ÷ 0.3 + 0.1 × 0.2 – 0.01 × e) f) g) h) × × Signos de agrupación con números decimales ( ),[ ],{ } Un profesor delante de su clase de Matemáticas sin decir palabra tomo un frasco grande y vacío de mayonesa, procedió a llenarlo con piedras medianas, luego les preguntó a sus estudiantes si el frasco estaba lleno. Los estudiantes estuvieron de acuerdo en decir que sí. Así que el profesor tomo una caja llena de canicas y la vació dentro del frasco de mayonesa y las canicas llenaron los espacios vacíos entre las piedras. El profesor volvió a preguntar a los estudiantes si el frasco estaba lleno, ellos volvieron a decir que si. Luego el profesor tomo una caja con arena y la vació dentro del frasco. Por supuesto, la arena lleno todos los espacios vacíos, así que el profesor preguntó nuevamente si el frasco estaba lleno. En esta ocasión los estudiantes respondieron con un ‘si’ unánime. El profesor enseguida agrego 2 tazas de café al contenido del frasco y efectivamente llenó todos los espacios vacíos entre la arena. Se puede observar que cada elemento ocupa su propio espacio y dependiendo de cómo se vierta se logrará un óptimo resultado. Así es también en la solución de ejercicios con signos 215 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado de agrupación y para lograr un resultado exacto se debe seguir la siguiente indicación: a) Empezar a efectuar las operaciones que están ubicadas entre el signo de agrupación que está en la parte central del ejercicio, tomando en cuenta el orden de las operaciones cuando estén combinadas. b) Cuando entre un número y el signo de agrupación no está el signo + ó el signo –, la operación indicada es una multiplicación. Ejemplo 1: simplificar. 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} 0.3 + 0.5 0.8 …sumando lo que está entre los paréntesis. 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.8)] +0.1} 2.0 – 0.8 1.2 0.2 + {1.3 – 0.1 [1.2] +0.1} 0.1 x 1.2 0.12 0.2 + {1.3 – 0.12 +0.1} 1.30 – 0.12 1.18 + 0.1 1.28 …restando lo que está entre los corchetes, …efectuando primero la multiplicación de las operaciones entre las llaves. …efectuando las operaciones entre las llaves. 0.2 + {1.28} 0.2 + 1.28 1.48 Por lo tanto: 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} = 1.48 Ejemplo 2: 2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0.1[ 5 – 3.6 –1.4] -1} –0.36) +0.01 5.0 – 3.6 1.4 – 1.4 0.0 …efectuando las operaciones entre los corchetes. 216 MATEMÁTICAS 2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0.1[ 0] –1} –0.36) +0.01 0.1 x 0 = 0 …propiedad del elemento absorvente: todo número multiplicado por cero el producto es cero. 2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0 -1} –0.36) +0.01 3.4 – 1.0 2.4 …restando lo que está entre llaves. 2.5 ( 0.36 – { 2.4} –0.36) +0.01 – 2.40 +0.36 – 2.04 – 0.36 – 2.40 …efectuando las operaciones entre los paréntesis. 2.5 ( –2.4) +0.01 2.5 × (–2.4) –6.00 …efectuando la multiplicación. –6.00 +0.01 = –5.99 Por lo tanto: 2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0.1[ 5 – 3.6 –1.4] –1} –0.36) +0.01 = –5.99 217 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 11 bloque I 1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) Simplifique: 0.1 + {3.3 – 0.1 [1.2 – (0.3 + 0.3)]} +0.101 2 {10 – 0.1 [0.1 – (0.1 + 0.01)] +0.1} 3.4 ( 2.25 – { 32.1 + 1.1[ 5 – 1.6 +1.4] -1} +0.66) -0.01 2.2 + ( 2.2 – { 2.2 + 2.2[ 32.2 -1.4] -2.2} -2.2) +1.4 56.65 + [ 23.54 –(25.85 +12.96) +58] -85.12 (2.3 × 0.1 + 1) × (1 – 0.54) 10 {0.10 + (10 + [10 – 0.9] -10) +0.10} -0.10 [(20 + 4) × 5 – 8] × (11 – 1) 4 × [(7 × 3) – (5 – 3)] + (9 – 5) × 4 – (5 × 3) Programa de Televisión 2 Secuencia 11 Preste atención al programa de televisión Los decimales aplican ya que en el encontrará información que le ayudará comprender una de las aplicaciones de los decimales. Ejercicios 5 Secuencia II Bloque I EJERCICIOS VERBALES 1. Con base en lo observado en el programa de televisión, diga la palabra o palabras que completen cada oración. a) La _______________________ se utiliza para escribir números muy grandes o números muy_____________________. b) Si se le agrega un cero a un número entero, este es________ veces más grande. 2. Mencione algunos ejemplos en los que se utiliza la notación científica. 218 MATEMÁTICAS EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Representa en notación científica cada situación. a) La campana más grande del mundo pesa: 195,000 kg __________________________ b) El peso estimado de una molécula de oxigeno es 0.000000000000000000000053 gramos.______________________________ 2. a) b) c) d) e) Escriba los siguientes números en notación científica. 15.708 0.00023 0.03 234.2 4.256 3. Simplifique: a) b) 3.1 + {0.3 – 0.1 [1.25 – (0.6 + 0.6)] +0.23} c) (0.2 × 0.1 -0.3) × (0.5 – 0.54) d) 1.2 {0.10 + (1.2 + [10 – 0.8] -10) -1.2} -0.2 219 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 220 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 12 Bloque II VALORANDO LO QUE APRENDO Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad le plantea, su capacidad se encontrará constantemente evaluada por los problemas que a diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este primer bloque: Números y Operaciones. En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de esos conocimientos. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que las y los estudiantes: 1. Establecen procedimientos para efectuar las operaciones matemáticas con números racionales. 2. Resuelven problemas de la vida cotidiana aplicando las razones y proporciones. Adición y sustracción de números racionales Para realizar estas operaciones existen dos “reglas” muy importantes que dependen del signo que tengan los números, observe los siguientes recuadros: 1) Si los números enteros son del mismo signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y al resultado se le escribe el signo de los sumandos. En general, si a, b, y c є Z , entonces: 2) Si los números enteros son de signos contrarios, se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto. En general, si a, b, y c є Z , entonces: i. (+a) + (- b) = + (│a│ - │-b│) = +(a-b), si el de mayor valor absoluto es positivo. ii. (+a) + (- b) = - (│a│ - │b│) = - (a- b), si el de mayor valor absoluto es negativo 1) (+a) + (+ b) = + (│a│ + │b│) = +(a+b) 2) (-a) + (- b) = - (│-a│ + │-b│) = - (a+b) 221 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo 1: Efectuar: –10 – 234 – 16 – 2 Solución: –10 – 234 – 16 – 2 = –(+10 + 234 + 16 + 2) = –262. –10 –234 –16 –2 –262 Ejemplo 2: Efectuar: (–18) + (+12) Solución: Son signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números. (–18) + (12) = │–18│ – │+12│= 18 – 12 = 6 El signo del resultado es negativo (–), porque │–18│ >│+12│ y 18 tiene signo –. Entonces: (–18) + (+12) = –6. Ejemplo 3: Efectuar: Solución: ………Simplificando las fracciones, paso 1. m.c.m.(2,8,5) = 2x2x2x5 = 40 ....….. m.c.m. de los denominadores paso 2. …….Aplicando el paso 3. …… aplicando paso 4. Por lo tanto: Ejemplo 4: Efectuar: 2.8 – 1.325 222 MATEMÁTICAS Solución: se completa con ceros el término con menos cifras decimales y luego se restan como números enteros. 2.800 – 1.325 1.475 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Para realizar la multiplicación de enteros también existen dos “reglas” muy importantes que dependen del signo que tengan los números, observe los siguientes recuadros: El producto de dos enteros es la multiplicación de los valores absolutos de los factores y es: a) Positivo , si ambos factores son positivos o ambos son negativos. El producto de dos enteros es la multiplicación de los valores absolutos de los factores y es: b) Negativo , si ambos factores tienen signos diferentes. Ejemplo 1: 1) Efectuar: (–2 ) ( –4 ) = Solución: (–2 ) ( –4 ) = + (–2 ) ( –4 ) = +8 Ejemplo 2: Efectuar: (10) (–8) = Solución: ( 10 ) ( –8 ) = – … ambos factores son positivos. … los factores tiene signos contrarios. ( 10 ) ( –8 ) = –80 Ejemplo 3: Efectuar: Solución: ……….simplificando cada fracción, paso 1. ……….multiplicando numeradores y denominadores, pasos 2 y 3. ………simplificando la fracción resultante, paso 4. 223 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo 4: Efectuar: 0.123 x 2.3 Solución: 0.123 x 2.3 0369 0246 0.2829 3 cifras decimales 1 cifra decimal 4 cifras decimales en total DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La división no es la excepción, también existen dos “reglas” muy importantes que dependen del signo que tengan los números, observe los siguientes recuadros: El cociente de dos enteros es la división de los valores absolutos del dividendo y el divisor y es: a) Positivo , si el dividendo y el divisor son positivos o ambos son negativos. El cociente de dos enteros es la división de los valores absolutos del dividendo y el divisor y es: b) Negativo , si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes. Ejemplo 1: Efectuar: (–8) ÷ (–4) = Solución: (–8 ) ÷ ( –4 ) = + … ambos términos son positivos. (–8 ) ÷ ( –4 ) = +2 Ejemplo 2: Efectuar: (10 ) ÷ ( –2 ) = Solución: ( 10 ) ÷ ( –2 )= – … los términos tiene signos contrarios. ( 10 ) ÷ ( –2 ) = –5 Ejemplo 3: Efectuar: 224 MATEMÁTICAS Solución: Ejemplo 4: Efectuar: 2.5 ÷ 0.005 Solución: 2.500 ÷ 0.005 2500 ÷ 5 2500 5 –25 500 000 … igualando con ceros el dividendo y el divisor. … eliminando los puntos decimales y ceros de la izquierda. … dividiendo como enteros. Recuerde: cuando se baja una cifra del dividendo y no contiene la división se agrega cero al cociente. Por lo tanto: 2.5 ÷ 0.005 = 500 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES El factor –4 se repite tres veces. El factor que se repite se denomina base, el número de veces que se repite se denomina exponente y el resultado se llama potencia. exponente ( –4 )³ = –64 potencia base 1. 2. 3. 4. Si la base es positiva, sea el exponente par o impar: la potencia es positiva. Si la base es negativa y el exponente par: la potencia es positiva. Si la base es negativa y el exponente impar: la potencia es negativa. -3²≠ (-3)², porque -3²= -(3)(3) = -9 y (-3)²= (-3)(-3) = +9. 225 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo 1: Desarrollar: (–4)³ Solución: (-4)³ = (–4)(–4)(–4) = –64 Ejemplo 2: Desarrollar: Solución: exponente potencia base Ejemplo 3: Desarrollar: Solución: RADICACIÓN EN LOS RACIONALES La radicación es la operación inversa de la potenciación y con los número naturales estudió ampliamente la raíz cuadrada. = 4 porque 4 x 4 = 16 = 8 porque 8 x 8 = 64 ¿Qué pasa si trata de encontrar ?, no hay ningún número que multiplicado por si mismo dos veces de −16; porque (+4)(+4)=16 (−4)(−4) = 16 Por lo tanto la raíz cuadrada de números negativos no está definida en los enteros. Ejemplo 1: Hallar Solución: 2 porque Ejemplo 2: Hallar 226 MATEMÁTICAS Solución: −1 porque Ejemplo 3: Simplificar: Solución: …se aplicó la propiedad de cociente de raíces. Por lo tanto OPERACIONES COMBINADAS Con el fin de reducir el número de paréntesis en las expresiones aritméticas y para evitar ambigüedades se establece el siguiente orden de las operaciones. 1° Se calculan las potencias y raíces. 2° Se realizan las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha. 3° Se realizan las sumas y restas. Ejemplo 1: Resolver: 20 ÷ ( −4 )( 5 ) + ( −2 )²( 3 )( −2 ) Solución: 20 ÷ ( −4 )( 5 ) + ( +4 )( 3 )( −2 )………… Primero potencias. (−5 )( 5 ) + ( +12 )( −2 ) ( −25) + ( −24 ) …….……………Segundo multiplicaciones o divisiones primera de izquierda a derecha. −49 …………………..………Sumas o restas. Ejemplo 2: Efectuar y simplificar: Solución: … se encontró la raíz cuadrada. … se efetuó la multiplicación. 227 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado … sumas y restas Ejemplo 3: Simplificar: a) … desarrollando la potencia. b) 0.01 + 1.03 x 2 ÷ 0.2 = 1.03 x 2 = 2.06… efectuando la multiplicación. c) 0.01 + 2.06 ÷ 0.2 = 2.06 ÷ 0.2 = 10.3 … efectuando la división. d) 0.01 + 10.3 = 0.01 +10.3 10.31 … efectuando la adición. 10.3 Por lo tanto: SIGNOS DE AGRUPACIÓN ( ), [ ], { } ( ) paréntesis [ ] Corchetes { } llaves Ejemplo 1: Suprimir los signos de agrupación y efectuar las operaciones indicadas en: 5{ 2+ [6 + 7 –8 – ( 2 – 10 ) ] – 5 } Solución: 5{ 2+ [6 + 7 –8 – ( – 8 ) ] – 5 } 5{ 2+ [6 + 7 – 8 + 8 ] – 5 } 5{ 2+ [ +13 ] – 5 } ………. efectuamos la operación del paréntesis. ………. suprimimos el paréntesis. ………. efectuamos la operación de los corchetes. 5{ 2 +13 – 5 } ………. suprimimos los corchetes. + 50 ………. suprimimos las llaves. 5{ + 10 } ………. efectuamos la operación de las llaves. 228 MATEMÁTICAS Ejemplo 2: Simplificar: Solución: v. Primero se resolverá la sustracción indicada en los paréntesis …sustituimos en el paréntesis. vi. Ahora se resolverá la multiplicación indicada en los corchetes. …sustituimos en los corchetes. vii.Ahora se resolverá la sustracción indicada en las llaves. …sustituyendo en las llaves. viii.Por último las operaciones indicadas. Por lo tanto: Ejemplo 3: Simplificar: 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} Solución: 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} 0.3 +0.5 0.8 …sumando lo que está entre los paréntesis. 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.8)] +0.1} 229 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 2.0 – 0.8 1.2 …restando lo que está entre los corchetes. 0.2 + {1.3 – 0.1 [1.2] +0.1} 0.1 × 0.2 0.12 …efectuando primero la multiplicación de las operaciones entre las llaves. 0.2 + {1.3 – 0.12 +0.1} 1.30 - 0.12 1.18 + 0.1 1.28 …efectuando las operaciones entre las llaves. 0.2 + {1.28} 0.2 + 1.28 1.48 Por lo tanto: 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} = 1.48 Ejercicios 1 Secuencia 12 bloque I 1) a) b) c) d) e) f) g) h) i) Efectúe las siguientes operaciones: –23+(–15)+(–10)= (–12) +(–22) = 8+20+12 = 5/4+ 3/4+ (–9/4) 2 + 12/8 2/3+ 1/2 –3/4 0.3+0.8+(–3.5) –32.2+1.5+6.2 –6.42 + 14.2 – 129.63 + 3 230 MATEMÁTICAS 2) Desarrolle las siguientes multiplicaciones, simplifique las respuestas si es posible (recuerde que los paréntesis también indican multiplicación): a) 325 × 890 b) (3)(–8)(–4) c) (–1)(–1)(–1)(–2) d) e) f) g) 12.2(–0.025) h) 0.01 × 0.1 × 2 i) 4.5 × 100 3) Desarrolle las siguientes divisiones, simplifique las respuestas si es posible: a) –128 ÷ 2 b) –10 ÷ –10 c) d) e) 93.99 ÷ 6.9 f) –10.24 ÷ 16 4) Desarrolle cada una de las siguientes potencias: a) b) c) d) e) f) 5) Calcule las siguientes raíces: a) b) 1 16 c) 25 25 231 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 6) Realice los siguientes ejercicios: a) 3² – 8 ÷ 2³ × 2 + 2² ÷ 2 × 2 - 3² b) – 20 +( 1³)(2²)(3) ÷ 12 – 16 (- 2 )² + 20 c) 2 1 5 3 5 + x ÷ 2 4 5 9 2 4 d) 4 x 16 + 1 2 1 3 ÷ 2 2 e) 0.2+0.02 ÷0.2 x0.1-0.2 7) a) b) c) Simplifique: 10 + { 10 + 10 [ 10 – 2 ( 10 – 10 ) ] – 10 } 3 { 6 ( 3 – 4 [ 9 – 16 ] ) -3} 4 – 2 ( 20 – 12 [ 16 – 36 { 32 – 28 ( 4 – 12 ) + 4 } -10 ] ) 8) Resuelva: a) Una persona invierte 26,733 lempiras en comprar un lote de artículos que cuesta 67 lempiras la unidad. ¿Cuántos artículos compró?. b) Dos niños recolectan conchitas de caracoles en la playa, juntan 325 conchitas que deciden guardar en cajas; para ello disponen de 8 cajas. ¿Podrán colocar igual cantidad de conchitas en todas las cajas?; si / no ¿Cuántas conchitas sobrarían? c) ¿Cuál es la longitud de una pieza de tela si los ¾ de ella son 72 metros? d) De un tonel se sacaron sucesivamente 28 ½ y 34 ½ y quedaron todavía 25 ½ ¿Cuánto contenía el tonel? 232 Cuando se cursa el Séptimo grado de educación básica, ya se ha estudiado Aritmética en todos los años anteriores de vida escolar. En el bloque II conocerá otra rama de las Matemáticas que se denomina Álgebra y que es considerada como una generalización y extensión de la Aritmética. El Álgebra emplea el conocimiento y uso de los números, así como un lenguaje simbólico que se emplea en la resolución de problemas para representar cantidades desconocidas. La palabra Álgebra proviene del árabe, se origina en el vocablo alchebr que significa reducción. Una forma de definir esta rama de las Matemáticas es: Álgebra es una parte de las Matemáticas cuyo objetivo es simplificar las cuestiones relativas a los números. LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado EXPECTATIVAS DE LOGRO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Desarrollan el concepto de variables y expresiones algebraicas. Usan el lenguaje algebraico para formalizar matemáticamente frases de la vida real. Reconocen la aplicabilidad de las ecuaciones lineales en situaciones de la vida real. Resuelven ecuaciones lineales en una variable. Desarrollan el concepto de la razón de dos números. Desarrollan el concepto de proporcionalidad. Distinguen la proporcionalidad directa e indirecta. Resuelven problemas que involucran proporcionalidad aplicando la regla de tres. CONTENIDOS ▪ Variables y expresiones. »»Lenguaje algebraico. »»Aplicación del lenguaje algebraico. »»Constante, variable y término algebraico. »»Expresiones algebraicas. »»Términos semejantes. »»Expresión reducida. »»Valor numérico de expresiones algebraicas. ▪ Ecuaciones lineales en una variable. »»Propiedades de la igualdad. »»Ecuaciones lineales. »»Solución de ecuaciones lineales de la forma (x±a=b). »»Solución de ecuaciones lineales de la forma (ax=b). »»Solución de ecuaciones lineales de la forma (ax+b=cx+d) »»Ecuaciones con denominadores. »»Ecuaciones con paréntesis. »»Aplicación de las ecuaciones. ▪ Razón, Proporcionalidad y Porcentaje. »»Razones. »»Proporciones. »»Variación proporcional. »»Variación directamente proporcional. »»Aplicaciones de la proporcionalidad. »»Tanto por ciento de una cantidad. »»Aplicaciones del tanto por ciento. 234 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 1 Bloque II LAS LETRAS EN LAS MATEMÁTICAS. Muchos de los problemas se resuelven aplicando una fórmula. En este caso se puede disponer de un formulario y aprender a sustituir las letras de la fórmula por los datos del problema, realizando después, las operaciones indicadas. Esto es muy frecuente en la geometría cuando se realiza el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, también ocurre en otras áreas de las Matemáticas y con muchas ciencias; sin embargo, existen muchos otros problemas para los cuales no hay fórmula que conduzca a la solución, cuando esto ocurre, es necesario razonar y así encontrar un camino que sea adecuado para resolverlos. Aquí se requiere traducir el enunciado del problema (que está dado en lenguaje común) al lenguaje propio de las Matemáticas, que es un lenguaje simbólico. Este lenguaje es esencial para la comunicación en las Matemáticas, se conoce con el nombre de lenguaje algebraico y es propio del Álgebra, que es una de las ramas de las Matemáticas que se empezará a estudiar en esta secuencia de aprendizaje. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Desarrollen el concepto de variables y expresiones algebraicas. Introducción al lenguaje matemático Las Matemáticas tienen su propio lenguaje matemático. Se trata de un lenguaje técnico en el cual no solamente se utilizan cifras para representar los números, si no también se usan una serie de símbolos como las letras y los de las operaciones fundamentales Con el objeto de que se pueda generalizar y crear modelos que permitan resolver problemas con datos diferentes pero idéntico esquema de solución. Considere el siguiente ejemplo: El campo de futbol de un centro de educación básica es de forma rectangular que mide 40 m de largo por 20 m de ancho, como se observa en la siguiente figura: 235 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Se sabe que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma medida y se puede obtener la medida de su contorno (o perímetro) sumando las medidas de sus cuatro lados. 40 m 20 m 20 m 40 m Entonces se tiene: Medida del contorno o perímetro: 40 m + 40 m + 20 m + 20 m = 120 m Sin embargo, existen una infinidad de rectángulos con medidas diferentes. Las operaciones que aquí se han realizado solamente sirven para obtener la medida del contorno de un rectángulo de 40 m de largo por 20 m de ancho. Es necesario conocer una forma general de obtener la medida del contorno de cualquier rectángulo. En primer lugar hay que recordar que el entorno de cualquier figura geométrica se le llama perímetro y se denota con la letra P; además, se utilizan otras letras del alfabeto para representar el largo y ancho de la figura. PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO a b b a Para hacerlo así, es necesario convenir en que: a representa cualquier número racional, que será la medida del largo de un rectángulo cualquiera y b representa también cualquier número racional, que es la medida del ancho de un rectángulo cualquiera. Entonces se tiene: P = a + a + b +b 236 MATEMÁTICAS Pero hay que considerar que la suma de a + a es como la adición de dos objetos cualquiera de la misma naturaleza. Por ejemplo: 1 cuaderno + 1 cuaderno = 2 cuadernos 1 pizarra + 1 pizarra = 2 pizarras entonces: a + a = 2a y b + b = 2b Por lo tanto: P = 2a + 2b, lo que significa que el perímetro de un rectángulo se obtiene sumando el doble del largo (2a) con el doble del ancho (2b). De lo anterior se puede obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo, como se muestra a continuación: Hallar la medida del perímetro de un rectángulo de 8 m de largo y 6 m de ancho. P = 2a + 2b Se sustituye a y b por las medidas del rectángulo. P = 2(8 m) + 2(6 m) = 16 m + 12 m = 28 m. La expresión P = 2a + 2b sirve para obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo, siempre y cuando se conozca lo que este mide de largo y de ancho. Por supuesto, es necesario sustituir correctamente a y b con las medidas del largo y ancho del rectángulo, y realizar las operaciones indicadas. Regresando al primer ejemplo: a = 40 m y b = 20 m y conociendo la fórmula se tiene: P = 2a + 2b = 2(40 m) + 2(20 m) = 80 m + 40 m = 120 m. El perímetro del campo de futbol del centro de eduación básica es 120 m. Cuando esto ocurre, una expresión como P = 2a + 2b, se considera una fórmula, ya que se puede aplicar en la obtención del perímetro de cualquier rectángulo. En las Matemáticas las letras a y b se les llama variables y su función es representar en forma general cualquier número. PERÍMETRO DE UN CUADRADO La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como: P =4a, si se acepta que a es la medida de un lado, así: 237 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado a a a a Se sabe que el perímetro de un cuadrado es: a + a + a + a = 4a Por esta razón la fórmula se expresa: P = 4a Esta fórmula sirve para obtener el perímetro de cualquier cuadrado, porque siempre habrá cuatro lados iguales y se sumarán sus medidas o se multiplicará la medida de un lado por 4. Hallar el perímetro de un cuadrado que mide: a) 2 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene: P = 4a = 4(2m) = 8 m b) 10 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene: P = 4a = 4(10m) = 40m 238 MATEMÁTICAS Ejercicios 1 Secuencia 1 bloque II a) Forme un equipo de trabajo y resuelva lo siguiente: i. a) b) c) d) e) Si b = 6, entonces: 5b = 4b = 2b = 6b = 3b = ii. Si n = 2, entonces: a) (n)(n) = b) = c) (n)(n)(n) = d) = iii.Si a = 6 y b = 2, entonces: a) 2a + 2b = b) = c) = d) 3a – 2b = b) Obtenga el perímetro de las siguientes figuras: Del rectángulo 10 3 Del cuadrado 5 5 239 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado c) Determinar la fórmula para obtener el perímetro en cada una de las figuras. n n P = _________ n b b b b P = __________ b 3a 2a b b a 2b 2b 2a P = __________ b b P = _________ Programa de Televisión 1 Secuencia 1 bloque II Observe el programa de televisión ¿Por qué aumentan o disminuyen?, en el cual se hará una descripción de las constantes y las variables en el lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico El lenguaje es esencial para la comunicación de los seres humanos y para la ciencia en general es de gran trascendencia el que se utiliza en las Matemáticas, y dentro de este es muy importante el lenguaje algebraico. Álgebra es una rama de las Matemáticas que tiene en sus principales objetivos simplificar y 240 MATEMÁTICAS generalizar las cuestiones relativas a los números. Para lograr tales objetivos se ha creado un lenguaje simbólico. Los símbolos se utilizan para representar números. Para iniciar el camino hacia la comprensión del lenguaje, considere lo siguiente: es un número entero. Al hacer la afirmación, debe entenderse que representa a cualquier integrante de la serie de los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, …), que es infinita, y a partir de ese momento, se puede operar con él como se opera normalmente con esa clase de números. Si se suma con él mismo, se tiene: La expresión 2 es el doble de Por lo tanto, 2 está representando el doble de cualquier número natura, y con esta expresión se está generalizando la forma de representar el doble de un número entero cualquiera. Considere ahora que son números enteros y que puede operar con ellos, así: , representa de una manera general la suma de dos números naturales cualquiera. De igual forma , está representando la diferencia de dos números naturales cualquiera. representa el cuadrado de cualquier número natural, puede pensarse en dividir , y en este caso la expresión representa la mitad de cualquier número natural. Una generalización como esta no se puede hacer usando cifras, ya que haría referencia a números en particular y en los ejemplos anteriores, en cambio, se alude a números cualquiera, haciendo válida la apreciación para cualquier número natural tomado. Usualmente, el lenguaje algebraico no se maneja con cualquier clase de símbolo, como ó u otros que pudieran escogerse de forma arbitraria, sino que se ha convenido en utilizar las letras del alfabeto (a, b, c, d…x, y, z) para la representación algebraica, la cual permite que el citado lenguaje adquiera carácter universal. El manejo del lenguaje algebraico, como es natural, se logra estudiando de lo más elemental hasta adquirir seguridad después de haber practicado con cierta intensidad. Considere los siguientes ejemplos: 241 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Lenguaje comúnLenguaje simbólico Un número cualquiera La suma de dos números La diferencia de dos números El producto de dos números El cociente de dos números El cuadrado de un número El cubo de un número La raíz cuadrada de un número El doble de un número El triple de un número La mitad de un número La tercera parte de un número a a+b x–y ad (cuando se usan letras, no se requiere signo para indicar la multiplicación) 2x 3x Ejercicios 2 Secuencia 1 bloque II Escriba en su cuaderno los siguientes ejercicios y luego resuélvalos: a) Relacione las expresiones de lenguaje común, que están a la izquierda con las de la derecha (expresadas en lenguaje simbólico), colocando dentro de cada paréntesis el número que corresponda. 1. La mitad de un número ( ) 2. La diferencia de dos números ( ) 3. La raíz cúbica de un número ( ) 4. La cuarta parte de un número ( ) a–b 5. La raíz cuadrada de un número ( ) 5. El cuadrado de un número ( ) b) Traduzca en su cuaderno, del lenguaje común al lenguaje simbólico, las siguientes expresiones. 1. La suma de dos números. 2. El triple de un número. 3. El producto de dos números. 4. La quinta parte de un número. 5. Un número cualquiera más dos. 6. La suma de tres números. 7. Un número más el triple de otro. 8. La suma de dos números es 20. 9. Un número menos 5. 242 MATEMÁTICAS 10.Un número más el doble de otro. c) Con base en el programa de televisión conteste las siguientes preguntas: 1. ¿Qué es una variable? 2. ¿Qué es una constante? Constante, variable y término algebraico En Honduras el clima no es el mismo en todo el territorio, el pronóstico del clima predice que puede cambiar de calor a frío o que puede llover inesperadamente en ciertas regiones del país, también se puede hablar por ejemplo, que la temperatura en el Polo Norte se ha mantenido constante durante la última semana. Esto da idea de que la temperatura en el polo no ha variado durante ese lapso. En el mundo hay muchas cosas que sufren variación y otras que permanecen constantes. En las Matemáticas también se presenta esta situación. Considere el ejemplo de la sesión anterior. La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como P = 4a, donde a representa la medida de un lado. Analizando la fórmula con mayor detenimiento, se aprecia que cada vez que la longitud del lado del cuadrado sea diferente cambiará el valor de P y el de a, pero el 4 permanecerá constante. En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos para representar números y cantidades cualesquiera, y existen dos tipos: 243 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado En una expresión como y=× + 3, si se le da un valor a ×, se obtendrá un valor de y, como se muestra a continuación: Se aprecia claramente que los valores de x y y son variables y el valor de 3 es constante. TÉRMINO ALGEBRAICO Para indicar, en Álgebra, el producto de dos o más números cualesquiera representados por variables, basta con escribir las variables en secuencia, anulando cualquier signo de multiplicación, así: Para indicar el producto de una constante con una o más variables, se anotan la constante con las variables en secuencia, así: De lo anterior se concluye que: Término Algebraico: es el producto indicado de constantes y variables. Ejemplos: 2 3 3b, -5𝑥𝑥 2 , 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥, -3.2𝑚𝑚𝑛𝑛6 Los componentes de un término son: 1. Signo: Positivo (+) ó negativo (–). Si un término no tiene signo se considera positivo. 2. Coeficiente: Es el factor numérico que se escribe a la izquierda de las variables. 3. Parte literal: La letra (variable) o letras que forman el término. 4. Grado absoluto: La suma de los exponentes de las variables Ejemplos: 244 MATEMÁTICAS Ejercicios 3 Secuencia 1 bloque II Conteste en su cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Qué es una constante?. Dé dos ejemplos. b) ¿Qué es una variable?. Dé dos ejemplos. c) ¿Qué es un término algebraico? Dé dos ejemplos. d) ¿Cuáles son las partes de un término algebraico? Dé dos ejemplos. Comente y conteste en su cuaderno las siguientes preguntas: a) Si se aplica la fórmula A = para calcular el área de varias circunferencias, ¿Qué símbolos cambian de valor? b) A esos elementos que cambian, ¿Cómo se les llama? c) En la misma fórmula, ¿Qué elementos no cambian de valor? d) ¿Qué nombre se les da a los elementos que no cambian? En la fórmula para calcular un punto medio, donde y son extremos. a) ¿Cuáles son las variables? b) ¿Cuáles son las constantes? Con el mismo equipo de trabajo comente y complete el siguiente cuadro. Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ellas es posible resolver problemas en los que intervienen las variables que representan números, lo cual permite generalizar tanto en lo que se refiere a las cantidades como a los algoritmos de las operaciones que se realizan con ellas. Una expresión algebraica es cualquier combinación de constantes, variables, exponentes, símbolos y operaciones matemáticas. Ejemplos: 3𝑥𝑥 2 , 5𝑦𝑦 3 + 9𝑦𝑦 − 1, (𝑥𝑥 5 − 3𝑛𝑛 ) 𝑥𝑥𝑥𝑥 245 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Una vez hecha la consideración anterior se está en condiciones de clasificar las expresiones algebraicas en: 1.Monomio 2.Binomio 3. Trinomio 4.Polinomio 1) La expresión algebraica más simple se conoce con el nombre de monomio, porque está compuesta sólo por un término, la cual se distingue por tener los siguientes elementos: a) Coeficiente b) Parte literal c) Exponente(s) Ejemplos: a) El coeficiente es el factor numérico que en los ejemplos anteriores está expresado por: −5 y 9. Los coeficientes se escriben antes de las variables; anteriores. , respectivamente en los ejemplos Un coeficiente puede ser una fracción. Ejemplo: Coeficiente fracción. Cuando no se escribe el coeficiente, se supone que es igual a 1. Ejemplo: Cuando no se escribe el signo al coeficiente, se presume que es positivo. Ejemplo: b) La variable o variables están representadas por las letras minúsculas del abecedario. c) El exponente es un número natural. Exponente Coeficiente Parte literal Cuando la variable no tiene exponente se presume que es 1. Ejemplo: 246 MATEMÁTICAS 2) Un binomio es la expresión algebraica formada por dos términos. Ejemplos: a) b) c) Los términos algebraicos se separan en una expresión con el signo más o menos ( + ó –). 3) Un trinomio es la expresión algebraica formada por tres términos. Ejemplos: a) b) c) Existe un caso muy especial cuando se tiene un término donde no aparece físicamente variable alguna, se le identifica como término independiente. Ejemplo: Término independiente (no tiene variable) En la expresión anterior, el término independiente es –1. d) Un polinomio es la expresión algebraica formada por uno o más términos. Ejemplo: Ejercicios 4 Secuencia 1 bloque II En equipo de trabajo, realice en su cuaderno las siguientes actividades: 1. Indique el número de términos que tiene cada expresión algebraica a) b) c) d) e) 247 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 2. Relacione las siguientes columnas, colocando la letra correspondiente en el paréntesis. a) Se representa con una letra. ( ) Expresión algebraica b) Término que no tiene variables. ( ) Coeficiente c) Es el factor numérico del término Algebraico. ( ) Trinomio d) Expresión que consta de tres términos. ( )Variable ( )Término Independiente 3. a) b) c) d) e) f) Defina cada concepto y escriba un ejemplo de las siguientes expresiones algebraicas: Monomio Binomio Trinomio Polinomio Expresión algebraica Termino independiente Programa de Televisión 2 Secuencia 1 bloque II Observe el programa de televisión Calculando con letras en el cual se mostrará la solución de problemas comunes utilizando el lenguaje algebraico. Ejercicios 5 Secuencia 1 bloque II EJERCICIOS VERBALES 1) Comente y conteste las siguientes preguntas: a) ¿Qué lenguaje es muy importante para el lenguaje de las Matemáticas? b) ¿Cuál es la rama de las Matemáticas que tiene entre sus objetivos simplificar y generalizar cuestiones relativas a los números? EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO En el diagrama que está a continuación, siga el sentido de la flecha y escriba dentro del recuadro, con lenguaje algebraico, lo que se le pide. 248 MATEMÁTICAS Relacione la columna del lenguaje algebraico con la columna del lenguaje común, colocando en el paréntesis la letra correcta. Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje común y viceversa, según sea el caso: a) __________________________________________________________________ b) Un número más el doble del mismo.________________________________________ c) ________________________________________________________________ d) El cociente de cuadrado de un número entre diez._____________________________ 249 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 250 MATEMÁTICAS Secuencia Secuencia de Aprendizaje 2 Bloque II TÉRMINO O TERMINÓ. La humanidad en su infatigable deseo de investigación, descubre el número, con el cual representa medidas de todo lo que le rodea. Sus sentidos lo llevan a lograr abstracción y con ello logra la generalización de expresiones Matemáticas. A los árabes se atribuye el desarrollo del Álgebra y en su lengua las palabras al gabr, significan restauración. El Álgebra es el pilar de ramas de la matemática como la Geometría y la Geometría , y su uso se ha extendido a otras áreas de la ciencia. En este curso se dará seguimiento al estudio del Álgebra, después de recordar algunos conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico en la secuencia anterior, ahora se estudiará las expresiones algebraicas, cómo reducirlas y cómo encontrar el valor. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Reduzcan términos semejantes de una expresión algebraica. 2. Determinen procedimientos para reconocer y evaluar expresiones algebraicas. Álgebra: El siglo IX es la época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del Álgebra. Al matemático Al – Jwarizmi se le conoce como el “padre del Álgebra”, investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo, que se usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de “procedimiento sistemático de cálculo”. La palabra Álgebra deriva de la expresión árabe “Al-jabr” que significa “restauración” del equilibrio mediante la trasposición de términos de una ecuación, se deriva del título de 251 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del Álgebra, Al-jabr wal muqabala. Pero el Álgebra tiene sus orígenes en Egipto y Babilonia en el segundo milenio antes de Cristo cuando estas civilizaciones la usaban para resolver ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado. A lo largo de la historia de la humanidad, ésta rama de la matemática siguió desarrollándose con las contribuciones que hicieron las distintas civilizaciones y que han llegado hasta nuestros días. Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y cálculo de raíces. La Aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones Matemáticas, como decir, la suma de dos números cualquiera es diez; en la Aritmética estos números hay que expresarlos de forma particular, como: 1 + 9 = 10, 8 + 2 = 10, 5 + 5 = 10, entre otros. En el Álgebra basta con escribir a + b = 10, para representar cualquier par de números que sumados den diez. Ejercicios 1 Secuencia 2 bloque II Comente y conteste las siguientes interrogantes: a) ¿De qué nombre se deriva la palabra algorítmo y qué significa? b) ¿De qué nombre se deriva la palabra Álgebra y qué significa? c) ¿A quién se le conoce como el padre del Álgebra? d) Escriba 5 pares de números que sumados den 15. e) Escriba en lenguaje algebraico lo siguiente: La suma de dos números es quince. El doble de un número más 10 es cero. f) Señale cada una de las partes del siguiente término algebraico. 252 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 1 Secuencia 2 bloque II Observe el programa de televisión Encuentra lo que buscas en el cual se mostrará situaciones cotidianas en las que se aplican la adición y sustracción de variables. Términos semejantes, expresión reducida Imagine que usted es el encargado o encargada de hacer un inventario de los granos que hay en las bodegas del IHMA (Instituto Hondureño de Mercadeo Agrícola), situadas en Danlí y Tegucigalpa. Tiene los siguientes informes: en Danlí hay 80 quintales de arroz, 75 quintales de frijoles, 100 quintales de maíz, 80 quintales de sorgo, 67 quintales avena, 45 quintales de trigo; y en Tegucigalpa hay 60 quintales de arroz, 58 quintales de frijoles, 10 quintales de maíz, 62 quintales de sorgo, 20 quintales de avena; pero 15 quintales de maíz, 10 de frijoles, 30 de avena y 16 de arroz se humedecieron (lo que significa una pérdida). Para tener una información más clara de la existencia de los granos, es conveniente reunir toda la información: 80 quintales de arroz en Tegucigalpa + 60 quintales de arroz en Danlí –16 de arroz que se humedecieron = 124 quintales de arroz. 75 quintales de frijoles en Tegucigalpa +58 quintales de frijoles en Danlí –10 quintales de frijoles que se humedecieron = 123 quintales de frijoles. 100 quintales de maíz en Tegucigalpa +10 quintales de maíz en Danlí –15 quintales de maíz que se humedecieron = 95 quintales de maíz. 80 quintales de sorgo en Tegucigalpa + 62 quintales de sorgo en Danlí = 142 quintales de sorgo. 67 quintales avena en Tegucigalpa + 20 quintales avena en Danlí –30 quintales de avena que se humedecieron = 57 quintales avena. 45 quintales de trigo (no hay más existencia) De lo anterior, se observa lo siguiente: 253 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado a) Se suman los elementos de la misma clase, es decir, la existencia de quintales de los mismos granos se suma. b) Se restan los elementos de la misma clase. Los quintales que se humedecieron se restaron de la suma de los quintales del mismo grano del inventario de las dos bodegas. c) Los elementos que no tienen semejantes quedan independientes. Los quintales de trigo no se sumaron o restaron. d) El resultado final es la forma más reducida de presentar la información. Se puede establecer una relación algebraica para manejar toda la información anterior, dando símbolos que representen cada uno de los granos, así. quintales de arroz = a quintales de frijoles = f quintales de maíz = m quintales de sorgo = s quintales avena =v quintales de trigo =t Por lo que se obtendría: 80a + 60a – 16a = 124a (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se pueden reducir a “ 124a ” ) 75f + 58f – 10f = 123f (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se pueden reducir a “ 123f ” ) 100m + 10m – 15m = 95m (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se pueden reducir a “ 95m ” ) 80s + 62s = 142s (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se pueden reducir a “ 142s ” ) 67v + 20v – 30v = 57v (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se pueden reducir a “ 57v ” ) 45t (es el único término) Juntando todos los datos se obtiene: 24a + 123f + 95m + 142s + 57v + 45t 254 MATEMÁTICAS Son términos que no se pueden reducir más, pues no presentan los mismos elementos. Los términos que se pueden reducir son los que tienen los mismos elementos, es decir, que son semejantes. Términos semejantes: son los que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes y que sólo pueden diferir en sus coeficientes, es decir tienen igual parte literal. Ejemplos: y a y –a y y son términos semejantes, pues la variable es la misma (x) y está elevada al mismo exponente (2), aunque los coeficientes sean diferentes (–3 y 6). son términos semejantes, pues la variable es la misma (a) y está elevada al mismo exponente (1), aunque los coeficientes sean diferentes (1 y –1). son términos semejantes, pues las variables son las mismas (×,b,y), sin importar que estén en diferente orden y están elevadas a los mismos exponentes (1 y 3), aunque los coeficientes sean diferentes (2 y 0.3). no son términos semejantes, pues aunque tengan el mismo coeficiente (–2) y la misma variable (x), el exponente es diferente. Expresión reducida de un polinomio es aquella que no tiene términos semejantes Así cuando en una expresión hay términos semejantes, se pueden reducir conforme al siguiente señalamiento: 1) Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, estos se suman y al resultado, se le asigna el signo de los sumandos, seguido de la o las variables comunes. Ejemplos: Hallar la expresión reducida de: a) 2n + 5n + n = (2 + 5 + 1)n = 8n b) –3y – 2y = –5y 2) Cuando los términos semejantes tienen coeficientes con diferente signo, se restan los valores absolutos de los coeficientes y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto, seguido de la o las variables comunes. Ejemplos: Hallar la expresión reducida de: a) –2× + 5×= (–2+5)×= 3× b) 2×y – 12×y = (2 – 12)×y = –10×y 3) Cuando los términos semejantes son más de dos y sus coeficientes de signos diferentes, se agrupan los de signo positivo y los de signo negativo de forma separada, después se reducen ambos términos conforme se señala en los incisos anteriores. 255 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo: Hallar la expresión reducida de: a) 3× – 5× + 4× –6× – × = 3× + 4× –5× –6× – × = 7× – 12× = –5× 4) Cuando en una expresión hay términos semejantes y otros que no son semejantes, se agrupan los semejantes, después se reducen ambos términos conforme se señala en los incisos anteriores. Ejemplos: Hallar la expresión reducida de: a) = se agrupan los términos semejantes. } se reducen los términos semejantes. Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la expresión resultante con el signo que originalmente tenía. Ejercicios 2 Secuencia 2 bloque II 1. Escriba la siguiente expresión algebraica en su cuaderno, encierre los términos semejantes y luego escriba porque son semejantes: 2. Encontrar la expresión reducida de: 1) 2) 3) 4) 2xa – 3by + 3cx – 5ax 5) 6) 7) –ax + 6by – mn + 9ax – mn 8) 9) 10) 256 MATEMÁTICAS Valor numérico de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene sustituyendo las variables por sus valores numéricos respectivos y efectuando con tales valores, las operaciones indicadas. Al efectuar estas operaciones, debe respetarse la prioridad de las operaciones estudiadas anteriormente. Por ejemplo: Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones: a) si se asigna arbitrariamente, el valor a Recuerde que cuando aparecen una constante seguida de una o más variables sin que entre ellas haya un signo de + ó -, se trata de una multiplicación. Se sustituye el número 5 por la variable b, se efectúa la potencia , luego se multiplica con el coeficiente 2, lo cual da 50. b) si se asigna arbitrariamente, el valor a Para calcular el valor numérico de la expresión anterior es necesario conocer el valor numérico de cada uno de los términos que lo forman. 1) Se sustituye el número 2 por la variable x y se efectúa la multiplicación con el coeficiente 3, lo cual da 6. 3x = (3)(2) = 6 2) Se sustituye el número 2 por la variable x, se efectúa la potencia multiplica con el coeficiente 2, lo cual da 8. , luego se = 3) Una vez determinado el valor de cada término de la expresión algebraica, se reducen todos hasta encontrar un solo valor que será el que corresponde a todo el polinomio, es decir: 6 + 8 = 14 Por lo tanto, el valor numérico de c) ; para , cuando × = 2 es 14. 257 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Se determina el valor numérico de cada término: Ahora se reducen todos los valores numéricos hasta tener un solo que será el que corresponde a la expresión algebraica. Por lo tanto, el valor numérico de ; cuando Ejercicios 3 Secuencia 2 bloque II Dada la expresión algebraica: encuentre lo que se le pide: a) b) c) d) e) f) Hallar el valor numérico de: a) ; para b) ; para c) ; para d) e) ; para ; para 258 y los valores , es , MATEMÁTICAS EJERCICIOS VERBALES Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Serán semejantes dos términos cuyas variables y exponentes son los mismos, pero su orden es diferente? ¿por qué? b) ¿Cuándo dos o más términos son semejantes? c) Al reducir términos algebraicos semejantes, ¿Qué le sucede a los coeficientes y qué a las variables? d) ¿Qué operación representan una constante y una variable juntas? EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Encuentre la expresión reducida de: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Encuentre el valor numérico para los valores que se indican. a) para para b) c) para para d) e) para f) para g) para h) para i) para j) k) para para 259 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado l) para m) para n) o) 260 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 3 Bloque II ¿PARA QUÉ LAS ECUACIONES? En esta secuencia se introduce el concepto de ecuación lineal a través de la solución de problemas. Las ecuaciones son sumamente útiles en la solución de una infinidad de dificultades que por métodos aritméticos sería bastante laborioso resolver. En cambio utilizando el lenguaje algebraico y planteando la ecuación que representa el enunciado del problema se llega directamente a la solución. Las ecuaciones se usaron desde hace más de 16 siglos en las civilizaciones antiguas y su utilidad sigue vigente en la actualidad, a pesar de los grandes avances de la ciencia y la tecnología. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Establezcan procedimientos para hallar el conjunto solución de ecuaciones lineales. 2. Reconozcan la aplicabilidad de las ecuaciones en la vida real. 3. Resuelvan problemas mediante ecuaciones lineales. Signo igual que El símbolo igual que (=) que se utiliza hoy de forma universal en Matemáticas para hacer referencia a la igualdad, fue utilizado por primera vez por el matemático galés Robert Recorde en su obra The Whetstone of Witte (1557). La forma original del símbolo era más larga de la que se utiliza en la actualidad. En su libro, Recorde explica su diseño: “Para evitar la tediosa repetición de las palabras es igual a, estableceré como normalmente hago en las hojas de trabajo un par de paralelas, o líneas gemelas de la misma longitud, esto es: =, porque no hay nada que pueda ser más igual que dos líneas”. Sin embargo, un manuscrito de la Universidad de Bolonia fechado entre 1550 y 1568 utiliza el mismo símbolo para la igualdad, y es posible que sea anterior al uso de Recorde. 261 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Según un tratado sobre historia de las Matemáticas de la Universidad St Andrews, en Escocia, el símbolo “=” no se popularizó de forma inmediata. El símbolo “æ “, que hacía referencia a la palabra latina aequalis, que significa igual, fue utilizado mucho hasta entrado el siglo XVIII. LA IGUALDAD Es común escuchar que dos cosas son de la misma especie, que tienen la misma cantidad o que son de la misma calidad. En Matemáticas, dos objetos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor, y eso es verdad cuando existe una relación de equivalencia entre ellas, esa relación, llamada igualdad, se denota con el signo igual (=). Esta relación se establece generalmente entre números y operaciones, por ejemplo: 3+4=7 6 – 7 = –1 Formalmente se puede decir: La igualdad se establece cuando dos expresiones representan el mismo valor. Al establecer una igualdad entre dos expresiones, se pueden observar dos partes fundamentales: el primer miembro a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha del signo. Primer miembro Segundo miembro a = b PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Propiedad reflexiva: Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma. Ejemplos: 5=5 2a = 2a 7+8=7+8 x=x Todo número es igual a sí mismo. Propiedad simétrica: En esta propiedad se observa que al establecer una igualdad el primer miembro es igual al segundo y el segundo miembro es igual al primero. Ejemplos: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 Si a – b = c, entonces c = a – b Si x = y, entonces y = x Los miembros de una igualdad pueden cambiar sus lugares. 262 MATEMÁTICAS Propiedad transitiva: Si se establece que una expresión es igual a otra y ésta es igual a una tercera, la primera es igual a la tercera. Ejemplos: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5 Si x + y = z y a + b = z, entonces × + y = a + b Si m = n y n = p, entonces m = p Si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos son iguales. Propiedad uniforme: Si a los dos miembros de la igualdad se les aumenta, disminuye, multiplica o divide entre la misma cantidad, la igualdad permanece. Ejemplos: Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3) Si a = b, entonces a + x = b + x Si 3y = 12, entonces 3y/2= 12/2 Si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. Propiedad cancelativa: Establece que se pueden suprimir sumandos o factores iguales en los dos miembros de una igualdad y el resultado es otra igualdad. Ejemplos: Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12 Si a + b = c + b, entonces a = c Si (8 ÷ 4) (5) = (2) (5), entonces 8 ÷ 4 = 2 En una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera. Ejercicios 1 Secuencia 3 bloque II Realice en su cuaderno lo que se le pide: Escriba a la par de cada definición la propiedad de igualdad que se anuncia. a) Si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos son iguales. b) Si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. c) Todo número es igual a si mismo. d) En una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera. Escriba a la par de cada expresión la propiedad aplicada a) a = a b) a + b = c + b, entonces, a = c c) a = b, entonces, b = a d) a = b, entonces, x + a = y + a e) a = b y b = c, entonces a = c 263 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Escriba un ejemplo con números, que muestre la aplicación de cada propiedad: a) Reflexiva b) Simétrica c) Transitiva d) Uniforme e) Cancelativa Analice las siguientes expresiones y anote la propiedad de igualdad que se podría aplicar a) De dos quintales de maíz cuyos pesos están equilibrados se quita la cuarta parte de cada uno. b) Al iniciar el año, el cuaderno de Gloria es igual al cuaderno de Luis y el cuaderno de Luis es igual al cuaderno de María, por lo tanto el cuaderno de maría es igual al de Gloria. c) Juanita tiene la foto de su gato, después de buscar fotos de gatos entre sus amigas descubrió que la única foto igual a la de ella es la de su hermana, que es del mismo gato. Ecuaciones lineales Una situación cotidiana se puede plantear como una igualdad estableciendo ciertas relaciones entre los números. Por ejemplo: a) El papa de Pedrito mandó a reparar su motocicleta, el mecánico le presentó una factura por los repuestos comprados de un monto de L. 200.00, si la cuenta final era de L. 365.00 incluyendo repuestos y mano de obra, ¿Cuánto le cobró de mano de obra? Para saber el costo de la mano de obra, se puede plantear la siguiente situación: costo de repuestos + costo de mano de obra = costo total. Es decir: 200.00 + x = 365.00 b) Observe la siguiente balanza La balanza está en equilibrio por lo tanto los dos bloques pesan lo mismo, es decir, los pesos 264 MATEMÁTICAS de ambos lados se pueden expresar como una igualdad, así: x + 3 = 5 En las igualdades anteriores se presentan valores desconocidos que se denotan por una forma especial de igualdad: la ecuación. Una ecuación es una igualdad en la que se presenta una proposición que es válida para ciertos valores. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente con letras. Ejemplos de ecuaciones: a) x + 5 = 8 b) 2x = 10 c) 3x – 1 = 5 Partes de toda ecuación x +5=8 Miembro izquierdo signo igual d) 2x + 1 = 3x -2 miembro derecho Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad entre dos expresiones algebraicas, involucrando una o más variables a la primera potencia, es decir que la incógnita sólo puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x). Por esta razón a las ecuaciones lineales también se les llama ecuaciones de primer grado. Saber plantear ecuaciones a partir de una situación diaria es una herramienta muy importante que se puede emplear para solucionar problemas que requieran la aplicación de cálculos matemáticos. Un ejemplo muy sencillo sería: ¿Qué número sumado con 5 da 11? Al plantear una ecuación se tendría: x + 5 = 11. Ahora imagine esta situación: La señora Josefina reparte una bolsa de confites entre 8 niños. Si a cada uno de ellos le tocaron 9 confites, ¿Cuántos confites contenían la bolsa? Analizando la situación se tiene que: a) Al hablar de repartición, la operación involucrada es una división. b) La división es el número de confites de la bolsa entre el número de niños. c) El cociente de la división es 9. 265 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado d) En la división los datos conocidos son el divisor y el cociente; el dato desconocido es el dividendo; por lo tanto, éste es la incógnita. De donde se obtiene la ecuación: Para representar un problema por medio de una ecuación, considere lo siguiente: a) Leer varias veces el problema y localizar las ideas principales. b) Identificar los datos del problema y la relación que guardan entre ellos. c) Establecer los datos conocidos y los desconocidos. d) Encontrar la ecuación que represente el problema. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL La ecuación del ejemplo ¿Qué número sumado con 5 da 11?, es x + 5 = 11. El valor de x que satisface la igualdad es 6, porque 6 + 5 = 11. La solución de cualquier ecuación lineal o de primer grado es un número que satisface la igualdad. El número que satisface la ecuación se le denomina Conjunto Solución y se representa como: C.S. = {el número que satisface la igualdad}. Así el conjunto solución de x + 5 = 11 es 6 y se denota de la siguiente forma: C.S. = {6} Ejercicios 2 Secuencia 3 bloque II Determine cuáles de las siguientes igualdades numéricas son verdaderas y cuáles son falsas: a) 3+5=8 b) –2 + 5 = –3 c) 7 – 9 = –2 d) 0.3 + 3 = 0.6 e) 1 – 1/2= 1/2 Determine cuáles de las siguientes expresiones son igualdades numéricas y cuáles son ecuaciones: a) x + 2 = 10 b) 4x = 20 c) 8 + 4 = 12 d) X+3=3+5 e) 266 f) MATEMÁTICAS Represente los siguientes problemas por medio de una ecuación: a) Un número que restado con 10 da doce. b) El perímetro de un cuadrado es 40, como todos sus lados tienen la misma longitud, ¿Cuál es la longitud de un lado? c) Si cinco libras de azúcar cuestan L. 40.00, ¿Cuánto cuesta una libra? d) El perímetro de un triángulo es de 23 cm, el primer lado mide 7 cm, el segundo 10 cm, ¿Cuánto mide el tercero? Establezca la ecuación para cada una de las siguientes proposiciones y determine su conjunto solución: ¿Qué número restado con diez es doce? ¿Qué número sumado con uno es cero? ¿Qué número sumado con negativo cinco es seis? ¿Qué número restado con negativo diez es negativo doce? Observe el Programa de Televisión 1 Secuencia 3 bloque II el cual se mostrará la clasificación de las ecuaciones lineales y sus posibles soluciones. Solución de ecuaciones lineales En la ecuación x+2=10, se tienen dos miembros x+2 y 10. Si observa la ecuación anterior, se puede percibir que en un miembro de la ecuación, aparece la variable (X) y una constante (2), mientras que en el otro únicamente una constante. Para resolver cualquier ecuación lineal o de primer grado se aplican las propiedades de la igualdad con el propósito de despejar o dejar sola la incógnita para conocer su valor. Recuerde lo que dice la propiedad uniforme de las ecuaciones: Si a los dos miembros de la igualdad se les aumenta o disminuye la misma cantidad, la igualdad permanece. Ejemplo 1: considere la ecuación x + 27 = 52, ¿Cuál es el valor de x que satisface la igualdad? Para resolverla, se harán los siguientes pasos: x + (27 – 27) = 52 – 27 x + 0 = 25 x = 25 … se aplica la propiedad uniforme restando 27 a sus dos miembros. … se efectúa la sustracción en ambos miembros. …todo número sumado con 0 (elemento neutro) es el mismo número. La solución de esta ecuación es 25. 267 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Para probar esto, se sustituye en la x de la ecuación el valor encontrado: X + 27 = 52 25 + 27 = 52 52 = 52 Por lo tanto: C.S. = {25} Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de: x – 32 = 78 x – 32 = 78 X – 32 + 32 = 78 + 32 … sumando 32 a ambos lados o aplicando el inverso aditivo a –32. X + 0 = 110 … efectuando las sustracciones. X = 110 …aplicando el elemento neutro. Comprobación: x – 32 = 78 110 – 32 = 78 …sustituyendo el valor encontrado en x. 78 = 78 Por lo tanto: C.S. = {110} De acuerdo con lo anterior, se puede concluir lo siguiente: Para resolver cualquier ecuación en la que en un miembro aparece la variable y una constante, mientras que en el otro únicamente una constante, basta con aplicar el inverso aditivo del número que está en el miembro de la ecuación que tiene la variable o incógnita. Recuerde que el inverso aditivo de un número, es aquel que sumado con el número original, da como resultado cero. Así: el inverso aditivo de 5 es -5 y viceversa. Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de x – 4 = –10 x – 4 = –10 X – 4 + 4 = –10 + 4 … aplicando el inverso aditivo a –4 X + 0 = –6 … ¿Qué se hizo? X = –6 … ¿Qué se hizo? Comprobación: x – 4 = –10 –6 – 4 = –10 –10 = –10 C.S. = {–6} Ejemplo 3: hallar el conjunto solución de 5 – x = –2 Este es un caso particular de este tipo de ecuaciones, cuando la incógnita es negativa; como esta siempre debe quedar positiva se hace lo siguiente: 5 – x = –2 5 – x + x = –2 + x …se aplica el inverso aditivo a –x, en ambos miembros. 5 – 0 = –2 + x …se reducen los términos semejantes. 5 = –2 + x …elemento neutro de la suma. 5 + 2 = –2 + x + 2 …se aplica el inverso aditivo a –2, en ambos miembros. 268 MATEMÁTICAS 7 = x + 0 7 = x Comprobación: 5 – 7 = –2 –2 = –2 …se efectúan las operaciones indicadas. …elemento neutro. …sustituyendo el valor encontrado en x. Por lo tanto: C.S. = {7} El lenguaje algebraico tiene una gran aplicación en el planteamiento y resolución de problemas que se resuelven mediante ecuaciones. Ejemplo 4: 1) ¿Cuál es el número que disminuido en siete unidades es 48? El número desconocido se presenta como: x Si este número se disminuye en siete, la expresión queda: x – 7 Esta expresión es igual a 48, entonces la ecuación que se busca queda: x – 7 = 48 C.S. = {55}… ¿Qué se hizo? Ejercicios 3 Secuencia 3 bloque II Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 5+x=2 b) x+6=0 c) x – 2 = –8 d) –2 + x = –1 e) 6=x–3 f) 0 = -6 + x g) 1 – x = –2 h) –x + 5 = 3 i) –x – 1 = –1 Con base a los siguientes cuestionamientos, plantee la ecuación para el siguiente problema: Juan pagó en la pulpería L.10.00 y le dan de cambio L.1.00, ¿Cuánto debía? a) ¿Qué datos se tienen? b) ¿Qué representa cada uno de ellos? c) ¿Qué es lo que se va a determinar? d) ¿Con qué letra se puede representar? e) ¿Qué operación se debe realizar para plantear la ecuación? f) ¿Cómo queda la ecuación planteada? 269 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones: a) Un número disminuido en una unidad es cero. ¿Cuál es el número? b) La suma de dos números es –2, y uno de ellos es 9, ¿Cuál es el otro número? Aplicaciones con Ecuaciones lineales Plantee la ecuación que describe la siguiente situación y encuentre su Conjunto Solución. José Juan compró tres lápices y gastó L. 27.00. ¿Cuánto costó cada lápiz? La ecuación 3x = 27 representa el problema anterior. Recuerde lo que dice la propiedad uniforme de las ecuaciones: Si a los dos miembros de la igualdad se multiplica o divide por la misma cantidad, la igualdad permanece Para resolverla, se harán los siguientes pasos: 3x = 27 … se aplica la propiedad uniforme multiplicando por 1/3 a sus dos miembros. … se efectúa la multiplicación en ambos miembros. 1x = 9 … se efectúa la división en ambos miembros. X =9 …todo número multiplicado por 1 es el mismo número (elemento neutro) La solución de esta ecuación es 9. Para probar esto, se sustituye en la x de la ecuación el valor encontrado: 3(9) = 27 27 = 27 Por lo tanto: C.S. = {9} De acuerdo con lo anterior, se puede concluir lo siguiente: Para resolver cualquier ecuación de la forma ax = b, basta con multiplicar por el inverso multiplicativo del número que está en el miembro de la ecuación que tiene la variable o incógnita en ambos miembros de la igualdad. 270 MATEMÁTICAS Recuerde que el inverso multiplicativo de un número, es aquel que multiplicado con el número original, da como resultado 1. Así: el inverso multiplicativo de 5 es es 5. Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de la ecuación Para resolverla, se harán los siguientes pasos: 1 5 y el inverso multiplicativo de 1 5 x = 2. x = 2. … se aplica la propiedad uniforme multiplicando por sus dos miembros. … se efectúa la multiplicación en ambos miembros. a … se efectúa la división en ambos miembros. 1x = 3 X =3 …todo número multiplicado por 1 es el mismo número (elemento neutro). La solución de ésta ecuación es 3. Para probar esto, se sustituye en la x de la ecuación el valor encontrado: 2 = 2 Por lo tanto: C.S. = {3} Para resolver ecuaciones de primer grado, la incógnita siempre debe quedar en un miembro de la ecuación, y las cantidades conocidas en el otro. Ejemplo 3: El señor Martínez quiere comprar un terreno, si se conoce que este tiene un área de 325 y de fondo 25 m; quiere saber ¿Cuánto mide de frente? Para resolver este problema se debe plantear la ecuación de la siguiente manera: Largo del terreno: 25 m 271 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Área del terreno: 325 Frente o ancho del terreno: x Como el área de un rectángulo se determina mediante la relación de multiplicar la base por la altura, se tiene: A = ba; en este caso b es la base o largo; a es el frente o altura y A es el área. a A b Se sustituyen los valores del área por 325, el largo o base por 25 y la altura o frente por x, en la fórmula anteriormente establecida, con lo cual se tiene la siguiente ecuación: 325 = 25 13 = Comprobación: 325 = (25)(13) 325 = 325 Por lo tanto: El terreno tiene 13 m de frente. 272 MATEMÁTICAS Ejercicios 4 Secuencia 3 bloque II Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 10x = 2 b) 2x = 10 c) 1200x = 60 d) 0.25x = 4 e) –2x = 5 f) g) h) 2 = –2x i) –8x = –24 Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones en cada problema: a) El área de una habitación rectangular es de 200 , si su base es de 20 m, ¿Cuál su altura? b) Para confeccionar 15 camisas se utilizaron 30 metros de tela, ¿Qué cantidad de tela se utilizó en cada camisa? c) Un objeto, observado con una lente de aumento, se ve cuatro veces mayor de lo que mide la realidad. Si la imagen de un objeto en la lente de aumento mide 76 mm, ¿Cuántos milímetros mide realmente el objeto? d) José pesa cinco veces lo que pesa su hermano Andrés. Si José pesa 120 lb, ¿Cuánto pesa Andrés? Transposición de términos Recuerde que cuando se resuelve una ecuación por lo general a la izquierda del signo igual se deja la variable, mientras que al otro lado una constante. Observe en los siguientes ejercicios la aplicación de las propiedades para transformar una ecuación: 273 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado a) b) 3x =5 5x = 3x – 4 +4 = 5 + 4 …se suma 4 en + 12 5x – 2x = 2x + 12 – 2x …. se resta 2x en ambos miembros. 3x = 5 ambos miembros. +4 5x -2x = 12 En el caso a se suma 4 en ambos miembros, observe que el término -4 en el lado izquierdo se traslado al lado derecho con el signo +. En el caso b se resta 2x en ambos miembros, observe que el término 2x en el lado derecho se traslado al lado izquierdo con el signo –. Después de estas consideraciones se puede concluir lo siguiente: Aplicando la propiedad de los casos a y b (propiedad uniforme), se puede trasladar un término de un miembro(lado) de una ecuación al otro miembro(lado) cambiando su signo. Este proceso se llama transposición. Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 5x – 4 = 3x + 6 5x – 4 = 3x + 6 5x – 3x = +6 + 4 2x = 10 …se transpone el término –4 del lado izquierdo al lado derecho del signo igual y cambia a +4. …se transpone el término 3x del lado derecho al lado izquierdo del signo igual y cambia a –3x. …se reducen los términos semejantes en ambos lados de la ecuación. …multiplicando por el inverso multiplicativo. X=5 Observe cuando se tiene la expresión 2x = 10, se procede depués a multiplicar ambos 274 MATEMÁTICAS miembros por el inverso multiplicativo de 2 que es . En este caso el multiplicar por ambos lados es lo mismo dividir por 2 (coeficiente de la variable) ambos términos, es decir: Cuando se tiene la expresión: …se divide entre el coeficiente de la variable, en este caso 2, ambos términos de la ecuación. 2x = 10 , por lo tanto: C.S. = {5}. Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de 7x – 3 = 2x – 23 7x – 3 = 2x –23 7x – 2x = –23 + 3 5x = –20 …transposición de términos. …reducción de términos semejantes. …dividiendo entre el coeficiente de la variable, en este caso 5. x = –4 Comprobación: 7(–4) – 3 = 2(–4) –23 –28 – 3 = –8 –23 –31 = –31 Por lo tanto: C.S. = {–4}. Ejemplo 3: Marta y María trabajan en una maquila, al terminar la semana recibieron su pago. A Marta le entregaron 6 vales y L.10.00, y a María 4 vales y 50.00. Si los vales son de la misma denominación y las dos recibieron igual pago, ¿De qué cantidad son los vales? 6 vales más L.10.00 para Marta: 6x + 10 4 vales más L.50.00 para María: 4x + 50 El pago a las dos trabajadoras es igual, por lo tanto: 6x + 10 = 4x + 50 275 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 6x – 4x = 50 – 10 2x = 40 …transposición de términos. …reducción de términos semejantes. …dividiendo entre el coeficiente de la variable. X = 20 Comprobación: 6(20) + 10 = 4(20) + 50 120 + 10 = 80 + 50 130 = 130 Por lo tanto: C. S. = {20} El vale es de L. 20.00. Ejercicios 5 Secuencia 3 bloque II Hallar el conjunto solución de: a) 8x + 8 = 6x + 14 b) 3x + 1 = x + 9 c) 2x + 3 = -x d) 4x + 1 = x + 4 e) 8 = 3x –1 f) –2x – 1 = 3x + 14 g) 6x – 5 = 2x + 7 Ecuaciones con denominadores Cuando una ecuación contiene fracciones, el cálculo del conjunto solución se facilita si se multiplican ambos lados de la ecuación por el mcm de los denominadores y de esta manera las fracciones se convierten en números enteros. 276 MATEMÁTICAS Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de Se multiplica por 12 ambos lados, que es el mcm de los denominadores 4 y 6. …multiplicando por 12 ambos lados. …propiedad distributiva. 10x – 84 = 3x …efectuando la división. 7x = 84 …reducción de términos semejantes. 10x – 3x = 84 …transposición de términos. …dividiendo entre 7. x= 12 Comprobación: Por lo tanto el C.S. = {12} 10 –7 = 3 3=3 Otra forma de eliminar los denominadores en una ecuación es dividir el mcm de ellos entre el denominador de cada uno y este cociente multiplicarlo por el numerador de la fracción. Ejemplo 1: El mcm 12 se divide entre el denominador de la fracción , este cociente da 2, el cual se multiplica por 5, quedando 10x. El mcm 12 se divide entre el denominador de la fracción , este cociente da 12, el cual se 277 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado multiplica por 7, quedando 84. El mcm 12 se divide entre el denominador de la fracción , este cociente da 3, el cual se multiplica por 1, quedando 3x. Por lo tanto , la ecuación queda: 10x – 84 = 3x ECUACIONES CON PARÉNTESIS Existen ecuaciones que originalmente contienen paréntesis, los cuales han de eliminarse para simplificarlas y después poder resolverlas. Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 3(5x – 1) = 12 Observe que en esta ecuación el paréntesis va precedido del factor 3, el cual se eliminará al multiplicar este factor por cada uno de los sumandos que están entre el paréntesis. 3(5x – 1) = 12 …efectuando la multiplicación. 15x – 3 = 12 15x = 12 + 3 15x = 15 …¿Qué se hizo? …¿Qué se hizo? X=1 …transposición de términos. ¡Compruébelo usted mismo(a)! Ejemplo 2: –2(3x – 8) = 10 –6x + 16 = 10 …efectuando la multiplicación, observe que el número que antecede al paréntesis es negativo, por lo tanto al multiplicar se toma en cuenta la ley de los signos para la multiplicación. Hay casos en los que una ecuación se encuentran expresiones afectadas de un signo negativo. 278 MATEMÁTICAS Ejemplo 3: 5 – (2x – 3) = 8 Para eliminar el paréntesis, se procede a cambiar los signos de los términos que están dentro de él, así: 5 – 2x + 3 = 8 Tomando en cuenta estos criterios, se puede resolver ahora las siguientes ecuaciones: Ejemplo 4: hallar el conjunto solución de El mcm de los denominadores 2, 3 y 6 es 6 …multiplicando por 6. …propiedad distributiva. …convirtiendo fracciones a números enteros. 9x – 24 – 2 = 1 …transposición de términos. 9x = 27 …reducción de términos semejantes. 9x = 1 + 24 + 2 …eliminando paréntesis. …dividiendo entre 9 ambos lados. x=3 Comprobación: 279 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejemplo 5: hallar el conjunto solución de El mcm de 6 y 9 es 18: 6(x – 2) = 4(x + 4) 6x – 12 = 4x + 16 6x – 4x = 16 + 12 … convirtiendo fracciones a números enteros. …eliminando paréntesis. …transposición de términos. 2x = 28 …reducción de términos semejantes. …dividiendo entre 2 ambos lados. x = 14 ¡Compruébelo usted mismo(a)! RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES El proceso de resolución de problemas con ecuaciones lineales se puede reducir a cinco pasos. Ejemplo 1: Se compraron 6 lápices y 10 bolígrafos a 100 lempiras. Un bolígrafo cuesta 2 lempiras más que un lápiz. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? 1º)Determinar los datos dados y los buscados. Datos dados: Se compraron 6 lápices y 10 bolígrafos a 100 lempiras. Un bolígrafo cuesta 2 lempiras más que un lápiz. Datos buscados: El precio de un lápiz. El precio de un bolígrafo. 2º)Decidir que cantidad será x y expresar las otras cantidades en términos de x. El precio del lápiz: x (lempiras) El precio del bolígrafo: x + 2 (lempiras) La suma de los precios (seis lápices más diez boligrafos): 6x + 10(x + 2) 3º) Expresar en la forma de una ecuación las cantidades iguales. 6x + 10(x + 2) = 100 4º) Resolver la ecuación. 6x + 10(x + 2) = 100 6x + 10x + 20 = 100 16x = 100 – 20 280 MATEMÁTICAS 16x = 80 X=5 5º) Averiguar si la solución de la ecuación puede ser la respuesta al problema. El precio del lápiz: x = 5(lempiras) El precio del bolígrafo: x+2 = 5+2 = 7(lempiras) El precio del lápiz es de 5 lempiras y el de un bolígrafo es de 7 lempiras. Para comprobar la solución se sustituye el valor de x en la ecuación planteada. 6x + 10(x + 2) = 100 6(5) + 10(5 + 2) = 100 30 + 10(7) = 100 30 + 70 = 100 100 = 100 Ejercicios 6 Secuencia 3 bloque II 1) Relacione la columna de las ecuaciones originales con paréntesis y denominadores con la columna de ecuaciones equivalentes sin paréntesis y sin denominadores. a) 5(x+2) = (2x)(–5) 2x + 5 = 11 c) 5x + 15 = 30 b) (x+5) + x = 11 3x – 6 = 2x + 8 d) 8 – 4(x+2) = 12 9x – 24 – 2 = 1 e) f) 5(x+3) = 30 g) 7 – (2x–5) = –6 –2x = –18 5x + 10 = –10x 8 – 4x – 8 = 12 2) Encuentre el conjunto solución de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior. 3) Hallar el conjunto solución de: a) b) 281 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado c) d) 4) Plantee y encuentre el conjunto solución de: a) Hay dos cintas una amarilla y una verde. El largo de la cinta verde mide 2 veces el de la cinta amarilla más 10 cm. La suma del largo de ambas cintas es 100 cm. ¿Cuánto mide la cinta amarilla? Programa de Televisión 2 Secuencia 3 bloque II Observe el programa de televisión Pensamiento lógico en el cual se mostrará algunas de las aplicaciones de las ecuaciones lineales a la vida real. Ejercicios 7 Secuencia 3 bloque II En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su profesor (a), comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Conteste las siguientes preguntas. a) ¿Qué es una igualdad? b) ¿Qué establece la propiedad reflexiva en una igualdad? c) ¿Qué establece la propiedad uniforme en una igualdad? d) ¿Qué es una ecuación? e) ¿Cuáles son las partes de una ecuación? f) ¿Qué propiedades de la igualdad se aplican a las ecuaciones? g) ¿Qué diferencia hay entre una igualdad y una ecuación? h) ¿Cuál es el término independiente de una ecuación? i) ¿Cómo se comprueba el resultado en una ecuación? j) ¿Qué es el conjunto solución de una ecuación? k) ¿Cómo se reducen los términos semejantes? l) ¿Qué es la transposición de términos? 282 MATEMÁTICAS EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Determine cuáles de las siguientes igualdades numéricas son verdaderas y cuáles son falsas: a) 45 – 15 = 30 b) 10 – 18 = –8 c) (0.4)(3) = 0.12 d) e) De los valores 0, 1, 2 y 3 ¿Cuáles son soluciones de las siguientes ecuaciones?: a) 5 – 2x = 1 b) 2x + 3 = 12 – x Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 5x = 40 b) -3x = -15 c) 7x = 21 d) –x = 8 e) 2x + 3 = –x f) 8 = 3x -1 g) -2x -1 = 3x + 14 h) 4x + 1 = x + 4 i) 0.3x + 4 = 0.2x + 4.4 j) 0.5x + 1 = x -2 k) l) m) Plantee y encuentre el conjunto solución de: a) La suma de tres números es 130. El segundo es 4 unidades mayor que el menor y el tercero es 6 unidades mayor que el menor. ¿Cuáles son los números? 283 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 284 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 4 Bloque II LA RAZÓN PROPORCIONADA Se ha preguntado alguna vez ¿Cómo es el 10 comparado con el 20?, si no lo ha hecho se podría pensar que el 10 es la mitad de 20 o que el 20 es el doble de 10, incluso por cada unidad de 10, existen 2 en 20. La situación es que las formas más usuales de comparar dos cantidades son: a determinar por cuántas unidades es mayor una con respecto a la otra y cuántas veces contiene una a la otra. Dado este contexto, es muy útil apoyarse en él para poder dar solución práctica a problemas que tienen que ver con situaciones cotidianas, como por ejemplo las transacciones comerciales y monetarias. Por esta y otras razones en esta secuencia conocerá, comprenderá y aplicará las proporciones en la solución de problemas de su vida, y para tal efecto se hará un estudio de las razones geométrica, aritmética y las propiedades fundamentales de estas como base de las proporciones y sus diferentes aplicaciones, como el porcentaje. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Desarrollen el concepto de proporcionalidad. 2. Distingan la proporcionalidad directa de la inversa. Un poco de historia Sabía usted que durante buena parte del siglo XVI la multiplicación y la división eran operaciones que no estaban al alcance de la mayoría de las personas y que en los centros monetarios más importantes de Europa dispusieron tablas para facilitar los cálculos y éstas se guardaban en bóvedas seguras como información muy confidencial. Este ocultismo se mantuvo hasta que el número de calculadores hábiles aumentó de forma considerable, este incremento se vio favorecido por la publicación de estupendas aritméticas comerciales en las que se desarrollaban los contenidos teórico-prácticos imprescindibles para que los clientes o los dueños de los bancos pudiesen detectar cualquier error o fraude. 285 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado En la historia de las matemáticas, durante ese siglo, se habla del matemático Simon Stevin (1548–1620), es conocido como uno de los primeros expositores de la teoría de las fracciones decimales y por sus grandes aportes a la aritmética comercial en cuanto al cálculo del interés simple, anualidades y descuentos, que tienen su base en el conocimiento de las razones y proporciones. Pero antes de comenzar el estudio de las razones y proporciones es conveniente recordar algunas operaciones con las fracciones y ciertas propiedades de estas, como: FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados de sus términos son iguales, es decir: Ejemplo: Verificar si las fracciones dadas son equivalentes. Solución: 4 × 2 = 8 × 1 Por lo tanto: … efectuando el producto cruzado de los términos. 8=8 …las fracciones son equivelentes. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Si Entonces: Ejemplo 1: Efectuar la siguiente multiplicación: …simplificando. 286 MATEMÁTICAS …multiplicando y simplificando. Ejemplo 2: Efectuar la siguiente división. …simplificando, …simplificando, …cambiando por el inverso multiplicativo. Ejercicios 1 Secuencia 4 bloque II 1. Verifique, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes: a) b) c) d) 2. Efectuar las siguientes operaciones: a) b) 3. Resuelva. a) Un carpintero tarda horas en hacer un mueble. Si en pintarlo se tarda 1 hora, 287 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado ¿En cuánto tiempo terminará el mueble? b) Mario pesa 90 libras, José de lo que pesa Mario y Ana María 1 libra más de los que pesa José, ¿Cuánto pesan entre los tres juntos? Razones Las formas más usuales de comparar dos cantidades son: 1) ¿Por cuántas unidades es mayor una con respecto a la otra? Ejemplo: La edad de Karla es de 40 años y la de su hijo Eduardo es de 10 años. 40 – 10 = 30 La primera comparación es: Lo cual indica que Karla es 30 años mayor que Eduardo, o que Eduardo es menor 30 años que Karla. Cuando la comparación entre dos cantidades se establece mediante una resta, recibe el nombre de razón aritmética: a - b 2) 3) ¿Cuántas veces contiene una a la otra? Si Karla tiene 40 años y su hijo 10 entonces: Karla tiene 4 veces la edad de su hijo porque mamá porque ó Eduardo tiene de la edad de su Cuando la comparación entre dos cantidades se establece a través de una división, recibe el nombre de razón geométrica o simplemente razón. 𝐚𝐚 𝐛𝐛 = 𝐚𝐚: 𝐛𝐛 , con 𝐛𝐛 ≠ 𝟎𝟎 Las razones tienen una gran aplicación en diversas disciplinas, por ejemplo en el área contable para realizar movimientos financieros, en ingeniería se emplean las escalas para realizar maquetas, ha observado que los mapas pueden ir acompañados de dos tipos de escalas: la escala numérica y la escala gráfica, tanto las escalas numéricas como gráficas son la razón entre las distancias en el mapa y las distancias reales que les corresponden. 288 MATEMÁTICAS En este mapa de Honduras por ejemplo, utiliza la escala numérica de 1: 50,000,000 ó esto quiere decir que cualquier segmento del mapa con longitud 1 unidad representa a 50, 0000, 000 unidades de longitud en la realidad. TÉRMINOS DE UNA RAZÓN GEOMÉTRICA Al primer término de una razón se le llama antecedente y al segundo consecuente. a antecedente b consecuente a : b se lee a es a b antecedente consecuente En el ejemplo de la escala del mapa: antecedente , , consecuente Considere las siguientes situaciones: a) Hugo encestó 48 tiros de 94 intentos; esto se puede representar como la razón (se lee 48 es a 94) y al simplificarla se tiene ; esto es: encestó 24 de 47 intentos. b) Ayer faltaron 3 de 30 estudiantes de un grupo; si se representa esto como una razón sería , es decir, 3 es a 30. Al simplificar se tiene , es decir, que: faltó 1 de cada 10 estudiantes del grupo. c) Un automóvil recorre 900 km en 18 horas. En forma de razón y simplificado queda: se interpreta: el automóvil va a una velocidad de 50 kilómetros por hora. 289 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Observe que: 1) En los incisos a y b están consideradas unidades del mismo tipo (tiros libres con tiros libres, estudiantes con estudiantes) A la razón que involucra unidades del mismo tipo se le denomina razón interna. 2) En el inciso c están consideradas unidades de diferentes tipos (kilómetros con horas). A la razón que involucra unidades de diferente tipo se le denomina razón externa. Ejercicios 2 Secuencia 4 bloque II Con su compañero(a) más próximo(a) realice en su cuaderno lo que se le pide. 1. Complete los siguientes enunciados. a) Cuando dos cantidades se comparan a través de un cociente se trata de una razón________________. b) Los términos de una razón geométrica se denominan ______________y____________. c) A la razón que incluye unidades del mismo tipo se le denomina _________________y a la razón que involucra unidades de _______________tipo se le denomina razón externa. 2. Establezca la razón geométrica que presenta cada una de las siguientes situaciones: a) La escala entre dos fotografías de 10 cm a 5 cm. b) Una motocicleta recorre 240 km en 2 horas. c) 12 huevos cuestan L. 36.00. d) 4 de cada 5 niños (as) han sido vacunados contra el sarampión. 3. Escriba una situación donde sean necesarias cada una de las razones que se dan: a) b) 4. En la razón 3:9 El antecedente es: El consecuente es: 5. Escriba la razón que represente a las situaciones que se dan; y a la par el tipo de razón que es interna o externa. a) Se recomienda que una persona duerma 8 de las 24 horas del día. b) Un colibrí bate sus alas 160 veces por 2 segundos. c) Coloca 50 ladrillos en 2 horas. 290 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 1 Secuencia 4 bloque II Observe el programa de televisión La razón proporcionada, el cual le muestra ejemplos de fracciones equivalentes y cómo estas se relacionan con las proporciones. Proporciones Ya ha estudiado lo que es una razón, ahora es necesario apoyarse en ella para comprender lo qué es una proporción y ver su utilidad en la solución práctica de problemas que tienen que ver con situaciones cotidianas, como transacciones comerciales, monetarias, etcétera. Por ejemplo, si el precio de 2 dulces es de L. 5.00, entonces 4 dulces cuestan L. 10.00, 6 dulces cuestan L. 15.00, 8 dulces cuestan L. 20.00 y así sucesivamente. Estas son razones iguales que muestran el precio de los dulces. La relación entre cada una de estas razones es la misma, pues el precio de cada dulce es el mismo en cada razón. Se denomina proporción a la igualdad de dos razones y se representa como: A los términos a y d de la proporción se les conoce como extremos; a los términos b y c se les conoce como medios. Por ejemplo: 2 5 = 6 15 ó 2:5 = 6:15 Así en la proporción ó 2:5 = 6:15 los extremos son 2 y 15; a su vez 5 y 6 son los medios. Observe que sucede si se multiplican los medios y los extremos entre sí: 5 6 = 30 y 2 15 = 30 En efecto, los productos obtenidos son iguales, por lo que en toda proporción el producto de 291 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado los medios es igual al producto de los extremos. A esta característica se le llama Propiedad Fundamental de las Proporciones. Propiedad Fundamental de las Proporciones. En toda proporción a b = c d ó a: b = c: d se tienen que: ad = bc, donde b y d ≠ 0 La propiedad fundamental de las proporciones tiene mucha utilidad en la solución de problemas en los que dada una proporción, se desconoce alguna de sus partes. Ejemplo 1: Hallar el valor desconocido en la siguiente proporción. El valor del número a se puede obtener así: Como entonces extremos medios Observe que la multiplicación de los medios y los extremos debe ser igual a 45, por lo tanto en los extremos se debe buscar un número que multiplicado por tres de 45, este número es 15. Otra forma de encontrar el valor de a es dividir la multiplicación de los medios entre el extremo conocido, así: a= 15 lo que se puede comprobar. Entonces: 15 x 3 = 9 x 5 45 = 45 Ejemplo 2: Hallar el valor desconocido en la siguiente proporción: que es lo mismo que 5: 2 = :8 Observe que el valor desconocido X está en un medio y para encontrar ese valor se divide la multiplicación de los extremos entre el medio conocido, así: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, se tiene: Entonces: 292 MATEMÁTICAS 5 x 8 = 2 x 20 40 = 40 Recuerde: Una proporción se determina por la equivalencia de dos razones. Por otra parte al simplificar una razón cambia su forma pero no su valor. Ejercicios 3 Secuencia 4 bloque II 1. Trabaje en su cuaderno estableciendo la razón que representan las siguientes situaciones: a) Un automóvil recorre 180 km en 3 horas. b) Un futbolista anotó 3 goles en 9 lanzamientos a la portería. 2. Complete en su cuaderno lo siguiente: a) La equivalencia de dos razones forma una__________________. b) En toda proporción el producto de los___________________ es igual al producto de los ___________________. 3. Encuentre el valor de a en cada una de las siguientes proporciones: a) b) c) d) 4. Resuelva el siguiente problema: a) Si un tren recorre 200 km en 4 horas, ¿Cuánto tiempo necesita para recorrer 300 km con la misma velocidad?; ¿Qué pasa con el tiempo si aumenta la distancia?; ¿Qué pasa si disminuye la distancia?; anote la proporción que representan los datos del problema. 293 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Variación proporcional Analice el siguiente ejemplo: 1. Si un lápiz cuesta L.12.00, ¿Cuánto cuestan 2, 3 y 8 lápices? A fin de resolver el siguiente problema se elabora la siguiente tabla: Número de lápices Precio 1 2 3 8 12 24 36 96 Observe que el precio total varía según el número de lápices, pero el precio unitario es el mismo, es decir, la razón entre el precio y el número de lápices es equivalente en cada caso, lo cual se representa así: Precio Número de lápices Estas razones expresan entre sí cantidades que tienen una variación proporcional. Considere el siguiente ejemplo: 2. Si por cada bolsita de café que se producen 14 tazas, entonces, ¿Cuántas bolsitas se necesitan para producir 56 tazas?; si aumenta el número de tasas ¿Aumentará el número de bolsitas de café?, ¿Existe una variación proporcional entre el número de tazas y las bolsitas de café? Este problema se resuelve utilizando la razón que hay entre el número de tazas y las bolsitas de café, dicha razón se presenta de la siguiente manera: Bolsitas de café Donde Tasas es la cantidad de bolsitas de café que se requieren para elaborar las 56 tasas. 294 MATEMÁTICAS Al resolver la proporción mediante de la propiedad fundamental de las proporciones, se obtiene: La resolución de esta proporción permite dar una respuesta; es decir, al aumentar la producción a 56 tazas se incrementa la cantidad a 4 bolsitas de café. Por lo tanto, si hay una variación proporcional. En resumen, dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumento de una de ellas corresponde un incremento a la otra y viceversa, es decir, cuando una de ellas disminuye la otra también lo hace. A continuación se muestra otro ejemplo de problemas que con frecuencia se presentan en situaciones habituales. 3. Considere que el rendimiento en el trabajo de un grupo de albañiles es uniforme y que 4 albañiles hacen determinado trabajo en 6 horas, ¿Qué sucedería si se aumentara o disminuyera el número de albañiles para realizar el mismo trabajo? Observe la tabla siguiente: Columna A Columna B Columna C Número de albañiles Tiempo que tardan en hacer el trabajo Producto de (A) por (B) 12 8 2 horas ? 24 24 4 6 horas 24 2 ? 24 1 24 horas 24 Observe la columna (A), en donde el número de albañiles va de mayor (12) a menor (1); en tanto que la columna (B) el número de horas va de menor (2) a mayor (24). Sin embargo, los productos de los números de ambas columnas son iguales (12x2=24, 6x4=24, etcétera). Del cuadro anterior se puede concluir que si el número de obreros aumenta disminuye el número de horas para realizar el trabajo, y viceversa, es decir, si disminuye el número de obreros, aumenta el número de horas. A las cantidades que se relacionan de esta manera se les denomina magnitudes inversamente proporcionales. Observe la tabla en la columna (C) que el número que aparece en todos los renglones es 24; sin embargo, en la columna (B) hay dos renglones en donde falta un número, el cual debe multiplicarse por el de la columna (A), a fin de que su producto sea igual al de la columna (C). Para completar esta tabla se puede seguir el siguiente procedimiento: Si 4 albañiles hacen determinado trabajo en 6 horas, ¿En qué tiempo realizarán 8 albañiles el mismo trabajo? 295 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Supuesto: 4 albañiles emplean 6 horas Pregunta: 8 albañiles emplean x horas Nótese que al plantear las condiciones del problema queda: 4x6=8x Si 4 x 6 = 24, entonces: 8 x = 24 ¿Cuál es el factor que falta para que se obtenga el producto? Es el número 3 porque 4 x 6 = 8 x 3 = 24. ¿Qué tiempo tardan dos albañiles en hacer el trabajo? Cuando la proporción es directa, las dos cantidades aumentan o disminuyen al mismo tiempo. Pero si la variación es inversa, una cantidad aumenta en tanto la otra disminuye, y viceversa. Ejercicios 4 Secuencia 4 bloque II Forme grupos de tres integrantes, desarrolle lo que se le pide, compare y comente las respuestas con sus compañeros(as), y muestre las respuestas a su docente. 1. Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Qué es una razón? b) ¿Qué es una proporción? 2. Escriba en su cuaderno las razones que se le dan a continuación y una con flechas las que sean equivalentes: 3. Comente y conteste con sus compañeros de grupo lo siguiente: a) Si una docena de gallinas cuesta L. 250.00; ¿Cuánto cuestan 6 gallinas? b) Si el número de gallinas aumenta, el número de lempiras______ c) Si el número de gallinas disminuye, el número de lempiras_____ 296 MATEMÁTICAS 4. Elabore una tabla en su cuaderno en la que represente la siguiente situación: a) Para estribar una carga de sacos de maíz en una bodega 4 hombres tardan 6 horas, ¿Cuánto tiempo tardarán en estibar la misma carga de sacos, 8, 6 y 2 hombres? 5. Complete las siguientes proporciones: a) b) c) d) e) 16 x 2 = 32 x f) 40x = 10 x 2 Programa de Televisión 2 Secuencia 4 bloque II Atienda con interés el programa de televisión Fracciones y proporciones, en el cual conocerá situaciones en donde se presenta la variación proporcional y cómo encontrar el término desconocido en proporciones complejas. Variación directamente proporcional Con frecuencia se manejan en la vida diaria situaciones que están ligadas entre si, como el peso (lbs.) de una mercancía (frijoles, arroz, etcétera) y su costo en lempiras (L.); el valor de artículos (lápices, borradores, etcétera) y el número de artículos comprados, etcétera. Para conocer la variación de esas magnitudes y otras más, considérese el siguiente planteamiento: 297 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Si una cuadrilla de técnicos de la ENEE puede en 8 días colocar 10 postes de alumbrado eléctrico, en 16 días (el doble número de días) podrá colocar 20 postes (el doble número de postes) y, en 4 días (la mitad del número de días), habrán de colocar 5 postes (la mitad del número de postes). La situación que plantea el problema puede presentarse ordenada mediante una tabla como ésta: Postes de alumbrado eléctrico 20 10 5 Tiempo 16 8 4 Observe con atención y notará que cada vez que el número de días aumenta, el número de postes colocados también aumenta y, cuando los días trabajados disminuyen, el número de postes colocados disminuye también. Asimismo, se ve que en cada columna hay una fracción común que representa la relación constante entre los postes colocados y los días: Si estas cantidades se interpretan como cocientes y se realizan las divisiones, se obtiene: Además de que ambos elementos de la fracción común varían en la misma proporción, el cociente de la división se mantiene constante. Esto se puede expresar así: Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar la primera cantidad un determinado número de veces, aumenta también la segunda ese mismo número de veces, y si al disminuir la primera cantidad un determinado número de veces, disminuye también la segunda ese mismo número de veces. Igualmente, dos cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante. A este cociente se le llama constante de proporcionalidad y se representa con la letra k. Ejemplo 1: En una casa se consumen mensualmente 300 kilovatios de electricidad; si la factura de consumo de electricidad es de L. 150.00, ¿Cuál será el costo de consumo por 120, 180, 230, 450, 600 kilovatios? 298 MATEMÁTICAS Datos 300 kilovatios mensuales………………………………..L. 150.00 120 kilovatios mensuales………………………………..L. Proceso Se forman las razones y se establecen la proporción. Para ello, debe cuidarse que las cantidades se escriban como en el planteamiento, cada razón debe tener las mismas unidades (en este caso kilovatios con kilovatios y lempiras con lempiras). Kilovatios Costo Se resuelve el problema multiplicando los medios luego dividir este producto entre el otro extremo conocido para encontrar el valor de x, así: 60 Respuesta Por 120 kilovatios de consumo de electricidad se pagan L. 60.00 Se procede de igual forma con cada valor de kilovatios consumidos (180, 230, 450 y 600) y se pasan los datos a una tabla como sigue: Simplificando cada razón y obteniendo el cociente respectivo, se tiene: Al analizar el problema, se observó que: “al aumentar el consumo de electricidad, también aumento el costo que se paga por este consumo”, además, el cociente de proporcionalidad es constante (0.5). Esto significa que las cantidades son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es k = 0.5. 299 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 5 Secuencia 4 bloque II 1. Escriba y conteste en su cuaderno lo siguiente: a) Si dos o más cantidades son directamente proporcionales, su cociente es: _______________ a ese cociente se le llama constante de ____________________ y se le representa con la letra __________. b) Mencione dos situaciones que se dan en su comunidad que representan una variación directamente proporcional. 2. Analice la situación que se plantea a continuación; elabore una tabla con las cantidades, compare cada cociente y si existe o no variación proporcional, siguiendo el esquema dado. Un boletín médico reporta que en Honduras de cada 10 habitantes, 6 padecen de caries. En comunidades de 2000, 5000, 20000, 100000 y 300000, ¿Cuántas de ellas tienen caries en cada comunidad? Datos Establezca el planteamiento para cada comunidad, así: 10 Habitantes……………………………………….6 personas con caries. Habitantes……………………………………… X personas con caries Proceso Forme las razones y establezca las proporciones Habitantes Padecen caries x= Pase sus resultados a la tabla siguiente: Compare por cociente la relación entre la incidencia de caries y el número de habitantes 300 MATEMÁTICAS Respuesta La variación es ____________________ proporcional y el valor de la constante de proporcionalidad es____________. Compare con sus compañeros las respuestas. Si no coinciden, rectifique el procedimiento y corrija. 3. Siguiendo el planteamiento anterior, resuelva el siguiente problema: Si en una maquila ubicada en San Pedro Sula cortan invariablemente 360 modelos de camisetas en 4 horas, ¿Cuántos modelos se deberán cortar en jornadas de 1, 2, 5, 6 y 8 horas? Aplicaciones de la proporcionalidad Recuerde que la comparación por cocientes entre dos números es una razón y que la igualdad entre dos razones es una proporción. La proporcionalidad tiene muchas aplicaciones en la solución de problemas cotidianos y algunas de estas pasan desapercibidas como el uso de las escalas, leyes de la física y química y el cálculo de impuestos, entre otras. LAS ESCALAS Las escalas con frecuencia se utilizan para dibujar objetos grandes o pequeños. La escala de un dibujo es la razón constante de una distancia entre dos puntos correspondientes en el objeto real, se elige en función del tamaño de la realidad y del tamaño del papel en el que se dibujará. Ejemplo 1: Para que el mapa de Honduras quepa en una hoja habrá que dibujarlo a una escala muy grande: 1:10,000,000, significa que 1 unidad (cm, mm, etc.) en el mapa representa 10.000.000 de unidades (cm, mm, etc.) en el terreno real. Ejemplo 2: Un dibujo de un autobús podría hacerse con una escala de 1 a 120, y el del zancudo podría hacerse con una escala de 4 a 1. Esto quiere decir que en el dibujo del autobús 1cm corresponde a 120 cm en la realidad y que en el dibujo del zancudo 4 cm corresponden 1 cm de la realidad. 301 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Se puede usar la escala de un dibujo para establecer la proporción y encontrar las dimensiones reales de los objetos que se muestran. Por ejemplo: Se encontrará la longitud real del autobús que se muestra en la figura anterior. Solución: Se llamará x a la longitud real del autobús porque no se conoce y se establece la siguiente proporción: La longitud real del autobús es de 960 cm ó 9.60 m. RAZONES Y PROPORCIONES EN OTRAS CIENCIAS 1. La ley de gases de Gay Lussac dice que si la presión es constante, el volumen y la temperatura son proporcionales. En donde: = volumen inicial = temperatura inicial = volumen final = temperatura final Esto es: A una temperatura de 100 ºC el volumen de un gas es de 80 . Calcule el volumen de este gas si se calienta a una temperatura de 220 ºC, considerando que la presión es constante. Solución: La temperatura inicial =100 ºC El volumen inicial = 80 Temperatura final = 220 ºC El volumen final es 302 MATEMÁTICAS Se establece la siguiente proporción: El volumen final al calentar el gas es de 176 2. En un circuito eléctrico, la intensidad de la corriente (I) es proporcional al voltaje (V), es decir un voltaje más alto produce una corriente más intensa. Por ejemplo: una pila produce un voltaje de 1.5 voltios, dos de ellas conectadas en serie (como la figura) producen un voltaje de 3 voltios. El amperímetro mide la intensidad de corriente (I) en amperios (A). Si 3 voltios producen una corriente de 5 A, ¿Cuántos amperios producirán 6 voltios? Con los datos anteriores establecemos la siguiente proporción: 6 voltios producen 10 A. Ejercicios 6 Secuencia 4 bloque II Resuelva con un compañero(a) en su cuaderno, los siguientes problemas de proporcionalidad: 1. El dibujo del elefante está hecho a una escala: 1 a 150 cm, si este tiene 4.5 cm ¿Cuánto mide el elefante en la realidad? 2. La rapidez de un automóvil es de 70 Km/hr y demora 6 horas en recorrer cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/hr? 3. Si el volumen inicial de un gas es de 25 cm^3 a una temperatura de 75 ºC, ¿Cuál será el volumen final si se somete a una temperatura de 100 ºC? 4. Si una pila de 4.5 voltios producen 6 (A), ¿Cuántos amperios producirá una pila de 7 voltios? 303 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 5. Si una persona de 1.65m proyecta una sombra de 2 m a las 10 de la mañana, ¿Cuántos metros de sombra proyectará otra persona que mide 1.90 m?, a la misma hora y en el mismo lugar. Ejercicios 7 Secuencia 4 bloque II En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Conteste en su cuaderno las siguientes preguntas. a) ¿Qué es una razón? b) ¿Cuál es la diferencia entre una razón geométrica y una aritmética?, de ejemplos. c) ¿Cuáles son las partes de una razón? d) ¿Qué es una proporción?, de ejemplos. e) ¿Cuáles son los términos de una proporción? f) Defina con sus palabras ¿Qué es una proporción directamente proporcional? EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Con base en las siguientes situaciones analice y conteste en su cuaderno las interrogantes que se plantean: 1. Un curso se comprometió a plantar árboles. La secretaria del curso presenta un cuadro resumen de la cantidad de niños y niñas comprometidos para ésta actividad. De acuerdo a los datos, escriba la razón entre: a) El número de niños que plantarán Pinos y el total de niños del curso. b) El número de niños que plantarán Pinos y el total de niños del curso. c) El número de niñas que plantarán Pinos y el total de niñas del curso. d) El número de niñas que plantarán palmeras y el total de niñas del curso. e) El número de niños que plantarán palmeras y el total de niños del curso. 304 MATEMÁTICAS Determine qué parte del total de niños del curso se dedicará a plantar: a) Pinos. b) Eucaliptus. c) Palmeras. Determine qué parte del total de niñas del curso se dedicará a plantar: a) Pinos. b) Eucaliptus. c) Palmeras. Recuerde que una razón al igual que una fracción puede ser amplificada o simplificada: 2. Un automóvil viaja a una velocidad constante y tarda 2 horas en recorrer una distancia de 180 km, ¿Qué distancia recorrerá en 1, 3, 5 y 7 horas si conserva la misma velocidad? 3. Un saco de 144 naranjas vale L.36.00; ¿Cuánto costarán 108, 72, 54, 36 y 18 naranjas? 305 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 306 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 5 Bloque II VALOR DESCONOCIDO. En el diario vivir es muy frecuente que se presenten problemas en los que se requiere calcular que parte representa un número de otro dado, es decir, el tanto por ciento de un número. Generalmente, las comisiones por un trabajo o ventas realizadas, el descuento por concepto de impuestos sobre la renta de salarios, el interés que se recibe por ahorros o que se paga por préstamos, etcétera, se fijan en forma de tanto por ciento. Una de las aplicaciones de este concepto lo podemos visualizar en la escuela, cuando se asigna un trabajo, una investigación o una exposición, la cual se acredita con un valor que representa un porcentaje de la nota final. Sin lugar a dudas, el signo del tanto por ciento es conocido por casi todas las personas, ya que aparece en los periódicos, revistas, tiendas, etcétera, y debido a que su presencia es muy común en la vida cotidiana su significado debe ser comprendido con toda claridad, y precisamente es lo que se pretende en esta secuencia, resolver problemas en los que interviene el conocimiento del tanto por ciento, como: los aumentos y descuentos. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Apliquen el tanto por ciento en las transacciones comerciales de uso frecuente. Curiosidad matemática: la divina proporción Los arquitectos antiguos especialmente en Grecia tenian muy en cuenta las proporciones al diseñar los edificios importantes de la ciudad. Había una proporción muy especial y preferida, la llamada proporción divina o proporción aurea, y el número que la representaba era llamado el número de oro. Sin embargo su aplicación práctica se le debe especialmente al matemático italiano del Renacimiento Lucas Pacioli, este personaje aceptó una oferta de Ludovico el Moro en 1497 307 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado para colaborar con Leonardo da Vinci en los estudios referidos a la sección aurea que él llamaba Divina Proporción. La divina proporción está representada por la letra griega (fi), se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Por ejemplo en la fachada rectangular de un edificio, si la medida de la altura y la del ancho es , entonces para que la proporción entre estos componentes sea aurea debe cumplir lo siguiente: b b b = a b+a a Los griegos creían que era la medida de la proporción divina, de la belleza perfecta, y se encuentra en el universo entero, desde caracoles, la cara de los tigres, las aletas de los peces, hasta el crecimiento demográfico, la pintura, la música, la arquitectura, las proporciones de nuestro cuerpo, de nuestro ADN, de los girasoles. Lo extremadamente curioso y verdaderamente sorprendente reside en que no se encuentra sólo en cosas artificiales y “humanas”, sino en la propia naturaleza y en cosas incontrolables. Algunas curiosidades: Si divide su altura total entre la distancia del suelo a su ombligo da (en realidad da algo cercano, si diera nuestras proporciones de altura serían perfectas). Las espirales de los caracoles crecen en proporción , al igual que ocurre en los girasoles y los pétalos de las rosas. El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros. Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci es el número de oro. 308 MATEMÁTICAS Ejercicios 1 Secuencia 5 bloque II Comente con sus compañeros(as) las respuestas de las siguientes interrogantes y proponga ejemplos de la vida real en los que se aplique cada uno de los conceptos: 1. ¿Qué es una razón? 2. ¿Cuáles son los términos de una razón? 3. ¿Cuáles son las clases de razones? 4. ¿Qué es una proporción? 5. ¿Cuáles son los términos de una proporción? 6. ¿Qué dice la propiedad fundamental de las proporciones y para qué se puede utilizar? 7. ¿Cuándo dos cantidades son directamente proporcionales? Resuelva los siguientes problemas utilizando proporciones: a) Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 2 minutos si mantiene su velocidad constante? b) 14 operarios efectúan un trabajo en 6 días. ¿Cuánto demorarían 42 operarios trabajando la misma cantidad de horas diarias? c) Considerando que 8 operarios efectúan un trabajo en 24 días, complete la siguiente tabla: d) Calcule el valor de 4 huevos si una docena cuesta 15 lempiras. Programa de Televisión 1 Secuencia 5 bloque II Observe con mucha atención el programa televisivo: una regla muy útil, en el que verá la aplicación de la regla de tres en la solución de problemas cotidianos de porcentaje. Al final comente con sus compañeros(as) las situaciones presentadas y la forma en que se interpretan. 309 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Tanto por ciento de una cantidad En la vida diaria es muy frecuente que se presenten problemas en los que se requiere calcular el tanto por ciento de un número. El tanto por ciento expresa el número de unidades que se toman de cada ciento, para entender mejor este concepto considere los siguientes ejemplos: 1. En un centro de educación, 60 de cada 100 estudiantes son mujeres. 2. En Honduras, 80 de cada 100 habitantes son pobres. 3. En una biblioteca 6 de cada 100 libros son de matemáticas. Al establecer una razón con cada inciso se obtiene: En el primero, ó 60:100 simplificando queda igual a 3:5 y se lee 3 es a 5. En el segundo, ó 8:10 y se lee 8 es a 10. En el tercero, ó 6:100 y se lee 6 es a 100. Observe que cada una de estas razones tiene algo en común y es que el consecuente (denominador) es el mismo, es decir, 100. El tanto por ciento es la razón que existe entre un número y 100, y se indica con el símbolo % Por otra parte, en la fracción al dividir el numerador entre el denominador el cociente es 0.60. 60% significa 60 partes tomadas de cada 100 , es decir, = 0.60= 60%. Llámese tanto por ciento al número de partes que se toman de cada 100. Ejemplos: 55% = 55 100 , 89% = 89 100 , 4% = 4 100 , 38% = 38 100 Para expresar un número decimal en tanto por ciento, basta con leer el número de centésimas que contiene, o lo que es lo mismo multiplicar la expresión decimal por una fracción cuyo numerador y denominador sea 100. Ejemplos: Expresar en tanto por ciento: a) 0.835 b) 7.05 c) 0.2 Solución: a) 310 MATEMÁTICAS b) c) Si la expresión dada es una fracción y se debe expresar como un tanto por ciento (%), se calcula la expresión decimal y a esta se le aplica lo anotado en los ejemplos anteriores. Solución: a) b) De manera análoga se puede convertir un tanto por ciento en fracción, expresándolo en las partes que se toma de cada 100 y luego multiplicarla por una fracción cuyo numerador y denominador sea: 10 si el tanto por ciento (%) dado tiene una cifra decimal, 100 si tiene dos cifras decimales, etcétera; luego se simplifica la fracción resultante. Ejemplos: Expresar cada tanto por ciento (%) como fracción: a) 50% a) 50% b) 37.5% …expresando el % con las partes que se toman de cada 100. …simplificando, Por lo tanto: b) 37.5% …expresando el % con las partes que se toman de cada 100. …multiplicando por una fracción con denominador y numerador 10. …simplificando, Por lo tanto: 311 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 2 Secuencia 5 Bloque II 1. a) b) c) d) e) Expresar en tanto por ciento: 0.32 0.0052 1.5 23.5 f) g) h) 2. a) b) c) d) Expresar cada tanto por ciento a fracción común. 25% 100% 0.25% 1.25% Aplicaciones del tanto por ciento Para seguir desarrollando la idea de tanto por ciento, considere el siguiente ejemplo: 1. En un centro básico, 15% de las alumnas asisten a clases de danza moderna. Si en el centro básico hay 200 alumnas matriculadas. ¿Cuántas alumnas reciben clases de danza moderna? Solución: Datos 312 MATEMÁTICAS 15% de alumnas en danza moderna. 200 es el total de alumnas matriculadas en el centro básico. Proceso Si se expresa el tanto por ciento con las partes que se toman de cada 100, se tiene: Se establece la proporción de la siguiente manera: si 15 alumnas de cada 100 reciben clases de danza moderna, entonces cuántas alumnas (x) reciben de 200, es decir: Al aplicar la propiedad fundamental de las proporciones, se tiene: Respuesta 30 alumnas reciben las clases de danza moderna. 2. En un centro básico de 825 los estudiantes matriculados(as), el 24% aprobaron el año sin reprobar ninguna asignatura. ¿Cuántos los estudiantes aprobaron? Solución: Datos 825 total de los estudiantes 24% aprobados Proceso … ¿Qué se hizo? … ¿Qué se hizo? Respuesta 198 los estudiantes aprobaron el año. CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO Hasta ahora ha aprendido a calcular el % utilizando proporciones, sin embargo, se puede calcular de distintas formas. Una es cuando se da un número llamado base y el tanto por ciento (%) que se desea encontrar con respecto a la base. Para calcular el porcentaje que le corresponde al número o cantidad dada (base), se 313 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado multiplica dicha base por la expresión racional o decimal del tanto por ciento, así: Ejemplo 1: Hallar el 15% de 80. Solución: 0.15 x 80 = 12 …calculando la expresión decimal del tanto por ciento. …multiplicando la base por la expresión decimal del tanto por ciento. Por lo tanto: 12 es el 15% de 80. Ejemplo 2: Hallar el Solución: % de L.200.00. % = 0.25% 0.25% = …calculando la expresión decimal de la fracción. = 0.0025 … ¿Qué se hizo? 0.0025 x 200 = 0.5 … ¿Qué se hizo? Por lo tanto: 0.5 es el % de 200. Ejercicios 3 Secuencia 5 bloque II Reúnase con dos compañeros(as) y desarrolle los siguientes ejercicios: 1. Reducir cada expresión a tanto por ciento: a) b) c) 0.45 2. Reducir cada tanto por ciento a fracción común: a) 25% 314 MATEMÁTICAS b) c) 50% 15% 3. Hallar el: a) 20% de 500 b) 50% de 24.6 c) % de 120 d) 35% de 500 e) 50% de 50 f) 80% de 200 g) 3.5% de 10 h) 65% de 100 i) 65% de 35 j) 25% de 1.25 k) 10% de 1500 4. Resolver los siguientes problemas: a) Una persona tiene que pagar L. 800.00. Si se le rebaja el 5% de su deuda, ¿Cuánto pagó? b) Una señora quiere comprar un mueble, para lo cual se le presentan las siguientes alternativas de pago: de contado le descuentan un 30%; si paga en un mes, le rebajan el 5%; en dos meses paga el precio original que es de L. 1,960.00; pero si lo liquida en tres meses, se le hace un recargo de 7%. ¿Cuáles son los diferentes precios que tiene el mismo mueble según la forma de pago. A fin de resolver el problema organice los datos en la siguiente tabla: Meses Valor original Descuento/Recargo Precio 0 1 315 2 3 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 5 bloque II EJERCICIOS VERBALES Forme grupos de tres integrantes y desarrolle lo que se le pide: 1. a) b) c) d) Explique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: El tanto por ciento es la cantidad que se toma de cada diez unidades. 1/100 en porcentaje es igual a 1%. 1/10 en porcentaje equivale al 10%. Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar la primera cantidad un determinado número de veces, aumenta también la segunda ese mismo número de veces. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Complete la siguiente tabla en la que se presenta el tanto por ciento como razón, como expresión decimal y como fracción común: 2. Reducir cada expresión a tanto por ciento: a) b) 2.36 3. Reducir cada tanto por ciento a fracción común: a) 37.5% b) 0.15% 4.Hallar a) 35% de 180 316 MATEMÁTICAS b)25% de 500.25 c) % de 300 5. Resolver los siguientes problemas: a) En un curso de 40 estudiantes, 95% practican algún deporte. ¿Cuántos estudiantes no practican ningún deporte? b) Una camisa tiene un costo de L.150.00. ¿A cómo debe de venderse para ganar un 25%? c) En un centro básico de 300 estudiantes, el 40% son mujeres. ¿Cuántos varones hay? 317 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 318 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 6 Bloque II VALORANDO LO QUE APRENDO Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad le plantea, su capacidad se encontrará constantemente evaluada por los problemas que a diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este segundo bloque: Álgebra. En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de esos conocimientos. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes: 1. Determinan procedimientos para reconocer y evaluar expresiones algebraicas, reconociendo los términos y sus elementos. 2. Resuelven ecuaciones lineales para solventar situaciones de la vida diaria. Constante, variable y término algebraico En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos para representar números y cantidades cualesquiera y existen dos tipos: VARIABLE: Es un símbolo que representa cualquier número dentro de un conjunto derterminado de valores. CONSTANTE: Es un símbolo que representa un valor fijo. Ejemplos: 1. La expresión A = bh 2 se emplea para calcular el área de un triángulo, donde: A = Área del triángulo; b = base, h = altura A, b y h: son las variables. Varían según el triángulo de que se trate. 2 es la constante. Su valor no varía. 319 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado TERMINO ALGEBRAICO Para indicar, en Álgebra, el producto de dos o más números cualesquiera basta con anotar las variables en secuencia, así: ab Para indicar el producto de una constante con una o más variables, se anotan la constante con las variables en secuencia, así: 2a, –3xyz De lo anterior se concluye que: Término Algebraico: es el producto indicado de constantes y variables. Ejemplos: 2 3 3b, -5𝑥𝑥 2 , 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥, -3.2𝑚𝑚𝑛𝑛6 Los componentes de un término son: 5. Signo: Positivo(+) ó negativo(–). Si un término no tiene signo se considera positivo. 6. Coeficiente: Es el factor numérico que se escribe delante de la variable. 7. Variable: La letra o letras que forman el término. 8. Grado absoluto: La suma de los exponentes de las variables TÉRMINOS SEMEJANTES, EXPRESIÓN REDUCIDA Los términos que se pueden reducir son los que tienen los mismos elementos, es decir, que son semejantes. Términos semejantes: son los que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes y que sólo pueden diferir en sus coeficientes. Ejemplos: y y son términos semejantes, pues las variables son las mismas (x,b,y), sin importar que estén en diferente orden y están elevadas a los mismos exponentes (1 y 3), aunque los coeficientes sean diferentes (–3 y 6). no son términos semejantes, pues aunque tengan el mismo coeficiente (–2) y la misma variable (x), el exponente es diferente. Expresión reducida de un polinomio es aquella que no tiene términos semejantes Así cuando en una expresión hay términos semejantes, se pueden reducir conforme al siguiente señalamiento: 5) Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, estos se suman y el resultado llevará el signo que ellos tenían seguido de la o las variables comunes. 320 MATEMÁTICAS Ejemplos: Hallar la expresión reducida de: c) 2n + 5n + n = (2 + 5 + 1)n = 8n 6) Cuando los términos semejantes tienen coeficientes con diferente signo, se restan los valores absolutos y al resultado se le da el signo del sumando de mayor valor absoluto, seguido de la o las variables comunes. Ejemplo: Hallar la expresión reducida de: b) 3x – 5x + 4x –6x – x = 3x + 4x –5x –6x – x = 7x – 12x = –5x 7) Cuando en una expresión hay términos semejantes y otros que no lo son, se agrupan los semejantes, después se reducen ambos términos conforme se señala en los incisos anteriores. Ejemplos: Hallar la expresión reducida de: b) Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la expresión resultante con el signo que originalmente tenía. VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene sustituyendo las variables por sus valores numéricos respectivos y efectuando con tales valores, las operaciones indicadas. Al efectuar estas operaciones, debe respetarse la prioridad de las operaciones estudiadas anteriormente. Por ejemplo: Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones: d) si se aigna arbitrariamente, el valor a Para encontrar el valor numérico de la expresión es necesario conocer el valor numérico de cada uno de los términos que lo forman. Recuerde que cuando aparecen una constante seguida de una variable o dos o más variables sin que entre ellas haya un signo de + ó –, se trata de una multiplicación. 4) Se sustituye el número 2 por la variable x y se efectua la multiplicación con el coeficiente 3, lo cual da 6. 3x = (3)(2) = 6 321 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 5) Se sustituye el número 2 por la variable x, se efectua la potencia multiplica con el coeficiente 2, lo cual da 8. , luego se 6) Una vez determinado el valor de cada término de la expresión algebraica, se reducen todos hasta encontrar un solo valor que será el que corresponde a todo el polinomio, es decir: 6 + 8 = 14 Por lo tanto, el valor numérico de , cuando x = 2 es 14. ECUACIÓNES LINEALES Una situación cotidiana se puede plantear como una igualdad estableciendo ciertas relaciones entre los números. Por ejemplo: a) Observe la siguiente balanza: x+3 5 La balanza está en equilibrio por lo tanto los dos bloques pesan lo mismo, es decir, los pesos de ambos lados se pueden expresar como una igualdad, así: x + 3 = 5 En las igualdades anteriores se presentan valores desconocidos que se denotan por una forma especial de igualdad: la ecuación. Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente con letras. Ejemplos de ecuaciones: a) x + 5 = 8 b) 2x = 10 c) 3x – 1 = 5 d) 2x + 1 = 3x –2 En las ecuaciones se observa, lo mismo que en las igualdades, el primer y segundo miembro. Primer miembro Segundo miembro X+3= 5 322 MATEMÁTICAS Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, la incógnita sólo puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x). Por esta razón a las ecuaciones lineales también se les llama ecuaciones de primer grado. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Para resolver una ecuación con variable x se aplican las propiedades de la igualdad transformándola en la forma X = a. Observe en los siguientes ejercicios la aplicación de las propiedades para transformar una ecuación: a) b) En el caso a se suma 4 en ambos miembros, observe que el término –4 en el lado izquierdo se traslado al lado derecho con el signo +. En el caso b se resta 2x en ambos miembros, observe que el término 2x en el lado derecho se traslado al lado izquierdo con el signo –. Después de estas consideraciones se puede concluir lo siguiente: Aplicando la propiedad de los casos a y b (propiedad uniforme), se puede trasladar un término de un miembro (lado) de una ecuación al otro miembro (lado) cambiando su signo. Este proceso se llama transposición. Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 5x – 4 = 3x + 6 5x – 4 = 3x + 6 5x – 3x = +6 + 4 … se transpone el término –4 del lado izquierdo al lado derecho de igual y cambia a +4. … se transpone el término 3x del lado derecho al lado izquierdo del igual y cambia a +3x. 323 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado …se reducen los términos semejantes en ambos lados de la ecuación. 2x = 10 …multiplicando por el inverso multiplicativo. X=5 Observe cuando se tiene la expresión 2x = 10, se procede depués a multiplicar ambos miembros por el inverso multiplicativo de 2 que es . En este caso el multiplicar por ambos lados es lo mismo dividir por 2 (coeficiente de la variable) ambos términos, es decir: Cuando tenemos la expresión: …dividimos entre el coeficiente de la variable, en este caso 2, ambos términos de la ecuación. 2x = 10 , por lo tanto: C.S. = {5}. Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de 7x – 3 = 2x – 23 7x – 3 = 2x – 23 7x – 2x = –23 + 3 …transposición de términos. 5x = –20 …reducción de términos semejantes. x = –4 …dividiendo entre el coeficiente de la variable, en este caso 5. Comprobación: 7(–4) – 3 = 2(–4) – 23 –28 – 3 = –8 – 23 –31 = –31 por lo tanto: C.S. = {–4}. 324 MATEMÁTICAS Ejercicios 1 Secuencia 6 bloque II a) Complete el siguiente cuadro: b) Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje común y viceversa, según sea el caso. e) 2x_________________________________________________________________ f) _____________________________________ Un número menos el triplo del mismo g) a –1_______________________________________________________________ h) ____________________________El cociente del cuadrado de un número entre diez c) Encontrar la expresión reducida de: 1. 2. 3. 4. –5xy – 3by + 6xy – 5x 5. 6. 7. –a +3b –a + b + b 8. 9. d) Hallar el valor numérico de: 1. ; para 2. ; para 3. ; para 4. 5. ; para ; para 325 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado e) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. 10 + × = 2 2. × + 9 = 0 3. × – 8 = –8 4. –2 + × = –98 5. 7 = × – 10 f) 1. 2. 3. 4. 5. Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 10 × = 5 2 × = 50 1200 × = 6000 0.25 × = 8 –2 × = 7 6. × 7. × 8. 8 = –4 × g) Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones en cada problema: 1. El área de una habitación rectangular es de 200 , si su base es de 20 m, ¿Cuál es su altura? 2. El dinero que tiene Jorge es el cuádruplo del que tiene Ana. Si Jorge tuviera 3 lempiras menos que Ana y Rosa 15 más, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto posee cada uno de ellos? 3. Un número disminuido en diez unidades es igual a cuatro. ¿Cuál es el número? 4. La suma de dos números es –22, y uno de ellos es 2, ¿Cuál es el otro número? h) Hallar el conjunto solución de: 10x + 8 = 6x + 4 6x + 2 = 2x + 18 5x + 2 = –x 4x + 8 = 4 i) Hallar el conjunto solución de: 1. 2. 326 MATEMÁTICAS La Geometría y la Aritmética son las raíces sobre las que se han desarrollado las matemáticas. Al igual que la Aritmética, los conceptos más antiguos de la geometría se remontan a la época prehistórica y se originan a partir de actividades prácticas y problemas cotidianos. Su transformación en teoría requirió de un largo período. La Geometría estudia las relaciones de los cuerpos y las figuras, considerando su forma, magnitud y posición. Las primeras formas geométricas surgen de las representaciones de la naturaleza, como son: la luna llena, la línea que describe un rayo de luz, la sombra de un pino, etcétera. La palabra Geometría se deriva de los vocablos griegos geo-tierra y metrón-medida, esta denominación se debe al uso que los egipcios le daban, pues medían sus tierras de labranza cada vez que el río Nilo se desbordaba. El estudio de la Geometría en séptimo grado, parte de lo práctico y de situaciones problemáticas para poder entender los conceptos geométricos. 327 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado EXPECTATIVAS DE LOGRO El área de Geometría dentro del séptimo grado pretende que: 1 A través de los trazos y construcciones geométricas se exploren y conozcan las propiedades de las figuras geométricas. 2 Se conozcan y usen en forma adecuada los instrumentos de medida y se desarrollen las capacidades para estimar magnitudes físicas y geométricas. 3 Se exploren las simetrías de una figura a través de la manipulación y el dibujo. 4 Se desarrolle la imaginación espacial y se utilice adecuadamente el lenguaje para describir a los sólidos geométricos. 5 Se apliquen las fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes en la solución de problemas. 6 Apropian los conceptos de punto, línea y plano como conjunto de puntos. 7 Usan divisiones de líneas para construir rayos y segmentos. 8 Operan con ángulos y sus operaciones con líneas. 9 Reconocen y miden ángulos en la vida real. CONTENIDO ▪ Conjunto de puntos. o El punto, la recta y el plano. ▪ Segmentos y rayos o Segmentos congruentes. o Punto medio, puntos colineales. o Los planos. o Características del punto, la recta y el plano. o Trazo de líneas. o Construcción de paralelogramos. o Las simetrías. ▪ Ángulos. o Medición de ángulos. o Clasificación de los ángulos. o Adición y sustracción de ángulos. o Construcción de ángulos. o Clasificación de los ángulos con relación a otros. oPerpendicularidad. oParalelismo. o Líneas paralelas y transversales. 328 MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 1 Bloque III MÁS DE UN PUNTO El ser humano necesitó contar y creó los números; quiso hacer cálculos y definió las operaciones; hizo relaciones y determinó las propiedades numéricas, con lo anterior más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos, la humanidad precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu y con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, y líneas que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría, que significa medida de la tierra. Esta rama de las matemáticas se fue perfeccionando con la medición de terrenos y su aplicación en la construcción, y en la actualidad es imprescindible en muchas actividades del género humano. En esta secuencia de aprendizaje se familiarizará con los conceptos básicos de la geometría y trazos, a través del uso adecuado y sistemático de algunos instrumentos de dibujo. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Se apropien los conceptos de punto, línea y plano como conjuntos de puntos. 2. Usen divisiones de líneas para construir rayos y segmentos. Instrumentos básicos de dibujo El lápiz, la regla, las escuadras y el compás son los instrumentos básicos del dibujo. LA REGLA Este instrumento es una barra, generalmente de acrílico transparente o de madera, está graduada en el canto superior, cuyo grosor por lo general está desvanecido. 329 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado La regla permite trazar la recta que pasa por un punto o aquella que une dos puntos, el trazado de márgenes, los subrayados, la medición de longitudes en figuras y objetos. LAS ESCUADRAS Son instrumentos de acrílico transparente o madera, en forma de triángulo, pueden estar o no graduadas. Para comprender el nombre con el cual se identifican las escuadras es necesario conocer el concepto de ángulo. El ángulo es la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice. Los ángulos pueden tener diversas aberturas. La abertura de un ángulo se mide en grados, utilizando el transportador. Las escuadras tienen forma de triángulo rectángulo (por tener un ángulo recto, es decir de 90º). Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos y el tercer lado hipotenusa, que es el lado más largo de la escuadra. ESCUADRA ISÓSCELES O DE 45º Sus catetos son de la misma longitud, tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º. 330 MATEMÁTICAS 45º 90º 45º ESCUADRA ESCALENA O DE 30º y 60º Sus catetos son de diferente longitud, por lo que a uno se le denomina cateto mayor y al otro cateto menor; sus ángulos también son diferentes: 30º, 60º y 90º. 30º 90º 60 º EL COMPÁS Existen dos tipos de líneas: las rectas y las curvas. Las líneas rectas se trazan o se miden con la regla y las escuadras, en tanto las líneas curvas o la circunferencia, se trazan con el compás. Existen compases de diferentes tipos: Compás de uso general: Se emplea para el trazo de curvas entre 1 y 10 cm de radio. Compás de puntas secas: Se usa para el traslado de medidas o división de longitudes. Compás de bomba: Se utiliza en el trazado de curvas con radio muy pequeño. Compás de precisión: Conocido como bigotera. La abertura de las patas se controla con un mecanismo de rosca, lo que asegura un trazo preciso, de ahí su nombre. Recuerde que las puntas del compás deben tener la misma longitud. 331 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado El compás se utiliza para: 1. Trazo de circunferencias o de arcos de circunferencias. Para el trazo de una circunferencia se necesita tener el centro y la medida del radio; la abertura del compás debe ser igual al valor del radio. 2. Transportar medidas. De un segmento de recta o de un arco. 3. Dividir líneas curvas y rectas. Ejercicios 1 Secuencia 1 bloque III Reúnase con su compañero(a) más próximo(a), escriba y complete los siguientes enunciados en su cuaderno. a) La escuadra isósceles o de______________tiene dos lados ______________y uno desigual llamado __________________. b) La escuadra escalena o de_________________tiene un cateto______________y otro__________. c) El lado más largo de una escuadra se llama_________________. d) El compás sirve para trazar_______________. Para_____________medidas y para dividir_______________ . e) En el trazo de circunferencias o arcos las puntas del_______________deben tener la misma longitud. f) Los diferentes tipos de compás son____________________, __________________, ______________________. Dibuje en su cuaderno los siguientes diseños, utilizando sus instrumentos de dibujo. 332 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 1 Secuencia 1 bloque III Observe el programa de Viaje a las estrellas en el cual se mostrará el origen de la geometría y los conceptos fundamentales para dar inicio a su estudio. El punto, la recta y el plano Hay términos en matemáticas y especialmente en geometría que se denominan “primitivos” porque se aceptan sin definirlos, que no son otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran evidentes y a partir de los cuales se construye una teoría. Por ejemplo: El punto, la recta y el plano son los términos primitivos fundamentales de la Geometría y están sugeridos por objetos reales. Si hace una marca en una hoja de papel con la punta de un lápiz, se obtiene una representación bastante fiel de un punto y entre más fina sea la punta más se aproxima a la idea de punto, pero la marca que se haga siempre será aproximada, pues esta siempre tendrá un área. En la siguiente figura, la parte donde comienzan las flechas se llama punto. 333 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Imagine si un punto se mueve en la misma dirección o si el punto retrocediera en dirección opuesta a la trayectoria dada y se prolongara infinitamente, ¿Qué figura se dibujaría?. Cuando se habla de la palabra recta se tiene en la mente una idea línea recta que se extiende indefinidamente en ambos sentidos, que por lo general se indica marcando dos flechas en los extremos de la recta. Una línea recta no tiene anchura o grosor, se extiende infinitamente en dos direcciones y no tiene extremos, es decir que no finaliza en los puntos donde finaliza el dibujo, ejemplo: A B Las superficies como la pizarra, la parte superior de una mesa o una pared sugieren la idea de un plano, pero sólo son modelos, el plano como el punto y la recta son abstracciones matemáticas. Un plano es una superficie lisa que se extiende infinitamente en todas direcciones y cuando se traza una figura para representarlo, la mayor parte de las veces se utiliza un paralelogramo. Un plano tiene dos direcciones pero no tiene grosor, ejemplo: Altura Longitud NOMENCLATURA Para designar un punto se usa una letra mayúscula. Ejemplo: El punto A. A 334 MATEMÁTICAS Para designar una recta se usa una letra minúscula o dos letras mayúsculas con el dibujo de una recta sobre ellas. Ejemplo: La recta o la recta . A B Para designar un plano se usa una letra minúscula. Por Ejemplo: El plano p P La recta y los planos son conjuntos de puntos. A partir de estos términos primitivos, se define espacio, figura, rayo y segmento. Espacio: Es el conjunto de todos los puntos. Figura: Es un subconjunto no vacío del espacio o es cualquier conjunto de puntos. Un rayo: Es una parte de una recta que comienza en un punto dado y que se extiende en forma ilimitada en una dirección. Por ejemplo: El rayo A B Para designar un rayo se usa dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja un rayo pequeño. La primera letra corresponde al punto donde comienza el rayo y la segunda es otro punto cualquiera del rayo. Por ejemplo la figura anterior se designa como rayo (insertar símbolo) Un segmento de recta es una parte de la recta entre dos puntos. Por ejemplo: El segmento A . B Para designar un segmento de recta se usan dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja un segmento pequeño. La primera letra corresponde al punto donde comienza el segmento y la segunda donde termina. Por ejemplo la figura anterior se designa como segmento . Un segmento tiene longitud. La longitud del segmento 335 se designa por AC. Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado • • • A B C Si se divide un segmento en varias partes, su longitud es igual a la suma de la longitud de sus partes. Por ejemplo en la figura anterior, la longitud del segmento es igual a la suma de las longitudes y . Lo anterior se escribe como AC = AB + BC. Es importante hacer la distinción entre y AB. designa un conjunto de puntos y AB representa un número. Ejercicios 2 Secuencia 1 bloque III Reúnase con su compañero o compañera más próxima para contestar en su cuaderno y comentar las repuestas de los siguientes ejercicios. a) ¿Qué nombres puede tener la siguiente recta? • • • • A B C D b) Mencione 2 objetos que dan la idea de punto, de recta y de un plano. c) Trace las siguientes rectas: i ii d) Trace segmentos cuyas longitudes sean las siguientes: i. 4 cm ii. 1 cm iii. 5.3 cm iv. 2.9 cm Conteste en su cuaderno lo que se le pide: a) ¿Cuáles son los términos primitivos o fundamentales de la Geometría? y ¿por qué se les llama así? b) Escriba al menos dos características del punto, la recta y el plano. c) Defina los siguientes conceptos. i.Espacio ii.Figura iii.Rayo iv.Segmento 336 MATEMÁTICAS POSTULADO Y AXIOMA Antes de empezar a estudiar geometría es conveniente entender los siguientes conceptos: Axioma: proposición evidente que se acepta como verdadera sin necesidad de una demostración. Ejemplo: “El todo es mayor que cualquiera de sus partes”. Postulado: un postulado es una verdad no tan evidente como un axioma pero que también se acepta sin una previa demostración. POSTULADOS Y AXIOMAS 1. Por un punto pasan infinitas rectas. u n m i p Por el punto P infinitas rectas l, m, n, u. 2. Dos puntos distintos determinan una recta única al cual pertenecen. A A A A 3. Existen infinitos puntos que pertenecen a una recta y existen infinitos puntos que no pertenecen a ella. P A R B Q S 337 C Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 4. Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene. A 5. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano. 6. Dadas dos rectas que se cortan, hay exactamente un plano que los contiene. 7. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella. P A B C Q S 338 MATEMÁTICAS 8. La intersección de dos planos es una recta. 7 DEFINICIONES 1. Dos o más puntos son colineales si y sólo si existe una recta que los contiene. A B C D En la figura los puntos A, B, C y D están en la mismo recta, por lo tanto se llaman puntos colineales. Importante: a) Si tres puntos están en una misma recta, estos puntos son colineales. b) Dos puntos están en una y solamente una recta. c) Más de dos puntos no necesariamente son colineales. 2. Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano. • A •C •B En la figura los puntos N, R y M están en el mismo plano, por lo tanto se llaman puntos coplanares. Ejemplos: En la figura se distinguen tres planos. 339 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado En la figura los puntos A, B y C son coplanares, pero los puntos B, C y D no son coplanares. B A B Todo plano contiene por lo menos tres puntos no colineales. A B C Los planos son lisos y llanos. Tres puntos determinan un plano. CARACTERÍSTICAS DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO a) El punto no tiene dimensiones y por lo tanto no tiene área. b) El punto únicamente tiene posición. c) La recta está formada por un conjunto de puntos. Se prolonga indefinidamente en ambas direcciones. d) El plano es llano, se prolonga indefinidamente en todas direcciones. 340 MATEMÁTICAS Ejercicios 3 Secuencia 1 bloque III 1) En la figura de abajo hay 5 puntos de tal manera que hay por lo menos tres de ellos no alineados, ningún plano los contiene a todos. Nombre los planos determinados por los conjuntos de tres puntos. 2) Seleccione la figura correcta para cada proposición, escriba dentro del paréntesis la letra que corresponde a la figura seleccionada. A A B D B C E F C A ( ( ( ( ( ( ) Dos puntos determinan una recta. ) Una recta y un punto determinan un plano. ) Dos rectas se cortan en un punto. ) Tres puntos no alineados determinan un plano. ) Dos planos se cortan en una recta. ) Una recta que cortan a un plano en un punto. 3) Dibuje 5 puntos diferentes A, B, C, D y E de manera que tres de ellos no estén alineados. Dibuje las rectas que contienen. ¿Cuántas rectas contienen?, marque los primeros con números y luego escríbalas con las letras correspondientes. 341 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado SEGMENTOS CONGRUENTES Se requiere trazar utilizando regla y compás el segmento que el segmento . A B Paso 1 Paso 2 C que tenga la misma longitud Se traza con una regla un segmento y se coloca el punto C sobre él. C D Se hace coincidir los extremos del compás con los puntos A y B,y con esa misma abertura se traza un arco con centro C que corte el segmento en el punto D. ���� tienen la misma longitud se dice que son congruentes y se escribe Si dos segmentos ���� AB y CD ���� ���� AB ≅ CD (se lee el segmento AB es congruente con el segmento CD) PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Observe que el punto B está a la misma distancia del punto A y del punto C. • • • ABC Entonces punto B al C. , por lo tanto la distancia del punto A al punto B es la misma que la del El punto medio de un segmento es aquel punto que está en el segmento y que dista lo mismo desde sus dos extremos. El punto B que está en el segmento ���� AC se le llama punto medio del segmento ���� AC, ya que la distancia AB es igual a la distancia BC. BISECTOR DEL SEGMENTO Observe las siguientes rectas, tomando en cuenta que B es el punto medio de 342 . MATEMÁTICAS • • • • • • A B C A B C • A • B • C Cuando una recta pasa por el punto medio de un segmento se dice que la recta biseca al segmento. ����, la recta que biseca un segmento se le En los casos anteriores la recta 𝒶𝒶 biseca al segmento AC llama bisector del segmento. Ejercicios 4 Secuencia 1 bloque III Intégrese a un equipo de tres integrantes y realice lo que se le pide. Encuentre los segmentos congruentes con el segmento , utilizando el compás. C A D Z X M O N T B U P Trace utilizando regla y compás el segmento segmento . C , que tenga la misma longitud que el R 343 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Encuentre el punto medio de los siguientes segmentos haciendo uso de una regla graduada. N R K P E A Utilice regla y compás para realizar lo que se le pide a continuación: a) Trace un segmento b) En el segmento NR congruente con y biséquelo. A B del inciso anterior, encuentre un punto A de manera que NA = de Haga una lista de los conjuntos de puntos colineales, segmentos, rayos y rectas (utilizando dos puntos de la misma) de la figura de abajo. B C E F G H Una con un segmento los puntos que tienen un mismo número 344 MATEMÁTICAS Programa de Televisión 2 Secuencia 1 bloque III Observe el programa de Tres puntos en el cual se mostrará una recapitulación de los axiomas y postulados de la geometría para poder demostrar gráficamente el postulado del plano. Ejercicios 5 Secuencia 1 bloque III En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su maestro o maestra, y después puede comparar con sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Conteste cada interrogante: 1. ¿Cómo se le llama a la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice? 2. ¿Cómo se le llama al lado más largo de la escuadra? 3. ¿Cómo se la llama a la escuadra cuyos lados forman ángulos de 30º, 60º y 90º? 4. Mencione las clases de compases que hay 5. ¿Cuáles son los términos primitivos fundamentales de la geometría? Defina los siguientes conceptos: 1.Espacio. 2.Rayo. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Dibuje una figura que ilustre cada una de las siguientes proposiciones: 1) Dos puntos determinan exactamente una recta, es decir: para dos puntos cualesquiera hay exactamente una recta que los contiene. 2) Si dos rectas cualesquiera se interceptan, su intersección contiene exactamente un punto. 3) Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene. 4) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados. 345 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 5) Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta que los contiene están en el mismo plano. 6) Si dos rectas se interceptan, hay exactamente un plano que las contiene. 7) La intersección de dos planos diferentes, (H1,H2), es una recta. Apoyándose en la figura de abajo, indique si las proposiciones son verdaderas o falsas escribiendo en el paréntesis una V o una F: ( ) El plano H intercepta al plano P en la recta I. ( ) En el plano P está el punto I. ( ⃖���⃗. ) En el plano P está la recta 𝐄𝐄𝐄𝐄 ( ( ( ) En el plano H está la recta ⃖���⃗ 𝐄𝐄𝐄𝐄. )R∈H ) P ∩ ⃖���⃗ 𝐄𝐄𝐄𝐄 = {R} H F • I P E B 346 •• R P P P MATEMÁTICAS Secuencia de Aprendizaje 2 Bloque III CON LÍNEAS TAMBIÉN SE CONSTRUYE Cuando el ser humano apareció en la tierra empleó objetos que tienen una estrecha relación con las figuras geométricas que se conocen, se puede citar como ejemplos las puntas de lanza, los utensilios que para contener agua y alimentos, y más adelante, cuando aparecen, los metales las formas de los adornos y las herramientas. Posteriormente con la cultura egipcia y babilónica, la geometría se relaciona con la agricultura, pero es en la cultura griega donde se convierte en una ciencia abstracta cuyos fundamentos se encuentran en la obra de Euclides llamada: Los Elementos. Más tarde, en el renacimiento, se origina la geometría proyectiva, que empieza con los estudios en perspectiva de aristas como Durero (Pintor alemán) y Leonardo Da Vinci (pintor italiano). En la actualidad, las formas geométricas como los triángulos, los cuadrados, los ángulos, etcétera y sus principios, se usan en los dibujos a escala en las construcciones, maquinarias y decorados entre otros. Continuando con el análisis de los elementos básicos de la geometría, en esta secuencia se estudiará la construcción de ángulos, así como también su clasificación, congruencia, bisectriz y con estos conocimientos se construirán líneas paralelas y perpendiculares. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Operen ángulos y sus relaciones con las líneas. 2. Reconozcan y midan ángulos en la vida real. 3. Reconozcan líneas paralelas y perpendiculares. Origen de la geometría La palabra geometría está formada por las raíces griegas: “geo” que significa tierra y “metrón” que significa medida, por lo tanto, su significado es “medida de la tierra”. 347 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Según lo registra la historia, los conceptos geométricos básicos para explicar la naturaleza, nacieron en forma práctica a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto. La principal causa fue tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar las aguas del rio Nilo, esto debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas. Para medir las tierras los egipcios aprendieron a calcular el área de los rectángulos y de los triángulos construidos con cuerdas. Los babilonios también conocían las áreas de los triángulos y los rectángulos, sobre todo para resolver problemas de herencia. También conocieron las áreas de los pentágonos, hexágonos y heptágono. Pero en especial estudiaron mucho los círculos. Eran unos excelentes geómetras, ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes. Recuerde que ellos crearon el sistema de numeración sexagesimal (de base 60). Este zodíaco les serviría para elaborar calendarios y almanaques: muy útiles para el cultivo de los cereales, junto a la geometría nace la astronomía. De ellos se heredó la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya. Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos. Tales de Mileto (600 a.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes. Se cree que nació en Mileto, actual Grecia. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría y astronomía de los sacerdotes de Menfis, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y 348 MATEMÁTICAS contemporáneo de Anaximandro. Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito. En geometría con base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos, todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos. Fue el famoso sabio de la historia que cayó a un pozo por mirar las estrellas y una anciana le dijo: “Pretendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienes a tus pies”. Cuando le preguntaron la recompensa que quería por sus descubrimientos contestó: “Me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son míos”. Pitágoras (582-496 a.C) Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates, como Pitágoras tenía un espíritu libre no podía avenirse a esta forma de gobierno, entonces emigró hacia el occidente fundando en Cretona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo se dice que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente y para vivir en comunidad. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). En esta Escuela se entraba luego de prestarle juramento al número diez, todos los documentos se mantenían de manera oral y nadie podía divulgarlos. Jugaban con piedritas y formaban los números cuadrados y los números rectangulares. Pero Pitágoras es famoso por haber descubierto el teorema que lleva su nombre: el Teorema de Pitágoras. ¿En qué consiste este teorema? Simple: los lados de un triángulo rectángulo forman cuadrados y si sumamos los cuadrados de los lados menores obtendremos los cuadrados del lado mayor (también conocido como hipotenusa). 349 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Platón Arístoteles de Atenas, apodado Platón (Plátwn = «el de anchas espaldas»), nace probablemente, el año 428 ó 427 antes de Cristo en Atenas o quizás en Aegina, pertenecía a una familia noble. El año 399 tiene lugar la condena y muerte de Sócrates y temiendo ser molestado por su condición de amigo y discípulo de Sócrates, Platón se refugia en Megara después viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. En el 387 regresa a Atenas y funda la Academia, primera escuela de filosofía organizada, origen de las actuales universidades. Allí permanecerá durante veinte años dedicado al estudio y a la enseñanza. Hizo colocar a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “No entre aquí el que no conoce geometría” mantenía esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”. SEMIRECTA Si se tiene una recta m y un punto P que pertenece a la recta; este punto divide a la recta en dos partes. P m Cada una de esas partes se llama semirecta, ambas semirectas incluyen los puntos de cada extremo de la recta m menos el punto P. m m Observese lo siguiente: Si P y Q son dos puntos que pertenecen a la misma recta (m). P Q La recta PQ: Entonces el conjunto de puntos de la recta, que parten de P hacia Q, excepto P, es la semirecta de P que pasa por Q. El símbolo que se emplea para representarla es: , incluye todos los puntos de P hacia Q excepto el punto P. P Q La semirecta PQ: Ahora bien, si la semirecta mencionada incluye todos los puntos de la recta que parten de Q hacia P, excepto el punto Q es la semirecta Q que pasa por P. Se usa el símbolo (dibujar el símbolo) para representarla, e incluye todos los puntos de Q hacia P excepto el 350 MATEMÁTICAS punto Q. P Q La semirecta QP: RAYOS Los rayos son figuras geométricas conocidas, pero se hará una definición formal a partir de las semirectas. Si es una semirecta y si a ella se le une el punto P en un extremo entonces la unión de la semirecta dada y su extremo P representa lo que geométricamente se llama rayo. El símbolo para representar el rayo de P hacia Q es: es y para representarlo de Q hacia P Véase el ejemplo: P Q P El rayo PQ: Q El rayo QP: En la figura anterior se dice que y son rayos opuestos, sus sentidos están indicados por las flechas colocadas arriba de las letras que los definen. P y Q son colineales. Por ejemplo: dada la recta PQ: P R R Q Q P : rayo opuesto a : rayo opuesto a Q R : 351 extremo fijo de ambos rayos Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicio 1 Secuencia 2 Bloque III Conteste las siguientes interrogantes y comente sus respuestas. 1) Geometría está formada por dos palabras griegas, ¿Cuáles son y qué significa? 2) De geometría, ¿Qué conocían los babilonios? 3) ¿Por qué es famoso Pitágoras? ¿En que consiste este teorema? Dada la siguiente figura: N R M K Escriba los rayos que hay a partir del punto M. Escriba dos rayos opuestos al rayo . Programa de Televisión 1 Secuencia 2 Bloque III Observe el programa de Un instrumento eficaz transportador. Ángulos en el cual se mostrará el uso del Un ángulo es una figura compuesta por dos rayos ( y ) que tienen un extremo común (punto A). Al punto A se le llama vértice y a los rayos lados. B Lado A Lado C Vértice 352 MATEMÁTICAS Para representar un ángulo se utiliza cualquiera de los siguientes símbolos: Por ejemplo el ángulo de la figura anterior se puede designar de varias maneras: 1) Usando tres letras, en este caso la letra del vértice debe de estar en medio de las otras dos, por ejemplo: , 2) Usando el vértice, por ejemplo: 3) Usando la letra que está en medio de los lados (abertura) o números, por ejemplo: MEDICIÓN DE ÁNGULOS Así como se miden los segmentos con una regla, así también se pueden medir los ángulos con un transportador. La unidad de medida universal del ángulo es el grado y se utiliza el símbolo “ º ” Ejemplo: Noventa grados se expresa como 90º. El transportador es un instrumento geométrico que se utiliza para medir ángulos; por lo general su forma representa la mitad de una circunferencia y consta de 180º, enumerados en dos direcciones opuestas para medir ángulos en cualquier ubicación. Pero hay otros transportadores que tienen forma de la circunferencia completa y constan de 360º. 353 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado EJEMPLOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Para medir un ángulo con el transportador se realiza el siguiente procedimiento: 1) Se desea medir el siguiente ángulo ABC A B C 2) Se coloca el centro del transportador sobre el origen del ángulo ABC y el lado C debe coincidir exactamente con el grado cero del trasportador, como se ilustra en la siguiente figura. B C 3) El lado A del ángulo, marca la medida del ángulo en grados. A B C 354 MATEMÁTICAS 4) Se observa que el lado A coincide con el número 35 de la escala. Esa es la medida en grados del ángulo ABC, para expresar que la medida del ángulo ABC es 35º se escribe m ABC = 35º A B C Trazado de ángulos menores que 180° Para trazar un ángulo utilizando el transportador se realiza el siguiente procedimiento: Se desea trazar un ángulo cuya medida sea 120º 1) Se traza un rayo horizontal O P 2) Se coloca el transportador de tal forma que su centro coincida con el punto O y el número cero del transportador sobre . O 355 P Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 3) Se marca el punto Q que coincida con el número 120 de la escala del transportador. 120º Q O 4) Se traza el rayo o lado para formar el ángulo QOP que mide 120º. P Q 120º O P Trazado de ángulos mayores que 180° Para trazar un ángulo mayor a 180º utilizando el transportador se realiza el siguiente procedimiento: Se desea medir o trazar un ángulo cuya medida sea 240º. Recuerde que el transportador común tiene la medida de un ángulo de 180º 180º 1) Se traza un rayo horizontal y se coloca el transportador como se muestra en la figura, de manera que coincida el centro en M con el punto R (el punto R el número que le falta a 180 para llegar a 240, en este caso 60, porque 180 + 60 = 240) 356 MATEMÁTICAS 180° M N 60° R 2) Se traza el rayo o lado 240° M para formar el ángulo NMR que mide 240º. N R Si utiliza un transportador con la forma de una circunferencia se traza directamente sobre la escala del tranportador. 240º Se puede concluir que el transportador es un instrumento geométrico que se emplea para medir la amplitud de giro de un ángulo dado o también para el trazo de un ángulo cuya medida sea conocida. 357 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Los ángulos se clasifican según su medida en: Ángulo recto es aquel que mide 90º. Ángulo llano es aquel que mide 180º Ángulo agudo es el que mide menos de 90º. 180º Ángulo convexo es aquel que mide más de 180º y menos de 360º. 0º Ángulo perigonal es el arco completo de la circunferencia que mide 360º Ángulo obtuso es aquel que mide más de 90º y menos de 180º. 358 360º MATEMÁTICAS Ejercicio 2 Secuencia 2 Bloque III Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Qué es un ángulo? b) ¿Para qué se emplea el transportador? c) ¿Qué nombre reciben los ángulos de acuerdo a su medida? d) ¿Cómo se llama el ángulo que equivale a la mitad de la circunferencia y cuánto mide? e) ¿Cómo se llama el ángulo que es el arco completo de la circunferencia y cuánto mide? Encuentre la medida de los siguientes ángulos usando el transportador, luego trace cada ángulo en su cuaderno. O M P B Q C X O Y N A Z Trace en su cuaderno con la regla y el transportador, un ángulo cuya medida sea la que se indica en cada inciso y anote a la par de cada uno el tipo de ángulo que es de acuerdo a su medida. a) m RES = 20º b) m YOU = 180º c) m NEL = 200º d) m OHU = 90º e) m KPC = 350º Escriba los diferentes ángulos que pueden observarse en la figura de abajo, mídalos con el transportador y clasifíquelos según su medida. 359 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Adición y sustracción de ángulos La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura que existe entre ellos. D N sº + dº = rº 20°+25°= 45° sº =20° dº= 25° R M En el NRM de la figura de arriba se observa: m NRM = m NRD + m DRM, es decir: rº = sº + dº. 45°= 20° + 25° También los ángulos se pueden restar, por ejemplo en la figura se puede calcular el valor de m NRD si se conocen m DRM y m NRM, así: m NRD = m NRM - m DRM, es decir: dº = rº - sº. 25°= 45° - 20° Ejemplos: si en la figura anterior m NRD = 20º y m DRM = 25º, hallar m D N sº + dº = rº 20°+25°= 45° sº =20° dº= 25° R Tenemos que: m m NRM = m NRD + m DRM, entonces: NRM = 20º + 25º = 45º 360 M NRM MATEMÁTICAS CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Dos ángulos ABC y DEF son congruentes si tienen la misma medida, y se escribe: ABC DEF. Se lee ángulo ABC es congruente con ángulo DEF B A 37° rº C E F 37° rº D Es importante hacer notar que la igualdad m ABC = m DEF y la congruencia ABC DEF, son equivalentes, pues significan la misma cosa; se puede sustituir la una por la otra cuando se estime conveniente. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS Propiedad Reflexiva: Todo ángulo es congruente consigo mismo. A B rº m C ABC = m ABC ó ABC ABC Propiedad Simétrica: Si un ángulo es congruente con otro, entonces este último es congruente con el primero. B A F rº E C rº ABC DEF entonces DEF ABC D Propiedad Transitiva: Si un ángulo es congruente con otro y este con un tercero, entonces el primero es congruente con el tercero. B Si A F rº C ABC DEF y DEF E rº D GHI entonces 361 ABC H I rº G GHI Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz de un ángulo, es un rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes o de la misma medida. Dado ABC, se pide construir la bisectriz del ángulo. A B rº C 1) Con el centro en el vértice B y con un radio cualquiera, descríbase los arcos que corten a en N y a en M B N A M C 2) Con el centro en N y con un radio o abertura del comás igual a MN, descríbase un arco en el interior del ángulo. Luego, con el mismo radio pero con centro en M, describase otro arco que corte al primero en el punto D. B N M 3) Trace el rayo A D C . Entonces A sº B dº M Observe que: m NBD = m es la bisectriz del N D C DBM. 362 ABC. MATEMÁTICAS Ejercicio 3 Secuencia 2 Bloque III Calcule m AOC, m AOD, m BOD, m C tº pº B rº A DOE , si rº = 30º, pº = 60º, tº = 65º. D sº O E Encuentre la bisectriz de cada uno de los ángulos presentados a continuación. X O P Y Z N E Q K L C P Evaluar cada uno de los siguientes ángulos en la figura: 363 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 1) m 2) m 3) m 4) m FOC = DOB = GOA = EOD = 5) m 6) m 7) m 8) m 9) m 10)m AOC = AOB + m BOE = KOG + m FOC = AOC + m COK = FOA – m FOK – m DOA = FOG = CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS Para construir un ángulo que sea congruente al sus lados sea , como muestra la figura: AOB y que tenga su vértice en C y uno de B O A C D Se hace lo siguiente: 1) Se traza un arco con centro en O que corte a los lados en J y H respectivamente. B H O y J A 2) Trazar un arco con centro en C y con el mismo radio del arco anterior que corte al rayo en G. G C D 3) Hacer coincidir los extremos del compás con los puntos H y J y con esa misma abertura trazar un arco con centro en G que corte al arco anterior en X. X G C D 364 MATEMÁTICAS 3) Trazar el rayo X G C D BOA Se tiene entonces: XCD Los ángulos se clasifican según su relación con otro ángulo: Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si y solamente si, la suma de sus medidas es 180º, cada uno de los ángulos se llama suplemento de otro. 80º 80º + 100º = 180º 100º 160º + 20º = 180º 160º 20º Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si y solamente si, la suma de sus medidas es 90º, cada uno de los ángulos se llama complemento del otro. 45º + 45º = 90º 45º 30º + 60º = 90º 45º 30º 60º Ángulos Opuestos por el Vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos. Las medidas de los dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. A B D C Ay By D opuestos por el vértice C opuestos por el vértice Ángulos Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y sus lados no comunes son rayos opuestos. M y rayos opuestos. NOM y MOR son adyacentes N O R 365 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Notas:1) Los ángulos suplementarios no son necesariamente adyacentes. 2) La suma de las medidas de los ángulos adyacentes es 180º si y solamente si los lados no comunes de los ángulos, son rayos opuestos. Ejemplo1: D 160º A ABD y 20º B C DBC son adyacentes y suplementarios. Ejemplo 2: Determinar la medida del suplemento de 130º. Para determinar el valor de este ángulo puede plantear una ecuación lineal. Datos conocidos: Un ángulo tiene un valor de 130º Este ángulo es suplemento de otro. Datos desconocidos: Un ángulo x es suplemento de 130º. Aplicando la definición de ángulos suplementarios se tiene que: X + 130º = 180º X + 130º = 180º X = 180º - 130º …efectuando la transposición de términos. X = 50º Por lo tanto la medida del suplemento de 130º es 50º. Ejemplo 3: Determinar la medida del complemento de 20º. Aplicando la definición de ángulos complementarios se tiene que: X + 20º = 90º X + 20º = 90º X = 90º - 20º X = 70º Por lo tanto la medida del complemento de 20º es 70º. 366 MATEMÁTICAS Ejercicios 4 Secuencia 2 Bloque III Construya con regla y compás un ángulo que sea congruente al ERT. E R T Construya con regla y compás el ángulo que tenga la medida m B A BAC + m EDF. E C D F Escribir los diferentes ángulos complementarios y suplementarios que pueden identificarse en la figura, tomando en cuenta que y son rayos opuestos y que m DOF = 90º D C B E O F A Determinar la medida del ángulo que se le pide. a) El complemento de 35º b) El suplemento de 90º c) El complemento de 98º d) El suplemento de 126º 367 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Rectas perpendiculares Si dos rectas cualesquiera se interceptan, su intersección contiene exactamente un punto y estas dos rectas se llaman secantes. P Entre las rectas secantes hay un caso particular, las rectas perpendiculares. Se llama perpendicular a la recta, rayo o segmento que intersecta a otra formando entre sí ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º. El símbolo que se emplea para indicar que dos rectas son perpendiculares ⊥. Ejemplo: 90º 90º 90º 90º En el ejemplo las rectas a , y se escribe . y forman ángulos de 90º, entonces se dice que es perpendicular PROPIEDADES 1. La recta perpendicular a otra recta con respecto a un punto P cualquiera es única. P 368 MATEMÁTICAS 2. Si dos rectas son perpendiculares forman cuatro ángulos rectos. 90º 90º 90º 90º 3. Si entonces . 4. Si dos rectas no son perpendiculares se dice que son oblicuas. 5. El segmento perpendicular comprendido entre un punto exterior a una recta, es menor que cualquier segmento oblicuo. P N A B C R < < N Por lo anterior se puede decir que la menor distancia de un punto exterior a una recta, es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto, a la recta. (Véase figura de arriba). A su alrededor encontrará frecuentemente objetos que se pueden identificar con la perpendicularidad. Por ejemplo las columnas de las casas son perpendiculares al suelo o las paredes con el piso, las esquinas de los contramarcos, etcétera. CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES Construya con regla y compás una perpendicular a la recta en el punto O. O La perpendicular se puede considerar como la bisectriz de un ángulo llano. 1. Trazar con un arco (semi círculo) con centro en O que corte a la recta 369 en A y B. Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado A B 2. Con una abertura mayor que el arco anterior, trazar dos arcos con centro en A y B respectivamente que se corten en C. O C 3. Trazar la recta . La recta A O B es perpendicular a la recta en O. C A O B Ejercicios 5 Secuencia 2 Bloque III Reúnase con su compañero(a) más próximo y conteste las siguientes interrogantes: 1. ¿Cuándo se dice que dos rectas son perpendiculares? 2. ¿Cómo son y cuánto miden los ángulos que forman las siguientes rectas? a c b d Usando regla y compás dibuje en el cuaderno un rectángulo cuyos lados midan lo mismo que los segmentos y . 370 MATEMÁTICAS A B Construya la perpendicular a la recta N C D que pase por el punto R R M Rectas paralelas Si dos rectas se encuentran en un plano sólo puede suceder una de dos situaciones: que se interceptan o no. En las figuras de la derecha las rectas y se intersectan en un punto, mientras que las rectas y no se intersectan, en este caso se dice que las dos rectas son paralelas. Dos rectas son paralelas si aun estando en un mismo plano nunca se intersectan, aunque se prolonguen indefinidamente en sus dos direcciones. Para expresar el paralelismo se utiliza el símbolo . De la figura anterior se puede escribir y se lee es paralela a . PROPIEDADES DE LAS RECTAS PARALELAS 1. Por un punto exterior a una recta, puede trazarse una y sólo una recta paralela a la dada. P 2. Cualquiera de dos rayos, segmentos o semirectas son paralelas si y sólo si las rectas de las cuales pertenecen son paralelas. A B C D 371 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 3. Si entonces . 4. Dos rectas son paralelas si y sólo si son perpendiculares a una misma recta. 1 2 CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PARALELAS Para trazar una recta paralela a la recta que pase por un punto A fuera de ella, utilizando regla y compas se hace lo siguiente: 1. Se establece cualquier punto, por ejemplo O, comprendido sobre la recta . A O 2. Se toma la abertura con el compás del punto O al punto A y haciendo centro en O se traza una circunferencia que intercepte a la recta en los puntos B y C. A B O C 3. Con el compás se toma ahora la distancia que hay de A a B y haciendo centro en C, se interseca a la circunferencia, encontrando el punto E. A B E O 372 C MATEMÁTICAS 4. Por último, se traza la recta que une los puntos A con E. Esta es la paralela a la recta . A E B O Otra forma de trazar una recta paralela a la recta únicamente escuadras. C que pasa por un punto P, es empleando 1. Se coloca la escuadra de 30º de manera que uno de sus lados quede formando un ángulo recto sobre la recta dada. P 2. Se coloca la escuadra de 45º del lado izquierdo de la primera, de tal forma que los filos de contacto entre ambas escuadras formen un ángulo recto. P 3. Ahora es posible que la escuadra de 30º se pueda deslizar verticalmente. En su deslizamiento se hace coincidir con el punto P y se traza la recta m, que resulta paralela a . P m 373 P Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 6 secuencia 2 bloque III Realice en su cuaderno lo que se le pide: Conteste. 1. A las rectas que por más que se prolonguen en sus dos direcciones nunca se tocan se llaman: 2. ¿Cuándo dos rectas son paralelas? Analice el siguiente problema y conteste: Se tiene una recta n que es paralela a la recta r, si la recta r es paralela a c, entonces: 1. ¿Cómo es la recta n con respecto a la recta c? 2. ¿Cómo es la recta r con respecto a la recta n? 3. ¿Cómo es la recta c con respecto a ella misma? Utilizando compás trace una recta paralela a y que pasa por el punto F. F Ahora utilizando las escuadras, trace una recta que pase por el punto D, luego trace paralelas a esta recta que pasa por los puntos A, B y C. A B C D Escriba tres ejemplos en los que se encuentren objetos o figuras de su comunidad que parezcan rectas paralelas. 374 MATEMÁTICAS Ejercicios 7 secuencia 2 bloque III En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Conteste. 1. ¿Qué significa la palabra geometría? 2. ¿Con qué instrumento se miden los ángulos? 3. ¿Cuál es la medida universal del ángulo? 4. Diga cuánto mide un ángulo: i.Recto ii.Agudo iii. Obtuso iv.Llano ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas(V) y cuáles son falsas (F). ( ) Toda recta es paralela a si misma. ( ) Si una recta es paralela a una segunda y esta es a una tercera recta, entonces la primera es recta es paralela a la tercera. ( ) Dos rectas cualesquiera que no se interceptan, son paralelas. ( ) Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas ( ) Dos rectas cualesquiera que se interceptan son perpendiculares. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Trace las bisectrices de los ángulos del triángulo ABC de la figura de abajo. A C B Encuentre las medidas de los < a, < b, < c y < d 375 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado a b 35º c d 80º Utilizando sólo escuadras trace una recta perpendicular a < que pase por el punto P. P Utilizando regla y compás trace una recta paralela a m que pase por el punto P. P 376 MATEMÁTICAS Secuencia de aprendizaje 3 Bloque III LA PAREJA PARALELA Observando detenidamente los objetos que nos rodean, como los lápices, libros, bicicletas, edificios, etcétera, estos se forman juntando segmentos de recta. ¿Sabe cómo estas uniones de recta se pueden realizar con precisión?, pues se necesita un diseño antes de poder construirlos, y los segmentos de recta y las figuras geométricas nos dan esa posibilidad. Por tal razón conocerá en esta secuencia un poca más de las rectas paralelas, como: los ángulos que se forman cuando una recta intercepta de forma oblicua a dos paralelas. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Operen ángulos y sus relaciones con las líneas. 2. Reconozcan y midan ángulos en la vida real. EUCLIDES Se cree que vivió entre los siglos IV y III de antes de Cristo y que trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos geométricos de su época, aunque algunos aseguran que un grupo de matemáticos de esa época escribían y que a sus obras les colocaban el nombre de Euclides. En todo caso Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos que constaba originalmente de trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica. Este libro tiene tanta importancia para las matemáticas como el Principio de Newton para la Física o el Origen de las Especies de Darwin en la Biología. Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó lo que se llama axiomas, que no son otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran 377 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado evidentes y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, por ejemplo: 1. Si se tienen dos puntos, entonces se puede dibujar una recta que los une. 2. Cualquier recta se puede hacer todo lo larga que se quiera. 3. Se puede trazar una circunferencia de cualquier tamaño alrededor de cualquier punto. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que 6. queramos que pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que ya se tiene. Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana. El quinto postulado siempre fue polémico, muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir a partir de los otros 4 y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible. IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA Ha observado que rectas, curvas, ángulos, cubos, esferas y demás figuras geométricas forman parte del paisaje natural o urbano, y que las matemáticas y sus leyes universales también están en la naturaleza, en las calles, en el parque, en las sombras, en el fondo del mar y allá donde se fija la mirada, sin embargo, no se perciben. En la fotografía por ejemplo se puede captar y comunicar eficazmente la belleza geométrica, se puede deducir que las calles en las que están girando los corredores en bicicleta forman un ángulo de 90º. Es decir, las calles en la realidad son perpendiculares. También que hay muchos objetos que funcionan porque tienen ángulos iguales con paralelas, estos dan la sensación de repetición y equilibrio. Por ejemplo la baranda, el toldo y las gradas que se presentan a continuación: 378 MATEMÁTICAS Otros objetos que tienen ángulos opuestos en un vértice, que miden lo mismo. En la naturaleza se pueden observar los ángulos, por ejemplo en las hojas de esta planta: La geometría es una parte importante de la cultura de la humanidad, no es fácil encontrar contextos en la que ésta no aparezca de forma directa o indirecta, pues entre otros usos facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas. En actividades tan variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura por citar algunas se sirven consciente o no de procedimientos geométricos. Ejercicios 1 Secuencia 3 Bloque III De forma individual realice en su cuaderno lo que se le pide: a) Escriba 5 ejemplos de su comunidad en los que se puedan observar ángulos: rectos, agudos u obtusos y opuestos por el vértice. b) Haga un dibujo que ilustre cada postulado de Euclides. c) ¿Cómo aplicaría la geometría en su centro escolar para resolver problemas de recreación?, dibuje su idea. Paralelismo Analice las siguientes rectas paralelas interceptadas por otra recta. 379 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Caso 1Caso 2 30º 30º Observe que en ambos casos la recta que corta las dos rectas paralelas forma ángulos de la misma medida. Ahora examine la siguiente figura: La recta corta de forma transversal las rectas y Una recta transversal, es la que intercepta a dos rectas coplanares en dos puntos distintos. Entonces las rectas y son interceptadas por la transversal . En la siguiente figura la recta es transversal a las rectas y . Estas tres rectas forman ocho ángulos. t a c e g b d f h 1) Ángulos internos son los que están entre Son ángulos internos: c; d; e y f. y . 2) Ángulos externos son los ángulos que no son internos. Son ángulos externos: a; b; g y h. 3) Ángulos alternos internos son dos ángulos situados entre a . Son ángulos alternos internos: c y f; d y e. y ; y , en lados opuestos 4) Ángulos alternos externos son dos ángulos situados entre y , y en lados opuestos a t pero no son adyacentes. Son ángulos alternos externos: b y g; a y h. 5) Ángulos correspondientes son los ángulos que están situados en el mismo lado de y en el mismo lado de y . 380 MATEMÁTICAS Son ángulos correspondientes: b y f; d y h; a y e; c y g. 6) Ángulos opuestos por el vértice son los que tienen el vértice en común y sus lados son rayos opuestos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Son ángulos opuestos por el vértice: b y c; a y d; e y h; f y g. En el caso 2, se estudió que si una recta corta a dos rectas paralelas los ángulos que se forman tienen la misma medida, es decir son congruentes, además son ángulos correspondientes. Si la recta corta a las rectas y , y los ángulos correspondientes son congruentes entonces y son paralelas. Recíprocamente si y son paralelas sus ángulos correspondientes son congruentes. Los ángulos alternos internos, son congruentes siempre y cuando estén ubicados entre rectas que sean paralelas, cortadas por una transversal. Ejercicios 2 secuencia 3 bloque III Únase con su compañero(a) más próximo(a) y responda lo que se le pregunta: En la siguiente figura ¿Cuáles rectas son transversales? n d l m En la siguiente figura nombre los ángulos correspondientes, alternos internos, alternos externos, opuestos por el vértice, internos y externos. t a b c d e g f h 381 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado En la siguiente gráfica, ¿Cuáles rectas son paralelas?, ¿Cuáles ángulos son congruentes a: m, x, y, z? 75º m 130º x 75º y 130º z PARALELISMO En la siguiente gráfica las rectas son paralelas, se pide encontrar las medidas de: a, b, c, d y e. a 60º Analice lo siguiente: b c d e f 1) m a = 180º - 60º = 120º Ángulos suplementarios. 2) m b = 60º Ángulos opuestos por el vértice. 3) m c = m a = 120º Ángulos opuestos por el vértice. 4) m d = m c = 120º Ángulos alternos internos. 5) m e = 60º Ángulos correspondientes. 6) m f = 180º - 60º = 120º Ángulos suplementarios. 382 MATEMÁTICAS En el inciso 4) ¿Por qué m d = m c? 1) m c = m f Ángulos correspondientes. 2) m f = m d Ángulos opuestos por el vértice 3) por tanto m d = m c Por 1) y 2) Por lo tanto los ángulos alternos internos en dos rectas paralelas cortadas por una transversal son congruentes, en este caso: m d = m c = 120º. En la figura de abajo se tiene que y son cortadas por la transversal . a b c d e g f h Se verifica que: • Los ángulos alternos internos son congruentes: d e; c f. • Los ángulos alternos externos son congruentes: b g; a h. • Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: b c; a d; e h; f g. • Los ángulos correspondientes son congruentes: b f; d h; a e; c g. • Los ángulos adyacentes son suplementarios: m a + m b = 180º m a + m c = 180º m c + m d = 180º m b + m d = 180º m e + m f = 180º m e + m g = 180º m g + m h = 180º m f + m h = 180º 383 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 3 secuencia 3 bloque III Conteste según lo mostrado en las siguientes figuras. 1. ¿Cómo son las rectas 2.Si ? n 25° a 155° , ¿Cuánto mide a? n 60º a 3. Si yn , explique por qué . 4. En la siguiente figura y es una transversal. Si el ángulo 3 mide 150º, ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos restantes? Justifique su respuesta. 1 3 2 4 5 7 384 6 8 MATEMÁTICAS Programa de televisión 1 secuencia 3 bloque III Observe el programa ¡Qué ángulo! que muestra los ángulos que se forman en la naturaleza y los que se forman cuando una recta es secante a dos rectas. Ejercicios 4 secuencia 3 bloque III En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, comparare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Conteste lo que se le pregunta: 1. ¿Cuándo dos rectas son paralelas? 2. ¿Cuál es la diferencia entre las rectas paralelas y las perpendiculares? 3. ¿Cuándo una recta es transversal? 4. Mencione los tipos de ángulos que se forman cuando una recta transversal corta a dos rectas paralelas? EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO En la figura de abajo si m g = m b, explique por qué correspondientes. g y son paralelas usando ángulos b 385 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Identifique los ángulos alternos internos, alternos externos, correspondientes y opuestos por el vértice en la figura z w y b a x c d Determine en que casos las rectas son paralelas. a) y 65º 35º z b) 110º 110º Encuentre el valor de todos los ángulos de la figura, si m e = 110º. Justifique sus respuestas. a c e g i k j l 386 d f h b MATEMÁTICAS Secuencia de aprendizaje 4 Bloque III VALORANDO LO QUE APRENDO Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad le plantea, su capacidad se encontrará constantemente evaluada por los problemas que a diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este segundo bloque: Geometria. En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de esos conocimientos. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que las y los estudiantes: 1. Apropian los conceptos de punto, línea y plano como conjuntos de puntos. 2. Usan divisiones de líneas para construir rayos y segmentos. 3. Operan ángulos y sus relaciones con las líneas. 4. Reconocen y miden ángulos en la vida real. 5. Reconocen líneas paralelas y perpendiculares. El punto, la recta y el plano Términos primitivos: son los términos que se aceptan sin definirlos. El punto , la recta y el plano son los téminos primitivos fundamentales de la Geometría. El punto representa una posición y no tiene extensión ni dirección ( . ), por ejemplo, en la siguiente figura, la parte donde empiezan las flechas se llama punto. Si un punto se mueve en la misma dirección dibuja una línea recta. Si el punto retrocediera en dirección opuesta a la trayectoria dada y se prolongara infinitamente completaría la línea recta. Una línea recta no tiene anchura o grosor, se extiende infinitamente en dos direcciones y no tiene extremos, ejemplo: 387 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Si una línea recta se mueve a otra dirección dibuja un plano. El desplazamiento de la recta para formar un plano es igual al del punto para formar la recta. Un plano tiene dos direcciones pero no tiene grosor, ejemplo: NOMENCLATURA Para designar un punto se usa luna letra mayúscula. Ejemplo: El punto A. A Para designar una recta se usa una letra minúscula o dos letras mayúsculas con el dibujo de una recta sobre ellas. Ejemplo: La recta o la recta . A B Para designar un plano se usa una letra minúscula. Por Ejemplo: El plano p p La recta y los planos son conjuntos de puntos. A partir de estos términos primitivos, se define espacio y figura. Espacio: Es el conjunto de todos los puntos. Figura: Es un subconjunto no vacío del espacio. Un rayo: Es una parte de una recta que comienza en un punto dado y que se extiende en forma ilimitada en una dirección. Por ejemplo: El rayo A B Para designar un rayo se usa dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja un rayo pequeño. La primera letra corresponde al punto donde comienza el rayo y la segunda es otro punto 388 MATEMÁTICAS cualquiera del rayo. Por ejemplo la figura anterior se designa como rayo . Un segmento de recta es una parte de la recta entre dos puntos. Por ejemplo: El segmento . A B Para designar unsegmento de recta se usa dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja un segmento pequeño. La primera letra corresponde al punto donde comienza el segmento y la segunda donde términa. Por ejemplo la figura anterior se designa como segmento . Un segmento tiene longitud. La longitud del segmento A B se designa por AC. C Si se divide un segmento en varias partes, su longitud es igual a la suma de la longitud de sus partes. Por ejemplo en la figura anterior, la longitud del segmento es igual a la suma de las las longitudes y . Lo anterior se escribe como AC = AB + BC. Es importante hacer la distinción entre y AB. designa un conjunto de puntos y AB representa un número. CARACTERÍSTICAS DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO a) El punto no tiene dimensiones y por lo tanto no tiene área. b) El punto unicamente tiene posición. c) La recta está formada por un conjunto de puntos. Se prolonga indefinidamente en ambas direcciones. Sólo tiene una dirección: longitud. d) El plano es llano, se prolonga indefinidamente en todas direcciones, tiene dos dimensiones: longitud y anchura. e) El plano tiene área. PROPIEDADES DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO 1) Dos puntos determinan exactamente una recta, es decir: para dos puntos cualesquiera hay exactamente una recta que los contiene. 2) Si dos rectas cualesquiera se intersectan, su intersección contiene exactamente un punto. 3) Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene. 4) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados. 5) Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta que los contiene están en el mismo plano. 6) Si dos rectas se intersectan, hay exactamente un plano que las contiene. 7) La intersección de dos planos diferentes, , es una recta. 389 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado ÁNGULOS Un ángulo es una figura compuesta por dos rayos ( y (punto A). Al punto A se le llama vértice y los rayos lados. Lado A B ) que tiene un extremo común x Lado C Vértice El símbolo de ángulo es El ángulo de la figura anterior se puede designar de varias maneras: 1) Usando tres letras, en este caso la letra del vértice debe de estar en medio de las otras dos, por ejemplo: , 2) Usando el vértice, por ejemplo: 3) Usando la letra que está en medio de los lados (abertura), por ejemplo: Los ángulos se clasifican según su medida en: Ángulo recto Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo llano Ángulo convexo Ángulo perigonal 390 MATEMÁTICAS Ángulo recto es aquel que mide 90º. Ángulo llano es aquel que mide 180º 180º 180º Ángulo agudo es el que mide menos de 90º. 0º Ángulo convexo es aquel que mide más de 180º y menos de 360º. 90º 180º 0º 0º 270º Ángulo obtuso es aquel que mide más de 90º y menos de 180º. Ángulo perigonal es el arco completo de la circunferencia que mide 360º 90º 180º 0º 360º 0º 270º 391 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Relación entre ángulos Los ángulos se clasifican según la relación con otro ángulo: Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si y solamente si la suma de sus medidas es 180º. Cada uno de los ángulos se llama suplemento de otro. 80º + 100º = 180º 80º 160º + 20º = 180º 100º 160º 20º Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si y solamente si la sume de sus medidas es 90º. Cada uno de los ángulos se llama complemento del otro. 45º + 45º = 90º 45º 30º 45º 30º + 60º = 90º 60º Ángulos Opuestos por el Vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos. A B C A y D opuestos por el vértice B y C opuestos por el vértice D Ángulos Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y sus lados no comunes son rayos opuestos. M N O y rayos opuestos. NOM y MOR son adyacentes R Notas: 1) Los ángulos suplemetarios no son necesariamente adyacentes. 2) La suma de las medidas de los ángulos adyacentes es 180º si y solamente si los lados no comunes de los ángulos, son rayos opuestos. 392 MATEMÁTICAS Ejemplo1: 160º A B D 20º C ABD y DBC son adyacentes y suplementarios. Ejemplo 2: Determinar la medida del suplemento de 130º. Para determinar el valor de este ángulo puede plantear una ecuación líneal. Datos conocidos: Un ángulo tiene un valor de 130º Este ángulo es suplemento de otro. Datos desconocidos: Un ángulo x es suplemento de 130º. Aplicando la definición de ángulos suplementarios tenemos que: X + 130º = 180º X + 130º = 180º X = 180º - 130º …efectuando la transposición de términos. X = 50º Por lo tanto la medida del suplemento de 130º es 50º. Ejemplo 3: Determinar la medida del complemento de 20º. Aplicando la definición de ángulos complementarios tenemos que: X + 20º = 90º X + 20º = 90º X = 90º - 20º X = 70º Por lo tanto la medida del complemento de 20º es 70º. PERPENDICULARIDAD Si dos rectas cualesquiera se intersectan, su intersección contiene exactamente un punto y estas dos rectas se llaman secantes. P 393 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado En el medio en que se desenvuelve cotidianamente existen muchas formas geométricas. En ellas se encuentran rectas o segmentos de recta secantes. Ahora conocerá, dos en particular: las rectas perpendiculares. Se llama perpendicular a la recta, rayo o segmento que intersecta a otra formando entre sí ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º, y el símbolo que se emplea para indicar que dos rectas son perpendiculares es . Ejemplo: 90º 90º 90º 90º En el ejemplo las rectas a , y se escribe . y forman ángulos de 90º, entonces se dice que es perpendicular PARALELISMO Analice las siguientes rectas paralelas interceptadas por una recta. Caso 1 Caso 2 30º 30º Observe que en ambos casos la recta que corta las dos rectas paralelas forma ángulos de la misma medida. En la figura de abajo la recta es transversal a las rectas 8 ángulos. a b c d e g f h 394 y . Estas tres rectas forman MATEMÁTICAS Ángulos internos son los que están entre Son ángulos internos: c; d; e y f. y . Ángulos externos son los ángulos que no son internos. Son ángulos externos: a; b; g y h. Ángulos alternos internos son dos ángulos situados entre a . Son ángulos alternos internos: c y f; d y e. y ; Ángulos alternos externos son dos ángulos situados entre pero no son adyacentes. Son ángulos alternos internos: b y g; a y h. y y , en lados opuestos y en lados opuestos a Ángulos correspondientes son los ángulos que están situados en el mismo lado de el mismo lado de y . Son ángulos correspondientes: b y f; d y h; a y e; c y g. y en Ángulos opuestos por el vértice son los que tienen el vértice en común y sus lados son rayos opuestos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Son ángulos opuestos por el vértice: b y c; a y d; e y h; f y g. Arriba en el caso 1 y 2 se estudió que si una recta corta a dos rectas paralelas estos forman ángulos correspondientes y tienen la misma medida, es decir son congruentes. Si la recta n corta a las rectas y y los ángulos correspondientes son congruentes entonces y son paralelas. Recíprocamente si y son paralelas sus ángulos correspondientes son congruentes. 1) Haga un dibujo que ilustre cada una de las proposiciones siguientes: a) b) c) d) e) f) Dos puntos determinan una recta. Una recta y un punto determinan un plano. Dos rectas se intersectan en un punto. Tres puntos determinan un plano. Dos planos se intersectan en una recta. una recta que untersecta a un plano en un punto. 395 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 2) Dibuje 5 puntos diferentes A, B, C, D y E de manera que sólo tres de ellos estén alineados. 3) Dibuje las rectas que contienen. ¿Cuántas rectas contienen?, márquelas primeros con números y luego escríbalas con las letras correspondientes. 4) Conteste y comente con sus compañeros(as) las repuestas de las siguientes interrogantes. a) ¿Qué nombres puede tener la siguiente recta? N b) R M K Trace Lo siguiente: i.Recta ii.Rayo iii. Plano n 5) Conteste en su cuaderno lo que se le pide. a) ¿Cuáles son los términos primitivos o fundamentales de la Geometría? Y ¿Por qué se les llama así? b) Escriba al menos dos características del punto, la recta y el plano. c) Defina los siguientes conceptos. i.Espacio ii.Figura iii.Rayo iv.Segmento 6) Conteste las siguientes preguntas. a) ¿Qué es un ángulo? b) ¿Para qué se emplea el transportador? c) ¿Qué nombre reciben los ángulos de acuerdo a su medida?, dibuje un ejemplo de cada ángulo. d) ¿Qué nombre reciben los ángulos de acuerdo a su relación con otro ángulo?, dibuje un ejemplo de cada ángulo. 7) Trace en su cuaderno, con la regla y el transportador, un ángulo cuya medida sea la que se indica en cada inciso y anote a la par de cada uno el tipo de ángulo que es de acuerdo a su medida. a) b) c) d) e) m m m m m RES = 90º YOU = 185º NEL = 210º OHU = 270º KPC = 359º 396 MATEMÁTICAS 8) Determinar la medida del ángulo que se le pide. a) b) c) d) El complemento de 35º El suplemento de 90º El complemento de 88º El suplemento de 126º 9) En la siguiente figura nombre los ángulos correspondientes, alternos internos, alternos externos, opuestos por el vértice, internos y externos. e g a b c d f h 397 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 398 Otra área de las matemáticas estudia: la presentación y el tratamiento de la información, y la probabilidad, de la cual se hablará a continuación. Los pueblos antiguos al utilizar registros estadísticos rudimentarios en los censos de población y de propiedades hicieron un tratamiento de la información obtenida, al organizarla y presentarla en tablas con el propósito de llevar un mejor control. En tiempos más recientes se introdujo el uso de las gráficas con la ventaja de que éstas permiten observar mejor las relaciones que se dan entre los datos y se percibe en forma más clara la información. En el séptimo grado, el estudio de la presentación y tratamiento de la información incluye el uso de porcentajes, tablas, gráficas y otras formas de presentar la información registrada. En el desarrollo de estos temas se utilizarán los instrumentos de geometría para la construcción de tablas y gráficas, y la calculadora para abreviar tiempo en la obtención o comprobación de resultados. LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado EXPECTATIVAS DE LOGRO: 1. Recolectan y clasifican datos estadísticos sobre situaciones reales mediante encuestas y cuestionarios, tablas o cuadros sencillos. 2. Construyen gráficas circulares y de barra con información de eventos sencillos de su entorno. 3. Organizan y analizan información estadística en gráficos de barra y circulares. 4. Describen y analizan información estadística organizada en gráficos de barra y circulares. CONTENIDO ▪ ▪ Registro de datos. o Distribución de frecuencia simple o no agrupada. o Distribución de datos agrupados. Organización y presentación de datos. o Representación gráfica de los datos. o Frecuencia relativa. o Gráfico de barras. o Gráfico de barras comparativas. o Gráfico circular o diagrama de sectores. 400 MATEMÁTICAS Secuencia de aprendizaje 1 Bloque IV ORGANIZATE Y COMPRENDE MEJOR LA VIDA Las actividades que día a día realizan los habitantes de una comunidad o de una sociedad se llevan en registros , son ejemplos de éstos los nacimientos, las defunciones, los casamientos etcétera. El conteo y la medición de tales hechos genera una gran cantidad de información que se hace necesario ordenarla, clasificarla y analizarla para saber qué dicen de su comportamiento en un período de tiempo. Las instituciones correspondientes como el INE (Instituto Nacional de Estadísticas) dan a conocer esta información por medio de tablas y gráficas para que la población tenga conocimiento de cuál ha sido su desarrollo. Esto hace resaltar la importancia del manejo de la información. En esta secuencia se dará inicio al estudio de la Estadística, rama de las matemáticas que se dedica a la recolección, análisis e interpretación de datos. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Recolecten y clasifiquen datos estadísticos sobre situaciones reales mediante encuestas y cuestionarios. 2. Organicen datos en en tablas y cuadros sencillos. ESTADÍSTICA La palabra “estadística” procede del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista (“hombre de Estado” o “político”). El término alemán Statistik, que fue inicialmente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es decir, “la ciencia del Estado” (también llamada “aritmética política” de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair. 401 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado En su origen la estadística estuvo asociada a datos, al ser utilizados por los gobiernos y cuerpos administrativos. La colección de datos acerca de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadística nacional e internacional. En particular los censos suministran información regular acerca de la población. Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. de C. los babilónicos usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XI a. de C., Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. de C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. de C. para cobrar impuestos. En muchas actividades del género humano se requiere realizar encuestas o recopilar datos para posteriormente organizarlos y efectuar un análisis de la información obtenida, lo cual permitirá tomar decisiones que sirvan para evaluar los procesos, mejorar las áreas donde se detectan errores, etcétera. Cuando se obtiene determinada información, lo primero que procede es la organización de datos y su tabulación. Ejemplo: a) En una maquila se obtuvo la siguiente producción de camisetas durante 25 días de trabajo de un mes. 140 155 150 148 160 152 149 141 155 140 146 152 146 152 152 140 148 152 160 148 160 147 157 148 155 Como se puede observar, los datos están en desorden. Para facilitar su estudio es conveniente ordenarlos en forma decreciente (de mayor a menor), como se observa a continuación. 160 160 160 157 155 155 155 152 152 152 150 149 148 148 147 146 146 141 140 140 402 152 152 140 148 148 MATEMÁTICAS Ahora hay que ordenar los datos en una tabla, en donde se registra el número de veces que se repite un dato mediante una línea vertical (I), el registro de este conteo se llama tabulación. III I III IIII I I IIII I II I III Una vez que ya están ordenados los datos, es más fácil observar que la mayor producción es de 160 camisetas y la menor de 140 y que la variación es de 20. A esta diferencia entre estos datos se le llama técnicamente Oscilación o Rango; es decir, la producción durante este mes oscila o varía entre 160 y 140 camisetas, es decir, el rango es de 20. Estas y otras observaciones que se realicen en la tabla, pueden aprovecharse para mejorar el proceso de producción de la citada fábrica. La organización de los datos y su tabulación resultan útiles en el proceso de presentación y tratamiento de la información. Ejercicios 1 Secuencia 1 Bloque IV Intégrese a un grupo y escriba en su cuaderno y complete las siguientes oraciones: a) La palabra ________________ procede del latín statisticum collegium. b) Fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de _______________y _______________ datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair. c) Cuando se recaba la información, lo primero que se procede es la _____________ de datos y su __________________. d) Como es muy común que los datos aparezcan desordenados, para facilitar su estudio es conveniente ordenarlos en forma ___________________. e) Después de ordenarlos, se presentan en una_________________, en donde se registra con una______________________ el número de veces que se repite un dato, el registro de este conteo se llama __________________. 403 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Trabaje en su cuaderno con los siguientes datos. 1) Se preguntó la edad a 40 los estudiantes de un instituto; los datos fueron los siguientes: 13 14 20 13 14 15 20 13 14 17 18 14 15 14 17 15 13 13 18 15 16 16 13 17 17 17 19 16 18 18 16 16 13 20 19 15 14 20 19 18 a) Ordene los datos en forma creciente. b) Registre en una tabla que contenga los datos ordenados y su conteo. c) ¿Cuál es la osilación o rango? 2) Las edades de 10 personas entrevistados al azar fueron: 27, 14, 13, 16, 17, 18, 15, 14, 12 y 18 años. Ordenar los datos en forma creciente (menor a mayor) y en forma tabular (en una tabla). Programa de Televisión 1 Secuencia 1 Bloque IV Observe con atención el programa de televisión La línea que crece y decrece en el que se mostrará el origen de la estadística y los principales gráficos para representar los datos. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMPLE O NO AGRUPADA. Básicamente las técnicas que permiten organizar los datos, son la tabular y la gráfica. La primera es una de las formas más sencillas de presentarlos; generalmente se colocan los valores en forma ascendente o creciente (menor a mayor) también se acostumbran colocar en forma descendente o decreciente (mayor a menor), lo cual ofrece las siguientes ventajas: 1) 2) 3) 4) Se descubren rápidamente los valores mínimos y máximos en los datos. Se pueden dividir fácilmente los datos en secciones. Se puede dar cuenta si algunos valores aparecen más de una vez en el arreglo. Se puede observar la distancia entre los valores consecutivos de la tabla o arreglo. ¿Qué puede hacer una persona para organizar los números desordenados que recoge en sus investigaciones?, ¿Cómo se las arregla para transformar esa masa de datos en un resumen fácil de entender?. El primer paso en la solución de este problema es el de construir lo que se llama una distribución de frecuencias. 404 MATEMÁTICAS Ejemplo 1: Suponga que las edades de un grupo de 8 estudiantes de séptimo grado son: 12, 13, 14, 12, 14, 13, 12 y 13 años. Se pide ordenarlos en forma creciente y en la forma tabular. Al ordenarlos en forma creciente quedan: 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14. Para ordenarlos de forma tabular se construye una tabla de la siguiente manera: III III II Se puede observar que: La edad de 12 años se repite 3 veces en el grupo. La edad de 13 años se repite 3 veces en el grupo. La edad de 14 años se repite 2 veces en el grupo. El número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se llama frecuencia y se representa con la letra “f “ Considerando la definición anterior los datos quedarían ordenados en forma tabular de la siguiente forma: De este ejemplo se tiene que: La frecuencia de 12 años es 3, entonces: f = 3. La frecuencia de 13 años es 3, entonces: f = 3. La frecuencia de 14 años es 2, entonces: f = 2. En la distribución de frecuencia simple o no agrupada significa que los valores de las variables (“X”), en el ejemplo anterior “La edad” no se combina para formar grupos, si no que cada valor de ella, es un grupo en sí. 405 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado El siguiente ejemplo resume toda la información hasta el momento proporcionada. Ejemplo 2: Los siguientes datos muestran las edades de cierto número de personas. 32 17 18 21 28 17 17 18 41 20 35 21 42 17 42 20 35 17 28 35 35 18 42 20 28 35 21 35 La variable es la edad. Al ordenar los datos en forma creciente queda: 17 18 28 35 17 20 28 35 17 20 28 35 17 20 32 41 17 21 35 42 18 21 35 42 18 21 35 42 La ordenación es tediosa, pero muy conveniente hacerla, para luego más fácilmente obtener la tabulación o forma tabular de frecuencia simple, como se muestra en la siguiente tabla: La oscilación de las edades es de 42 a 17 años, es decir, el rango es de 25. En una serie de datos, la diferencia entre el valor máximo (𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) y valor mínimo (𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) de la variable se llama Rango (Rg). Para calcular el rango de la distribución anterior se aplica la fórmula del rango: 406 MATEMÁTICAS Ejercicios 2 Secuencia 1 Bloque IV 1) Comente con sus compañeros(as) las ventajas de organizar los datos. 2) Escriba en su cuaderno y complete las siguientes oraciones: a) El número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se llama ___________________ y se representa con la letra_______________. b) En una serie de datos, la diferencia entre el valor_______________ y valor _______________de la variable se llama _______________. 3) Las calificaciones de 50 estudiantes de la clase de matemáticas al final del año fueron las siguientes: a) b) c) d) e) f) 68 73 61 66 99 84 79 75 78 78 75 88 75 82 89 82 73 87 75 61 68 60 74 94 75 90 93 62 77 95 62 71 95 69 60 88 50 76 74 79 76 85 63 68 53 93 55 50 60 54 Ordene los números en forma descendente. Encuentre el rango. Hallar las notas de los 6 estudiantes de mayor puntuación. Hallar las notas de los 2 estudiantes de menor puntuación. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron calificaciones mayores que 80? ¿Cuántos estudiantes reprobaron? Distribución de datos agrupados. En ciudades como San Pedro Sula o Tegucigalpa es común que haya una gran afluencia de vehículos circulando en determinadas horas y en ciertas calles. La recopilación de estos datos, su agrupación y conteo, registro en tablas, sirve a las autoridades de la Secretaría de Obras Públicas, Transporte y Vivienda (SOPTRAVI) para decidir qué medidas se deben tomar en cuanto al sentido de las calles: colocación de semáforos, vigilancia, etcétera, además para evitar grandes congestionamientos de 407 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado vehículos, así como pérdida de tiempo y molestias a quienes transiten por la ciudad. En relación a lo anterior considere el siguiente ejemplo: A continuación aparecen los datos que se obtuvieron contando el número de vehículos que cruzan cierta calle cada cinco minutos. 28 34 39 24 26 32 30 34 20 31 24 32 36 22 33 26 25 28 28 31 23 25 24 29 28 23 20 26 26 38 30 25 26 27 28 25 37 24 27 27 Al ordenar los datos en forma descendente y registrar el conteo en una tabla se obtiene: Puede observarse que el mayor número de vehículos es 39 y el menor número es 20, de manera que la diferencia entre estos datos es 19, o sea el rango, es de 19. El rango es útil para determinar como se pueden agrupar los datos, es decir, cuántos grupos o intervalos de datos se tendrán de acuerdo con la cantidad de ellos (N). Comúnmente los intervalos son grupos de 3, 5 ó 7 datos, los cuales constituyen la amplitud del intervalo. Cabe señalar cada intervalo tiene dos extremos, el número menor se denomina límte inferior y el extremo mayor límite superior. 408 MATEMÁTICAS Si se escoge un intervalo que conste de 5 datos, es decir 39, 38, 37, 36, 35, se expresa como 35-39. De donde se observa que: 39 es el límite superior y 35 es el límite inferior. Luego se debe determinar el número de intervalos y para esto se divide el rango entre el número de datos del intervalo, o sea: 19 ÷ 5 = 3.8 Redondeando 3.8 a la unidad más próxima, se tiene 4, lo cual indica que debe haber 4 intervalos cuya amplitud sea 5. Los datos se presentan en una tabla que incluye el intervalo, el conteo (el número de rayitas) se expresa con números y recibe el nombre de frecuencia. Ahora bien, si se hubiera escogido un intervalo que constara de 3 datos, es decir 39, 38, 37, se expresa como 37 - 39. De tal manera que: 39 es el límite superior y 37 es límite inferior. Para obtener el número de intervalos se divide el rango entre el número de datos del intervalo, o sea: 19 ÷ 3 = 6.3 Como el número del intervalo debe ser entero, y mayor que 6, esto indica que debe haber 7 intervalos con amplitud de 3. Se realiza la tabulación, que incluya el intervalo, el conteo y la frecuencia. Considerando lo anterior se aprecia que: Cuando hay un número considerable de datos, es conveniente agruparlos en grupos o intervalos, este arreglo facilita la comprensión de los mismos. 409 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Conocida la amplitud del intervalo puede determinar los límites tomando en cuenta los siguientes criterios: 1. Precise el dato mayor como límite superior del primer intervalo. 2. A partir del límite superior en conteo decreciente discrimine cada valor incluyendo el dato mayor hasta agotar la amplitud del intervalo, este último valor será su límite inferior. Ejercicios 3 Secuencia 1 Bloque IV Realice en su cuaderno lo que se le indica, con base en la siguiente información: Un grupo de 40 estudiantes presentó un examen de Ciencias Naturales y se obtuvieron los siguientes resultados. a) b) c) d) 70 56 43 67 40 48 62 39 36 50 43 33 70 25 57 39 45 68 12 39 65 40 49 23 29 67 66 29 26 44 28 63 30 68 65 36 58 40 25 41 Ordene los datos en forma descendente. Determine su rango. Con intervalos de 5 datos, determine el número de intervalos. Realice una tabulación, incluyendo el intervalo, el conteo y la frecuencia. Ejercicios 3 Secuencia 1 Bloque IV En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su profesor, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Conteste las siguientes preguntas. a) ¿Cuándo se dice que los datos están ordenados en forma descendente? b) ¿Cuándo se dice que los datos están ordenados en forma creciente? 410 MATEMÁTICAS c) d) e) f) ¿Cómo se obtiene el rango de una distribución de datos? ¿A qué se le llama frecuencia? ¿Qué son los intervalos? ¿Cómo se les llama a los extremos de un intervalo? EJERCICIO DE REFORZAMIENTO Recolecte las edades de todos los estudiantes matriculados en su centro, una vez con la información realice en su cuaderno lo que se le indica. a) b) c) d) Ordene los datos en forma descendente. Determine su rango. Con intervalos de 7 datos, determine el número de intervalos. Realice una tabulación, incluyendo el intervalo, el conteo y la frecuencia. 411 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 412 MATEMÁTICAS Secuencia de aprendizaje 2 Bloque IV PARTES DE UN PASTEL Tradicionalmente los gobiernos han llevado registros de población, nacimientos, defunciones, ocupaciones, producción y de todo tipo de actividades que se realizan en el territorio nacional. El conteo y la medición de tales hechos generan una gran cantidad de información. En la actualidad los medios masivos de comunicación, a través de reportajes y noticieros principalmente, proporcionan información de manera constante y una buena parte de esa información se da a conocer por medio de gráficas, en las cuales se visualiza e interpreta mejor los datos proporcionados, esto hace resaltar la importancia del manejo y tratamiento de la información. Por esta razón en esta secuencia de aprendizaje se estudiará la organización y presentación de los datos en gráficas de barra y circulares entre otras. Resultados del aprendizaje Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Organicen y presenten información estadística en gráficas circulares y de barra. 2. Contruyan gráficas circulares y de barra con información de acontecimientos sencillos de su entorno utilizando la computadora u otro tipo de recurso. 3. Describan y analicen la información estadística organizada en gráficas circulares y de barra. Intervalos de clase, población y muestra Cuando se realiza una encuesta o una investigación cualquiera se obtienen datos, los cuales es necesario, en primer término, organizar para posteriormente analizarlos y así encontrar la información que se busca. Veáse el siguiente ejemplo: En un centro de salud se quiere saber el peso de los pacientes de un año, que acuden a consulta, para valorar el grado de nutrición de los niños en esta edad que habitan en esta comunidad. 413 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Al cabo de una semana se atendieron 20 niños, los cuales obtuvieron los siguientes pesos en libras. José 16.0 Francisco 14.8 Pablo 20.4 Laura 19.0 Manuel 16.6 Marvin 14.8 Luis 18.0 Alejandro 19.6 Martha 11.0 Iris 18.0 Carmen 17.0 Lorena 17.0 Roberto 18.0 Isabel 13.0 Martín 18.8 Trinidad 18.0 Susana 17.8 María 14.0 Adrian 18.0 Héctor 16.0 Se observa que los datos están en desorden; para facilitar su estudio se deben ordenar en forma creciente o decreciente, en este caso en forma creciente: 11.0 13.0 14.0 14.8 14.8 16.0 16.0 16.6 17.0 17.0 17.8 18.0 1 8 . 0 18.0 18.0 18.0 18.8 19.0 19.6 20.4 Posteriormente, se registran los datos en una tabla o una tabulación, la cual consta de tres columnas: 1. Nombre de la variable estudiada (en este caso el peso). En esta columna se anotan los datos sin repetirlos y en forma ordenada. 2. Conteo de los datos: Aquí se registra el número de veces que se repite cada dato con una marca o rayita. 3. Frecuencia. En esta columna se anota el número que representa a las rayitas obtenidas en el conteo de los datos. Peso Conteo Fracuencia I 11.0 1 I 13.0 1 I 14.0 1 II 14.8 2 II 16.0 2 I 16.6 1 II 17.0 2 I 17.8 1 IIII 18.0 5 I 18.8 1 I 19.0 1 I 19.6 1 I 20.4 1 Total 20 Una vez hecha la tabulación, se observa que el peso mayor es de 20.4 libras y el menor es de 11.0 libras. De estos dos datos se obtiene el rango, el cual resulta de la diferencia entre ellos. Rg = 20.4 – 11.0 = 9.4 414 MATEMÁTICAS El rango sirve para calcular los intervalos de clase, como se verá a continuación. Los intervalos son datos agrupados de acuerdo con la amplitud de intervalo que se elija. Para determinar el número de intervalos se divide el rango entre la amplitud del intervalo elegido. En el ejemplo se requiere una amplitud de intervalo de 2 libras, pues cada dos libras de peso es significativo en los niños de un año. Así para obtener el número de clases o intervalos, se realiza la operación siguiente: En este caso el cociente de la división es de 4.7 por los cual se redondeo al entero más próximo 5. A continuación se definen los intervalos o clases tomando los límites inferior y superior considerando la amplitud del intervalo elegida. Por ejemplo en el primer intervalo el límite inferior es 11.0 y se le suma 2 obteniéndose 13, que es el límite superior. Posteriormente se determina el número de casos que están dentro de cada intervalo, es decir, las frecuencias de clase. Los datos agrupados se presentan en una tabla de frecuencia. Las tablas de frecuencia facilitan el análisis de los resultados de una investigación, ya que mediante ellas se puede establecer relaciones entre los datos. En el ejemplo anterior, los médicos observaron que la mayoría de los pacientes de un año está bien alimentados, pues se encontraron dentro del intervalos de 13 a 19 libras de peso, mientras que 2 están bajo la línea de peso normal y 2 pacientes tienen sobre peso. En muchas ocasiones es necesario realizar investigaciones donde se estudian las características o valores de una población determinada, pero debido a las limitaciones de tiempo o de recursos no se trabaja con la totalidad de la población sino con una parte de esta. Por ejemplo; supóngase que se desea saber las preferencias deportivas de todos los estudiantes de los centros de educación básica que actualmente está aplicando la 415 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado metodología de Telebásica en Honduras, entrevistar a todos los estudiantes implicaría un gasto excesivo en tiempo y dinero, y el análisis de los resultados sería dificultoso, porque la población a investigar es demasiado grande y esta dispersa en todo el territorio nacional. En situaciones como ésta es necesario utilizar un método estadístico llamado muestreo, que consiste en seleccionar una muestra que represente a toda la población. Lo que hace la investigación sea menos costosa y se realiza en menor tiempo. Se llama población al grupo o conjunto de individuos, características u objetos que se examinan. En el ejemplo anterior la población serían todos los estudiantes de Telebásica. Y debido a que es muy dificil examinar toda la población se elige una muestra, que es una pequeña parte de la población, que se toma como representativa del conjunto. La muestra elegida debe cumplir con los siguientes requisitos para tener validez: a) Debe representar a la población, esto es, ha de pertenecer a ésta y ser elegida en forma al azar o en forma aleatoria, para que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser considerados. b) Debe ser confiable, es decir, los resultados que se obtengan deben poder ser generalizados a toda la población con cierto grado de precisión. c) Que sea práctica, es decir, que sea sencilla de llevar a cabo. d) Que sea eficiente, esto es, debe proporcionar la mayor información a menor costo. Existe un procedimiento para elegir una muestra al azar, este es llamado método de muestreo aleatorio, el cual se explica detalladamente en el siguiente ejemplo: En una maquila trabajan 4500 obreros(as) y se desea tomar una muestra de 45 personas. El primer paso es enumerarlos atendiendo el número de cifras que tiene la población total, en el ejemplo se tienen 4 cifras por lo tanto el primer elemento se enumera con 0001. Posteriormente se colocan en una urna 10 bolitas enumeradas del 0 al 9 y cada vez que se elija un obrero(a) se extrae una esfera, se anota el dígito y se regresa a la urna, se revuelven las esferas y se repite el procedimiento tres veces más hasta obtener un número de cuatro dígitos. De esta forma todos los obreros tienen la misma posibilidad de aparecer en la muestra. Se preguntará ¿Qué pasará cuando el número escogido de cuatro dígitos sea mayor que el de la población?, por ejemplo si se obtiene 6456, en este caso se divide por el total de la población (4500) y se toma el residuo. 6456 4500 1956 4500 1 416 MATEMÁTICAS En este caso se elegirá 1956, de esta forma no se desperdician los números mayores a la población. Ahora bien ¿de qué tamaño debe ser la muestra? Esta varía dependiendo del tamaño de la población y de las características propias de la investigación, pero en general se toma el 1% de la población para formar la muestra. El tamaño de la población se denota con la letra N y el de la muestra con la letra n. Ejercicios 1 Secuencia 2 Bloque IV Analice y responda en su cuaderno las siguientes interrogantes: a) b) c) d) e) f) ¿En qué casos se aplica el método del muestreo? ¿Cuáles son las ventajas de este método? ¿A qué se le llama población? ¿Qué es una muestra? ¿Qué requisitos debe cumplir una muestra para tener validez? ¿Cómo se denota el tamaño de una población y el de la muestra? Obtenga la población y la muestra acerca de cada caso: a) Una empresa que fabrica 10000 focos a la semana realiza un control de calidad de sus productos probando 1000 focos en el mismo lapso de tiempo. b) Se desea saber el porcentaje de calcetines defectuosos producidos en 5 días, al día se producen 1000 calcetines y se pretende examinar 10 calcetines diferentes diariemente en diferentes horas del día. c) Anote los datos de alguna posible investigación que se pueda hacer en su comunidad y defina la población y la muestra. d) Como tomaría una muestra de 20 estudiantes del centro básico que estudia tomando en cuenta del 1º al 9º para realizar un estudio de las asignaturas preferidas. 417 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Representación gráfica de los datos Para lograr una mejor comprensión de los números arreglados en forma tabular, se utilizan los gráficos, que destacan algunos hechos más claramente. Un gráfico para ser de utilidad real, debe ser simple y poner mayor énfasis en los rasgos significativos de los datos. Un gráfico estadístico es la representación de un fenómeno por medio de figuras geométricas (puntos, líneas, rectángulos, circulos etc.). Entre estos gráficos se tienen el de barras simples, el de barras comparativas y el gráfico circular entre otros. GRÁFICO DE FRECUENCIA ABSOLUTA Cuando los datos estadísticos han sido registrados en una tabla, pueden representarse por medio de una gráfica. Para precisar esta idea considere el siguiente ejemplo: Se han tabulado los datos referentes a la estatura en centímetros de los miembros de un equipo de futbol de un centro básico, integrado por 25 jugadores (titulares y reservas). Para elaborar la gráfica representativa de los datos anotados en la tabla, se trazan dos ejes, uno horizontal y otro vertical, que sean perpendiculares. Por lo general en el eje horizontal se anotan los datos (estaturas) y en el vertical las frecuencias. 418 MATEMÁTICAS FRECUENCIA ABSOLUTA 5 4 3 2 1 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 Otro ejemplo se presenta a continuación: ESTATURA El entrenador de un equipo de basquetbol, ha registrado el número de puntos que cada uno de sus jugadores anotó en total durante la temporada que recientemente terminó y dicha información la concentró en la siguiente tabla. La gráfica representativa de esta tabla se ve así: FRECUENCIA ABSOLUTA 4 3 2 1 60 70 80 90 100 PUNTOS ANOTADOS 419 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Seguramente, el análisis de estas gráficas y otras que puedan elaborar los entrenadores, con características personales y del rendimiento de sus jugadores en la práctica de un deporte, permitiran optimizar el funcionamiento de los equipos a su cargo. Por otra parte, conocer cómo se realiza la representación grafica de las frecuencias absolutas, sirve de base para comprender cómo se elaboran e interpretan otras gráficas más específicas en cuanto a cualidades y cantidades, que se estudiarán en las siguientes sesiones de esta secuencia. Ejercicios 2 Secuencia 2 Bloque IV Realice en su cuaderno lo que se le pide a continuación: Complete y elabore las gráficas que representen la frecuencia absoluta, correspondientes a cada una de las tablas que se dan a continuación. 420 MATEMÁTICAS Programa de televisión 1 secuencia 2 bloque IV Atienda con interés el programa de televisión Recordar es dominar las matemáticas, en el que se mostrará el plano cartesiano como herramienta fundamental para dibujar gráficas de datos. Frecuencia Relativa Cuando se tiene una serie de datos, debidamente ordenada y tabulada, no solamente es necesario conocer la frecuencia absoluta de los valores que se incluyen, esto es, el número de veces que un dato aparece en el total considerado, sino que se requiere saber también cuál es la frecuencia relativa, es decir, el tanto por ciento de la aparición de ese dato en relación al conjunto de los datos. Para que se aprecie el procedimiento que se sigue cuando es necesario obtener una frecuencia relativa, considere el siguiente ejemplo. En un centro de salud de Comayagua, se atendió durante la semana pasada a cierto número de pacientes, con síntomas de diversos padecimientos, los cuales se enumeraron en la tabla que aparece a continuación: La frecuencia relativa es un dato que se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de las frecuencias y multiplicando el cociente por cien. Es decir: = 421 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Realizando las operaciones según los datos de la tabla anterior, se obtiene: Estos resultados son tantos porcientos y la suma de ellos debe ser 100%, ya que en la fórmula interviene como cociente 50, que es el total de los valores registrados en la tabla. Al representar la frecuencia con un tanto por ciento, se está haciendo referencia a la frecuencia relativa. A continuación se presenta una tabla en la cual se incluyen las frecuencias relativas. Motivo de consulta Gripe Tos Herida Quemadura Hepatitis Diabetes Dolor estomago Quebradura Total Conteo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa IIII IIII 9 18 IIII I 6 12 IIII 4 8 IIII 5 10 III 3 6 IIII III 8 16 IIII I 6 12 IIII IIII 9 18 50 100% Es posible concluir, por tanto, que el 16% de las consultas se dio a enfermos de diabetes y 12 % de los pacientes con dolor de estomago, etcétera. 422 MATEMÁTICAS Ejercicios 3 Secuencia 2 Bloque IV Realice lo que se le pide. En una serie de datos estadísticos la frecuencia absoluta es de 7, 12, 1, 3, 10 y el total es 33. Para obtener la frecuencia relativa complete las siguientes expresiones. Puede usar calculadora si lo desea. Para el dato 7 Frecuencia relativa = Para el dato 12 Frecuencia relativa = Para el dato 1 Frecuencia relativa = Para el dato 3 Frecuencia relativa = Para el dato 10 Frecuencia relativa = Complete la siguiente tabla anotando las frecuencias absoluta y relativa en las columnas correspondientes. Puede usar calculadora si lo desea. 423 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado GRÁFICA DE BARRAS Los datos pueden ser de dos tipos: cualitativos y cuantitativos. Los primeros hacen referencia a cualidad y los segundos a números o cantidades. Los datos cualitativos son medidas de características, de rasgos, de cualidades asociadas con la unidad de observación. Una gráfica de barras es una representación gráfica de una tabla de frecuencias para datos cualitativos. Por lo general en el eje horizontal se disponen los datos cualitativos y en el eje vertical las frecuencias de los datos. La elaboración de una gráfica, es sencilla y para ello se debe tomar en cuenta lo siguiente: La línea base, es una línea horizontal o vertical en el cual descansan o inician las barras; sirve para poder establecer comparaciones entre los datos cualitativos, representados por las barras, con una simple y rápida inspección. El ancho de las barras, todas las barras o rectángulos de un gráfico tendrán la misma medida de ancho, siendo este arbitrario. El ancho de la barra generalmente depende del número de datos a representar con relación al espacio disponible para la construcción del gráfico. Separación entre las barras, el espacio entre barras o rectángulos, no debe ser menor que la mitad del ancho de la barra, ni mayor que el ancho de la misma, manteniendo siempre la misma distancia. Toda gráfica debe ir acompañada de su tabla de datos, con la suma de sus totales. Ejemplo: El director de un centro básico realizó una encuesta para conocer las preferencias de los y las estudiantes de séptimo grado, en relación a las asignaturas que cursan. Los datos obtenidos son los siguientes: Campo de estudio 424 MATEMÁTICAS Para construir la gráfica de barras debe seguirse el siguiente procedimiento: 1. Se trazan dos ejes perpendiculares. 2. Se coloca la escala de valores o frecuencias sobre el eje vertical y los datos cualitativos, en el eje horizontal. 3. Se trazan los rectángulos o barras del mismo ancho sobre el eje de los datos cualitativos, dejando un mismo espacio entre ellos. La longitud de cada barra representa el número de frecuencias. Al analizar la gráfica de 45 estudiantes entrevistados, se observa que: 1) 9 estudiantes prefieren Matemáticas, 4 prefieren Español, 4 prefieren Educación Artística, etcétera. 2) La asignatura que más prefieren los estudiantes es Ciencias Naturales. 3) Las asignaturas que menos prefieren los estudiantes son: Español, Inglés y Educación Artística. 4) Los estudiantes que prefieren otra materia que no sea Matemáticas, son 36. 5) Los estudiantes que prefieren Inglés más que otras materias son 4. 6) Al preguntar a un estudiante sobre la materia de su preferencia, lo más probable es que conteste Ciencias Naturales y las menos probables son: Español, Inglés y Educación Artística. La gráfica de barras es una forma objetiva de presentar los datos en estudio de un problema estadístico. 425 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Ejercicios 4 Secuencia 2 Bloque IV Con base en la siguiente tabla, elabore una gráfica de barras y luego conteste las preguntas con relación a la gráfica Sabores de helados que prefiere un grupo de estudiantes de primer grado. 1) 2) 3) 4) ¿Cuál sabor es el que gusta más? ¿Cuál es el sabor que gusta menos? Si usted vendiera helados, ¿De cuáles sabores tendría más? Si llegara un grupo de escolares a comprar helados ¿De cuál sabor es probable que venda menos? Escriba los datos de la siguiente investigación en una tabla y posteriormente elabore la gráfica de barras correspondiente. Las temperaturas máximas registradas para el mes de abril durante 6 años en Tegucigalpa fueron de 29ºC en 1988, 28ºC en 1999, 29ºC en el 2000, 30ºC en el 2001, 32ºC en el 2002 y 34ºC en el 2003. Gráfica de Barras Comparativas Es muy común que se tengan que realizar comparaciones de las investigaciones realizadas, así como la presentación de los datos, ya sea en forma tabular o gráfica, para la toma de desiciones o para formular planes a corto y largo plazo. Para concretar esta idea considere el siguiente caso: Un médico realizó una investigación acerca de la libreta de vacunación en dos centros 426 MATEMÁTICAS básicos de la misma comunidad y elaboró una tabla comparativa, en la que registró los datos de los estudiantes que carecen de algunas vacunas. Resulta, además, que en ese lugar no existe un centro de salud y las vacunas se aplican cuando una brigada médica recorre diversas poblaciones de la región. Por medio de la tabla anterior se pueden determinar algunos aspectos, como los siguientes: 1. El mayor número de los estudiantes que no han sido vacunados contra la tuberculosis se encuentra en el centro A. 2. El menor número de los estudiantes que no han sido vacunados contra difteria, tosferina y tétano se encuentra en la escuela B. 3. Existe igual número de los estudiantes que no han sido vacunados en el centro A y B en lo que respecta a las vacunas de poliomielitis. La representación gráfica de los datos de la investigación es la siguiente: Estudiantes del CEB A 427 Estudiantes del CEB B Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Esta información comparativa servirá de base para solicitar una campaña de vacunación y lograr que los estudiantes que carecen de alguna vacuna sean inmunizados. Así como en el ejemplo anterior se puede llegar a tomar una desición con base en las tablas y gráficas elaboradas, existen casos en los cuales es necesario llevar un control en cuanto a compras y/o ventas. Véase el siguiente ejemplo: Una empresa vende confites por caja y se necesita saber en qué semana, 1ª ó 4ª del mes, se venden más cajas y cuál es el mejor cliente que se tiene, para este efecto de ha elaborado la siguiente tabla comparativa. Una vez realizada la tabla, se procede a representar los datos en una gráfica de barras comparativas. Como puede observarse, estas tablas y gráficas se hacen con la finalidad de conocer el volumen de ventas y así poder aumentarlas. La ventaja de comparar tablas y gráficas radica en que se pueden tomar decisiones que sirvan para el desarrollo de medidas preventivas o correctivas en múltiples situaciones de importancia económica, política o social. Otra ventaja de presentar los datos comparativos por medio de tablas y gráficas, radica en 428 MATEMÁTICAS que permite al lector, apreciar y valorar la información de una manera clara y sencilla. Por lo general en el eje horizontal se disponen los datos cualitativos y en el eje vertical las frecuencias de los datos, pero también los datos se pueden ubicar de forma contraria. Observe como quedaría la gráfica del ejemplo anterior al ubicar los datos cualitativos en el eje vertical y las frecuencias de los datos en el eje horizontal. Ejercicios 5 Secuencia 2 Bloque IV Conteste en su cuaderno las siguientes interrogantes: a) ¿Considera importante realizar investigaciones para posteriormente presentar los datos en forma tabular y gráfica? ¿Por qué? b) ¿El realizar comparaciones de la información obtenida en una investigación le permite tomar decisiones? ¿Cómo lo ejemplificaría? 429 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Elabore en su cuaderno dos gráficas comparativas de las ventas de prendas de vestir, realizadas en los meses de agosto y septiembre, por una tienda de ropa. Una gráfica con los datos cualitativos en el eje horizontal y los datos de las frecuencias en el eje vertical y la otra con los mismos datos pero intercambiando los ejes. VENTAS DE ROPA EN LOS MESES DE AGOSTO Y SEPTIEMBRE Escriba en su cuaderno dos conclusiones derivadas de las gráficas. GRÁFICA CIRCULAR O DIAGRAMA DE SECTORES Una gráfica circular es otro ingenioso medio de presentar un resumen visual de frecuencias de datos cualitativos, resulta muy útil para representar una distribución de frecuencias relativas. En la práctica es frecuente encontrar situaciones o fenómenos estadísticos que hacen relación a la subdivisión de un total en sus partes componentes y porcentajes que cada una de ellas representa. Para representar tales situaciones se emplea la gráfica circular o de sectores. El círculo completo representa el total todos los datos, es decir el 100%, al cual corresponde 360º. El procedimiento para representar datos en este tipo de gráficas se muestra con el siguiente ejemplo: De 450 personas, 125 hablan inglés; 100 hablan francés; 75 hablan alemán y el resto habla español. En este caso lo primero que hay que hacer es averiguar la cantidad de personas que hablan español y luego construir una tabla con estos datos. 125 hablan inglés 100 hablan francés + 75 hablan alemán 300 430 MATEMÁTICAS 450 – 300 = 150, 150 personas hablan español. Se tabulan los datos en una tabla de frecuencias absolutas. Luego, se encuentran las frecuencias relativas de cada uno de los datos. Personas que hablan inglés: Personas que hablan francés: Personas que hablan alemán: Personas que hablan español: Ahora bien, para hacer la gráfica circular convertimos los porcentajes en grados con la relación 1% = 3.6º utilizando las proporciones, es decir: Para 27.8 % 1%: 3.6º = 27.8%: x En esta proporción la incógnita es un extremo, por lo tanto: º En todas las proporciones el cociente será 1%, por lo que para convertir el porcentaje a grados, sólo es necesario efectuar la multiplicación entre ellos. Para 22.2% 22.2 x 3.6º = 79.92º 80º Para 16.7% 16.7 x 3.6º = 60.12º 60º Para 33.3% 33.3 x 3.6º = 119.88º 120º 431 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Estos datos se organizan en una tabla de la siguiente manera: Observe que la suma de los grados que representan a las frecuencias relativas de los datos es 360º. Estos datos se representan en un círculo de radio cualquiera, con la ayuda del transportador. Quedando finalmente así: Notas importantes: 1. Al 100% del área del círculo le corresponden 360º por tanto, al 1% le corresponde 3.6º. 2. Toda cantidad parcial debe expresarse en porcentaje. 3. Asignar a cada porcentaje parcial un sector circular de acuerdo al ángulo correspondiente a dicho porcentaje. 4. Usar el compás y el transportador para hacer el círculo y dibujar los ángulos respectivamente obtenidos. 5. Si no desea sombrear, puntear o rayar dentro del círculo, se sugiere escribir los indicadores en la parte superior o inferior derecha del gráfico. 6. La suma de los grados debe ser igual a 360º y la de los porcentajes a 100%. 432 MATEMÁTICAS Ejercicios 6 Secuencia 2 Bloque IV Conteste las siguientes interrogantes: 1. ¿Qué tipo de datos se representan en las gráficas circulares? ________________________________________________________________________ 2. ¿Qué cantidad de grados representa el círculo completo? ________________________________________________________________________ 3. ¿Qué cantidad de porcentaje representa el círculo completo? ________________________________________________________________________ 3. ¿Qué relación se utiliza para convertir los porcentajes a grados? ________________________________________________________________________ Realice los ejercicios que se le presentan a continuación: 1) Construya una gráfica circular de la siguiente tabla de datos obtenidos por un estudio de la clasificación de la red vial oficial Tipo de Carretera Kilómetros Pavimentada 2845 Transitable todo el tiempo 9357 Transitable sólo en verano 1484 Total 2) Elabore una gráfica circular con la información que se le presenta a continuación y al terminar escriba 3 conclusiones. Tipos de comida preferidas en el aula de clase: montucas, 13; enchiladas, 10; mondongo, 8, yuca con chicharrón, 5; nacatamales, 16, y chop suey, 6. 433 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Programa de Televisión 2 Secuencia 2 Bloque IV Atienda con interés el programa de televisión Hazlo más rápido, en el cual conocerá el procedimiento para elaborar gráficos de sectores en la computadora. Ejercicios 7 Secuencia 2 Bloque IV En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento,con una serie de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo. EJERCICIOS VERBALES Diga si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, de ser alguna falsa justifique su respuesta. a) Se llama población al grupo o conjunto de individuos, características u objetos que se examinan. b) Una muestra es una pequeña parte de la población, que se toma como representativa del conjunto. c) La muestra no necesariamente deba ser elegida en forma al azar o en forma aleatoria. d) Un tabla de frecuencias es la representación de un fenómeno estadístico por medio de figuras geométricas (puntos, líneas, rectángulos, circulos etc.) e) Para elaborar la gráfica representativa de los datos anotados en la tabla, se trazan dos ejes, uno horizontal y otro vertical, que sean perpendiculares. f) La frecuencia relativa es el tanto por ciento de la aparición de ese dato en relación al conjunto de los datos. g) Los datos pueden ser de dos tipos: cualitativos y cuantitativos. Los primeros hacen referencia a números o cantidades y los segundos a cualidad. h) El ancho de las barras de un gráfico tendrán la misma medida, siendo este arbitrario. i) El círculo completo representa el total de todos los datos, es decir el 100% el cual corresponde a 360º. 434 MATEMÁTICAS EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Realice las siguientes actividades. a) El director de un centro básico, realizó una investigación sobre la preferencia de acuerdo con el tipo de juegos que preferían jugar los los estudiantes de séptimo grado y obtuvo los siguientes resultados: Construya una gráfica de barras con los datos anteriores. Y escriba una conclusión sobre la gráfica. b) La distribución de la tabla, corresponde a las temperaturas máximas medias registradas en Ocotepeque en el mes de septiembre, durante 5 años. Construya una gráfica circular con los datos anteriores. Y escriba dos conclusiones sobre la gráfica. 435 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado 436 MATEMÁTICAS Secuencia de aprendizaje 3 Bloque IV VALORANDO LO QUE APRENDO Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad le plantea, su capacidad se esncontrará constantemente evaluada por los problemas que a diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este cuarto bloque: Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta . En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de esos conocimientos. Resultados del aprendizaje Al finalizar la secuencia se espera que los y las estudiantes: 1. Organizan datos en en tablas y cuadros sencillos. 2. Organizan y presentan información estadística en gráficas circulares y de faja. Origen de la Estadística La palabra “estadística” procede del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista (“hombre de Estado” o “político”). El término alemán Statistik, que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es decir, “la ciencia del Estado” (también llamada “aritmética política” de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair. En su origen, por tanto, la estadística estuvo asociada a datos, a ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos acerca de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadística nacional e internacional. En particular, los censos suministran información regular acerca de la población. Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya 437 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C. los babilónicos usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para cobrar impuestos. En muchas actividades del género humano se requiere realizar encuestas o recopilar datos para posteriormente organizarlos y efectuar un análisis de la información obtenida, lo cual permitirá tomar desiciones que sirvan para evaluar los procesos, mejorar las áreas donde se detectan errores, etcétera. Para realizar una recolección de datos es indispensable conocer algunos conceptos como: FRECUENCIA ( f ) Es el número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se representa con la letra “f “ Ejemplo 1: Observe la siguiente tabla de frecuencias: Considerando la definición anterior las frecuencias serían los siguientes datos: La frecuencia de 20 años es 3, entonces: f = 3. La frecuencia de 22 años es 3, entonces: f = 3. La frecuencia de 24 años es 2, entonces: f = 2. En la distribución de frecuencia simple o no agrupada del ejemplo anterior, se denota que los valores de las variables (“X”) que corresponden a la “La edad” no se combina para formar grupos, si no que cada valor de ella, es un grupo en sí. RANGO (Rg) Es la diferencia entre el valor máximo ( ) y valor mínimo ( 438 ) de una serie de datos, se MATEMÁTICAS representa con las letras “Rg” Ejemplo 2: Los siguientes datos muestran las edades de cierto número de personas, como se muestra en la siguiente tabla: La oscilación de las edades es de 42 a 17 años, es decir, el rango es de 25. Para calcular el rango de la distribución anterior se aplica la fórmula del rango: Las tablas de frecuencia facilitan el análisis de los resultados de una investigación, ya que mediante ellas se puede establecer relaciones entre los datos. En muchas ocasiones es necesario realizar investigaciones donde se estudian las características o valores de una población determinada, pero debido a las limitaciones de tiempo o de recursos no se trabaja con la totalidad de la población sino con una parte de esta. Se llama población al grupo o conjunto de individuos, características u objetos que se examinan y muestra a una pequeña parte de la población, que se toma como representativa del conjunto. La muestra elegida debe cumplir con los siguientes requisitos para tener validez: a) Debe representar a la población, esto es, ha de pertenecer a ésta y ser elegida en forma al azar o en forma aleatoria, para que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser considerados. b) Debe ser confiable, es decir, los resultados que se obtengan deben poder ser generalizados a toda la población con cierto grado de precisión. c) Que sea práctica, es decir, que sea sencilla de llevar a cabo. d) Que sea eficiente, esto es, debe proporcionar la mayor información a menor costo. 439 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado GRÁFICA DE BARRAS Los datos pueden ser de dos tipos: cualitativos y cuantitativos. Los primeros hacen referencia a cualidad y los segundos a números o cantidades. Los datos cualitativos son medidas de características, de rasgos, de cualidades asociadas con la unidad de observación. Una gráfica de barras es una representación gráfica de una tabla de frecuencias para datos cualitativos. Por lo general en el eje horizontal se disponen los datos cualitativos y en el eje vertical las frecuencias de los datos. La elaboración de una gráfica, es sencilla y para ello se debe tomar en cuenta lo siguiente: La línea base, es una línea horizontal o vertical en el cual descansan o inician las barras; sirve para poder establecer comparaciones entre los datos cualitativos, representados por las barras, con una simple y rápida inspección. El ancho de las barras, todas las barras o rectángulos de un gráfico tendrán la misma medida de ancho, siendo este arbitrario. El ancho de la barra generalmente depende del número de datos a representar con relación al espacio disponible para la construcción del gráfico. Separación entre las barras, el espacio entre barras o rectángulos, no debe ser menor que la mitad del ancho de la barra, ni mayor que el ancho de la misma, manteniendo siempre la misma distancia. Toda gráfica debe ir acompañada de su tabla de datos, con la suma de sus totales. Ejemplo: El director de un centro básico realizó una encuesta para conocer las preferencias de los y las estudiantes en relación a las asignaturas que cursan. Los datos obtenidos son los siguientes: Campo de estudio Para construir la gráfica de barras debe seguirse el siguiente procedimiento: 1. Se trazan dos ejes perpendiculares. 2. Se coloca la escala de valores o frecuencias sobre el eje vertical y los datos cualitativos, en el eje horizontal. 3. Se trazan los rectángulos o barras del mismo ancho sobre el eje de los datos cualitativos, 440 MATEMÁTICAS dejando un mismo espacio entre ellos. La longitud de cada barra representa el número de frecuencias. Campo de estudio Al analizar la gráfica de 45 estudiantes entrevistados, se observa que: 1. 9 estudiantes prefieren Matemáticas, 4 prefieren Español, 4 prefieren Educación Artística, etcétera. 2. La asignatura que más prefieren los estudiantes es Ciencias Naturales. 3. Las asignaturas que menos prefieren los estudiantes son: Español, Inglés y Educación Artística y Educación Física. 4. Los estudiantes que prefieren otra materia que no sea Matemáticas, son 33. 5. Los estudiantes que prefieren Inglés más que otras materias son 4. 6. Al preguntar a un estudiante sobre la materia de su preferencia, lo más probable es que conteste Ciencias Naturales y las menos probables son: Español, Inglés, Educación Artística y Educación Física. GRÁFICA CIRCULAR O DIAGRAMA DE SECTORES Una gráfica circular es otro ingenioso medio de presentar un resumen visual de frecuencias de datos cualitativos, resulta muy útil para representar una distribución de frecuencias relativas. En la práctica es frecuente encontrar situaciones o fenómenos estadísticos que hacen relación a la subdivisión de un total en sus partes componentes y porcentajes que cada una de ellas representa. Para representar tales situaciones se emplea la gráfica circular o de sectores. 441 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado El círculo completo representa el total todos los datos, es decir el 100%, al cual corresponde 360º. El procedimiento para representar datos en este tipo de gráficas se muestra con el siguiente ejemplo: De 450 personas, 125 hablan inglés; 100 hablan francés; 75 hablan alemán y el resto habla español. En este caso lo primero que hay que hacer es averiguar la cantidad de personas que hablan español y luego construir una tabla con estos datos. 125 hablan inglés 100 hablan francés + 75 hablan alemán 300 450 – 300 = 150, 150 personas hablan español. Luego, se encuentran las frecuencias relativas de cada uno de los datos. Personas que hablan inglés: Personas que hablan francés: Personas que hablan alemán: Personas que hablan español: Ahora bien, para hacer la gráfica circular convertimos los porcentajes en grados con la relación 1% = 3.6º utilizando las proporciones, es decir: 442 MATEMÁTICAS Para 27.8 % 1%: 3.6º = 27.8%: x En esta proporción la incógnita es un extremo, por lo tanto: º En todas las proporciones el cociente será 1%, por lo que para convertir el porcentaje a grados, sólo es necesario efectuar la multiplicación entre ellos. Para 22.2% 22.2 × 3.6º = 79.92º 80º Para 16.7% 16.7 × 3.6º = 60.12º 60º Para 33.3% 33.3 × 3.6º = 119.88º 120º Estos datos se organizan en una tabla de la siguiente manera: Observe que la suma de los grados que representan a las frecuencias relativas de los datos es 360º. Estos datos se representan en un círculo de radio cualquiera, con la ayuda del transportador. Quedando finalmente así: 443 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado Notas importantes: 1. Al 100% del área del círculo le corresponden 360º por tanto, al 1% le corresponde 3.6º. 2. Toda cantidad parcial debe expresarse en porcentaje. 3. Asignar a cada porcentaje parcial un sector circular de acuerdo al ángulo correspondiente a dicho porcentaje. 4. Usar el compás y el transportador para hacer el círculo y dibujar los ángulos respectivamente obtenidos. 5. Si no desea sombrear, puntear o rayar dentro del círculo, se sugiere escribir los indicadores en la parte superior o inferior derecha del gráfico. 6. La suma de los grados debe cuadrar a 360º y la de los porcentajes a 100%. Ejercicios 1 Secuencia 3 Bloque IV 1) Comente con sus compañeros(as) las ventajas de organizar los datos. 2) Complete las siguientes oraciones: a) El número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se llama ___________________ y se representa con la letra_______________. b) En una serie de datos, la diferencia entre el valor_______________ y valor _______________de la variable se llama _______________. c) La palabra ________________ procede del latín statisticum collegium. d) Fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de _______________y _______________ datos. Este concepto fue introducido por el inglés________________. 3) Analice y responda en su cuaderno las siguientes interrogantes: a) ¿A qué se le llama población? b) ¿Qué es una muestra? c) ¿Qué requisitos debe cumplir una muestra para tener validez? 4) Trabaje en su cuaderno con los siguientes datos: i. Después de una fiesta se preguntó a los 20 invitados ¿Cuántos confites tienen? 13 14 20 13 14 15 20 13 14 17 18 14 15 14 17 15 444 13 13 18 15 MATEMÁTICAS a) Ordene los datos en forma decreciente. b) Registre en una tabla que contenga los datos ordenados y su fracuencia. c) ¿Cuál es la osilación o rango? ii. Obtenga la población y la muestra acerca de cada caso. a) Una fabrica de fósforos producde 50000 fósforos en un día, a la semana realiza un control de calidad de sus productos probando 5000 fósforos en el mismo lapso de tiempo. Población______________________________________ N___________________ Muestra________________________________________ n __________________ 5) Con la siguiente distribución de frecuencia construir un gráfico de barra. 6) Para estudiar sus actitudes hacia la música rock, a 1200 personasse les preguntó (entre otras cosas), si escuchaban “muy poco”, “poco”, “más o menos lo debido” o “demasiado” música rock. Las respuestas se contabilizaron y se escribieron en la tabla de abajo. Construir un Diagrama Circular o de Sectores para dicaha información. 445 Contenidos de acuerdo DCNB LIBRO DEL ESTUDIANTE - Séptimo grado BIBLIOGRAFÍA Baldor, Aurelio Álgebra, Publicaciones cultural, México, abril de 2004, (22ª ed.), 574 págs., pp.: 97-99, 103-104. Dugopolski Mark, Álgebra Intermedia, Ed. Mc Graw Hill, México 2005, 550 págs., pp.: 168178. Londoño, Nelson; Bedoya, Hernando. ALGEBRA Y GEOMETRÍA. Guatemala: Norma, 1989. Océano. Enciclopedia AUDIOVISUAL- EDUCATIVA: MATEMÁTICAS, España: Oceano,1990. 1 v. Océano- Éxito. El Mundo de las Matemáticas. España: Clara, 1986. 1 v. Ortiz, Francisco. Matemáticas – 1, Algebra, México: Publicaciones Cultural, 1992. Portillo pineda, Noe. Geografía de HONDURAS, Honduras, Tegucigalpa: Guaymuras,1997. Reyes Núñez, Horacio; León Tejeda, Denia. Matemática 7° Grado: Educación Básica. Honduras, Tegucigalpa, [s.n.], 2007. Smith, Stanley A., Álgebra, Ed. 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