Raíces y Radicales

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN CAYEY
DEPTO. MATEMATICA-FISICA
Preparado por Prof. Carlos A. Rivera Morales
Raíces y Radicales
La diagonal d de un rectángulo se calcula con la fórmula d =
longitud y w el ancho.
d
2
2
l + w , donde l es la
w
l
a) Calcule d si l = 3 cm y w = 4 cm .
Para trabajar adecuadamente este ejercicio necesitamos algunos conocimientos básicos
sobre radicales.
Comencemos con la definición básica de raíz cuadrada.
Definición: Sean a y b números reales donde b es positivo o cero (esto es; b ≥ 0).
Entonces a es una raíz cuadrada de b si, y sólo si a2 = b.
Ejemplos: Los números 5 y -5 son raíces cuadradas de 25.
Razón: 52 = 25 y (-5)2 = 25.
A la raíz positiva 5 la denotaremos por 5 = 25 y le llamaremos la raíz cuadrada
principal de 25. A la raíz cuadrada − 5 la denotaremos por − 5 = − 25 .
En general: Si a ≥ 0, entonces
a = x , donde x ≥ 0 y x2 = a.
La raíz cuadrada no negativa
a se llama la raíz cuadrada principal de a.
En general, la raíz enésima principal (o n-ésima) de un número real a , se
representa por n a , pero esta expresión no siempre tiene significado en en el
conjunto de los números reales.
4
Por ejemplo, tratemos de evaluar 4 − 16 . Nota que 24 = 16 y (− 2) = 16 . No existe
numero real a tal que a4 = − 16 . En general, no hay número real alguno que sea la raíz par
principal de un número real negativo. En general, los números reales negativos no tienen
raíces pares reales.
1
Definición de
n
a : La raíz enésima principal de a
Sea a un número real y n un entero positivo con n ≥ 2.
1. Si a > 0, entonces n a es el número positivo x tal que xn = a.
2. n 0 = 0 .
3. Si a < 0 y n es impar, entonces n a es el número negativo x tal que xn = a.
4. Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real.
Nota: El símbolo n a también se llama radical; n es el índice o raíz y el número a es el
radicando o cantidad subradical.
Ejemplos:
1.
2.
3
(
− 8 = − 2 pues (-2)3 = - 8.
− 25 no es un número real; es la raíz par de un número negativo.
)
3
3
3
− 8 = − 8 pues − 8 = − 2 y (-2) = - 8.
Para multiplicar o dividir radicales directamente sus índices u ordenes deben ser
igual. Veamos algunos ejemplos:
3.
Ejemplos:
1.
3
3
− 8 ⋅ 3 27 = (− 2) ⋅ (3) = − 6
2.
4 2
=
25 5
3.
4 2
= . Nota que
25 5
4
=
25
4
.
25
2
Propiedades de los radicales
Sean n ≥ 2, m ≥ 2 números enteros positivos y a,b números reales. Si todos los
radicales están definidos en los números reales, entonces:
1.
n ab=n a× n b
2.

3.
n a m= n a m
4.
  a=  a
5.
n a n =a
si n es impar
6.
n a n =∣a∣
si n es par
n
n
a a
=
b n b
n m
nm
Ejercicios: Simplifique cada expresión. Suponga que todos los radicales con variables
están definidos en los números reales.
1.
 32
2.
4
 32
3.
3 16x 4
4.
4
x
12
5.

9
4
y
8
7
x y
xy 3
3
6.

7.
 x
6
8.
x
6
9.
 3x 2 12x
10.
 5x  20x
3
3
3x y 2
81 x 4 y 2
Exponentes Racionales en ℝ={Números Reales}
Def.: Si a es un número real y n ≥ 2 es un entero, entonces
1
n
n
a = a
n a represente un número real.
siempre y cuando
Ejemplos:
1
2
1.
4
=
4 = 2
2.
−273 =
3.
−4 2 =−4 no es un número real
1
.3  −27 =
−3
1
Def.: Si a es un número real y m y n son números enteros sin factores en común, con n ≥ 2,
entonces
a
siempre y cuando
m
n
=
m
n a m
=  n a
n a represente un número real.
Observaciones:
1. El exponente
2. Al simplificar
m
debe estar en su mínima expresión y n debe ser positivo.
n
m
n
a se puede utilizar
calcular primero la raíz.
n a m
o
n
m
  a
. Por lo general, es preferible
Ejercicios: Simplifique cada expresión.
1.
2.
3.
2
3
83
4
4.
3
2
16
5.
3
4
9
−3
2
6.
1
x4 x3
1
x2
7.
8 −2
 3
27
4
1
1
 xy2  2  xy  4
Racionalización de Denominador
En algunos casos, podemos cambiar una fracción mediante un proceso llamado
racionalización del denominador. Consiste en expresar la fracción en forma
equivalente sin radicales en el denominador.
Ejemplos: En cada, racioanalizar el denominador.
1.
2.
3
3
5
3⋅ 5
3⋅ 5 3⋅ 5
=
⋅
=
=
=
5
5
5 5
5⋅ 5
25
7
7
= 3 ⋅
3
2
2
3
3
4 7⋅ 3 4 7⋅ 3 4
= 3
=
2
4
8
Ejercicios adicionales:
5
− 3 75 + 2 3 .
3
2. La diagonal d de un rectángulo se calcula con la fórmula d =
la longitud y w el ancho.
1. Simplifique
d
w
l
a) Calcule d si l = 20 cm y w = 15 cm .
b) Calcule d si l = 16 cm y w = 10 cm .
5
2
2
l + w , donde l es