Teoria-del-muestreo

Teoría del muestreo
El total de un grupo de datos de llama población o universo, y una porción representativa de
este grupo se llama muestra. Las muestras desempeñan un papel muy importante en los
trabajos estadísticos, porque a menudo es imposible o muy costoso analizar a la población
entera. La información obtenida de una muestra o un grupo de muestras es útil en la
estimación de parámetros de población desconocidos, tales como la media, la varianza, etc.
Esto se llama inferencia estadística o estimación. Además, a menudo deseamos comparar dos
muestras de la misma población para determinar la hipótesis de si ciertas diferencias son
significativas o no. Esto es parte de la teoría de decisiones.
Teoría de muestras grandes o pequeñas. Se recordara que al calcular la desviación estándar y
en la correlación deben hacerse ciertos ajustes a las formulas cuando la cantidad de datos es
pequeña (n<30), y debe utilizarse una teoría de muestreo para muestras pequeñas. En
realidad, las formulas desarrolladas para teoría de muestreo de muestras pequeñas se aplican
a muestras de todos tamaños, pero suele ser más complicadas, y las formulas más sencillas
para muestras grandes se utilizan siempre que esto sea posible. La parte inicial de este texto
tratara sobre muestras grandes, y las muestras pequeñas se estudiaran en las partes finales
Tipos de muestras
Existen algunas diferentes maneras de seleccionar muestras de una población.
Muestreo aleatorio: cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser
seleccionado
Muestreo estratificado: Una población heterogénea deberá dividirse en subgrupos
homogéneos y, entonces, se seleccionan muestras aleatorias de cada uno de estos grupos. Las
proporciones de los subgrupos en la muestra deberán ser iguales a las proporciones de los
subgrupos en la población
Muestreo de juicio: Esta es una selección deliberada de una muestra por el estadístico, para
obtener una muestra representativa de la población. Este método se utiliza a menudo en la
construcción de un modelo para representar una población. Las técnicas de este texto no se
aplicaran a muestreo de juicio.
Varios otros términos se utilizan para representar variantes de estas tres divisiones, tales como
el sistemático, doble, secuencial, de rea, de grupo agregado, de cuota y proporcional
Métodos para obtener muestras aleatorias:
En muchos problemas cada unidad tiene, o puede asignársele, un número. Las personas tiene
un numero en su carnet de identidad, las casas tienen los números de sus calles, y los
automóviles tienen números de serie y números de patente.
Si cada número de nuestra población se escribiera en un trozo de papel y se mesclaran
perfectamente entonces, seleccionando papeles de la urna, se podría obtener una muestra
aleatoria de cualquier tamaño deseado. Es posible considerar muchos casos en donde esta
idea teórica puede ser no practica, como por ejemplo cuando la población total es grande o
Profesor Eduardo Flores
innumerable. A menudo puede obtenerse una muestra seleccionando cada número que tenga
como último digito un 4 (por ejemplo), o 56 (por ejemplo), en la serie de números. Es
necesario determinar que la selección en esta forma no incluirá sesgos, y cuando se sospeche
que esto ocurre deberá utilizarse en su lugar una tabla de nueros aleatorios o una función de
ramdom.
Ejemplo
Se desea obtener una muestra de todos los teléfonos de una ciudad. ¿Cuál seria el defecto de
seleccionar todos los números terminados en dos dígitos seleccionados, ( digamos 45)?
Hint: Los números de empresas suelen terminar en 000.
Muestreo con o sin reemplazo
En el procedimiento de la urna descrito anteriormente, cada papel es sacado de la urna debe
reemplazarse después de que el numero quedo registrado. Esto da un proceso de selección
aleatoria que permite al mismo número ser seleccionado más de una vez. Cualquier
procedimiento donde esto sucede se llama muestreo con reemplazo. Suponiendo que la
población es grande, esto no tiene importancia, pero en una población pequeña la diferencia
es importante
El muestreo con reemplazo hace que se utilicen forman apropiadas a poblaciones infinitas.
Distribución de medias de las muestras
Se toma un número de muestras, todas de tamaño N, de cierta población y se calcula la media
de cada muestra. Entonces tenemos una nueva distribución – la distribución de las medias de
muestras-. Estas medias de las muestras tiene una distribución normal, aun si la población no
tenia una distribución normal, suponiendo que el tamaño de la muestra, N, es grande. La
media de esta distribución es µp , la media de la población y la desviación estándar es
p
N
, la
desviación estándar de la población. Esta desviación estándar se llama error estándar de la
distribución de las medias de muestreo
Ejemplo: una población consiste en todos los números de 0 a 99- Se selecciona de 5 en 5 por
medio de una función ramdom obteniendo lo
51
77
27
46
40
que sigue
42
33
12
90
44
62
16
28
98
Calcúlese la media de estas muestras, , la media 46
58
20
41
86
y la desviación estándar de estas medias de las 93
19
64
8
70
56
muestras
Solución
Sumando los números de cada muestra y dividiendo por 5 las medias de las muestras son
Profesor Eduardo Flores
51
42
46
93
19
77
33
62
58
64
27
12
16
20
8
46
90
28
41
70
40
44
98
86
56
suma
241
221
250
298
217
medias
48,2
44,2
50
59,6
43,4
La media de las muestras es
48, 2  44, 2  50  59, 6  43, 4 245, 4

 49, 08
5
5
La varianza es
 0,88   4,88   0,92    10,52    5, 68 
2
2 
2
2
2
2
5
0, 7744  23,8144  0,8464  110, 6704  32, 2624

5
168,368

 33, 6736
5
Y la desviación estándar
  33,6736  5,80289583
Ejemplo
Una población tiene una medida de 50, y una desviación estándar de 30. Si se selecciona un
gran número de muestras de cada una de tamaño 36. ¿Cuál es la media y la desviación
estándar de las medias de las muestras?
media  50
desviacion 
30 30

5
36 6
Otras distribuciones de muestreo
Considérese una proporción P, y una población grande, Obtenida al arrojar un dado o por otros
métodos, basados sobre la proporción. Si se toman muestras de esta población la distribución
de las muestras se la proporción de sucesos será P y la desviación estándar ( error estándar)
será
Profesor Eduardo Flores
p 1  p 

N
pq
N
Donde q  1  p
A pesar de que la población es una distribución binomial, la distribución de muestras de la
proporción es próxima a la normal.
Si se timan dos grupos independientes de muestras de dos poblaciones separadas con medias
1 y 2 , y desviaciones estándar de 1 y  2 , entonces la media de la suma de las medias
será 1  2 ; y la media de las diferencias será 1  2 .
En cuales quiera de estos casos, la desviación estándar de la distribución de las sumas o de las
diferencias de las medias será
 12
N1

 22
N2
, donde N1 y N 2 , son los tamaños de las muestras.
Para un N grande la distribución maestral de la desviación estándar de las muestras es casi
normal y su error estándar es

2N
Ejemplo
Se toman dos muestras de tamaño 30 y 50 de la población mencionada en el problema
anterior. ¿Cuáles son:
Las medias y las desviaciones estándar de las medias de los dos grupos de muestras?
la media y la desviación estándar de la distribución muestral de la suma y de la diferencia de
las muestras
Solución
media
desviación estándar
grupo 1
50
30
= 5,5
√30
Suma de la media de las muestras
Media=50
Desviación estándar
302 302

 30  18  6,9
30 50
Diferencia de las medias de las muestras
Media=0; desviación estándar=6,9
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grupo 2
50
30
= 4,2
√50
Ejemplo
La población A consiste de los números 3 y 5 distribuidos en iguales proporciones. La población
B consiste de los números 1 y 5 distribuidos en iguales proporciones. Ambas poblaciones son
infinitas. Un grupo de muestras X de tamaño 50 se toma de la población A. Esta tendrá por lo
general un número aproximadamente igual a números 3 y números 5, pero cualquier
distribución hasta 50 es posible. Un grupo de muestras Y, de tamaño 100 se toma de la
población B.
Se forma un nuevo grupo de muestras combinando la media de cualesquier de las muestras X
con la media de cualesquiera de las muestras Y. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de
esta distribución?
Para la población A la media es 4 y la desviación es 1. Para la población B la media es 3 y la
desviación es 2. La media de la distribución será 1  2  4  3  7
La desviación estándar será
 12
N1

 22
N2

1
2
2 1



50 100
50 5
=
Corrección para poblaciones finitas si el tamaño de la muestra es N y el tamaño de la población
es M, la media de la distribución de medias de las muestras es también igual a la media de la
población
  p
Pero para la desviación estándar  
2
 p2 M  N
N M 1
Ejemplo
¿Cuál es el factor de corrección que deberá aplicarse a la desviación estándar para una
población finita donde la población es 100 y el tamaño de muestra es 10?
2
El factor d corrección de la varianza  es
M  N 100  10 90


 0,91
M 1
100  1 99
El factor que deberá aplicarse a la desviación estándar es
0,91  0.95
Profesor Eduardo Flores
Si la población es 100. ¿ que tamaño de muestra corresponde a un factor de corrección a la
desviación estándar de 0,9?
Solución
100  N
2
  0,9 
100  1
De donde
100  N  99  0,81
N  100  80
N  20
Distribución T de Student
Se estableció anteriormente que si el tamaño de la muestra es grande, las medias de las
muestras siguen una distribución normal, Aun si la isma población no es normal. Aun para
muestras pequeñas esto es cierto si la población tiene una distribución normal.
Expresado matemáticamente
z
x

es una curva normal estándar, donde  y  se refieren a la población. En la
N
mayoría de los casos  es desconocida y debemos sustituir por  est 
N
s donde s es la
N 1
desviación estándar de la muestra.
La ecuación t 
x
s
N 1
normal cuando n es grande.
La distruçib
Profesor Eduardo Flores
se llama distribución t de student, y se aproxima a la distribución