Proporcionalidad.

1
¿Cuál ha de ser el valor de z para que las siguientes fracciones se encuentren en proporción?:
z
17
y
9
81
2
Si por cada litro de agua se presentan 120 mg de impurezas, ¿cuántos mg de impurezas hay en una botella
de 1,5 l?
3
Calcula a qué distancia quedarán sobre un mapa a escala 1:250 000 dos localidades que sobre un mapa a
escala 1:100 000 están a 24 cm.
4
Reparte 1500 proporcionalmente a los números 3, 5 y 7.
5
Queremos repartir 45 caramelos entre cuatro niños de manera que cada uno se lleve el doble del anterior.
¿Cuántos le tocan a cada uno de ellos?
6
El alojamiento de tres personas durante dos días cuesta 132 €. ¿Cuánto costará el alojamiento de doce
personas durante quince días?
7
En las rebajas, el comercio de la esquina hace un descuento del 15% sobre el precio marcado en la
etiqueta. Si el precio de unos guantes era de 12,37 €, calcula el precio final.
8
Sobre una compra de 65 euros se realiza un descuento del 14%. ¿Cuánto hay que pagar?
9
Un tendero aplica un recargo del 40% a unos pantalones que le han costado 15 euros. Al precio recargado
aplica, en unas rebajas un descuento del 20%. ¿Cuánto ha de pagar una persona que quiera comprar los
pantalones en las rebajas?
10 ¿Es cierto que si me hacen un descuento del 70% y a continuación otro del 30%, me sale la compra gratis?
11 Un frutero ha vendido 185 kg de naranjas obteniendo unas ganancias de 74 euros. Si las vende a 1,65 euros
el kilo, ¿qué recargo porcentual ha aplicado?
12 El 40% del 30% de la cuarta parte del 80% de un número es 3. ¿De qué número se trata?
13 Tres pintores tardan seis días en pintar una casa, ¿cuánto tardarán seis pintores en pintar la misma casa?
14 Reparte 2600 euros en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.
15 Se quiere repartir 630 euros en partes inversamente proporcionales a las edades de dos personas, que son
20 y 36 años. ¿Cuánto le corresponde a cada una?
16 Expresa como una proporción la expresión “la atracción gravitatoria (G) es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia (r)”
17 Una cuadrilla de 6 jardineros, trabajando 6 horas diarias, tardan 6 días en arreglar los jardines de la ciudad.
¿Cuánto tiempo tardarán 8 jardineros que trabajen 8 horas diarias en arreglar los mismos jardines?
18 Un coche realiza un viaje de 8 días, empleando 5 horas diarias, recorre 3 200 km. ¿Cuánto recorrerá el
mismo coche viajando 4 días durante 3 horas diarias?
SOLUCIONES
1.- Solución:
17
z
17 ⋅ 81
=
⇒z=
= 153
9 81
9
2.- Solución:
Habrá que calcular 1,5·120 = 180 mg de impurezas.
3.- Solución:
Si el primer mapa está a escala 1:100 000 significa que 1cm del mapa equivale a 100 000cm, es decir, 1
000m, o, lo que es lo mismo, 1km. Las localidades estarán a 24·1 = 24 km de distancia.
El segundo mapa esta a escala 1:250 000, lo que significa que 1cm mapa equivale a 250 000cm, es decir, 2
500m, o, lo que es lo mismo, 2,5km. La distancia entre los dos puntos que representen las localidades en el
segundo mapa será 24:2,5=9,6cm.
4.- Solución:
3 ⋅ 1500
⎧1500 a
= 300
⎪ 15 = 3 ⇒ a = 15
⎪
5 ⋅ 1500
1500
a b c
⎪1500 b
= = = ⇒⎨
= ⇒b=
= 500
15
5
15
3+5+7 3 5 7
⎪
⎪1500 = c ⇒ c = 7 ⋅ 1500 = 700
⎪⎩ 15
7
15
5.- Solución:
1 + 2 + 4 + 8 = 15 partes.
⎧3·1 = 3 caramelos
⎪
⎪3·2 = 6 caramelos
⎨
⎪3·4 = 12 caramelos
⎪⎩3·8 = 24 caramelos
45
=3
15
caramelos cada parte.
6.- Solución:
en
cuestan
3 personas ⎯⎯→
⎯ 2 días ⎯⎯
⎯⎯→ 132 €
Reducción a la unidad :
132 €
= 66 €
2
66 €
en
cuesta
1persona ⎯⎯→
⎯ 1día ⎯⎯
⎯
⎯→
= 22 €
3
Búsqueda del resultado :
en
cuestan
3 personas ⎯⎯→
⎯ 1día ⎯⎯
⎯⎯→
en
cuestan
12 personas ⎯⎯→
⎯ 1día ⎯⎯
⎯⎯→ 22 ⋅ 12 = 264 €
en
cuestan
12 personas ⎯⎯→
⎯ 15 días ⎯⎯
⎯⎯→ 264 ⋅ 15 = 3 960 €
7.- Solución:
Precio: 12,37 €.
Descuento 12,37·(15/100)=12,37·0,15=1,86€
Precio final = Precio-Descuento = 12,37-1,86=10,51€.
8.- Solución:
Si se hace un descuento del 14%, quedará el 86% de la cantidad.
Hay que pagar 65 · 0,86 = 55,9 euros.
9.- Solución:
Con el recargo cuestan 15 · 1,4 = 21 euros.
En las rebajas 21 · 0,8 = 16,8 euros.
10.- Solución:
No. En realidad pagaré el 70% del 30% restante, es decir de cada 100 € pagaré 100·0,7·0,3 = 21 €.
11.- Solución:
74
= 0,4
185
Ha ganado por cada kilo
euros.
Es decir, cada kilo le costó 1, 25 y lo vende a 1,65.
1,25 · ? = 1,65 ; ? =1,65 : 1,25 = 1,32.
Por lo que aplica un recargo del 32%.
12.- Solución:
0,4 · 0,3 · 0,25 · 0,8 · ? = 3
0,024 · ? = 3 ; el número es 3 : 0,024 = 125
13.- Solución:
El doble de pintores tardarán la mitad de días, es decir, tres días.
14.- Solución:
k k k 6 k 4 k 3 k 13 k
2600·12
+ + =
+
+
=
= 2600 ⇒ k =
= 2400
2 3 4 12 12 12
12
13
2400
= 1200€
2
Al 1º:
2400
= 800€
3
Al 2º:
2400
= 600€
4
Al 3º:
15.- Solución:
k
k
9k
5k
14 k
630·180
+
=
+
=
= 630 ⇒ k =
= 8100
20 36 180 180 180
14
8100
= 405€
20
Al de 20 años:
8100
= 225€
36
Al de 36 años:
16.- Solución:
k
G= 2
r
17.- Solución:
Reducimos a la unidad:
trabajando
tardará
1 jardinero ⎯⎯
⎯ ⎯⎯→ 6 horas diarias ⎯⎯
⎯⎯→ 6·6 = 36 días
trabajando
tardará
1 jardinero ⎯⎯
⎯ ⎯⎯→ 1 hora diaria ⎯⎯
⎯⎯→ 36·6 = 216 días
Buscamos el resultado:
216
= 27 días
8
27
trabajando
tardarán
8 jardineros ⎯⎯
⎯ ⎯⎯→ 8 horas diarias ⎯⎯
⎯⎯→
= 3,375 días = 3 días + 0,375·8 horas = 3 días+ 3 h
8
trabajando
tardarán
8 jardineros ⎯⎯
⎯ ⎯⎯→ 1 hora diaria ⎯⎯
⎯⎯→
18.- Solución:
Reducimos a la unidad:
3200
= 400 km
8
400
viajando
recorre
1 día ⎯⎯
⎯⎯→ 1 hora diaria ⎯⎯
⎯
⎯→
= 80 km
5
viajando
recorre
1 día ⎯⎯
⎯⎯→ 5 horas diarias ⎯⎯
⎯
⎯→
Buscamos el resultado:
viajando
recorre
1 día ⎯⎯
⎯⎯→ 3 horas diarias ⎯⎯
⎯
⎯→ 80·3 = 240 km
viajando
recorre
4 día ⎯⎯ ⎯⎯→ 3 horas diarias ⎯⎯ ⎯
⎯→ 240·4 = 960 km