Matemáticas COLEGIO PRECOOPERATIVO ATENEO CLEI IV POTENCIACION EN LOS NÚMEROS REALES (R) a = a1 a ∙ a = a2 a ∙ a ∙ a = a3 . . . n a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a = a , para todo n Є Z+ y a Є R Donde a es la base, n el exponente y an la potencia n de a PROPIEDADES DE LA POTENCIACION A. MULTIPLICACION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Para todo a Є R, con a ≠ 0 y m, n Є Z+ se cumple que am ∙ an = am + n Lic. Jimmy A. Suárez C. POTENCIA DE UNA POTENCIA Para todo a Є R, a ≠ 0, m, n Є N, se tiene: (am)n = am ∙ n Ejemplo: (42)4 = 42 x 4 = 48 (h5)4 = h5 ∙ 4 = h20 ((x8)8)3 = x8 ∙ 8 ∙ 3 = x192 D. POTENCIA DE UN PRODUCTO Ejemplo: a4 ∙ a2 = a4 + 2 = a6 45 ∙ 43 = 45 + 3 = 48 f7 ∙ f12 ∙ f = f7 + 12 + 1 = f20 B. DIVISION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Para todo a Є R, a ≠ 0 y m, n Є Z+, se tiene Si a, b Є R, n Є N, se tiene (a ∙ b)n = an ∙ bn Ejemplo: (3 ∙ 4)3 = 33 ∙ 43 (x ∙ y)8 = x8 ∙ y8 (3 ∙ z ∙ m)n = 3n ∙ zn ∙ mn E. POTENCIA DE UN COCIENTE Si a, b Є R, b ≠ 0, n Є N se tiene que: ( ) Ejemplo: ( ) ( ) Ejemplo: ( ) Matemáticas COLEGIO PRECOOPERATIVO ATENEO CLEI IV RADICACION EN LOS NÚMEROS REALES RAIZ CUADRADA REALES DE NÚMEROS La raíz cuadrada (cuyo signo es √ ) de un número positivo es otro número que multiplicado por si mismo dos veces dé la cantidad subradical o radicando Si 53 = 125, entonces √ Si 83 = 512, entonces √ Si (-3)3 = -27, entonces √ Si a3 = a ∙ a ∙ a, entonces: √ RAIZ N-ÉSIMA DE NÚMEROS REALES La raíz n-ésima de un número x es otro número a, que elevado al exponente n nos dé como resultado x. si se cumplke que x = an √ √ Si a es una raíz cuadrada de x, entonces –a, también es una raíz cuadrada de x. La raíz cuadrada positiva de x se nota: √ raíz cuadrada negativa se nota: - √ y la Ejemplo: =4 = -4 4 y -4 son las raíces cuadradas de 16 Si 82 = 64, entonces tenemos: √ = 8 Pero (-8)2 = 64, entonces tenemos √ = -8 8 y -8 son las raíces cuadradas de 64 Si a2 = a ∙ a, entonces tenemos √ Pero, (-a)2 = (-a)(-a), entonces: √ =a = -a a y –a son las raíces cuadradas de a2 RAIZ CUBICA DE NÚMEROS REALES La raíz cubica de un número es otro número que multiplicado por si mismo 3 veces, dé la cantidad subradical o radicando: √ Ejemplo: Hallemos: √ Descomponiendo 81 en factores primos obtenemos: 81 = 34 Luego √ Si 42 = 16, entonces se tiene que: √ Pero (-4)2 = 16, entonces se tiene: √ si se cumple que x = a3 Lic. Jimmy A. Suárez √ =3 Hallemos: √ Descomponiendo 64 en los factores primos, tenemos: 64 = 26 Luego √ =√ =2 RAIZ DE INDICE NÚMERO REAL IMPAR DE Todo radical de índice impar, tiene una sola raíz, la cual es del mismo signo que el radicando Ejemplo: √ √ √ = √ =2 =√ = -2 =√ = -a UN Matemáticas COLEGIO PRECOOPERATIVO ATENEO CLEI IV RAIZ DE INDICE PAR DE UN NÚMERO REAL Todo radical de índice par y radicando positivo tiene dos raíces de igual valor y signo contrario. Ningún radical de índice par y radicando negativo tiene raíces reales Ejemplo: √ =√ =3 =-3 √ =√ La raíz cuadrada de 9 es 3 y -3 √ = √ =3 = -3 √ =√ La raíz cuarta de 81 es 3 y -3 - √ = - √ = -5 -√ =-√ =5 La raíz cuadrada de 25 es -5 y 5 = ? No tiene solución, por que no √ hay ningún número real que multiplicado por si mismo 6 veces de -64 EXPONENTES LOS REALES FRACCIONARIOS Si a Є R, m,n Є N entonces am/n = √ Ejemplo: 21/4 = √ v5/6 = √ 38/3 = √ √ = j1/5 √ = x12/3 = x4 √ = 45/5 = 41 = 4 EN Lic. Jimmy A. Suárez COLEGIO PRECOOPERATIVO ATENEO CLEI IV Matemáticas Lic. Jimmy A. Suárez TALLER POTENCIACION Y RADICACION EN LOS REALES TALLER POTENCIACION Y RADICACION EN LOS REALES I. Resuelve las siguientes potencias usando las propiedades vistas y dando el resultado final cuando sean cantidades numéricas I. Resuelve las siguientes potencias usando las propiedades vistas y dando el resultado final cuando sean cantidades numéricas 32 ∙ 33 (0.3) (0.3)2 (0.3)5 (4+5)2 52 x 53 (24)2 (-1)3 y3 ∙ y ∙ y8 (-1) (-1)2 (-1)3 (-1)6 35 x 32 j. k. m. n. (s ∙ u)3 p. [( ) ] [(32)3]4 32 ∙ 33 (0.3) (0.3)2 (0.3)5 (4+5)2 52 x 53 (24)2 (-1)3 y3 ∙ y ∙ y8 (-1) (-1)2 (-1)3 (-1)6 35 x 32 j. k. m. n. (s ∙ u)3 p. [( ) ] [(32)3]4 r. xn + 1 ∙ x2n r. xn + 1 ∙ x2n s.* + s.* + II. Halla las raíces de los siguientes ejercicios II. Halla las raíces de los siguientes ejercicios a. √ d. √ g. √ j. - √ m. - √ p. √ b. - √ e. √ h. - √ K. √ n. √ q. - √ c. - √ f. √ i. √ l. - √ o. √ r. √ a. √ d. √ g. √ j. - √ m. - √ p. √ b. - √ e. √ h. - √ K. √ n. √ q. - √ c. - √ f. √ i. √ l. - √ o. √ r. √ III. Expresa las siguientes potencias en forma de III. Expresa las siguientes potencias en forma de radical. radical. a. 21/4 d. 84/5 g. 61/2 j. 73/4 b. 51/3 e. 41/5 h. 43/2 k. xy2/3 c. 52/3 f. m5/6 i. 31/6 l. m1/n IV. Expresa las siguientes raíces en forma de potencia (exponente fraccionario) a. √ d. √ g. √ j. √ b. √ e. √ h. √ k. √ c. √ f. √ i. √ l. √ a. 21/4 d. 84/5 g. 61/2 j. 73/4 b. 51/3 e. 41/5 h. 43/2 k. xy2/3 c. 52/3 f. m5/6 i. 31/6 l. m1/n IV. Expresa las siguientes raíces en forma de potencia (exponente fraccionario) a. √ d. √ g. √ j. √ b. √ e. √ h. √ k. √ c. √ f. √ i. √ l. √