13/09/12 eXe AVISO: Esta página ha sido generada para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces externos a otras páginas no serán funcionales. Tema 3. Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos cualesquiera UN PROBLEMA DE CONSTRUCCIÓN En la isla griega de Samos, aproximadamente 500 años antes de nuestra era, fue construido un acueducto con objeto de llevar agua a la ciudad y cubrir las necesidades de la creciente población. Parte de este acueducto es un túnel que atraviesa una colina de piedra caliza, que resultaba imposible evitar. Lo interesante de este túnel es que su perforación se llevó a cabo simultáneamente Isla de Samos public dom ain por ambos extremos, encontrándose las cuadrillas de trabajo en medio de la montaña. ¿Cómo supieron donde empezar a excavar y en que dirección, para que así sucediese? Olvidándonos de algunos detalles, el problema consiste en determinar la recta entre dos puntos, A y B, cuando hay un obstáculo, en este caso una montaña, que se interpone entre los dos El problema lo podemos resolver mediante un triangulo, si contamos con un punto C desde el cual podamos medir distancias a A y a B, así como el ángulo formado por las rectas AC Y BC 1. Teorema del seno https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 1/17 13/09/12 eXe Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los ángulos. Esta relación es conocida como teorema del seno Billare s lice ncia C re ative C om m ons Teorema del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos Sitúate con el ratón sobre cualquiera de los vértices del triángulo, pínchalos y muévelos. Observarás que varían los valores de los ángulos y de los lados pero que los cocientes coinciden en el resultado Please install Java 1.4 (or later) to use this page. De un triángulo sabemos que: c = 5 m, C = 45° y A = 100°. Calcula el lado a Utilizamos el teorema del seno https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 2/17 13/09/12 eXe DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO Pincha la flecha para seguir la demostración El teorema del seno ¿se cumple también en los triángulos rectángulos? Si porque al tener un ángulo de 90º que son la definición de seno en ambos ángulos 1.1. Problemas Teorema Seno https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 3/17 13/09/12 eXe Resuelve el triángulo del que se conocen los datos siguientes A=67º; B=53º; a=25cm. Rellena los espacios resolviendo el triángulo del que cononocemos el lado a=12 m. y los ángulos A= 40º y B=75º Ajusta la medida de los lados a metros (sin decimales) El ángulo C mide º, el lado b mide aproximadamente m. y el lado c aproximadamente m. 2. Teorema del coseno https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 4/17 13/09/12 eXe El teorema del coseno relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. Ex po Zaragoza 2008 Elaboración propia Teorema del Coseno En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los lados por el coseno del ángulo opuesto a ese lado. Sitúate, en la figura siguiente, con el ratón sobre los vértices del triángulo, pínchalos y muévelos. Observarás que varían los valores de los ángulos y de los lados pero coincide el valor del lado en el triángulo y el resultado de la formula Please install Java 1.4 (or later) to use this page. https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 5/17 13/09/12 eXe Halla el lado c del triángulo en el que se conocen los siguientes datos: a=5 m. b=4 m. C=47º Aplica el teorema del coseno para obtenerlo DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO Pincha la flecha para seguir la demostración En el caso de que uno de los ángulos mida 90º: el teorema del coseno coincide con el teorema de Pitágoras Verdadero Falso Si colocamos uno de los vértices dentro del lado opuesto: El teorema del coseno se convierte en diferentes expresiones del cuadrado de una suma o de una resta. Verdadero Falso https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 6/17 13/09/12 eXe 2.1. Problemas Teorema Coseno Calcula el lado c en el triángulo del que se conocen los lados a=5cm. y b=4cm y el ángulo C=47º. c²=a²+b²-2ab cos C → c²=41-40·0,61819=13,72 →c=3,7 En una circunferencia de radio 6 trazamos una cuerda de BC de 7 cm. ¿Cuánto mide el ángulo central α que determinan sus extremos? → α=71,37º → α=71º22'14.4'' 3. Resolución de triángulos cualesquiera https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 7/17 13/09/12 eXe La triángulación como método para calcular distancias y superficies El método de la triangulación para calcular las distancias se remonta a la antigüedad. En el Antiguo Egipto esta técnica ya era conocida a principios del II milenio a. C. Herón de Alejandría (siglo I), determina la longitud de una distancia triangulando y utiliza un instrumento que se conoce como el dioptra de Herón. En China, Pei Xiu (224-271), en el quinto de sus seis principios, identificó la medición de los ángulos rectos y agudos para un Triangulation 16th ce ntury dom inio público adecuado trazado de mapas, necesario para establecer con precisión las distancias; mientras que Liu Hui (c. 263) da una versión de el cálculo anterior, para la medición de las distancias perpendiculares a lugares inaccesibles. Los métodos de triangulación utilizados por los agrimensores se introdujeron en la España medieval a través de varios tratados árabes sobre el astrolabio, aunque dichos métodos parecen haber llegado lentamente al resto de Europa. El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, triangulando en 1579 la isla de Hven. Lo emplearon los ingleses William Cunningham Cosmographical Glasse (1559), Valentine Leigh Treatise of Measuring All Kinds of Lands (1562), William Bourne Rules of Navigation (1571), Thomas Digges Geometrical Practise named Pantometria (1571), y John Norden Surveyor's Dialogue (1607). 3.1. Conocidos tres lados https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 8/17 13/09/12 eXe Resuelve un triángulo conociendo dos lados b=5 y c=7 y el ángulo opuesto al primer lado a B=40º Utilizamos el teorema del coseno para los tres ángulos Comprobaremos que la suma de los tres ángulos da 180º Resuelve un triángulo conocidos los tres lados a=6,04 , b=8,42 , c=7 Rellena los recuadros con los valores correspondientes Ajusta la medida de los ángulos a grados (sin decimales) Los águlos del triángulo son: A= º B= º y C= º https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 9/17 13/09/12 eXe 3.2. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Resuelve un triángulo conociendo dos lados b=5 y c=7 y el ángulo opuesto al primer lado a B=40º Estamos ante un caso con dos soluciones posibles b²=a²+c²-2ac·cos a²-10,742a+24=0 https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 B → 25=a²+49-2a·7·0,7660 → 10/17 13/09/12 eXe Caso1 Si tomamos a=7,52 C=180-4075,56= 63,44º Caso2 Si tomamos a=3,2 C=180-4034,28=115,57º Resuelve un trángulo conocidos los tres lados a=16, c=24, A=40º Rellena los recuadros con valores correspondientes los Los ángulos del triángulo son: Para el primer caso (lado b mayor) b= B= º y C= º Para la segunda solución (C ángulo obtuso) b= B= º y C= º 3.3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 11/17 13/09/12 eXe Resuelve un triángulo conociendo dos lados b=9 y c=10 y el ángulo comprendido A=80º Calculamos primero el lado a, y después los otros ángulos https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 12/17 13/09/12 eXe Resuelve un triángulo conocidos los tres lados a=4,1 , b=5 , C=50º Rellena los recuadros con los valores correspondientes. Trabaja con aproximaciones de un decimal Los ángulos del triángulo son: A= º y B= º y el lado c= 3.4. Conocido un lado y dos ángulos https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 13/17 13/09/12 eXe Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: a=20 m. A=46º B=70º Calcula el ángulo C y utiliza el teorema del Seno para calcular los lados a y b Resuelve un triángulo conocido un lado a=28 cm., y dos ángulos B=36º y C=69º Rellena los recuadros con los valores correspondientes. Aproxima los resultados a números enteros El ángulo A mide º, y los lados b= cm. y c= cm. 4. Problemas trigonométricos https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 14/17 13/09/12 eXe C onstrucción túne l m ate rial Junta de Andalucía La trigonometría en los tiempos modernos En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 15/17 13/09/12 eXe A y B son dos picos de dos montañas inaccesibles. Desde dos puntos C y D, separados 400 m, en el llano que hay entre las montañas se han podido medir los ángulos ACD = 65º, BCD = 44º, BDC = 58º y ADC = 46º. ¿Cuál es la distancia entre los picos de las dos montañas? Necesitamos calcular AB, para ello resolvemos AC en el triángulo ACD y CB en el triángulo CDB: En los dos casos aplicamos el teorema del seno. En el triángulo ABC para calcular la distancia pedida AB utilizamos el teorema del coseno. Triángulo ACD Triángulo BCD Triángulo https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 ABC 16/17 13/09/12 eXe Las rectas tangentes a dos circunferencias de radios 10 y 4 m. forman un ángulo de 32º. ¿Cuáles son las distancias d y d', entre sus puntos de contacto en cada circunferencia? El triángulo AED es rectángulo en E → ED= En el triángulo EE'D comprendido α 32º conocemos ED y E'D y el ángulo Por el teorema del coseno d²=ED²+ED'²-2·ED·E'D·cos 32º → d²=369 → d=19,2 m. Igualmente se calcula d' d'=7,7 m. Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo largo de este tema. * Ejercicios de consolidación * Soluciones https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630 17/17