resumen de la geometría de la recta. ejercicios resueltos.

RESUMEN DE LA GEOMETRÍA DE LA RECTA.
EJERCICIOS RESUELTOS.
Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables.
Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus
puntos, un punto y su pendiente.
La pendiente de una recta corresponde a la variación de la Y dividida par a la variación en X la cual
corresponde a la ecuación:
.
Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene
pendiente positiva.
Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha , se dice que esta recta tiene
pendiente negativa.
Cuando la recta es horizontal, la pendiente de la recta es 0.
Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no está definida.
Recordar además que la pendiente al estar asociada a la inclinación de la recta respecto al eje “x”,
se puede calcular como:
m  tan  donde θ es el ángulo que forma la recta con el eje “x”
La ecuación que se utiliza en la geometría analítica es la ecuación general:
Ecuación General de la Recta
Ecuación de la Recta (vertical)
Ecuación de la Recta (horizontal)
Ecuación de la Recta (punto-pendiente)
Ecuación de la Recta (punto-punto)
y  y1 
y2  y1
x  x1 
x2  x1
EJERCICIO: Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una
pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
Distancia entre puntos
Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual
es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus
respectivos ejes los catetos, y la hipotenusa la distancia final.
- La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto está dada por:
Punto Medio de una recta
Rectas Paralelas
Ambas rectas tienen la misma pendiente.
Rectas Perpendiculares
Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1
Angulo entre Rectas
Mediatriz
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio
Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento.
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo #1
Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10).
12x  16y  84  0
Ejemplo #2: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(5,-7) y que es paralela a
6x+3y=4
Ecuación de la pendiente partir de los coeficientes de la ecuación general de la recta:
m
A
B
m
6
3
Tenemos que la pendiente
Como nuestra recta es paralela a la recta dada, tiene la misma pendiente, y como conocemos un punto de
nuestra recta, podemos utilizar la fórmula de la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto:
y   7  2x  5
y  7  2 x  10
2x  y  3  0
Ejemplo #3: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3)
Primero encontramos el valor de la pendiente:
Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuación de la recta
y 2  x 3
0  x  y 1
x  y 1  0
Ejemplo #4: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3)
Primero encontramos el valor de la pendiente:
Entonces:
Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuación de la recta
3 y  9  2 x  16
0  2x  3 y  7
2x  3 y  7  0
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 3, para eliminar el denominador:
Ejemplo #5: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une
los puntos (4, 1)) y (-2, 2).
Como nuestra recta es paralela a la recta dada, sus pendientes son iguales:
Conociendo la pendiente de nuestra recta y un punto:
6 y  18   x  2
x  6 y  16  0
Ejemplo #6: Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su
vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del
vértice C.
Esto quiere decir que el vértice C está sobre la recta 2x – 4y + 3 = 0, por lo que debe cumplir con
su ecuación:
(I)
Como el triángulo es isósceles, la distancia AB tiene que ser igual a BC
Planteando la fórmula de estas distancias:
Eliminando las raíces, resolviendo los binomios al cuadrado y uniendo términos semejantes:
( II )
De esta forma obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con I y II. Al resolver el
mismo obtenemos las coordenadas del punto C que buscábamos:
Ejemplo #6: La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta
s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.
Como el punto A pertenece a la recta r, debe satisfacer su ecuación, por lo tanto reemplazamos
sus coordenadas en la ecuación de r:
Por lo tanto la ecuación de la recta r quedaría:
3x  y  7  0
La pendiente de la recta r sería:
mr  
A
B
mr  
3
3
(1)
Como r y s son paralelas, sus pendientes son iguales:
La pendiente de la recta s quedaría planteada:
ms  
m
2

m
3
2
m  6
Ejemplo #6: Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de
la mediana que pasa por el vértice C.
La mediana es la recta notable que une al vértice con el punto medio de su lado opuesto. Por lo tanto la
mediana que buscamos pasa por el punto medio del lado AB y el vértice C:
Calculamos el punto medio del lado AB:
Conociendo las coordenadas del punto medio y del vértice, aplicamos la fórmula de la ecuación de la
recta conocidos dos puntos:
y  y1 
y2  y1
x  x1 
x2  x1
Reemplazando:
y4
04
x  4
24
4
x  4
2
y  4  2x  4
y  4  2x  8
2x  y  4  0
y4