Definir una función lineal del tipo y = ax o f(x) = ax ¿Qué elementos

Definir una función lineal del tipo y = ax
o f(x) = ax
¿Qué elementos necesitaremos para definir una función lineal, es decir, para
comprenderla completamente?
I. Definir una función lineal de forma analítica
Vamos a trabajar con funciones del tipo f(x) = ax (también se pueden expresar así: y = ax),
donde a es un valor constante, llamado coeficiente de la función. Por lo tanto, nuestro
objetivo consistirá en encontrar un valor para el coeficiente a que nos permita escribir la
función según la estructura que acabamos de describir.
Encontrar el valor de a consiste en calcular cuál es el número que aplicado a la x hace que
obtengamos un valor concreto para la y.
1. Calcular el coeficiente si nos dan un valor de y distinto de cero
Ejemplo: queremos calcular la función lineal (del tipo f(x) = ax o y = ax) que transforma el
valor 12 en 44. En otras palabras, buscamos el valor del coeficiente a que nos permita
escribir la forma general de la función que hace que y = 44, cuando x = 12.
Si sustituimos el valor 12 en la variable x, la función toma este aspecto y = a · 12. Como
sabemos que cuando x = 12, y = 44, entonces: 44 = a ·12 y despejando:
, que
simplificando nos queda:
.
Por lo tanto, ya tenemos el valor del coeficiente a que nos va a permitir escribir la función
que convierte el valor 12 de x en el valor 44 de y.
La función lineal es:
o
2. Un caso de proporcionalidad
Ejemplo 1: un automóvil viaja a una velocidad constante de 110 km/h. Queremos demostrar
que la distancia recorrida (en km) por el coche es una función lineal del tiempo (en horas),
y además deseamos escribir dicha función.
Primero comenzaremos recordando la ecuación física que calcula el espacio recorrido por
un móvil que se mueve con velocidad constante: d = v · t, donde d es el espacio recorrido, v
la velocidad y t el tiempo empleado. En este caso, v = 110 km/h, por lo tanto, podemos
escribir que d = 110 · t o d = 110t (d en kilómetros y t en horas). Por consiguiente, la
función que relaciona el tiempo transcurrido con la distancia recorrida tendría la forma f(t)
= 110t.
Es decir, se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 110, la velocidad del automóvil.
Ejemplo 2: un comerciante decide rebajar un 30% todos los artículos que tiene en su tienda.
Pero quiere comprobar que el precio rebajado es una función lineal del precio original y
además también desea calcular y escribir la forma que tendría esta función.
Llamaremos x al precio original de un artículo. El precio rebajado debería ser:
Si sacamos factor común a x:
.
Por consiguiente, la función que transforma el precio original en precio rebajado es: f(x) =
0,7x o y = 0,7x. Se trata de una función lineal y su coeficiente es 0,7.
Ejemplo 3: vertemos agua en el interior de un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 8 cm de
diámetro. Queremos comprobar que la función que transforma el nivel del agua en el vaso,
h (en cm), en volumen de agua (en cm3) es una función lineal. Así mismo queremos
calcular la función.
Comenzaremos recordando que el volumen V de un cilindro de radio r y altura h viene dado
por la fórmula:
V = r2h.
El diámetro del cilindro es de 8 cm, por lo que su radio es de 4 cm.
Así, cuando el nivel del agua ha alcanzado los h cm de altura, el volumen del líquido en el
interior del vaso viene dado por V =
× 42 × h = 16 h.
Por consiguiente, la función que transforma la altura del agua en volumen de agua viene
dada por la siguiente expresión: f(h) = 16 h o y = 16 h.
Se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 16 .
II. Definir una función lineal a partir de una gráfica
Ejemplo: queremos calcular la función lineal representada en la figura mediante la recta D.
Observando e interpretando la gráfica, podemos calcular las coordenadas de un punto M
cualquiera —que no sea el origen— perteneciente a la recta D. En este caso, las
coordenadas de M son (–5, 3).
Llamemos y = ax a la función lineal que deseamos calcular. El punto M pertenece a la recta
que representa dicha función. Es decir, que si sustituimos las coordenadas del punto M en la
función, tendríamos que: 3 = a · (-5), “…cuando le damos a x el valor -5, la y adquiere el
valor 3”. Si despejamos obtenemos el coeficiente:
Por lo tanto, la función lineal que buscamos es: y = – 0,6x o f(x) = – 0,6x. Aunque también
la podemos expresar así:
Ver artículo Representación gráfica de una función lineal.