Ax + By + C = 0

MATEMATICAS III
DOCENTE: MARICELA SANCHEZ CLEMENTE
RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES y OBLICUAS
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE DOS RECTAS
Al resolver problemas de geometría analítica, a veces se requiere establecer si dos rectas
son paralelas o perpendiculares entre sí.
1. Las rectas paralelas son aquellas que tienen la misma dirección y tienen la misma
distancia entre ellas y nunca se juntan.
En Geometría Analítica dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes es el
mismo (m1 = m2), así también sus ángulos de inclinación son iguales.
Por ejemplo:
La recta L1 pasa por los puntos (4, 5) y (-4,-3), mientras que la recta L2 pasa por los
puntos (5,2) y (-2, -5).
-
Determinamos la pendiente de las dos rectas utilizar la fórmula ya establecida
𝒚
𝒚
para la pendiente de una recta: 𝒎 = 𝒙 𝟐−−𝒙𝟏
𝟐
𝟏
Línea recta 1 (4,5) y (-4,-3)
−3−5
𝑚1 = −4−4 =
−8
−8
aplicar reglas de signos menos entre menos igual a más 𝑚1 = 1
Línea recta 2 (5,2) y (-2,-5)
−5−2
𝑚2 = −2−5 =
−7
−7
aplicar reglas de signos menos entre menos igual a más 𝑚2 = 1
- Ahora comprobaremos que sus ángulos de inclinación son iguales utilizar la
fórmula de ángulo de inclinación: ∝ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒎
Línea recta 1, ángulo alfa: 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (1) = 45°
Línea recta 2, ángulo beta 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 (1) = 45°
Entonces concluimos que L1 y L2 son dos rectas paralelas y las representamos en el
plano cartesiano.
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2. Las rectas son perpendiculares si al intersectarse se forman ángulos de 90°.
En Geometría analítica dos rectas son perpendiculares si el valor de sus pendientes
son diferentes (m1 ≠ m2) y al multiplicarlas es igual a -1 (m1m2 = -1).
La recta L1 pasa por los puntos (-4,2) y (4,-1), mientras que la recta L2 pasa por los
puntos (6,-5) y (-3, -29).
-
Determinamos la pendiente de las dos rectas utilizar la fórmula ya establecida
𝒚
𝒚
para la pendiente de una recta: 𝒎 = 𝒙 𝟐−−𝒙𝟏
𝟐
𝟏
Línea recta 1 (-4,2) y (4,-1)
−1−2
𝑚1 = 4−(−4) =
−3
8
aplicar reglas de signos menos entre más igual a menos
3
𝑚1 = − 8
Línea recta 2 (6,-5) y (-3,-29)
𝑚2 =
−29−(−5)
−3−6
=
−24
−9
aplicar reglas de signos
simplifica a la mínima expresión 𝑚2 =
24
9
menos entre menos igual a más y se
8
=3
3
8
24
Por lo tanto si multiplicamos m1m2 = -1 → (− 8) (3) = − 24 = −1
Entonces concluimos que L1 y L2 son dos rectas perpendiculares y las representamos en
el plano cartesiano.
3. Las rectas oblicuas son todas aquellas que se cruzan en cualquier punto.
En Geometría Analítica dos rectas son oblicuas si el valor de sus pendientes son
diferentes (m1 ≠ m2).
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MATEMATICAS III
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- Determinamos la pendiente de las dos rectas utilizar la fórmula ya establecida
para la pendiente de una recta: 𝒎 =
𝒚𝟐− 𝒚𝟏
𝒙𝟐 −𝒙𝟏
Línea recta 1 (-5,4) y (7, -6)
−6−4
𝑚1 = 7−(−5) =
10
−10
12
aplicar reglas de signos menos entre más igual a menos
5
𝑚1 = − 12 = − 6
Línea recta 2 (-8,-3) y (2,3)
3−(−3)
𝑚2 = 2−(−8) =
6
10
aplicar reglas de signos más entre más igual a más y se simplifica a la
mínima expresión 𝑚2 =
24
9
𝟓
8
=3
𝟖
Por lo tanto m1 ≠ m2 → − 𝟔 ≠ 𝟑
Entonces concluimos que L1 y L2 son dos rectas oblicuas y las representamos en el plano
cartesiano.
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
1. Se tiene que la recta r1 pasa por los puntos A(1,-3), B(-3, 11) y la recta r2 por P(3,13),
Q(-1,5). Determina si r1 y r2 son paralelas, perpendiculares o se cortan oblicuamente.
2. La recta r1 pasa por los puntos A(4,-5), B(-5, 13) y la recta r2 por P(6,7), Q(-4,2).
Determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o se cortan oblicuamente.
AHORA DE TOCA PROPONER EJERCICIOS QUE DEMUESTREN
RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES Y OBLICUAS COMO EN
LOS EJEMPLOS ANTERIORES.
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LA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
ECUACION GENERAL DE LA RECTA: Ax + By + C = 0
Se llama línea recta no vertical al lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos
puntos diferentes, el valor de la pendiente siempre es constante.
Esta definición nos permite determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos
de sus condiciones geométricas, por ejemplo, su pendiente y uno de sus puntos, o dos de
sus puntos.
RECTA DETERMINADA POR UNO DE SUS PUNTOS Y SU PENDIENTE.
a) Punto-pendiente cuando se conocen un punto y la pendiente
m= pendiente
P(x1 , y1)
y
y – y1 = m (x – x1)
Por ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,-5) y cuya
pendiente es 3. Escribe la ecuación en la forma punto- pendiente y transformar a la
ecuación general de la recta Ax + By + C = 0. Realizar la representación gráfica.
SOLUCIÓN
Datos :
P(4,-5) y m = 3
Fórmula:
y – y1 = m (x – x1)
Sustitución: y –(-5) = 3 (x-4)
y + 5 = 3x - 12
Ahora transformemos y + 5 = 3x – 12 a la ecuación general de la recta.
En este caso como el término que tiene la “x” esta positivo a la derecha del signo de
igualdad (El término “Ax” siempre debe ser positivo), por lo que procedemos a trasladar
los términos que se encuentran del lado izquierdo del signo de igualdad a la derecha
(cambiando de signo o aplicando el inverso aditivo) para igualar a cero.
y + 5 = 3x -12
→ 0 = 3x – 12 – y – 5 → 3x – y - 17 = 0
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MATEMATICAS III
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se ordena la expresión resultante primero el término con “Ax”, el segundo el término
con “By”, y el tercer término independiente “C” para que quede en la forma de la
ecuación general de la recta
Ax +By+ C = 0 → 3x – y - 17 = 0
Nota: En el caso que el término “Ax” sea negativo a la derecha del signo de
igualdad, entonces los términos de la derecha se trasladan a la izquierda
del signo de igualdad cambiando de signo como ya se mencionó, esto para
que “Ax” quede positivo.
Enseguida realicemos la representación gráfica de la ecuación 3x –
y – 17 = 0, con el P(4, -5) y m = 3
-
-
Primero se ubica el punto (4, -5)
En segundo lugar la pendiente 3, hay que recordar que m= 3/1, para el tres se
cuentan tres unidades sobre eje vertical y el uno queda representado en el eje
horizontal (recordar que el segmento que une los puntos es la diagonal del
cuadrilátero)
En tercer lugar unimos los puntos que representa la línea recta.
(5,-2)
(4,-5)
Nota: en este caso como la pendiente es negativa la línea recta va hacia
arriba creciendo.
Cuando la pendiente sea negativa la línea recta lleva la dirección hacia
abajo decreciendo.
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ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN
b) Pendiente-ordenada en el origen: m = pendiente y b = ordenada al origen
Si una recta de pendiente “ m” corta al eje “y” en el P(0,b), de acuerdo con la ecuación
de la forma punto-pendiente tenemos que:
y – y1 = m (x – x1)
donde y1 = b
y x1= 0. Por consiguiente:
y – b = m(x -0)
y – b = mx
Al resolver (despejar) para “y” resulta:
y = mx + b
La ordenada “b” recibe el
cuando x = 0
nombre de
ordenada al origen o intersección en “y”
POR EJEMPLO:
Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada al origen es -7.
Escribir la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen y el resultado
transformarlo a la ecuación general de la línea recta Ax + By + C = 0. Realizar la
representación gráfica.
SOLUCIÓN
Datos :
m=4
Fórmula:
y = mx + b
b= -7
Sustitución: y = 4x + (-7)
y = 4x -7
Ahora transformemos y = 4x – 7 a la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0
Como el término “Ax” es positivo a la derecha del signo de igualdad entonces
trasladamos a el término By = y con signo contrario a la derecha del signo de igualdad
para igualar a cero: 4x – y – 7 = 0 está es la ecuación general de la línea recta.
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MATEMATICAS III
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Enseguida realicemos la representación gráfica de la ecuación 4x –
y – 7 = 0, con el m = 4 y b = -7
-
-
Primero se ubica la ordenada al origen o intersección en “y” (0,b) = (0, -7)
En segundo lugar la pendiente 4, hay que recordar que m= 4/1, para el cuatro se
cuentan cuatro unidades sobre eje vertical y el uno queda representado en el
eje horizontal (recordar que el segmento que une los puntos es la diagonal del
cuadrilátero)
En tercer lugar unimos los puntos que representa la línea recta.
(1,-3)
4
(0,-7)
Nota: en este caso como la pendiente es negativa la línea recta va hacia
arriba creciendo.
Cuando la pendiente sea negativa la línea recta lleva la dirección hacia
abajo decreciendo.
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS APLICANDO LA FORMULA
DE PUNTO-PENDIENTE Y PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN
COMO LOS EJEMPLOS ANTERIORES, PARA AGREGAR AL
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS.
1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4,5) y cuya pendiente es 2.
2. Encuentra la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y ordenada al origen igual a -5.
3. Determina la ecuación de la recta de pendiente -3 y ordenada en el origen igual a 7.
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MATEMATICAS III
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4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-5,1) y cuyo valor de la pendiente
es 7.
5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-3, -2) y cuyo valor de la
pendiente es – 2/3.
En este caso al sustituir la ecuación de punto-pendiente y – y1 = m (x – x1)
𝟐
𝒚 − (−𝟐) = − [𝒙 − (−𝟑)]
𝟑
𝟐
𝒚 + 𝟐 = − [𝒙 + 𝟑)]
𝟑
Para quitar el “3” este multiplica con los términos de la izquierda del signo de igualdad.
𝟑(𝒚 + 𝟐) = −𝟐[𝒙 + 𝟑]
3y+6 = -2x -6
En este caso como se puede observar el término “Ax” es negativo, entonces para que
quede positivo se tiene que trasladar a la izquierda del signo de igualdad y también el
término “C” a ambos se les cambia el signo.
3y + 6 = -2x -6
2x + 6 + 3y + 6 = 0
Se ordenan los términos primero el término Ax = 2x , el segundo término By = 3y y el
tercer término la suma de C = 6 + 6 = 12.
2x + 3y + 12 = 0
Entonces la ecuación de la línea recta Ax + By + C = 0 es igual 2x + 3y + 12 = 0
6. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto R(-4, 5) y cuyo valor de la pendiente
es – 4/5.
7. Halla la ecuación de la recta que cuya pendiente es igual a – 7/3 y ordenada al origen
5.
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