DERIVADAS Concepto geométrico geometría,

DERIVADAS
Concepto geométrico
En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de
la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la
tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las
abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir,
provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El
coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto
(razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos
dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la
aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está
dibujada en rojo).
Definición analítica de derivada como un límite
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una
cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x".
En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto
como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula
determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos
vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la división
representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la gráfica, es
un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la
tangente en el punto 'P' de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triangulo
rectángulo formado en la grafica con vértice en el punto 'P', por mucho que lo
dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el resultado de (dx /dy) es
siempre el mismo.
Esta definición, que es laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los cuatro
pasos, constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento
a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de
manera simultánea.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier
punto de su dominio de la siguiente manera:
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la de la tangente
ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de h, en la cual es posible
cancelar siempre el factor " x - h " en lugar de solo h. El aspecto de este límite está
relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente
acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con
cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo
resultado. El estudiante debe utilizar el que le resulte más conveniente.
En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a (varios autores
prefieren utilizar la notación "xo" en lugar de a) se define como sigue:
si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión
coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en
cinemática.
Derivada de una potencia real[editar · editar fuente]
Una función potencial con exponente real se representa por
derivada es
y su
.
Por ejemplo tomemos la función:
Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique
a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se
le resta la unidad formando uno nuevo, así:
Quedando finalmente:
Derivada de una constante por una función
Cuando una función esté representada por medio de
equivale a
, su derivada
de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función:
, lo primero a hacer es "bajar" al
exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se
halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:
Para obtener
Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada
será el valor de la constante:
Entonces su derivada con respecto a esta variable será:
Puesto que
Derivada de una suma
Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma
de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.
Es decir,
o
.
Como ejemplo consideremos la función
, para determinar su
derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la
derivada de la función:
Derivada de un producto
La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el
producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el
producto de la derivada de la primera función por la segunda función"
Y matemáticamente expresado por la relación
Consideremos la siguiente función como ejemplo:
Identificamos a
y
anteriormente expuestas, vemos que:
.
, utilizando las reglas
y que
Por lo tanto
Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:
Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:
Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la
misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se
tratara de una tercera función es decir
en
donde
(sin importar que dos funciones escogemos).
Derivada de un cociente
La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:
Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir
así:
Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador
por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por
la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al
cuadrado".
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que
tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho
anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:
Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el
denominador que en este caso es
numerador que seria
y se multiplique por la derivada del
; luego la segunda parte dice que tomemos la función
del numerador (
) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de
que seria
, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:
,
Ahora todo es cuestión de simplificar:
Regla de la cadena
La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de
dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la
cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas
de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es
o escrito en notación de Leibniz
Otras reglas
Funciones inversas y diferenciación
Si
,
entonces
y si
,
y su inversa
son diferenciables,
entonces
para los casos en que
y cuando
,
Derivada de una variable con respecto a otra cuando
ambas son funciones de una tercera variable
Sea
y
.
entonces
Diferenciación implícita
Si
es una función implícita,
se tiene que:
Derivada de un logaritmo
Como
,
también
se
así:
Derivada de un logaritmo neperiano
puede
expresar
Ejemplos de derivadas logarítmicas
1.
2.
3.
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
4.
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
5.
6.
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas
REGLA DE LA CADENA
Descripción algebraica[editar · editar fuente]
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que
si
es diferenciable en
y
es una función diferenciable en
compuesta
es diferenciable en
, entonces la función
y
Notación de Leibniz
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:
donde
indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
Ejemplo algebraico
Por ejemplo si
función derivable de
es una función derivable de
entonces
y si además
es una función derivable con:
es una
o también
Ejemplo 1
y queremos calcular:
Por un lado tenemos:
y
si:
entonces:
Si definimos como función de función:
resulta que:
con el mismo resultado.
Ejemplo 2
Tenemos
la cual se puede definir como función
compuesta. Si desglosamos la función
compuesta quedaría:
, cuyas derivadas serían:
Con la regla de la cadena,
esto sería:
Los cuales corresponden
a las derivadas
anteriormente extraídas.
Se reemplazan
las letras b y c
por sus valores
NO derivados, no
confundir.
Y luego se
obtiene la
derivada.
FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL
Estas funciones son del tipo:
Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:
.
.
.
.
.
Derivar tomando logaritmos:
.
.
.
.
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas I
A. Calcula las derivadas de las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B. Calcula mediante la fórmula de la derivada de una
potencia:
1
2
3
4
5
6
7
C. Calcula mediante la fórmula de la derivada de una
raíz:
1
2
3
D. Deriva las funciones exponenciales
1
2
3
4
5
E. Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:
1
2
3
4
5
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas II
A. Calcula la derivada de la funciones trigonométricas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B. Calcula la derivada de la funciones trigonométricas
inversas:
1
2
3
4
5
C. Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
D. Deriva las funciones potenciales-exponenciales:
1
2
3
E. Hallar las derivadas sucesivas de:
1
2
3
4
F. Derivar implícitamente:
1
2
G. Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4