Función Seno ( Sen)

Funciones trigonométricaS:
Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de la medida delos
ángulos y sus relaciones una función f(x) es la regla o formula que se asocia
cada punto de un conjunto de puntos con otro de un grupo distinto de puntos el
primer conjunto de puntos se conoce como dominio y el segundo se denomina
condominio o rango la regla que asocia al dominio con el condominio es una
razón trigonométrica se encuentran la relación seno, coseno y tangente así
como sus respectivas inversa las relación cosecante, secante y cotangente en
ese orden las letras minúsculas son las que utilizamos en las funciones
trigonométricas las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para
referirnos a los angulos del Triángulo.
Empezaremos a ver cada una de las Funciones:
1. Función Seno ( Sen):
La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto
sobre la
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
2. Función Coseno ( Cos):
La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre
hipotenusa.
Su simbología es la siguiente:
3. Función Tangente ( Tan):
Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre la
Hipotenusa.
4. Función Cotangente ( Cot):
Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
5. Función Secante ( Sec):
Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:
6. Función Cosecante ( CsC):
Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:
EJEMPLO 1
Una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de elevación de
20°. 4 segundos después escucho el sonido estando a 20m de distancia. ¿A
qué altura exploto el cohete?
Primeramente, sabemos que el triángulo tiene un ángulo de 90°, otro de 20°,
por ende el tercer ángulo mide 70° ¿Por qué?
Ya teniendo el ángulo, usaremos la fórmula para saber la altura. En este caso,
usamos la fórmula de la tangente, pues del triángulo mencionado, vamos a
usar los dos catetos, que vendrían siendo el cateto adyacente (20m) y el cateto
opuesto (altura) siendo la tangente los 20° que la persona vio de elevación el
estallido.
Como Altura está arriba y no puede dividirse por 20m, pasa multiplicando, y
queda:
La altura del cohete al explotar fue de 7.27m
EJEMPLO 2
Un hombre deja su carro fuera de un edificio, sube al último piso del edificio
que mide 15m de alto y ve su auto con una inclinación de 50° ¿A cuántos
metros dejo su automóvil del edificio, y a que distancia se ve desde el edificio?
Para saber la distancia del auto al edificio viéndolo desde arriba, se usa la
tangente.
Del auto al edificio son 12.58m de distancia. Ahora veremos la distancia que
hay de la persona situada arriba, hasta el auto. Sacaremos el valor de la
Hipotenusa. Se puede sacar por 2 métodos ya antes vistos, por el método del
Teorema de Pitágoras, o por las funciones trigonométricas del Teorema de
Pitágoras. Veré por los 2 métodos.
Función trigonométrica del Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Los dos quedan iguales con 1 decimal de diferencia. Y el triángulo queda:
Calculo de los valores
http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/01/07/funciones-trigonometricas-en-elteorema-de-pitagoras-ejemplos/
Sistema sexagesimal y circular
*Sistema sexagesimal: al seleccionar cada uno de los ángulos agudos en 60
partes iguales se tiene la unidad básica de medida sexagesimal de un ángulo la
cual se conoce como grado si se divide un grado en 60 partes iguales cada una
de ellas se conocerá como minuto y si se divide un minuto en 60 partes iguales
se tendrá una unidad conocida como segundo este tipo de sistema se llama
sexagesimal porque sus fracciones se representan tomando como base el
núm. 60 tal como sucede en el sistema decimal cuyas unidades están basadas
en el núm. 10 el ángulo mide 20.64ºpara expresar esta cantidad en grados
minutos y segundos procederemos de la siguiente manera la parte entera que
corresponde a los grados es la unidad de medida de los ángulos por lo que no
requiere ser expresada en otra unidad se debe buscar la equivalencia en
minutos (`) de la parte decimal es decir 0.64º para esto se aplica la regla de
tres
1º
60` entonces x=0.64x60=38.4
0.64º
(minutos)
Por lo tanto es equivalente a 34.8º la parte entera ya está expresada en una
unidad deseada es decir 34` es por esto que se desea conocer la equivalencia
en segundos de la parte decimal nuevamente por la regla de tres se tiene
X=0.8 x 60 =48`` (segundos)
Entonces 0.8` equivale a 48`` (segundos) el resultado de esta última operación
no puede contener decimales una vez que se han obtenido las equivalencias
se tiene como 20.64º es igual a 20º34´48´´
En un caso contrario en que se necesita expresar 45°12´ 10´´ solamente en
grados se realiza el procedimiento inverso utilizando la regla de tres .
Ejemplo1
Realiza las siguientes sumas:
68º 35' 42'' + 56º 46' 39''
5 h 48min 50 s + 6 h 45 min 30 s + 7 h 58 min 13 s
6 h 13 min 45 s + 7 h 12 min 43 s + 6 h 33 min 50 s
Ejemplo 2
Realiza los productos:
(132° 26' 33'') × 5
(15 h 13 min 42 s) × 7
(128° 42' 36'') × 3
http://www.vitutor.com/di/m/s_e.html
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y
RECIPROCAS DE ÁNGULOS AGUDOS
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto ;los
lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado
mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto .ABC bca α θ Catetos : CA =
b CB = a Hipotenusa : AB = c Ángulos agudos : y
TEOREMA DE PITÁGORAS
AB 2 = CA 2 + C 2 c 2 = a 2 + b2
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS
α +θ = 90°
CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos ,se determinan en
un triángulo rectángulo, estableciendo la división entre las longitud es de sus
lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.
OBSERVACIÓN
Para todo ángulo agudo “θ”se cumplirá: 0 < Sen θ < 1Tgθ> 0Secθ > 10 < Cos θ
< 1Ctg θ>0Cscθ > 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS:
Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:
PROPIEDADDELASRECÍPROCAS:
El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la
unidad
Razones trigonométricas
La trigonometría, en sus inicios, se concreta al estudio de los triángulos. Por
varios siglos se ejemplos en topógrafa, navegación y astronomía.
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triangulo rectángulo,
es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:
Graphics
Los ángulos de A y B son agudos
El Angulo C es recto.
Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un
cateto y los del ángulo recto son catetos.
Considerado uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo e identificada
previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace
referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como
referencia y se encuentra enfrente de este.
Observando los siguientes triángulos:
No te sé que los lados del triángulo se representan con las dos letras
mayúscula que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas
una línea horizontal, o bien, con una sola letra minúscula.
Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo
rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.
Seno y cosecante
En un triángulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualquiera de sus ángulos
agudos (x), se expresan con las razones siguientes:
Coseno y secante
En un triángulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualquiera
de sus ángulos agudos (x) son:
Tangente y cotangente
La tangente y cotangente de cualquiera de los ángulos agudos (x) de un
triángulo se establece con las siguientes razones:
En el cuadro se resumen las seis funciones trigonométricas para cualquiera de
los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
Puede notarse que las funciones trigonométricas fundamentales y sus
reciprocas tienen invertidos sus términos.
Ejemplo1
Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de un triángulo rectángulo,
si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m.
Solución
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la
medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras.
Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de
las razones por medias sus respectivas definiciones.
Sen a =3/5
csc a=5/3
Cos a= 4/5
sec a=5/4
Tan a = ¾
cot a =4/3
Ejemplo 2
Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Halla las
razones trigonométricas del mayor ángulo agudo.
Solución
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras;
luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas
definiciones y con los datos dados y obtenidos:
8
15
http://www.google.com.mx/#sclient=psyab&q=EJEMPLOS+razones+trigonometricas+directas+y+reciprocas+de+angulos+agudos&oq=EJ
EMPLOS+razones+trigonometricas+directas+y+reciprocas+de+angulos+agudos&gs_l=hp.3...58
38.8121.3.8598.9.9.0.0.0.8.1016.4709.0j1j0j1j1j2j2j1.8.0...0.0...1c.1.14.psyab.qu3ycigXIKw&pbx=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46865395,bs.1,d.eWU&fp=4e9f51eb8aaa
a8c8&biw=1366&bih=673
Calculo de valores de las funciones trigonométricas 30˚45˚y
60˚ y sus múltiplos
La palabra “notable”• dentro de la trigonometría y la matemática en general se
la utiliza para hacer referencia a procesos o valores bien definidos y que tiene
un origen “notable” o muy particular. De ésta manera, se han definido a los
ángulos notables como aquellos que tienen valores muy específicos y que
aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Éstos ángulos son
los de 30°, 45° y 60°. Debo decir que, a pesar de no ser definidos como
notables, los siguientes valores de ángulos también forman parte de la familia,
desde mi punto de vista, me refiero a los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°,
ya que son tan comunes en los procesos cotidianos, como los primeros que
había nombrado
Para originar dos de los ángulos notables (30° y 60°), se empieza dibujando un
triángulo equilátero con su respectiva altura en el vértice C hacia el lado AB,
como muestra la figura. Se escoge un equilátero por tener sus lados iguales y
sus ángulos de 60°, así ya tendremos el ángulo de 60°. Ahora veamos cómo
surge el ángulo de 30°
El truco está en la altura CH, ya que ésta para el triángulo equilátero resulta
también ser mediana, mediatriz y bisectriz. Así que podríamos anotar lo
siguiente para CH:
1. CH es mediatriz, por lo tanto divide al segmento AB en dos partes
iguales (AH=HB=1) y además es perpendicular a AB.
2. CH es altura, de tal forma que parte del vértice C y forma dos triángulos
rectángulos AHC y BHC.
3. CH es bisectriz, por lo tanto divide al ángulo C en dos iguales de 30°
cada uno, siendo éste parte de nuestro objetivo.
Ahora es tiempo de separar nuestro nuevo triángulo que nos ayudará a
determinar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables
de 30° y 60°. Para poder continuar, deberemos encontrar el valor de la altura
CH que, según el Teorema de Pitágoras, sería raíz de 3.
El triángulo de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y
60°, está listo, y los valores de las funciones trigonométricas principales
también.
Por último nos queda escribir los valores de las funciones trigonométricas
recíprocas, es decir, de aquellas que son el “inverso multiplicativo” de las
escritas anteriormente.
Con estos valores de las funciones trigonométricas o razones trigonométricas
de los ángulos notables puedes empezar a solucionar triángulos cuyos ángulos
internos sean siempre notables (30, 45 y 60 grados).
Ejemplo1
Cálculo de las funciones seno y coseno de 36o,18o,27o,9o
Para calcular estas funciones trigonométricas de 36o se utiliza un triángulo isósceles
como el que se ilustra en la figura:
Se observa que este triángulo tiene una propiedad muy particular, la cual es que al
trazar la bisectriz de uno de los ángulos de 72o, por ejemplo B, se forman dos
triángulos isósceles, así como se ilustra en la figura que sigue:
En la figura se trazó la bisectriz del ángulo B. Aplicando el teorema de la bisectriz se
obtiene:
=
Así se deduce que:
1-x =
Si en el triángulo anterior trazamos también la bisectriz del ángulo de 108o obtenemos
los datos siguientes:
De la figura anterior se deduce:
sen 36o =
cos 36o =
=
sen 54o =
cos 54o =
Utilizando las fórmulas del ángulo medio calculamos:
sen 18o =
cos 18o =
sen 27o =
cos 27o =
sen 9o =
=
cos 9o =
Ejemplo 2
Cálculo de las funciones seno y coseno de los ángulos de 24o,12o,6o,3o
Tenemos que 54o - 30o = 24o, así:
sen24o
=
sen 54o - 30o
= sen 54o cos 30o - cos 54o sen 30o
=
+
cos 24o
= cos 54o cos 30o + sen 54o sen 30o
=
+1-
sen 12o =
=
=
cos12o
-
=
=
También se tiene que 6o = 36o - 30o y entonces :
sen 6o
= sen 36o cos 30o - cos 36o sen 30o
=
-
cos 6o
-1
= cos 36o cos 30o - sen 36o sen30o
=
+
+
2
-
+
-
2
+
+
+
Con las fórmulas del ángulo medio se obtiene:
sen3o
=
cos3o
=
Calculamos:
sen 21o =
+1
cos 21o =
sen 33o =
+1
cos 33o =
sen 39o =
+
+
+1-2
cos 39o =
2
+
-
+
-1
sen 42o =
cos 42o =
http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Contribucionesv3n1002/funcionsenoycoseno/pagina1.htm