MATEMATICAS SUPERIORES

MATEMATICAS SUPERIORES
Prólogo
A lo largo de los siglos, las matemáticas han sufrido grandes
transformaciones; desde los tiempos de los babilónicos, pasando por los
persas, griegos, hindúes, árabes, italianos hasta la matemática abstracta de la
teoría de Galois. También es notable la evolución de la ciencia y tecnología en
estos tiempos, por consiguiente y a la par viene la Matemática Superior; que
últimamente ha alcanzado unos niveles estratosféricos insospechados.
En estos tiempos, se han logrado muchos éxitos matemáticos, que en tiempos
antiguos no se sospecharía que se pudiera realizar; como por ejemplo la
demostración del Último Teorema de Fermat o la resolución de una ecuación
de quinto grado por medio de funciones hipergeométricas. Hechos de esta
magnitud, hace que uno mire a su alrededor y se dé cuenta uno mismo que
realmente son pocas las personas que dominan éste tipo de matemáticas.
Por ese motivo, me he dado a la tarea de escribir a modo de memorias, una
serie de temas que traten de explicar en forma simple (hasta donde me sea
posible) éstos tópicos que incluyen: los polinomios, la función gama y beta,
pasando por los métodos clásicos de resolución de ecuaciones de tercero,
cuarto, quinto y sexto grado (que no será una tarea fácil), también
estudiaremos algo sobre las fracciones parciales, las series hipergeométricas,
las integrales indefinidas y las formidables integrales elípticas. Así que, lo
invito a usted, amable lector, a disfrutar de estos temas, donde voy a poner
todo de mi parte en explicar en forma simple y concreta algunos avances
matemáticos, que en lo personal, han cambiado mi forma de pensar y ver el
mundo desde otro enfoque.
Sean ustedes bienvenidos.
Atentamente:
C.I. Gabriel Chié.
CAPÍTULO 1
POLINOMIOS
1.1
Antecedentes históricos.
A lo largo de la historia de la civilización, las ecuaciones polinómicas han sido las
más comúnmente planteadas y a las que más esfuerzo se ha dedicado. El problema
clásico de resolver una ecuación polinómica de cualquier grado ha influenciado
sustancialmente el desarrollo de la Matemática a través de los siglos y aún ahora
tiene importantes aplicaciones a la teoría y práctica de la computación.
Hace unos 4,000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución
positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una “receta” muy precisa
para resolver ecuaciones del tipo
−
= , con > 0, > 0, aunque estos
símbolos (b, c, x, +,= ) no se usaban entonces.
Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde
sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía
desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron
a incorporar a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”.
Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida
por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones
árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.
Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos
musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre
otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones
decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones
decimales.
En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de
extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de
grado superior. El matemático árabe Al Jwârizmî (de su nombre procede la palabra
algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra)
desarrolló el álgebra de los polinomios; Al-Karayi la completó para polinomios
incluso con infinito número de términos.
Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al
estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar
la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una
ecuación de la forma,
+
+ = 0, donde a, b y c pueden ser números
cualesquiera. Y entre ellos, hay que destacar los trabajos del genio matemático y
astrónomo hindú Bhaskara II (1114-1185), que representa el máximo exponente del
conocimiento matemático del siglo XII. Ha contribuido al saber universal con varias
fórmulas para la resolución de ecuaciones que han perdurado hasta el día de hoy,
en el campo de la aritmética, el álgebra, la trigonometría e incluso el cálculo
diferencial 5 siglos antes que Newton y Leibniz. De todas ellas, quizá la más famosa
es la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, que ha tomado su nombre.
En tanto que la fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación
de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia.
Una ecuación cúbica es de la forma
+
+ + = 0, donde a, b, c y d son
números cualesquiera, y por supuesto que a≠ 0. Lo que tienen todas estas ecuaciones
en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece
elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.
Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la
fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica,
sin lograrlo. La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por
el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló
Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de “fórmula de Cardano”,
porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente
las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por
primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado “Ars
Magna”.
El episodio completo fue más bien trágico para sus protagonistas. En aquellos
tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en
secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer.
Resulta que estos duelos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos
matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se
proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el
público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía
llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia
del desprestigio.
El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte,
cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale della Nave y Antonio
María Fiore. Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas
en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la
solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados
y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr
encontrar su solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a
Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no
pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A
su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que
Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, durante 4 años, de acercarse a él
para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica.
Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás
lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para
estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars
Magna", que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos, la
solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano reconoce el
mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento, Tartaglia nunca lo perdonó por
faltar a su juramento.
Tras un año de polémicas, Tartaglia acepta el reto de un alumno de Cardano para
un "duelo matemático", en el cual resulta perdedor. Perdió su trabajo de profesor en
la Universidad de Brescia y murió 9 años después, humilde, en Venecia.
El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente
por el interés en resolver ecuaciones. La determinación de las raíces de este tipo de
ecuaciones (polinomios), está entre los problemas más viejos de la matemática.
Se conocen fórmulas de polinomios de hasta 4 grado desde el siglo XVI. Pero las
fórmulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores
durante mucho tiempo. También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los
modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète
llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos
ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a
Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.
Es así, cómo se dan a conocer los polinomios, sus operaciones, propiedades entre
otros temas de gran interés.
En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado de que no puede haber fórmulas
generales para los polinomios de grado 5 o mayores en términos de sus coeficientes
(ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de
Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de
los polinomios. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números
complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto
grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos
sobre la teoría de grupos hacia fines del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del
matemático francés Évariste Galois a principios del siglo XIX.
Al ser un problema frecuente (el resolver este tipo de ecuaciones), se deben de contar
con métodos especiales para resolverlo que permitan ahorrarnos mucho tiempo de
cálculo y evitarnos buena cantidad de dificultades.
Llegando a este punto, el amable lector deberá de conocer ampliamente toda la
teoría referente a los polinomios y sus teoremas fundamentales (temas que no voy a
incluir), enfocándome al estudio de la Matriz de Sylvester, como siguiente tema.
1.2
Matriz de Sylvester
La Matriz de Sylvester, llamada así en honor a James Joseph Sylvester, quien estudió
las propiedades de esta matriz. Este tipo de matriz es una herramienta matemática
imprescindible en la resolución de ecuaciones polinómicas. A lo largo de este curso,
mencionaré muchas veces este tipo de matrices, así que conviene saber su definición.
Definición: Dados los polinomios f, g ∈ [ ] de grado positivo, escritos de la forma
=
=
+ ⋯+
+⋯+
, ≠ 0
, ≠ 0
Entonces la Matriz de Sylvester de f y g con respecto a x, denotada por
( , , ) es
la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones dado a continuación:
⋯
0
⎛0
⎜⋯
⎜
( , , ) = ⎜ 0
⎜
⎜0
⋯
⎝0
0
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋯
⋯
0
⋯
⋯
⋯
0
⋯
⋯
donde se observa que es una matriz de orden ( +
⋯
0
0
0
0
0
⋯ ⋯
⋯
0 0
0 0
⋯ ⋯
⋯
)×( +
0
0
⎞
0
⋯⎟
⎟
⎟
0⎟
0⎟
⋯
⎠
).
Al calcular el determinante de la Matriz de Sylvester, se obtiene lo que se conoce
como la resultante. Es decir:
( , , ) = det(
( , , ) )
Una de las propiedades de calcular la resultante, es que nos permite saber si ambos
polinomios, y , tienen una raíz común o no, de acuerdo al siguiente teorema:
Teorema 1.
Sean f y g dos polinomios no constantes con coeficientes en un cuerpo k que se escindan en
k[x]. Entonces
( , , ) = 0, si y solo si f y g tienen una raíz en común.
De acuerdo a éste teorema, entonces es posible decidir si dos polinomios tienen un
factor común o no. También hay que observar que hemos encontrado un método
para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, siempre y cuando f y g estén
expresados como polinomios. Estas ideas las podemos visualizar en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo:
Hallar las soluciones del sistema de polinomios
( , ) =
( , )=2
+3 +2 +3
− 2 + 2 + 3
Una forma de resolverlo es eliminar primero , para lo cual se reescribe f y g como:
( , ) = + (3 ) + (2 + 3)
( , ) = (2 − 2) + (2 + 3)
Ahora se calcula la resultante de f y g con respecto a x y se iguala a cero. De donde
se obtiene:
= −4
3
= −2
Al sustituir estos valores en f y g, se obtiene:
1
= −2
= 0
Por lo tanto, la solución del sistema son los puntos − , −4 y 0, −
.
Es claro que no todos los sistemas no lineales pueden ser resueltos por medio de la
resultante. Va depender mucho de los grados de los polinomios f y g.
Otra de las propiedades de la matriz de Sylvester, es que nos permite calcular lo que
se conoce como el discriminante. Para ello, se tiene el siguiente teorema.
Teorema 2.
Si f(x) es un polinomio de grado n con coeficientes en un cuerpo k, definimos su discriminante
como
( , ´)
∆=
(−1)
donde
( ).
( )=
+
+⋯+
+
(
)
y
´( ) es la primer derivada de
El término de discriminante es muy común para nosotros al referirnos a él en el
análisis de las ecuaciones cuadráticas. De acuerdo al teorema 2, es posible expandir
esas ideas a polinomios de grado .
EJERCICIOS PARA LA SEMANA:
1. Calcular el discriminante del polinomio de grado 2 y de grado 3.
2. Define dos funciones polinómicas f(x, y) y g(x, y) y resuélvelas, usando el
concepto de la resultante.
Hasta aquí mi intervención del día de hoy. Espero que lo visto hasta ahora haya sido
de su agrado. Nos vemos el próximo domingo.
1.3
Transformación de Tschirnhaus
El prominente algebrista del siglo XVII, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (16511708), quien fuera un matemático, físico, médico y filósofo alemán, creyó haber
encontrado un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado . Su
método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero
esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares. El artículo fue
publicado en la revista científica “Acta Eruditorum” en 1683.
Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de
Transformación de Tschrinhaus, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo,
tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver
primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.
Veamos de qué se trata la Transformación de Tschirnhaus.
Una Transformación de Tschirnhaus, es un tipo de asignación de polinomios que
permite eliminar términos intermedios en una ecuación polinómica, usando una
nueva variable. Para ser más claros, si la ecuación polinómica de grado es:
( )=
donde
, …,
,
+
+⋯+
+
=0
∈ R.
Entonces ( ) puede ser transformada a una nueva ecuación polinómica mediante
un cambio de variable (por ejemplo ), donde se pueda eliminar algún término
intermedio, usando ecuaciones auxiliares, es decir, = + ℎ.
La nueva ecuación polinómica quedará representada como:
( )=
donde
, …,
,
+
+ ⋯+
+
=0
son constantes a determinar.
La transformación anterior permitirá eliminar un término, es decir el
. A
Tschirnhaus se le ocurrió que estas ideas pudieran ser ampliadas y en vez de
eliminar un término, se pudieran eliminar dos o más términos, con el fin de obtener
una expresión del tipo:
+ =0
Si eso fuera posible, despejar la nueva variable, resultaría muy fácil. Esto es posible
y uno no encuentra muchas dificultades si el grado de ( ) es 2, 3 o 4.
Por ejemplo, si quisiéramos eliminar dos términos, puede uno proponer que:
=
donde
y
+ +
son constantes a determinar.
Pero cuando ≥ 5, resulta muy complicado calcular el valor de las constantes. La
experiencia marca que para el caso ≥ 5, a lo más que podemos aspirar es eliminar
tres términos (
,
y
).
Muchos autores consideran que el método de Tschirnhaus es algo impráctico para
resolver ecuaciones de tercero o cuarto grado. Pero también hay que destacar que
sin el conocimiento de la Transformación de Tschirnhaus, no se pudieran conocer las
soluciones de una ecuación de quinto grado.
Ejemplo:
Calcular las raíces de una ecuación polinómica de grado 2 usando la Transformación
de Tschirnhaus.
Sea ( ) =
+
+ = 0, nuestro polinomio de grado 2.
Ahora, si se propone eliminar el término de esa ecuación, la transformación de
Tschirnhaus debe de ser:
=
+ℎ
donde ℎ es una constante a determinar.
Uno podría pensar que lo apropiado es despejar de la Transformación de Tschirnhaus
y sustituirlo en ( ). Pero permítanme utilizar un camino alterno, que es el utilizar
la resultante. Entonces:
( )=
+
+
=0
y
( )=
+ (ℎ − ) = 0
Al calcular la resultante de ( ) y ( ):
1
( , , )= 1
0
ℎ−
1
0
ℎ−
=
+ ( − 2ℎ) + ( − ℎ + ℎ )
Como sabemos, la expresión anterior se iguala a cero:
+ ( − 2ℎ) + ( − ℎ + ℎ ) = 0
Hemos obtenido un nuevo polinomio en la nueva variable . Lo que falta ahora es
encontrar ℎ, y eso es fácil, porque el coeficiente del término lineal se iguala a cero:
− 2ℎ = 0
ℎ=
2
Con este valor de ℎ, lo sustituimos en el polinomio, de donde se obtiene:
+
−
4
=0
Esta última expresión se puede despejar la variable , por lo tanto:
1
=± 2
Pero como
=
−4
+ ℎ, podemos despejar , de modo que las raíces son:
1
=− ± 2 2
−4
La expresión anterior puede ser verificada como la fórmula de Bháskara, para
resolver una ecuación de segundo grado.
El ejemplo anterior, muestra que sí es posible calcular las raíces de una ecuación de
segundo grado, usando el método propuesto por Tschirnhaus.
TAREA #3
1. Usando la transformación de Tschirnhaus, calcula las raíces de una ecuación
de tercer grado en forma general y usar el resultado obtenido para calcular
las raíces de:
−5 + −7=0
2. De acuerdo a tus resultados obtenidos, a qué conclusión llegas. ¿Es
impráctico el método?
Hemos llegado al final de este capítulo, esperando que los temas desarrollados te
hayan quedado claros, ya que estos conceptos los utilizaremos a lo largo de este
curso y son las herramientas que utilizaremos y que considero útiles, para resolver
las ecuaciones de grado superior.