Rentas diferidas

Rentas
Se entiende por renta el cobro o el pago periódico motivado por el uso de un capital
Desde el punto de vista de las matemáticas financieras, se entiende por renta una sucesión de capitales
disponibles, respectivamente en vencimientos determinados.
A cada uno de los capitales se les denomina término y al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos
período.
0
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
Cn
Términos
1
2
3
4
5
6
7
n
Tiempo
En la práctica financiera el aplazamiento a lo largo del tiempo de los pagos y cobros es muy habitual y, por tanto,
las rentas como instrumento de cálculo adquieren su importancia en el fraccionamiento periódico de los patos de
préstamos, cobros de deudas o en la formación de un futuro capital.
Clasificación de las rentas en capitalización compuesta
Dependiendo de la naturaleza del término
Constantes
Variables
Cuando todos los términos son iguales
Cuando los términos son distintos
En función de la duración de la renta
Temporales
Perpetuas
Se encuentran distribuidas por un número
determinado de términos con una duración finita
Se encuentran distribuidas por un número de
términos infinitos y por tanto duración ilimitada.
Dependiendo del vencimiento del término
Pospagables
Prepagables
En las que se paga o percibe el termino al final de
cada periodo.
En las que se paga o percibe el término al comienzo
de cada periodo.
Según sea el momento de la valoración
Inmediatas
Diferidas
Anticipadas
Son las rentas valoradas entre el
comienzo de su primer período y
el final del último
Reciben este nombre las rentas
valoradas en un momento
situado antes del comienzo de su
primer periodo.
Son las rentas valoradas en un
momento posterior al final del
último periodo.
Dependiendo de la amplitud del periodo
Enteras
Fraccionadas
Cuando el periodo del término de la renta concuerda
con el de capitalización
Corresponde a las rentas en las que no concuerda el
período de capitalización con el periodo de
capitalización del tanto.
En función de la medida de sus intervalos
Discretas
Continuas
Reciben este nombre aquellas rentas con intervalos
finitos.
Son aquellas rentas en las que la amplitud de sus
intervalos es infinita.
Según la naturaleza de los capitales
Ciertas
Aleatorias
Se trata de las rentas en las que la cuantía de la
prestación y el momento de vencimiento están
determinados.
En ellas la cuantía o el momento de vencimiento no
están determinados.
Rentas Constantes, Inmediatas y Pospagables
Son las rentas cuyos términos son iguales entre sí y además el valor actual se calcula al principio del primer período.
Para calcular el valor actual y final de una renta pospagable, constante e inmediata, partiremos del cálculo del valor
actual o final de una renta unitaria, esto es de un euros.
Valor actual de una renta pospagable, contante e inmediata.
1 – ( 1 + i )‐n
Va = C
i
La señora Jiménez desea que su hijo reciba una renta de 15.000 euros anuales (Constante) al final de cada uno de
los próximos seis años (pospagable), para que pueda hacer frente a los gastos ocasionados por sus estudios
universitarios. Si su banco le ofrece un tipo fijo de interés del 3% anual durante el período de la operación
financiera, ¿qué cantidad deberá depositar en el banco en este momento? Nota: se valora la renta al principio y al
final del período (Inmediata)
0
C = 15.000
n = 6 años
i = 0.03
15.000
15.000
15.000
15.000
15.000
15.000
1
2
3
4
5
6
Va = C x [ 1 ‐ ( 1 + i )‐n / i ]
Va = 15.000 x [ 1 ‐ ( 1 + 0.03)‐6 / 0.03 ]
Va = 4.000 x [ 0.162515743 / 0.03 ]
Va = 4.000 x [ 4.417191444 ]
Va = 81.257,87 Euros
Valor final de una renta pospagable, contante e inmediata.
Vf = C
( 1 + i )n - 1
i
Calcula el valor final y actual de una renta pospagable, constante e inmediata de 4.000 euros anuales durante cinco
años, si el pago de intereses de la operación es del 4% anual.
0
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
1
2
3
4
5
VALOR FINAL
C = 4.000
n = 5 años
i = 0.04
Vf = C x [ ( 1 + i )n ‐ 1 / i ]
Vf = 4.000 x [ ( 1 + 0.04 )5 ‐ 1 / 0.04 ]
Vf = 4.000 x [ 0.216652902 / 0.04 ]
Vf = 4.000 x [ 5.41632256 ]
Vf = 21.665,26 Euros
VALOR ACTUAL
C = 4.000
n = 5 años
i = 0.04
Va = C x [ 1 ‐ ( 1 + i )‐n / i ]
Va = 4.000 x [ 1 ‐ ( 1 + 0.04)‐5 / 0.04 ]
Va = 4.000 x [ 0.178072893 / 0.04 ]
Va = 4.000 x [ 4.451822331 ]
Va = 17.807,29 Euros
Relación entre el valor final y actual de una renta pospagable, contante e inmediata.
Existen dos formulas para calcular de forma abreviada el “ Va ” o “ Vf ” si conocemos alguno de los dos valores
Va =
Vf
( 1 + i )n
Vf = Va x ( 1 + i )n
Rentas perpetuas, pospagable, constantes e inmediatas.
Va∞ =
C
i
Calcula el valor actual de una finca rústica que produce una renta pospagable, perpetua, constante e inmediata, de
15.000 euros anuales, sabiendo que el tipo de interés del mercado es del 3% anual.
C = 15.000
i = 0.03
Va∞ = C / i
Va∞ = 15.000 / 0.03
Va∞ = 500.000 Euros
Rentas constantes, inmediatas y prepagables
Son rentas cuyos términos son iguales entre sí y cuyo valor actual se calcula en el vencimiento del primer término.
En ellas el término se hará efectivo al principio de cada período.
Valor actual de una renta prepagable, contante e inmediata
‐n
1–(1+i)
Vä = C
i
(1+i)
Calcula la cantidad que tendremos que depositar en una caja de ahorros que trabaja al 4% de interés efectivo anual
(TAE), si queremos recibir al comienzo de cada uno de los próximos seis años una renta de 20.000 euros.
20.000
20.000
20.000
20.000
20.000
20.000
0
1
2
3
4
5
6
Vä = C x [ 1 ‐ ( 1 + i )‐n / i ] x ( 1 + i )
Vä = 20.000 x [ 1 ‐ ( 1 + 0.04 )‐6 / 0.04 ] x ( 1 + 0.04 )
Vä = 20.000 x [ 0,209685474 / 0.04 ] x ( 1.04 )
Vä = 20.000 x [ 5,24213685 ] x ( 1,04 )
Vä = 109.036,44 Euros
C = 20.000
n = 6 años
i = 0.04
Valor final de una renta prepagable, constante e inmediata
Vf¨ = C
( 1 + i )n - 1
i
(1+i)
¿Cuál será el capital de una renta prepagable, constante e inmediata de 8.000 euros anuales, sabiendo que la
operación financiera dura cuatro años y la TAE es de 3%?
8.000
8.000
8.000
8.000
0
1
2
3
C = 8.000
n = 4 años
i = 0.03
4
V¨f = C x [ ( 1 + i )n ‐ 1 / i ] x ( 1 + i )
V¨f = 8.000 x [ 0,12550881 / 0.03 ] x ( 1 + 0.03 )
V¨f = 8.000 x [ 4,183627 ] x ( 1.03 )
V¨f = 34.473,08 Euros
Relación entre valor actual y final de una renta prepagable, constante e inmediata
Existen dos formulas para calcular de forma abreviada el “ Vä ” (prepagable) o “ Vf ” (prepagable) si conocemos
alguno de los dos valores
Vf¨
( 1 + i )n
Vä =
Vf¨= Vä x ( 1 + i )n
Rentas perpetuas, prepagables, constantes e inmediatas.
Vä∞ = C
(1+i)
i
Halla el valor de una renta prepagable, constante, inmediata y perpetua de 10.000 euros anuales, siendo la TAE del
3%.
10.000
10.000
10.000
10.000
.............
10.000
0
1
2
3
..............
∞
Vä∞ =?
C = 10.000
n=∞
i = 0,03
Vä∞ = C x ( 1 + i ) / i
Vä∞ = 10.000 x ( 1 + 0.03 ) / 0.03
Vä∞ = 10.000 x 34,33333333
Vä∞ = 343.333,33 Euros
Rentas diferidas
Una renta diferida es cuando han de pasar D periodos desde el momento actual hasta el comienzo de su primer
término.
0
1
2
C3
C4
C5
C6
C7
Cn
Términos
3
4
5
6
7
n
Tiempo
Diferido
Valor actual de una renta diferida, constante y pospagable
VaD = C
1 – ( 1 + i )‐n
i
( 1 + i ) ‐D
El valor actual de una renta pospagable, constante de 5 años de duración, y con un diferimiento de 3, es 12.300
euros. Calcula su cuantía. TAE 5,5%
Va 12.300
0
1
2
3
C1
C2
C3
C4
C5
4
5
6
7
8
Diferido
C=?
Va = 12.500
i = 0,055
n = 5 años
D = 3 años
VaD = C x [ 1 – ( 1 + i ) –n / i ] x ( 1 + i ) ‐ D
12.300 = C x [ 1 – ( 1 + 0,055 ) –5 / 0,055 ] x ( 1 + 0,055 ) ‐ 3
12.300 = C x [ 1 – 0,765134353 / 0,055 ] x 0,851613664
12.300 = C x [4,270284491 ] x 0,851613664
C = 12.300 /3,636632622
C = 3.382,24 Euros
Valor actual de una renta diferida, constante y prepagable
VäD = C
1 – ( 1 + i )‐n
I
( 1 + i ) – (D ‐1)
Determina el valor actual de una renta prepagable y constante de 50.000 euros, si su duración es de seis años y la
TAE del 4% con un diferimiento de 3 años
Va 12.300
0
1
2
50.000
50.000
50.000
50.000
50.000
3
4
5
6
7
Diferido
VäD =?
C= 50.000
i = 0,04
n = 6 años
D = 3 años
VäD = C x [1 – ( 1 + I ) –n / i ] x ( 1 + I ) ‐(D‐1)
VäD = 50.000 x [1 – ( 1 + 0,04 ) –6 / 0,04 ] x ( 1 + 0,04 ) ‐ (3‐1)
VäD = 50.000 x [1 – 0,790314525 / 0,04 ] x 0,924556213
VäD = 50.000 x [5,242136875 ] x 0,924556213
VäD = 242.332,50 Euros
8
Valor final de una renta anticipada, constante, temporal y pospagable
VfH = C
( 1 + i )n ‐ 1
i
(1+i)H
El señor Montero ha realizado imposiciones de 15.000 euros en un banco durante seis años al final de cada uno de
ellos, con el objetivo de reunir un capital que le permita reponer la máquina de su taller de reparación de vehículos.
Calcula la cantidad disponible en estos momentos sabiendo que hace dos años realizó la última imposición y que la
TAE es del 4%
Vf
VfH
15.000 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sin aportaciones
VfH =?
C= 15.000
i = 0,04
n = 6 años
H = 2 años
VfH = C x [ ( 1 + I )n ‐ 1 / i ] x ( 1 + I )H
VfH = 15.000 x [ ( 1 + 0.04 )6 ‐ 1 / 0.04 ] x ( 1 + 0.04 )2
VfH = 15.000 x [ 0,265319018 / 0,04 ] x 1,0816
VfH = 15.000 x [6.63297545] x 1,0816
VfH = 107.613,39 Euros
Valor final de una renta anticipada, constante, temporal y prepagable
¨ =
VfH
( 1 + i )n ‐ 1
i
C
( 1 + i ) H+1
El señor Pedro Miguel ha realizado una imposición de 16.000 euros en un banco durante 5 años al principio de cada
uno de ellos, con el objetivo de reunir un capital que le permita reponer su camión. Calcula la cantidad disponible
en estos momentos sabiendo que hace tres años realizó la última imposición y que la TAE es del 4%
16.000
16.000
16.000
16.000
16.000
0
1
2
3
4
5
6
7
Sin aportaciones
V¨fH =?
C= 16.000
i = 0,04
n = 5 años
H = 3 años
V¨fH = C x [ ( 1 + I )n ‐ 1 / i ] x ( 1 + I )H+1
V¨fH = 16.000 x [ ( 1 + 0.04 )5 ‐ 1 / 0.04 ] x ( 1 + 0.04 )2+1
V¨fH = 16.000 x [ 0,216652902 / 0,04 ] x 1,124864
V¨fH = 16.000 x [5,41632256] x 1,124864
V¨fH = 97.482,02 Euros