material teórico de ondas 5to (34359)

La Teoría Ondulatoria
En la década de 1660, el físico y naturalista inglés Robert Hooke (1635 – 1703)
tras observar las figuras de colores asociadas a las películas transparentes –como en las
pompas de jabón-elaboró una rudimentaria teoría ondulatoria de la luz, concibiendo la
misma como “vibraciones muy rápidas del éter”. Hooke, hombre de carácter difícil, no
era muy buen matemático y no congeniaba en lo más mínimo con el mayor genio de la
época, Isaac Newton, que tampoco le tenía simpatía. Pronto, la teoría ondulatoria de
Hooke fue aplastada matemáticamente por Newton, a pesar que éste compartía alguna
de sus ideas.
En 1678, otro contemporáneo de Newton, el célebre matemático y físico
holandés Christiaan Huygens (1629 –1695), residente en París, publicó su obra Tratado
de la Luz (Traité de la Lumière), en el cual analizó la naturaleza de la luz y propuso la
Teoría Ondulatoria.
Luego cuando comencemos la unidad 2, continuaremos analizando las distintas
teorías en lo que respecta a la naturaleza corpuscular y ondulatoria de la luz.
En 1860, el escocés James C. Maxwell (1831 – 1879) demostró que las
oscilaciones luminosas, las infrarrojas, las ultravioletas son de carácter
electromagnético. Dice Maxwell en su Teoría dinámica del Campo Electromagnético:
“Existe un medio etéreo que penetra todos los cuerpos y que sólo se modifica
hasta cierto grado por la presencia de ellos.
“Las partes de ese medio son capaces de ser puestas en movimiento por las
corrientes eléctricas y los imanes [es decir, los campos electromagnéticos]...
“La velocidad [de la onda electromagnética] se aproxima tanto a la de la luz,
que, según parece, tenemos poderosas razones para suponer que la luz misma
(incluyendo el calor radiante y otras radiaciones que hubiere) es una perturbación
electromagnética en forma de ondas, que se propaga a través del campo
electromagnético, de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.
Maxwell; Una Teoría Dinámica del Campo
Electromagnético
Mediante una serie de ecuaciones, Maxwell determinó que la velocidad de todas
las ondas electromagnéticas debe ser igual a c = 300.000 km/s.
Cuando en 1887 el alemán Heinrich Hertz (1857 – 1894) creó y detectó ondas
electromagnéticas mediante un circuito oscilatorio, comprobando experimentalmente las
ideas de Maxwell, la Teoría Ondulatoria ya era universalmente aceptada.
II.
Ideas básicas acerca de las Ondas. REPASO
Si dejamos caer una piedra en un estanque de aguas tranquilas, veremos que en
el mismo se forman perturbaciones de forma circular, y si colocamos pequeños trocitos
de corcho sobre el agua, veremos que los mismos son levantados por la onda, pero no
arrastrados por la misma. Eso mismo observamos en mayor escala cuando una onda
marina (ola) alcanza una barca cerca del muelle. Sin embargo, es claro que la onda
transporta energía, toda vez que es capaz de levantar el corcho o el bote, para lo cual
debe cederle energía cinética, que se transforma luego en potencial gravitatoria.
Las ondas también pueden generarse en cuerdas o en resortes, pulsándolos con
un movimiento vivo.
Todas estas observaciones cualitativas nos llevan a plantearnos la siguiente
definición:
Definición:
Llamamos onda mecánica a un fenómeno perturbativo
consecuencia del desplazamiento de alguna parte de un medio
elástico de su posición de equilibrio.
Esta perturbación se transmite por el medio, transportando energía
pero sin arrastrar materia, es decir sin desplazar el medio en su
conjunto. Deberemos distinguir entonces dos cosas: cómo se
desplaza la onda y cómo se desplazan los objetos alcanzados por la
onda.
1. Clasificación de las Ondas:
Por su periodicidad
Si una piedra cae en un estanque, se generará –al menos- una perturbación de
forma circular que irá creciendo en tamaño hasta alcanzar los bordes del estanque y
desaparecer. Esta onda es creada por el desequilibrio provocado por la piedra en el
fluido y no se repetirá hasta que otra piedra caiga en el agua. Es lo que denominamos un
pulso de onda.
Si hubiésemos dejado gotear periódicamente un grifo encima del estanque, las
perturbaciones circulares también irían apareciendo periódicamente y observaríamos
que la distancia una y otra es constante. En tal caso, se han generado ondas periódicas
en la superficie del agua.
Por su forma
Cuando imaginamos una onda, el ejemplo corriente que acude a nuestra mente
es el de la onda marina. Esta onda es realmente bastante compleja en cuanto a su forma
y movimiento. Aquello en lo que seguramente estamos pensando es una perturbación
como la que se ilustra en la Figura 3. Se trata de una onda sinusoidal o armónica,
definida por una función matemática de la forma
y = A sen (kx)
(Ec. 1)
Y
A
Figura 3.
Representación de una
función sinusoidal.
0
2/k
4/k
X
El período de la
función vale 2/k.
-A
La función sinusoidal (o función seno) queda caracterizada por repetirse después
de determinado valor de X, llamado período de la función. Según lo estudiado en el
curso de Matemáticas, la función seno se repite después de 360º o 2 radianes. La
función cosinusoidal (o función coseno) es similar a la representada antes, difiriendo tan
solo en la ordenada al origen, puesto que
A cos (kx) = A sen (kx – 90º)
(Ec. 2)
Por su dirección de vibración
Aunque las ondas en el agua pueden no ser perfectamente sinusoidales, ellas nos
permiten observar una característica importante: mientras ellas mismas se desplazan
horizontalmente, cuando alcanzan un objeto flotante –un corcho, un pequeño bote- éste
se desplaza verticalmente. Ambas direcciones, la de propagación y la de vibración, son
perpendiculares entre sí. Decimos que estas ondas son transversales, ya que el
desplazamiento ocurre en el eje y y el desplazamiento en el eje x.
Las ondas mecánicas transversales son generadas por perturbaciones en rígidos –
varillas, láminas- o en la superficie de los líquidos.
Por el contrario, para generar una onda de sonido, debe trabajarse por
compresión, tal como se ilustra en la Figura 4.
Figura 4.
Parlante.
Bobina
Núcleo
Lámina vibrante de
cartón
Una lámina cónica de cartón se halla unida a un núcleo de
ferrita. La ferrita, a su vez, se halla dentro de una bobina por la que
circula una corriente variable. El campo magnético provocado por
la bobina mueve el núcleo hacia delante y hacia atrás a alta
frecuencia (20 a 20.000 Hz).
La vibración del cono provoca rápidas compresiones y
enrarecimientos del aire en sus cercanías, que tiende a expandirse
en sentido contrario, provocando la onda que nuestro oído y
cerebro interpretan como sonido.
La onda de compresión se propaga hacia adelante, paralela
al sentido de vibración del cono.
Hemos generado lo que se llama una onda longitudinal o compresional, en la
cual el desplazamiento S de las partículas es paralelo al eje X de propagación.
Este tipo de ondas también pueden generarse en elásticos de espiras separadas
(slinkies), pulsándolos en el sentido de su longitud.
Por su dirección de propagación
Si se pulsa una cuerda de guitarra, la perturbación sólo podrá propagarse a lo
largo de la misma, es decir la onda es en una dimensión o plana.
En cambio, las ondas en el agua se propagan generando circunferencias de
perturbación en su superficie, en un plano. A esto le llamamos onda en dos
dimensiones o circular.
La explosión de un petardo en el aire, a su vez, provoca una onda compresional
en todas las direcciones. Dicha onda se denomina en tres dimensiones o esférica.
Por su velocidad
Si se pulsa transversalmente un resorte demostrativo, o se agita una cuerda,
podremos observar ir y venir un pulso por el medio vibrante. A esto lo denominamos
onda viajera o progresiva. Dicha onda viajera queda caracterizada por cierta velocidad
de propagación, que depende de las características del medio.
Si se pulsa la cuerda de una guitarra o se agita continuamente un resorte sujeto
por ambos extremos vuelven a generarse ondas, pero si se observa cuidadosamente, se
verá que ciertos puntos de la cuerda y del resorte (los extremos, al menos) se hallan
siempre en reposo. Dichos puntos se denominan nodos. Como la onda no puede
atravesar los nodos, se halla encerrada entre ellos y decimos que se trata de una onda
estacionaria. (Ver Figura 5).
Vientre
Nodos
Figura 5
Onda estacionaria en una
cuerda. Las flechas indican los
nodos.
Los segmentos de onda comprendidos entre nodos reciben el nombre de
vientres. Exactamente entre nodo y nodo hay un punto de máxima deformación, al que
denominamos antinodo.
La Figura 5 muestra, pues, una onda estacionaria con tres vientres, tres antinodos
y cuatro nodos.
III.
Las Ondas sinusoidales. Características.
La Figura 6 representa una “foto instantánea” de una onda viajera, transversal y
sinusoidal.
Y
a
b
A
P
A
Figura 6. Propiedades
de una onda sinusoidal.
y
0
2/k
4/k
X
-A

c
Una onda sinusoidal, transversal, posee características geométricas y temporales
bien definidas:
(1)
Todo punto P cualquiera perteneciente a la onda se halla a una distancia
transversal y respecto al eje X, o dirección de propagación. A esta distancia la
seguiremos llamando elongación.
(2)
Existen determinados puntos, como a, b, c, que poseen elongación máxima.
Estos puntos de denominan picos de la onda; aquellos picos que se tienen
máxima elongación positiva, como c, se denominan crestas; los que tienen la
máxima elongación negativa, como b, son los valles.
(3)
La máxima elongación, marcada con la letra A se denomina amplitud.
(4)
Tras recorrer cierta distancia (léase lambda), la forma de la onda vuelve a
repetirse. Dicha distancia se llama longitud de onda.
Tanto la elongación, la amplitud como la longitud de onda son longitudes, por lo
que se medirán en metros (m) en el Sistema Internacional.
(5)
Existe una magnitud inversamente proporcional a , relacionada con la cantidad
de ondas que entran en una longitud igual a 2metros. Dicha magnitud se
denomina número de onda y se calcula de la siguiente forma:
k = 2




(Ec. 3)
Ya que la longitud de onda se mide en metros, el número de onda quedará
expresado en inversos de metro o m-1.
(6)
Como las ondas sinusoidales son periódicas (es decir se repiten después de
cierto período de tiempo llamado período), podemos definir en ellas el período
(T), la frecuencia (f) como la cantidad de veces que se repite la onda por
segundo y la pulsación o frecuencia angular (léase omega) como la frecuencia
multiplicada por la constante 2.
Matemáticamente decimos:
y
f = 1_
T
(Ec. 4)
=2f
(Ec. 5)
El período es un tiempo y se mide en segundos (s); la frecuencia quedará
expresada en inverso de segundo o s –1, unidad que recibe el nombre de hertz
(Hz); la frecuencia angular se expresa también en Hz o en radianes por segundo
(rad/s).
(7)
En un tiempo igual al período, una onda viajera avanza una distancia igual a la
longitud de onda. Esto nos permite calcular su velocidad de propagación,
poniéndola en función de , T, f,  y k, de la siguiente forma:
S
V=
IV.
t


= f =
=
T
(Ec. 6)
k
Ecuación de una onda viajeras sinusoidal
Tras nuestro análisis matemático se llega a que la ecuación de la onda viajera
que viaja hacia la derecha es:
y = A sen k( x – vt)
(Ec. 11)
Esta ecuación es equivalente a escribir lo siguiente (inténtalo hacer):
y = A sen (k x – t)
(Ec. 12)
Tanto la Ec. 11 como su equivalente la Ec. 12 se denominan Función de la Onda
Viajera Sinusoidal (hacia la derecha).
La velocidad se invierte si la onda se desplaza hacia la izquierda; en ese caso
simplemente cambiamos V por –V en la Ec. 11, con lo que obtendremos:
y = A sen k( x + Vt)
Ejemplo 1:
(Ec. 13)
Una onda sinusoidal y viajera hacia la derecha tiene una amplitud A =
2,0cm, su longitud de onda vale 1,25m y su frecuencia es de 80Hz.
(a) Calcular k y .
(b) Determinar la velocidad de la onda.
(c) Escribir la función de la onda viajera.
Fase de una onda. Frente de Onda.
Una onda puede estar desfasado respecto a otra. Se denomina fase de la
segunda onda respecto a la primera, o (léase phi)- también puede obtenerse
realizando directamente la siguiente operación:
 = k x – t
(Ec.
14)
¿Cómo se interpreta dicho valor?
Sencillamente: fase es aquel valor que es nulo para dos ondas emitidas desde el
mismo punto y simultáneamente (cabe otra posibilidad para que  sea nulo: ¿cuál es?) y
diferente de 0 en los demás casos.
Hablemos de la onda circular generada al caer una gota de agua en un estanque
en el cual se han esparcido pedacitos de corcho (Figura 8). Todos los trozos que se
levantan al mismo tiempo alcanzados por la cresta de la onda tienen la misma fase, ya
que no hay diferencias en las distancias recorridas por la onda, suponiendo que la
velocidad de la misma es igual en todas direcciones.
El conjunto de puntos que vibran con la misma fase es lo que denominamos
frente de onda. Una propiedad importante es que la tangente a un frente de onda
siempre es perpendicular a la dirección de propagación, sin importar la forma del
mismo.
V
O
Figura 8. Frente de onda circular y dirección de propagación.
Una piedra caída en el punto O genera pulsos circulares (rojo). Todos
los puntos de un pulso tienen la misma fase y constituyen un frente de
onda. Las tangentes a dichos frentes de onda siempre son
perpendiculares a las direcciones de propagación (vectores negros).
Figura 9. Frente de onda plano y dirección de propagación.
Este tipo de ondas puede generarse moviendo adelante y atrás un palo de
escoba apoyado en el agua de una piscina o usando una cubeta de ondas.
Las ondas marinas (olas) también pueden tener frentes de ondas como los
esquematizados aquí.
En forma general, la ecuación de una onda que viaja hacia la derecha, puede
expresarse de la siguiente manera:
y(x,t)= A.sen(k.x-.t+) donde:
A:
k:
:
:
Si la onda viaja hacia la izquierda lo único que cambia es el signo entre kx y .t
y(x,t)= A.sen(k.x+.t+)
Ver repartido de ejercicios
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Repasar gráficas y=senx ; y = cos x y la
relación entre las mismas.