Primera relación de ejercicios

Problemas de Geometrı́a Diferencial de Curvas y Superficies.
Relación 1
1.– Un disco circular de radio 1 rueda sin resbalar sobre el eje x en el plano xy . La curva
descrita por un punto fijo de la circunferencia del disco se llama cicloide.
(a) Obtener una curva cuya traza sea la cicloide y determinar sus puntos singulares
(aquellos puntos donde la curva no es regular).
(b) Calcular la longitud de la cicloide correspondiente a una rotación completa del
disco.
2.– Sea OA = 2a el diḿetro de la circunferencia S 1 y sean OY y AV las rectas tangentes
a S 1 en O y A respectivamente. Considérese la semirecta r que parte de O y corta
a S 1 en C y a la recta AV en B . En la recta OB definimos el punto p de forma
que diste de O lo que el punto C dista de B . Si se rota r alrededor del origen O , el
punto p describe una curva llamada Cisoide de Diocles. Tomando OA como eje x y
OY como eje y , probar que:
(a) La traza de la curva α: R → R2 ,
(
)
2at2 2at3
α(t) =
,
,
1 + t2 1 + t2
es la cisoide de Diocles siendo t = tan θ y θ el ángulo entre el eje x y OB .
(b) El origen es un punto singular de la cisoide.
(c) Cuando t → ∞ entonces α se “aproxima” a la recta x = 2a y α′ (t) tiende a
(0, 2a) .
3.– Sea α: (0, π) → R2 la curva dada por
(
t)
α(t) = sen t, cos t + log tan .
2
donde t es el ángulo que el eje y forma con el vector α(t) . A la traza de esta curva se
le denomina tractriz. Demostrar que:
(a) La curva α es regular excepto para t = π/2 . (b) La longitud del segmento de
la recta tangente a cualquier punto de la tractriz, entre este punto y el eje y , es
constante e igual a 1 .
4.– Consideremos la curva α: (−1, ∞) → R2 , llamada Folium de Descartes, definida por
(
)
3at
3at2
α(t) =
,
.
1 + t3 1 + t3
(a) Demostrar que, para t = 0 , α es tangente al eje x.
(b) Probar que limt→∞ α(t) = limt→∞ α′ (t) = (0, 0) . Demostrar además que cuando
t → −1 , la curva y su recta tangente se “aproximan” a la recta x + y − a = 0 .
5.– (a) Demostrar que la espiral logarı́tmica α: [1, ∞) → R2 ,
α(t) = (aebt cos t, aebt sen t),
a > 0, b < 0,
tiene longitud finita.
(b) Probar por otra parte que la espiral γ: [1, ∞) → R2 , dada por
(
γ(t) =
cos t sen t
,
t
t
)
,
no tiene longitud finita.
6.– De aquı́ en adelante, una recta en Rn es cualquier reparametrización de una curva de
la forma α: I → Rn , α(t) = at + b , a, b ∈ Rn . Probar que, dada una curva regular α ,
son equivalentes:
(a) α es una recta.
(b) Todas las rectas tangentes son paralelas.
(c) Todas las rectas tangentes pasan por un mismo punto.
7.– Sea α: I → Rn una curva. Demostrar que si la distancia desde α a un punto p ∈ Rn
alcanza un máximo o un mı́nimo relativo en t0 , un punto interior a I , entonces el vector
tangente a la curva en t0 es perpendicular al vector α(t0 ) − p