INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN "SIMULACIÓN DEL CANAL DE COMUNICACIONES DE ESPECTRO DISPERSO DE SECUENCIA DIRECTA” TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES PRESENTA FRANCISCO RUBÉN CASTILLO SORIA ASESOR: M.C. MIGUEL SÁNCHEZ MERAZ MÉXICO D.F., 2004 i AGRADECIMIENTOS Quiero agradecer a mi asesor y profesor M.C. Miguel Sánchez, por su guía y apoyo en la realización de este trabajo. Al comité de sinodales Dr. Vladimir Kazacov, Dr. Vladislav Kravchenco, M.C. Jorge Sosa, M.C. Marco Acevedo, por su apoyo dentro y fuera del salón de clases. Agradezco el apoyo recibido por las siguientes instituciones: CONACYT, TELMEX, Patronato del Estudiante Sudcaliforniano, muy especialmente al Instituto Politécnico Nacional. ii ÍNDICE OBJETIVO vi RESUMEN vii ABSTRACT viii JUSTIFICACIÓN ix ANTECEDENTES x INTRODUCCIÓN xii LISTA DE TABLAS xiv LISTA DE FIGURAS xv CAPÍTULO I COMUNICACIONES DE ESPECTRO DISPERSO 1 1.1 Espectro Disperso (SS) 1 1.1.1 Espectro Disperso de Secuencia Directa (DSSS) 1.1.2 Margen de Ruido 1.1.3 Espectro Disperso por Salto de Frecuencia (FHSS) 1.1.4 Comparación de las Técnicas de Espectro Disperso 3 4 Técnicas de Acceso Múltiple 8 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 6 7 Comparación de las Técnicas de Acceso Múltiple Espectro Disperso y Acceso Múltiple Acceso Múltiple por División de Código (CDMA) Generación de Códigos Walsh Generación de Secuencias PN 8 10 11 14 15 Modulación y Demodulación 16 1.3.1 Representación Vectorial de las Formas de Onda 1.3.2 Principios de Receptores Óptimos 17 iii 2 para Canales Gaussianos 1.3.3 El Receptor de Correlación 1.3.4 El Sistema SS-BPSK 27 30 33 CAPÍTULO II EL CANAL MÓVIL . 2.1 Modelos de Propagación 36 2.2 2.3 36 2.1.1 Pérdidas en el Espacio Libre 2.1.2 Modelo Empírico de Hata 36 37 Modelos de Canales 38 2.2.1 Función Dispersión de Retardo 2.2.2 Función de Transferencia en el Dominio de la Frecuencia 2.2.3 Función de Dispersión Doppler 2.2.4 Dispersión en Tiempo y Frecuencia Combinadas 38 44 49 51 Tasa de Desvanecimientos 52 2.3.1 Caracterización del Canal Aleatorio de Desvanecimientos 2.3.2 Terminología Utilizada en Desvanecimientos 52 59 CAPÍTULO III DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA 3 . 3.1 Consideraciones de Diseño 3.2 3.3 63 63 Estructura General Del Programa 64 3.2.1 3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.3 3.2.4 66 68 71 72 74 75 77 78 El Transmisor Secuencias PN Códigos Walsh Canal de Comunicaciones Ruido Desvanecimientos Receptor Estadísticas Alcances y Limitaciones 79 iv CAPÍTULO IV APLICACIONES 4.1 4.2 81 Interferencia Introducida por Multicanalización en CDMA 81 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 82 83 83 86 Planteamiento del Problema Datos de Entrada al Simulador Resultados Conclusiones Simulación del Desempeño CDMA sobre el Canal RBGA 87 Simulación del Desempeño CDMA sobre el Canal con Desvanecimientos y RBGA 89 CAPÍTULO V CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO 91 5.1 Trabajo Futuro 91 BILIOGRAFIA 92 4.3 APÉNDICE A, CÓDIGO DEL PROGRAMA (EN CD) v OBJETIVO Desarrollar un software que simule el canal de comunicaciones para el sistema de espectro disperso de secuencia directa. vi RESUMEN La continua búsqueda de mejoras en las técnicas de comunicación y los avances tecnológicos, dieron pie para que la técnica de acceso a sistemas de radio conocida como CDMA (Code Division Multiple Access), fuera considerada en el mundo de los sistemas comerciales. El trabajo realizado consiste en un programa que simula un sistema de comunicaciones de espectro disperso de secuencia directa aplicado a CDMA. El interés está centrado en los efectos que el canal de comunicaciones de espectro disperso tiene sobre los datos transmitidos. Una trama de 10 bits es transmitida en forma recurrente sobre un canal con ruido, desvanecimientos lentos e interferencia de acceso múltiple. Dos demoduladores, recuperan los bits transmitidos y se comparan para calcular la Tasa de Bits Erróneos (BER). Como resultado se obtienen las estadísticas de la simulación en forma gráfica y numérica. Se presentan resultados generales del simulador para los canales con Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA) y con desvanecimientos en condiciones de Interferencia de Acceso Múltiple (IAM). El simulador desarrollado puede ser una excelente herramienta para evaluar el desempeño de sistemas de comunicación en CDMA. vii ABSTRACT Continuous search of communication improvements and technological advances allowed the access technique to radio systems known as CDMA (Code Division Multiple Access), was considered in the world of the commercial systems. The present work consists of software that simulates a direct sequence spread spectrum communications system applied by CDMA. The interest is focused on the effects that the communication channel has on the transmitted data. The information is transmitted in a recurrent 10-bit frame through a noisy and fading channel which has Multiple Access Interference (MAI). Two demodulators recover transmitted bits in order to compare and calculate the Bit Error Rate (BER). Statistical results of the simulation in graphical and numerical form are obtained. General results of the simulator for Additive White Gaussian Niose (AWGN) and fading channels in multiple access conditions (MAI) appear. The simulator developed could be an invaluable tool for investigating the design and implementation of CDMA systems. viii JUSTIFICACIÓN El adecuado diseño de sistemas de comunicación comprende el análisis, simulación y pruebas de campo, como herramientas que permitan prever el comportamiento del mismo. El objetivo principal es obtener una mayor eficiencia en la implementación del sistema. Cuando se trata de una red celular, generalmente debe avanzarse en el análisis tanto como sea posible y después aprovechar los beneficios que representa el procesamiento de datos en una computadora. Además pueden realizarse algunas mediciones de campo, para verificar los cálculos. El simulador es una herramienta que permite variar algunos parámetros del sistema de comunicaciones y evaluar su desempeño, permitiendo optimizar el tiempo de diseño del sistema sin necesidad de excesivas pruebas de campo. Por otro lado se pueden simular procesos aleatorios específicos y obtener resultados después de numerosos cálculos. Se debe aprovechar aquí, la tecnología de los procesadores más rápidos disponibles. El canal de comunicación es una de las principales características a tomar en cuenta en la simulación de un sistema con tecnología CDMA. El simulador que aquí se presenta considera aspectos como: la atenuación, el ruido, los desvanecimientos lentos y la interferencia que causan varios transmisores operando simultáneamente. Se considera también el modelado de canales para distintos códigos ortogonales. Todos los parámetros del canal pueden ser manipulados, para obtener en el receptor la correspondiente tasa de bits erróneos. ix ANTECEDENTES Con el inicio de los sistemas de comunicación celular de primera generación en la década de los ochentas, se empezaron a desarrollar también técnicas de diseño de sistemas celulares. El uso de computadoras para el diseño de este tipo de sistemas ha llegado a convertirse en la primera opción entre los que a eso se dedican. Existen básicamente tres formas de obtener una solución al problema de diseño en sistemas celulares, estas son: Mediciones de campo Modelos matemáticos Herramientas de software La forma de obtener resultados con más precisión es sin duda la medición de campo. Para la evaluación del sistema, por ejemplo pueden trazarse radiales a una antena sobre un terreno irregular y obtener su patrón de radiación. Este tiene la desventaja del tiempo y los recursos que se requieren para evaluar una característica del sistema. También puede realizarse un cálculo mediante modelos matemáticos y obtener una predicción del comportamiento de alguna característica del sistema. Nos gustaría que las herramientas matemáticas nos dieran más información sin embargo, cuando se trata con varios fenómenos aleatorios el problema se torna muy complejo. Sabemos por ejemplo que las fórmulas para predicción de pérdidas en sistemas celulares son de origen empírico. Otra posibilidad la brindan las herramientas de software, donde la gran capacidad de procesamiento de una computadora puede realizar los cálculos y después desplegar resultados en forma gráfica. Podemos también realizar una simulación que nos permita observar el comportamiento de algunos subsistemas en condiciones muy cercanas a las reales. Aunque una computadora puede tardar varias horas en resolver para un diseño específico, las herramientas de software son hoy en día la solución más popular entre los x diseñadores de sistemas celulares, pero no se debe descartar la posibilidad de utilizar una combinación de los tres métodos. Por ejemplo puede utilizarse la herramienta de software, para descartar posibilidades y utilizar mediciones de campo a las mejores opciones, a partir de las cuales se tomará la decisión final. xi INTRODUCCIÓN Es difícil imaginar un mundo moderno sin la presencia de la computadora. En la actualidad, la mayoría de los procesos son más eficientes gracias al uso de esta herramienta. El uso de computadoras para la simulación de sistemas es un área que cada vez toma mayor importancia, dentro de esta rama, la simulación de sistemas de comunicaciones, ha llegado a revolucionar la forma de trabajar, en el diseño e implementación de sistemas de comunicaciones. Supongamos que se desea diseñar un enlace de comunicaciones de espectro disperso, entonces deberíamos calcular mediante fórmulas el enlace para tener una primera idea del comportamiento del sistema, sin embargo serán las pruebas de campo, las que nos den certidumbre al evaluar un sistema. El simulador es en este sentido, una herramienta más, para la evaluación de sistemas de comunicación. Existen simuladores que evalúan solo un subsistema o bien evalúan un aspecto del sistema completo. Dependiendo de la versatilidad del simulador es posible considerar una gran cantidad de posibilidades en el diseño, de tal manera que se puedan descartar rápidamente posibilidades y optimizar los tiempos y costos para un buen diseño. Un aspecto fundamental en el cálculo del enlace y el diseño de sistemas de comunicaciones es la Tasa de Bits Erróneos (BER). Si la tasa requerida es de 10-5 deberían, realizarse diez mil experimentos para observar un error en promedio, después debe esperarse hasta encontrar por lo menos diez o más errores para garantizar el significado estadístico de los resultados y poder aproximar la tasa de bits erróneos. La gran ventaja de un simulador es el hecho de poder calcular miles de operaciones en pocos minutos, además es posible presentar los resultados en forma gráfica, para una más fácil interpretación de los mismos. El software presentado es capaz de resolver un enlace de comunicaciones que utilizando espectro disperso, es interferido por varios transmisores. El canal de xii comunicaciones es manipulado, de tal manera que es posible variar los modelos de atenuación, e introducir ruido y desvanecimientos lentos. En el receptor se tratará, de aproximar la tasa de bits erróneos, mediante un demodulador de bits de datos y otro de bits de código. Durante todo el proceso se muestran las gráficas de las señales y los datos utilizados en cada etapa del sistema de comunicaciones. Finalmente se presentan las estadísticas de la simulación. En el capítulo I se presenta información general acerca de los sistemas de comunicación de espectro disperso, las técnicas de acceso múltiple y fundamentos de modulación. En el capítulo II se presenta un análisis del canal móvil de radio, se presentan modelos empíricos de propagación y el análisis de canales con dispersión Doppler así como dispersión de retardo, finalmente se presenta un resumen de los tipos de desvanecimientos. En el capítulo III se presenta una descripción del sistema para simulación del canal de espectro disperso de secuencia directa. El estudio se realiza en tres bloques que son el modulador, el canal y el demodulador. En el capítulo IV se presentan los casos de estudio y los resultados generales de la simulación para canales de desvanecimiento y Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA) en condiciones de Acceso Múltiple (MAI). En el capítulo V se presentan conclusiones y trabajo futuro. xiii LISTA DE TABLAS 2.1 Valores típicos de dispersión de retardo 43 2.2 Resumen de los tipos de canales de desvanecimiento 63 3.1 Efectos del canal de comunicaciones 73 3.2 Valores de covarianza para las dos realizaciones de la figura 3.12 76 4.1 Datos de entrada al simulador para la aplicación 4.1 83 4.2 Resultado de la simulación para secuencias PN ajustadas 84 4.3 Resultado de la simulación para códigos Walsh 85 4.4 Resultados de la simulación S/N contra BER 87 4.5 Datos de entrada al simulador para la aplicación 4.3 89 xiv LISTA DE FIGURAS 1.1 Esquema básico de un sistema de espectro disperso 3 1.2 Espectros. (a) Espectro de la señal en el canal. (b) Espectro de la señal demodulada 4 1.3 Transmisión por salto de frecuencia 6 1.4 Acceso múltiple 8 1.5 Técnicas de acceso. (a) Acceso múltiple por división de frecuencia. (b) Acceso múltiple por división de tiempo. (c) Acceso múltiple por división de código. 9 1.6 Ejemplo de generador de secuencias PN de 6 estados 16 1.7 Diagrama a bloques del sistema de comunicación sobre un canal con Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA) 17 1.8 Representación de sistemas de comunicación con formas de onda y vectorial 19 1.9 Extracción de los componentes vectoriales en si=(ss1,si2,...siN) de las formas de onda si(t), por medio de la correlación de si(t) con ϕj(t), 0<t<T, j=1,2,...,N 21 1.10 Dos señales vectoriales en un espacio vectorial dos-dimensional 23 1.11 Cuatro señales en un espacio vectorial dos-dimensional 25 1.12 Dos pulsos sin traslape como un conjunto de funciones ON para síntesis de señales de formas de onda 26 1.13 Formas de onda del transmisor para la señales vectoriales de la figura 1.10 sintetizadas con las formas de onda ON mostradas en la figura 1.11 27 1.14 Sistema de comunicación vectorial 28 1.15 Comunicación vectorial M-aria, N-dimensional 30 1.16 Receptor de correlación que garantiza la regla de decisión ML para comunicación M-aria sobre canales de vector N-dimensionales en RBGA 33 1.17 MODEM de espectro disperso DSSS-BPSK. (a) Modulador. (b) Demodulador 34 2.1 El efecto del canal en la señal de entrada z(t) 39 2.2 El canal produce réplicas de la señal de entrada 40 2.3 La función de dispersión de retardo de un canal móvil típico 42 2.4 La dispersión de retardo puede ser calculada usando varios momentos de la xv función de dispersión de retardo 43 2.5 Distribución de retardos, aproximada por la función exponencial 44 2.6 Definición de ancho de banda de coherencia del canal en términos de la función de transferencia en frecuencia. T ( f d ; t ) 2 48 2.7 El espectro de salida es una suma ponderada de los desplazamientos del espectro de entrada 50 2.8 Relación del dispersor Doppler a la distribución de desplazamiento de frecuencia v 51 2.9 Resumen de las características del canal de radio móvil 58 2.10 Desvanecimientos de término largo y término corto 60 3.1 Diagrama general del sistema de comunicación implementado 64 3.2 Diagrama a bloques del sistema 65 3.3 Pantalla principal del simulador 66 3.4 Esquema general del transmisor implementado 67 3.5 Pantalla del transmisor 68 3.6 Arreglo de registros utilizado para la generación de secuencias PN del simulador 69 3.7 La función de autocorrelación de la secuencia PN generada 69 3.8 Función de autocorrelación de las secuencias PN ajustadas 70 3.9 Códigos Walsh 71 3.10 Ortogonalidad de los códigos. a) Códigos Walsh, b) Secuencias PN ajustadas 72 3.11 Pantalla del canal de comunicaciones del simulador 73 3.12 Dos realizaciones de desvanecimiento 76 3.13 Función de covarianza para las dos realizaciones de la figura 3.12 76 3.14 Arquitectura del demodulador 77 3.15 Pantalla de estadísticas del simulador 79 4.1 Comparación de la ortogonalidad de los códigos Walsh y secuencias PN 82 4.2 Resultado de la simulación para secuencias PN ajustadas 84 4.3 Resultado de la simulación para códigos Walsh 85 4.4 Resultados de la simulación del canal RBGA en CDMA 88 4.5 Resultados de la simulación S/N contra BER, para un canal con RBGA y desvanecimientos 90 xvi CAPÍTULO I COMUNICACIONES DE ESPECTRO DISPERSO 1.1 Espectro Disperso (SS) Las técnicas de espectro disperso han sido empleadas en comunicaciones militares y sistemas de radar por cerca de 50 años. El propósito principal ha sido combatir los efectos de la interferencia intencional (jamming) y realizar enlaces con señales inmersas en ruido (“secretas”). Ambas cosas pueden realizarse, extendiendo el espectro de las señales haciéndolas virtualmente indistinguibles del ruido de fondo. La modulación de espectro disperso, es una técnica de comunicación inalámbrica que usa un ancho de banda muchas veces más grande que el ancho de banda de la información. Las aplicaciones asociadas a esta técnica pueden agruparse en varias categorías como sigue: 1. Alta tolerancia a la interferencia intencional (jamming) o no intencional, la cual es suprimida en una cantidad proporcional al factor de ensanchamiento. 2. Estimación de la posición y velocidad, con exactitud incrementada proporcionalmente al factor de ensanchamiento. 3. Baja detectabilidad de la señal transmitida para un receptor no destinado, la cual decrece con el incremento del factor de ensanchamiento. 1 4. Comunicación en acceso múltiple para una gran cantidad de usuarios de un espectro común, operando en la misma área, con el número de usuarios simultáneamente conectados proporcional al factor de ensanchamiento. El uso más importante de técnicas de espectro disperso en el mundo comercial esta en las comunicaciones multiusuario. Expandiendo la señal de los múltiples usuarios con una forma de onda única asignada para cada usuario que permite acceso simultaneo al canal compartido de comunicaciones. Esta técnica es llamada Acceso Múltiple por División de Código (CDMA). Esta tecnología digital de espectro disperso tiene una eficiencia superior sobre el ancho de banda, y puede servir a mayor cantidad de usuarios (de acceso múltiple) que otras tecnologías analógicas o digitales. Las redes inalámbricas con espectro disperso mejoran la eficiencia por medio de la incorporación de características únicas, las cuales han sido posibles gracias al ensanchamiento del espectro de las señales. A continuación se listan estas características:[2] Una característica importante es el reuso universal de frecuencia (es el hecho de que todos los usuarios en un área o nación utilizan un mismo espectro de frecuencia). Además de que esto incrementa la eficiencia del uso del espectro, elimina al mismo tiempo la necesidad de un plan de frecuencias. Es muy importante llevar a cabo un rápido control de potencia, el cual asegura un alto nivel de la calidad de transmisión mientras resuelve el problema “cerca-lejos”, manteniendo una potencia de transmisión baja, para cada terminal. Otra característica es la disminución del efecto provocado por desvanecimientos, a través del uso del receptor rastrillo (Rake receiver), el cual combina en forma constructiva las diferentes componentes multitrayecto de la señal. En vez de permitir que las señales se combinen destructivamente como en una transmisión de banda angosta. 2 El tercer beneficio lo ofrece el traspaso blando (soft handoff) con varias estaciones base, lo cual ofrece un desempeño mejorado en los límites de la célula y previene que se pierda la llamada. 1.1.1 Espectro Disperso de Secuencia Directa (DSSS) Esta técnica utiliza un ancho de banda que permanece constante durante todo el tiempo. La expansión de la información es realizada multiplicando cada bit de datos por una secuencia que tiene una frecuencia mayor. Con esto se logra ensanchar el espectro de la señal en la misma proporción que la frecuencia de la secuencia expansora sea mayor que la frecuencia de los datos. Figura 1.1 Esquema básico de un sistema de espectro disperso. La figura 1.1 muestra el funcionamiento del sistema de espectro disperso de secuencia directa. La secuencia de datos se multiplica por la secuencia de expansión que genera la señal de espectro disperso. Es posible utilizar cualquiera de las técnicas de modulación digital como por ejemplo BPSK (Binary Phase Shift Keying) o QPSK (Quaternary Phase Shift Keying). La frecuencia de la secuencia de expansión, es en general más grande que la de los datos, de tal manera que el espectro de esta señal está expandido. En el receptor debe usarse el mismo código que se usó para expandir la señal, para volver a tener la señal de banda base. 3 (a) (b) A N N A W f -B B f Figura 1.2 Espectros. (a) Espectro de la señal en el canal. (b) Espectro de la señal demodulada. La figura 1.2 muestra los espectros de las señales que son generadas por el sistema de comunicación de espectro disperso de la figura 1.1. En la figura 1.2 (a), se observa el espectro de la señal que ha sido generada por el transmisor de espectro disperso, la cual ha pasado por un canal con ruido hasta llegar al receptor. Se observa que el nivel del ruido está por encima del nivel de potencia de la señal de datos. En la figura 1.2 (b), se observa como la potencia de la señal de datos ha sido concentrada alrededor de frecuencia cero, esto debido a la multiplicación que se realiza en el demodulador y a la etapa del integrador. Como se observa en la figura 1.2 (b), con esto se logra una relación señal a ruido mayor que la unidad. 1.1.2 Margen de Ruido. La manera en la cual las señales de espectro disperso pueden ser procesadas para obtener una ganancia en el rechazo a la interferencia puede mostrarse calculando el margen de ruido, el cual se define como el exceso de interferencia tolerable sobre la potencia de la señal deseada. [1] 4 Se definen los siguientes parámetros: S = Potencia recibida de la señal deseada en Watts [W]. J = Potencia recibida de la señal no deseada en W. (otros usuarios en acceso múltiple, interferencias o “Jamming”, Multitrayecto, etc.). R = 1/Tb Tasa de transmisión de datos (ancho de banda de la señal de datos en Hz.). W = Ancho de banda de la señal ensanchada en Hz. Eb = Energía recibida por bit de la señal deseada en W-sec N0 = Densidad espectral de potencia de ruido equivalente en W/Hz. La relación de potencia de ruido J a S es: N .W W .Tb J W /R = 0 = = S Eb / Tb Eb / N 0 Eb / N 0 (1.1a) Cuando Eb/N0 es el valor requerido para un desempeño aceptable del sistema de comunicación, la relación J/S es el margen de ruido. J W /R = S ( Eb / N 0 ) req (1.1b) o en decibeles: E J W = (dB) − b (dB) S R N 0 req (1.1c) La cantidad W / R es llamada ganancia del proceso o factor de ensanchamiento. Note que para sistemas sin ensanchar (R = W) el valor Eb/N0 es numéricamente igual a la relación señal a ruido de potencias (SNR). E Suponiendo que la relación señal a ruido requerida es b N0 = 5 dB. req 5 Se obtiene: J = 10 Log (64) − 5 = 13 dB S Es decir que el ruido o la señal interferente puede ser hasta 13 dB mayor que la señal de espectro disperso. Si la señal no es de espectro disperso entonces la energía de la señal de datos debe ser cuando menos 5 dB mayor que la señal del ruido. Los valores para W/R varían de unos cientos a un millón típicamente (20dB a 60dB), mientras Eb/N0 puede variar entre (3dB a 9dB) [2]. 1.1.3 Espectro Disperso por Salto de Frecuencia (FHSS) En esta técnica de espectro disperso conocida como FHSS (Frequency Hopping Spread Spectrum), la transmisión se realiza sobre diferentes portadoras a diferentes tiempos. La portadora FHSS brinca entre sub-portadoras seleccionadas en forma pseudoaleatoria (Fig. 1.3). Estas sub-portadoras tienen un ancho de banda típico de 1 MHz. La FCC (Comisión Federal de Comunicaciones) precisa que el ancho de banda total sea dividido en al menos 75 sub-portadoras. Los datos se deben transmitir en una cierta sub-portadora y después de un tiempo cambiar a otra sub-portadora. El tiempo limite de permanencia en una sub-portadora que se recomienda es de 400 milisegundos. El principio de funcionamiento es que cada usuario debe utilizar una frecuencia distinta a la vez y después de 400 ms. debe brincar a otra frecuencia dando oportunidad a que otro usuario utilice la frecuencia liberada. Potencia Frecuencia Figura 1.3 Transmisión por salto de frecuencia 6 En este caso la secuencia pseudoaleatoria es utilizada para decidir, al patrón de brincos y frecuencias que un determinado usuario debe seguir [6]. Si se presenta interferencia, en una determinada frecuencia, ésta será minimizada por el tiempo tan pequeño que el sistema permanece en ella. 1.1.4 Comparación de las Técnicas de Espectro Disperso FHSS, no utiliza la ganancia de proceso ya que la señal en si no es ensanchada, por lo tanto la potencia necesaria para una transmisión es mayor comparada con DSSS para una relación señal a ruido dada. Se calcula que mientras los sistemas DSSS pueden alcanzar hasta 40 Km. para una cierta potencia, los sistemas FHSS alcanzan solo 10 Km. [6]. En general la utilización de FHSS es más compleja ya que requiere de sincronía en tiempo y frecuencia a cada salto, mientras que DSSS requiere solo sincronizar el tiempo de bit (chip). Esto redunda en una menor latencia para la transmisión total de los datos. 7 1.2 Técnicas de Acceso Múltiple Siempre que varios usuarios requieran utilizar del servicio de telefonía celular, será necesario utilizar una de las técnicas de acceso múltiple, esto con el fin de acceder al sistema sin interferir con otros usuarios. Los esquemas básicos resuelven el problema dividiendo en tiempo o en frecuencias particulares para cada usuario. ESTACIÓN USUARIO USUARIO •••• USUARIO Figura 1.4 Acceso múltiple. 1.2.1 Comparación de las técnicas de acceso múltiple. Existen tres formas básicas de acceso a sistemas en radiocomunicaciones: FDMA (Frequency Division Multiple Access) TDMA (Time Division Multiple Access ) CDMA (Code Division Multiple Access) En la mayoría de la aplicaciones, estas tres técnicas pueden ser combinadas para formar sistemas híbridos [5]. En México el sistema IS-95 utiliza FD/CDMA, mientras que el sistema IS-54, utiliza FD/TDMA. 8 En FDMA (Fig. 1.5a), cada usuario utiliza, una porción del ancho de banda, para acceder al sistema sin interferir con algún otro, en esta técnica todos los usuarios acceden al mismo tiempo. La técnica FDMA se utilizó por muchos años en comunicaciones analógicas. En TDMA (Fig. 1.5b), cada usuario utiliza un tiempo distinto para transmitir en una misma frecuencia. Esta técnica es utilizada en sistemas digitales, donde se tiene la ventaja de utilizar codificadores de fuente y de canal, sobre los datos, además de incorporar servicios de transmisión de datos y otros como identificador de llamadas. El costo que se paga es la complejidad del sistema en técnicas y tecnologías, además de la necesidad de una estricta sincronía de toda la red de usuarios. En CDMA (Fig. 1.5c), cada usuario utiliza un código distinto y todos los usuarios transmiten al mismo tiempo y en la misma frecuencia (ancho de banda). Tanto FHSS como DSSS se utilizan actualmente en CDMA,1. Esta técnica se caracteriza por la utilización de códigos para garantizar la no interferencia entre los usuarios. Al igual que TDMA tiene las ventajas de los sistemas digitales. potencia potencia t f f1 f2 t1 f3 t2 t3 (B) (A) potencia f (C) Figura 1.5 Técnicas de acceso. (a) Acceso múltiple por división de frecuencia. (b) Acceso múltiple por división de tiempo. (c) Acceso múltiple por división de código. 1 En lo sucesivo nos referiremos a CDMA como a la técnica de acceso múltiple que utiliza espectro disperso de secuencia directa (DSSS). 9 CDMA tiene las siguientes ventajas cuando se usa en comunicaciones móviles: Principalmente el sistema toma ventaja de la actividad por voz. Cuando dos personas hablan, cada una lo hace menos de la mitad del tiempo, durante los periodos que no habla el sistema se puede poner en “standby”, con el objeto de reducir la interferencia, lo cual se traduce en más capacidad para el sistema. El factor de reuso de frecuencia se reduce a uno, es decir que no se requiere de un plan de frecuencias. CDMA toma ventaja del multitrayecto utilizando los “rake receivers”, los cuales demodulan y utilizan la energía de varias replicas [7]. 1.2.2 Espectro Disperso y Acceso Múltiple [7] Las propiedades que una secuencia de código debe tener para ser usado en acceso múltiple son las siguientes: Su correlación cruzada debe ser cero o muy pequeña. Dos funciones de valor real x y y se dice que son ortogonales si su correlación cruzada Rxy(0) sobre t es cero, es decir: T Rxy (0) = ∫ x (t ) y (t )dt (1.2a) 0 En tiempo discreto las dos secuencias x y y son ortogonales si: l R xy (0) = x y = ∑ xi yi T (1.2b) i =1 Donde: XT : Es la transpuesta de la matriz (secuencia)x. l: Es el largo de la secuencias 10 Cada secuencia del conjunto tiene el mismo número de 1s que de –1s, o existe una diferencia de uno cuando más. Esta propiedad da cierta aleatoriedad a los códigos. La multiplicación del código por su transpuesta entre el orden del código debe ser igual a uno. l R xx (0) = x x = ∑ xi xi T (1.3) i =1 R xx (0) / N = 1 Donde: N: orden del código. 1.2.3 Acceso Múltiple por División de Código (CDMA) CDMA es una técnica de acceso múltiple que utiliza modulación de espectro disperso. La señal de información es modulada (multiplicada) por una señal de ancho de banda extendido (código) que es única para cada usuario. Un receptor sincronizado utiliza el mismo código para recuperar la información. La capacidad de los sistemas CDMA es proporcional a la ganancia del proceso. A continuación se analiza la capacidad del sistema [1]. En analogía con el análisis del margen de ruido (ecuación 1.1) tenemos: La potencia de la portadora es: C≡S= Eb = REb Tb (1.4) La potencia de interferencia en la estación base se define como: I = W .N 0 ; (1.5) Donde: W es el ancho de banda de transmisión y N0 es la densidad espectral de potencia de interferencia. 11 La relación portadora-interferencia de un solo móvil en la estación base es: C R.Eb E / N0 = = b I W .N 0 W /R (1.6) Si M es el numero de usuarios móviles y se asume que existe perfecto control de potencia, la potencia de interferencia total es: I = C.( M − 1) (1.7a) ó (1.7b) C 1 = I M −1 de donde se obtiene: M ≈ ( M − 1) = W 1 R ( Eb / N 0 ) (1.8) Por lo tanto la capacidad de un sistema CDMA depende de la ganancia del proceso. Esta ganancia se basa en el hecho de que en el receptor los usuarios interferentes continúan teniendo un ancho de banda W, mientras que la señal seleccionada es “compactada” al quitar el código de expansión. Estudios estadísticos han demostrado que durante una conversación telefónica, cada usuario habla aproximadamente de un 35% del tiempo. Por lo tanto, es posible disminuir la tasa de transmisión en sistemas digitales durante esas pausas en la conversación. Ya que la transmisión no es totalmente eliminada sino que se disminuye la tasa de transmisión para una duración del ciclo cercana al 40% o 50%, y si la duración del ciclo es denotada por α la ecuación queda: M ≈ W 1 α .R ( E b / N 0 ) (1.9) 12 Si la estación base emplea antenas direccionales, cada antena recibirá solo una fracción de la interferencia dentro de la célula. En la práctica las antenas receptoras se traslapan 15%. Si se consideran 3 sectores se obtiene un incremento de la capacidad de G= 3.(.85)= 2.55. M ≈ (1.10) W 1 1 ⋅ ⋅G R ( Eb / N 0 ) α Simulaciones hechas por Qualcomm han demostrado que la interferencia causada por células vecinas a la estación base es tan solo de 35% de la recibida en la estación base. Basados en esta información la ecuación puede ser modificada para incluir el reuso de frecuencia Fe. M ≈ (1.11) W 1 1 ⋅ ⋅ G ⋅ Fe R ( Eb / N 0 ) α Como ejemplo analizaremos la capacidad del sistema IS-95: Ancho de banda =1.25 Mhz. G = 2.55 ganancia de sectorización. Fe = 0.65 factor de reuso de frecuencia. α = 0.5 actividad por voz. Eb/No = 7db = 5. W = 1.25 Mhz. R = 9.8 Kbps. M= 2 W E R b N0 1 1 (G )(Fe) = 128 (2.55)(.65) = 85 α .5 Usuarios por célula2 El número de usuarios del sistema IS 95 está además limitado a los 64 códigos Walsh disponibles. 13 1.2.4 Generación de Códigos Walsh En 1923 J.L. Walsh publicó un artículo titulado “Un conjunto cerrado de funciones ortogonales normales”.Walsh demostró que las funciones eran ortogonales, normalizadas y completas. Por ortogonales se entiende que al multiplicar cualquier par de funciones distintas, e integrar sobre el intervalo, el resultado es cero. Por normal se entiende que si las dos funciones son una y a la vez la misma, la integral de su producto es la unidad. La palabra completo tiene un fundamento muy abstracto y no lo definiremos aquí. En CDMA, todos los usuarios comparten la misma banda todo el tiempo. La forma de evitar interferencia, es la utilización de códigos ortogonales. Los códigos Walsh, se pueden generar a partir de la matriz de Hadamard de la siguiente manera [7]. La matriz básica para la construcción de los códigos es la siguiente. HN HN H2N= __ HN HN 0 0 0 1 H2 = (1.12a) Se repite el proceso iterativo hasta alcanzar la matriz de orden deseado, por ejemplo: H4 = H2 H2 __ H2 H2 = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 (1.12b) 14 H8 = H4 H4 __ H4 H4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 (1.12c) Cada renglón en la matriz es un código de Hadamar-Walsh. La longitud de los códigos varía normalmente entre 100 y 1000. 1.2.5 Generación de Secuencias PN Las secuencias PN pueden ser utilizadas para cambiar las secuencias de datos a otra secuencia en forma aleatoria o bien como códigos de expansión. Similar al código Walsh, la secuencia PN En el estándar IS-95 se utiliza una secuencia PN larga de 248 bits. realiza la expansión o dispersión del espectro, sin embargo las secuencias PN tienen características de autocorrelación que las hacen insustituibles [1].3 Estas características son: Propiedad de balance. En un período completo de una secuencia PN, el número de 1s difiere del número de 0s por uno cuando más. Propiedad de carrera. En cada secuencia hay 2n-1 cambios entre secuencias de 1s y 0s. Hay la mitad se secuencias de largo 1.(un cuarto para 0s y un cuarto para 1s ). Hay un cuarto de secuencias de largo 2 (ya sean dos ceros o dos unos). Un octavo de secuencias de largo 3, etc. 3 En el estándar IS-95 se utiliza una secuencia PN larga de 248 bits. 15 Propiedad de correlación. Si una secuencia completa es comparada bit a bit con cualquier secuencia obtenida de desplazar la primera, el número de coincidencias menos el número de no coincidencias es siempre –1. La generación de secuencias PN se lleva a cabo por registros de corrimiento retroalimentados. Las secuencias generadas por n registros tienen una longitud de 2n-1 bits.La figura 1.6 muestra un ejemplo de generador de secuencias PN. Sumador Modulo 2 R1 R2 R3 R4 R5 + R6 Salida Figura 1.6 Ejemplo de generador de secuencias PN de 6 estados. 1.3 Modulación y Demodulación [1] En un sistema de comunicación el canal se caracteriza como el medio que perturba la señal transmitida. Cuando tenemos una descripción estadística precisa del proceso aleatorio del canal de ruido, tal como el proceso Gaussiano, entonces somos capaces de definir receptores óptimos que pueden ser implementados en el mundo real. Un diagrama a bloques de un sistema de comunicación es presentado en la figura 1.7, en la cual {m1} denota un conjunto de M mensajes a ser transmitidos hacia el receptor por medio de un conjunto de señales {si}. 16 Mensaje Transmisor {s i ( t ) } {mi } Canal Receptor r(t) n(t) i=0,1…,M-1 Figura 1.7 Diagrama a bloques del sistema de comunicación sobre un canal con Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA). La forma onda de onda recibida queda determinada por la señal transmitida la cual es perturbada por en ruido n(t). Si el canal es RBGA entonces r(t) = si (t) + n(t) (1.13) El ruido n(t) es una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza σ2= N0/2, Pn (α ) = 1 2π σ n α 2 exp − 2σ n2 (1.14) Si el mensaje transmitido por la señal si(t) es mi, se puede escribir la función densidad de probabilidad (fdp) de la variable aleatoria r(t), dado que si(t) es transmitido. Pr (α mi ) = 1 2π σ n (α − s ) 2 i exp − 2 2σ n (1.15) La fdp condicional de la forma de onda recibida, dado que el mensaje es transmitido es llamada función de verosimilitud en vista del hecho de que el modo (el valor mas similar ) es el valor si correspondiente al mensaje transmitido. 1.3.1 Representación Vectorial de las Formas de Onda Una aproximación básica en el desarrollo del diseño de un receptor óptimo, empieza con la idea de que las formas de onda pueden ser representadas por vectores N dimensiónales. 17 La idea es remplazar un conjunto de M formas de ondas {si(t)}, por vectores Ndimensionales si = (si1, si2,..., siN) utilizando formas de onda ortonormales (ON) { ϕj(t), 0≤t≤T }, j=1,2,...,N. Esto es S i (t)=S i 1 ϕ 1(t) + S i 2 ϕ 2 (t) +…+ S i N ϕ N(t) 0≤t≤T (1.16a) Donde las funciones ON {ϕ j (t )} tienen la propiedad 1, 0, ∞ ∫− ∞ ϕ j (t) ϕ k (t) dt = δ jk ∆ j=k j≠ k En donde hemos usado la delta de Kronecker (1.16b) δ jk. Las formas de onda representadas en 1.16a son análogas a la siguiente representación vectorial. ∧ si = si ∧ ∧ 1 ϕ 1 + si 2 ϕ 2 + L + siΝ ϕ Ν 2 (1.16c) Donde es ϕ̂ j es visto como el vector unitario en el j-ésimo eje de los N ejes mutuamente perpendiculares ϕ1, ϕ2,...,ϕN. Así el conjunto de señales {si(t), i=0,1,...,M-1. puede ser representado por M vectores {si}en un espacio vectorial de señales N-dimensional. n(t), función de ruido m {m } i Transmisor s(t) Canal r(t) ∧ Receptor m i decisión {s (t)} {mi } i Forma de onda recibida (a) Sistema de comunicación de con formas de onda 18 n, vector de ruido m s Transmisor {m } {s } i Canal s Receptor ∧ m i decisión {mi } i (b) Sistema de comunicación vectorial Vector recibido Figura 1.8 Representación de sistemas de comunicación con formas de onda y vectorial. En (1.16) los coeficientes {sij}, j=1,2,...,N de las funciones ON {ϕj(t)}, j=1,2,...,N son extraídas de la siguiente operación ∫ sij ∆ T 0 si (t ) ϕ j (t ) dt (1.16c) Donde ∫ T 0 T N si (t )ϕ j (t )dt = ∫ ∑ sik ϕ k (t ) ϕ j (t ) dt 0 k =1 N = ∑s ∫ K =1 ik T 0 N ϕ k (t ) ϕ j (t ) dt = ∑ sik δ kj = sij K =1 Que es la operación de correlación por lo que los componentes vectoriales si1,si2,...,siN son extraídos de N correlacionadores como se muestra en la figura 1.8. Consideremos dos funciones del tiempo u(t) y ν(t) con transformadas de Fourier U(f) y V(f), respectivamente, se asume que tenemos un conjunto de funciones ON {ϕj(t)}, 0<t<T, j=1,2,...,N. Entonces 19 N u(t)= ∑ u j ϕ j (t ) 0≤ t ≤ T (1.17a) j =1 y N v(t ) = ∑ v j ϕ j (t ) 0≤ t ≤ T (1.17b) j =1 Las representaciones vectoriales de u(t) y v(t) son u = (u1 , u 2 ,L, u N ) (1.17c) v = (v1 , v 2 ,L, v N ) (1.17d) T N N = u t v t dt u t ( ) ( ) ϕ ( ) ∑ v k ϕ k (t ) dt j j ∫0 ∫0 ∑ j =1 k =1 (1.17e) Entonces T N = ∑ u jv j j =1 y v1 v N u ⋅ v = uvT = (u1 , u2 ,...u N ) 2 = ∑ u j v j M j =1 vN (1.17f) 20 ⊗ ∫ ( )dt T 0 Si1 ϕ1 (t ) si (t ) ⊗ ∫ ( )dt ϕ 2 (t ) M ⊗ T 0 ∫ ( )dt T 0 Si2 S iN ϕ N (t ) Figura 1.9 Extracción de los componentes vectoriales en si=(ss1,si2,...siN) de las forma de onda si(t), por medio de la correlación de si(t) con ϕj(t), 0<t<T, j=1,2,...,N. De (1.17e) se observa que el producto de las dos funciones del tiempo (señales ) es igual al producto escalar de los dos vectores representando las funciones del tiempo. Se define la siguiente notación: ∞ T −∞ 0 u (t ), v(t ) ∆ ∫ u (t )v(t )dt = ∫ u (t )v(t )dt (1.18a) u , v ∆ u ⋅ v = uv T (1.18b) que representa el producto escalar (operación de correlación) en un espacio de funciones mientras (1.18b) representa el producto escalar en un espacio vectorial. 21 Así que las relaciones (1.17e) y (1.17f) implican que N u (t ), v(t ) = ∫0 u (t )v(t )dt = u , v = ∑ u j v j T j =1 (1.19a) El teorema de Parseval se define como: ∫ ∞ ∞ u (t )v∗ (t )dt = ∫−∞ U ( f )V ∗ ( f )df −∞ ó ∫ ∞ ∞ u (t )v(t )dt = ∫−∞ U ( f )V (− f )df −∞ Para u(t)=ν(t), tenemos, ∫ ∞ ∞ −∞ 2 2 u 2 (t )dt = ∫−∞ U ( f ) df = u = Ε (1.19b) Donde E es la energía de la señal u(t). Para u(t)=s(t) se tiene: 2 2 u = s = Ε = s, s = s ⋅ s = ssT (1.19c) Esta es una expresión que se usa principalmente en el análisis de sistemas de comunicación vectorial. Para el vector s, s2 es el cuadrado del largo del vector y de (1.19b) y (1.19c) se obtiene que la energía de la señal es igual al cuadrado del largo del vector que representa la forma de onda. T Ε = ∫0 s 2 (t )dt = s 2 (1.19d) Consideremos como ejemplo que los vectores de señal s0 y s1 mostrados en el espacio vectorial de dos dimensiones en la figura 1.10 se desea analizar las formas de onda de esos vectores escogiendo las funciones ON; ϕ1(t) y ϕ2(t) , 0<t<T. 22 ϕ2 s0 ϕ1 0 s 1 Figura 1.10 Dos señales vectoriales en un espacio vectorial dos-dimensional. Consideremos las siguientes formas de onda: ϕ1 (t ) = 2 sin 2π f 0t T 0≤t ≤T (1.20a) ϕ 2 (t ) = 2 cos 2π f 0 t T 0≤t ≤T (1.20b) Donde f0 = n/T, con n entero. Asumiendo que s 0 2 2 = s1 = E , las señales vectoriales son: s 0 = ( s 01, s 02, ) = (0, Ε ) (1.20c) s1 = ( s11, s12, ) = (0,− Ε ) ya que las formas de onda {si(t)}, i = 0,1 están dadas por: s i (t ) = si1ϕ1 (t ) + si 2ϕ 2 (t ) (1.20d) Tenemos que: 23 2E cos 2πf 0 t , T s 0 (t ) = 0 ⋅ ϕ 1 (t ) + Ε ⋅ ϕ 2 (t ) = (1.20e) y s1 (t ) = 0 ⋅ ϕ1 (t ) − Ε ⋅ ϕ 2 (t ) = − 2E cos 2πf 0 t , T (1.20f) Las señales s0 y s1 son de la forma: si = 2E cos(2πf 0t − iπ ) = T 2E cos(2πf 0t − θ i ) , i=0,1 T (1.20g) Donde θ0=0 y θ1=π y así esas formas de onda son conocidas como Binary Phase Shift Keying (BPSK). Considerando las siguientes 4 señales vectoriales: s0 = (0, E ) s1 = (− E , 0) s2 = (0,− E ) s 3 = ( E , 0) (1.21a) Ya que las formas de onda {si(t)}, i=0,1,2,3,4 están dadas por 1.20d tenemos: s 0 (t ) = 0 ⋅ ϕ1 (t ) + E ⋅ ϕ 2 (t ) = 2E cos 2πf 0 t , T s1 (t ) = − E ⋅ ϕ 1 (t ) + 0 ⋅ ϕ 2 (t ) = − s 2 (t ) = 0 ⋅ ϕ1 (t ) − E ⋅ ϕ 2 (t ) = − s 3 (t ) = E ⋅ ϕ 1 (t ) + 0 ⋅ ϕ 2 (t ) = 2E sin 2πf 0 t , T 2E cos 2πf 0 t , T 2E sin 2πf 0 t , T 0≤t≤T (1.21b) 0≤t≤T (1.21c) 0≤t ≤T (1.21d) 0≤t ≤T (1.21e) 24 ϕ2 s0 s 1 0 s3 ϕ1 s2 Figura 1.11 Cuatro señales en un espacio vectorial dos-dimensional. Las formas de onda {si(t)} pueden ser expresadas como s1 (t ) = π 2E cos(2πf 0 t + i ), i = 0,1,2,3; T 2 0≤t ≤T (1.21f) Las formas de onda han sido representadas por cuatro vectores, como un conjunto de dos señales BPSK conocidas como Quadrature Phase-Shift Keying (QPSK). Los dos ejemplos mostrados pertenecen al caso en el que las señales vectoriales dadas son transformadas en formas de onda basadas en funciones ON senoidales. Ahora escogemos funciones ON diferentes y se muestra que las formas de onda transmitidas son totalmente diferentes. 25 Consideremos las siguientes pulsos unitarios como formas de onda ON. ϕ1 (t ) = 2 2t 1 Re ct − T T 2 ϕ 2 (t ) = 2 2t 3 Re ct − T T 2 2 /T 2 /T T 2 t T 2 T t T Figura 1.12 Dos pulsos sin traslape como un conjunto de funciones ON para síntesis de señales de formas de onda. Las correspondientes formas de onda son ( s 0 = 0, E ( ) → s0 (t ) = 2E T 3 2t rect − , 2 T (1.22a) 2E T 1 2t − rect , 2 T (1.22b) E,0 ) → s1 ( t ) = − s 2 = 0,− E ) → s2 (t ) = − 2E T 3 2t − rect , 2 T (1.22c) → s3 (t ) = 2E T 1 2t − rect , 2 T (1.22d) s1 = − ( s3 = ( E ,0 ) 26 1.3.2 Principios de Receptores Óptimos para Canales Gaussianos Consideremos la figura 1.14 la cual muestra un sistema de comunicación M-aria en la cual un conjunto de M mensajes {mi}, i=0,1,...,M-1, van a ser comunicados al final del receptor por medio de un conjunto de M señales vectoriales {si}, i=0,1,...,M-1. Es decir que el sistema utiliza un mapeo {mi}→ {si}, donde, [1] si = (si1, si 2 , L, siN ), i = 0,1,..., M − 1 (1.23a) s0 (t ) s 1 (t ) 2E /T 2E / T 0 s2 (t ) 0 − 2E/ T T 2 T 2 T t 0 s3 (t ) T t 0 T 2 T 2 T T t t − 2E/ T Fig. 1.13 Formas de onda del transmisor para la señales vectoriales de la figura 1.11 sintetizadas con las formas de onda ON mostradas en la figura 1.12. 27 Perturbación Decisión n m {mi } s {si } Transmisor ∧ r Canal Receptor m {mi } Datos {P(mi )}, i = 0,1,..., M − 1 Figura 1.14 Sistema de comunicación vectorial. El canal corrompe los componentes vectoriales transmitidos con el vector de ruido n, dado por: n=(n1, n2, ..., nN) (1.23b) y produce el vector r en el receptor r = (r1 , r2 ,..., rN ) (1.23c) Los mensajes {mi} son eventos aleatorios con probabilidades a priori conocidas {P(mi)}, i=0,1,…,M-1 tal que ∑ M −1 i =0 P(mi ) = 1 . El desarrollo del diseño de receptores óptimos puede llevarse a cabo asumiendo que la perturbación es un proceso aleatorio de ruido con distribución conocida. Ahora suponemos que el vector recibido es r = γ = (γ 1 , γ 2 ,..., γ N ) (1.24a) Para el mensaje transmitido m del vector de señal s. Aunque no sabemos cual es el mensaje enviado, el conocimiento de la pdf (función densidad de probabilidad )del vector de ruido n=(n1,n2,…,nn) dará la forma de la función de 28 verosimilitud, la cual es la pdf condicional de unión del vector recibido r, teniendo la forma, Pr (γ s ) = Pr (γ 1 , γ 2 ,..., γ N m) (1.24b) En el receptor óptimo, uno tiene que calcular todas las probabilidades a posteriori { P ( mi r = γ ) }, i=0,1,...,M-1. Donde iff significa si y solamente si. Se propone el criterio de decisión MAP (máxima probabilidad a posteriori) como { } (1.24c) Pr (γ , mi ) P(mi ) Pr (γ m = mi ) = Pr (γ ) Pr (γ ) (1.24d) mˆ = mk iff P ( mk r = γ ) = max P (mi r = γ ) i pero P(mi r = γ ) = Donde Pr (γ ) = Pr1,r 2,...,rN (γ 1γ 2 ,..., γ N ) Asumiendo que los M posibles mensajes son equiprobables, se puede simplificar (1.24c) como se muestra a continuación. mˆ = mk iff Pr (γ ) = Pr1,r 2,...,rN (γ 1 , γ 2 ,..., γ N s = s k ) =max {Pr1,r 2,...,rN (γ 1 , γ 2 ,..., γ N s = si )} i (1.24e) Donde el lado derecho de (1.24e) es un conjunto de M funciones de verosimilitud, así que el criterio de decisión MAP es reducido al criterio de decisión de máxima verosimilitud (ML), cuando la probabilidad de los mensajes se asume igual. 29 1.3.3 El Receptor de Correlación Consideremos la figura 1.15 donde se describe la comunicación vectorial M-aria, Ndimensional sobre un canal con ruido blanco Gaussiano aditivo, se especifican los vectores de señal, de ruido y recibido como sigue: m ↔ s = ( s1 , s 2 ,..., s N ) n = (n1 , n2 ,..., nN ) (1.25a) r=s+n=(s1+n1,s2+n2,…,sN+nN) Asumiendo que s y n son estadísticamente independientes4 y que los N componentes de n son estadísticamente independientes, variables aleatorias Gaussianas con media cero y todas con varianza σ2, tenemos la regla ML, mˆ = mk iff Pr (γ s = s k ) = max{Pr (γ s = si )} i (1.25b) = max {Pn (γ − si )} i m {mi } n = (n1 , n2 ,..., n N ) s r Transmisor Receptor {si } s + n i = 0 ,1,..., M − 1 ∧ m {m } i Figura 1.15 Comunicación vectorial M-aria, N-dimensional. Donde 4 Esa condición significa que Pr (γ s ) = Pn (γ − s s ) = Pn (γ − s ) ó Pn|s = Pn . 30 Pn (γ − si ) = Pn1,n 2 ,...,n (γ 1 − si1 , γ 2 − si 2 ,..., γ N − siN ) (1.25c) N Utilizando los N independientes y e idénticamente distribuidos vectores Gaussianos de ruido: Pn ( β ) = Pn1,n 2 ,...,n ( β 1 , β 2 ,..., β N ) = N 1 (2πσ 2 ) N / 2 1 N 2 exp − βj 2 ∑ 2σ j =1 (1.25d) El criterio de decisión ML queda como: mˆ = mk iff Pr (γ s = s k ) = max {Pn (γ s = s i )} i 1 1 = max exp − 2 N /2 2 2σ i (2πσ ) N ∑ (γ j =1 { N = min ∑ (γ j − sij ) 2 = min γ − s i i j =1 i j 2 − sij ) 2 } (1.25e) En la cual el producto punto de un vector con él mismo, se reconoce como el cuadrado del largo. En la ecuación (1.25e) está implícito que el criterio de decisión ML (regla de recepción óptima) es la regla de decisión de la distancia mínima. La regla de decisión ML puede ser descrita también como sigue: mˆ = mk iff Pr (γ s = s k ) = max {Pn (γ s = s i )} i ⇒ { min γ − si i 2 } 31 = { min 2 γ − 2 γ , si + si i ⇒ min { γ , si i 2 } } (1.25f) Donde se asume que cada señal tiene la misma energía. 2 T si = ∫0 si2 (t )dt = E , i = 0,1,..., M − 1 notamos que el término γ2 (1.25g) es independiente del índice de decisión “i”. Debemos observar que la regla de decisión de máxima verosimilitud es la regla de decisión de máxima correlación así como también una regla de decisión de distancia mínima. La operación de correlación ese define tanto en el espacio vectorial como en el espacio de funciones (formas de onda): T r (t ), si (t ) ∆ ∫ r (t ) si (t ) dt 0 r,s = (1.25h) N ∑ j =1 r j s ij (1.25i) Es importante notar que el sistema de comunicación vectorial implementa un receptor de correlación como se muestra en la figura 1.16 basado en la expresión (1.25i), la cual es una condición suficiente para la regla de decisión ML. 32 ∫0 ( )dt T r , s0 r1 Cómputo ϕ1 (t ) ∫0 ( )dt T r (t ) ϕ 2 (t ) M r2 ∫ 0 ( )dt ∑ ri sij ∧ m j =1 M T r , s1 N i =0,1,...,M−1 M r , s M −1 rN L ϕ N (t ) s0 s1 s M −1 Disponibles en el receptor Figura 1.16 Receptor de correlación que garantiza la regla de decisión ML para comunicación M-aria sobre canales de vector N-dimensionales en RBGA. 1.3.4 El Sistema DS-BPSK [17] La expresión para la BPSK (Binary Phase Shift Keying) es : Φ(t ) = Ap(t ).Cosω c t (1.26) Donde: p(t): es una función de conmutación binaria con estados posibles ±1 y gobernada por la señal modulante (entrada). A: es la amplitud de la señal ωc: es la frecuencia de la señal portadora 33 La señal de espectro expandido DSSS resultante es: χ (t ) = Ac(t ) p(t ).Cosω c t (1.27) Donde: c(t) es la señal de modulación expansora. Una elección común para c(t) es la de la secuencia binaria de ruido pseudoaletorio (PN) o un código Walsh con valores ±1. A continuación se muestra el sistema BPSK para espectro expandido. Figura 1.17 MODEM de espectro disperso DSSS-BPSK. (a) Modulador. (b) Demodulador. La demodulación de esta señal de espectro expandido DS requiere la multiplicación por c(t) y por cos(ωct), un filtro de integración y descarga, y un umbral de decisión binario. Se supone que existe sincronización de la fase entre el transmisor y el receptor, no solo para la señal BPSK sino también para la señal expansora. La sincronización y la multiplicación apropiadas de la señal expansora así como el conocimiento de esta señal en el receptor, se llama contracción y es una función crítica de los sistemas de espectro expandido.[8] 34 La densidad espectral de potencia de la señal expansora c(t) es: S ch (ω ) = Tch Sa 2 (ω Tch / 2 ) (1.28) donde Tch es la duración de los pulsos del código5. La densidad espectral de potencia de la señal SS-BPSK modulada es: S φ (ω ) = { } 1 2 A Tch Sa 2 [(ω + ω c )Tch / 2] + Sa 2 [(ω − ω c )Tch / 2] 2 (1.29) En la figura 1.16 (b) el receptor en el sistema de espectro expandido DS multiplica la señal de entrada con la señal expansora c(t) con la portadora cosωct. No sólo es necesario sincronizar el oscilador de la frecuencia portadora en el receptor con el del transmisor, sino también sincronizar el generador de la señal en el receptor con el del transmisor. El procedimiento de sincronización en el receptor, requiere que el receptor tenga (o pueda generar) una réplica de la secuencia PN correcta. Un método comúnmente usado para la adquisición es el de búsqueda escalonada en serie. En este método, la salida de un generador PN en el receptor se multiplica con la corriente de bits de entrada. La señal resultante se aplica a un filtro pasa-banda (centrado en ωc), luego a un detector de envolvente y a un detector de umbral que se fija para que se dispare si se presenta un “buen” emparejamiento. En ausencia de dicho emparejamiento, la sincronía de la secuencia PN en el receptor prosigue y se repite el proceso. Una vez completada la adquisición, el receptor debe ser capaz de mantener el alineamiento de tiempo correcto de la secuencia PN recibida y la réplica generada dentro de una fracción del intervalo de chip. Un circuito usado a menudo con este propósito es el lazo de amarre de retardo (DLL). El empleo de este circuito supone una sincronización inicial en un medio del intervalo de chip [8]. 5 El subíndice ch se utiliza por chip (bits de código) y b para bits (bits de datos). 35 CAPÍTULO II EL CANAL MÓVIL Entre la antena del transmisor y la antena del receptor, la señal transmitida sufre varios efectos. El término “canal” se refiere a esos efectos en la señal. Incluidos en el canal están la atenuación o pérdidas de trayecto, ruido y varios fenómenos de desvanecimientos (fading). En la mayoría de los casos, el ambiente radio-móvil no será tan bueno como un canal con ruido (RBGA) solamente. La detallada caracterización de la propagación resulta en desvanecimientos, el cual es en sí un proceso multiplicativo, variante en el tiempo, aplicado al canal [3]. 2.1 Modelos de Propagación [7] Las pérdidas de trayecto se refieren a la atenuación que la señal sufre en todo el trayecto, desde el transmisor hasta el receptor. En este apartado se describen el modelo para el espacio libre y la fórmula empírica de Hata. Se ha elegido la fórmula de Hata por que es un modelo ampliamente usado para el diseño de sistemas celulares. 2.1.1 Pérdidas en el Espacio Libre Este modelo, nos representa solo las perdidas caudas por la propagación de una onda esférica, que se radia a partir de un punto en el espacio. 36 Lp = −32.4 − 20 log( f ) − 20 log(d ) (2.1) Donde: Lp: pérdidas de trayecto en decibeles f: frecuencia (en MHz) d: distancia (en Km) 2.1.2 Modelo de Hata El modelo de Hata está basado en mediciones empíricas tomadas en ambientes urbanos. Este modelo además de la distancia y la frecuencia, considera la altura de las antenas de la estación base y el móvil así como la densidad de los edificios. Su definición en decibeles es la siguiente:1 Lp = − K 1 − K 2 log( f ) + 13.82 log(hb ) + a(hm ) − [44.9 − 6.55 log(hb )]log(d ) − K 0 (2.2) Donde: Lp; son las pérdidas de trayecto en decibeles f; es la frecuencia (en MHz) hb; es la altura de antena de la estación base (en metros), y es válido de 30 m a 200 m hm; es la altura de antena de la estación móvil (en metros), es válido de 1m a 10 m d; es la distancia entre la estación base y el móvil (en Km), es válido de 1km a 20 Km a(hm) y K0; son calculados a partir del tipo de ambiente, ya sea en ambiente urbano o denso urbano K1 y K2; son calculados a partir de los rangos de frecuencias a(hm)=[1.1log(f)-0.7]hm – [1.56log(f)-0.8] para ambiente urbano a(hm)=3.2[log(11.75hm)]2 – 4.97, para ambiente urbano denso K1=69.55 para un rango de frecuencias de 150 MHz < f < 1000 MHz K1=46.3 para un rango de frecuencias de 1500 MHz < f < 2000 MHz 1 Información detallada del modelo en [6]. 37 K2= 26.16 para un rango de frecuencias de 150 MHz < f < 1000 MHz K2=33.9 para un rango de frecuencias de 1500 MHz < f < 2000 MHz 2.2 Modelos de Canales [1] Algunos modelos matemáticos describen los efectos del canal sobre la señal variando en el tiempo. Esos modelos están dados matemáticamente como una función del tiempo, la cual puede además ser descrita en el dominio de la frecuencia. Un componente importante del canal es el arribo de múltiples réplicas de la señal interfiriendo con la señal deseada. Otro efecto importante es el desplazamiento en frecuencia en la señal debido al movimiento relativo entre transmisor y receptor. 2.2.1 Función Dispersión de Retardo Un efecto del canal es el de crear múltiples réplicas de la señal que llega con varias amplitudes y fases. Este efecto puede ser medido y expresado matemáticamente. Consideremos un canal que es presentado con una envolvente compleja de la señal de entrada z(t), donde z (t ) = I z (t ) + jQz (t ) (2.3a) el canal afectará a la señal de entrada de tal manera que producirá la señal envolvente compleja ω(t) a la salida, donde ω (t ) = I w (t ) + jQw (t ) (2.3b) La entrada y salida pueden ser expresadas en función de la frecuencia tomando la transformada de Fourier, 38 ∞ Z ( f ) = F {z (t )} = ∫ z (t )e − j 2πft (2.3c) dt −∞ y ∞ W ( f ) = F {ω (t )} = ∫ ω (t )e − j 2πft dt (2,3d) −∞ en el dominio del tiempo, la envolvente compleja de la salida del canal puede ser expresada como la convolución de la envolvente compleja de la entrada z(t) con la función del canal g (τ ; t ); ω (t ) = ∞ ∫ z (t − τ ) g (τ ; t )dt (2.4) −∞ donde la función del canal g (τ ; t ) es la función de dispersión de retardo del canal y generalmente es una variable compleja. z(t) Canal (t) ω(t) Figura 2.1 El efecto del canal en la señal de entrada z(t). Si la entrada al canal fuera un impulso a un tiempo t = τ 0 , entonces usando z (t ) = δ (t − τ 0 ) en (2.4) tenemos ∞ ω (t ) = ∫ δ (t − τ 0 − τ ) g (τ ; t )dt = g (t − τ 0 ; t ) (2.5) −∞ El ejemplo muestra que la función de dispersión de retardo g (τ ; t ) es la respuesta del canal al tiempo t a un impulso en el tiempo t- τ . Así, este impulso fue transmitido τ segundos antes que la respuesta al tiempo t. El ejemplo de hecho muestra que la función de dispersión de retardo de un canal puede ser encontrada enviando un impulso y midiendo los 39 impulsos recibidos. El canal también puede ser caracterizado en términos de intervalos discretos (i.∆τ ) del tiempo de retardo como la suma: ω (t ) ≈ ∑ z (t − i∆τ ) g (i∆τ ; t )∆τ (2.6) i Así que el canal puede ser visto como una línea de retardo con cada etapa afectada por un coeficiente de amplitud. La salida es una suma de las versiones retardadas de la señal de entrada, cada una pesada por un coeficiente de amplitud. Un diagrama de esta representación esta dado en al figura 2.2. Para un sistema causal, tal como un canal de propagación: g (τ ; t ) = 0 Además para τ <0 (2.7) si el sistema es invariante en el tiempo entonces la dependencia puede establecerse como: g (τ ; t ) ≡ g (τ ) (2.8a) Entrada z(t) Línea de retardo g(1;t) g(2;t) g(3;t) … g(N;t) Sumatoria Salida ω(t) Figura 2.2 El canal produce réplicas de la señal de entrada. por lo tanto, el canal actúa como un filtro ordinario en el cual la salida es la convolución de la entrada y la respuesta al impulso. 40 ω (t ) = z (t ) * g (t ) = ∞ ∫ z (t − τ ) g (τ )dτ (2.8b) −∞ Un canal típico de multitrayecto es usado para demostrar la función de dispersión de retardo: supóngase que la entrada al sistema esta dada por z(t)=s(t) (valor real) y la salida del canal esta dada por ω (t ) = α 1 s (t − τ 1 ) + α 2 s(t − τ 2 ) + ........ + α N s(t − τ N ) N = ∑ α k s(t − τ k ) (2.9a) (2.9b) k =1 = ∞ N −∞ k =1 ∫ s(t − τ ).∑ α kδ (τ − τ k )dτ (2.9c) una comparación de (2.9c) con (2.4) conduce a una función de dispersión de retardo que es la superposición de los impulsos retardados: g (τ ; t ) = N ∑α δ (t − τ k =1 k k ) (2.10) esta forma de la función de dispersión de retardo puede ser vista gráficamente en la figura 2.3. 41 g(τ ;t) α 2 (t ) α 1 (t ) α 3 (t ) α 4 (t ) α N (t ) τ1 τ2 τ3 τ τN τ4 Figura 2.3 La función de dispersión de retardo de un canal móvil típico. La dispersión de retardo, denotada como ∆τ indica el grado de la dispersión en tiempo en el canal. La dispersión de retardo del canal puede ser encontrada de varios momentos de la función de dispersión de retardo, g (τ ; t ) . La dispersión de retardo es la raíz cuadrada de la diferencia entre la media del retardo al cuadrado y el cuadrado del retardo medio, que es expresado como 1 2 ∫τ g (τ ; t )dτ ∫τg (τ ; t )dτ ∆τ (t ) = (τ 2 ) − (τ ) 2 = − ∞∞ − −∞∞ g (τ ; t )dτ g (τ ; t )dτ ∫ ∫ − ∞ −∞ ∞ ∞ 2 2 (2.11) la relación entre algunos de los parámetros de (2.11) y la función de dispersión de retardo de un canal multitrayecto es mostrado en la figura 2.4. La dispersión de retardo del canal depende en parte de la proximidad de objetos dispersores al transmisor y al receptor. Otro factor es la cantidad de agentes dispersores en el ambiente. La tabla 2.1 muestra ejemplos típicos de dispersión de retardo en diferentes ambientes [9]. El retardo mínimo τ 0 es el tiempo requerido por la señal para propagarse directamente del transmisor al receptor. 42 Tipo de ambientes Dispersión de retardo Dentro de edificios <0.1 µ s Áreas abiertas <0.2 µ s Áreas suburbanas 0.5 µ s Áreas urbanas 3 µs Tabla 2.1 Valores típicos de dispersión de retardo. ∆τ g(τ;t) α 2 (t ) α 1 (t ) α 3 (t ) α 4 (t ) α N (t ) τ1 τ2 τ3 τ4 τN τ __ τ Figura 2.4 La dispersión de retardo puede ser calculada usando varios momentos de la función de dispersión de retardo. La mayoría de las señales multitrayecto se agrupan justo después que se ha recibido la primera señal. Los retardos largos con respecto a τ0 son recibidos raramente. Así es común modelar esta distribución de la dispersión de retardo como una distribución exponencial desplazada por τ0. Si esta distribución es normalizada por su dispersión de retardo se tiene: g (τ ; t ) ∫ ∞ −∞ g (τ ; t )dτ = 1 −(τ −τ 0 ) / ∆τ .e , ∆τ τ ≥τ0 (2.12) 43 La media de la distribución exponencial normalizada es: τ= 1 ∆τ ∞ ∫τ τ e −(τ −τ 0 ) / ∆τ 0 dτ = ∆ τ + τ 0 (2.13a) La media cuadrática de la distribución esta dada por τ2 = 1 ∆τ ∞ ∫τ τ 2 e − (τ −τ 0 ) / ∆τ 0 dτ = ∆2τ + (∆ τ + τ 0 ) 2 (2.13b) Así, la desviación estándar para un retardo con distribución exponencial es: σ τ ∆ τ 2 − (τ ) 2 = ∆ τ (2.13c) f (τ ) ∆τ τ0 τ Figura 2.5 Distribución de retardos, aproximada por la función exponencial. 2.2.2 Función de Transferencia en el Dominio de la Frecuencia La función dispersión de retardo y su parámetro asociado ∆ τ han sido descritos en el dominio del tiempo. Los efectos de la dispersión de retardo pueden ser descritos en el dominio de la frecuencia, en base a la función de transferencia del canal. 44 La función de transferencia de un sistema se define como la salida dividida entre la entrada. Esto es: T ( f ;t) = W( f ) Z( f ) (2.14a) y ∞ T ( f ;t) = ∫ g (τ ; t )e − j 2πf τ dτ =ℑ{g (τ ; t )} (2.14b) −∞ En general T(f;t) es una función compleja variante en el tiempo. j 2πf d t Si la estrada de un sistema lineal invariante en tiempo es e , del cual su transformada de Fourier es δ(f-fd), entonces la salida está dada por: ∞ ℑ {H( f )δ ( f − f d )}= ∫ H( f )δ ( f − f d )e j 2πft df = H( f d )e j 2πfdt −1 (2.15) −∞ Donde H(fd) por definición describe la ganancia del sistema a la entrada ej2πfdt. Se asume que la señal de valor real de pasa banda es x(t ) = cos[ 2π ( f o + f d )t ] = cos( 2πf o t + 2πf d t ) = R (t ) cos[ 2πf o t + φ (t )] (2.16) El valor de la envolvente R(t) es 1 y la función de fase φ(t)=2πfdt. La envolvente compleja esta dada por: x(t ) = R (t )e jφ (t ) = 1 ⋅ e j 2πf d t = cos( 2πf d t ) + jsen ( 2πf d t ) (2.17) 45 Cuando la envolvente compleja de la entrada del canal variante en el tiempo es la exponencial compleja: z = e j 2πf d t , la envolvente compleja de la salida del canal está dada por: ∞ ∞ −∞ −∞ − j 2πf τ j 2πf ( t −τ ) j 2πf t ∫ g (τ ; t )e d dτ = e d ∫ g (τ ; t )e d dτ (2.18) La integral del lado derecho es la transformada de Fourier de la función de dispersión de retardo con respecto a la variable de retardo τ, entonces la envolvente a la salida es e j 2πf d t ∞ ∫ g (τ ; t )e − j 2πf d τ dτ =e j 2πf d t ⋅ T ( f d ; t ) (2.19) −∞ A partir de la función de transferencia puede ser explicado el concepto de ancho de banda de coherencia para el canal alrededor de la frecuencia f0 y el tiempo t. Supongamos que dos componentes de señal, z1 y z2, tienen frecuencias (f0+fd) y (f0-fd), esto es que la señal contiene las senoides: z1 (t ) = A1 cos[ 2π ( f 0 + f d )t + φ1 ] = Re{ A1e j 2πf d t + jφ1 ⋅ e j 2πf o t } (2.20a) z2 (t ) = A2 cos[ 2π ( f 0 + f d )t + φ2 ] = Re{ A2e j 2πf d t + jφ 2 ⋅ e j 2πf o t } (2.20b) Con la respectiva envolvente compleja z1 (t ) = A1e j 2πf d t + jφ1 z2 (t ) = A2e − j 2πf d t + jφ 2 y (2.21) Las envolventes complejas para esas frecuencias a la salida del canal son ω1 (t ) = z1 ⋅ T ( f d ; t ) = A1e j 2πf dt+ jφ1 ⋅ T ( f d ; t ). (2.22a) y ω 2 (t ) = z 2 ⋅ T (− f d ; t ) = A2 e − j 2πf dt+ jφ 2 ⋅ T (− f d ; t ) (2.22b) 46 En donde la frecuencia central f0 está implícita en la definición de T(f ; t), ya que la operación del canal en la envolvente compleja de la señal esta bajo consideración. Una medida de coherencia o acuerdo entre los componentes de la señal en el dominio de la frecuencia, después de ser afectadas por el canal es la función de correlación o función de coherencia: E{ω1 , ω 2 } = E{z1 .z 2 } E{T ( f d ; t ) ⋅ T (− f d ; t )} 2 = E{z1 .z 2 } E{ T ( f d , t ) } ∆ C ( f d ; t ) (2.23) Donde E{.} denota la esperanza (promedio estadístico). El ancho de banda de coherencia del proceso recibido se define como la separación de la frecuencia mas allá de la cual las componentes de la envolvente compleja recibida son estadísticamente independientes, bajo la consideración que los efectos aleatorios del canal son modelados por una adecuada función de dispersión de retardo g(τ;t), es decir una VA Gaussiana, para la cual la independencia estadística es igual a una correlación de cero entre sus componentes. Como una medida práctica en lugar de una correlación de cero, podemos definir el ancho de banda de coherencia Bc como la separación de frecuencia fd =Bc tal que, C(Bc;t)=0.5 (2.24) La separación de frecuencia a la cual la coherencia entre componentes de la señal cae a la mitad es dos veces el ancho de banda de coherencia o 2Bc. Asumiendo que la correlación entre los componentes de la señal original E{z1 . z2}es relativamente indepeniente de la frecuencia, la coherencia es proporcional al valor promedio de |T(fd;t)|2 , la magnitud al cuadrado de la función de transferencia del canal. 47 El ancho de banda de coherencia del canal puede ser definida como el valor de fd=Bc, que causa que el valor de |T(fd;t)|2 caiga a un medio de su valor para fd=0. Es decir que Bc puede ser visto como el ancho de banda de 3 dB del canal , alrededor de la frecuencia f0, como se observa en la figura 2.6. T ( f ;t) 2 3 dB f Bc Figura 2.6 Definición de ancho de banda de coherencia del canal en términos de la 2 función de transferencia en frecuencia. T ( f d ; t ) . Por ejemplo, supóngase que la función dispersión de retardo es no variante en tiempo y esta dada por: g (τ ; t ) = g e (τ ) = ke − (τ −τ 0 ) / ∆τ (2.25) Donde τ≥τ0 y k es una constante. La función de transferencia quedaría expresada como: ∞ T ( f ; t ) = Te ( f ) = F{g e (τ )} = ∫ ke −(τ −τ 0 ) / ∆τ .e − j 2πfτ dτ τ0 (2.26a) =e − j 2πfτ 0 ∞ ∫τ ke − ( j 2πf∆τ +1)(τ −τ 0 ) / ∆τ dτ (2.26b) 0 ∞ ke − j 2πfτ 0 k∆τ = e − x / ∆τ dx = e − j 2πf τ 0 ∫ 1 + j 2πf ∆τ 0 1 + j 2πf ∆τ (2.26c) 48 La medida de coherencia para este ejemplo es: | Te ( f d ) |2 1 1 = = 2 2 | Te (0) | | 1 + j 2πf d ∆τ | 1 + (2πf d ∆τ ) 2 (2.27) y el ancho de banda de coherencia es: 1 1 + ( j 2πf d ∆τ ) 2 2.2.3 = f d = Bc 1 2 ⇒ Bc = 1 2π ∆τ (2.28) Función de Dispersión Doppler En el dominio de la frecuencia la transformada de Fourier de la envolvente de salida compleja W(f) respecto al parámetro de retardo τ, puede ser modelada como el producto de la función de transferencia de frecuencia del canal T(f;t) por la transformada de la envolvente compleja de entrada Z(f); esto es W(f)=Z(f)·T(f;t). La transformada de la envolvente compleja de salida puede además ser modelada como la convolución de la envolvente compleja de entrada y una función llamada función de dispersión Doppler H(v;f): ∞ W( f ) = ∫ Z ( f − v) H (v; f )dv = [Z (α ) ∗ H (α ; f )]α =f (2.29) −∞ Suponiendo que la función de dispersión Doppler es un impulso H(v,f)=Kδ(v-fd), entonces la salida del canal en el dominio de la frecuencia es: ∞ W ( f ) = ∫ Z ( f − v) Kδ (v − f d )dv = KZ ( f − f d ) (2.30) −∞ El valor de H(v;f) en v es la porción del espectro de salida a la frecuencia f que se debe al desplazamiento del espectro de entrada hasta por v Hz. 49 Las reflexiones de objetos en movimiento pueden causar un desplazamiento Doppler en el dominio de la frecuencia. En una situación multitrayecto, que envuelve movimiento, el espectro de salida del canal puede ser la superposición de varias versiones del espectro de entrada desplazado. El canal puede además ser caracterizado en términos de intervalos discretos (i·∆v) como la suma W ( f ) ≈ ∑ Z ( f − i∆v) × H (i∆v; f )∆v (2.31a) i ∞ = ∫ Z ( f − v) H (v; f )dv (2.31b) −∞ de la ecuación (2.31b) se observa que el espectro de salida del canal es la suma ponderada de las versiones desplazadas del espectro de entrada, como se ilustra en la figura 2.7. El grado de dispersión Doppler es caracterizado por Fs (Dispersor Doppler) el cual es definido como la raíz-cuadrática-media del segundo momento de H(v;f) ∞ ( Fs ) ∆ ∫ v 2 H (v; f )dv 2 (2.32) −∞ Entrada Z(f) Desplazamientos en frecuencia H(1;f) H(2;f) H(3;f) Sumatoria …H(N;f) Salida W(f) Figura 2.7, El espectro de salida es una suma ponderada de los desplazamientos del espectro de entrada. 50 H(ν;f) Fs ν Figura 2.8, Relación del dispersor Doppler a la distribución de desplazamiento de frecuencia ν. 2.2.4 Dispersión en Tiempo y en Frecuencia Combinados. La función de dispersión de retardo se ha utilizado para modelar el canal de propagación con desplazamientos en el dominio del tiempo. Estos retardos son causados por la reflexión de la señal sobre múltiples objetos. El canal con dispersión de retardo es modelado con la convolución de la función de dispersión de retardo y la función de entrada. De forma similar la función de dispersión Doppler modela el canal con desplazamientos en el dominio de la frecuencia. Estos desplazamientos en la frecuencia se deben al movimiento de los objetos dispersores. convolución de la función de El canal con dispersión Doppler es modelado por la dispersión Doppler y la entrada en el dominio de la frecuencia. Estos modelos envuelven una simple convolución y/o la transformada de Fourier. Ahora se plantea la combinación de los dos modelos de canal para producir un modelo que incluye tanto a la convolución como a la transformada de Fourier. La salida del canal puede ser escrita como: ω (t ) = ∞ ∫ z (t − τ ) g (τ ; t )dτ (2.33a) −∞ ∞ = ∫ z (t − τ ) ∫ U (τ ; v )e j 2πvt dv dτ −∞ −∞ ∞ (2.33b) 51 En la cual U(τ;v) se introduce como la transformada de Fourier de g(τ;t) con respecto a la variación temporal del canal: ∞ U (τ ; v)∆ ∫ g (τ ; t )e − j 2πvt dt (2.34) −∞ U(τ;v) es una función de dispersión de retardo-Doppler que modela tanto dispersión en retardo del tiempo como en dispersión en desplazamiento de frecuencia, donde el canal de salida puede ser visto como la suma ponderada de los retardos y corrimientos de frecuencia en la entrada. ω (t ) ≈ ∑∑ ∆τ ∆v z (t − i∆τ ) × U (i∆τ ; k∆v) × e j 2πk∆vt i (2.35a) k = ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ z (t − τ ) ∫ U (τ ; v)e j 2πvt dvdτ (2.35b) 2.3 Tasa de Desvanecimientos [1] 2.3.1 Caracterización del Canal Aleatorio de Desvanecimientos Se demostró que los efectos de un canal dispersivo en tiempo o en frecuencia pueden ser modelados escribiendo su salida w(t) como la superposición de réplicas retardadas de la entrada del canal z(t). 52 ω (t ) = ∑ α n (t ) z [t −τ n (t ) ] (2.36) n Con el efecto sobre la envolvente compleja respectiva con relación a la frecuencia central f0 siendo modelada por: ω (t ) = ∑ α n′ ( t ) z [t −τ n ( t ) ], n α n′ ( t ) = α n ( t ) e − j 2 π f 0τ n ( t ) (2.37a) La función de dispersión de retardo-variante en el tiempo que corresponde a este modelo es: g (τ ; t ) = ∑ αn′ (t )δ [τ −τ n (t ) ] n (2.37b) Los factores de atenuación variantes en el tiempo {α n′ (t )}, son números complejos que representan las pérdidas de propagación y los desplazamientos de fase de la frecuencia central en las trayectorias individuales indexadas con n. Un tipo de desvanecimiento en la señal recibida ocurre cuando se mueven ya sea el transmisor o el receptor, causando variación en las pérdidas de propagación. Los retardos en tiempo {τn(t)} son números reales que representan los retardos de una trayectoria. La tasa a la cual esos retardos varían influencia fuertemente los efectos del canal multitrayecto sobre la señal. Suponiendo que la señal transmitida es una senoide de amplitud unitaria a frecuencia f0 y que no hay movimiento relativo entre el transmisor y el receptor. Entonces la envolvente compleja de la señal y su transformada de Fourier son: z (t ) = 1 y Z( f ) = δ ( f ) (2.38a) 53 La envolvente compleja de la salida del canal en el dominio del tiempo es: ∞ w(t ) = ∫ 1. g (τ ;t ) dτ −∞ = ∑ α n′ (t ) = ∑ α n (t ) e − j 2πf0τ n ( t ) = ∑ α n (t ) e − jθn ( t ) (2.38b) n n n Las variaciones en el tiempo de los factores de atenuación {α n (t )} es usualmente insignificante excepto para grandes cambios dinámicos en el medio. Sin embargo los ángulos de fase {θn(t)} pueden cambiar rápidamente en 2π, mientras un retardo τn varia tan solo en ± 1/f0 Los retardos en el tiempo pueden variar aleatoriamente y a diferentes tasas. El efecto neto de esta variación es producir una envolvente compleja a la salida del canal que puede ser modelada en el dominio del tiempo como un proceso aleatorio gaussiano complejo. En este caso la función de dispersión de retardo puede verse como un proceso aleatorio Gaussiano complejo de la variable t. La variación en la envolvente compleja de salida es conocida como desvanecimiento (fading). La magnitud de un proceso Gaussiano complejo de media cero g (τ ; t ) es una variable aleatoria de distribución Rayleigh. Por esta razón el fenómeno creado por variaciones en los retardos de tiempo es denominado desvanecimiento tipo Rayleigh. Dado que la función de dispersión de retardo g (τ ; t ) es una variable aleatoria Gaussiana de media cero, esta puede ser descrita por la función de correlación: { } 1 R g (τ ; ∆t )∆ E g * (τ ; t ) g (τ ; t + ∆t ) 2 (2.39) 54 en la cual el asterisco (*) denota el complejo conjugado. En el caso especial de no invariante en tiempo la función de correlación es llamada perfil de intensidad multitrayectoria R g (τ ; t ) ≡ φ g (τ ) . Esta función puede tomar la forma [21]: φ g (τ ) = Ke−(τ −τ 0 ) / Tm , τ ≥ τ0 (2.40) El valor Tm es una medida alternativa de dispersión de retardo, que es aplicada a medios aleatorios donde ∆τ se ha usado previamente. Dado que T(f,t) es un proceso aleatorio Gaussiano complejo de media cero, este puede ser descrito por la función de correlación: { } 1 RT (∆f ; ∆t )∆ E T * ( f ; t )T ( f + ∆f ; t + ∆t ) 2 (2.41) Esta función es algunas veces llamada función de correlación de canal frecuencia-espaciada tiempo-espaciado [22]. Para el caso invariante en tiempo RT(∆f,0) = φT(∆f) es la transformada de Fourier de φg(τ): ∞ φT (∆f ) = ∫ e − j 2π∆fτ φ g (τ )dτ (2.42) −∞ Usando el modelo exponencial de (2.40), el valor de φT(∆f) es: ∞ φT (∆f ) = ∫ e − j 2π∆fτ ⋅ Ke −(τ −τ 0 ) / Tm dτ (2.43a) τ0 = KTme − j 2π∆fτ 0 1 + j 2π (∆f )Tm (2.43b) 55 donde la magnitud de la función de correlación en el dominio de la frecuencia: |φT(∆f)| es máximo en ∆f=0 y que cae a ½ de su valor para 2π(∆f)Tm = 1. Así que βc=1/Tm puede ser definida como una medida del ancho de banda de coherencia del canal aleatorio. Cuando βc =1/Tm es pequeño en comparación con el ancho de banda de la señal Ws, el contenido de frecuencia de la señal es distorsionado por el canal y se dice que el desvanecimiento del canal es selectivo en frecuencia, lo cual tiene el mismo significado que dispersivo en tiempo, dado que un Bc pequeño es equivalente a un Tm grande. Ws βc = Ws Tm >> 1 Dispersivo en tiempo o selectivo en frecuencia (2.44) Cuando βc =1/Tm es grande comparado con el ancho de banda de la señal, el contenido de frecuencia de la señal no es distorsionado por el canal y se dice que el desvanecimiento del canal es plano en frecuencia. Ws βc = Ws Tm << 1 No- dispersivo en tiempo o plano en frecuencia (2.45) Cuando el ancho de banda de la señal excede ampliamente el ancho de banda de coherencia del canal, se sigue que la duración del símbolo es mucho mas pequeña que la dispersión de retardo, permitiendo la resolución de componentes de multitrayecto. Ws >> β c Ts = 1 1 << Tm = βc Ws Cuando el ancho de banda de la señal es mucho menor (2.46) que el ancho de banda de coherencia del canal, se sigue que la duración del símbolo es mas grande que la dispersión de retardo. Esto reduce la interferencia intersímbolo debido a las trayectorias múltiples pero las trayectorias como tales no se pueden resolver. 56 Ws << β c Ts = 1 1 >> Tm = βc Ws (2.47) De forma similar a la función de correlación frecuencia-espaciada RT(∆t;0) = φT(∆f), se puede definir una función de correlación tiempo-espaciada como RT(0,∆t) = ψT(∆t) [22]. Es posible obtener la transformada de Fourier de la función de correlación frecuencia espaciada-tiempo espaciado con respecto a ∆t. La transformada respecto al parámetro del tiempo nos representa el contenido en frecuencia (desplazamiento Doppler) de las variaciones en tiempo del canal. S T (∆f ; λ )∆ ℑ{RT (∆f ; ∆t )} ∞ = ∫ R (∆f ; ∆t )e T − j 2πλ ( ∆t ) d (∆t ) (2.48a) (2.48b) −∞ Para el caso particular de ∆f=0, tenemos: ∞ S (λ ) ≡ ST (0; λ ) = ∫ψ T (∆t )e − j 2πλ ( ∆t ) d (∆t ) (2.49) −∞ El cual es llamado el espectro de potencia Doppler del canal aleatorio [22]. El ancho de banda de S(λ) es conocido como la dispersión Doppler del canal y puede denotarse como βd. Debido a que S(λ) y ψT(∆t) son un par de transformadas de Fourier, entendemos que un βd grande corresponde a un tiempo de correlación corto (tiempo de coherencia Tc) en T(f;t) o desvanecimiento rápido. De forma similar un βd corto corresponde a un tiempo de correlación largo en T(f;t) o desvanecimiento lento. 57 Un resumen de las relaciones entre la función de correlación frecuencia-espaciada y el perfil de intensidad multitrayecto, así como de la relación entre la función de correlación de tiempo-espaciado y el espectro de potencia Doppler se muestra en la figura 2.9. Función de correlación frecuencia-espaciada Intensidad multitrayecto |φT(∆f)| βc φg(τ) φT(∆f) β≅1/T φg(τ) T ∆f Ancho de banda de coherencia,βc Dispersión de retardo,Tm Función de correlación tiempo-espaciado Espectro de potencia Doppler |ΨT(∆t)| S(λ) ΨT(∆t) Tc≅1/βd Tc S(λ) βd ∆t Tiempo de coherencia, Tc Dispersión Doppler, βd Figura 2.9 Resumen de las características del canal de radio móvil. 58 2.3.2 Terminología Utilizada en Desvanecimientos Varios términos usados comúnmente describen el canal de desvanecimientos. Entre ellos los llamados desvanecimientos de termino-largo y desvanecimientos de término-corto, los cuales se relacionan con el promedio local e instantáneo de los niveles de la señal. El desvanecimiento de frecuencia selectiva como su nombre lo dice, afecta solo ciertas frecuencias. El desvanecimiento selectivo en tiempo afecta de manera análoga en el dominio del tiempo. Un canal que es selectivo tanto en tiempo como en frecuencia se dice que es de doble dispersión. En un canal de desvanecimiento plano, no hay mecanismos de desvanecimientos dominante, pero el desvanecimiento ocurre debido a las fluctuaciones del canal aleatorio. Las fluctuaciones en el nivel de la señal recibida, que son ocasionadas debido al movimiento de los usuarios radio-móviles llamadas desvanecimientos, se derivan de varios efectos. Entre estos se incluye la variación en las pérdidas de trayecto, cuando el receptor o transmisor se mueven. Las variaciones en las pérdidas de trayecto y la interferencia pueden ser causadas por el movimiento de los obstáculos mientras el transmisor y el receptor están estacionarios. Además se agrega un efecto que es causado por las variaciones en la atmósfera. En la figura 2.10 se muestra un gráfica del nivel de la señal recibida, por un receptor móvil mientras que este se mueve en la zona de cobertura. en la cual se muestran dos componentes principales. El primero son las fluctuaciones rápidas de la señal y el segundo las variaciones lentas de la señal, la cual es obtenida del promedio local de la señal. El desvanecimiento de termino-largo se asocia con los cambios lentos mientras que el desvanecimiento de término-corto se asocia con los cambios rápidos. 59 Fuerza de la señal en Valor Tiempo Figura 2.10 Desvanecimientos de término largo y término corto. El nivel de la señal recibida en decibeles sería, la suma de los términos largo y corto, VdB (t ) = VdB(l arg o ) (t ) + VdB( corto ) (t ) (2.50a) Por lo tanto en escala absoluta, el nivel de la señal en función del tiempo, es el producto del termino largo y termino corto. V (t ) = V (l arg o ) (t ) × V ( corto ) (t ) (2.50b) En general el término largo de desvanecimientos es debido a factores de propagación, mientras que el término corto es debido al multitrayecto (Desvanecimientos Rayleigh). Cuando el canal es dispersivo en tiempo, es decir que estrecha los pulsos en el tiempo debido a la propagación multitrayecto, la combinación de retardos en el tiempo tiene un efecto de dependencia de la frecuencia sobre la señal. Los términos frecuencia selectiva y dispersión en tiempo son equivalentes. 60 Un canal es considerado selectivo en frecuencia cuando la dispersión de retardo es mucho mas grande que el inverso del ancho de banda y se expresa como: ∆ τ >> 1 / Ws (2.51) Si el canal tiene una dispersión de retardo significativa pero una dispersión Doppler insignificante, éste puede ser descrito como un canal plano dispersivo en tiempo. Cuando el canal es dispersivo en frecuencia ,es decir que estrecha el ancho de banda de la señal en el dominio de la frecuencia debido al efecto Doppler, la combinación del desplazamiento Doppler tiene un efecto de dependencia en el tiempo sobre la señal. Los términos selectivo en tiempo y dispersivo en frecuencia son equivalentes. Un canal es considerado selectivo en tiempo cuando la dispersión Doppler es significativamente más grande el ancho de banda de la señal. Fs >> Ws (2.52) Si el canal tiene una dispersión Doppler significativa pero una dispersión de retardo insignificante, este puede ser descrito como un canal plano dispersivo en frecuencia. Si el canal tiene tanto una dispersión de retardo significativo como una dispersión Doppler significativa, este es descrito como selectivo en tiempo y frecuencia, o dispersivo en tiempo y frecuencia, o simplemente doblemente dispersivo. En términos del ancho de banda de las señales, los canales doblemente dispersivos son aquellos para los que: ∆ τ >> 1 / Ws y Fs >> Ws (2.53) El termino desvanecimiento plano se refiere a la situación en donde ni la dispersión de retardo ni la dispersión Doppler son significativos. En términos de ancho de banda, los canales de desvanecimiento plano son aquellos para los que: ∆ τ << 1 / Ws y Fs << Ws (2.54) 61 Las variaciones que en la recepción dan lugar al desvanecimiento ocurren en el tiempo. Sin embargo para el canal de desvanecimiento plano, éstos son asociados con la aleatoriedad del canal más que con el movimiento o con otras fuentes de variación en el tiempo. Un resumen de los tipos de canales de desvanecimiento se presentan en la figura 2.11. Ws Ts = 1 Ws << β c y Ts << Tc ⇓ Ws Ts = 1 << β c Tc , β d Tm = Ws <<βc y Ts >>Tc 1 << 1 β c Tc • Plano, desvanecimientos lento • Plano, desvanecimientos rápido • Una trayectoria aparente • Una trayectoria aparente • Canal constante durante el símbolo • El canal varía durante el símbolo Ws >> β c y Ts >> Tc ⇓ Ws >> β c y Ts << Tc Ws Ts = 1 >> β cTc , β d Tm = • Selectivo en frecuencia, desvanecimientos lento • Resuelve múltiples trayectos • Canal constante durante el símbolo • 1 >> 1 β cTc Selectivo de frecuencias, desvanecimientos rápido • Resuelve múltiples trayectos • El canal varía durante el símbolo Tabla 2.2 Resumen de los tipos de canales de desvanecimiento. 62 CAPÍTULO III DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA 3.1 Consideraciones de Diseño La simulación en computadoras ha llegado a convertirse en una técnica popular para la evaluación del desempeño de sistemas de comunicaciones. En esta técnica todos los componentes de principio a fin del enlace de comunicaciones deben ser representados con adecuada fidelidad. Los procesos de simulación y modelado son frecuentemente aplicados en diferentes estados del ciclo de vida de ingeniería de sistemas. En el estado de conceptualización, la simulación es típicamente usada para explorar que sucede si cambian los escenarios en diseño. En el diseño de sistemas inalámbricos por ejemplo, el diseñador puede seleccionar de entre varios tipos de receptores y cambiar los tipos de uso de suelo para entonces realizar las pruebas de tasa de tramas erróneas (FER) hasta determinar el esquema más conveniente para el tipo de canal de comunicaciones en consideración. Una de las grandes ventajas del simulador es la caracterización del desempeño estadístico del sistema en estudio. En muchas ocasiones los eventos a ser caracterizados ocurren solo en raras ocasiones, por ejemplo la tasa de bits erróneos (BER). En casos como éste, es necesario generar una correspondiente cantidad de datos para asegurar el significado estadístico de los resultados. Es prudente observar de 10 a 100 de los eventos que son caracterizados estadísticamente, es decir de 10 a 100 veces el inverso de la tasa de bits erróneos. Por ejemplo para una tasa de bits erróneos de 10-5, es recomendable observar: ( ) 100 10 5 = 10 7 bits. 63 En la figura 3.1 se muestra un esquema general del simulador del sistema de comunicación de espectro disperso. El programa realizado en MATLAB 5.2 tiene tres bloques principales; el primero asociado a las características y parámetros del transmisor, donde es posible incorporar hasta 20 transmisores operando de manera simultanea, el siguiente modulo corresponde al canal, el cual permite manipular las condiciones del medio al agregar atenuación, ruido y desvanecimientos lentos. Finalmente se tiene el módulo del receptor donde se recibe la señal que ha “viajado” a través del canal. El receptor del tipo correlacionador utilizará la secuencia o código del primer transmisor para demodular los datos, además un segundo demodulador recupera bits de código (chips). El demodulador presenta en tiempo real una estadística para tasa de bits erróneos (BER), tasa de chips erróneos (CER) y tasa de trama erróneas (FER). Finalmente se presenta un resumen de resultados estadísticos y las gráficas de la simulación del desempeño del sistema. Figura 3.1 Diagrama general del sistema de comunicación implementado. 64 3.2 La Estructura General del Programa En la figura 3.2 se muestra un esquema general de los bloques principales que componen el programa realizado Desde la pantalla principal (figura 3.3) se invocan hasta 37 subprogramas durante toda la simulación. Desde la pantalla principal es posible abrir y manipular, el bloque transmisor, el canal, el receptor y una pantalla de resultados. En el módulo del transmisor se configuran los parámetros del tipo de modulación, los datos de información, el tipo de códigos de expansión utilizados y la potencia de transmisión. Hasta 20 transmisores pueden ser utilizados para simular interferencia de acceso múltiple (MAI). En el módulo del canal se incorporan los bloques de pérdidas de trayecto, ruido y desvanecimientos. El bloque de pérdidas permite seleccionar el modelo del espacio libre o el modelo empírico de Hata, también es posible introducir un valor de pérdidas por el teclado. En el bloque de ruido se incorporan el ruido blanco gaussiano aditivo y ruido con distribución uniforme. El bloque de desvanecimientos permite incorporar desvanecimientos lentos tipo log-normal. PRINCIPAL RUIDO PÉRDIDAS DATOS CÓDIGOS RECEPTORES CANAL TRANSMISOR SS-BPSK HATA ESP. LIBRE RBGA UNIFORME ESTADÍSTICAS FADING LOG-NORMAL POTENCIA Figura 3.2 Diagrama a bloques del sistema. 65 En el receptor se consideran dos demoduladores. Con el fin de recuperar chips se tiene un demodulador BPSK (Binary Phase Shift Keying), mientras que para la recuperación de los 10 bits transmitidos por el primer modulador, se tiene un SS-BPSK (Spread Spectrum Binary Phase Shift Keying). Cuando se ejecuta el botón BER del menú principal, el programa llama a los dos demoduladores, después guarda en una matriz los resultados y regresa al canal, donde agrega nuevamente ruido y atenuación para demodular nuevamente tanto bits como chips, esto se convierte en un proceso iterativo para el estudio de grandes cantidades de tramas según sea el caso de estudio. Figura 3.3 Pantalla principal del simulador. 66 3.2.1 El Transmisor El transmisor utilizado es un SS-BPSK (Spread Spetrum Binary Phase Shift Keying), en la figura 3.4 se muestra el esquema general del transmisor implementado. Tanto los datos a transmitir como la amplitud de la señal y los tipos de códigos son manipulables para simular acceso múltiple de hasta 20 usuarios. D1 D2 Dn X X X C1 Cos(ωt) A1 X X X C2 Cos(ωt) A2 X X X Cn Cos(ωt) An ∑ Figura 3.4 Esquema general del transmisor implementado. En la figura 3.5 se muestra la pantalla del transmisor, en la cual se lleva a cabo la generación aleatoria o bien la introducción de los datos que forman una trama, también se lleva a cabo la selección de los códigos y la amplitud utilizada para el modulador SSBPSK. Estos datos se guardan en una matriz temporal, para su manipulación posterior en el canal. La primera gráfica muestra los datos de entrada (izquierda) y la segunda los 3 67 primeros chips de la señal de salida modulada SS-BPSK (derecha). En el recuadro blanco (abajo) se observan los datos que han sido utilizados para generar la salida modulada. El recuadro del centro de la pantalla (arriba) se indica el número de modulador que se ejecuta. Es posible repetir el proceso hasta 20 veces, para generar 20 transmisiones simultáneas en CDMA (Code Division Multiple Access). Figura 3.5 Pantalla del transmisor. 3.2.1.1 Secuencias PN Para la generación de las secuencias PN (Pseudo Noise) se ha implementado en el simulador el arreglo de la figura 3.6 , el cual utiliza un mecanismo de Galois. 68 R1 R2 R3 R4 R5 + P(0) Salida Figura 3.6 Arreglo de registros utilizado para la generación de secuencias PN del simulador. Utilizando una carga inicial de todos 1s y se generaron 26-1=63 códigos o secuencias de 63 bits cada uno. La secuencia PN generada por el arreglo de la figura 3.6 es la siguiente: PN1=[0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,1 ,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1] Las otras 62 secuencias son generadas por un desfasamiento de 1 bit en la secuencia original. La función de autocorrelación de la secuencia PN1 se muestra en la figura 3.7, donde el eje horizontal muestra los 63 códigos y el eje vertical la función de autocorrelación de la secuencia PN1 con las restantes 62 secuencias PN. AUTOCORRELACIÓN NÚMERO DE CÓDIGO Figura 3.7 La función de autocorrelación de la secuencia PN generada. Esta importante característica de correlación en secuencias PN permite la sincronización del transmisor y el receptor. El receptor va desfasando la secuencia de entrada y la compara con su propia secuencia hasta conseguir la máxima correlación (ver figura 3.7), 69 que indica que las secuencias están alineadas. En cualquier otro caso la correlación será baja (-1). Se puede demostrar fácilmente que las secuencias PN cumplen las tres propiedades que un código debe tener para ser usado en acceso múltiple (ecuaciones 1.2 y 1.3). Con el fin de ajustar el tamaño de los códigos a 64 se agregó un cero al inicio de cada secuencia1. La secuencia PN ajustada es la siguiente: PN1=[0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0 ,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1] Ahora tenemos 64 códigos, pero a cambio de este ajuste se ha perdido cierta ortogonalidad. Su función de autocorrelación se ve modificada en la figura 3.8. AUTOCORRELACIÓN NÚMERO DE CÓDIGO Figura 3.8 Función de autocorrelación de las secuencias PN ajustadas. Esta es la secuencia PN que utiliza el simulador. Se puede observar que se mantiene cierta ortogonalidad y el beneficio de tener una buena función de correlación. La ortogonalidad garantiza el rechazo a la información que no va destinada a nuestro receptor, mientras que 1 Esta operación también se realiza en el estándar IS-95. 70 la función de autocorrelación permite sincronizar transmisor y receptor, e identificar la señal (o estación base) que nos corresponde. 3.2.1.2 Códigos Walsh En base a la matriz de Hadamard (ecuación 1.12) se construyó un conjunto de códigos ortogonales de 64 bits. La figura 3.9 muestra los primeros 42 códigos Walsh utilizados. Figura 3.9 Códigos Walsh. 71 ORTOGONALIDAD a) NÚMERO DE CÓDIGO ORTOGONALIDAD b) NÚMERO DE CÓDIGO Figura 3.10 Ortogonalidad de los Códigos. a) Códigos Walsh, b) Secuencias PN ajustadas. La figura 3.10 muestra una comparación de la ortogonalidad de los códigos Walsh y las secuencias PN ajustadas. Para la obtención de las gráficas se han utilizado los códigos Walsh H10 y la secuencia PN10. Se puede observar la perfecta ortogonalidad de los códigos Walsh mientras que las secuencias PN presentan cierta variación alrededor de cero. 3.2.2 Canal de Comunicaciones En el canal, la suma de señales de distintos transmisores ha generado cierta interferencia (en este caso debido a que los códigos no son perfectamente ortogonales), además de esto, la señal va a sufrir de varios efectos más. Los efectos que se han incluido en el canal del simulador son representativos de un canal de comunicaciones móvil: pérdidas de trayecto, ruido y desvanecimientos. 72 EFECTOS CONSIDERADOS PARA EL CANAL DE COMUNICACIONES Pérdidas de trayecto Modelo de Hata Espacio Libre Modelo del usuario Ruido Desvanecimientos lentos Blanco Gaussiano Aditivo(RBGA) Log-normal Distribución Uniforme Tabla 3.1 Efectos del canal de comunicaciones. Figura 3.11 Pantalla del canal de comunicaciones del simulador. 73 En la figura 3.11, la primera gráfica muestra la interferencia de señales y la segunda muestra como la señal es corrompida por los efectos del canal de comunicaciones. Las señales SS-BPSK de los transmisores, han sido sumadas en forma sincrónica en el canal. Ahora se les ha agregado pérdidas de trayecto, ruido y desvanecimientos. En los sistemas de espectro disperso normalmente el ruido en el canal es muchas veces mayor que la potencia de las señales transmitidas, por lo que la señal en el canal aparenta ser una función solo de ruido. 3.2.2.1 Ruido Los tipos de ruido considerados en el canal son el de distribución normal (RBGA) y el de distribución uniforme, aunque el tipo de ruido que caracteriza el canal de radio es RBGA, se ha considerado con fines didácticos y de análisis el ruido con distribución uniforme. El ruido blanco gaussiano aditivo es generado con una variable aleatoria gaussiana con media cero y la desviación estándar depende de la amplitud del ruido: Ruido = randn (10,64,189).*DEP La función randn está incluida en MATLAB 5.2 y genera números aleatorios con una distribución normal, de media cero y varianza unitaria. El ruido generado es multiplicado por el factor DEP, que se introduce por el teclado como la amplitud de ruido. En esta parte se puede solicitar al programa que despliegue la relación señal a ruido. En el intervalo (0,1) se genera el ruido de distribución uniforme, los valores de la matriz generada se desplazan 0.5 para obtener una media cero. Este ruido generado es directamente sumado a la señal del canal, a la cual se le ha agregado previamente pérdidas de trayecto: Ruido = rand (10,64,189)-0.5 .*DEP 74 3.2.2.2 Desvanecimientos El Desvanecimiento lento del tipo log-normal, es incorporado a las características del canal móvil de radio, esto es con el fin de considerar el efecto de las zonas de sombra en la propagación [1]. Para obtener la variable log-normal primero se genera una variable aleatoria Gaussiana x(t), la cual se utiliza para generar una variable con distribución lognormal [4]: Ln = 10 σ x 20 (3.1) Donde: x: es una variable gaussiana con media cero y varianza unitaria. σ: desviación estándar2 Una característica importante del desvanecimiento es su función cov x (t1 , t 2 ) = x&1 (t1 ) x& 2 (t 2 ) de covarianza: (3.2) Donde: x&1 (t1 ) y x& 2 (t 2 ) : Son los primeros momentos centrales de cada realización. Dado un conjunto de n variables denotadas como {x1 },...{x 2 } , la covarianza cov( xi , x j ) de xi y x j se define como: cov( xi , x j ) ≡ ( xi − µ i )( x j − µ j ) = xi x j − x i x j (3.3) Donde µ i = xi y µ j = x j son la media de xi y x j respectivamente. La figura 3.12 muestra dos realizaciones de desvanecimientos típicos, donde se han considerado 50 muestras. En la figura 3.13 se observa la función de covarianza de estas dos realizaciones. 2 Para el modelo empírico de Longley-Rice σ varia entre 8 y 10 dB. 75 AMPLITUD TIEMPO Figura 3.12 Dos realizaciones de desvanecimiento. Tiempo Covarianza 2 1.5 5 1.08 10 0.02 15 0.2 20 0.07 30 -0.26 40 -0.38 50 -0.05 Tabla 3.2 Valores de covarianza para la dos realizaciones de la figura 3.12. COVARIANZA TIEMPO Figura 3.13 Función de covarianza para las dos realizaciones de la figura 3.12. 76 3.2.3 Receptor En el receptor se consideran dos demoduladores. Con el fin de recuperar chips (bits de código) se tiene un BPSK (Binary Phase Shift Keying), mientras que para la recuperación de los 10 bits de datos transmitidos por el primer modulador, se tiene un SS-BPSK (Spread Spectrum Binary Phase Shift Keying). La figura 3.14 muestra la arquitectura del demodulador, el cual utiliza sincronía perfecta entre transmisor y receptor. La decisión se toma al final del periodo Tch para cada chip que arriba. Para recuperar bits la integración se realiza sobre un periodo Tb, es decir cada 64 chips, al final del cual se toma la decisión. Con el fin de analizar grandes cantidades de información, es posible entrar en un ciclo de múltiples ensayos de transmisión y recepción. En este caso, el programa utiliza los bits que se han elegido para transmitir y el código asignado en el primer demodulador, sin embargo en cada ensayo el programa modifica las variables aleatorias para ruido, y atenuación en el canal. ∫ Tch 0 Dispositivo de decisión Chips Dispositivo de decisión Bits X Cos (ω0t) X ∫ Tb 0 C1 Figura 3.14 Arquitectura del demodulador. 77 Se ha implementado en el receptor un sencillo esquema de detección de errores en tramas por paridad, con esto se obtiene una estadística de tasa de tramas erróneas (FER) detectadas. 3.2.4 Estadísticas El programa cuenta con una pantalla para desplegar las estadísticas de la simulación, donde se muestran resultados en forma gráfica y numérica para el número de tramas erróneas (FER), número de bits erróneos (BER) y número de chips erróneos (CER) que han sido detectados por el demodulador. En la figura 3.15 las gráficas del centro muestran una comparación de los errores detectados con las curvas de probabilidad de error esperados para BPSK y SS-BPSK en RBGA. En la figura 3.15 se observa una gráfica de la probabilidad de error contra la relación señal a ruido para BPSK (derecha) y otro para SS-BPSK (izquierda). Estos trazos corresponden al desempeño del sistema en la recuperación de bits y chip respectivamente, cuando el canal es RBGA. El resultado de la simulación aparece con un asterisco (*), y representa la relación S/N en el receptor contra la cantidad de errores encontrados en la simulación. Es posible repetir el experimento para distintas relaciones S/N, entonces varios resultados serán observados en la misma gráfica. 78 Figura 3.15 Pantalla de estadísticas del simulador. 3.3 Alcances y Limitaciones Esta herramienta de simulación puede ser utilizada de múltiples maneras: • Pueden probarse los límites de funcionalidad del sistema de espectro disperso en CDMA. • Puede realizarse la comparación de códigos de expansión, en términos de su ortogonalidad, cuando se utilizan varios transmisores. • Es posible simular la tasa de bits erróneos (BER), la tasa de chips erróneos (CER) y la tasa de tramas erróneas (FER), para el sistema CDMA. 79 • Es posible, realizar comparaciones de la cantidad de errores que introducen las distribuciones de ruido gaussiana o uniforme. • Es posible calcular la atenuación para distintos tipos de uso de suelo, por ejemplo, zona urbana, densa-urbana o espacio libre. • Se puede simular para distintas potencias (efecto captura) en CDMA. La facilidad en la manipulación de los datos y la visualización de las señales y gráficas es un valor agregado en esta herramienta de simulación. La herramienta de software presentada, puede de ser de utilidad tanto para estudiantes de la carrera de ingeniería en comunicaciones como para ingenieros de diseño de sistemas. 80 CAPÍTULO IV APLICACIONES 4.1 Interferencia Introducida por Multicanalización en CDMA Sabemos que tanto los códigos Walsh como las secuencias PN pueden ser utilizadas para ensanchar la información de banda base y obtener espectro disperso, no obstante estos códigos de expansión poseen diferentes propiedades. La propiedad de ortogonalidad, permite al receptor rechazar toda la información que no va dirigida hacia él, así, tenemos que mientras que los códigos Walsh son perfectamente ortogonales, las secuencias PN no lo son, sin embargo la utilización de secuencias PN está justificada por su función de correlación, la cual, permite sincronizar el transmisor con el receptor. La secuencias PN utilizadas, pueden considerarse como un código único, a partir del cual se generan otros códigos mediante desplazamientos del código original. En tiempo discreto las dos secuencias x y y son ortogonales si se cumple la siguiente relación: l Rxy = x T y = ∑ xi yi = 0 i =1 En la figura 4.1 se tiene una comparación de la ortogonalidad para ambos tipos de códigos. En este caso se han utilizado los códigos Walsh H10 y PN10. De la observación de las gráficas es claro que las secuencias PN introducirán interferencia adicional al sistema, interferencia que redundará en un aumento de la tasa de bits erróneos. 81 ortogonalidad ortogonalidad número de código número de código Figura 4.1 Comparación de la ortogonalidad de los códigos Walsh y secuencias PN. 4.1.1 Planteamiento del Problema A medida que el número de usuarios aumenta, también, la interferencia en el canal aumenta. Es necesario medir la cantidad de usuarios que pueden acceder simultáneamente al canal sin que se rebase la relación señal a ruido mínima necesaria para establecer una buena comunicación. La simulación, nos permitirá determinar, en que medida la ortogonalidad de los códigos Walsh, son capaces de rechazar efectivamente la interferencia, causada por otros usuarios en el sistema CDMA, realizando una comparación con la cantidad de bits erróneos que se introducen debido a la no ortogonalidad de las secuencias PN ajustadas. 82 4.1.2 Datos de Entrada al Simulador Tomando la curva de la tasa de bits erróneos para el canal RBGA en SS-BPSK (ver figura 4.2) como referencia, realizaremos una simulación para medir la ortogonalidad de los códigos en términos de la tasa de bits erróneos. Observaremos cuantos bits erróneos adicionales causa la interferencia de 20 transmisores que operan simultáneamente, tanto para secuencias PN como para códigos Walsh. Se alimentará el sistema con los datos mostrados en la tabla 4.1 y se analizarán 1200 bits para ambos casos. TRANSMISOR Amplitud DEMODULADOR 10 Tx Modulación CANAL SS-BPSK Pérdidas Esp. Libre 0.1km & 800mhz SS-BPSK Walsh Códigos (H2-H21) 2.Secuencias Ruido RBGA 0.03 m. (PN1-pn20) Tabla 4.1 Datos de estrada al simulador para la aplicación 4.1. 4.1.3 Resultados La figura 5.2 muestra el resultado de la simulación para 20 usuarios utilizando secuencias PN ajustadas. Al unir los puntos sobre la curva para SS-BPSK (ver figura 4.2), se obtiene 83 una gráfica con la cantidad de errores para 20 transmisores simultáneos utilizando secuencias de expansión PN ajustadas. En comparación con la curva para SS-BPSK correspondiente a la probabilidad de error para un solo usuario, se observa un aumento en la probabilidad de error cuando el número de usuarios se incrementa a 20. BPSK SS-BPSK Figura 4.2 Resultado de la simulación para secuencias PN ajustadas. RBGA bits (m) Erroneos 0.03 51/1200 0.02 10/1200 0.15 2/1200 Tabla 4.2 Resultado de la simulación para secuencias PN ajustadas. 84 En la figura 4.3 se muestra el resultado de la simulación para 20 usuarios utilizando códigos Walsh. Al unir los puntos alrededor de la curva para SS-BPSK en RBGA se obtiene una gráfica de la cantidad de errores para 20 transmisores simultáneos utilizando códigos Walsh. En comparación con la probabilidad de error para un solo usuario se observa que la probabilidad de error para 20 usuarios se mantiene constante cuando se utilizan códigos Walsh en SS-BPSK. BPSK SS-BPSK Figura 4.3 Resultado de la simulación para códigos Walsh. RBGA BITS (M) ERRONEOS 0.03 6/1200 0.04 44/1200 0.55 111/1200 Tabla 4.3 Resultado de la simulación para códigos Walsh. 85 4.1.4 Conclusiones • Cuando se realiza la expansión con códigos Walsh, la tasa de bits erróneos se mantiene independiente del numero de transmisores en el sistema e igual a tasa de bits erróneos para un solo transmisor. • Al realizar la expansión con secuencias PN ajustadas, se observa un incremento de la tasa de bits erróneos, proporcional al número de usuarios en el sistema. • Los sistemas prácticos pueden utilizar los códigos Walsh para expandir la información de banda base, mientras que las secuencias PN pueden agregarse para sincronizar el transmisor y el receptor, sin embargo debe tenerse en cuenta, que la utilización de secuencias PN introducirá interferencia en el sistema. 86 4.2 Simulación del Desempeño CDMA Sobre el Canal RBGA Se presentan resultados de la simulación para el canal RBGA, con 5, 10, 15 y 20 usuarios cuando acceden al sistema CDMA. En este caso se han utilizado secuencias PN ajustadas. La simulación se realizó sobre un rango de 500 a 20,000 bits. Para un tiempo total de proceso de 21 horas, en una computadora personal con procesador de 900 Mhz. Durante la simulación se asume que todos los usuarios transmiten a la misma potencia y se asume que existe sincronía perfecta entre transmisor y receptor. Tasa de bits Erróneos (BER) S/N 1 (en el canal) USUARIO 10 15 20 USUARIOS USUARIOS USUARIOS (azul) (rojo) (verde) (negro) 0.019 0.052 0.052 0.061 0.16 0.028 0.011 0.013 0.015 0.078 0.038 0.0008 0.0018 0.0027 0.04 0.048 0.0001 0.00035 0.0011 0.026 Tabla 4.4 Resultados de la simulación S/N contra BER. 87 BER ( --+-- ) 1 USUARIO ( *- ) 10 USUARIOS (∆) 15 USUARIOS ( ) 20 USUARIOS S/N Figura 4.4 Resultados de la simulación del canal RBGA en CDMA. En la figura 4.4. se observan los resultados de la simulación CDMA sobre el canal RBGA. Como se esperaba, el sistema está limitado debido a la interferencia que se causa cuando varios usuarios acceden en forma simultanea. Sin embargo puede esperarse un buen rendimiento cuando el sistema opera por debajo de 15 usuarios. 88 4.3 Simulación del Desempeño CDMA Sobre un Canal con Desvanecimientos y RBGA Se presentan resultados de la simulación para el canal RBGA con desvanecimientos lentos tipo log-normal para un usuario. En este caso se ha utilizado el código Walsh H2. La simulación se realizó sobre un rango de 500 a 3,000 bits. Durante la simulación se asume que existe sincronía perfecta entre transmisor y receptor. Se alimentó el sistema con los datos mostrados en la tabla 4.5. Los resultados se muestran en la figura 4.5 TRANSMISOR Amplitud Tx CANAL 1 Pérdidas Modulación Espacio Libre 1KM & 1 MHZ SS-BPSK SS-BPSK DesvaneciCódigos DEMODULADOR Walsh mientos (H2) ruido Log-Normal (σ=10) BPSK RBGA 30M - 9M Tabla 4.5 Datos de estrada al simulador para la aplicación 4.3. 89 BPSK SS-BPSK Figura 4.5 Resultados de la simulación S/N contra BER, para un canal con RBGA y desvanecimientos. La figura 4.5 muestra los resultados de la simulación S/N contra BER, para un canal con RBGA y desvanecimientos en SS-BPSK. Al unir los puntos (los cuales están sobre la curva para un usuario SS-BPSK) , se tiene una curva de la tasa de bits erróneos para el canal con ruido RBGA y desvanecimientos lentos tipo log-normal. Comparándola con la gráfica de valores esperados para un usuario sobre el canal RBGA en SS-BPSK, se observa un aumento considerable en la tasa de bits erróneos a causa de los desvanecimientos en el canal. 90 CAPÍTULO V CONCLUSIONES Se ha implementado un simulador para un sistema de comunicaciones de espectro disperso de secuencia directa. Las tramas transmitidas fueron corrompidas por un canal con atenuación, ruido, interferencia de acceso múltiple (MAI) y desvanecimientos lentos tipo log normal. En el receptor se calculó la tasa de bits erróneos (BER), la tasa de tramas erróneas (FER) y la tasa de chips erróneos. El simulador desarrollado puede ser una excelente herramienta para evaluar el desempeño de sistemas de comunicación de espectro disperso de secuencia directa sobre distintos escenarios. Las graficas de las señales durante la programación lo hacen especialmente atractivo para fines educativos y de investigación. El desarrollo por módulos hace que el simulador sea bastante flexible para incorporar nuevos modelos. 5.1 Trabajo Futuro En el bloque transmisor es posible incorporar otros tipos de modulación, como por ejemplo QPSK, también pueden incluirse filtros, antes de realizar la transmisión. En el módulo del canal es posible incorporar nuevos modelos empíricos de propagación al simulador. El simulador puede ser además mejorado al incluir canales multitrayecto conjuntamente con los receptores de rastrillo. 91 BIBLIOGRAFÍA Y OTRAS FUENTES DE CONSULTA [1] Jhon Sam Lee, Leonard E. Miller, “CDMA Systems Engineering Handbook”, Artech House.1998. [2] Andrew J. Viterbi, CDMA Principles of Spread Spectrum Communications, addison wesley 1995. [3] Simon R. Saunders, Antennas and Propagation for Wireless Communications Systems,john Wiley & Sons,LTD.1999. [4] J.D. 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