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ALGEBRA LINEAL
TEMAS
ALGEBRA LINEAL
LA ELIPSE
LA HIPERBOLA
LA PARABOLA
SALIR
ALGEBRA LINEAL
El álgebra lineal es la rama de la matemática
que concierne al estudio de vectores, espacios
vectoriales, transformaciones lineales, y
sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios
vectoriales son un tema central en la
matemática moderna; por lo que el álgebra
lineal es usada ampliamente en álgebra
abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal
tiene una representación concreta en la
geometría analítica, y tiene aplicaciones en el
campo de las ciencias naturales y en las
ciencias sociales.
El álgebra lineal tiene sus orígenes en el
estudio de los vectores en el plano y en el
espacio tridimensional cartesiano. Aquí, un
vector es un segmento, caracterizado por su
longitud (o magnitud), dirección y sentido (u
orientación). Los vectores pueden entonces
utilizarse
para
representar
ciertas
magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden
sumarse y ser multiplicados por escalares,
formando entonces el primer ejemplo de
espacio vectorial real.
Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para
considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso
de dimensión infinita. Un espacio vectorial de
dimensión n se dice que es n-dimensional. La mayoría
de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones
pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha
gente le resulta imposible la visualización mental de
los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los
tridimensionales). Pero los vectores de un espacio ndimensional pueden ser útiles para representar
información: considerados como n-tuplas, es decir,
listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse
para resumir y manipular información eficientemente.
Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar
vectores
octo-dimensionales
u
8-tuplas
para
representar el Producto Interno Bruto de 8 países
diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en
un año en particular, en donde se especifica el orden
que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino
Unido, Francia, Alemania, España, India
Un espacio vectorial se define sobre un
cuerpo, tal como el de los números reales o en
el de los números complejos. Una aplicación (u
operador) lineal hace corresponder los
vectores de un espacio vectorial con los de
otro (o de él mismo), de forma compatible con
la suma o adición y la multiplicación por un
escalar definidos en ellos. Elegida una base de
un espacio vectorial, cada aplicación lineal
puede ser representada por una tabla de
números llamada matriz. El estudio detallado
de las propiedades de las matrices y los
algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo
los determinantes y autovectores, se
consideran parte del álgebra lineal.
* VECTORES NO LINEAL
DEPENDIENTES
Estos son no linealmente independientes por el
siguiente argumento, el cual por inspección, se puede
ver que no se apega a la definición anterior de
independencia lineal: x2=-2x1⇒2x1+x2=0. Otro método
para ver la independencia de los vectores es
graficando los vectores. Observando estos dos
vectores geométricamente (como en la siguiente
figura 1), uno puede otra vez probar que estos
vectores son no linealmente independientes.
* VECTORES NO LINEALMENTE
INDEPENDIENTES
Estos son linealmente independientes ya que
c1x1=−(c2x2) solo si c1=c2=0. Basados en la definición,
esta demostración muestra que estos vectores son
linealmente
independientes.
También
podemos
graficar estos dos vectores (véase figura 2) para
checar la independencia lineal.
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LA ELIPSE
Una elipse es la sección cónica que corresponde al
caso β > α.
Sean F y F' dos puntos del plano, denominados focos,
y sea d una longitud mayor que la distancia entre F y
F'. En esta hipótesis, la elipse de focos F, F' y de
parámetro d se define como es el lugar geométrico de
los puntos del plano (M) tales que la suma de las
distancias de M a los focos es constante e igual a d:
El valor de a se denomina semieje mayor de la elipse.
En un sistema de coordenadas ortonormales, una
elipse es el conjunto de puntos definidos por la
ecuación:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a
corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las
ordenadas). El origen O es la mitad del segmento
[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama
distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la
excentricidad y a el semieje mayor
•PROPIEDADES DE LA ELIPSE
**ECUACION PARAMETRICA
La elipse anterior tiene como ecuación
paramétrica x = a·cos θ, y = b·sen θ,
con θ describiendo el intervalo [0;2π)
(notar que θ no es el ángulo que forma
OM con OM1
*TANGENTE DE LA ELIPSE
La tangente a la elipse en el punto M (xo, yo )
admite como ecuación: x·(x - xo)/a² + y·(y yo)/b² = 0, que se escribe también: x-xo/a² +
y-yo/b² = 1 (que se obtiene con el método de
desdoblamiento de las variables).
* TANGENTE DE LA ELIPSE (CORREGIDA)
La recta tangente a la elipse centrada en (P, Q)
en el punto M (X0, Y0) tiene como
LA ELIPSE
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LA HIPERBOLA
Una hipérbola es un tipo de sección cónica. Se
define como el lugar geométrico de todos los
puntos del plano para los cuales la diferencia de
las distancias (en valor absoluto) a dos puntos
fijos (llamados focos) es constante.
La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas
distancias a la curva tienden a cero cuando la
curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas
cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman
hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, r y r′, en
la hipérbola destacan los siguientes elementos:
• Centro, O.
• Vértices, A y A′.
• Distancia entre los vértices,
• Distancia entre los focos.
Una propiedad importante de la hipérbola es que si
desde un punto de la curva se trazan los segmentos
correspondientes a las distancias de este punto a
los focos, la bisectriz del ángulo formado por
ambos segmentos es tangente a la hipérbola.
* ECUACIONES DE LA HIPERBOLA
ECUACIONES CON COORDENADAS
CARTESIANAS
ECUACIONES CON COORDENADAS
POLARES
ECUACIONES PARAMETRICAS
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LA PARABOLA
La parábola es una de las secciones
cónicas. Es una curva plana que se puede
ajustar, en relación a un sistema de
coordenadas ortonormales, con la
relación
Se trata del lugar geométrico de los
puntos de un plano que equidistan de uno
fijo, llamado foco (F), y de una recta
cualquiera, llamada directriz (D).
*PROPIEDADES DE LA PARABOLA
ECUACION CANONICA
La ecuación de la parábola toma su forma más simple o
reducida cuando el vértice está en el origen y el eje
coincide con uno de los ejes de coordenadas.
Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola
coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es:
En general, para cualquier parábola (con eje
paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que
su ecuación canónica (o principal) es:
ECUACION GENERAL
Parábola con vértice en h, k y eje paralelo
respectivamente al eje x o al eje y:
EN DONDE PUEDE SER:
Ubicando la parábola para que el foco esté
sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles
parábolas. El término lineal de la ecuación
indicará sobre qué eje está ubicado el foco
(eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde
se abre la parábola (positivo: hacia arriba o
derecha, negativo: hacia abajo o izquierda).
TANGENTE DE LA PARABOLA
Sea hallar la tangente a la parábola:
en uno de sus puntos de coordenadas
(x1, y1). Derivando respecto a x los dos
miembros de la fórmula resulta: 2yy' = 2p
DESPEJANDO Y´:
y' = p / y;y'1 = p / y1
LA ECUACIÓN DE LA TANGENTE SERÁ:
y − y1 = p / y1(x − x1)
Y QUITANDO DENOMINADORES:
HACIENDO LA TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS:
POR TANTO, LA ECUACIÓN DE LA TANGENTE
ES:
Es importante mencionar que una conclusión
como la anterior la podemos obtener
utilizando únicamente geometría analítica. Ya
que si consideramos la ecuación y = ax2
entonces un punto de ella es (x1,ax12) por lo
que la recta y − ax12 = m(x − x1) es la ecuación
de una recta secante a la parábola, si
buscamos las condiciones adecuadas
substituyendo la segunda ecuación en la
primera, y buscamos que la recta secante se
intercepte una sola vez con la parábola
encontraremos que el valor de la pendiente
corresponde al de la derivada.
Se comprueba que desde el punto de
vista meramente formal, para hallar la
ecuación de la tangente basta escribir la
ecuación de la parábola en la forma y·y =
px + px, y reemplazar en ella una y por
y1 y una x por x1.
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FIN