I.N.D.I.C.E.

I.N.D.I.C.E.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
NOCIONES DE GEOMETRTIA
EL PUNTO
ANGULO ENTRE DOS RECTAS
LA RECTA
ECUACION DE UNA RECTA
LA PENDIENTE
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
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Nociones Básicas de la
Geometria
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La Geometría Analítica es el estudio o
tratamiento analítico de la geometría, y por
primera vez fue presentado por René
Descartes en su libro llamado Géometrie que
se publicó en el año de 1637. En esta obra, se
establecía la relación explícita entre las curvas y
las ecuaciones y podemos decir, que además
de Descartes, todos los matemáticos de los
siglos XVII y XVIII, contribuyeron de una forma o
de otra, al desarrollo de esta nueva teoría, que
en la actualidad se estudia con el nombre de
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Geometría Analítica, y que se fundamenta en
el uso de Sistemas de Coordenadas
Rectangulares o Cartesianas en honor de su
fundador.
La Geometría Analítica es una parte de las
matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa
de resolver algebraicamente los problemas de la
geometría. En esta materia se puede conocer
una ecuación y poder deducir su gráfica, o
también conocer la gráfica de una curva y
determinar su ecuación. A estos dos problemas
se les conoce como los Problemas
Fundamentales de la Geometría Analítica.
EL PUNTO
Se ha visto que al poner en movimiento a un
punto nos engendra una línea, la cual al
ponerse en movimiento engendra una superficie,
y ésta a su vez, al ponerse también en
movimiento engendra un volumen, se puede
concluir que todas las figuras geométricas tienen
como base de formación el punto.
Para su estudio, cuando menos por ahora,
utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes
Rectangulares. Dentro de éste convendremos en
que siempre que se hable de un punto conocido
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o de posición fija, designaremos sus
coordenadas por las letras x y y con índices,
mientras que
siempre que se trate de un punto móvil o de
posición desconocida sus coordenadas serán
simplemente x y y sin índices.
Por ejemplo (Ver Figura 2), si tenemos una
circunferencia de radio conocido, referida a un
sistema de ejes, su centro es un punto conocido,
de
manera que al referirnos a él podemos decir, el
punto
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C(x1, y1), en tanto que si suponemos que esta
circunferencia es descrita por el extremo libre del
compás, dicho extremo es un punto cuyas
coordenadas cambian para cada posición, de tal
manera que al mencionarlo podemos decir, el punto
M(x, y)
Ejemplo: Trazar un sistema de coordenadas
rectangulares y señalar los puntos
siguientes: A ( 4 , 3 ) , B ( - 1 , 5 ) , C ( - 3 , - 2 ) , D ( 6 , 4 ) y trazar además, el segmento
de recta que une los puntos E ( - 3 , - 1 ) con F ( 5 , 6 ) .
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SOLUCIÓN
La Figura 3 muestra la ubicación gráfica de los
puntos dados, así como la recta pedida.
LA RECTA
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La recta la línea más corta que une dos puntos y
el lugar geométrico de los puntos del plano (o el
espacio) en una misma dirección. Es uno de los
entes geométricos fundamentales, junto al punto
y el plano. Son considerados conceptos
primitivos ya que no es posible definirlos a partir
de otros elementos conocidos. Sin embargo, es
posible elaborar definiciones basándose en los
Postulados característicos que determinan
relaciones entre los entes fundamentales
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A continuación se muestran algunas de las
diferentes definiciones de la recta:
La recta es la línea más corta entre dos puntos.
La recta es un conjunto de puntos en el cual un
punto que se encuentra entre otros dos tiene la
mínima distancia a estos; se prolonga al infinito
en ambas direcciones, en contraposición con el
segmento y la semirrecta.
La recta es el lugar geométrico de un punto que
se mueve de tal manera que tomados dos
puntos cualquiera de ella, la pendiente m
calculada mediante la fórmula , resulta siempre
constante.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo
largo de la intersección de dos planos.
LA PENDIENTE
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Definiciones
i. El ángulo que forma una recta L con el eje x
medido en el sentido
positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO
DE INCLINACIÓN de la recta L
(fig. 4.5.).
ii. Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la
recta L, denotada por m, se define
como el valor de la tangente de su ángulo de
inclinación. Es decir, (1).
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Siendo
El número m se conoce también con el
nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta L
Observaciones:
i. Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es
90º y por lo tanto su pendiente
m = tan =90º no está definida.
(a)
(b)
fig. 4.4.
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ii. Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos
sobre una recta no vertical L
(fig. 5 (b) ), entonces de acuerdo a la definición de
pendiente se tiene:
(2)
Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo
sucesivo haremos uso indistinto
de ellas. Nótese que el coeficiente angular m es
igual al incremento de ordenadas
dividido por el incremento de abscisas.
iii. El nombre de pendiente de una recta esta
justificado. Cuando se dice que un camino
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tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100
unidades horizontales asciende 5
unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por
las abscisas correspondientes es
5/100.
iv. La pendiente de una recta puede ser positiva,
negativa o cero, según el ángulo de
inclinación de la recta, así:
Si = 0o entonces m= 0 (fig. 4.5. (a))
Si 0o < < 90o entonces m > 0 (fig. 4.5. (b))
Si 90º < < 180o entonces m < 0 (fig. 4.5. (c))
fig. 4.5.
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.
El valor de la pendiente de una recta no depende de
la elección particular de los
puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.
Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son
COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por
P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.
Distancia entre dos puntos.
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Vamos a determinar una fórmula
mediante la cual podamos calcular, en todos
los casos, la distancia entre dos puntos de
coordenadas conocidas. A(x1, y1) y B(x2, y2)
los representamos en el sistema de
coordenadas,
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trazamos las perpendiculares
A C y B D al eje de las x y E F al eje de
las
y. Así mismo, trazamos el segmento A B
para
obtener el triángulo ABE. La gráfica se
muestra en la Figura 4.
De la figura anterior, se tiene:
OD=xDB=y
OC=xCA=y
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Si aplicamos el teorema de Pitágoras al
triángulo rectángulo ABE de la obtenemos:
A B = A E + E B2 2 2........(1)
Pero:
AB=d
21
21
EB DB DE DB CA y y
AE CD OD OC x x
=−=−=−
==−=−
Sustituyendo en (1):
d=(xx)+(yy)2
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Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros,
tenemos:
d = ( x - x ) + ( y - y ) 2.Que es la fórmula para
obtener la distancia entre dos puntos de
coordenadas conocidas.
Esta igualdad, es posible expresarla en la
siguiente forma, porque cualquiera que sea
la diferencia,
está elevada al cuadrado y el cuadrado de la
diferencia de dos números no varía cuando
se
invierte el orden de la resta.
d(x-x)+(y-y)2
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Ambas fórmulas, se leen. La distancia entre
dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la
suma del cuadrado de la diferencia de las
abscisas, más el cuadrado de la diferencia de
las
ordenadas.
Respecto al doble signo del radical, tomamos la
raíz cuadrada positiva porque nos interesa
únicamente la magnitud del segmento y ésta es
positiva.
Para resolver un problema, se recomienda para
todos los casos, se grafiquen los datos
disponibles antes de hacer operaciones.
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1 EJERCICIOS
1. Calcular la distancia entre los puntos: A(-3,2) y B(1,-1).
SOLUCIÓN
Aplicando la fórmula (I), la distancia entre dos puntos, tenemos:
A B = (-3 - 1) 2 + (2 + 1) 2 = 16 + 9 = 25 = 5
2. Calcular la distancia entre los puntos: P(6,5) y Q(-7,-3).
SOLUCIÓN
Según la fórmula (I), se obtiene:
P Q = (6 + 7) 2 + (5 + 3) 2 = 13 2 + 8 2 = 169 + 64 = 233 = 15.26
1. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES
RAMOS 1-6
3. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(-4,6),
B(6,2) y C(4,-4).
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SOLUCIÓN
Sustituyendo valores en la expresión (I), en cada caso
se tiene:
B C = (6 - 4 ) + (2 + 4 ) = 4 + 36 = 40 = 6.32
A C = (-4 - 4 ) + (6 + 4 ) = 64 + 100 = 164 = 12.80
A B = (-4 - 6 ) + (6 - 2) = 100 + 16 = 116 = 10.77
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22
22
Por tanto, por conocimientos previos sabemos que:
Perímetro = A B + A C + B C = 29.89 unidades
lineales
4. Determinar todos los puntos que, además de distar
5 unidades del punto A(1,2), disten 2
unidades del eje de las x.
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Solucion:
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Suponiendo que, por lo menos, haya un punto Q(x, y)
que satisfaga las condiciones del
enunciado, se tendrá de acuerdo a la Figura 5,
aplicando la fórmula de la distancia entre
dos puntos que:
Sustituyendo datos en la fórmula
(I), se tiene:
Q A = ( x -1) 2 + ( y - 2) 2 = 5
Elevando al cuadrado, se obtiene:
( x - 1) 2 + ( y - 2 ) 2 = 25 (1)
Pero como la distancia del punto
Q al eje de las x debe ser de 2
unidades, dicha distancia no es
más que la ordenada del punto Q,
la que puede ser positiva o
 negativa, por lo que estamos en
 obligación de considerar los dos
 signos y hacer las correspondientes
sustituciones en la ecuación (1)
 Para y = 2, tenemos:
 ( x 1) 25
 Por tanto :
 (x - 1) + ( 2 - 2) 25
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ANGULO ENTRE DOS RECTAS
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Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos
ángulos de inclinación son q1 y q2
respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2
forman cuatro ángulos iguales de dos en dos
(fig. 4.14.), esto es: b1 = b2 = q1 – q2 y a1 = a2
= 1800 - b1.
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Se define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2
hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado
por:
b1 = q1 - q2 (1)
Fig. 4.14
El propósito ahora es establecer una relación
entre las pendientes de dos rectas y el ángulo
entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2) (2)
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También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
, (3)
Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y
(3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1, (2)’
y cot b1, (3)’
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Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del
ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y
por medio de ellas se pueden establecer criterios de
perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el
siguiente teorema.
fig. 4.15.
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. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 ||l2, entonces los ángulos q1 y q2 son
iguales por correspondientes y en consecuencia tanq1 =
tanq2, es decir, m1 = m2 .
Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tanb1 = 0, y de
aquí, b1 = q1 - q2 = 0, de donde
q1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot b1 =
cot Sustituyendo
este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1.
m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1. m2 = -1.
Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces y como
m2=tanq2 y m1=tanq1 , se tiene que , donde sin pérdida
de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor
inclinación q1. Teniendo en cuenta que tanto q1 como
q2 son ángulos positivos y menores que 1800,
concluimos que: q1 = 900 + q2, de donde q1 – q2 = 900
y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares.
ECUACIÓN DE UNA RECTA.
Una línea recta se puede entender como un
conjunto de puntos alineados en una única
dirección.
Uno de los postulados de la geometría Euclidiana
dice "para determinar una recta solo es necesario
dos puntos del plano.
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El nombre que recibe la expresión algebraica
(función) que determine a una recta dada se
denomina Ecuación de la Recta.
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Ecuación principal de una recta.
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Se llama ecuación principal de una recta a una expresión de
forma:
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Y= mx +n
En que m representa la pendiente de la recta y n es el
coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al
eje de las coordenadas.
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Hasta ahora se ha trabajado con la ecuación lineal en dos
variables buscando algunas de sus soluciones, trazando su
gráfica, buscando los interceptos, buscando la pendiente.
Cabe preguntarse por el proceso inverso: si me dan las
soluciones, si me dan la gráfica, si me dan los interceptos, si
me dan la pendiente; ¿ se podrá conseguir la ecuación lineal ?
Esto significa que se te dará información para tu conseguir la
ecuación y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas.
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EJEMPLO 1 - Hallar la ecuación de la recta
que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tienes que hallar la ecuación de la recta,
esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan:
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x
+ 10.
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EJEMPLO 2 - Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.
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Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan: m = - 5 y sustituye en la
ecuación:
y = - 5x + b
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Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por
el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la
ecuación que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1,
y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b

Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b
2=-5+b
2+5=b
b=7
Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = 5x + 7
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La ecuación es y = - 5x + 7.
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Debes conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y
opuestas .
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Ejemplo:
Si una recta tiene pendiente m = - 3 y es paralela a otra,
entonces esa otra también tiene pendiente m = - 3.
Si una recta tiene pendiente m = - 5 y es perpendicular a otra,
entonces esa otra tiene pendiente .
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Sí en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos
valores a x e y que cumplan la ecuación, y representamos
estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una
recta.
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Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y =
mx + n, m representa la pendiente de la recta (la
pendiente es el cociente entre lo que sube o baja
entre dos puntos de la recta y la distancia horizontal
entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente
del ángulo que forma la recta con otra recta
horizontal) y n es el punto del eje y por donde pasa
la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y
= 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa
por el origen.
Es muy frecuente encontrar fórmulas para hallar la
ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene
una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la
recta que pasa por dos puntos. Tengo una buena
noticia para los que tienen mala memoria: NO SON
NECESARIAS.
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Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de
2 y que pasa por el punto (1,3), sólo tenemos que sustituir
estos valores en la ecuación general y nos quedaría: 3 = 2·1 +
n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa
recta será: y = 2x + 1.

Como se ve es muy fácil. A algunos profesores también les
parece muy fácil y para hacerlo más difícil en vez de decir la
pendiente dicen el ángulo que forma la recta con el eje x o con
la horizontal. Es igual de fácil, la pendiente es la tangente de
ese ángulo. Otros profesores (que pretenden que nos
equivoquemos, ya saben que hay profesores de todo tipo)
dicen el ángulo que forma la recta con el eje 'y' o con la
vertical, en este caso el ángulo que tenemos que utilizar es el
complementario (90 - ángulo).

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo
tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y
obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m·1 + n,
5 = m·2 + n.
Ecuación de una circunferencia
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Una circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos del plano que están a la misma distancia
de un punto fijo llamado el centro.La distancia
fija se llama el radio de la circunferencia.Con
base en la definición 2.4.1, podemos encontrar
una ecuación que nos determine una
circunferencia con centro en C (a, b) dado y
radio r, dado.Si P(x, y) es un punto variable
sobre la circunferencia (figura 2.18), entonces el
conjunto: I( x, y) : d(P, C) =r} define la
circunferencia
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
Esto es por aplicación de la fórmula de la
diferenciaSi elevamos al cuadrado se
obtiene que ,`(x, y) : (x - a)2 + (y - b)2 = r
=. Tenemos que:Ecuación de la
circunferenciaLa relación que define una
circunferencia de radio r y centro en C (a,
b) es:{(x, y) : (x -a)2 + (y - b)` = r2
}Encontremos la ecuación de la
circunferencia con centro en (4, 3) y radio
2.
Solucion:
 Por aplicación de la relación que a = 4 y b
= 3, entonces:. 3)z _ {(x, VI : (X __4)2 + (v,
-_ 3)z Efectuando_ {(x, y) : x2 - 8x + 16
+y2 -6Y Reuniendo TERMONOS
somejantes + 21 Esta es la ecuación
pedida.
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Ejemplo -2:
encontramos la ecuación de la circunferencia
con centro en el ` origen y radio 1.SoluciónEn
este caso, el centro es C(0, O) por ser el origen
de coordenadas x r = 1 : lue go, por aplicación
de la ecuación de la circunferencia:Ix, yz = 11
1 Cifcunerencia naes la ecuacuion
pedida.¿Cual es su longitud?circunferencia
podemos encontrar la ecuación dada a la forma
de la cuadrados, si es necesario, como se 1S1
n03 dan la ecuacion de una su centro su radio
llevando ecuacibn t2.4.1 I, completando ilustra
en los si-luientes ejemplos.solucion