Hoja de Ejercicios 3: Relatividad (III)

Hoja de Problemas 3: Relatividad (III)
(Fecha de entrega: 10-2-2016; Fecha de recogida: 17-2-2016)
Problemas a entregar: 2, 3, 7 y 8.
1) Un electrón y un positrón colisionan y se aniquilan dando lugar a un par protónantiprotón. Obtener la energı́a cinética mı́nima que han de tener las partı́culas iniciales
para que el proceso sea posible en (a) el sistema de referencia del centro de masas y (b) en
el sistema de referencia del laboratorio en el que el positrón está inicialmente en reposo.
2) Supongamos que un acelerador puede proporcionar a los protones una energı́a cinética
de 200 GeV. La masa en reposo de un protón es 0.938 GeV. Calcular la mayor masa en
reposo de una partı́cula X que se puede producir en el impacto de uno de estos protones
energéticos sobre un protón en reposo en el siguiente proceso: p + p −→ p + p + X.
¿Cuál serı́a la energı́a cinética necesaria para generar un bosón de Higgs?
3) Considérese la colisión elástica que se muestra en la figura. En el sistema del laboratorio S
la partı́cula b está inicialmente en reposo, la partı́cula a se aproxima con un cuadrimomento
pa y se dispersa formando un ángulo θ y la partı́cula b retrocede formando un ángulo φ. En el
sistema de referencia S 0 del centro de masas (CM), las dos partı́culas se aproximan y emergen
con momentos iguales y opuestos y la partı́cula a se dispersa con un ángulo θ0 . (a) Demostrar
que la velocidad del CM relativa al sistema del laboratorio es V~ = p~a c2 /(Ea + mb c2 ). (b)
Transformando el momento final de a del sistema CM al sistema del laboratorio, demostrar
que
sen θ0
tg θ =
,
γV (cos θ0 + V /va0 )
donde va0 es la velocidad de a en el CM. (c) Demostrar que en el lı́mite de que todas
las velocidades son mucho más pequeñas que c, este resultado se reduce al resultado no
relativista. (d) Particularizar ahora al caso ma = mb y demostrar que en este caso V /va0 = 1.
Encontrar, además, una fórmula para tg φ. (e) Demostrar que el ángulo entre los momentos
salientes está dado por tg (θ + φ) = 2/(βV2 γV sen θ0 ). Mostrar que en el lı́mite V c se
recupera el conocido resultado no-relativista θ + φ = 90o .
a
a
b
θ
a
φ
sistema del laboratorio
a
θ′
x
b
b
sistema del CM
4) Un pión positivo en reposo se desintegra en un antimuón y un neutrino muónico: π + −→
µ+ + νµ . Las masas involucradas son mπ = 140 MeV/c2 , mµ = 106 MeV/c2 y mν ≈ 0.
Demostrar que la velocidad del antimuón viene dada por: β = (m2π − m2ν )/(m2π + m2µ ).
Evaluar esta velocidad numéricamente.
5) En un sistema de referencia del laboratorio, un electrón con energı́a cinética K0 = 4me c2
impacta contra un positrón en reposo. Como resultado, las dos partı́culas se aniquilan y se
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emiten dos fotones cuyas frecuencias son f1 y f2 no son necesariamente iguales. (a) Obtener
la velocidad del centro de masas (CM) del sistema medida en el sistema de referencia del
laboratorio. (b) Calcular la energı́a total del sistema en sistema CM. ¿Cuál es la energı́a
de cada uno de los fotones resultantes en el sistema del CM? (c) Si el ángulo que forman
los momentos lineales de los fotones en el sistema del laboratorio es θ = π/2, obtener las
energı́as en dicho sistema de referencia.
6) Dos partı́culas con masas en reposo m1 y m2 se mueven a lo largo del x de un sistema
de referencia una hacia la otra con velocidades v1 y v2 . Después de la colisión se fusionan
en una sola partı́cula con masa en reposo m3 que se mueve con velocidad v3 con respecto al
sistema de referencia. Encontrar m3 y v3 en función de m1 , m2 , v1 y v2 . ¿Serı́a posible que
la partı́cula resultante fuera un fotón si las partı́culas originales no lo son?
7) Los primeros positrones que se observaron fueron creados en pares electrón-positrón a
partir de fotones de rayos cósmicos de alta energı́a en la atmósfera superior. (a) Demostrar
que un fotón aislado no puede convertirse en un par electrón-positrón en el proceso γ −→
e+ + e− . (b) Lo que ocurre realmente es que un fotón colisiona con un núcleo estacionario
con el resultado: γ + núcleo −→ e+ + e− + núcleo. Convencerse de que la fórmula
para la energı́a umbral derivada para el caso de partı́culas masivas también se puede usar
en este caso. Mostrar también que siempre que la masa del núcleo sea mucho mayor que
la del electrón, la energı́a mı́nima del fotón para inducir esta reacción es aproximadamente
2me c2 , lo que significa que el núcleo sólo ejerce de catalizador de la reacción.
8) Considerar una colisión frontal elástica entre un electrón de alta energı́a (energı́a E0
y velocidad β0 c) y un fotón de energı́a Eγ0 . (Colisión frontal significa que las partı́culas
después de la colisión se siguen moviendo a lo largo de la misma recta.) Demostrar que la
energı́a final del fotón Eγ viene dada por
Eγ = E0
1 + β0
.
2 + (1 − β0 )E0 /Eγ0
Mostrar que Eγ < E0 , pero que si β0 → 1, entonces Eγ → E0 ; esto es, un electrón de
muy alta energı́a pierde casi toda su energı́a en favor del fotón en un colisión frontal. ¿Qué
fracción de su energı́a original retendrı́a el electrón si E0 = 10 TeV y el fotón estaba en el
rango del visible, Eγ0 ≈ 3 eV?
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