Análisis de convergencia del estadístico de Edwards y eficacia de

AnáGs is de convergencia del estadístico de Edwards y
eficacia de su empleo para contraste de existencia de
compo nentes estacionales en series cronológicas
por JAVIER CALATRAVA REQUENA
INIA CRIDA - 10
Laboratorio de Estadística y Economía.
C t^RDO BA
I.
INTRODUCCION
El análisis de la existencia de componentes c^clicas y estacionales en series
temporales de datos tiene enorme interés en multitud de campos científicos,
fundamentalmente para economistas, biólogos y climatólogos. Aparte de las técnicas
basadas en ajustes de modelos estocásticos, más o menos complejos, y el anáiisis en e]
dominio de la frecuencia (análisis espectral) y, a veces, como complemento previo a las
mismas, se han desarrollado una serie de tests para contratar Ia existencia de
cumponentes estacionales y cíclicas.
,
Dichos tests, más o menos sofisticados, están basados, en esencia, en la def^nición
de un estadistico determinado, y en el estudw, bajo certeza de cierta hipótesis nula, de
la distribución en el muestreo de una función del mismo, a fin de poder compararlo con
alguna distribución conocida y tabuiada. Tal es el caso del test debido a Edwards (19fi1),
quien, después de hacer una critica al test clásico X`', basada en la afirrnación de que su
potencia es baja cuando existeri movimientos estacionales en la serie, propone un test
de hipótesis nula simple contra alternativa simple en el que la hipótesis nula es la
existencia de acontecimientos independientes uniformemente distribuidos en el tiempo,
y la hipótesis alternativa la existencia de una tendencia armónica.
FSTADtSTICA ESP^1Ñ01_A
F n principic>, para su autc^r, el te^t t^s aplicahie cuandu la variable cunsiderada
r^.ipresenta un númeru de acc^ntec imientc^s c^hs^t.^rvadus ^^n diferentes tiempus y c uandc^
nc^ exi^te aut^^c^^rrelación tierial. Más adelante, t^n este trabajc>, veremc^s que estas nc^
k^n c^^ndici«nes rigur«samente necesarias, y que, pc^r utra parte, existen c^tras
c^^ndicic^nes preci^^as para p^.^der a^^egurar una minima eficacia en el emplec^ del test.
h1 te st de F dv4^ards ( I^b I)(que puede con suliarse cc^n detalle en la referencia citada)
proviene de un símil mecánico. Supongamvs que disponemos de datos tomados en
intervalos iguales de tiempo, a lo largo de un año, durante varios años.
Sean t, (i - I{ 1)r7 ) los tiempus en los yue se dispone de información a lo largo de
cada añu, y sea N^ el número de c^bservaciUnes tc^tales en los tiempos t; de los
diferentes años. Si consideramos un circulo dividido en sectores pc^r radios de
2 r^ i
, y s^^bre cada uno de dich^s radius colocam^s a distancia unitaria
n
una masa m, que sea cualquier función monótona de N; (pc^r ejemplo, ^; NI;), es evidente que en ausencia de cumpc^nentes estacit^nales, el centro degraved^ de las masas coincidirá ec^n el def círculo. Sea D la distaneia entre amhos puntos. Si consideramus ^, N; _
=` 1+ A sen wi, o sea, la posible existencia de un movimiento armónico simple en
Ic^^ti datos, Fdwards ^ l^b 1) demuestra que cuancic^ A no es grand e puede ser estimado
direccic^nes c^^, =
7
.r = n
otesis nula de
^ la hi p^
pur Á^- 4D, que var(Á) = --, siendo N=^ N;, y q ue ba'o
N
, =, I
1
uniformidad, ei estadistico E- z A` N converge en distribución a una X` con dos
grados de libertad.
Para expficar la furma de apiicación en la práctica del test de Edwards,
cunsideremos un ejemplo empleando lvs datc^s de días de lluvia totales por mes
ubservadUS en ia estación meteurológica de Motril (Granada} durante el decenio
IyS8-b7. Seguiremos rigurosamente en este ejemplo la forma de ^perar descrita par
Fdwards ( lyfil ).
Lc^s cálculos para el test se dispvnen de la siguiente f^rma:
N;
c^^;
N ^ sen wi
N; cos wi
E nero . . . . . . . . .
Febrero . . . . . . . .
49
48
O°
0.00
Marzc^ . . . . . . . . .
A hri 1 . . . . . . . . . .
Mayc^ . . . . . . . . . .
78
54
3U
b0
^0
25
l20
3.4b
7 . ^9
?. 34
4.3b
7 .00
5.y5
4.41
O.OU
2.50
8?
ANALISIS DE CQNVERGENCU DEL ES?ADISTI(JD DE EDWARDS
N;
N; sen wi
(r)i
N^ cos wi
Junio . . . . . . . . . .
19
150
2 .17
3 . 74
J ul io . . . . . . . . . .
12
180
0.00
3 .46
Ago sto . . . . . . . .
3
210
0 .8fi
1.48
Septiembre .....
16
240
3.44
2.00
Octubre .......
53
270
7.28
0.00
Noviembre .....
59
30(}
á.óU
3.93
Diciembre .....
73
330
4.27
7.36
N•= 489
S
= 2.4?
C- 1 S.47
S2
= 6.10
C 2= 239. 32
V = ^ ^, ^ N; = 72 .13
^
Z
2
D_ ^;S +X _0.21719
V
^
A =4D = 0.86876
E ---Áz• N = 184.53
2
E> X^(0.01)=9.21
Luego aceptamos la hipótesis alternativa de una tendencia estacional armónica en la
serie de diez años en la que el parámetro indicador de la amplitud del movimienta
armónico viene estimado por.
A
A = 0.8687ó
^
y su varianza Var(A) _
2
= U.0040
489
El máximo del movimiento estacional viene dado por
(^ - arctg
S
= arctg U.159ó ^ 9.°
C
La aproximación a un movimiento armónico simple es un movimiento con alta
^
estacionalidad (A = O.8b876) y con máximo en la segunda semana de enero.
El test de Edwards ha sido utilizado en la práctica exclusivamente en prob^emas
biológicos, y más concretamente de medicina y genética humana, y esto es debido a
g8
ESTADISTICA ESPA!'^^LA
h^^her sido pen^;ado, en principic^, para dicho tipo de prc^^blemas, así como al hecho de que
en estas disciplinas se plantearan ccan más frecuencia que en otras el tip^c^ de series que
reúnen las cundiciones yue el test exige,
Entre las aplicacivnes del test de Edwards podemc^s considerar la.S llevadas a cabo
por Wehrung y Hay ( i9fió), quienes realizaron varios estudios sobre malformaciones
cong+énitas en los Estados Unidc^s. Trabajando sobre series cronológicas de un número
considerable de observaciones obtuvieron resultados satisfactorios empleando ei test de
Edwards para el análisis de componentes estacionales en dichas series.
Hev^ritt (197t ) es el primerc^ que estudia las condiciones de empleo del test de
Edward5 en cuanto al tamaño de la muestra llegando a la conclusión, válida para cierto
tipo de problemas, de que la aproximación del estadístico a la distribución Xz no es
suficientemente buena como para llevar a cabo inferencias cuando el número de
observaciones tc^tales es inferior a^6. Hewit { 197^) empleará posteriormente el test
para estudiar la aparición estacional de fallos car^diacos. Por otra parte, Smith { 1^61)
había utilizado el test de Edwards demostrando que si la tendencia cíclica no es
demasiado grande el test es válido incluso cuando existe autocorrelación en la serie.
Más adelante veremos en este trabajo que la tendencia ciclica no podrá tampoco ser
demasiado pequeña, pues el test tendrá poca potencia.
Recientemente, Calatrava (1y78) ha discutido la estacionalidad en la demanda de
tractores en Andalucía, utilizando, entre otros, el criterica de Edwards.
Aparte de los trabajos citados, las condiciones de empleo óptimas del iest de
Edwards no han sido detalladamente estudiadas. E1 presente trabajo trata de llevar a
cabo un análisis de la convergencia del estadístico E hacia Xzc2g^) en diferentes
condiciones, bajo certeza de la hipótesis nula de uniformidad, y estudiar asimismo la
potencia del test bajo distintos supuestos de naturaleza de los datos. Se emplearán, para
ello, técnicas de simulación; las generaciones de datos simulados en los distintos
supuestos se han llevado a cabo utilizando un microordenador Hewley-Packard del
Centro de Cálculo del INIA, en Andalucía.
CONVERGENCIA DEL E.STADISTICO E, BAJO LA HIPOTESIS NULA
A efectos de analizar la eficacia del tesi de Edwards se ha estudiado, en primer
lugar, como ya se ha indicado laconvergenc^a del estadístieo E hacia ladistribución X`^Zgi^
bajo certeza de la hipótesis nula.
Se empleó para ello un programa de simulación mediante el cual observaciones
simuladas fueron asignadas de forma oleatoria a cada uno de los doce meses empleando
K9
ANAI_ISIS DF CCN^fVERGENCIA DEL 1~STADISTICO DE EDWARDS
una suhrrutina de generación de núrneros pseudvaleat^^rie^s U((), f). cunsiderando una
ubservación perteneciente al mt^ i, si^
5
T
6
_s
(i
i
-I)^ lOR ^'
f^
De esta fc^rma se han generado ^00 grupos sucesivos de N observaciones, y para
cada uno de los grupos se ha calculado el valur del estadístico E, cabteniendo así una
estimación ^(E> de su función de densiciad.f(E). EI proceso se ha repetido para distintos
valores de N= 20, 40, 60, R0, tUO, 180, 200, 250 y 300, viéndase yue, efectivamente
existe una cunvergencia en distribución tal que:
lim ^rr(E) _ '1. ; g. l .
N-+ !
siendo pN(E) la función de densidad cie E para N observaciones.
En la tabla 1 se han in^luidu los tres primeros momentos con respecto al origen de la
distribución obtenida para el estadístico ^^ en función del número de observaciones, así
com^ los valores de la variable yue delimitan un S por 100 de cc^la superior en la
distribución de E. Asimismo incluyen en la citada tabla los correspondientes valores
teóricos de la distribución ^r` con 2 grados de libertad.
N.° de observaciones, N
^»
^!
f
^l
^ .^^
rrt , =
1
^r
,
^ .^- ^
jr2
j^
1
^r
^: .t
;
Valores de X tal
que P(X >:x )^ 0.05
20
4.58
41.9
630
i 3.82
40
3.02
19. 2
208
9.14
60
2.3y
1 1.9
97
80
2.2 S
9.9
64
7.32
6. 74
100
?.19
9.7
bl
b.65
1 ^0
?.12
9.K
57
6.52
200
2.OR
8.9
54
6.37
? 50
2.0^
8.4
54
6.31
300
2.03
8. 1
^1
f^.28
X;gl
2.0?
S.0
4R
5.^
Tabla I: Mumentos respectu al origen del estadísticc^ de Edwards bajo la hipótesis
nu1a, comparados con los de la distribución x` con dos grados de libertad (muestras
simuladas = S00).
E STADISTICA ESPATIULA
Vemos en la tabla 1 que la convergencia jiv{E ^ --+ x=^^^^^ es buena para N> 2(NJ.
aceptahl^^ para I(x) ^^ N> ?U0, y nv admisible para N<- lt^. Esic^ cc^incide en lineas
generalc^s cvn la ya citada cc^nclusión de Hewit 11y71 ), yuien pone en N= 96 la frc^ntera
entre la admisibilidad u n^^ del uso del estadístic^^ E pur falta de c^^nvergencia de su
distrihución de la ^ ` iz,^. ^,.
P+nTENCIA DEL TEST BAJO LA HIPOTESIS ALTERNATIVA DE UNA
TENDENCIA ARMONICA SIMPLE
La hipótesis alternativa de tendencia armónica simple supone que a cada mes
pueda asignarte una probabilidad:
1
[(1
P^ _
+ A c us ( c^^r + B)]
12
Tratamos de estudiar la potencia del test de Edwards para distintos valores de «A»
y diferentes conjunt^s de observacic^nes A tal efecto se han considerado los vaiores de
A= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.5t, y 1 de N = 20, 40, b0, S(}, 100, 150, 200,
2^0 y 300 observaciones y se han generado 500 conjuntos de datos para cada una de las
combinaciones posibles. En cada caso ha sido calculada la potencia del test empleando
los valores de X;(O.OS) teóricos tabt^lados, por una parte, y los obtenidos anteriormente
(ver tabla I), pur otra. Lc^s resultados han sido expresados pur las tablas II y III,
respectivamente. Por otra parte, a efectos de visualizar mejor las conclusiones, se
representan en la figura I los casos correspondientes a A= 0.2 (estacionalidad baja), U.5
(media) y 0.8 (alta).
De la observación de tablas y gráficas obtenemos las siguientes conclusiones:
En el caso de estacionalidad baja el test es poco potente para cualquier valor de N,
no diferenciándose demasiado los resultados obtenidos con los valores teóricos y los
estimados.
Conforme aumenta la estacionalidad la potencia del test crece, las diferencias entre
potencias obtenidas empleando valores teóricos y estimados son grandes, para valores
pequeñus de N, convergiendo ambas series tanto más a prisa cuanto mayor es la
estacionalidad.
ANALISIS DE CONVERt3ENCU DE1. ESTAD4STiC0 DE ED^WARDS
9I
TA B LA I I
POTF.NCIA DEL TEST DE EDWARDS PARA DIFERENTES GRADOS DE
ESTACIONALIDAD DE LA SERIE (A} Y DIFERENTES MAGNITUDES DE
CONJUNTOS DE DATOS ( N), EMPLEANDO LOS VALORES TE©R1COS X2 (5 ^^ ).
(SERIE SIIVIULADA 500 CONJUNTOS DE DATO^S)
N
20
4Q
64
80
100
150
200
250
300
O.l
0.112
0.124
0.161
0.18b
0.203
0.299
0.240
0.293
0.347
0.2
0.128
0.221
0.228
0.231
0.248
0.330
0.441
0.502
0.530
0.3
0.387
0.304
0.369
0.421
0.520
0.692
0.822
0.901
0.924
0.4
0.470
0.498
0.556
0.640
0.763
0.843
0.980
0.998
1.000
0.5
0.578
0.672
0.713
0.813
0.915
0.980
0.999
1.000
1.000
0.b
0. b85
0.$O 1
0.40 l
0.974
0.989
1.000
1.000
1.OC10
1.000
0.7
0.776
0.889
0.9b4
0.988
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.8
0.908
0.963
0.998
1.000
l.0(?0
1.000
1.000
1.000
1.000
0.9
0.968
0.982
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1
0. 9 91
0. 999
1. 000
1. 000
1. U00
1. 000
l. 000
1. 000
1. 000
A
92
ESTAD^^STiCA ESPAÑOLA
TwH^^ III
PC)TENCIA DEL TEST DE EDWARDS PARA DIFERENTES GRADOS DE
ESTACIONALIDAD EN LA SERIE {A) l^ DIFERENTES MAGNITUDES DE
CC)NJUNTC)S DE DATOS N. E MPLEANDO LOS VALORES DE E(S ^)
ESTIMADOS ANTERIORMENTE (ULTIMA COLUMNA TABLA 1). (SERIE
SIMULADA 500 CC)NJUNTOS DE DATOS)
N
20
40
60
80
I 00
1 SO
200
250
300
0.1
0.037
0.061
0.069
0.083
0.09b
Q.106
0.125
0.243
0.301
0.2
0.078
0.129
0.134
0.162
0.200
0.268
0.372
0.450
0.512
0.3
0. t31
0.24b
0.312
0.379
0.485
O.ó78
0,8(}4
0.883
4.915
0.4
O. l68
0.284
U.353
O.S l9
0.73b
0.821
0.970
0.992
1.Q00
0.5
0.247
0.432
0.596
0.7rS0
0.901
0.946
0.998
1.000
1.000
0. b
0. 340
0. 75 3
0. 8 5 3
0. 97 l
0. 083
0. 999
1. 000
1. 000
1.400
0. 7
0.49fi
0. 868
0.95 2
0. 985
1.000
l. 000
1.000
1.000
1. 000
0.8
0.639
0.942
0.984
1.000
1.000
1.000
1.U00
1.000
1.000
0.9
0. 801
0.978
1.000
l.O^DO
1.000
1.000
1.OOQ
1,000
1.000
10
0.924
0.999
1.000
1.000
1.000
1.00(}
1, 000
1. 000
1. 00(}
A
POTENCIA DEL TEST BAJO LA HIPOTESIS ALTERNATIVA DE UNA
TENDENCIA NO E^ACTAMENTE ARM ^)NICA
Normalmente 1a serie cro^ológica no responde exactamente al comportamiento teórico de una tendencia armónica simple como la considerada en el apartado anterior, sino
que adopta otras formas que pueden diferenciarse considerablemente de1 esquema
teórico sinusoidal; por e11o parece interesarse, para rematar este anáJisis, el estudiar
93
ANALISIS DE CON VERGÉJVCIA DEL ESTAD[ST[00 DE EDWARDS
la potencia del test para diferentes hipcitesis alternativas que han sido sirnuladas. Se han
considerado, entre otros posibles, los siguientes casos:
a)
Cusv dE^ Sc^ritjs IIr1111iOdCl^C^s plurrus.
Para contrastar el test, en este caso, se han simulado SUO conjuntos de datos siguiendo
los esquemas teóricos representados en la fgura 2, en donde febrero, marzo y abril
reciben, en 1a generación de valores pseudoaleatorios, probabilidad 0.1 y el resto de los
meses 0,0777 en el caso {a) y 0.1833 y 0,05, respectivamente, en el caso (b). Se han
generado para cada caso valores N= 50, 100 y 200. Los resultados han sido las siguientes:
N.° observaciones
Caso (a}: (Estacionalidad débil)
Caso ( fi): ( Estac ionalid ad fuerCe)
Potencial (5 ^^ )
50
O.í32
100
0. 246
200
0.314
50
0 . ó94
l00
0.7a2
200
0 . 892
Vearnos, pues, que la potencia dei test es mucho mayor en el caso de tendencias
unimodales fuertemente marcadas y, asimismo, para mayor número de observaciones la
potencia crece, pero no tanto en el caso (^a) como en el (b).
b)
Cusc) de SE^ri^s unimvdul^s ukudas:
Para contrastar el test en este caso se han simulado, asimismo, 500 conjuntos de
datos, siguiendo los esquemas teóricos representados en la figura 3, en donde marzo
recibe, en lagenecación de valores pseudoaleativos, probabilidad 0.25, febrero y abril, 0.15
y 0.05 cada uno de los meses restantes en el caso (a), siendo en el caso (^b) estos valores
0.15, 0.10 y 0.07222, respectivamente.
Los resultados han sido los siguientes:
N.° observaciones
Caso f a)
Caso (^b)
Potencia c^ (5 ^1)
50
0.121
100
O. l 72
200
0.267
50
100
0.583
0.798
200
0 .902
ESTrRDlSTlCA ESPAÑOIrA
Vemos, que realmente, los resultados son similares a los obtenidos para modas planas, siendca la poten^ia ligeramente inferior tanto en el caso (a) y algo superior en el (^b).
c)
C'usc^ dci Sc^ri^^s c•c^n rrtcis dc^ unu mr^c^ci
Se han considerado tendencias con dos madas planas de dos meses de anchura,
separadas entre sí seis meses y considerando dos distintas posibilidades de altura modal
tal y como se indica en la figura 4, en la que los meses que constituyen la moda han recibido
probabilidades de 0. i 5 y 0.10 en los casos (^b) y^a}, respecti vamente, repartiendo la
probabilidad restante entre los otros meses. Se han simulado 500 conjuntas de 50, 100 y
200 observaciones y los resultados han sido los siguientes.
Caso (a)
Caso Cb)
N.° obse rvac io ne s
5(}
1 QO
Po te nc ia c^ { 5%)
(}.052
0. Oó2
Zoo
a.o^a
so
l 0U
200
o.oba
0.074
0.082
Vemos que la potencia del test es prácticamente nula en todos los casos cuando la
serie es bimodal, lo cual supone una limitación considerable para el uso del test de
Edwards.
CONCLUSIONES
Fodemos concluir que la convergencia hacia X2^,i del estadístico E, bajo certeza de la
hipótesis nu1a, es efectiva para más de lU0 observaciones, aproximadamente, siendo muy
clara para N> 200 y no observándose convergencia para N< 100.
Par otra parte, la potencia del text, en el caso de existencia de una comp©nente
esiacional armónica simple, es funció^n del grado de estacionalidad ( valor de A) y del
número de observaciones simuladas. Para una estacionalidad baja la potencia es pequeña,
incluso para grandes valores de N. En el caso de estacionalidad media, ia potencia del
test es considerable para N> 100, pudiendo usarse el test con potencia grande en el caso
de alta estacionalidad para vaior de N> 40.
A1 cansiderar posibles hipótesis alternativas de tendencias unimodales no exaectamente armónicas hemos encontrado asimismo una relación entre la potencia, el grado de
estacionalidad y el número de abservaciones, alcanzando (tanto en modas planas como
ANAL[SIS DE CONVERGENCU^ DEL ESTADtSTiCO DE ED^WARDS
agudas) suf;ciente potencia en el contraste sólo en el caso en el que
95
N>_ 200 con
estacionalidad alta.
En series con más de una moda, la potencia del test se reduce, prácticamente, a cero
en todos los casos estudiados.
E I test de Edwards se manifiesta, pues, como un test útil y eficaz para series que
presenten estacionalidad unimodal media o alta con un número grande de observaciones.
En estos casos el test de Edwards puede ser preferido a otros alternativos por su senci1le z y fac il id ad de cálculo .
Resumiendo, el test puede ser empleado bajo certeza de la hipótesis nula o bajo una
hipótesis alternativa de esquema serial muy similar al armónico simple teórico, para
valores de N> 100. Cuando las series son unimodales alejándose relativamente del
esquema arrnónico simple, el test es suficientemente potente para N> 200^ , no siendo útil
su aplicación para casos de series con más de una moda.
RESUMEN
E1 presente trabajo supone una descripción del test de Edwards para contraste de
existencia de componentes estacionales en series cronológicas, y un análisis de las condiciones óptimas de empleo de dicho test, así como el cálculo de su potencia para diferentes hipótesis alternativas.
SU MM A RY
The aim of the present work Is to describe the Edwards test for recognition and
estimation of seasonal trends in time series. Optimal conditions of application of the test
are studied and it power agains different alternatives hypothesis is analysed.
Key words: seasonality, cyclical componends, Edwards criterion.
Palabras clave: estacionalidad, componentes cíclicas, test de Edwards.
A.M.S.: Subject classification b2 M lU.
B IB LIOGRAFIA
CALATRAVA J.: Ancilisis dc^ la estuc•iunulidud ^n lu adyc^isic•ic^n dF^ muyr^inuriu ukrr^•ulu t^n las distintas ;onas dc^ lu prc^vinciu d^ C'círdc.^hu, INIA (en preparación).
EDwwRDS, J. P.: Th^ rc^c•c^knitic^n und stimatic^n c^f c•yc•licul trf^nds. Ann Hum. Genet. 2S 83 ( 19ó1).
HEwrrT ET AL: C1n ^drt^clyds c•rit^rrvn c^f sc^usnnulit}^ ctnd c^ nun-pcYrclm^^tric• altE^rnative.
B rit . J . Pre v. Soc . Med .^S 174 (1971)
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Brit. J. Prev. Soc. Med. 20 67 {19G6).
ESTADiSTICA ESPA1^oL.A
^ (N)
.. -
a.s^
-T
200
100
N
F^g. 1. Gráficos de la Petencia del test de Edward en función del número de observaciones para
distintos niveles de estacionalidad en la serie y empleando valores tabulados de X2 (S ^o) (raya
discontinua) y estimados de E(S °^^) (raya continua). (Serie simulada: S00 conjuntos de datos.)
0. 20 ^
0.1633 -i
0 .15 -^
0,10 -^^
o.o^^^r
o.os^
E
F
M
A
M
J
J
A
O
N
D
Fig. 2. SERIES UNIMODALES PLANAS SIMULADAS: ^a} Estacionalidad equivalente débil; (ti)
Estacional idad equivalente fuerte.
97
ANALiS1S DE CONVERGENCIA DEL ESTAD[STICD DE EDyVARDS
0.25^
4.20 ^
4.15^
0.10 ^
o.on2^
0.05 ^
E
F
M
A
M
J
J
A
S
4
N
- -T
p
F^g. 3. SERIES UNIMODALES AGUDAS SIMULADAS: (a) Estacionalidad equivalente débil; (^b)
Estac ional idad equi vale nte fuerte .
0. 20 ^
0.15 ^
a.^o i
a.o^5 ^
0.05 ^
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Fig. 4. SERIES BIM(JDALES SIMULADAS: (a) Estacionalidad equivalente débil; (fi) Estacionalidad equivalente fuerte.