d - Canek

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Curva solución de un PVI.
E: Para las siguientes familias de curvas:
a. La familia de todas las elipses con centro en .0; 0/ tales que el semieje horizontal sea el
doble del semieje vertical.
b. La familia de todas las rectas no verticales que pasan por el punto .1; 2/.
c. La familia de todas las parábolas que abren hacia arriba y que son tangentes al eje x.
d. La familia de todas las hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes x, y.
e. La familia de todos los círculos que pasan por los puntos . 1; 0/ y .1; 0/.
Determinar: (i) La expresión algebraica que las describe. (ii) La ecuación diferencial de la cual
son soluciones.
D: H
a. La familia de todas las elipses con centro en .0; 0/ tales que el semieje horizontal sea el
doble del semieje vertical.
y2
x2
i. La ecuación general de una elipse con centro en .0; 0/ es 2 C 2 D 1, donde a es el
a
b
semieje horizontal y b el vertical. La condición dada establece que a D 2b, luego la
expresión solicitada es
x2
y2
C 2 D1
.2b/2
b
o bien
x2
y2
C 2 D 1:
4b 2
b
y
x
ii. Para encontrar la ED de la cual esta familia es solución, multiplicamos la ecuación
anterior por b 2 y luego derivamos implícitamente:
x2
2x
C y 2 D b2 )
C 2y y 0 D 0 ) 2y y 0 D
4
4
x
) y0 D
2
Ésta es la ED buscada.
b. La familia de todas las rectas no verticales que pasan por el punto .1; 2/.
3. canek.azc.uam.mx: 17/ 11/ 2010
x
:
4y
2
i. Una recta con pendiente m que pase por el punto .1; 2/ tiene ecuación
y
x
2
Dm ) y
1
2 D m.x
1/ D mx
m:
y
x
ii. Derivando implícitamente la ecuación anterior obtenemos:
dy
D m:
dx
Para obtener la ED deseada usamos el valor de m de la ecuación de i. para así obtener
la ED buscada:
dy
y 2
D
:
dx
x 1
c. La familia de todas las parábolas que abren hacia arriba y que son tangentes al eje x.
i. Las parábolas que abren hacia arriba tienen genéricamente la fórmula
a/2 C b; con p > 0:
y D 4p.x
En esta fórmula se puede ver que el vértice de la parábola se encuentra en el punto
.a; b/. Sin embargo, si la parábola es tangente al eje x, entonces debe ser b D 0. Si
denotamos además c D 4p, la ecuación algebraica que representa a la familia es
y D c.x
a/2 I
donde .a; 0/ es el vértice y a la vez el punto donde la parábola toca al eje x .a 2
R/ y c > 0 es el ancho focal, que representa la esbeltez de la parábola. Note que en
este caso la ecuación contiene dos parámetros, a y c.
y
y
aD1
x
c constante
x
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ii. Como la ecuación algebraica de la familia contiene dos parámetros, será necesario
derivar dos veces para poder eliminarlos y llegar así a una ED:
y D c.x
a/2 )
dy
D 2c.x
dx
de la última igualdad obtenemos c D
x
aD
a/ )
d 2y
D 2cxI
dx 2
y 00
, luego al sustituir en la segunda resulta
2x
y0
D
2c
xy 0
y0
00 D 00 :
y
y
2
2x
Poniendo estos dos valores en la primera igualdad, resulta
yD
y 00
2x
0 2
xy
x 2 y 0 2 y 00
xy 0 2
D
D
) 2y 00 y D xy 0 2 :
00
00
00
2
y
2y
2
x.y /
d. La familia de todas las hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes x, y.
i. Las hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes coordenados son equiláteras y se pueden
c
representar mediante la ecuación xy D c, o equivalentemente y D , con c 2 R.
x
y
x
c
D 0, así que el eje x es asíntota horizontal y
x!˙1 x
Es claro entonces que lím y D lím
además
x!˙1
lím y D lím
c D (signo de c).1/;
x
c lím y D lím
D (signo de c). 1/:
x!0
x!0
x
x!0C
x!0C
En síntesis, la ecuación pedida es x y D c; c 2 R.
ii. Para obtener la ED de esta familia, simplemente tomamos la derivada implícita de la
ecuación anterior:
xy D c ) x y 0 C 1 y D 0 ) y 0 D
y
:
x
e. La familia de todos los círculos que pasan por los puntos . 1; 0/ y .1; 0/.
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i. Dado que el eje y pasa por el punto medio del segmento que une . 1; 0/ y .0; 1/ y
además es perpendicular a dicho segmento, el centro de cualquier círculo de esta familia debe encontrarse en el eje y.
y
x
Si .0; c/ es el centro depuno de estos círculos, entonces su radio r, de acuerdo al teorema
de Pitágoras, es r D 1 C c 2 .
y
.0; c/
r
x
.1; 0/
Por tanto, la ecuación de todos los círculos de la familia es
x 2 C .y
c/2 D 1 C c 2 ) x 2 C y 2
2cy C c 2 D 1 C c 2 :
ii. Obtenemos la ED de la familia derivando implícitamente la ecuación anterior:
x2 C y 2
2cy D 1 ) 2x C 2y y 0
2cy 0 D 0 ) x C y y 0 D cy 0 :
Si despejamos c de la ecuación algebraica, obtenemos:
x2 C y 2
1 D 2cy ) c D
x2 C y 2
2y
1
:
Al sustituir por el valor de c en la ED anterior nos queda la ecuación deseada:
2
x C y2 1
0
x Cy y D
y 0 ) 2xy C 2y 2 y 0 D x 2 y 0 C y 2 y 0 y 0 )
2y
) 2xy D x 2 y 0 y 2 y 0 y 0 )
2xy
) y 0 .x 2 y 2 1/ D 2xy ) y 0 D 2
x
y2
1
: