Ex_4Gr_IQC_Crt: Examen Parcial N° 3 - O1

INTRODUCCIÓN A LA
QUÍMICA CUÁNTICA
24712 – Grupo O1 Profesor: Claude A Ewert
Examen Parcial No 3 grupal
Movimiento Rotacional –
Espectroscopia – Átomo de Hidrógeno
CALIFICACIÓN P 3a
COMPONENTES
GLOBAL
SA (50%)
1.
5 de agosto de 2015
PR (10%)
2.
INTEGRANTES:
_1._________________________________________________
CU (10%)
3.
PA (30%)
4.
_2._________________________________________________
_3._________________________________________________
1.
Contribución a P3 (60%)
2.
1.
3.
2.
4.
3.
_4._________________________________________________
4.
NOTA:Para la realización de este trabajo se debe hacer uso de las unidades del Sistema Internacional de Unidades, aún en el caso en
que el enunciado aparezcan otras unidades. ¡Ya es tiempo de abandonar estas últimas!
El puntaje total suma 145 puntos, distribuidos en 25 ejercicios.
A. ROTOR RÍGIDO
1. (2 puntos) ¿Por qué no se pueden emplear los valores cuantizados del momento angular en 2D para determinar la
masa de un sistema en rotación, tal como se puede hacer en el caso del momento angular clásico?
2. (3 puntos) Demuestre que la función de onda ψ3 del movimiento rotacional en 2D tiene la misma constante de normalización que ψ13 del movimiento rotacional en 3D normalizando ambas funciones.
3. (4 puntos) ¿Cuáles son las energías y los momentos angulares de los primeros cinco niveles de energía del benceno
cuando se utiliza el modelo del movimiento rotacional en dos dimensiones para simular la rotación de un electrón
π? Suponga que el radio de la molécula es de 1,54 Å.
4. (5 puntos) Un niño de 25 kg se encuentra en un tiovivo dando vueltas en un círculo amplio de 8 m de radio. El niño
tiene un momento angular de 600 kg·m²·s-1.
a)
b)
(1 punto) De acuerdo con estos hechos, calcule el número cuántico aproximado del momento angular del niño.
c)
d)
(1 punto) ¿Cómo se compara este valor con el valor de la energía clásica del niño?
(1 punto) Calcule la energía cuantizada del niño en esta situación
(2 puntos) ¿Qué principio se ilustra?
5. (5 puntos)
a)
De acuerdo con la expresión de la energía de un rotor rígido en 2D, formule la expresión para la diferencia de energía entre dos niveles adyacentes.
b) (2 puntos) En el caso de la molécula de HCl, la diferencia de energía entre los dos primeros niveles es de 20,7
cm-1. Determine la diferencia entre el tercer nivel y el segundo nivel, suponiendo que la molécula de HCl actúa como un rotor rígido de 2D.
(1 punto)
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c)
diferencia de energía tiene un valor experimental de 41,4 cm -1. ¿Cuán adecuado diría usted que
es un modelo 2D para este sistema?
(2 puntos) Esta
6. (2 puntos) A partir de la definición del operador componente z del momento angular expresado en coordenadas
polares, L^z = −i ℏ ∂/∂ φ deduzca la ecuación de Schrödinger para la rotación en dos dimensiones.
7. (2 puntos) Proponga una explicación para comprender por qué el vector del momento angular se halla en el eje z
para la rotación en dos dimensiones pero no para la rotación en el espacio tridimensional.
8. (4 puntos) En papel de coordenadas
3
f (θ) = 1/ 2 ( 5 cos θ − 3 cosθ ) .
polares,
grafique
la
función f (θ) = sen 2 θ y
la
función
9. (5 puntos)
a)
(4 puntos)
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger para la rotación en tres dimensiones demuestre que la
función de onda rotacional (5/ 16 π )1/ 2 ( 3 cos2 θ − 1 ) es una función propia del operador energía total.
b)
(1 puntos) Determine el valor propio de la energía.
0
10. (24 puntos) Considere los esféricos armónicos Y 0
a)
(12 puntos)
c)
(3 puntos)
,
−1
Y2
,
3
Y3
.
Confirme que son funciones propias del operador “cuadrado del momento angular” para el rotor rígido en tres dimensiones. Determine los valores propios asociados.
b) (6 puntos) Confirme que son funciones propias del operador “componente z del momento angular” para el rotor rígido en tres dimensiones. Determine los valores propios asociados.
Confirme que son funciones propias del operador hamiltoniano para el rotor rígido en tres dimensio nes. Determine los valores propios asociados.
d) (3 puntos) Compruebe que los resultados anteriores son los correctos.
B. ESPECTROSCOPIA
11. (3 puntos) Una molécula en estado excitado puede decaer al estado fundamental bien por emisión estimulada, bien
por emisión espontánea. Usando los coeficientes de Einstein, prediga cómo cambia la probabilidad relativa de estos procesos cuando la frecuencia de la transición se dobla.
12. (2 puntos) La transmitancia de una disolución 0,01 M de bromo en tetracloruro de carbono, con trayectoria lumíni ca de 2 mm, es del 28%. Calcule el coeficiente de absorción molar del bromo a esa longitud de onda. ¿Cuál sería
el porcentaje de transmitancia en una celda de 1 cm de espesor?
13. (4 puntos) Se observa una banda fuerte en la región del infrarrojo del espectro electromagnético a ν = 2 710 cm-1
para el 12C16O. Suponiendo que el potencial armónico aplica, calcule
a) (1 punto) La frecuencia fundamental, ν
b)
c)
(2 puntos) El período vibracional
(1 punto) La energía del punto cero de la molécula.
14. (6 puntos) La línea J=0 → J=1 del espectro de absorción de microondas del
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12 16
C O y del
13 16
C O fue medida por Gi-
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llam y col1. En el estado vibracional basal la primera tiene el valor de 3,842 35 cm -1 y la última, el valor de 3,673
37 cm-1. Calcule
a)
b)
(2 puntos) la longitud de enlace en la molécula
c)
(2 puntos) La longitud de enlace en la molécula
(2 puntos) La masa atómica relativa de
13
12 16
C O.
C.
13 16
C O.
15. (5 puntos) Usando la expresión de los niveles de energía de la función potencial de Morse, determine la separación
entre dos niveles de energía consecutivos. Para el 1H35Cl, la energía de disociación De es 7,41×10-19 J y la frecuencia de vibración es 8,97×1013 Hz. Calcule el valor más pequeño de n para el cual la diferencia de energía entre ese
nivel y el consecutivo sea menor que el 50% de la diferencia de energías entre el primer y segundo niveles.
C. ÁTOMO DE HIDRÓGENO
16. (2 puntos) Calcule la energía de ionización del átomo de hidrógeno basándose en la teoría del átomo de Bohr.
17. (8 puntos) Considere el estado basal o fundamental del átomo de hidrógeno en el contexto de la teoría del átomo
de hidrógeno de Bohr.
a) (3 puntos) Calcule la velocidad lineal de un electrón en el estado basal del átomo de hidrógeno.
b)
c)
(1 punto) ¿A qué longitud de onda de de Broglie corresponde esta velocidad?
Deduzca una ecuación para longitud de onda de de Broglie en una órbita de Bohr de número cuánti co n, con Z = 1 en términos de a0 y n. ¿Cuál es la relación entre la circunferencia de una órbita de Bohr de
número cuántico n y la longitud de onda de de Broglie?
(4 puntos)
18. (4 puntos) ¿Cuáles serían las longitudes de onda de la serie de Balmer para el deuterio?
19. (4 puntos) Demuestre que Ψ100(r,θ,φ) es solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, ¿Cuál
es el valor propio de la energía total del sistema? [Use a0 = ε0h2 / (πmee2)].
20. (15 puntos) En una gráfica dibuje la función de distribución radial, P(r), [4πr2a03R(r)] en función de r/ao para los primeros tres niveles de energía del átomo de hidrógeno. Desplace (y / o pondere) verticalmente las escalas de la
función para visualizar las funciones de cada nivel y observar la localización de los máximos de probabilidad, a la
manera de la figura 20.10 del texto guía; comente sobre la idea del modelo de capas del átomo.
21. (4 puntos) ¿Cuántos nodos radiales y angulares hay en los siguientes orbitales del átomo de hidrógeno?
Ψ2 p (r , θ , φ)
a)
(1 punto)
b)
(1 punto)
c)
(1 punto)
Ψ2 s (r , θ , φ)
Ψ3 d (r ,θ , φ)
d)
(1 punto)
Ψ3 d
x
xz
2
x −y
2
(r , θ , φ)
22. (10 puntos) A partir de la función que describe el orbital atómico pz
a) (1 punto) Dibuje la gráfica de la función de onda en función del ángulo θ (sistema cartesiano).
1
Phys. Rev. 78, 140 (1950).
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b)
(2 puntos) Dibuje la gráfica de la función de onda en coordenadas polares sobre el plano
c)
d)
(2 puntos) Dibuje la gráfica de la función de onda en coordenadas polares sobre el plano
e)
f)
(2 punto) Dibuje la gráfica del cuadrado de la función de onda en coordenadas polares sobre el plano
xz.
xz.
(2 puntos) Dibuje la gráfica de la función de onda en coordenadas polares sobre el plano yz.
(1 punto) Esboce un diagrama tridimensional de la gráfica polar del orbital
yz.
pz.
23. (16 puntos) Se va a calcular la densidad de probabilidad de encontrar un electrón dentro de una esfera de radio r
para el átomo de hidrógeno en su estado fundamental.
a)
(4 puntos) Demuestre que
b)
(6 puntos)
∫ r2 e−r / α dr
−r /α
= e
(−2 α3
3
)
.
Demuestre que la densidad de probabilidad de encontrar el electrón en una esfera de radio r para el
átomo de hidrógeno en su estado fundamental es
1 − e−2 r /a −
0
c)
2
− 2α r − αr
(6 puntos) Evalúe esta densidad de probabilidad par
(
)
2r
r −2 r / a
1 +
e
a0
a0
0
r = 0,10 a0, r = 1,0a0 y r = 4,0a₀.
24. (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un electrón en el orbital 1s dentro de 0,1 Å de un núcleo de Ne 9+?
Compare su respuesta con la del ejercicio anterior, N.º 23.
25. (2 puntos) Calcule los ángulos que el vector de momento angular de espín hace con el eje z.
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