eserved@d = *@let@token fg]bla Lógica II

Introducción
La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Lógica II
Pablo Cobreros
pcobreros@unav.es
Tema 6. El tamaño del infinito
P. Cobreros
Lógica II: Tema 6
Introducción
La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Introducción
Introducción
La noción de cardinal
Afirmaciones acerca del tamaño
La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Introducción
Conjuntos numerables
Conjuntos incontables
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Otros resultados
Cuestiones abiertas
P. Cobreros
Lógica II: Tema 6
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Introducción
La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Introducción
El objetivo de este tema es introducir algunas cuestiones básicas acerca
sobre el tamaño de los conjuntos, especialmente sobre el tamaño de
conjuntos infinitos.
Una introducción seria sobre este tema podrı́a llevar un curso completo.
En este tema veremos sólo unos pocos hechos relevantes, la mayorı́a sin
prueba.
La teorı́a de los cardinales infinitos fue desarrollada por el matemático
alemán George Cantor (1948-1918). Cantor mostró cómo podemos
extender las operaciones aritméticas a cardinales infinitos y demostró
algunos resultados sorprendentes.
P. Cobreros
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La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Afirmaciones acerca del tamaño
Dos conjuntos finitos A y B tienen un tamaño determinado. Existen, al
menos, dos procedimientos para establecer afirmaciones acerca de su
tamaño,
1. Contar los elementos de cada conjunto y emplear el número
correspondiente.
2. Sin emplear números, comparar el tamaño emparejando los
elementos de cada conjunto.
P. Cobreros
Lógica II: Tema 6
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La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Afirmaciones acerca del tamaño
Dos conjuntos finitos A y B tienen un tamaño determinado. Existen, al
menos, dos procedimientos para establecer afirmaciones acerca de su
tamaño,
1. Contar los elementos de cada conjunto y emplear el número
correspondiente.
2. Sin emplear números, comparar el tamaño emparejando los
elementos de cada conjunto.
P. Cobreros
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La noción de cardinal
El tamaño del infinito
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Afirmaciones acerca del tamaño
Procedimiento 1
Sean A = {a, b} y B = {x, y , z}. El tamaño de A = 2, el de B = 3;
tenemos los siguientes hechos:
1. Tam(A) 6= Tam(B)
2. Tam(A) ≤ Tam(B)
De 1 y 2 Tam(A) < Tam(B).
3. Tam(A) + Tam(B) = 5
4. Tam(A) · Tam(B) = 6
5. Tam(A)Tam(B) = 8
P. Cobreros
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Afirmaciones acerca del tamaño
Procedimiento 2
Emparejamos uno a uno los elementos de A y B. Eventualmente
llegaremos a una de estas situaciones,
1. Todo elemento de A queda emparejado con un elemento de B.
2. Todo elemento de B queda emparejado con un elemento en A.
3. Todo elemento de A queda emparejado con un elemento en B y no
hay elementos en B que queden sin emparejar.
Si sucede 1 entonces Tam(A) ≤ Tam(B), si 2 Tam(B) ≤ Tam(A) si 3
Tam(A) = Tam(B).
P. Cobreros
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Afirmaciones acerca del tamaño
Procedimiento 2
En el procedimiento 2 definimos las operaciones entre tamaños como
operaciones entre conjuntos con esos tamaños:
I
Tam(A) + Tam(B) = Tam(A ∪ B)
I
Tam(A) · Tam(B) = Tam(A × B)
I
Tam(A)Tam(B) = Tam(B A)
Sean A = {a, b} y B = {x, y , z}.
Es fácil ver que en nuestro ejemplo, el segundo procedimiento aporta los
mismos resultados que el primero. Zalabardo: 224-30 muestra que esto
es ası́ para todo conjunto finito.
P. Cobreros
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El tamaño del infinito
Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
La noción de cardinal
En el caso de conjuntos finitos podemos emplear ambos procedmientos.
En el caso de conjuntos infinitos no podemos seguir el segundo
procedimiento ya que el tamaño de un conjunto infinito no viene
expresado por ningún número natural.
Sin embargo es posible, al menos en principio, emplear el segundo
procedimiento para conjuntos infinitos. La noción de cardinal extiende el
segundo procedimiento a todos los conjuntos.
En primer lugar habrá que dar forma matemática a las ideas de
‘emparejar todos los elementos de A con elementos de B’ y ‘hacer esto
de modo que no queden elementos en B sin emparejar’.
P. Cobreros
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La noción de cardinal
El tamaño del infinito
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La noción de cardinal
Identidad y ordenación de cardinales
Sean A y B dos conjuntos disjuntos. |A| y |B| denotan el cardinal
correspondiente a A y B respectivamente. Entonces,
I
|A| ≤ |B| ssi hay una función biunı́voca de A en B,
I
|A| = |B| ssi hay una correspondencia entre A y B.
En primer lugar comprobamos que estas definiciones funcionan
adecuadamente. Queremos que = sea una relación de equivalencia entre
cardinales y que ≤ sea una ordenación parcial lineal sobre los cardinales.
P. Cobreros
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La noción de cardinal
Identidad y ordenación de cardinales
1. = es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva).
2. ≤ es una ordenación parcial (reflexiva, transitiva y antisimétrica).
La antisimetrı́a de ≤ es un resultado sustancial consecuencia del siguiente
teorema:
Teorema de Schröder-Bernstein: Para cualesquiera conjuntos X e Y ,
si existe una función biunı́voca de X en Y y una función biounı́voca de Y
en X , entonces existe una correspondencia entre X e Y .(Zalabardo: 236,
Hedman: 75).
La linealidad de ≤ (para cualesquiera conjuntos A y B, |A| ≤ |B| o
|B| ≤ |A|) es una suposición todavı́a más fuerte equivalente a un axioma
de la teorı́a de conjuntos conocido como Axioma de elección.
P. Cobreros
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La noción de cardinal
Operaciones con cardinales
Las operaciones con cardinales se definen del mismo modo que antes.
I
|A| + |B| = |A ∪ B|
I
|A| · |B| = |A × B|
I
|A||B| = |B A|
P. Cobreros
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El tamaño del infinito
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Introducción
La “paradoja” de Galileo
El todo es mayor que la parte. Sin embargo, podemos poner en
correspondencia biunı́voca el conjunto de los números naturales con el
conjunto de sus dobles:
1O
2O
3O
4O
2
4
6
8
...
...
Pero el conjunto de dobles es sólo una parte (intuitivamente la mitad!)
del conjunto de naturales.
Galileo pensaba que esto muestra que las afirmaciones acerca del tamaño
de conjuntos infinitos no tienen sentido.
En el siglo XIX Cantor desafió esta idea. Según Cantor, el argumento
muestra que hay tantos dobles como naturales.
P. Cobreros
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Conjuntos numerables
Numerabilidad
El conjunto de los números naturales N tiene cardinalidad infinita.
Llamamos a este cardinal ℵ0 (esto es, |N| = ℵ0 ); este va a ser el cardinal
más pequeño y punto de referencia para comparar cardinales infinitos.
Definición: Un conjunto A es numerable si y sólo si |A| = ℵ0
La paradoja de Galileo muestra efectivamente que el conjunto de dobles
de números naturales es numerable. Otros muchos conjuntos de números
son numerables. Un caso curioso es el de el conjunto Q+ de racionales
positivos (este hecho es sorprendente porque los números racionales están
densamente ordenados).
P. Cobreros
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Conjuntos numerables
Numerabilidad de Q+
Teorema: Q+ es numerable.
Hay que probar que existe una correspondencia entre Q+ y N. Como N ⊆ Q+ ,
basta mostrar que hay una función de N sobre la totalidad de Q+1
/ 1/2
.: . .
6 1/3
8 1/4
uu
mm{m{
{
r{r{
u
m
r
{
u
m
r
u
{{ mmm {{
rr {{
uu
{{ mm {{{
rr {{
uu
u
}{m{mmmm
}{ rrrr }{{
uu
2/1
2/2 rrr 2/3 uuu . . .
r
u
{{ rr
{{ uu
{{rrrr
{{ uuu
{
{
u
r
{
{
}{r{rr
}{{ uuuu
...
3/1
3/2uuu
{ uuu
{
{{uu
{u{uu
{
u
}{u
1/1
4/1
1
Zalabardo: 241, lema 6.45.
P. Cobreros
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Conjuntos numerables
Numerabilidad de Q+
Teorema: Q+ es numerable.
Hay que probar que existe una correspondencia entre Q+ y N. Como N ⊆ Q+ ,
basta mostrar que hay una función de N sobre la totalidad de Q+1
/ 1/2
.: . .
6 1/3
8 1/4
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mm{m{
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3/1
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1/1
4/1
1
Zalabardo: 241, lema 6.45.
P. Cobreros
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Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Conjuntos numerables
¿Infinito = Numerable?
La idea de la prueba anterior es que podemos ordenar todos los
elementos de Q+ en una lista. De modo análogo podemos listar la
totalidad de los números racionales, Q.
Este y otros resultados sugieren la idea de que, después de todo, Galileo
tenı́a razón. Parece que los cardinales infinitos no tienen gran interés,
puesto que parece haber un único cardinal infinito.
Cantor demostró en una célebre prueba que esto no es ası́.
P. Cobreros
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Conjuntos numerables
¿Infinito = Numerable?
La idea de la prueba anterior es que podemos ordenar todos los
elementos de Q+ en una lista. De modo análogo podemos listar la
totalidad de los números racionales, Q.
Este y otros resultados sugieren la idea de que, después de todo, Galileo
tenı́a razón. Parece que los cardinales infinitos no tienen gran interés,
puesto que parece haber un único cardinal infinito.
Cantor demostró en una célebre prueba que esto no es ası́.
P. Cobreros
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Conjuntos numerables
¿Infinito = Numerable?
La idea de la prueba anterior es que podemos ordenar todos los
elementos de Q+ en una lista. De modo análogo podemos listar la
totalidad de los números racionales, Q.
Este y otros resultados sugieren la idea de que, después de todo, Galileo
tenı́a razón. Parece que los cardinales infinitos no tienen gran interés,
puesto que parece haber un único cardinal infinito.
Cantor demostró en una célebre prueba que esto no es ası́.
P. Cobreros
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Algunas otras cuestiones sobre el tamaño
Conjuntos incontables
Incontable
Definición: Un conjunto A es contable si y sólo si es finito o
numerable.
Un conjunto incontable es aquél que no es ni finito ni numerable.
Dado que el primer cardinal infinito es ℵ0 , un conjunto incontable
es aquél con cardinalidad mayor que ℵ0 .
¿Hay algún conjunto de cardinalidad incontable?
P. Cobreros
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Conjuntos incontables
No-numerabilidad de los reales
Teorema: El conjunto R de los números reales es incontable.
Dado que N ⊆ R hay que mostrar que, a diferencia de Q, no hay ningún modo
de listar R.
Consideremos los reales [0, 1). Si no podemos listar este conjunto de reales
tampoco podremos listar la totalidad. Para cualquier lista consideremos el
número real: 0.δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 ... definido:

6 si n=5
δn
5 en caso contrario
(Donde n es el enésimo dı́gito del número que ocupa la posición n en la lista)
Para cualquier lista de números reales, el número ası́ definido será distinto de
cualquiera de los números en la lista.
P. Cobreros
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Conjuntos incontables
No-numerabilidad de los reales
Ejemplo: Para la siguiente lista,
0.146555600700...
0.256678423008...
0.232468535789...
0.223569870099...
0.565656565656...
el número 0.δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 ... definido de la manera señalada
anteriormente comenzarı́a de esta manera: 0.56566...
Este número difiere del n-ésimo número de la lista al menos en el
n-ésimo decimal. Este tipo de razonamiento es conocido como
argumento diagonal de Cantor.
P. Cobreros
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Conjuntos incontables
El teorema de Cantor
Cantor no sólo demostró que habı́a un conjunto incontable, sino que hay
infinitos conjuntos incontables. Esto es una consecuencia del siguiente teorema:
Teorema de Cantor: Para todo conjunto A, |A| < |℘(A)|
Mostramos que i) |A| ≤ |℘(A)| pero que ii) |A| =
6 |℘(A)|
Para i) considera la función de A en ℘(A): f (a) = {a}
Para ii) mostramos que, para cualquier función g de A en ℘(A), hay
algún elemento de ℘(A) que no es la imagen bajo g de ningún elemento
en A. Consideramos el conjunto X = {a ∈ A| a ∈
/ g (a)}. Esto es, a ∈ X
ssi a ∈
/ g (a).
El conjunto X no es la imagen bajo g de ningún elemento en A, puesto
que si g (a) = X entonces a ∈ X ssi a ∈
/ X.
P. Cobreros
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Otros resultados
Conjunto potencia, exponenciación y cardinalidad de los reales
Teorema: Para todo conjunto A, |℘(A)| = 2|A| . (Zalabardo: 248,
Hedman: 160)
Teorema: |R| = 2ℵ0 . (Zalabardo: 249-51, Hedman: 78)
P. Cobreros
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Otros resultados
Aritmética de cardinales
La linealidad de ≤ es equivalente al Axioma de Elección:
Para todo conjunto A y B, |A| ≤ |B| o |B| ≤ |A|.
Ley de la absorción de la aritmética de cardinales: Sean κ y λ
cardinales distintos de 0 y al menos uno de ellos infinito.
κ + λ = κ · λ = Max(κ, λ).
Sumar y multplicar cardinales infinitos es muy sencillo. La
exponenciación con cardinales infinitos es difı́cil (Hedman: 159-61,
Zalabardo: 272-3).
P. Cobreros
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Cuestiones abiertas
La hipótesis del continuo
La cardinalidad de R se conoce como la cardinalidad del contı́nuo (dado
que la lı́nea real, a diferencia de la lı́nea de números racionales, no tiene
huecos).
Sabemos que la cardinalidad del contı́nuo es mayor que la de los números
naturales. Hay algún cardinal entre |N| y |R|? Cantor pensaba que la
respuesta a esta pregunta era negativa.
Hipótesis del continuo: 2ℵ0 = ℵ1 .
Hipótesis generalizada del continuo: 2ℵn = ℵn+1 .
Gödel (1937): La hipótesis generalizada del continuo es consistente con
ZFC.
Cohen (1963): La negación de la hipótesis del continuo es consistente
con ZFC.
(Hedman: 162-3, Zalabardo: 257)
P. Cobreros
Lógica II: Tema 6