Tratamiento de predicciones conflictivas

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 35, Núm. 133, 1993, págs. 439 a 461
Tratamiento de predicciones conflictivas :
Empleo eficiente de información
extramuestral *
LUlS JULIAN ALVAREZ
JUAN CARLOS DELRIEU
JAVIER JAREÑO
Banca de España
RESUMEN
La finalidad de este trabajo es incorporar, de manera eficiente, a un modelo
ARIMA univariante la información contenida en las predicciones alternativas que
se obtienen a partir de la opinión de un experto o de un modelo econométrico.
Se contempla cualquier conjunto de restricciones lineales sobre la evolución
futura de la serie y se permite la introducción de incertidumbre sobre éstas. EI
problema se resuelve al obtener la «predicción restringida» por mínimos cuadrados generalizados (MCG).
Palabras clave: información extramuestral, modelos ARIMA, predicción restringida.
Clasificación AMS: 62M 10
1.
INTRODUCGION
En la abtención de predicciones sobre acontecimientos económicos, los modelos estadístico-econométricos juegan un papel destacado. Sin embargo, en
* Los autores agradecen los comentarios y sugerencias realizados por Carlos Ballabriga, Juan
José Dolado, Esther Gordo, Daniel Peña y Teresa Sastre, asi como un evaluador anónimo. También
ha resultado de gran utilidad la discusión realizada en un seminario del Banco de España en el XVII
Simposio de Análisis Económico y en el XI Encuentro Latinoamericano de la Sociedad Econamétrica.
Obviamente, los errores que puedan subsistir son sólo responsabilidad nuestra.
,i,"1(,^`^>i^^:a E ^ ,t,^^PJ( it ^^^.
numerosas ocasiones, distintas organizaciones at formular su previsión final
emplean información que los modelos disponibles no consideran, Esta información, que procede de numerosas fuentes de carácter diverso, carece de un patrón
sistemático o se recibe can una frecuencia distinta a la del modelo.
Por otro tado, los modetos univariantes de series temporates gozan de una
etevada poputaridad en la prác#ica predictiva debido a su éxito en captar la
estructura dinámica de los datos. En este contexto, cabe preguntarse si resulta
posible incarporar a un modelo de este tipo la información que considera un
experto o un modela econométrico para, de esta manera, poder disponer de
,
prev^siones mas precisas.
La capacidad de incorporar la información relevante para la predicción se
encuentra directamente relacionada con el esquema metodológico empleado
para el análisis de una variable. En este sentido, la situación en la que nos
encontramos se caracteriza por tres tipos de predicciones alternativas con diferentes características: a) predicción univariante, capaz de capturar adecuadamente la evolucián dinámica a corto plazo, b) predicción econométrica, que
recoge de manera satisfactoria la senda de largo plazo, y c) opinián de experto,
cuya mayor vi rtud es incorporar informacián extramuestral ^. Ahora bien, dada la
dificultad para cornbinar estos conjuntos de información de forma eficiente, ta
solución debe consistir en conjugar las propiedades de tas diferentes modetizaciones sobre et futuro.
En esta linea, existe una abundante titeratura sobre combinación de predicciones, que renuncia de forma expresa a la combinación de conjuntos de informacián y que busca conseguir previsiones más precisas [véase, en#re otros, Bates
y Granger (1969), tVewbold y Granger (1974), Granger y Ramanathan (1984) así
como la revisián de Ctemen (1989)]. Las bases de las mejaras que se obtienen
son: a) una prediccián puede contemplar información que otras no consideran y
b) ias predicciones pueden tener distintos supuestos de partida. Aunque la
práctica totalidad de la literatura se ha dedicado a la combinación de predicciones
con modelos de igual periodicidad, recientemente han aparecido una serie de
trabajos basados en la combinación de modelos de diferente frecuencia, tanto
para obtener predicciones para el mayor período [véase Corrado y Greene
(1987), Corrado y Haltmaier (1987) y Howrey, Hymans y Danihue (1991)], como
para el periodo menor [Fuhrer y Haltmaier (1989)].
Sin embargo, la apticación de la metodotogía de combinación de predicciones
no es siempre posible, especiatmente si nas encontramos con predicciones no
' No se pretende a#irmar que los expertos sean infalibles. De hecho, las previsiones de éstos
presentan en ocasiones errores considerables. Por esta razón, cuando intervienen predicciones
subjetivas se hace especialmente importante el seguimiento de los errores de predicción [véase
Jenkins (1982)].
^flATAMIE:.NTC) C)F E'RE._L)I(;(_:;tC^)NE5 (:C7NFl IC;TI^rA^;
441
sistemáticas. Por este motivo, tiene interés extender los resultados de esta
literatura para cubrir nuevas posibilidades, de forma que se abtengan predictores
de carácter más ampiio que permitan combinar predicciones sistemáticas y no
sistemáticas.
En este contexto, el problema planteado se centra en cómo incorporar información extramuestrai a un modeia cuantitativo, y fa solución que se propone,
para el caso de un modelo ARIMA univariante, es la predicción restringida, que
supone una revisión de las previsiones univariantes, de modo que se satisfaga
la información aportada por un modelo econométrico o por un experta, consiguiendo predicciones de carácter eficiente, en el sentido de minimizar el error
cuadrático medio. Esta forma de proceder ha sido propuesta, empleando diferentes aproximaciones, en los trabajos de Cholette { 1982}, Guerrero (1989), Trabelsi
y Hilimer {1989) y Pankratz (1989). Se distinguen en todo momento las casos de
restricciones ciertas y restricciones con un determinado grado de incertidumbre
y el métoda que resulta ofrece varias ventajas. Primero, se demuestra que la
solución es diferente según el modelo ARIMA que caracterice el fenómeno y, por
tanto, se adapta a las peculiaridades estadísticas de cada serie. Segundo, permite calcular los intervalos de confianza de las predicciones restringidas a diferencia de lo que sucedería con cualquier otro procedimiento empírico. Tercero,
se ofrece un estadístico que permite contrastar la compatibilidad de la información
que se pretende incorporar, con la evolución pasada de la serie. Adicionalmente,
en nuestro trabajo se indica la relación existente entre el estimador propuesto y
la estimación de valores ausentes («missing values»).
La estructura del trabajo tras este epígrafe es la siguiente: la parte 2 recoge el
marco analítico que se emplea cuando se desean introducir restricciones con un
cierto grado de incertidumbre, derivando asimismo la solución cuando las restricciones son ^ciertas. En el tercer apartado se destaca la relación con la literatura
de estimación de valares ausentes. Las secciones 4 y 5 recagen dos aplicaciones
referidas a la trimestralización de las importaciones no energéticas y al índice de
precios al cansumo de la economía española. Por últirno, se ofrece un apéndice
en el que se demuestran diversos resultados contenidos en el texto.
2.
2.1.
EL MARCO ANALITICO
Marco estadistico
Supongamos un serie Zt que se puede representar de manera adecuada por
un modelo ARIMA univariante
^*(1-)Zc = 0(^)at
(1)
E^^^.`^^rr^(^fCiTI^;A F^^F'AfJ^)t F^
donde O(L) _ (1 - O^ L -...- t^qLq) y ^*(L) _ (1 - ^^ L -...- ^pLq) son operadores
poiinómicos en el operador de retardos L, de modo que LZt = Zt_^ . Ambos
polinomios no presentan factores comunes y el proceso es invertible. Por su
parte, el operador autorregresivo puede presentar raíces unitarias. Además, la
transformación estacionaria de la serie tiene media cero y at es un proceso de
ruido blanco formado par variables aleatorias normaíes no correlacionadas y con
varianza constante, 6á.
EI praceso puede escribirse en forma de media móvil 2 como
(^)
U L
zt= *^__^ at=^^^at-^
^-^
^ (L)
donde ^o = 1 y el resto de los coeficientes se obtienen al igualar coeficientes en
^* (L) `^ (L} = C^{L)
(3)
yl(L)=1+W^L+yr^L2+...
(4)
siendo
A partir de los coefi ^ientes ^; y las innovaciones pasadas at_; se obtienen
predicciones h períodos por delante, que únicamente consideran la información
contenida en el pasado histórico de la serie S^z = {Zt, Zt_^, ...}. Box y Jenkins
(1970) demuestran que el predictor ó ptimo, en el sentido que minimiza el error
cuadrático medio, viene dado por ^
n
Zt(h) ! E[Zt+h I ^^ - ^hat + Wh+1 at-1 + ^h+2at-2 -^-...
(cJ)
Además es posible descomponer la serie en una parte sistemática (ia previsión)
y otra no sistemática (el error), siendo ambas ortogonales entre sí
^
Z=Z+e
(6)
n
A
/^
A
donde Z, Z y e son vectores columna, tales que Z=[Zt+^.^.Zt+hl'^ z=[Zt(1)•••Zc(h)l'
y e=[et (1)...et(h)]', con Zt+h el valor de la serie en t+h, Zt(h) el predictor óptimo
para h períodos por delante y et{h) el error de predicción h periodos por delante.
Por otro lado, et(h} se puede expresar como una combinación lineal de innovaciones futuras. En forma matricial,
^ Sobre la validez de (2) en el caso de series no estacionarias, véase Bell (1984).
^ EI empleo de muestras finitas hace que la expresión (5) sea, en realidad, una aproximación
[véase Brockwell y Davis (1987)^. Agradecemos a un evaluador anónimo el señalarnos este punto.
i^f^AT^MIE^ f^JTC) [)F F'FtFC^)1C:{^,COP^^E .`^ (.C)Nf L IC^^Ii^Ji`^.^
donde a es un vector columna a=(at+1 ... a^+h)' y `^ es una matriz cuadrada de
dimensión h x h
1
y^ ^
4
1
^h-1
wh--2
...
0
(8)
0
1
demostrándose que los errores de previsión h periodos por delante tienen media
nula y matriz de varianzas y covarianzas:
E [ee'] = aá ^ y^'
(9)
A partir de las expresiones (6) y(7) se tiene que
^
Z=z+^a
(10)
Partiendo de esta expres'rón, Guerrero (^ 989) obtiene la predicción restringida
resolviendo un programa de optimización que rninimiza el error cuadrático medio
de la predicción sujeto a las restricciones. En este trabajo se propone un enfoque
diferente basado en ideas desarrolladas por Durbin ( 1953), Thei! y Goldberger
(1961) y Theil ( 1963) 4 , de modo que planteando el problema de la rnanera más
se Ilega, finalmente,
considerando restricciones estocásticas
general posible
a los mismos resultados. A ello se dedica la siguiente sección.
2.2.
Modeios ARIMA univariantes e incorporación de in#ormacián
adicional 5
Las restricciones pueden ser estocásticas o ciertas, bien porque se emplee un
modelo econométrico para derivarlas, con lo cual es posible calcular la matriz de
varianzas y covarianzas de los errores de previsión asociados a estas restricciones, bien porque disponga de información sobre la precisión de la fuente. Observése que la primera situación es interesante ya que es frecuente disponer de
modelos econamétricos con datos anuales o trimestrales, y al mismo tiempo
contar con modelos univariantes con una frecuencia mayor.
4 Estos autores demuestran de qué manera se ve afectada la estimación de los parámetros de
un modelo de regresión cuando se incorpora informacián extramuestral.
5 En este epígrafe se supone que las predicciones se obtienen con un modelo ARIMA. Sin
embargo, en general, podemos especificar la matriz de varianzas y covarianzas de los errores h
períodos por delante y el desarrollo seria igualmente válido, por ejemplo, para modelos econométricos
uniecuacionales.
E^rat:^^^rir:a F s^>arvc^i r^
d44
De esta manera, el prablema es encontrar el predictor óptimo que satisfaga
las restricciones estocásticas recogidas com©
(11)
AZ= b+u
donde u es un vector de r variables aleatorias distribuidas normaimente con
media cero y, en general, varianzas diferentes; la matriz A es de dimensión r x h
con r< h y rango r, sienda r el número de restricciones, Z es un vector h x 1 que
recoge !os valores futuros de la variable y b es un vector de constantes de
dimensión r x 1. La forma general recoge como casos particulares las siguientes
posibitidades y en cualquiera de ellas se impone la restricción con un cierto
margen de variabilidad proporcionada por la varianza del término de error:
1.
Restricciones aisladas. Se posee información sobre el valor que tomará el
fenómeno en un rnomento del tiempo futuro
(12)
Zi+^ = bp + Up
2.
Restricciones de suma o media. Se estima el valor de la media o la suma
de un cierto númera de valores, por ejempto 12
Zt+^ + Zt+2 .+ Zt+3 +... Zt+12 ! b^ + u^
3.
(13)
Restricciones de incremento. Se dispone de información referida al incrementa que registra una variable en un intervalo de tiempo
(14)
^Zt+^ - Z:+^ = b2 -+- U2
Por otro lado, es posibie que se satisfagan de manera conjunta distintas
r^estricciones y que cada una de ellas tenga una varianza distinta. Además, en
general, permitiremos que exista correlación entre éstas y las previsiones del
modelo ARI A/IA.
Así pues, la información existente se puede resumir c^mo:
^
Z=Z+e
{15)
AZ=b+u
donde, en general,
6á ^ ^ ^eu
4
^,Ue
(16)
^u
siendo ^u la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones asociadas
a las restricciones, ^eU es ia matriz de covarianzas entre errores de predicción h
,
períodos por deiante y perturbaciones asociadas a las restricciones y^,ue =^e„ .
T f^^i AM1E- r^J ^1^C7 C)E F^F^E^.Dic.;^^^;i(^N^^ S c:^^t^r^F^ ^^+ , r ^^,^ ^^^^,
445
EI problema de encontrar un estimador que satisfaga la restricción estocástica
teniendo en cuenta las propiedades de los térrninos de error se contempla con
mayor claridad si reescribimos (15) de la siguiente manera:
(17)
I
Z+
y queda resuelto mediante la utilización del estimador por mínimos cuadrados
generalizados (MCG), en la misma línea que Durbin (1953), Theil y Goldberger
(1961 } y Theil (1963). Entonces el estimador óptimo es:
z^=
[lIA]
6á ^ ^^ ^eu -1 I
^ue
^u
A
^
_^
[lIA]
6á ^ ^r ^eu
,.
Z
^ue
b
^u
( ^ 8) .
En la práctica tiene especial relevancia considerar el caso particular donde
^eu = 0, ya que puede ser complicado especificar estas matrices de covarianzas
entre errores. Por otro lado, las fuentes de información pueden ser las suficientemente independientes coma para juzgar q^e este supuesto no es especialmente restrictivo. Parece, pues, de interés considerar con más detalle este caso
particular. Así, se demuestra en el apéndice que cuando no hay correlación entre
las perturbaciones de las restricciones y las perturbaciones del modelo ARIMA,
el predictor óptimo Z* vendrá dado por
^
^
Z* = Z + P*(b-AZ)
(19)
P*=^^á^W^A^IA^6á^W^)A^+^u]^^
(20)
donde
La expresión (19) indica que ef predictor óptimo es una combinación lineal del
predictor ARIMA libre y la información nueva que contienen las restricciones 6
EI término E,,, refleja la precisión asociada a las diferentes restricciones, de forma
que para una divergencia dada entre la predicción ARIMA y el vector de restricciones, las revisiones serán tanto mayores cuanto menor sea la varianza asociada a esta restricción. En el caso opuesto, si una restricción es muy poco precisa
entonces el predictor óptimo, no diferirá prácticamente de la previsión ARIMA.
Ahora bien, muchas veces se genera información de carácter esporádico, no
^regular en el tiempo bien por su naturaleza o por su fuente pero, sin embargo,
resulta de gran importancia a la hora de hacer predicciones. En ciertos casos, la
peculiaridad de este tipo de información extramuestral puede Ilevarnos a consi6 Obsérvese que si A= I se obtiene la fórmula (bayesiana) estándar de combinación de información ponderada por la precisión relativa.
446
E STAC)15t!!^:.A ESPANC)I_A
derarla como cierta 7. Así, e( predictor restringido viene dado por ia siguiente
expresión:
n
n
Z** = ^ + P**{b - AZ)
{21)
donde Z** es e( predictor óptimo y P** es una matriz de ponderación de dimensión
h x r, que viene dada por:
(22)
P** = {^ ^V') A' IR{^ ^')A']-^
En cua(quier caso, !a expresión a la que se llega pone de manifiesta que el
estirnador restringido óptimo será diferente según la estructura dinámica de (os
datos y, por tanto, de( made(o ARIMA que genere e( proceso ba]o estudio.
Evidentemente, (os predictores restringidos Z* y Z** satisfacen !as restrícciones
de forma estocástica o exacta, respectivamente.
Por otro (ado, puesto que el predictor óptimo se puede obtener como un
estimador por mínimos cuadrados generalizados ( MCG) la expresión de la matriz
de varianzas de fos errores del estimador de 1a expresión ( 18), resu(ta ser
Vár (Z* -- Z) _
[I ^ q']
2
^a ^ W ^eu
^ue
^
^u
1
^1
(23}
A
l
y puede verse en el apéndice que, en el caso en que ^eU = o, la expresión anterior
se transforma en esta otra:
Var(Z*-Z)=6á^.4r^r'(!-PA),+P^^P,
{24)
Si, además, consideramos que (as restricciones no !levan asocíada incertidumbre alguna obtenemos que
`Var (Z** - Z) - 6á ^ W (! - PA>
{2^)
Se obtiene de manera inmediata que (a matriz de diferencias entre matrices
de varianzas de( error de predicción libre y restringido es semidefinida positiva,
por !o que la varíanza del error de predicción de cualquier combinación ( inea( de
predicciones restringidas es 'rnferior a la de esa misma combinación ( ineal de
prevísiones ARlMA. Este resultada es e( intuitivamente esperado, ya que e( uso
de información supuestamente correcta sobre (a evolución futura del fenómeno
dismínuye nuestro grado de incertidumbre respecto de( que teníamos antes de
disponer de esta información. A( mismo tiempo, cuando las restriccíones son
estocásticas, y por tanto su cump(imiento es incierto, la matriZ de varianzas es
mayor que cuando las restricciones se satisfacen con exactitud. En concreto, si
7 Puede ser interesante empiear la hipótesis de que la información extramuestral es cierta para
evaluar objetivos. Véase la aplicación referida al 1PC.
TRATAMIE-NTO DE PREDICC;IONES CONFI IC:,TIVAS
^^Í
las restricciones estocásticas tienen una varianza elevada entonces son poco
informativas, y disminuyen en menor medida nuestra incertidumbre.
2.3.
Un contraste de compatibilidad
Un supuesto implícito que se emplea en la derivación del estimador restringido
óptimo es que la restricción es compatible con la evolución histórica del fenómeno. Por ello, en este epígrafe se expone un contraste de compatibilidad que
permite detectar qué restricciones son incompatibles con el pasado de la serie.
Este contraste es importante ya que si se rechaza, entonces se está suponiendo
implícitamente que se va a producir un cambio estructural. Si éste fuera el caso,
los resultados habrían de tomarse con las debidas cautelas, puesto que se han
obtenido bajo el supuesto de estabilidad.
En el apéndice se demuestra que bajo la hipótesis nula de satisfacción de las
restricciones, entonces el estadístico obtenido, en línea con los propuestos por
Theil (1963), Box y Tiao (1976) y Guerrero (1989), resulta ser en el caso de que
la covarianza entre los errores de predicción y las perturbaciones asociadas a
las restricciones sea nula
Q-(b_AZ)'[6áA
^ ^
A'+ ^, u^ -^ tb-AZ )
(26)
que se distribuye como una x2 con r grados de libertad, siendo r el número de
restricciones. En la práctica, 6á, ^ y ^^ son desconocidos por lo que habrá que
sustituirlos por sus estimadores eficientes para obtener un estadístico factible.
3.
PREDICCION RESTRINGIDA Y ESTIMACION DE VALORES
AUSENTES 8
Un problema que se presenta con frecuencia en la práctica es que se dispone
de series incompletas porque faltan datos en algunos períodos (aislados o en
grupos), porque cambia la frecuencia de la observación, o porque alguna de las
observaciones es claramente errónea. Aunque la literatura estadística se ha
ocupado del tema [véase Brubacher y Tunnicliffe-Wilson (1976), Peña y Maravall
(1991) y las referencias allí citadas] el objetivo de este epígrafe es mostrar que
el estimador propuesto para realizar predicciones con restricciones puede emplearse para efectuar int^rpolación óptima, presentando el atractivo de poder
abordar el problema mediante un enfoque alternativo sencillo.
^ Este epígrafe muestra una posible extensión de la predicción restringida a la estimacián de
valores ausentes, por lo que un tratamiento detallado queda fuera de los objetivos de este trabajo.
La demostración de la equivalencia para un modelo ARIMA cualquiera, puede verse en Alvarez,
Delrieu y Jareño (1993).
í ^I ^; i I^ ,?+ t`7F'!',^.(_ ^1 ^^
En general, el estimador con error cuadrático medio rnínimo de las observaciones ausentes es ia esperanZa condici©nada a las observaciones que se
poseen. Si denotamas la serie observada Ztm^ como la serie con k valores
ausentes en los periodos t+1, t+m1, t+m2, ..., t+mk_1 donde m1, ..., mk_1 son
enteros positivos entonces e! estimador óptimo de los k valores ausentes viene
dado por E[Zm ^ Z^m^], donde Z^ recoge los valores de la serie en t+1, t+m1, ...,
t+mk_1. Para comprobar que el estimador propuesto coincide con este último
basta con observar que siempre es posible situarse en el momento de tiempo
inmediatamente anterior a ia primera observacíón ausente y realizar todas ias
predicciones necesarias para alcanzar el final de la serie. Es suficiente imp©ner,
utilizando ei procedirniento presentado en este trabajo, que las predicciones
coincidan con los valores conocidos a partir del primer valor ausente. Puesto
que, en ambos casos, el conjunto de información coincide, entonces e^ estimador
que es de mínima varianza es idéntico aC propuesto.
Para ver la coincidencia del estimador opuesto y ei empleado habitualmente
en ia iiteratura utilizaremos como ejempl© un proceso AR(1 } de parámetro conocido en el que la penúltima observación se desconoce. En este caso, eC estimador
ciptímo de la observación ausente viene dado por
n
^m ^ ^_ ; (zm-7 + ^rn+ 1)
1 + ^y
(27)
A partir de la expresión de1 predictor restringido {21), particularizando para un
proceso AR(1) con un horizonte de predicción de dos períodos, la matriz de
varianzas y covarianzas será 6á ^^r' ^ 6á
1
cp
^
1 + cp^
En este caso, emQleando la mis^na notación que en apartados anteriores
b= Zm+1 y A=[0 1], Z(1 }= cpZm-1 Y Z(2) _^2Zm-^ Y particulariZando en (21).
^m-1
^m-1
m
- ^1,2 ^
1 + ^^
--1
^
^zm^1 + zm-1 )
1 + ^2
28)
Zm+-1
de forrna que se obtiene el mismo estimador que en (27}.
4.
TRIMESTRALIZACION DE LAS IMPQRTACIONES NO ENER+GETICAS^ :
UNA APLICAGION *
La realización de ejercicios de trimestralizaciá^ n, a partir de 1as cifras anuales
de la Contabilidad Nacional, tiene como fin estimar e! perfil trimestral de estas
* Con posterioridad a la finalizacicín de este trabajo, el Instituto Nacionai de Estadistica h
publicado estirnaciones trimestrales de la Contabilidad Nacional.
TR^TAMIF^^:r^JTC) [:)E F^f^E^^_Ulí^f;^t.^^^F_5 ,;^ ^r^,^ ; i^^:.^^,J^a^.;
variables hasta el presente, así como disponer de previsiones sobre su comportamiento trimestral en los próximos años. Para esta finatidad un esquema de
trabajo seguido habitualmente es:
a)
Elección de un indicador.
b) Ampliación del indicador con predicciones, en general a partir de modelos
ARIMA.
c)
Extracción de señales del indicador ampliado.
d)
Ampliación de la variable anual a trimestralizar can previsiones.
e) Interpolación o distribución de la variable anual (ampliada) utilizando el
indicador (con predicciones).
Bajo este esquema, se puede apreciar el papel esencial que los modelos univariantes desempeñan en los ejercicios de trimestralización, ya que son la base de las
predicciones del indicador, las cuales determinan el posterior ejercicio de trimestralización. De esta forma, sesgos en las predicciones univariantes se transrniten a las
fases posteriores (extracción de señales e interpolación o distribución).
EI ejercicio que se propone a continuación pretende ilustrar el efecto de los
sesgos de previsión que comenzaron a presentar los modelos univariantes a
partir del segundo semestre de 1989. Durante este período, la aplicacián de
diversas medidas restrictivas de política monetaria produjo un cambio en la
evolución del crecimiento de las principales variables macroeconómicas y, en
particular, en las importaciones no energéticas. De hecho, el análisis de esta
última variable manifiesta un punto de ruptura 9, origen de los sesgos de previsión
(véase en los gráficos 1 y 1 bis, la racha de residuos negativos a partir del
segundo semestre de 1989).
Considerando 1a información disponible hasta junio de 1990, se disponía,
esencialmente, de tres previsiones alternativas para la serie de importaciones no
energéticas. Por un lado, las previsiones derivadas del modelo univariante, por
otro, las estimadas por el modelo econométrico anual de Sebastián (1991) y, por
último, las previsiones establecidas por expertos del sector exterior, también de
carácter anual. En el cuadro 1 se presentan las correspondientes previsiones en
términos de medias anuales para los años 1990 y 1991, distinguiéndose, en el
caso del modelo econométrico, dos alternativas derivadas de supuestos sobre 1a
constancia de la elasticidad demanda-renta (previsión MSS) o de modificaciones
de ésta (previsión MSC), por último, en este cuadro se incluyen los crecimientos
medios realmente observados.
9 Véase Aivarez, Delrieu y Espasa (1992) para un estudio de las importaciones no energéticas.
Por otro lado, Sebastián (1991) encuentra significativo un cambio en la elasticidad en la demanda
de importaciones respecto del PIB.
45C1
f STAUIST ^ ^:A E S^ANC>L.A
Gr^fíco 1
IMPORTACiONES TOTALES NO ENERGETICAS
Residuos
o.z
o.z
o. ^
-o. ^
-o. ^
-o,z
-0.2
1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Gráfico 1 bis
IMPORTACIONES TOTALES NO ENERGETICAS
Residuos
o.z
o.^
-o. ^
-o.x
1988
1989
1990
451
TRATAMIENTO C^E F'REDfCCIONES CONFLIC:TIVAS
CUADR01
importaciones no energéticas a precios corrientes
Fecha de la predicción: Junio 1990
Tasas de variación interanuales
PREDI CCION
Fuente de la predicción
Nomenclatura
1990
1991
18,1
15,0
ARI
BoN
13,0
Experto
Simulación dinámica modelo econométrico ':
Sebastián (1991), sin cambios en ^y
Sebastián (1991), con cambios en Ey
MSS
MSC
3,8
3,7
7,9
6,2
Crecimiento medio observado
oBs
5,9
8,0
Modelo ARIMA
13,0
^ Dado que estos modelos están expresados en términos reales, se ha obtenido la cifra nominal
de manera implícita, a partir del supuesto realizado en ese trabajo sobre el deflactor de las importaciones no energéticas.
.
En esta situación no resulta factible la trimestralización de la variable importa-
ciones no energéticas de la Contabilidad Nacional, mediante el uso de las previsiones ARIMA habituales, ya que el resto de previsiones se disponían con
frecuencia anual. Ahora bien, la aplicación de la predicción restringida permite el
uso de las previsiones alternativas, condicianando la predicción ARIMA a la
restricción que se incorpore. De esta forma, conseguimos ampliar las importaciones no energéticas con diferentes predicciones rnensuales, según los crecimientos anuales expresados en el cuadro 1.
Dado el interés en conocer el perfil trimestral, el indicador seleccionado fue la
tendencia de las importaciones no energéticas ^0. Por tanto, aplicando el rnétodo
de extracción de señales desarrollado por Burman ( 1980), se obtiene un indicador
para cada previsión considerada, el cual se utiliza para trimestralizar el dato anual
de las importaciones no energéticas ^ ^
Los resultados se recogen en los gráficos 2 a 5 y de ellos se concluye:
1.
La imposición de diferentes crecimientos medios en la predicción restringida afecta tanto al nivel de la serie (véase gráfico 2) como a la estirnación
de su correspondiente tendencia (véase gráfico 3).
'Ó Se utiliza la serie de la Dirección General de Aduanas por ser prácticamente idénticos Ios
criterios contables de ésta y la Contabilidad Nacional.
" En nuestro ejercicio se ha utilizado el procedimienta de desagregación temporal propuesto por
Denton (1971).
E_;^^AL^I`^i I^.;A E `^f::>A^J(.)l ^`^
^^ J^
Gráfico 2
IMPORTACIONES N+^ ENERGETICAS
Serie original y predicciones
Nivel
^,ooo,ooo
y,ooo,ooo
^00,000
000,000
800,000
900,000
700,000
700,000
Arl
Bon
Mss
Msc
Ob•
Q00,000
600,000
aoo,ooo
aoa,ooo
400,000
1989
400,000
1991
1990
^Gráfico 3
IMPORTACIONES NO ENERGETICAS
Tendencia
T 12, 12 sin centrar
30
^ 30
Ari
za
26
Bon
20
20
Mss
1a
!a
Msc
10
10
' -a
'
-6 ^
1989
1990
1991
Oba
^ F1^ ^^ ^ r^n i E^ rv 1 t^ ^^^ E^ ^^ F^ E[_:> ^^^^ ^: ^c:> r^ E: ^ ^: r: >r^ F i ^ ^ r s^^.
__
__
2.
5.
45,3
La posibilidad de utilizar diferentes predicciones, permite estimar trimestralizaciones alternativas, que afectan tanto al nivel corno al perfil intertrimestral resultante (véase gráfico 4). De hecho, puede apreciarse que
aunque el crecimiento interanual a finales de 1991 (línea BON -experto-)
se aproxima al correspandiente a la línea OBS (línea de predicción restringida a ios crecimientos medios observados), el perfii interanual es significativamente distinto (véase gráfico 5).
PREDICCIONES BAJtJ RESTRICCIONES Y EL INDICE DE PRECIC}S
AL CONSUMO
EI Indice de Precios de Consurno (IPC) es considerado por los agentes económicos como la variable fundamental en el análisis de la inflación. De esta
farma, éstos establecen sus acciones y actitudes indiciando sus variables de
interés a través dei IPC. Por este mo#ivo las autoridades económicas establecen
objetivos de crecimiento de precios basados en este índice, desarrollando políticas de actuación que conduzcan a los valores deseados.
Este comportamiento de ias autoridades económicas determina que nuestra
atención se centre en el objetivo establecido y, por tanto, en la posibilidad de su
cumplimiento. Desde este punto de vista, la aplicación del método de predicción
bajo restricciones nos permite obtener la futura senda mensual del IPC carnpatible tanto con la historia pasada de esta variable, como con el valor objetivo de
las autoridades económicas, ofreciendo la posibilidad de contrastar mensualrnente la coherencia de este Objetivo con la predicción univariante 12 y por tanto, de
evaluar su credibilidad. En este sentido, la presencia de desviaciones sistemáticas de la senda de referencia es indicativa de la imposibilidad de su cumplimiento.
Por otro lado, la situación en enero de 1992 ofrece un interés adicional al
considerar el efecto del aumento del tipo central del Impuesto sobre el Valor
Añadido (IVA), junto con aumentos en otros impuestos como los que afectan al
tabaco e hidrocarburos. En general, la modelización de estos fenómenos se
puede realizar con análisis de intervención de modo que se recoja e1 aumento
dei tipo medio de ios impuestos indirectos dentro del IPC. Esta forma de actuación se realiza principalmente bajo tres supuestos: en primer lugar, que la traslación impositiva es total, en segundo, que la demanda de bienes no se ve
afectada al variar los precios relativos y, en tercero, que los agentes no anticipan
el aumento impositivo.
'2 Obsérvese que la recepcíón de un nuevo dato supone la revisión de las predicciones univariantes y, como consecuencia, la modificación de la senda objetivo.
F^ T AC)IS T IC.A E SPANC:iI_A
^^ ^j L^
Gráfico 4
IMPORTACIONES NO ENERGETICAS
Trimestraiización
N ivel
z,soo
z,soo
2,s00
z,soo
2,400
2,400
2,200
2,200
2,000
2,000
1,s00
1,s00 - - ^ ^ ^
^,soo
^,soo
1,400
1,400
Arl
`on
Mss
Msc
Obs
1,200
1,Z00 `
1988
1991
1990
1989
Gráfico 5
IMPORTACIONES NO ENERGETICAS
Trimestralización
T1, 4 sin centrar
Arl
30
26
20
1a
Bon
20
Mss
^6
Msc
10
10
0
0
-a
1988
2a
^
1989
,
1990
-a
1991
oa:
455
TRATAMIENT{J DE PREDICC:IONES CONFLICTIVAS
Los supuestos considerados en esta apiicación son los siguientes:
1}
Predicción ARIMA.
2)
Predicción bajo el supuesto de que el crecimiento medio de 1992 será
5,5 %.
3)
Predícción bajo el supuesto de que ei crecimiento medio de 1992 será
5,5 % pero que el proceso de ajuste se iniciará a partir de abril, fecha en
la que se supone que la variación impositiva se ha trasladado totalmente
a los precios.
Los gráficos 6 y 7 rnuestran la evolución de la tasa interanual y la T12 bajo los
diferentes supuestos. En el gráfico 6 se observa cómo debe evolucionar la tasa
interanual para alcanzar el objetivo, destacando la diferencia entre la predicción
ARIMA, que alcanza el 6% en diciembre, y las restringidas que suponen, respectivamente, un crecimiento interanual del 4,7 % y 4,4 % en el último mes. Por otro lado,
destaca la diferente senda de los supuestos 2) y 3) donde se abserva cómo bajo la
hipótesis de que el proceso de ajuste hacia el objetivo no se inicia hasta el segundo
trimestre del año supone una desaceleración más pronunciada en los restantes
nueve meses. En el gráfico 7, las sendas de los supuestos 2) y 3) se dirigen
progresivamente al objetivo, tras un repunte como consecuencia de los cambios en
la imposición indirecta, a la restriccíón fijada de 5,5 % para diciembre, mientras que
la prediccíón ARIMA refleja un crecírniento medio del 6,26 %.
En el cuadro 2 se presentan los resultados obtenidos con información hasta
diciembre de 1991.
CUADRC^ 2
COMPARACION DE RESULTADOS
Restricción
T12
T^^
Q
Ninguna
Media anual
Media anual +
Ene + Feb + Mar
6,0
4,7
6,2
5,5
1,5
4,4
5,5
0,99
Una vez obtenidas las sendas mensuales, para cada caso, correspondientes
al objetivo fijado nuestro interés se centra en la posibilidad de que su cumplimiento sea factible. Observando los valores del estadístico de compatibilidad [1,5 para
el supuesto 2) y 0,99 para el supuesto 3)] hay que concluir que, estadísticamente,
el objetivo fijado es alcanzable, a pesar del aumento inflacionista que supone la
modificación de la imposición indirecta.
E ^^ETAC^I^^;ti( ^, E ^^:,F'H^,J^:^,± ^"+
Gráfico 6
INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO
Tasa interanual
Gráfico 7
INDICE DE PRECIOS AL cONSUMO
T1 Z, 12 sin centrar
s.e
e.e
a.e
ltin r^stricción
Q•a
R^stricción m^di^
anual
d.4
d.4
R^stricclón m^dla
^nusl+^n^•f^b+mar
a.2
6.2
-^ e.e
6.8
a.e
S.6
li.4 ^
1991
`
1992
-
' d.4
rF^AiF^M^E NT^t^ DE^ F^'H( (^)I^;^^,1C^)f^1F ^ ^^,<)R;f^l ^^^^: i^^wr^^:a
APENDICE
1.
RESTRICCioNES ESTOCASTICAS SIN C+l)RRELACION ENTRE LAS
PERTURBACIONES DE LAS RESTRlCCIONES Y LOS ERRORES DEL
M4DEL0 AR1MA
EI estimador óptimo cuando existen restricciones estocásticas resulta ser
^i
Z^-
[I lá ]
á ^ `^ ^eu
(')
r^
^
A
I
^
A
^
^
2
6a W 4^ ^eu
^ ue
^u
^^ ^
^ ^Z1
J
\
(A.1)
/
Si suponemos que no existe correlación entre las perturbaciones de las restricciones y los errores del modelo ARIMA entonces ^e^ = 0 y^„e ^ 0'.
Para obtener una expresión alternativa conviene tener en cuenta las siguientes
identidades.
1.
(A+BDB')-^ = A^^ - A-^ BEB'A-^ + Ai^ BE(E+D)-^ EB'A^-^
(A.2)
2.
(A+B)-^ = A-^ (A-^+B-^ )^^ B-^
(A.3)
3.
B(B'A-^B+D-^)"^B` = BEB' + BE (E+D)-^ EB
(A.4)
donde E = (B'AT'B)-^
Si invertimos en (A.1) la matriz diagonal por bloques y operamos tenemos que
z*-L^6á^`^Y)-
^
_
A^u^ A^ -^ E(aá 4f ^.)-^ Z+ A^ ^u^ b^
(A.5)
Considerando (A.2)
Z^^~Z-(6á^^')A^[A(^á ^^ ')A^]-V^AZ-++ (6á ^ 4r) A [A (^^^ ^') A^] -^ [(A (6á ^ 4^') A^)-^ + ^u^^
,
,
,
[A(6a^W')A]-^ AZ+(tSá4JW)A ^u^ b--(6á^^V')A ^^^ b+
(A.6)
+ (6á 4^ ^') A [A (^á 4f ^') A ^ --^ [(A (6á W 41') A_ ^ + ^^1^ ^1 ^u^ b
Empleando (A.3) y (A.4):
Z^ = Z + ( 6á yf ^ ) A^ [A (6á ^^ ') A^ + ^;^] -^ (b - AZ)
que es la expresión buscada.
(A.7)
45$
1.1.
E STADI`7i I(:A ESPANC.)L A
La varianza del predictor restringid©
Reordenando la expresión (19) se tiene que
^
Z* = P*b + (I - P*A) Z
(A.8)
Z* = P^b + Z- P*AZ + e- P*Ae
(A.9)
y empleando (6) entonces
Por lo que cuando se verifica la restricción
Z* - Z = -P*u + (I - P*A)e
(A.10)
Calculando la varianza en (A.10)
Var (Z* - Z) = (I - P*A) 6á (`^ ^') (I -- P*A)^ + P* ^u P*^
(A.11)
y operando Ilegamos a
Var (Z* -- Z) = 6^ (`^ ^'} (I - P* A)^ + P* ^u P*'
(A.12)
que es la expresión buscada.
1.2.
EI contraste de compatibilidad
Seaa^N(O,^f)
Definimos el vector de información v de dimensión r como
^
v = b - AZ
(A.13)
Baja la hipótesis nula Ho : b+u =AZ
v = -u + A`^a
(A.14)
v es un vector r x h que sigue una distribución normaf por ser combinación
lineal de variables normales. Además, sus dos primeros momentos vienen dados
por
E [vJ = 0
E[vv')=^^+a^áA^^'a^
(A.15)
Por ta nto
,
v^N(0,6áA^`^'A+^„}
(A.16)
Por las propiedades de la distribución normal
Q=v'(6áAV^^'A^+^u)^^ v^^2
(A.17)
iF^ATAMIENT(:) DE PREDI(:(:I[)NE=S C:C)N^[ I^;TIVA^
459
Con lo que Ilegamos a la expresión deseada
Q_^b_AZ)'^aaA^^,A^+^^^-^ ^b_^)^X2
(A.18)
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T fl^^t n,r^^iE r^ ^ ^^, ^ ^E^ F^E1^^ ^^^^r r .^^t^7r^^^ ^^ t ^^^^r^F ^ f+ ^, ,,;^
^^^ ^
TREATMENT OF CONFLICTIVE FORECASTS:
EFFIClENT USE 4F NON-SAMPLE INFORMATION
SUMMARY
The purpose of this paper is efficiently to incorporate into a univariant A ^ RIMA
model the information contained in the alternative forecasts obtained through an
expert opinion or from an econometric model. This kínd of non-sample additional
information can be drawn from any set of linear constraints on the future course
of the series. The introduction of uncertainty about these constraints is perrnitted.
The problem is solved obtaining the «restricted forecast» by Generalized Least
Squares (GLS)
Key words: Non-sample information, AR1MA models, restricted forecast.
AMS C/assification: 62M 10