Capítulo 3 Números Aleatorios

Números Aleatorios
• Elemento Central en la Simulación digital.
• Definición formal controvertida.
• Elemento esencial en muchas áreas del conocimiento
Ingeniería, Economía, Física, Estadística, Maquinás
de aprendizaje etc.
• Definición intuitiva: Una sucesión de números
aleatorios puros, se caracteriza por que no existe
ninguna regla o plan que nos permita conocer sus
valores.
• Los números aleatorios obtenidos a través de
algoritmos recursivos se llaman pseudo-aleatorios.
Capítulo 3
Números Aleatorios
Profesor : Héctor Allende O.
Números Aleatorios
Disponer de un buen generador de números
aleatorios es clave en:
!
"
&
Computación Aleatorizada
Computación Evolutiva
Machine learning
Algoritmos Aleatorizados
Verificación de Algoritmos
Validación de Algoritmos
Criptografía
etc.
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%
Números Aleatorios
• La gran disponibilidad de generadores de números
aleatorios en muchos entornos y compiladores
puede llevarnos a pensar que para un usuario de
la simulación no sería necesario estudiar estas
cuestiones.
• Una lección del pasado reciente nos obliga a sacar
lecciones y actuar con mucho cuidado con dichos
generadores (RANDU - IBM).
• El Uso progresivo de modelos de simulación cada
vez más detallados exige una mayor calidad de los
generadores de números aleatorios.
"
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C
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Números Aleatorios
Números Aleatorios
Algunas ideas o propiedades de los generadores
I. Lagarias (1993) publicó un trabajo titulado “Pseudo
Random Numbers” en Statistical Science. Donde
estudia algunas propiedades tales como:
No Linealidad: La composición de aplicaciones no
lineales
puede
conducir
a
comportamientos
crecientemente no lineales Ej: d(x) = x2; d(n)(x) = x2n
∈ & % $ es expansiva
Complejidad Computacional: La aleatoriedad de
Kolmogorov, también denominada incomprensibilidad
computacional.
Consiste en constatar si la
aleatoriedad de una sucesión de números es
incomprensible o Impredecibilidad
Expansividad : Una aplicación
si ' ( # " ' > ∀ ∈ & % $
La idea es escoger “d” como una aplicación
expansiva de manera que la inestabilidad
computacional proporcione aleatoriedad.
Números Aleatorios
• DEF 1: Kolmogorov (1987) [Complejidad Algorítmica]
Una sucesión de números es aleatoria sino puede
producirse eficientemente de una manera más corta
que la propia serie.
• DEF 2: L’Ecuyer (1990) [Impredicibilidad] Una
sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice
recursos computacionales razonables puede distinguir
entre la serie y una sucesión de números
verdaderamente aleatoria de una forma mejor que
tirando una moneda legal para decidir cuál es cuál.
Obs: Esta definición conduce a los denominados
generadores PT-perfectos usados en Criptografía.
Números Aleatorios
• DEF 5: Una sucesión de números aleatorios {ui}
es aleatorio si h-úplas de números sucesivos no
superpuestos se distribuyen aproximadamente.
como una [0,1]h, con h=1,2,..,n, para n
suficientemente grande.
• Obs: h=2 tenemos (ui,ui+1) , i=1,2,..n , se distribuye
como una ley uniforme en [0,1]2.
• Existe una gran de métodos para generar
{ui} ≈U(0,1) : -Uniformente distribuidas
- Independientes
- E[U]= ½ ; V[U]= 1/12
- Período largo
Números Aleatorios
Métodos de Generación de Números Aleatorios
1.- Método de los cuadrados medios
2.- Métodos Congruenciales
3.- Método de registros desfasados
[Semilla - Algoritmo - Validación]
P1 : Obtener semilla (valores iniciales)
P2 : Aplicación de Algoritmos recursivos
P3 : Validación del conjunto de datos
generados (Test de Aleatoriedad)
Números Aleatorios
DEF 3: Un Número aleatorio es una realización de una variable
aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F, en un
espacio o modelo de Probabilidades Ω ℜ .
Obs: Una particular Ley de Probabilidad base para la
generación de números pseudo-aleatorios es:
u1, u2,..., un : es la uniforme (0 ; 1) ui ~ U(0,1).
DEF 4: Una sucesión de números aleatorios {u1, u2,..., un} es una
sucesión de números U(0;1), si tiene las mismas propiedades
estadísticas relevantes que dicha sucesión de números aleatorios.
Números Aleatorios
A las propiedades estadísticas anteriores se deben
agregar otras relativas a la eficiencia computacional:
• Velocidad de respuesta
• Consumo de memoria
• Portabilidad
• Parsimonia
• Reproducibilidad
• Mutabilidad
• Período
Métodos de los cuadrados Medios
Consiste en que cada número de una sucesión es
producido tomando los dígitos medios de un número
obtenido mediante la elevación al cuadrado.
P1 : Obtener semilla (valores iniciales 445)
P2 : Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar
al cuadrado)
P3 : Validación del conjunto de datos
generados
Métodos de los Cuadrados Medios
Generadores Congruenciales
)n+1 = (a )n + b) mod m
Ejemplo: Consideremos la semilla 445
X
445
1| 9802 | 5
0,9802
9802
96| 0792 | 04
0,0792
792
6 | 2726 | 4
0,2726
2726
...............
...............
=
Los parámetros del algoritmo se llaman
N°Aleatorio
X2
;
-a
Generadores Congruenciales
multiplicador
-b
sesgo
-m
módulo
- )o
semilla (valor inicial)
Generadores Congruenciales
2.- Cuando b≠0 el generador se denomina
Generador congruencial mixto.
3.- A pesar de la simplicidad una adecuada
elección de los parámetros de “a, b y m”,
permite obtener de manera eficiente una
larga e impredecible sucesión de números
como para considerarse “aleatoria”.
a
6
7
5
7
6
Caso
1
2
3
4
5
Obs: 1.- Cuando b=0 el generador se denomina
Generador congruencial multiplicativo.
Caso
1
2
3
4
5
6
5
12
2
7
10
9
8
3
9
8
11
1
10
10
9
12
5
4
5
Parámetros
b
m
0
13
0
13
0
13
0
11
0
11
2
6
12
6
8
xo
1
10
5
5
3
Salidas
12
7
3
8
8
1
9
8
4
2
3
4
5
1
1
5
2
12
7
6
4
1
8
5
3
11
7
1
2
7
1
10
5
3
9
6
5
12
10
10
Generadores Congruenciales
Algunas observaciones de
generadores congruenciales:
las
salidas
de
los
i) Un generador congruencial tiene ciclos
iI) La longitud del ciclo depende de la selección de los
parámetros (ver caso 1) y 3) )
iii) Dentro de selecciones de parámetros que conducen a
la misma longitud, algunas salidas parecen más
aleatorias que otras.
iv) La representación de pares ()i, )i+1) sugiere que
estos se disponen en un número finito de hiperplanos.
Los resultados teóricos que veremos a continuación
facilitan la elección de los parámetros de “a y b” su
demostración puede verse en el texto clásico
D. Knuth (1981):
“The
Art
of
Computer
Ed. A. Wesley Vol N°2
Programming”.
10
9
8
4
4
Generadores Congruenciales
Proposición 2.1
Un generador congruencial tiene su período máximo si y sólo
si:
i) m.c.d (b, m) = 1 (primos relativos)
ii) a = 1 mod p ; para cada factor primo p de m.
iii) a = 1 mod 4 ; si 4 divide a m.
Puesto que b esta asociado en la práctica con el efecto de
traslación, inicialmente asumiremos ( b=0), es decir partiremos
estudiando los generador congruencial multiplicativos.
Generadores Congruenciales
Dem: Donald Knuth Vol 2 (1981)
Obs: 1) Lo anterior sugiere elegir “m” lo más grande
posible, para asegurarnos un período largo
(posibles elecciones de m son; m=231 -1, m=216 +1)
2) Sea p el período de la secuencia de números
aleatorios, si p=m el generador se llama de período
completo.
3) Si m es un número primo entonces el máximo
período se obtiene ssi a =1
Generadores Congruenciales
Generadores Congruenciales
Proposición 2.2 Sea un generador multiplicativo (b=0)
[Xn+1 = a Xn mod m] tiene período p=(m-1), sólo si “p” es
primo. El periodo divide a (m-1) y es (m-1) si y sólo si “a”
es una raíz primitiva de m-1, es decir a(m-1)/p ≠ 1 mod m,
para todos los factores primos p de (m-1).
Dem: B. Ripley (1987) “Stochastic Simulation”Ed. John
Wiley. pp 47
Obs: 1) En general los generadores congruenciales son
de la forma
)n+1 = g ()n, )n-1,.... ,)n-k ,...) mod m
Proposición 2.3
Si a es un raíz primitiva de m, ak mod m, lo es siempre que
k y m-1 sean primos relativos.
Equivalentemente
Si a es una raíz primitiva de m, ak mod m lo es siempre
que ; mcd(k,m-1)=1
Generadores Congruenciales
2) Una buena elección de “m”, permite obtener un generador
eficiente (ciclo máximo). Pero aún se debe estudiar con
más detalle la elección de a y b, pues se tienen muchos
grados de libertad.
3) Un buen generador congruencial debe ser:
i) De máximo período
ii) Su salida debe parecer aleatoria
iii) Poder implementar de forma eficiente en aritmética
de 32 bits.
g (x) = a
g (x) = a
g (x) = a
n
n+ b
2
n + b
n
+c
Usando g (x) = (a1 n-1 + a2 n-2 + ... + ar n-r), se obtiene
un generador de Fibonacci retardado. La teoría de estos
generadores se puede ver en Marsaglia (1985)]
Generadores Congruenciales
Un algoritmo de muy fácil implementación del tipo
congruencial es m = 231-1
a = 75 (raíz primitiva de m)
Xn = 75 Xn-1 mod (231-1)
un =
−
Dicho generador se encuentra en las bibliotecas IMSL
y NAG
Generadores Congruenciales
Generadores Congruenciales
La rutina RANDU, que IBM proporcionaba para sus
equipos
consideraba
un
modelo
congruencial
multiplicativo con m = 231 ; a = 65539 ; b = 0
Barsaglia (1968) demostró que sucesiones consecutivas
no superpuestas de n números aleatorios obtenidos de
generadores multiplicativos caen en, a lo sumo [n! m] 1/n
hiperplanos paralelos.
Algunas cotas de casos representativos
Xn = 65539 Xn-1 mod (231)
n=3
un =
¡ Este generador proporciona tripletas consecutivas de
números que caen en 15 planos ! Lo que sugiere cierta
previsiblidad en su salida (Mal Generador)
Generadores Congruenciales
En teoría puede conseguirse que un buen generador con
m = 232 produzca 357.913.941 puntos independientes en
un cubo de dimensión 3, siendo el mínimo número de
hiperplanos que contiene estos puntos 108, en contraste
con los 2953.
m=
n=5
n=7
n=9 n=10
73
23
16
14
13
2953
220
80
48
41
216
m = 232
Es decir, en un computador con palabras de 32 bits,
menos de 41 hiperplanos contendrán las 10-úplas
Generadores de Registros Desfasados
Se basa en Generadores lineales recursivos múltiples
=#
−
=
" ! # "
=
Para la famosa rutina RANDU de IBM,
Xn = 65539 Xn mod (231)
las tripletas consecutivas de números caen en 15 planos.
El estudio de este generador se asocia al Polinomio
característico.
# " =
−
−
*** −
sobre un
álgebra finita Fm, con m elementos. [Niederreiter 1992]
Generadores de Registros Desfasados
[Niederreiter 1992]
Generadores de Registros Desfasados
La adición módulo 2 es equivalente al XOR (ó exclusivo)
Cuando el polinomio es primitivo el período es (mk-1).
Debido a la complejidad del análisis para m grande,
habitualmente se elige un m pequeño, generalmente 2
obteniendo generadores de bits de la forma
=
+
=
donde ak = 1 ^ ai ∈ {0, 1}
−
!
0 XOR 0 = 0
0 XOR 1 = 1
1 XOR 1 = 0
1 XOR 0 = 1
Esto nos permite implementar registros de desplazamiento
Un generador propuesto Tausworthe (1985)
=(
−
+
−
)
!
,
=
−
−
=
≠
−
−
,
<
Generadores de Registros Desfasados
Conversión del Generador Binario
En este caso los primeros q bits deben ser especificados,
esto es análogo a la semilla de los generadores
congruenciales.
Transformar la sucesión {bi} en un número aleatorio
Este tipo de generador depende del largo de la palabra
Consideremos {bi} =
Ejemplo:
h = 3 ; q = 5 ; b1 = b2 = b3 = b4 = b5 = 1
b6 = (b3 + b1) mod 2 = 2 mod 2 = 0
b7 = (b4 + b2) mod 2 = 2 mod 2 = 0
b8 = (b5 + b3) mod 2 = 2 mod 2 = 0
b9 = (b6 + b4) mod 2 = 1 mod 2 = 1
b10 = (b7 + b5) mod 2 = 1 mod 2 = 1……
b42 = (b39 + b37) mod 2 = 2 mod 2 = 0
Conversión del Generador Binario
b1 b2 b3 b4 b5
1
1 1 1
1
......... b41 b42
......... 1
0
b6 b7
0 0
b8
0
(0,1)
b9 b10 b11 b12
1 1
0
1
Generadores no Lineales
Consideremos = 4
y1 = b123 + b222 + b321 + b420 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15
u1 =
=
y2 = b523 + b622 + b721 + b820 = 8 + 0 + 0 + 0 = 8
u2 =
=
y3 = b923 + b1022 + b1121 + b1220 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
u3 =
{ }=
=
=
.... y así sucesivamente
%
%
%
%
%
%
%
%
Una forma de incrementar el periodo e intentar evitar
regularidades que muestren los generadores lineales es
combinar (mezclar) diferentes generadores para obtener
generadores híbridos de mejor calidad que los
generadores originales.
Muchas de las combinaciones propuestas son heurísticas
y algunas con resultados bastantes pobres.
Por ejemplo sean { } e { } dos sucesiones aleatorias, una
sucesión combinada sería :
donde “ ∇ ” es alguna operación binaria
• Usar un generador con función de transición lineal,
produciendo una transformación no lineal del estado en su
salida.
•Usar un generador con función de transición no lineal.
%***
Combinación de Generadores
- i = )i ∇ .i
Dada la estructura reticular de los generadores lineales,
algunos autores sugirieron utilizar generadores no
lineales. (Ver Niederreiter (1992))
Otros Generadores
• Generadores Paralelos de números aleatorios.
• Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ]
•Generadores de Fibonacci retardados
•[ Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ]
•Generadores Comerciales:
IMSL Generador congruencial multiplicativo m = 231 - 1
a = 16807; 397204094; 950706376
http://www.stat.cmu.edu/
Validación de Generadores
Congruenciales
Validación de Nos Aleatorios
Finalmente la fase de validación se basa en ciertas
propiedades estadísticas que deben cumplirse a la
salida de los generadores de n°aleatorios .
Los Test empíricos que veremos a continuación son
genéricos y pueden usarse en la evaluación de
generadores de n° aleatorios, en generadores de
variables aleatorias y en la modelación de entradas de
modelos de simulación.
1) Test
χ
Este es un test de Bondad de Ajuste. Es poco potente,
por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis,
pero proporciona escaso apoyo en la aceptación.
Dada una muestra )1, )2, ..., )n de una Fx(/)
desconocida. Se desea contrastar.
Ho : Fx(/) = Fo(/)
v/s H1 : Fx(/) ≠ Fo(/)
La mayoría de los Test se encuentran disponibles en
paquetes estadísticos comerciales. SAS, Statistica, etc.
Validación de Nos Aleatorios
Validación de Nos Aleatorios
Efectuando una partición del soporte de X en k
=
∧
≠φ
subconjuntos 01, 02, ..., 0k :
(
χ =
)
−
=
~
χ
# − "
asint
fi : frecuencia absoluta del subconjunto i-ésimo (0i)
ei: número de observaciones esperadas en 0i bajo Ho
Validación de Nos Aleatorios
Obs: 1) Este Test considera aleatoridad de Fo = U(0,1)
2) Este Test también permite contrastar la uniformidad
S-dimensional de
)1 = (u1, u2, ..., us);
)2 = (us+1, us+2, ..., u2s);
...
)n = (u(n-1)s+1, ..., uns)
en Fo = [0,1]s [Distribución uniforme en el hipercubo]
Test de Kolmogorov - Smirnov
2) Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S)
Sea Fo una función de distribución continua y sea Fn la función
de distribución empírica de la muestra.
Obs: En el caso particular de aleatoridad se considera
X(1) < X(2) < .... < X(n)
Bajo Ho: Fx(x) = Fo(x) se espera que Fn se aproxime a Fo
Dn = Sup | Fn(x) - Fo(x) |
x∈R
La distribución exacta de Dn está tabulada para valores n ≤ 40
y distintos niveles de significación α.
Para muestras grandes se utiliza la distribución asintótica de
Dn dada por
→∞
#
≤
"= # "= −
∞
=
#− " −
−
estadísticos de orden Fo(X(i)) = X(i) ^ Fn (X(i)) = /
Dn =
!1/
≤≤
!1/
−
# "
,
# "
−
−
Validación de Nos Aleatorios
3) Test de Rachas
Dada la sucesión de “n” observaciones construimos la
sucesión de símbolos binarios definida por
<
+
>
+
Definimos racha creciente (decreciente) de longitud “L” a
un grupo seguido de “L” números 1(+) ó números 0(-).
Contando el número de rachas. Bajo aleatoridad de la
muestra se espera que su distribución asintótica sea
normal:
−
2
−
,
0.43
0.28
0.33
0.27
0.12
0.31
0.42
0.01
0.32
0.45
0.98
0.79
0.99
0.55
0.67
0.74
0.16
0.20
0.12
0.58
- + - - + + - + + + - + -+ + - + - +
L=14
E[L]= 13,
Z = 0.55
comparado con el valor crítico N ( 13 ;3.23)
Test Serial
Test de Rachas por encima y debajo de la mediana.
Se cuentan el número de observaciones que se sitúan a
un mismo lado de la mediana. La distribución asintótica
del número de rachas bajo aleatoridad es normal:
+ ,
4) Test Serial
Este Test se usa para contrastar el grado de aleatoriedad
entre números aleatorios sucesivos de una secuencia.
[Extensión del test Chi-Cuadrado]
Sea
)1 = (u1, ..., uk) )2 = (uk+1, ..., u2k) ... )n = (u(n-1)k+1,..., unk)
Consideremos la n (k-úplas). Se desea contrastar que X1,
)2, ..., )n son v.a.i.i.d. uniformemente distribuidas en el
hipercubo k-dimensional unitario.
Test Serial
Test Serial
Dividiendo el hipercubo 3 en hipercubos elementales de
volumen 43 y sea Vj1, j2, ..., jk el número de k-úplas que
caen dentro del elemento
−
= % %***%
,
= % %***%
%
%***%
=
%
%***%
−
5
Caso Especial (3=2)
)1 = (u1, u2) )2 = (u3, u4) ... )n/2 = (u(n-1), un)
Particularmente el eje ) e . en r subintervalos de igual
longitud, generando r2-cubos del mismo tamaño. El
número de pares esperado por cubo es
usando la estadística
=
Z = (14 -13) / *
El supuesto de independencia no puede ser rechazado
Test de Rachas
2
V[L]=3.23
χ
#
− "
Test Serial
'(
=
"
Sea nij : el número de pares en el cuadrado (i, j)
i = 1,r
j =1,r
Entonces la estadística
1
!
0
)
78 (
9FG)
$
)
0
*+
,-./.
*+
./000
*+
1*1*-
*+
201-/
*+
23,/-
*+
0*-2.
*+
,4/0*
*+
34-2.
*+
/32--
*+
0.42.
*+
00/,-
*+
-,31,
*+
2.131
*+
*-2.1
*+
3,2.,
*+
4*0/,
*+
-13,/
*+
-1102
*+
/--.1
*+
4-2/,
*+
*12/0
*+
/-.,.
*+
10-/0
*+
23,/-
*+
*2004
*+
4*.34
*+
02,43
*+
43/0.
*+
0/012
*+
,2-24
$
8)65%:%A
8)%:99 , 8)%:999A
8)F8F85 H )))))))))
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#
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'
'
'
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2
&
0
1
2
&
0 &
&
'
E
0 &
• Test de Permutaciones
• Test de Poker
2
&
&
-
Otros Test son:
(
&
2
M <2
"
"
• Test de Dependencia
• Test de longitud de rachas
E
0
• etc.
!
"
#
$
%
"
+
>1
=
(
M
"(
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