File - Educación Matemática.

Enrique Mateus Nieves. Prof. Cálculo.
Doctorando en Educación Matemática
Ecuaciones diferenciales de variables separables.
Una ecuación diferencial ordinaria separable es una ecuación diferencial que puede escribirse
de la forma u ( x )  g  x  h u  x   o más brevemente, considerando a
y como la función de x
dada por
u( x ) , una ecuación diferencial que puede escribirse como
{Ecuacion1}
Podemos escribir la ecuación (1) como
y
 g x . {Ecuacion2}
h y 
Puesto que y es una función de x , tenemos que
integrar
{Ecuacion2}
para obtener
y  g x h y ,
ydx
dy
 h y    h y  . Por lo tanto, podemos
 h y    g x  dx,
dy
lo que da lugar a una ecuación que
define de manera explícita o implícita la solución de la ecuación diferencial.
En el proceso de solución de una ecuación diferencial separable, puede ser conveniente
escribir la ecuación diferencial en forma de diferenciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial
y
dy
 x. se escribe en forma de diferenciales como y dy  x dx El único propósito de
dx
esta notación es aclarar que, para obtener la solución de la ecuación diferencial, el lado
izquierdo de la ecuación ha de integrarse con respecto a
y , mientras que el lado derecho de
la ecuación ha de integrarse con respecto a x .
Definición: una ecuación diferencial ordinaria EDO, de primer orden de la forma
y  F x , y  se dice de “variables separables” si es posible factorizar F x , y  en la forma
F x , y   f ( x )  g( y )
Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia:
Procedimiento:


Paso i. Factorizar el segundo miembro (factorizar: F x , y  f ( x )  g( y ) ) si tal factorización
no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no
continua.
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Paso ii: Separar las variables. Hacer algebra para poner variables diferentes en lados
diferentes:
y  F  x , y 
 f x   g  y 
dy
dx
1 dy
g  y  dx

 f(x)
Paso iii. Integrar. Integrando la expresión con respecto a x obtenemos:
 g  y  dx dx   f x  dx
1 dy
o simplemente
 g  y  dy   f x  dx  C
1
Paso iv. Despejar y opcional. Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es
determinarla por completo, es decir, tener como solución una expresión de la forma:
y  expresión en x en caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma
explícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y), se dice que la solución está en forma
implícita.
Ejemplo 1.
Resuelve la ED:
dy
2x

dx
y
Solución:
Primero revisamos si la ED es de variables separables
Separando las variables tenemos:
Integrando alcanzamos:
dy
2x

  2 x 
dx
y
y dy  2 x dx
1 2
y  x2  C
2
1
   f  x g  y 
 y
La expresión 1 y 2   x 2  C representa una familia de soluciones: una solución para cada valor de la
2
constante C. si graficamos las soluciones para diferentes valores de C tenemos:
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Ejemplo 2.
La ecuación diferencial
dy
 4 xy 2 , {Ecuacion3} es separable. Al escribirla en forma diferencial
dx
tenemos 12 dy  4 x dx , donde es necesario hacer la restricción de que y
 0. Al integrar
y
ambos lados obtenemos

1
 2 x 2  C , de modo que la solución de la ecuación diferencial
y
viene dada por la ecuación y x   
1
.
2x  C
2
Antes de dar más ejemplos de ecuaciones diferenciales separables, es conveniente hacer
una aclaración usando en el ejemplo anterior. Aunque las ecuaciones diferenciales
separables son relativamente fáciles de resolver (siempre y cuando podamos evaluar las
integrales que surjan en el proceso de solución), debemos tomar ciertas precauciones, pues
resulta que puede haber más soluciones que las obtenidas por un proceso como el que se
hizo en el ejemplo anterior. Es muy fácil darse cuenta que la función dada por
también una solución de la ecuación diferencial
de la solución general y x   
{Ecuacion3},
y  0 es
que no puede ser obtenida a partir
1
con ninguna elección de la constante C. De hecho, para
2x  C
2
obtener la solución general fue necesario hacer la restricción de que
y  0. Así pues, vemos
que en el proceso de solución de una ecuación diferencial separable pueden hacerse
restricciones que afectan el resultado final. Una solución no obtenible a partir de la solución
general es comúnmente llamada solución singular o independiente.
Ejemplo 3.
Encontrar la solución general de la ecuación
4  x2 
dy
  x 1 - y {Ecuacion4}, Encontrar
dx
además una solución que no pueda ser obtenida a partir de la solución general.
Solución: Para comenzar, debemos notar que la ecuación anterior sólo tiene sentido si
y  -  ,1 , y x  - 2,2. Si, además,
1 - y  4 - x 2 y escribirla en forma de diferenciales como
entre
luego
y  1 y x  2, podemos dividir la ecuación

1
x
dy   
dx.
1- y
4  x2
{Ecuacion4},
1
x
dy  
dx ,
1- y
4  x2
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Al evaluar las integrales obtenemos - 2 1 - y  4  x 2  C , que es una ecuación que define la
solución de la ecuación diferencial
dada por
{Ecuacion4}
de manera implícita. Sin embargo, la función
y  1, necesariamente excluida en la obtención de la solución general, es también
una solución de la ecuación diferencial {Ecuacion4}.
Ejemplo 4.
Dada la ecuación diferencial
dy
 sen 5x encontrar su solución:
dx
Solución:
Separamos " x" con su " dx" y su " dy"
Se integran ambos lados
 dy   sen 5x dx
/
1
y  - cos 5 x  C
5
/
Ejemplo 5.

dy
 3x  3xy 2

Dada la ecuación diferencial
dx
yx 2  2 y



encontrar su solución:
Solución:
factorizxamos para poder separar las variables
/
reordenamos la expresion
este el resultado

/
/






dy x 2  2 y  3x 1  y 2 dx
/
una vez separadas se integran ambas partes

dy  3x 1  y 2

dx
y x2  2
 y dy 
 3xdx 
 1  y    x
2
2
2

-1
3
ln 1 - y 2   ln x 2  2  C
2
2
Un problema con valores (condicionales) iniciales consiste de una ecuación diferencial y de
x  y : dy
en
dx  f  x , y  sujeto a y(x0 )  y0 el problema consiste
encontrar una función y  y x  solución a la ecuación diferencial y que además cumpla
y(x0 )  y0 ( es decir, que al evaluar dicha función en x  x0 el valor resultante sea y0 ).
un punto del plano
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Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución general (aparece C
arbitraria) y posteriormente se sustituyen los datos del punto
x0 , y0  para determinar el valor de
C.
Resuelva el problema con condiciones iniciales: dy   2 x sujeto a y 1  1
dx
y
Solución:
Por el ejemplo 1 de esta sección, la solución general es 1 y 2   x 2  C ; como el punto x0  1, y0  1
2
1
2
2
3
Debe cumplir : 1  1  C ; por tanto C  2 y la solución buscada es: 1 y 2   x 2  3 , ó,
2
2
2
y 2  3  2 x 2 si graficamos la solución para los diferentes valores de C con respecto a C  32 (en color
rojo) tenemos:
Ejemplo 6.
Determine el valor de y 1 siendo y x  la solución que satisface y 0  0 a la ED: - 4 xy  y   0
Solución:
Tenemos que dy  y   4 xy  4 x 4 y separando variables: y  dy  x dx integrando tenemos:
1
4
1
4
dx
4 34 4 54
y  x  C sustituyendo x0  0, y0  0 tenemos C  0 y por tanto la solución particular es:
3
5
4
4
3
3
4 34 4 54
3 5
3
y  x ó y    x 3 por tanto el valor para x  1 es y 1    .
3
5
5
5
Ejemplo 7.
En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de
300. Indicar cuál será el número estimado al cabo de 20 minutos. Recuerde que el modelo
dP
utilizado en estos problemas es
k P
dt
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1
dP  k dt  ln (P)  k t  C despejando P:
P
P  e k t C  e C e k t  Ce k t Puesto que para t=0 el número inicial es de P=200: 200  C e k o  Ce 0  C
1 3
y para t=10, el número es de 300: 300  C e k 1o  200e10 k  k 
ln    0 ,04054 por tanto para
10  2 
t=20 tendremos: P( t  20 )  200 e k 20  200 e 0,0405420  450
Separando variables e integrando alcanzamos:
Ejercicios
Calcular por variables separables:
1.
dy  xy  3 x  y  3

dx  xy  2 x  4 y  8
2.
3.
dy   y  1 dx  0
4.
5.
dy
 2 xy 2  0
dx
6.
2
7.
dy
 e 3 x2 y
dx
9.
dy y 2  1

dx x 2  1
dy
2
  x  1
dx
x dy
 4y
dx
dy  2 y  3 


dx  4 x  5 
8. y ln x
10. x
2
dx  y  1 


dy  x 
2
dy
 y  xy
dx
Referencias Bibliográficas.




Zill, Dennis G. y Michael R. Cullen. (2009). Ecuaciones diferenciales con problemas en la frontera. Séptima edición. Editorial
Progreso S.A. México D.F. ISBN-13:978-970-830-038-4
José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.
José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.
Boy and Di Prima. (1991). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera" ISBN 968-18-0107-5;