Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones
Prueba de Evaluación Continua
Grupo B
28-X-15
1.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una
conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la
otra al recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una
puerta y un coche, se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar?
b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que hay salido por la
puerta B?
Solución:
Sean los sucesos:
E = “escapar”; A =”elige la puerta A”; B =”elige la puerta B”
Según el enunciado, P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(E/A) =3/4= 0.75; P(E/B)= 0.2;
a) P(E) = P(E/A)·P(A) + P(E/B)·P(B) = 0.75·0.5 + 0.2·0.5 = 0.475
b) P(B / E) 
P  E / B ·P  B 
P  E / A ·P  A   P  E / B ·P  B 

0.1
4
 =0.2105263157
0.475 19
2.- La longitud de una cierta pieza se distribuye con la función de densidad:
k(x  1)(3  x) si 1<x<3
f (x)  
 0 en otro caso
Se pide:
a) El valor de k para que efectivamente sea una función de densidad
b) Función de distribución.
c) Mediana de la distribución.
d) Si una pieza se considera valida únicamente cuando su longitud está
comprendida entre 1,7 y 2,4.
d1) ¿Cuál es la probabilidad de una determinada pieza sea útil?
d2) Si las piezas se empaquetan en lotes de 5 unidades y se acepta el lote si
contiene menos de 2 piezas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de un
cierto lote sea rechazado?
Solución:
a) Se tiene que cumplir que



f (x)dx  1 , luego,
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
1
3

4
1   f (x)dx   0dx   k(x  1)(3  x)dx   0dx  k  k=3/4


1
3
3
x
b) F(x)  P(X  x) 
 f (t)dt , en nuestro caso,

si x  1 tenemos F(x)  P(X  x)  0 ,
x
3
x 3  6x 2  9x  4
si 1<x<3 tenemos F(x)  P(X  x)   (t  1)(3  t)dt  
,
4
4
1
si 3  x tenemos F(x)=1, resulta,
0
si
x 1

 3
2
 x  6x  9x  4
F(x)  
si 1  x  3
4

1
si
3 x

c)
Mediana
F(M)  
M 3  6M 2  9M  4
 0, 5  M  2
4
d)
P 1, 7  X  2, 4  
2,4

1,7
2,4
f (x)  dx 

1,7
3
(x  1)(3  x)  dx  F(2, 4)  F(1, 7)  0,50225
4
Consideramos la variable aleatoria X=”pieza defectuosa”, donde la probabilidad es
p = 1  P 1, 7  X  2, 4   1  0,50225  0, 49775
Tenemos una distribución B(5,0.49775)
n
5
5 k
P(X = k) =  p k .(1  p) n  k =   0, 49775k 1  0, 49775 
k 
k
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Un lote se rechaza cuando de las 5 piezas se encuentra 2 o mas defectuosas
5
 5
P  X  2   1  P  X  2   1  F 1  1    0,815755    0,184251  0,8157551 
0
1
1  0,1903251561  0,8096748438
3.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una
medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar:
a) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos.
b) El número medio de datos mal anotados.
Solución:
a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=2000 y p=0,0002 o bien una
distribución de Poisson de media np=0,4; ya que se trata de una variable aleatoria
discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la
distribución de Poisson (Ley de casos raros).
Distribución de Poisson de parámetro λ=0,4, luego P(X  k) 
cuatro datos incorrectos P(X  4) 
0, 4k 0,4
y exactamente
e
k!
0, 44 0,4
e
 0,0007150080491
4!
b) Media: λ=np= 0,4
4.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud
siguen una distribución N(0,1.5), calcular:
a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5.
b) El error x tal que P(X<x)=0,975.
Solución:
a) Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función
de distribución es:
1 (t  )2

1
F(x)  P(X  x)  
e 2

 2
x

2
x
1

1.5 2
dt  
e

1 (t  0)2
2 1.52
dt
Así pues: P  X  0,5  1  P  X  0,5  1  F(0,5)  1  0.6305586598  0.3694413401
b) F(x)  P(X  x)  0.975  x = 2.939945906
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Prueba de Evaluación Continua
Grupo A
28-X-15
1.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el 40%, 30%,
20% y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con
probabilidad de 0,2, 0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con
radar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?
b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda
del primer radar?
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
M = “multa por exceso de velocidad”
B1 = “radar 1”
B2 = “radar 2”
B3 = “radar 3”
B4 = “radar 4”
Datos:
P  B1   0, 2 ; P(M / B1 )  0, 4
P  B 2   0,1 ; P(M / B2 )  0,3
P  B3   0,5 ; P(M / B3 )  0, 2
P  B 4   0, 2 ; P(M / B4 )  0,3
a) Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)
P(M)  P  M  P(B1 )  P  M  P(B2 )  P  M  P(B3 )  P  M  P(B4 ) 
 B1 
 B2 
 B4 
 B3 
 0, 4  0, 2  0,3  0,1  0, 2  0,5  0,3  0, 2  0, 27
b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
P  M  P(B1 )
8
B1 
0, 4  0, 2
B1  P  B1  M 


 


P

27
 M
P(M)
P(M)
0, 27
2.- La longitud de una cierta pieza se distribuye con la función de distribución:
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0
si
x 1

 3
F(x)  k(x  6x 2  9x  4) si 1  x  3

1
si
3 x

Se pide:
a) El valor de k para que efectivamente sea una función de distribución de una
variable aleatoria continua
b) Función de densidad.
c) Moda de la distribución.
d) Si una pieza se considera valida únicamente cuando su longitud está
comprendida entre 1,7 y 2,4.
d1) ¿Cuál es la probabilidad de una determinada pieza sea útil?
d2) Si las piezas se empaquetan en lotes de 5 unidades y se acepta el lote si
contiene menos de 2 piezas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de un
cierto lote sea rechazado?
Solución:
a) Se tiene que cumplir que lím F(x)  F(1)  0;lím F(x)  F(3)  1 , luego,
x 1
x 3
1  k(33  6  32  9  3  4)  4k  k=-1/4
0

 3
2
 x  6x  9x  4
F(x)  
4

1

si
x 1
si 1  x  3
si
3 x
b) f (x)  F '(x) , en nuestro caso,
 1
2
- (3x -12x+9) si 1<x<3
f (x)   4
 0 en otro caso
c) La moda se corresponde con el máximo de la función de densidad
f '(x)  
1
 6x  12   0  x  2
4
M2
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d)
P 1, 7  X  2, 4  
2,4

2,4

f (x)  dx 
1,7
1,7
3
(x  1)(3  x)  dx  F(2, 4)  F(1, 7)  0,81575
4
Consideramos la variable aleatoria X=”pieza defectuosa”, donde la probabilidad es
p = 1  P 1, 7  X  2, 4   1  0,50225  0, 49775
Tenemos una distribución B(5,0.49775)
n
5
5 k
P(X = k) =  p k .(1  p) n  k =   0, 49775k 1  0, 49775 
k 
k
Un lote se rechaza cuando de las 5 piezas se encuentra 2 o mas defectuosas
5
 5
P  X  2   1  P  X  2   1  F 1  1    0,815755    0,184251  0,8157551 
0
1
1  0,1903251561  0,8096748438
3.- Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución
de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar:
A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pase más de 5 vehículos.
B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad
de que no pase ningún vehículo.
Solución:
Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 20 segundos la
frecuencia de paso de vehículos es 2: P(X  k) 
 k  2k 2
e = e
k!
k!
2k 2
e  0,01656360847
k  0 k!
5
a) P(X  5)  1  P(X  5)  1  
b) Para 10 segundos λ=1
P(X  0) 
10 1
e  0,3678794411
0!
4.- Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media
1 y desviación típica 2. Calcular:
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a) Probabilidad de que un cierre sea mayor que 2.
b) El valor x tal que P(X<x)=0,975.
Solución:
La variable aleatoria “cierre de triángulo” X  N(1, 2) cuya función de distribución es:
1 (t  )2

1
F(x)  P(X  x)  
e 2

 2
x

2
1 (t 1)2

1
dt  
e 2

2 2
x
22
dt
a)
P(X  2)  1  P(X  2) =1-F(2)  0.3085375387
b)
P(X  x) =F(x)=0,975  x  4,91993
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