Guia de ecuaciones cuadráticas

Centro Educacional Fernando de Aragón
Departamento de matemática 2012
Prof. Felipe Chacana C.
Guía 3º medio: “ Ecuaciones Cuadráticas”
Nombre:___________________________ Curso:__________________________
1. Concepto de Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de las incógnitas es dos. Una
vez ordenada se expresa de la siguiente forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏𝑦 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0
Donde los coeficientes numéricos son:
a: Coeficiente numérico de x2
b: Coeficiente numérico de x
c: Término libre
1.1. Tipos de Ecuaciones Cuadráticas

Ecuación cuadrática completa: Se dice a este tipo de ecuación se le llama completa
cuando los coeficientes de a,b y c son no nulos.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ejemplo:
5𝑥 2 + 4𝑥 + 6 = 0

Ecuación cuadrática incompleta: Se dice a este tipo de ecuación se le llama incompleta
cuando no aparecen los coeficientes b ó c y/o ambos.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑐 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑏 = 0
𝑎𝑥 2 = 0
⇒𝑏 =0𝑦𝑐 =0
Ejemplo:
𝑥2 + 𝑥 = 0
𝑥2 + 3 = 0
9𝑥 2 = 0
Ejercicios:
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Identifica los coeficientes de las siguientes ecuaciones y el tipo de las siguientes ecuaciones:
12𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0
−𝑧 2 + 3𝑧 + 4 = 0
(𝑝 − 𝑞)𝑥 2 + 8𝑝 + 𝑞 = 0
𝑥 2 − 4𝑥 − 9 = 0
𝑤 2 + 7𝑤 + 12 = 0
6𝑥 2 = 0
16𝑥 2 − 8𝑥 = 0
𝑚 2
𝑥 + 𝑚 + 3𝑛 = 0
𝑛
7𝑥 2 + (𝑖 − 𝑛)𝑥 + 𝑘 = 0
Reduce y ordena cada una de las siguientes ecuaciones
𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 3)2
−𝑧 2 + 3𝑧 + 4 = −𝑥 2 − 3𝑧 − 4
𝑝𝑥 2 + 8𝑝 + 𝑞 = (3 − 𝑝)(2 + 𝑝)
7𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 9𝑥 + 6𝑥 2 − 8
𝑤 2 + 7𝑤 + 12 = −𝑤 2 − 42
𝑥 2 − 3𝑥𝑦 − 𝑦 2 = (𝑦 − 5)(𝑦 + 5)
16𝑥 2 − 8𝑥 = (2𝑥 − 1)2 − 𝑥 − 5
𝑚 2
𝑥 + 𝑚 + 3𝑛 = 𝑚2 − 𝑚 + 𝑛
𝑛
7𝑥 2 + (𝑖 − 𝑛)𝑥 + 𝑘 = (2𝑥 2 + 3𝑥 − 3)
Fórmula general
Para utilizar la fórmula general lo que debemos hacer es:
1º obtener los valores de los coeficientes de la ecuación cuadrática (a,b y c)
2º aplicamos la siguiente fórmula:
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Con a, b y c coeficientes de la ecuación cuadrática.
Ejemplo:
Obtener las soluciones de la ecuación cuadrática 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0
1º obtener los datos de los coeficientes:
a= 1, b=-1, c=-6
2º aplicamos la formula general:
𝑥=
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)
1 ± √1 + 24
1+5
⇒ 𝑥=
⇒ 𝑥1 =
=3
2∗1
2
2
𝑥2 =
Por lo tanto las soluciones de esta ecuación es : x=3 y x=-2.
1−5
= −2
2
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çEjercicios
Resuelva las ecuaciones utilizando la fórmula general
12𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0
−𝑧 2 + 3𝑧 + 4 = 0
2𝑥 2 + 8𝑥 + 2 = 0
𝑥 2 − 4𝑥 − 9 = 0
𝑤 2 + 7𝑤 + 12 = 0
6𝑥 2 = 0
16𝑥 2 − 8𝑥 = 0
𝑥2 + 𝑚 + 𝑛 = 0
7𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0
2𝑥 2 − 9 = 0
−𝑧 2 + 3𝑧 + 4 = 0
3(𝑥 + 6) = 𝑥(𝑥 + 3)
6𝑥 2 − 4𝑥 − 9 = 0
𝑤 2 + 7𝑤 + 12 = 0
𝑥 2 = 2𝑥 2 + 4𝑥 + 6
𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0
𝑥 2 + 𝑚 + 3𝑛 = 0
7𝑥 2 + 7𝑥 + 7 = 0
2. Resolución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Para resolver la ecuación cuadrática con coeficientes fraccionarios habrá que
transformarla en una ecuación cuadrática con coeficientes enteros.
Ejemplo:
1
=0
2
⇒ 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑚. 𝑐. 𝑚 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 2
𝑥2 + 𝑥 +
Obteniendo:
2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0
Y luego calculamos estas soluciones utilizando la fórmula general.
1 2
𝑥 + 7𝑥 − 4 = 0
2
5
1
−𝑧 2 + 𝑧 + = 0
3
2
2
𝑥2 − 𝑥 − 9 = 0
3
𝑤 2 + 7𝑤 +
1 2
𝑥 − 8𝑥 = 0
16
8
=0
5
1 2
𝑛
𝑥 +𝑚+ =0
6
3
2𝑥 2 + 8𝑥 + 2 = 0
1 2
𝑥 −3=0
6
3
7𝑥 2 + 𝑥 + 2 = 0
4
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3. Raíces o soluciones de las ecuaciones cuadráticas con una incógnita
3.1. Discriminante de la ecuación cuadrática
En la fórmula general 𝑥
=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
que permite la resolución de cualquier ecuación
cuadrática, la expresión subradical 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 recibe el nombre de discriminante.
Podemos obtener tres valores de este discriminante con la ayuda de los coeficientes de la
ecuación obtenemos que si:
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0
Entonces √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 representa un número real positivo que al sumarse
y restarse de –b determina que las raíces o soluciones sean dos
números reales y distintos
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0
Entonces √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 =0 determina que las raíces o soluciones sean dos
números reales e iguales
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0
Entonces √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 representa un número real negativo que
determina que las raíces o soluciones son números imaginarios, es
decir, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los reales.
Con esto podemos determinar parámetros en los cuales los valores delos coeficientes se
pueden establecer como por ejemplo determinar el valor de un número para que el
discriminante se suscite en estos 3 casos.
Ejercicios
Determinar la naturaleza de las raíces o soluciones de cada ecuación cuadrática.
2𝑥 2 + 𝑥 − 4 = 0
𝑥2 − 𝑥 − 9 = 0
−𝑥 2 − 8𝑥 = 0
−𝑧 2 + 𝑧 +
1
=0
4
𝑥 2 + 7𝑥 = 0
𝑥 2 + 3𝑥 +
1
=0
3
2𝑥 2 + 8𝑥 + 2 = 0
𝑥2 + 3 = 0
𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0
Calcular que valor de k en la ecuación 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑘 = 0 para que sean 2 raíces no reales
Calcular que valor de k en la ecuación 2𝑥 2 + 5𝑥 + 2𝑘 − 10 = 0 para que sus soluciones sean
reales y las mismas.
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3.2. Propiedades de las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática
Hemos visto que toda ecuación cuadrática con una incógnita de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tiene
2 soluciones o raíces que, en función de sus coeficientes, se expresan como:
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
−𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
; 𝑥2 =
2𝑎
2𝑎
Estas raíces o soluciones podemos sumarlas o multiplicarlas.
a. Propiedad de la suma de las raíces
−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
+
2𝑎
2𝑎
Eliminando los discriminantes tenemos que
𝑥1 + 𝑥2 =
x1 + x2 = −
2𝑏
2𝑎
x1 + x2 = −
b
a
b. Propiedad del producto de las raíces
−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∗
2𝑎
2𝑎
2
2
2
(−𝑏) − (√𝑏 − 4𝑎𝑐)
𝑥1 ∗ 𝑥2 =
4a2
2
(−𝑏) − 𝑏 2 + 4𝑎𝑐
𝑥1 ∗ 𝑥2 =
4a2
𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑥1 ∗ 𝑥2 =
4𝑎𝑐
4a2
𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
a
De aquí podemos obtener la verificación de las raíces que son las correctas y asi podemos
obtener la ecuación cuadrática completa.
De la siguiente forma: 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + (𝑥1 ∗ 𝑥2 ) = 0
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Ejercicios
Obtener las ecuaciones cuadráticas cuyas raíces o soluciones son:
2𝑦
5
3
3 2
𝑦
4 5
4 1
− 𝑦
5 8
Ejercicios:
1.
La ecuación
x 2  2x  3  0
tiene como
soluciones:
a)
-1 y 3
b)
-3 y -1
c)
-3 y 1
d)
3 y 1
e)
0y1
2.
Las soluciones o
raíces de la ecuación
x 2  10x  21  0
son:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
-3 y -8
7 y -7
-7 y -3
3 y2
-3 y -2
En la ecuación
x 2  2x  p  0
una de sus
soluciones es -5,
luego el valor de p
es:
a)
1
b)
8
c)
-12
d)
15
e)
-15
1
𝑦−1
10
1+
1
4
2y7
6𝑦6
2y−2
4 1
𝑦
7 7
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4.
El conjunto solución
de la ecuación


5x x 2  2  10xx  1
es:
a)
b)
c)
d)
e)
5.
0,2
0,2
2
2,5
0,5
En la ecuación
1
7
11
 2 
las
3x 5 x
60
raíces o soluciones
son:
a)
2 y -3
b)
c)
3
-2 y  3
d)
5 y 1
e)
6.
-3 y 2
4
16
2 y  3 119
La ecuación
3a 2  2 x 2  ax
tiene como solución
:
a)
 a y  2a
b)
a y 3a
7.
c)
a y
d)
1 y a
e)
-1 y
 3a
2
a
2
La ecuación
x 2  2ax  a 2  0
tiene como solución:
a)
–a y 2 a
b)
a y a
2a y a
c)
4a y  a
d)
e)
Ninguna de las
anteriores.