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FERNANDA APARECIDA FERREIRA
DIMAS FELIPE DE MIRANDA
DEMONSTRAÇÕES EM GEOMETRIA
EUCLIDIANA:
Uma seqüência Didática como recurso
metodológico para seu ensino
2008
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Ferreira, Fernanda Aparecida
F383d
Demonstrações em geometria euclidiana: uma seqüência didática
como recurso metodológico para seu ensino / Fernanda Aparecida Ferreira , Dimas
Felipe de Miranda. – Belo Horizonte : FUMARC/PUC-MG, 2008.
67 p. : il. – (Ensino de Ciências e Matemática, 2)
Bibliografia.
1. Geometria euclidiana – Estudo e ensino. 2. Teoria das
demonstrações – Estudo e ensino. I. Miranda, Dimas Felipe de. II. Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais. Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática. III. Título.
CDU: 513.81
Bibliotecária : Mônica dos Santos Fernandes Rodrigues – CRB 6/1809
2
PREFÁCIO
Este trabalho é um produto decorrente de um processo de pesquisa no Mestrado
de Ensino de Ciências e Matemática da PUC-Minas, cujo objetivo mais amplo era
trabalhar com “Técnicas de Demonstração” no ensino de Geometria Euclidiana.
A demonstração desempenha um papel central na teorização da Matemática e no
desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo. Julgou-se, então, oportuno extrair
do material da pesquisa o presente produto, com uma didática apropriada para
facilitar o trabalho dos que se propõem a ensinar ou estudar a demonstração em
geometria.
Uma seqüência de atividades sobre demonstrações geométricas estão disponíveis
nesta publicação. As atividades foram especialmente preparadas dentro de uma
linha metodológica definida e testadas durante o processo da pesquisa. Após o
contato com estas atividades, muitas outras podem ser preparadas pelo próprio
usuário que tenha interesse docente.
A intenção é que este trabalho, como modelo didático-metodológico, contribua
para o desenvolvimento de habilidades e de conceitos geométricos, de raciocínio
lógico e, em suma, de compreensão do processo de demonstração em geometria.
Espera-se que este material didático seja útil aos que ensinam e mais ainda aos que
aprendem.
Os autores.
3
INTRODUÇÃO
Caro (a) leitor (a),
Juntamente com as atividades disponibilizadas neste livro, apresenta-se o aporte
teórico utilizado para a concepção e modelamento da seqüência didática. Os
objetivos de cada atividade que compõem a seqüência são expostos, direcionando
o futuro uso do material.
Apresenta-se também uma descrição de cada uma das atividades, para que o leitor
se oriente e compreenda a lógica utilizada no desenvolvimento das tarefas.
4
SUMÁRIO
1 A SEQÜÊNCIA DIDÁTICA ................................................................................................................... 6
1.1 Finalidade da seqüência didática ................................................................................................ 6
1.2 Concepções do modelo proposto ................................................................................................ 8
1.3 Engenharia da seqüência didática ............................................................................................. 11
1.4 Aplicação da seqüência didática................................................................................................ 14
2 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA – APRESENTAÇÃO E DESCRIÇÃO ..................................................... 15
Atividade I ........................................................................................................................................... 15
Atividade II .......................................................................................................................................... 24
Atividade III ......................................................................................................................................... 30
Atividade IV ........................................................................................................................................ 38
Atividade V .......................................................................................................................................... 49
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA .................................................................................. 56
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................... 69
5
1 A SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
Apresentamos aqui, a seqüência didática, destacando sua concepção, os
procedimentos adotados na execução da seqüência, a descrição das atividades
propostas e os objetivos de cada atividade.
Ressaltamos que, neste trabalho, não temos a pretensão de determinar a
melhor forma de trabalhar as demonstrações matemáticas no ensino de Geometria
Euclidiana, mas, sim, de criar propostas metodológicas alternativas para os que
interessam em aventurar-se neste campo da Matemática, despertando um olhar
“crítico” na aquisição de técnicas de demonstração e na compreensão dos
conceitos geométricos envolvidos no processo de demonstrar.
Evidenciamos que nosso trabalho foi direcionado para alunos de um curso
de formação de professores de Matemática, dessa forma, toda nossa descrição será
respaldada neste aspecto. Entretanto, frizamos que as atividades da seqüência
podem ser estendidas para outros níveis de ensino e, servir de material de apoio
para professores e estudantes.
1.1 Finalidade da seqüência didática
Adotar uma proposta metodológica para introduzir “técnicas de
demonstração” em um curso de licenciatura em Matemática para alunos que
cursam as disciplinas de Geometria Plana e Espacial. Para conduzirmos nosso
trabalho na elaboração da seqüência didática, consideramos os seguintes
aspectos:

motivar os alunos, realizando uma abordagem histórica sobre o
sistema formal seus elementos e a importância da demonstração
matemática na Geometria. Usamos textos para desempenhar este
papel;
6

apresentar aos alunos os diferentes registros de representação e
como mobilizá-los na aquisição de uma demonstração;

trabalhar o estatuto do teorema, definindo hipóteses e teses e a
importância de distingui-los no teorema;

expor e solicitar figuras geométricas associadas a teoremas,
propriedades e definições;

evidenciar a seqüência lógica envolvida em esquemas de
demonstrações e a necessidade da mesma durante todo o processo;

oferecer subsídios que levem o aluno a redigir uma demonstração
em dois registros de representação: natural e algébrico, com o
auxílio da representação figural.
Para alcançarmos os objetivos traçados, utilizando-se das teorias estudadas,
organizamos nossa seqüência de acordo com o modelo abaixo:
Determinação das dificuldades dos
alunos:
Experiência profissional e diagnóstico
Destacar/
determinar as
hipóteses e teses
de um teorema
Elaboração da seqüência
Apresentação do sistema formal: reconhecimento
do estatuto de seus elementos, a saber:
postulados, definições, propriedades e teoremas.
Registros de
representação
Mobilização dos registros
de representação figural,
algébrico e natural;
mudanças de registros
Redação da demonstração
Transposição
didática
Demonstração
Visualização
Aquisição
integral da
prova
Tratamento das
informações
Aquisição
parcial da
prova
Caixa de
ferramentas
Estatuto das figuras
geométricas; identificação
de elementos implícitos
nos teoremas
Congruência e nãocongruência entre os
registros de
representação.
Raciocínio
X
Visualização
Figura 1: Modelo utilizado para trabalhar técnicas de demonstração
Fonte: Dados da Pesquisa
Caixa de
ferramentas
Justificações
entre relações
estabelecidas
7
1.2 Concepções do modelo proposto
De acordo com o levantamento bibliográfico realizado em nossa pesquisa 1
percebemos que o ensino de Geometria tem sugerido várias discussões no âmbito
do seu ensino e aprendizagem, porém, no que diz respeito ao ensino efetivo das
demonstrações em Geometria (euclidiana), as discussões, em sua maioria, estão
alicerçadas no papel que a prova matemática desempenha neste ensino e sobre as
diversas facetas que se pode atribuir à demonstração matemática. Trabalhamos
com a idéia de que a demonstração matemática é um processo e não um produto.
Uma atividade do pensamento que, por meio de uma seqüência lógica, conectada
ao estatuto dos elementos inerentes ao processo, procura, por meio de
argumentações, produzir um discurso que convença os outros da veracidade de
um enunciado.
Em nossa seqüência, tentamos trabalhar a demonstração de acordo com o
conceito dado por Balacheff (1987), caracterizando a demonstração como uma
atividade complexa do raciocínio, intervindo em capacidades “cognitivas’,
“metodológicas” e “lingüísticas”. Para tal, buscamos, na teoria de “Registros de
Representação Semiótica” de Duval, adaptar nossa proposta na busca de atividades
que contribuíssem para a aquisição/compreensão de técnicas de demonstração.
Duval (1995) acredita que a Geometria envolve três processos cognitivos,
sinergicamente imbricados: a visualização, a construção e o raciocínio e, estes, são
indispensáveis para a sua aprendizagem. Para ele, um dos maiores problemas
relacionados à aprendizagem da Geometria são as formas de apreender e registrar
as figuras geométricas e, no caso da demonstração, na distinção do “raciocínio
argumentativo” e o “raciocínio dedutivo”.
No raciocínio dedutivo, com vistas à demonstração, Duval afirma que as
proposições estão organizadas de acordo com seu estatuto e que esta organização
ocorre por substituições de proposições, como em um cálculo. Todavia, a heurística
1
Para maiores informação, ver “Demonstrações em Geometria Euclidiana: o uso da seqüência
didática como recurso metodológico em um curso de licenciatura em Matemática” (FERREIRA,
2008. Dissertação de Mestrado em ensino de Matemática, PUC/MG)
8
de problemas envolvendo a Geometria está baseada em registros espaciais que
permitem interpretações autônomas, classificadas por Duval em: apreensão
seqüencial, apreensão discursiva, apreensão perceptiva e apreensão operatória. É
pela distinção das apreensões da figura que a resolução de um problema
geométrico e o tipo de raciocínio que este exige serão determinadas.
A distinção entre as apreensões perceptivas e discursivas é, para Duval, um
dos problemas centrais na compreensão dos conceitos geométricos por meio das
figuras, pois nem sempre é possível visualizar todas as informações que um
enunciado estabelece pela sua representação figural. Dessa forma, a apreensão
operatória é fundamental, pois é nela que “ajustes” serão feitos, na busca da
solução do problema, utilizando-se da operação de “reconfiguração intermediária”.
Para que ocorra uma compreensão do estatuto das figuras geométricas e
das formas de apreensões das mesmas, é necessário um trabalho com distintos
registros de representação. Duval afirma que a mobilização desses registros é
fundamental para a função cognitiva do pensamento humano. Acreditamos, como
ele, que a consciência do que vem a ser uma demonstração somente ocorre numa
articulação de dois registros, em que um deles é a linguagem natural. Essa tomada
de consciência “surge” da interação entre a representação não–discursiva
produzida e o discurso expresso. O reconhecimento dos “objetos matemáticos” e
suas características, fator necessário na articulação de conhecimentos para
aquisição de uma prova, só serão apreendidos na “união” de diferentes registros
desses objetos.
“Para os sujeitos, uma representação pode apenas
funcionar como representação, isto é, lhes dar acesso
ao objeto representado, quando duas condições forem
preenchidas: que eles disponham ao menos de dois
sistemas semióticos diferentes para produzir a
representação de um objeto, de uma situação ou de
um
processo
e,
que
eles
possam
converter
“espontaneamente” um sistema semiótico em outro”
(DUVAL, 1995, p.22).
9
Com base nas idéias de DUVAL e nas produções estudadas, percebemos que
“obstáculos” foram evidenciados na tentativa de trabalhar as demonstrações no
ensino de Geometria. Dentre eles, destacamos os de natureza epistemológica,
didática e lingüística:
1. Obstáculos epistemológicos: inerentes ao próprio conhecimento sobre
demonstração, às suas características e ao seu desenvolvimento. Obstáculos
apontados:

a coordenação de diferentes registros de representação não ocorre
espontaneamente;

o conceito de demonstração (vimos, no capítulo destinado ao estudo
da demonstração, que matemáticos, filósofos e educadores têm
opiniões diferentes sobre a demonstração matemática e o papel que
ela desempenha);

a figura geométrica pode se destacar como um obstáculo, pois, ao
mesmo tempo em que contribui na exploração de conceitos na
obtenção de uma demonstração, ela nem sempre facilita “enxergar”
as propriedades atribuídas à hipótese de um enunciado;

o aluno não entende a necessidade de “provar” algo que ele observa
na figura;

a falta de compreensão entre a relação semântica entre os registros
de representação utilizados em uma demonstração pode constituir
um obstáculo na percepção da seqüência lógica envolvida no
processo de demonstrar.
2. Obstáculos didáticos: relacionados com as estratégias de ensino.
Destacamos:

a formação dos professores, baseada na analogia (modelos), não
permite um trabalho crítico e compreensivo da demonstração; dessa
10
forma ocorre um obstáculo na mobilização dos conceitos envolvidos
em um determinado problema (Pavanello, 2002);

os livros didáticos não costumam apresentar problemas que
envolvam, efetivamente, a demonstração (Gouvêa, 1998);

os problemas geométricos têm sido tratados de forma experimental,
sem uma preocupação com a sistematização do processo.
3. Obstáculos
lingüísticos: relacionados à compreensão dos textos
apresentados, seja em linguagem natural ou matemática:

leitura fragmentada dos enunciados matemáticos, acarretando em
dificuldades de entender o problema;

os alunos conseguem raciocinar corretamente na solução de um
problema, mas não conseguem responder a questionamentos com
argumentos precisos.
Fundamentados e orientados pelas idéias expostas, desenvolvemos nossa
seqüência didática no intuito de trabalhar técnicas de demonstração. O fizemos de
tal forma que a demonstração se caracterizasse mais como uma hierarquia de
tarefas do que uma hierarquia de conteúdos, privilegiando a compreensão dos
processos e de habilidades a serem desenvolvidas para a aquisição e a articulação
de conceitos geométricos.
1.3 Engenharia da seqüência didática
Com a finalidade de trabalhar técnicas de demonstração de forma significativa,
a seqüência didática proposta tem como objetivos principais:

trabalhar, inicialmente, os postulados, propriedades, definições e
teorema como objetos de estudo de um sistema formal;

clarificar o estatuto do teorema, de forma que as hipóteses e a tese
sejam reconhecidas e distinguidas no mesmo;

esclarecer que o recíproco de um teorema nem sempre é verdadeiro;
11

evidenciar o estatuto da figura geométrica, de forma que seus atributos
fundamentais estejam associados às hipóteses de um teorema;

utilizar os postulados, definições, propriedades e teoremas como
ferramentas indispensáveis na produção de uma demonstração;

estabelecer uma rede semântica e lógica entre os esquemas de
demonstrações, os enunciados, as figuras geométricas e as ferramentas
utilizadas.
Para alcançarmos nossos objetivos, dividimos a seqüência em cinco atividades,
cada qual com um objetivo específico.
a) Objetivos da Atividade 1:

apresentar os elementos de um sistema formal;

fazer as distinções dos elementos de um sistema formal;

trabalhar os diferentes registros de representação;

apresentar ferramentas necessárias para se fazer uma demonstração;

evidenciar hipóteses e teses de um enunciado;

trabalhar as relações entre os conceitos primitivos por meio dos
postulados.
b) Objetivos da Atividade 2:

destacar a congruência e a não-congruência entre os registros de
representação;

reforçar a mobilização entre os registros de representação;

determinar a figura geométrica da hipótese e da tese a partir de
teoremas.
c) Objetivos da Atividade 3:

apresentar o recíproco de um teorema;

escrever o recíproco de um teorema e o teorema unificado;
12

apresentar ferramentas de "justificação";

trabalhar a veracidade do recíproco através de contra-exemplos.
d) Objetivos da Atividade 4:

ressaltar os tipos de demonstrações;

trabalhar as hipóteses de um teorema como ferramenta fundamental na
obtenção de uma demonstração;

apresentar caixas de ferramentas auxiliares para a demonstração de um
teorema;

apresentar esquemas de demonstração em registros de representação
distintos;

destacar a congruência semântica dos registros de representação até
então trabalhados;
e) Objetivos da Atividade 5:

criação de caixa de ferramentas para demonstração;

elaboração de esquemas de demonstração.
Esperamos que, ao final da seqüência, os alunos sejam capazes de:

reconhecer a lógica de um sistema formal;

trabalhar na mobilização de diferentes registros de representação;

reconhecer o estatuto de um teorema;

reconhecer o estatuto da figura geométrica;

desenvolver habilidades de raciocinar logicamente em problemas
envolvendo demonstrações;

conseguir redigir uma demonstração.
13
1.4 Aplicação da seqüência didática
Nossa seqüência didática foi aplicada a alunos do 4º período de um curso de
licenciatura plena em matemática na região metropolitana de Belo Horizonte do
período noturno. A turma foi escolhida por se tratar de alunos que já haviam
cursado a disciplina de Geometria Plana e estava cursando a disciplina de
Geometria Espacial, da qual a pesquisadora era a professora. Assim escolhemos, no
intuito de tentar amenizar as dificuldades que os mesmos relataram, ao responder
o questionário, a respeito de se fazer uma demonstração em geometria e sobre o
que é realmente uma demonstração.
Para a aplicação da seqüência, contamos com 8 aulas, cada uma delas com
uma hora e quarenta minutos de duração. O tempo foi suficiente para a
apresentação das atividades que compunham a seqüência e para todas as
discussões que surgiram durante a aplicação. Os encontros com a turma eram
semanais.
Todas as atividades da seqüência foram entregues pela própria
pesquisadora que, ao final de cada aula (aplicação de uma atividade), recolheu as
atividades feitas pelos alunos.
Os alunos tiveram a liberdade de fazer as atividades individualmente ou em
duplas,
porém,
as
duplas
foram
supervisionadas
constantemente
pela
pesquisadora, para que os alunos não fizessem cópias uns dos outros. Apenas na
última atividade a pesquisadora solicitou que os alunos a desenvolvessem
individualmente.
Ressaltamos que estabelecemos como regra que os alunos fizessem
ordenadamente as atividades de nossa seqüência e, caso percebessem que erros
foram cometidos ao longo do desenvolvimento das tarefas, estes não deveriam ser
retomados, a não ser oralmente. Assim foi determinado para que as dificuldades
encontradas nas soluções dos problemas servissem de fonte de informações para
melhor analisarmos o progresso dos alunos na execução da seqüência.
14
2 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA – APRESENTAÇÃO E DESCRIÇÃO
Atividade I
Atividade I - Sistema formal: reconhecendo o estatuto dos conceitos,
postulados, definições, teoremas e os registros de representação
Como os objetivos da primeira atividade estavam centrados no
reconhecimento de um sistema formal, seus elementos e as relações entre os
mesmos, inicialmente apresentamos um breve texto-histórico, evidenciando a
criação feita por Euclides de uma formatação lógica dos conceitos geométricos.
Ressaltamos a noção de ponto, reta e plano e apresentamos alguns postulados e
definições que seriam, posteriormente, ferramentas fundamentais para o
aprendizado da técnica de demonstração, assim como o reconhecimento do
estatuto dos elementos inerentes de um sistema formal.
Trabalhamos também com a representação desses elementos em linguagem
natural, algébrica e figural por achar importante a mobilização destes registros
como um facilitador da aquisição do processo de se demonstrar (fundamentação
teórica).
A organização lógica da geometria euclidiana:
"Euclides é, provavelmente, o autor científico melhor sucedido que já
existiu. Seu famoso livro, Os Elementos, é um tratado sobre geometria e
teoria dos números. Por cerca de dois mil anos, todo estudante que
aprendeu geometria, aprendeu-a de Euclides. E durante todo este
tempo, Os Elementos serviram como modelo de raciocínio lógico para
todo o mundo.
Ninguém sabe, hoje, exatamente, o quanto da geometria contida nos
Elementos é trabalho de Euclides. Alguma parte dela pode ter sido
baseada em livros que já existiam antes e algumas das idéias mais
15
importantes são atribuídas a Eudoxus, que viveu mais ou menos na
mesma época. De qualquer forma, dos livros que chegaram até nós, Os
Elementos é o primeiro que apresenta a geometria de uma forma
lógica, organizada, partindo de algumas suposições simples e
desenvolvendo-se por raciocínio lógico" (Moise e Downs, 1971).
Elementos e conceitos fundamentais
Conceitos primitivos: Termos simples e fundamentais que não são definidos,
"nascem" em nossa mente pela observação e experiência (intuitivamente). Nossos
conceitos primitivos serão o ponto, a reta e o plano.
Registro de representação (linguagens): Nossos registros serão feitos na
linguagem natural, algébrica e geométrica (figura), buscando compreender a
sinergia entre as mesmas.
Linguagem natural
Ponto
Reta
Plano
Linguagem algébrica
Linguagem geométrica
Letras do nosso alfabeto
Maiúsculas. Ex: A, B e C
.A
Letras do nosso alfabeto
minúsculas. Ex: r, s e t
Letras gregas minúsculas.
Ex: , e 
Postulados: Nossas afirmações mais simples e fundamentais de uma determinada
teoria (nosso caso a Geometria) aceita sem demonstrações serão as verdades
incontestáveis.
Feito isso, criamos situações para trabalhar os conceitos primitivos e as
relações entre os mesmos.
16
O objetivo da situação 1 era verificar a noção que os alunos tinham sobre os
entes primitivos, uma vez que os mesmos já haviam passado pela disciplina de
Geometria Plana e Espacial. Não ressaltamos, na atividade, tratar-se de uma figura
plana, pois nosso objetivo geral era trabalhar com as demonstrações no espaço.
Situação 1: Trabalhando os conceitos primitivos
1) Dada a figura 01, respondas às questões apresentadas:
Figura 01
a) Quantos pontos nomeados temos
sobre a reta r?
b) Quantos pontos temos fora da reta r?
c) Podemos afirmar que P está entre M e
N?
d) Quantos pontos há entre Q e M?
e) Considerando a folha de papel a
representação de um plano, quantos
pontos temos neste plano?
f) Quantos pontos temos fora do plano?
Em seguida, apresentamos alguns postulados e definições que auxiliariam e
justificariam as respostas da situação 1, acreditando que os alunos de prontidão
fariam tal relação. Esses postulados e definições também seriam importantes para
a próxima tarefa.
Postulado da existência:
1. Em uma reta e fora dela existem quantos pontos quisermos.
2. Dados dois pontos distintos de uma reta, existe pelo menos outro ponto entre os
dois pontos dados.
3. Em um plano e fora dele, existem tantos pontos quanto quisermos.
Definição: Determina os atributos essenciais e específicos de um ente, de tal forma
que o torne inconfundível com outro.
Definição 1: Pontos distintos são colineares se estiverem sobre uma mesma reta.
17
Na situação 2, buscamos estabelecer, por meio de perguntas e figuras, o
estatuto dos postulados, definições e a importância dos mesmos nas relações entre
os entes primitivos, de tal forma que uma reflexão sobre os conceitos apresentados
seria fundamental na resolução das atividades, além de uma noção espacial.
Também nessa situação, trabalhamos diferentes registros de representação.
Situação 2: Utilizando postulados/definições e estabelecendo relações:
2)Dada a figura 02, faça o que se pede:
a) Represente na figura a reta que
passa por L e M.
b) Quantas retas distintas passam por
Q e M?
c) Os pontos Q, L e P são colineares?
d) Os pontos Q, M e P são colineares?
e) Dados dois pontos distintos, estes
serão sempre colineares?
f) Dados três pontos distintos, estes
sempre serão colineares?
Figura 02
3) Estabeleça, por meio da figura 03, as soluções para as questões apresentadas,
justificando-as:
a) Os pontos O e P pertencem ao plano ?
b) Os pontos O, P e L pertencem ao plano
?
c) A reta que passa por O e L, pertencem
ao plano ?
Figura 03
Com o objetivo de mostrar a lógica e a consistência necessárias de um
sistema formal , a atividade 4 pressupunha um postulado ainda não trabalhado e
que, posteriormente, foi apresentado junto com outros postulados. Estes seriam
fundamentais para a solução da atividade 5.
18
4) Os pontos P e Q são pontos distintos. O ponto P está na reta a e na reta b. O ponto
Q está na reta a e na reta b. O que se pode concluir a respeito de a e b? Que postulado
garante sua conclusão?
Postulado da determinação:
4. Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
5. Três pontos distintos e não colineares determinam um único plano que os contém.
Postulado de pertinência:
6. Uma reta está contida em um plano, se dois de seus pontos pertencem ao plano.

Representação de reta, segmento de reta e semi-reta.
Linguagem natural
Segmento de reta de
extremidades A e B
Linguagem algébrica
Linguagem geométrica
AB
Semi-reta de origem em A que
contém B
AB
Reta suporte do segmento
AB
AB
5) Dados uma reta r e um ponto P, conforme a figura 04, responda às perguntas,
justificando a opção:
a) Existe um plano que contém a
reta r e o ponto P?
b) Existe um único plano que
contém a reta r e o ponto P?
Figura 04
Reforçando a necessidade da consistência de um sistema formal, as
atividades 6 e 7 também necessitavam de postulados ainda não apresentados. A
19
fim de fazer com que os alunos inferissem o resultado, pedimos que a figura
referente à atividade fosse esboçada.
6) As retas r e s são retas distintas. O ponto P pertence à reta r e a reta s. O ponto Q
pertence à reta r e a reta s. O que podemos concluir a respeito de P e Q? Qual
postulado justifica sua conclusão. Faça uma representação geométrica da situação.
7) Os planos  e  são planos distintos. A reta r pertence aos dois planos
simultaneamente. O que podemos concluir sobre a reta r? Que postulado justifica sua
conclusão? Faça a representação geométrica da situação.
Postulado da Interseção:
7. Se duas retas distintas se interceptam, a interseção é um único ponto.
8. Se dois planos distintos de interceptam, a interseção é uma única reta.
A próxima situação evidencia o estatuto dos teoremas e os diferentes registros
que podem ser utilizados para representá-los. Criamos situações para que os
alunos reconhecessem as hipóteses e teses e pudessem, dessa forma, representálas de formas distintas.
Situação 3: Teoremas: hipóteses, teses e registros de representação
Teorema: Uma proposição matemática que, para ser aceita como verdade, deverá
ser demonstrada. O teorema compõe-se em duas partes:
Hipótese: Informações conhecidas
Tese: O que se deseja concluir, provar.
Todo teorema poderá ser escrito na forma condicional:
"Se [hipóteses], então [tese]”.
As hipóteses e teses poderão ser representadas na linguagem natural, algébrica e
geométrica.
20

Identificando as hipóteses e tese de um teorema, fazendo o registro e
reescrevendo o enunciado na forma condicional.
Exemplo:
Teorema: Dadas duas retas que se interceptam, existe exatamente um plano que as
contém.
Forma condicional: se duas retas se interceptam, então existirá um único plano que
as contém.
Registros de representação:
Teorema
Hipóteses
Linguagem
Linguagem
Linguagem
natural
geométrica
algébrica
r e s são retas que se
interceptam
r e s determinam um
Tese
plano  que as
contém.
rs=P
r  , s  e
(r,s) = 
8) Dado o teorema, determine sua forma condicional e registre as hipóteses e tese
nas linguagens natural, geométrica e algébrica.
Teorema 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano que os
contém.
Forma condicional: .....................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
21
Registros de representação:
Teorema
Linguagem natural
Linguagem
Linguagem
geométrica
algébrica
Hipóteses
Tese
Teorema 2 : Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
Forma condicional: .........................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Registros de representação:
Teorema
Linguagem
Linguagem
Linguagem
natural
geométrica
algébrica
Hipóteses
Tese
22
Teorema 3: Por um ponto dado, fora de uma reta, existe uma única reta
perpendicular à reta dada.
Forma Condicional:.......................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
Registros de representação:
Teorema
Linguagem natural
Linguagem
Linguagem
geométrica
algébrica
Hipóteses
Tese
23
Atividade II
Atividade II - Associando às propriedades, definições e teoremas à figura
geométrica adequada: transposição didática dos registros de representação.
A atividade II foi elaborada com a intenção de trabalhar o conceito de figura
geométrica na mobilização dos registros de representação, destacando, assim, a
congruência ou não das formas representadas. Reforçamos, nesta atividade, a
determinação das hipóteses e tese de um teorema e suas representações.
Iniciando a atividade, apresentamos novamente alguns conceitos já
trabalhados apenas para retomar a proposta da atividade anterior.
Lembrando alguns conceitos fundamentais
Definição: Determina os atributos essenciais e específicos de um ente, de tal forma
que o torne inconfundível com outro.
Teoremas: Verdades aceitas mediantes demonstrações pela comunidade de
matemáticos.
Na primeira situação, exploramos a figura geométrica e seus atributos,
pedindo que os alunos correlacionassem, a partir da representação na linguagem
natural, as definições apresentadas à figura correspondente. Tentamos criar
situações de forma que as representações figurais pudessem gerar interpretações
dúbias. Esta situação foi feita na questão 1. Na segunda questão, além de explorar a
associação de enunciados com suas respectivas figuras geométricas, pedimos que
as hipóteses e tese fossem determinadas. Assim fizemos para trabalhar a questão
da congruência dos registros de representação, fator determinante para a
compreensão dos processos envolvidos na construção de conhecimento e,
conseqüentemente, no processo de demonstrar (referências DUVAL).
24
Situação 1: Congruência dos registros de representação
1)Associe a cada definição a representação geométrica que mais lhe convier.
Definições
Figura Geométrica
( 1 ) A distância de um plano com um ( )
ponto exterior a ele, é o comprimento do
segmento perpendicular do ponto ao
plano.
( 2 ) Duas retas são concorrentes, se a ( )
interseção entre as duas for um único
ponto.
( 3 ) Duas retas são perpendiculares, se ( )
forem concorrentes e o ângulo entre as
retas for um ângulo reto.
( 4 ) Mediatriz de um segmento é a reta ( )
perpendicular ao segmento passando
pelo seu ponto médio.
( 5 ) Um ponto M é ponto médio de um ( )
segmento, se pertencer ao segmento e for
eqüidistante de suas extremidades.
( 6 ) Um conjunto M é chamado convexo ( )
se, para todo par de pontos P e Q do
conjunto,
o
Segmento
PQ
está
inteiramente contido no conjunto.
25
( 7 ) Um conjunto de pontos se diz ( )
coplanar se existe um plano que contém
todos os pontos do conjunto.
2) Escreva na linguagem algébrica as hipóteses e teses dos teoremas apresentados e
associe a cada um deles a figura geométrica correspondente.
Teorema
(1)
Se
uma
Linguagem algébrica
reta
é Hipótese:
Linguagem geométrica
()
perpendicular a um plano,
então,
qualquer
paralela
à
reta
reta
dada Tese:
também será perpendicular
ao plano
(2) Duas retas em um plano Hipótese:
( )
são paralelas se ambas
forem perpendiculares a
uma mesma reta
Tese:
(3) Se um plano intercepta Hipótese:
dois
planos
( )
paralelos,
então, as interseções são
duas retas paralelas
(4)
Duas
perpendiculares
Tese:
retas Hipótese:
a
( )
um
mesmo plano são paralelas
Tese:
26
(5) Se duas retas são Hipótese:
perpendiculares
a
( )
uma
terceira, então, elas são
paralelas entre si.
(6)
Tese:
Duas
perpendiculares
mesmo
coplanares.
plano
retas Hipótese:
a
( )
um
são
Tese:
Na situação 2, trabalhamos a criação da figura geométrica para destacarmos
a diferença entre figura2 e desenho3. Propositalmente, criamos situações em que a
figura desenhada poderia representar mais de uma situação. Também pedimos
que as hipóteses e tese fossem destacadas para frisar a congruência ou não dos
enunciados e suas representações.
Situação 2: Desenho e figura geométrica: distinção associada às propriedades
geométricas.
1) Dados os teoremas, preencha o quadro abaixo com o que se pede:
Teorema 1: Teorema fundamental do perpendicularismo

Se uma reta é perpendicular a duas retas que se interceptam em seu ponto de
interseção, então, ela é perpendicular ao plano que as contém.
2
3
Figura é a classe de todos os desenhos possíveis do objeto matemático (DUVAL, 1993)
Desenho é o traçado sobre o suporte material (DUVAL, 1993)
27
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
Tese:
Teorema 2:

Se uma reta e um plano são perpendiculares, então, o plano contém toda reta
perpendicular à reta dada no seu ponto de interseção com o plano dado.
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
Tese:
Teorema 3:

Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares.
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
Tese:
28
Teorema 4:

Duas retas em um plano são paralelas se ambas forem perpendiculares a um
mesmo plano.
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
Tese:
29
Atividade III
Atividade III: Teoremas recíprocos: "se e somente se"
A atividade III tem como objetivo apresentar aos alunos o recíproco de um
teorema. Começamos a atividade destacando, por meio de um breve esquema, o
que é um recíproco, ressaltando que o mesmo não necessariamente é verdadeiro.
Apresentamos nesta atividade ferramentas de justificação para estabelecer
a veracidade/falsidade de um recíproco, utilizando, para isso, definições e figuras
geométricas. Frisamos que o uso de mais de um registro de representação se apóia
em nossas hipóteses de pesquisa, que determina que os conceitos geométricos
envolvidos na obtenção de uma demonstração, só serão compreendidos na
mobilização de mais de um registro (Duval, 1995).
Dado dois teoremas, estes serão chamados de "teoremas recíprocos", se a
hipótese e a tese de um dos teoremas forem trocadas, respectivamente, pela tese e a
hipótese do outro.
Teorema 1: Hipótese1  Tese1
e
Teorema 2: Hipótese2  Tese2
Teorema 1 e Teorema 2
são recíprocos
Hipótese1  Tese2 e Hipótese2  Tese1
Se um teorema e seu recíproco são verdadeiros, então, podemos combiná-los
em um teorema único, usando a frase “se, e somente se".
Porém, nem todo recíproco de um teorema é verdadeiro e, para mostrarmos que o
recíproco é falso, utilizamos de um contra-exemplo, ou seja, um exemplo que o
contradiz, isto é, mostra que o recíproco é falso.
30
Na situação 1, propomos uma atividade para que os alunos determinassem,
por meio de um teorema dado, o seu recíproco. Não nos preocupamos inicialmente
em estabelecer se os recíprocos eram verdadeiros ou não. Pretendíamos somente
que os alunos fossem capazes de distingui-los, reforçando, com isso, o estatuto de
um teorema. Pedimos também que escrevessem o teorema e o recíproco em uma
expressão unificada e que a figura do teorema fosse feita. Nas atividades propostas,
criamos situações que poderiam confundir os alunos na hora de estabelecer o
recíproco, por isso pedimos que a figura fosse feita, no intuito de que a associação
dos registros fosse percebida e verificada.
Situação 1: Escrevendo o recíproco de um teorema
Exemplo:
Teorema: Se uma reta é paralela a um plano, então, ela é paralela a uma reta do
plano
Hipótese 1: r // 
recíproco
Tese 1: r // s, s .
Hipótese 2: r // s, s , r  
Tese 2 : r // 
Teorema Recíproco: Se uma reta não contida em um plano é paralela a uma reta do
plano, então, ela é paralela ao plano.
Teorema unificado: Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela for
paralela a uma reta deste plano.
Figura:
Nota: Nem sempre todas as informações que temos na hipótese e tese de um teorema
serão exatamente as mesmas que teremos no seu recíproco, pois algumas
informações estão implícitas no teorema. A escrita da expressão unificada é
importante neste aspecto.
31
1) Dados os teoremas, escreva seu recíproco e o teorema unificado seguindo as
orientações:
Teorema 1: Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um
outro plano, então, esses planos são paralelos.
Preencha o quadro utilizando a representação algébrica:
Teorema
Recíproco
Hipótese
Tese
Faça a figura geométrica do teorema:
Escreva na linguagem natural
Recíproco do teorema:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Teorema unificado:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
32
Teorema 2: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes, em seu ponto de
interseção, então, ela é perpendicular ao plano que contém as duas retas.
Preencha o quadro utilizando a representação algébrica:
Teorema
Recíproco
Hipótese
Tese
Faça a figura geométrica do teorema:
Escreva na linguagem natural
Recíproco do teorema:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Teorema unificado:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Na situação 2 apresentamos ferramentas para que fosse estabelecido se um
recíproco era falso ou não. Nesta atividade, a necessidade de compreensão dos
33
conceitos geométricos envolvidos era fundamental. Mais uma vez reforçamos o
papel da figura para tentarmos comprovar nossas hipóteses de trabalho,
colocando a figura como âncora no estabelecimento das atribuições de
propriedades dos conceitos geométricos.
Na primeira atividade da situação 2, apresentamos, como ferramentas de
justificação, apenas algumas definições. Nem todas seriam utilizadas na atividade.
Optamos por elucidar conceitos (definições) que poderiam gerar dúvidas aos
alunos, porém, a figura geométrica pedida poderia ser a ferramenta que facilitaria
a resolução do problema.
Situação 2: Verificando a veracidade do recíproco através dos contra-exemplos
Para contradizer um recíproco de um teorema podemos utilizar de postulados,
definições, propriedades, figuras geométricas.
Exemplo:
Teorema: Se duas retas são paralelas, então, elas são coplanares.
Recíproco: Se duas retas são coplanares, então, elas são paralelas.
Contra-exemplo: Duas retas concorrentes também são coplanares.
r s = P
r
s
(r,s) = 
1) Escreva o recíproco dos enunciados e justifique se o recíproco é falso ou
verdadeiro, utilizando as definições abaixo como contra-exemplos.
Definição 1: Retas reversas são retas que não se interceptam e não são coplanares.
Definição 2: Retas ortogonais são reversas e formam um ângulo reto.
Definição 3: Retas perpendiculares são concorrentes e formam ângulo reto.
Definição 4: Retas concorrentes são retas que se interceptam em um único ponto.
34
a) Enunciado 1: Se duas retas são perpendiculares, então, elas formam um ângulo
reto.
Recíproco:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
( ) verdadeiro
( ) falso
Justificativa:
............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
Esboce a figura que justifica a veracidade/falsidade.
b) Enunciado 2: Se duas retas são paralelas, então, elas não se interceptam.
Recíproco:
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
( ) verdadeiro
( ) falso
Justificativa:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
35
Esboce a figura que justifica a veracidade/falsidade.
c) Enunciado 3: Se duas retas são perpendiculares, então, elas são concorrentes.
Recíproco:
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
( ) verdadeiro
( ) falso
Justificativa:
.......... .....................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Esboce a figura que justifica a veracidade/falsidade.
A atividade II faz apelo apenas à figura geométrica na tentativa de justificar
a falsidade dos recíprocos apresentados, de forma que os alunos pudessem
perceber as propriedades que as figuras “mostram” que contrapõem o recíproco
dado.
36
2) Correlacione as colunas, para justificar a falsidade dos recíprocos por meio das
figuras geométricas.
Enunciados/recíprocos
Figuras geométricas
(1) Enunciado: Se uma reta é concorrente ( )
com um plano, então, ela é concorrente
com pelo menos uma reta do plano.
Recíproco: Se uma reta é concorrente com
pelo menos uma reta do plano, então, ela é
concorrente com o plano.
(2) Enunciado: Se uma reta está contida ( )
em um plano, então, eles têm um ponto em
comum.
Recíproco: Se uma reta e um plano têm
em comum um ponto, então, a reta está
contida no plano.
(3)
Enunciado:
Se
uma
reta
é ( )
perpendicular a um plano, então, ela
forma ângulo reto com pelo menos uma
reta do plano.
Recíproco: Se uma reta forma ângulo reto
com uma reta de um plano, então, ela é
perpendicular ao plano.
Reforçamos na atividade III, além do recíproco, o papel fundamental da
figura em atividades geométrica que visam à verificação e ao estabelecimento de
verdades. O fizemos, pois as atividades que se seguem terão na representação
figural um apoio na obtenção de uma demonstração.
37
Atividade IV
Atividade IV – Demonstrando teoremas: utilização de ferramentas na
construção de um raciocínio lógico dedutivo.
A quarta atividade tem foco central nas demonstrações de propriedades e
conceitos geométricos. Na tentativa de auxiliara os alunos na obtenção de uma
demonstração, apresentamos caixas de ferramentas que julgamos importantes na
redação de uma demonstração (hipóteses de trabalho) e algumas “técnicas de
demonstração”. Trabalhamos os diferentes registros de representação na busca da
demonstração dos teoremas, reforçando a congruência semântica dos mesmos.
Para que os alunos compreendessem o significado e os objetivos de uma
demonstração, um texto explicativo foi abordado, explicitando, também, a lógica
subjacente de um sistema formal e a importância de conhecimento operacional no
mesmo para se “alcançar” uma demonstração matemática. Apresentamos também
uma caixa contendo símbolos que usualmente são utilizados nas demonstrações
em registro algébrico, além de outros que foram utilizados na atividade com
significados atribuídos pela pesquisadora.
Um exame mais detalhado do que vem a ser uma demonstração matemática.
Ao longo das atividades desenvolvidas, apresentamos alguns elementos que
compõem um sistema formal e, mais especificamente, aqueles fundamentais para o
processo de se demonstrar. Destacamos, por meio de situações, a necessidade do
reconhecimento desses elementos para uma operacionalização em um sistema
formal, explicitando
a consistência
lógica envolvida na “Engenharia
da
Demonstração” em teoremas da geometria euclidiana.
A atividade que se segue tem como foco “técnicas de demonstração” e, para
fazermos uma demonstração matemática de um determinado teorema, é necessário
que compreendamos seu significado, a hierarquização dos processos envolvidos nesta
tarefa, os elementos adjacentes explícitos e implícitos no teorema e que saibamos
38
mobilizar, além dos registros de representação, as ferramentas necessárias para o
processo de se demonstrar. Sendo assim, alguns pontos seguem esclarecidos:
 O que é demonstrar?
De acordo com o método do qual se vale a matemática para se criar teorias,
demonstrar é provar, sem qualquer dúvida, que um enunciado é verdadeiro, de
tal forma que esta prova seja aceita por uma comunidade de matemáticos.
Utilizando a definição dada por Balacheff (1987), podemos dizer que uma
demonstração matemática é uma atividade de raciocínio lógico, encadeada por
uma seqüência de enunciados organizados numa regra de dedução, interferindo
nas capacidades cognitivas, metodológicas e lingüísticas, objetivando validar
teoremas por meio de uma explicação que leva a convicção.
 Para que demonstrar?
Para explicar, verificar, esclarecer, validar e convencer a si e a outros que um
enunciado matemático é verdadeiro.
 Como fazer uma demonstração?
Na matemática, para fazermos uma demonstração, utilizamos postulados,
definições, propriedades e teoremas estabelecidos em um critério lógico e
seqüencial. Estas serão nossas ferramentas de trabalho na obtenção de uma
demonstração.
Nossas
demonstrações
também
deverão
seguir
uma
hierarquização na utilização das ferramentas, organizadas de acordo com regras
determinadas.
 Tipos de demonstração
As demonstrações podem ser diretas ou indiretas (redução por absurdo).
As diretas são feitas no sentido de hipóteses para a tese, ou seja, admitindo que
as informações nas hipóteses de um teorema sejam verdadeiras, então, a partir de
uma organização lógica de procedimentos, chegaremos à conclusão também
verdadeira.
39
As indiretas são feitas no sentido oposto das demonstrações diretas (da tese para
hipótese), com a particularidade de se negar a tese intentando chegar à negação
da hipótese gerando, assim, um absurdo.
Alguns símbolos importantes:
Símbolo
significado
símbolo
significado

pertence

contém

não pertence

para todo

existe

logo

perpendicular

implica
//
paralelas

se, e somente se

está contido

congruente

não está contido

tal que
Significado das simbologias utilizadas na atividade IV:
Simbologia
(A,B) = r
(A, B, C) = α
( r, A) = α
(r, s) = α
Significado
Os pontos A e B determinam a reta r.
Os pontos A, B e C determinam o plano α.
A reta r e o ponto A determinam o plano
α.
As retas r e s determinam o plano α.
Na situação 1 da atividade IV, apresentamos alguns esquemas de demonstração
na linguagem figural, algébrica e natural. O objetivo da representação figural é
destacar a relação entre apreensão perceptiva e discursiva (relacionada aos dados
do teorema) por meio da apreensão operatória. Colocamos à disposição dos
alunos, caixas de ferramentas auxiliares para justificar os passos da demonstração
logicamente. A mobilização dos registros de representação também desempenhava
esse papel. A hierarquização dos passos evidência nosso objetivo em destacar a
demonstração mais como “uma hierarquização de passos do que uma
hierarquização de conteúdos”.
40
Situação 1: Utilizando uma caixa de ferramentas para justificar os passos de
esquemas de demonstração
1) Dado o teorema, preencha o que se pede utilizando seus conhecimentos
adquiridos até o momento e a caixa de ferramentas apresentada.
Teorema 1: Dados uma reta r e um ponto P fora dela, existe exatamente um
plano α que os contém.
a) Preencha o quadro.
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Tese
b) Utilizando a caixa de ferramentas apresentada e as hipóteses do teorema 1,
justifique os passos da demonstração feita a partir da mobilização das figuras,
completando os espaços em branco.
Caixa de ferramentas (CF):
Postulado 1: Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
Postulado 2: Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém.
Figuras:
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Justificativa:
Justificativa:
Justificativa:
Dado na hipótese
Justificativa:
.......................................
Justificativa:
...................................
41
c) complete a redação da demonstração na linguagem natural:
Temos que, por hipótese, existe uma reta r e um ponto P não pertencente a
................ . Em r, existem os pontos ........
e ......., pois dois pontos ....................
determinam uma única reta (postulado 1 da CF). Os pontos .......,........ e .........
determinam o plano ......., pois três pontos não colineares determinam um
...................................... que os contém (postulado 2 da CF). Como os pontos ...... e ......
pertencem à reta ......, então, temos que r e ......, determinam o plano ...... .
d) Complete os espaços em branco do esquema demonstração na linguagem
algébrica:
 r e  .....
/ P.....
Post. 1
(C.F)
 A e ....  ...
com ...........
/ (A, B) = .....
..............
(P,A,B) = .....
 (r,P) = .....
e) A demonstração feita é direta ou indireta? Justifique sua escolha.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Teorema 2: Se duas retas r e s são concorrentes, então, elas determinam um
único plano α que as contém.
Definição: Retas concorrentes são retas que se interceptam em um único ponto.
a) Preencha o quadro.
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Tese
42
b) Utilizando a caixa de ferramentas apresentada e as hipóteses do teorema 2,
justifique os passos da demonstração feita a partir da mobilização das figuras,
completando os espaços em branco.
Caixa de ferramentas (CF) :
Postulado 1: Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
Postulado 2: Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém.
Postulado 3: Se dois pontos de uma reta estão em um plano, então, a reta está
contida neste plano.
Figuras:
Passo 1:
Justificativa:
Passo 2:
Justificativa:
Passo 3:
Justificativa:
..................................
................................
................................
..................................
..................................
................................
c) complete a redação da demonstração na linguagem natural:
Temos que as retas ........ e ........ são concorrentes por ......................., logo, a interseção
entre elas é um ...............P. (definição de retas ......................). Existe na reta r um ponto
....... e na reta ...... um ponto ......., de tal forma que os pontos ....... e ...... são diferentes do
ponto ...... .(Postulado 1 da CF). Então, temos que os pontos ......, ....... e ...... determinam
um único plano ....... (postulado ...... da CF). Como os pontos ...... e ...... determinam a
reta ..... e os pontos ....... e ....... determinam a reta ......, temos que as retas ...... e ....... estão
contidas no ...............α. (................................... da CF). Logo, as retas ....... e ........ determinam
o plano ...... e nele estão contidas.
43
d) Complete o esquema da demonstração na linguagem algébrica:
 A ....../
A  .....
Post. 1 (C.F)
rs = .......
(A,P) = r e
(B, P) =.......
.........
.........
............
(A,B,P)=α
 ......
...../.....
P
r e ......  ......
 (r, s) = .......
e) A demonstração feita é direta ou indireta? Justifique sua escolha.
.................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
Teorema 3: Se duas retas r e s distintas se interceptam, a interseção é um único
ponto P.
a) Preencha o quadro.
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Tese
b) utilize a caixa de ferramentas e as hipóteses do teorema 3 para completar os
espaços em branco do esquema de demonstração abaixo:
Caixa de ferramentas (CF) :
Postulado 1: Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
44
Demonstração
Afirmativas/construções
Justificativas
Suponha que a interseção entre as Como ainda não sei quantos pontos tem a
retas sejam os pontos distintos P e Q.
interseção
das
retas,
posso
supor
a
quantidade que quiser.
Temos que P e Q pertencem à reta r e Como P e Q estão na ........................ de r e s,
à reta .......
então, pertencem as duas ..............
P e Q determinam uma única reta.
...................................................................
...................................................................
As retas r e s são coincidentes.
Absurdo, pois, por hipótese, temos que r e ......
são retas .......................
Logo, a interseção de ..... e ..... só pode ser um
único ponto.
c) Escreva na linguagem natural a demonstração do teorema, utilizando o esquema
da letra b como referência.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
d) Complete o esquema da demonstração na linguagem algébrica:
Suponha que
rs=PeQ/
PQ.
Construção
P ..... e .....
.................
(P,Q)= r e
......
r=s
......  r e s
Absurdo, pois, por hipótese, ......  ......,  r  s = ........
45
e) A demonstração feita é direta ou indireta? Justifique sua escolha.
...............................................................................................................................
.....................................................................................................................
f) A figura correspondente à demonstração não foi feita. É possível fazer a figura
referente aos passos dados na demonstração feita? Justifique.
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Na situação 2, desenvolvemos uma demonstração fora de ordem para que
os alunos a organizassem logicamente, justificando com o auxílio da caixa de
ferramentas e das hipóteses do teorema às opções feitas. Na atividade proposta, o
aluno, após organização dos passos, deveria apresentar, nos três registros de
representação (figural, algébrico e natural), a demonstração feita, uma vez que a
coordenação destes registros é importante para a compreensão dos conceitos
geométricos envolvidos nos problemas (hipóteses de trabalho).
Situação 2: Organizando logicamente o esquema de demonstração
1)Dado o teorema, faça o que se pede:
Teorema: Se dois planos são perpendiculares e uma reta de um deles é
perpendicular à interseção dos planos, então, essa reta será perpendicular ao
outro plano.
Palavra–chave: Planos perpendiculares são concorrentes.
Caixa de ferramentas (CF):
Postulado 1: Em um plano e fora dele existem tantas retas quanta desejarmos.
Postulado 2: A interseção de dois planos é uma única reta.
Postulado 3: A interseção de uma reta e um plano é um único ponto.
Teorema 1: Dois planos são perpendiculares se uma reta contida em um deles é
perpendicular ao outro.
Teorema 2: Se duas retas são paralelas e uma delas é perpendicular a um plano, então, a
outra reta também o será.
Teorema 3: Duas retas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.
Teorema 4: Se uma reta é perpendicular a um plano, então, ela é perpendicular a toda reta
deste plano no seu ponto de interseção.
Teorema 5: Duas retas em um plano são paralelas se ambas forem perpendiculares a uma
mesma reta.
46
a) Enumere corretamente de 1 a 6 para obter a redação da demonstração, sem
deixar de justificar os passos que julgar ser necessário. Para isso, utilize a caixa de
ferramentas apresentada.
( ) Sendo r perpendicular à reta s e r’ perpendicular à reta s, ambas contidas em
α,
teremos
que
r
e
r’
são
retas
paralelas.
Justificativa:................................................................................................................................................
( ) Ainda por hipótese, existe uma reta r contida em α, de modo que r é
perpendicular à reta s. Justificativa:...............................................................................................
( ) Logo, a reta r e perpendicular a β.Justificativa: ................................................................
( ) Por hipótese, temos que os planos α e β são perpendiculares e que a interseção
dos mesmos é uma reta s. Justificativa: .........................................................................................
(
) Como α é perpendicular a β, então, existe uma reta r’ em α, tal que r’ é
perpendicular a β. Justificativa: .......................................................................................................
( ) Se r’ é perpendicular a β, então, r’ é perpendicular à reta s no ponto P.
Justificativa:................................................................................................................................................
b) Utilizando a demonstração feita no item a, complete o quadro:
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Tese
c) Faça as figuras do esquema de demonstração feito no item a, justificando os
passos.
Figura 1
Justificativa:
Figura 2
Justificativa:
Figura 3
Justificativa:
..........................
............................
...........................
..........................
............................
............................
47
Figura 4
Justificativa
Figura 5
Figura 6
Justificativa
Justificativa
...........................
................................
............................
...........................
...............................
............................
d) Complete o esquema de demonstração algebricamente. Justifique os passos
r//r’
rαe
rs
e) Redija a demonstração na linguagem natural
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Nas situações realizadas na quarta atividade, reforçamos, a todo o
momento, o estatuto do teorema e a importância da definição das suas hipóteses
para que os alunos a reconhecessem como ferramentas indispensáveis na
demonstração de um teorema.
48
Atividade V
A proposta da quinta atividade é que o aluno coloque em prática tudo que foi
apreendido com as outras atividades, criando ele mesmo seus esquemas de
demonstração, suas caixas de ferramentas para justificação dos passos adotados e
coordene os registros de representação até então trabalhados.
Atividade V: Criando esquemas de demonstração: utilizando todas as
ferramentas anteriores.
Informações adicionais:
Postulado 1: Em um plano e fora dele existem quantos pontos quisermos.
Postulado 2: A interseção de dois planos é uma única reta.
Postulado 3: Dados dois triângulos, se dois lados e o ângulo determinado por eles em
um dos triângulos forem congruentes aos elementos correspondentes do outro
triângulo, então, esses triângulos são congruentes.
Teorema 1: Por um ponto fora de uma reta, existe um único plano que os contém.
Teorema 2: Se um plano intercepta dois planos paralelos, então, as interseções são
duas retas paralelas.
Teorema 3: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes em seu ponto de
interseção, então, ela é perpendicular ao plano que as contém.
Teorema 4: Em um plano, se uma reta é perpendicular a uma de duas retas
paralelas, então, é perpendicular à outra.
Teorema 5: Se uma reta e um plano são perpendiculares, então, o plano contém toda
reta perpendicular à reta dada, no seu ponto de interseção com o plano dado.
Na primeira atividade, foi solicitado que os alunos associassem aos passos
apresentados a figura geométrica mais adequada. Para resolver a atividade, é
necessário que, a partir da apreensão discursiva, o aluno consiga relacionar a
figura geométrica associada às propriedades de cada enunciado. Implicitamente,
trabalhamos a apreensão operatória nas “reconfigurações” feitas nas figuras de
acordo com cada passo.
49
Com os conhecimentos e técnicas adquiridos ao longo das atividades, resolva as
situações apresentadas de acordo com o que se pede.
1) Dado o teorema abaixo, associe a cada um dos passos apresentados a figura
correspondente mais adequada.
Teorema: Se uma reta é perpendicular a um de dois planos paralelos, então,
ela é perpendicular ao outro.
(1) Dados os planos paralelos α e β e a reta r perpendicular a β.
(2) Seja A um ponto qualquer do plano α não pertencente a r.
(3) O ponto A e a reta r determinam um plano  que os contém.
(4) O plano  intercepta os planos α e β nas retas t e s, respectivamente, tal que t e
s são retas paralelas.
(5) A reta r é perpendicular as retas s e t.
(6) Seja B um ponto qualquer do plano α não pertencente a r.
(7) O ponto B e a reta r determinam um plano  que os contém.
(8) O plano  intercepta os planos α e β nas retas u e v, respectivamente, tal que u
e v são retas paralelas.
(9) A reta r é perpendicular às retas v e u.
(
)
(
)
50
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
51
(
)
A partir da numeração feita, pedimos aos alunos que fizessem a
demonstração do teorema, se orientando pelas figuras, não esquecendo de
justificar cada passo. A criação de uma caixa de ferramentas também foi solicitada
nesta atividade.
Para que os passos apresentados constituam uma demonstração, são necessárias
algumas informações adicionais que justifiquem tais passos. Tente identificar tais
informações e crie uma caixa de ferramentas para esse teorema (utilize as
informações dadas no início da atividade). Antes, preencha o quadro com as
hipóteses e tese do teorema.
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Tese
Caixa de ferramentas:
52
Utilize os passos apresentados, as hipóteses e a caixa de ferramentas criada para
escrever a demonstração do teorema na linguagem algébrica.
Na atividade 2, um problema envolvendo congruência de triângulos foi
sugerido. Os ajustes na figura apresentada se mostrariam como ferramentas úteis
na solução do problema, caso os alunos conseguissem mobilizar as informações
dadas no enunciado (discursivo) com a figura dada. Novamente pedimos que uma
caixa de ferramentas fosse criada para justificar as opções escolhidas na resolução
da tarefa. Deixamos que os alunos escolhessem o esquema de demonstração a ser
feito.
2) Seja a figura 1. Sabendo que A, B e C estão no plano α ,que P é externo a α
, PA   e AC  AB , demonstre que PC  PB .
Faça as modificações que achar necessário
na figura para resolver o problema.
Justifique suas conclusões utilizando seus
conhecimentos e as informações adicionais
no início da atividade. Crie uma caixa de
ferramentas para esse problema.
Figura 1
Caixa de ferramentas:
53
Demonstração do problema:
A última tarefa da atividade 5 trabalha com todos os itens destacados nas
atividades anteriores: o estatuto do teorema e das figuras geométrica, os diferentes
registros de representação, a congruência semântica entre as representações
utilizadas, a caixa de ferramentas como auxílio nas justificações dos passos
adotados na obtenção de uma demonstração, a apreensão operatória e as
“reconfigurações intermediárias” na figura. Todos eles com o objetivo de facilitar a
redação de uma demonstração.
3) Faça a demonstração do enunciado abaixo de acordo com o que se pede:


Enunciado: Sabendo que as retas BC e BD estão em um plano α, que o plano



β BD em B, o plano  BC em B e que α e β se interceptam em AB , demonstre que

AB α.
a) Preencha o quadro:
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Tese
54
b) Faça uma figura para o enunciado e os ajustes necessários para obter a
demonstração do teorema:
c) Crie uma caixa de ferramentas para esse problema:
Caixa de ferramentas:
d) Demonstre algebricamente o enunciado:
e) Escreva na linguagem natural a demonstração feita no item anterior.
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
55
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA
Atividade I
Situação 1:
1 – a) 4
b) infinitos
c) sim
d) infinitos
e) infinitos
f) infinitos
Situação 2:
2 - a)
b) uma única reta
e) sim
f) não
3 – a) sim
b) sim
c) não
d) sim
c) sim
4 – são retas coincidentes. Ainda não foi apresentado. (será o postulado 4)
5 – a) sim. Justificativa: Pelo postulado 4, sabemos que a reta r é determinada por
dois pontos distintos A e B. Os pontos A, B e P não são colineares, logo determinam
um plano, como estabelece o postulado 5.
b)sim. Justificativa: Postulado 5.
6 - São o mesmo ponto. Ainda não foi apresentado. (será o postulado 6)
7 – A reta r é a interseção dos planos α e β. Ainda não foi apresentado. (será o
postulado 7)
56
Situação 3:
8–
Teorema 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano que os
contém.
Forma condicional: Se dados uma reta e um ponto fora dela, então estes
determinarão um único plano que os contém.
Registros de representação:
Teorema
Hipóteses
Tese
Linguagem natural
Linguagem
Linguagem
geométrica
algébrica
Uma reta e um ponto
 r e  P/
fora dela.
P r
Determinam um
(r,P) =α
único plano.
Teorema 2 : Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
Forma condicional: Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são
paralelas entre si
Registros de representação:
Teorema
Linguagem
Linguagem
Linguagem
natural
geométrica
algébrica
Duas retas
Hipóteses
paralelas a uma
r//t e s//t
terceira
Tese
São paralelas entre
si
r//s
57
Teorema 3: Por um ponto dado, fora de uma reta, existe uma única reta
perpendicular à reta dada.
Forma Condicional: Se dados uma reta e um ponto fora dela, então pelo ponto
passará uma única reta perpendicular a reta dada.
Registros de representação:
Teorema
Linguagem natural
Hipóteses
Linguagem
Linguagem
geométrica
algébrica
Dados uma reta e
 r e  P/
um ponto fora dela
P r
Existirá uma
Tese
sr /
perpendicular a reta
Ps
pelo ponto.
Atividade II
Situação 1:
1 – (6)
(7)
(3)
(5)
(4)
(2)
(1)
2Teorema
(1)
Se
uma
Linguagem algébrica
reta
é Hipótese:
perpendicular a um plano,
então,
paralela
qualquer
à
reta
Linguagem geométrica
(5)
rα e s//r
reta
dada Tese:
também será perpendicular
s α
ao plano
58
(2) Duas retas em um plano
Hipótese:
r//s
são paralelas se ambas
forem perpendiculares a
uma mesma reta
(3)
r α e s α
Tese:
 t / rt e st
(3) Se um plano intercepta Hipótese:
dois
planos
paralelos,
α//β
então, as interseções são
duas retas paralelas
(1)
α =s e β=r
Tese:
s//r
(4)
retas Hipótese:
Duas
perpendiculares
a
um
(2)
rα e sα
mesmo plano são paralelas
Tese:
r//s
(5) Se duas retas são Hipótese:
perpendiculares
a
uma
(6)
rt e st
terceira, então, elas são
paralelas entre si.
Tese:
r//s
(6)
Duas
perpendiculares
mesmo
coplanares.
plano
retas Hipótese:
a
um
(4)
rα e sα
são
Tese:
rβ e sβ
59
Situação 2:
1
Se uma reta é perpendicular a duas retas que se interceptam em seu ponto de
interseção, então, ela é perpendicular ao plano que as contém.
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
r s =P ; tr e ts em P;
(r,s) = α
Tese:
tα
Teorema 2:

Se uma reta e um plano são perpendiculares, então, o plano contém toda reta
perpendicular à reta dada no seu ponto de interseção com o plano dado.
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
rα; rα =P
Tese:
 s α/ sr em P
Teorema 3:

Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares.
60
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
rα e sα
Tese:
r β e s β
Teorema 4:

Duas retas em um plano são paralelas se ambas forem perpendiculares a um
mesmo plano.
Representação algébrica
Figura geométrica
Hipótese:
rβ e sβ
Tese:
r α e s α / r//s
Atividade III
Situação 1:
1–
Teorema
Recíproco
rs =P; r e s  α
α//β
Teorema 1
Hipótese
r//β e s//β
Tese
α//β
 r e s α /rs=P
e r//β e s//β
61
figura geométrica do teorema:
Recíproco do teorema: Dois planos são paralelos, se um deles conter duas retas
concorrentes, paralelas ao outro plano.
Teorema unificado: Um plano contém duas retas concorrentes e paralelas a um
outro plano, se, e somente se, estes planos forem paralelos.
Teorema 2
Hipótese
Teorema
Recíproco
r s =P ; tr e ts em P;
tα
(r,s) = α
Tese
tα
 r e s  α / r s= P
tr e ts em P
figura geométrica do teorema:
Recíproco do teorema: Se uma reta é perpendicular a um plano, então esta reta
será perpendicular a duas retas concorrentes deste plano no seu ponto de interseção
com o mesmo.
Teorema unificado: Uma reta é perpendicular a um plano, se, e somente se, for
perpendicular a duas retas concorrentes deste plano no seu ponto de interseção com
o mesmo.
62
Situação 2:
1–
a) Recíproco: Se duas retas formam um ângulo reto, então elas são perpendiculares.
Falso. Pois elas podem ser ortogonais (definição 2).
Figura:
b)Recíproco: Se duas retas não se interceptam, então elas são paralelas. Falso. Elas
podem ser reversas. (definição1).
Figura:
c)Recíproco: Se duas retas são concorrentes, então elas são perpendiculares. Falso.
Elas podem se concorrer, sem necessariamente formarem ângulo reto. (definição 4).
Figura:
2 – (3)
(1)
(2)
Atividade IV
Situação 1:
63
1–
Teorema 1: Dados uma reta r e um ponto P fora dela, existe exatamente um plano α
que os contém.
a)
linguagem natural
Hipóteses
linguagem algébrica
Uma reta e um ponto
r e P / P r
fora dela.
Tese
Existe um plano que os
(r,P)=α / r e P α
contém.
b)
Figuras:
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Justificativa:
Justificativa:
Justificativa:
Justificativa:
Justificativa:
Dado na hipótese
postulado 1
postulado 2
c) complete a redação da demonstração na linguagem natural:
Temos que, por hipótese, existe uma reta r e um ponto P não pertencente a reta r .
Em r, existem os pontos A e B, pois dois pontos distintos determinam uma única reta
(postulado 1 da CF). Os pontos A, B e P determinam o plano α, pois três pontos não
colineares determinam um único plano que os contém (postulado 2 da CF). Como os
pontos A e B pertencem à reta r, então, temos que r e P, determinam o plano α.
d)
reP
/ P r
Post. 1
(C.F)
AeBr
com A  B
/ (A, B) = r
Post.2
(C.F)
(P,A,B) = α.
 (r,P) = α
64
e) Direta. Por definição.
Teorema 2: Se duas retas r e s são concorrentes, então, elas determinam um único
plano α que as contém.
Definição: Retas concorrentes são retas que se interceptam em um único ponto.
a)
linguagem natural
linguagem algébrica
Hipóteses
Duas retas concorrentes
Tese
Determinam um único
rs = P
(r,s) =α / r e s  α
plano que as contém.
b) Figuras:
Passo 1:
Justificativa
Dado na hipótese
Passo 2:
Passo 3:
Justificativa:
Justificativa:
Postulado 1
Postulado 2
c) Temos que as retas r e s são concorrentes por hipótese, logo, a interseção entre
elas é um ponto P. (definição de retas concorrentes). Existe na reta r um ponto A e
na reta s um ponto B, de tal forma que os pontos A e B são diferentes do ponto P.
(Postulado 1 da CF). Então, temos que os pontos A, B e P determinam um único plano
α (postulado 2 da CF). Como os pontos A e P determinam a reta r e os pontos B e P
determinam a reta s, temos que as retas r e s estão contidas no plano α. (postulado
3 da CF). Logo, as retas r e s determinam o plano α e nele estão contidas.
d)
 A  r/
AP
Post. 1 (C.F)
(A,P) = r e
(B, P) = s
Post.3
Post.2
rs = P
(A,B,P)=α
 B s/
B P
r esα
 (r, s) =α
65
e)Direta. Por definição.
Teorema 3: Se duas retas r e s distintas se interceptam, a interseção é um único ponto
P.
a)
linguagem natural
Hipóteses
Se duas retas distintas de
interceptam
Tese
linguagem algébrica
r  s e r intercepta s
A interseção é um ponto
r s = P
b)
Demonstração
Afirmativas/construções
Justificativas
Suponha que a interseção entre as retas Como ainda não sei quantos pontos tem
sejam os pontos distintos P e Q.
a interseção das retas, posso supor a
quantidade que quiser.
Temos que P e Q pertencem à reta r e à Como P e Q estão na interseção de r e s,
reta s
então, pertencem as duas retas
P e Q determinam uma única reta.
Postulado 1 da caixa de ferramentas
As retas r e s são coincidentes.
Absurdo, pois, por hipótese, temos que r
e s são retas distintas
Logo, a interseção de r e s só pode ser
um único ponto.
c)Suponha que a interseção das retas r e s são os pontos, distintos, P e Q. Então
temos que P e Q pertencem, simultaneamente, as retas r e s. Temos que P e Q
determinam uma única reta (postulado 1 da C.F), Então P e Q determinam r e s,
logo r e s são coincidentes. Absurdo, pois por hipótese as retas são distintas. Então
a interseção das retas r e s só pode ser um único ponto.
66
d)
Suponha que
rs=PeQ/
PQ
Construção
P r e s
(P,Q)= r e s
Post.1 (C.F)
r=s
Qres
Absurdo, pois, por hipótese, r  s,  r  s = P
e) Indireta. Por definição
f) Não se justificaria fazer uma figura de uma situação que não existe.
Situação 2:
1 – a) (5) Teorema 5
(2) Por hipótese
(6) Teorema 2
(1) Postulado 2
(3) Teorema 1
(4) Teorema 4
b)
linguagem natural
Hipóteses
Dois
linguagem algébrica
planos
perpendiculares e uma
reta
de
um
deles
perpendicular
αβ;rα
αβ= s
rs
a
intersecção dos planos
Tese
A reta será perpendicular
ao outro plano
c)
Figura 1
Figura 2
rβ
Figura 3
67
Figura 4
Figura 5
Figura 6
d)
αβ
αβ = s
rαe
rs
 r’ α /
rβ
r//r’
rβ
r’ s
e) utilize os dados da letra a, para redigir a demonstração.
Atividade 5
1 - (6)
(9)
(3)
(2)
(1)
(8)
(5)
(7)
(4)
Adiante, as questões têm uma liberdade maior de escolha de procedimentos, dessa
forma, deixamos a cargo do leitor, atribuir soluções para as tarefas. Ressaltamos que
as questões da atividade IV também podem apresentar outras soluções, porém os
resultados devem convergir com as respostas expostas.
68
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