Tercer Examen Parcial de ´Algebra Lineal. Valor 35% 9 de Junio del
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A Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. Tercer Examen Parcial de Álgebra Lineal. Valor 35% 9 de Junio del 2014 Puntaje. Sólo para uso Oficial 1–5 6 7 8 TOTAL Instrucciones: La duración del examen es de 1 hora y 50 minutos. El examen consta de 8 preguntas en 2 hojas impresas, verifique que su examen esté completo. En las preguntas con procedimiento justifique sus respuestas en los espacios asignados. No está permitido sacar hojas en blanco ni ningún tipo de apuntes durante el examen, verifique que su celular esté apagado. IDENTIFICACIÓN Nombre: Cédula Profesor: Grupo I. Opción Múltiple y Completación En las preguntas 1 a 5 complete los espacios en blanco o elija la opción correcta según el caso. Marque con una X la letra de su elección. NOTA: En esta sección se califica sólo la respuesta y no se tiene en cuenta el procedimiento. 1 −3 1. [8pt] Sea A una matriz 3 × 3 tal que A 0 = 0 . −1 3 Entre las siguientes afirmaciones señale las que son necesariamente ciertas (Nota: Cada literal marcado incorrectamente elimina un literal marcado correctamente). (a) λ = −3 es un valor propio de A, 1 (b) v = 0 es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ = 3, −1 (c) λ = 3 es un valor propio de A, 1 (d) v = 0 es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ = −3. −1 1 2. [6pt] Supongamos que C = 1 0 λ1 = 0 1 2 0 1 . Entonces los valores propios de C son: 0 , λ2 = , y λ3 = . A Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. 3. [5pt] Supongamos que Bes una valores matriz 3 × 3 cuyos propios son λ1 = 1 y λ2 = 4 y cuyos espacios 1 0 propios son Eλ1 = gen 0 y Eλ2 = gen 1 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? 1 1 (a) A es diagonalizable , (b) A no es diagonalizable, (c) no se puede determinar si A es diagonalizable con la información dada. 4. [5pt] Considere las siguientes bases para un subespacio W √ 0√ 1/ 2 0√ , 1/√5 , C = B= −1/ 2 2/ 5 R de 3 : √ √ −1/ 2 1/√5 1/ 5 , 0√ . √ 1/ 2 1/ 5 Determine cuáles son bases ortonormales para W (a) B únicamente (b) C únicamente (c) B y C (d) ninguna de las dos. 5. [8pt] Sea B una matriz 3 × 3 simétrica cuyos valores propios son λ1 = −4, λ2 = 3 y λ3 = 2 y sea f (x) = xT Bx la forma cuadrática correspondiente. Entre las siguientes afirmaciones señale las que son necesariamente ciertas (Nota: Cada literal marcado incorrectamente elimina un literal marcado correctamente). (a) f es definida positiva, (b) f es indefinida, (c) el valor máximo de f (x) sujeto a la restricción kxk = 1 es 3, (d) el valor mı́nimo de f (x) sujeto a la restricción kxk = 1 es 2. II. Solución con Procedimiento R 6. [15pt] Considere las siguientes bases de 3 : 0 0 1 1 1 1 B = 0 , 1 , 0 , C = 0 , 1 , 1 . 1 0 0 1 0 0 Encontrar la matriz de cambio de base de la base B a la base C. A Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. 7. [28pt] Supongamos que A es una matriz 3 × 3 y simétrica. Se sabe que los valores λ1 = −3 y λ2 = 6 y que los correspondientes espacios propios son Eλ1 = gen −2 1 gen 2 , 2 . 2 −1 propios de A son 2 1 y Eλ2 = −2 (i) [10pt] Encuentre una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que A = QDQT . (ii) [12pt] Diagonalice la forma cuadrátrica f (x) = xT Ax. Indique claramente el cambio de variable, describa la forma cuadrática g(x0 , y 0 , z 0 ) referida al nuevo sistema de coordenadas y encuentre un vector generador por cada uno de los ejes x0 , y 0 y z 0 . (iii) [6pt] Identifique la superficie en R 3 dada por la ecuación f (x) = 36. A Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. x y 4 x − w = 0, 8. [25pt] Sea W = ∈ x + z = 0 . z w 1 1 (i) [12pt] Si x = 1 , encuentre proyW (x). 1 R (ii) [13pt] Encuentre una base ortogonal para W ⊥ .
