\ S.E.P. S.E.I.T. 3.G.I.T. CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO cenidet CARACTERIZACIÓN NUMÉRICO- EXPERIMENTAL DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UNA ESTRUCTURA PARA PRUEBAS DE VIBRACIÓN T PARA E OBTENER M A E S T R O E N P ING. I S E N EL I N G E N I E R i A R E JESÚS S E MEDINA S GRADO DE C I E N C I A S M E C Á N I C A N T A. CERVANTES DIRECTOR D E TESIS: DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK CUERNAVACA, MOR . I SEP "I CENIDET CENTRO DE INFORMACION AGOSTO, 2002. 0240677 I1 Cenlro Nacional de lnvesiigacion y Desarrollo Tecnologico DEPTO. DE ING. MECÁNICA OFICIO NÚM. IME-(AM)-216/02 Cuernavaca, Mor., Julio 19, 2002. Asunto: Se autoriza impresión de tesis y fecha para examen de grado. DR. J E S ARNOLDO ~ BAUTISTA DIRECTOR DEL CENIDET Presente. CORRAL At'n.- Dr. Riqoberto Lonqoria Ramirez JEFE DEL DEPTO. DE ING. MECÁNICA Por este conducto hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado: "Caracter¡zaci&n Numérico - Experimental del Comportamiento Dinámico de una Estructura para Pruebas de Vibración" Desarrollado por el ING. JESÚS MEDINA CERVANTES y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de tesis y la fecha de examen de grado. Sin otro particular, quedamos de usted. 81 ATENTAMENTE COMISIÓN REVISORA // / -I w.cenidet.edu.mx Interior internado Palmiia sin. Col. Palmira. A.P. 5-164, C.P. 62490, Cuernavaca. Mor.. Mexico. TelrlFar ' Mecanica: 314-0037, 312-7613 Telr. (777) 312-2314. 318-7741 Fax 312-2434 cenidet DEPTO. DE ING. MECANICA OFICIO NÚM. IME-(AM)-226/02 Cuernavaca, Mor., Agosto 19, 2002. Asunto: Se autoriza i m w e s i ó n de tesis ING. JESÚS MEDINA CERVANTES Candidato al Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica Presente. Despues de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado: - "Caracterización Numérico Experimental del Comportarniento Dinámico de una Estructura para Pruebas de Vibración" Y habiendo cumplido con las indicaciones que el jurado revisor de tesis realizó, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda a la impresión de la misma como requisito para la obtención del grado. Sin otro particular quedo de usted. !! i, .. _. . . ~. . DR. RZGOBERT . ,;; L: , .. ---,,.. ,;n-,,3.'.¡ : ..CL¿Cl;O ".\^<_ _i ~ ,27iA::,c>iLo c.c.p.- ipepto. Servs. Escolares c.c.p.- [;Expediente www.cenidet.edu.rnx 2. 7 Iriierior Internado Palmira rin, Col. Paimira. A.P. 5-164, C.P. 62490, Cuernavaca, Mor., México. TelriFax I. Mecanica: 314.0037. 312-7613 Telr. (777) 312-2314. 318-7741 Fax 312-2434 r -1 ...i 1DEDICATORIAS : A Dios y la Virgen Mana, por darme la vida, llenarme de alegrías y permitirme alcanzar esta meta. A mis padres: Mana Raque1 Cervantes Mendozap y Gonzalo Medina Hemández; por todo su amor, valores inculcados, apoyo y confianza. A mis hermanas: GuadalupeP , Yolanda, Alicia, Patricia y e n especial a Mana Guadalupe; por todo su cariño y apoyo durante mis estudios. A mi sobrino: Edgar J. Sandoval; por todos los juegos y vivencias que compartimos y por ser como un hermano para mí. A mi novia: Manana E. Silva; por su amor, apoyo, caririo y por todo lo que hemos compartido y aprendido juntos. AGRAD E C I M I E ~ O S : Al centro Nacional de Investigación y desarrollo Tecnológico (cenidet),por ser parte de mi formación profesional. A la Secretaria de Educación Pública (SEP) y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyTJ, por el apoyo económico otorgado durante el programa de Maestna. Al Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik, asesor de esta tesis, por su dirección, experiencia y tiempo aportados a esta investigación; además, por su valiosa amistad. ' Al M.C. Eladio Martínez Rayón, mi amigo y revisor de esta tesis, por toda su ayuda, consejos y el tiempo brindados para este trabajo. Al Dr. Jozef Wojcik Filipek, y al M.C. Jorge Bedolla Hemández, mis revisores de tesis, por sus asesorías y tiempo dedicados a esta investigación. A mis maestros del Cenidet, por los conocimientos que me transmitieron durante mis estudios d e maestría. A Edgar Mejía y Daniel Montoya, por su gran amistad y los momentos inolvidables que compartimos en la casa donde vivimos durante esta aventura. A mis amigos: Fabián I M. Martínez, Anely Herrera, José L. Martínez, Gabnela Vital, Gerard0 Soriano, Patricia Zavaleta, Carlos A. Becem'l, Iris A. D í a , Leonardo Garcia, Mónica Parker, . Mario Espinosa, Araceli Hernández, A'fonso Gaona, Aurora B. Pascual, Adán J. Trejo, Gonzalo López de Lara, Miguel A. Meza y Lucio Román; porque he tenido hermosas vivencias junto a cada uno de ustedes. A toda la gente que conocí en Cuemavaca y me brindó su amistad, . , . CONTENIDO Contenido Contenido LISTA DE FIGURAS LISTA D E TABLAS SIMBOLOGíA 111 I\ VI CAPITULO 1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 1 1.1 Introducción 1 1.2 Objetivo general 5 1.3 Alcances 6 1.4 E s t a d o d e l arte 6 1.4.1 Método de elementos finitos 7 1.4.2 Análisis modal 7 1.4.3 Método de elementos finitos y análisis modal 10 1.4.4 Investigaciones en Cenidet 14 CAPiTULO 2: MODELADO POR ELEMENTOS FINITOS 17 2.1 F u n d a m e n t o s teóricos 17 2.1.1 Ecuación d e movimiento 2.2 Método d e elementos finitos .I 1 18 71 2.2.1 Tipos d e elementos finitos 23 Elemento sólido o ladrillo 23 Elemento de contacto o gap 24 2.3 Proceso d e modelado por elementos finitos 24 2.4 Resultados 28 2.4.1 Parámetros modales d e . l a , e s t r u c t u r a libre 28 2.4.2 Parámetros modales d e l a e s t r u c t u r a e m p o t r a d a 30 CAPITULO 3: ANÁLISIS MODAL 32 3.1 F u n d a m e n t o s teóricos 32 3.1.1 Consideraciones del sistema 33 3.1.2 Función de transferencia d e un grado de libertad 33 3.1.3 Funciones de respuesta a la frecuencia (FRF's) 34 3.1.4 Sistema de excitación 33 3.1.5 Experimento modal con martillo de impacto 36 pag. i Coriteriido 3.2 Experimento modal 3.2.1 Equipo 37 3.2.2 Configuración del sistema 38 3.2.3 Mediciones 40 3.3 Análisis de las funciones de respuesta a.la frecuencia 3.3.1 Metodo polinomial de fracciones racionales (RFPM) 3.3.1.1 Método del gradiente 42 42 45 3.3.2 Justificación del'modelo matemático 47 3.3.3 Descripción del programa MEPFRAl 49 3.3.4 Guía de uso del programa MEPFRAl 51 3.3.4.1Preparación del archivo de datos experimentales 51 3.3.4.2 Ejecución del programa MEPFRAI 52 3.4 Resultados 53 3.4.1 Parámetros modales de la estructura libre 56 3.4.2 Parámetros modales de la estructura empotrada 58 CAP~TULO4: ANÁLISIS DE RESULTADOS 61 4.1 Estructur'a libre 61 4.1.1 Análisis de resultados 4.2 Estructura empotrada 4.2.1 Análisis de resultados 'I 37 63 64 64 4.3 Observaciones generales 66 4.4 Ejemplos de rediseño de la estructura 69 4.4.1 Análisis de resultados del primer rediseño 70 4.4.2 Análisis de resultados del segundo rediseño 71 CAP~TULO5: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 72 AGRADECIMIENTO 75 Bibliografía 76 Apéndice A 79 Apéndice B 80 Apéndice C 91 Pág. ii - Lista defiguras Lista de figuras Figura 1.1: Fotografia del modo. torsional de vibración del puente Tacoma 2 causado por la excitación del viento (Tacoma narrows bridge, 200 1) Figura 2.1: Elemento sólido o ladrillo de 8 nodos' 23 Figura 2.2: Elemento finito tipo Gap 24 Figura 2.3: Fotografa de la estructura para pruebas de vibración con marcas de puntos de medición 24 Figura 2.4: a) Perfil L 62 x 62 x 7 , b) Construcción de la longitud del perfil- 25 Figura 2.5: Modelo discreto de elemento finito de la estructura elaborado en 26 SuperDraw I11 (los distintos tonos de grises representan grupos) Figura 2.6: Detalle de la condición de empotramiento: a) fotografía del empotramiento, b) modelo discreto por elementos finitos del empotramiento- 27 Figura 2.7: Ejemplos escogidos de las formas modales de la estructura libre- 29 Figura 2.8: .Ejemplos escogidos de las formas modales de la estructura empotrada 31 Figura 3.1: Localización de u n polo en el plano s (Richardson and Formenti, 1982) 34 Figura 3.2: Diagrama de u n a FRF (Schwarz and Richardson, 1999) 35 Figura 3.3: Esquema del andisis modal utilizando la técnica de martillo de impacto 37 " Figura 3.4: Fotogrdia del sistema de adquisición de los datos experimentales: (1) martillo de impacto, (2) amplificadores de baja. impedancia, (3) computadora, (4)analizador de espectros 38 Figura 3.5: Fotografias de las tres diferentes formas de suspension de la estructura: a) con esponjas comerciales de baja rigidez, b) con ligas comerciales de baja rigidez, c) con cuerdas de nylon de 40kg de resistencia- 39 Figura 3.6: Elementos de la estructura utilizados para el experimento modal- 40 Figura 3.7: Gráfka del factor de amplificación Q contra la razón de la frecuencia p(Mendes and Montalvao, 1998) 48 Figura 3.8: Diagrama de flujo dei programa MEPFR.41 . 50 Pag Ill . - !, Figura 3.9: Ajuste de curvas del elemento l', dirección . Lisia de figuras X 54 .Pág.iv Lista de tablas Lista de tablas Tabla 2.1: Frecuencias naturales de la estructura libre 29 Tabla 2.2: Frecuencias naturales de la estructura empotrada 30 Tabla 3.1: Propiedades modales del elemento 1, dirección X 54 Tabla 3.2: Parámetros modales de la estructura libre 56 Tabla 3.3: P a r G e t r o s modales de la estructura empotrada 58 Tabla 4.1: Frecuencias naturales de la estructura libre 62 Tabla 4.2: Frecuencias naturales de 1a.estructura empotrada 65 Tabla 4.3: Frecuencias naturales de los modelos por elementos finitos de la estructura 70 I . . Pág. v SirnbolGgia Simbología Cimbolo Significado d amortiguamiento histerético c, amortiguamiento modal C amortiguamiento viscoso FEA análisis por elementos finitos e base de logaritmos naturales coeficiente de amortiguamiento conjugado complejo constante modal r-ésima de H ( w ) constantes constantes constantes densidad de masa [kg/m3] determinante dirección' del vector gradiente ejes de coordenadas cartesianas energia disipada por ciclo de oscilación factor de amortiguamiento viscoso del modo r-ésimo factor de amplificación fase de la constante modal forma modal correspondiente ai modo r-ésimo forma modal del modo r-ésimo con normalización de masa frecuencia de .vibración [rad/s, Hz] frecuencia natural del modo r-ésimo [rad/s, Hz] frecuencia natural lineal del modo r-ésimo frecuencia natural no amortiguada [rad/s, Hz] función de errof Pág. \'i e; función de error modificada función de error elevada cuadrado función de receptancia función de respuesta a la frecuencia analítica función de respuesta a la frecuencia experimental función de respuesta a la frecuencia funciones de respuesta a la frecuencia gravedad [m/sZ] matriz matriz de amortiguamiento 'matriz de formas modales con normalización de masa matriz de masa matriz de rigidez matriz de valores propios matriz de vectores propios matriz identidad 111, masa modal s1so medición de referencia única RFPM método polinomial de fracciones racionales G módulo de elasticidad a cortante [Pa] E módulo de Young [Pa] F modo flexionante R modo rígido T modo torsional norma de un vector N número de grados de libertad, número de modos de vibración p, polo r-ésimo de H ( w ) A,B procesos en diagrama de flujo w?, r-ésimo valor propio razón de la frecuencia, ángulo [rad, grado-] relación de Poisson residuo r-esimo de H ( u ) rigidez modal sistema de multiples grados de libertad sistema de u n grado de libertad tiempo [seg] transformada de Fourier de u n a fuerza de entrada transformada de Fourier de u n a respuesta de salida transformada rápida de Fourier transpuesta de [] variable de Laplace vector de aceleraciones independientes del tiempo vector de aceleraciones que varían con el tiempo vector de desplazamientos independientes del tiempo vector de desplazamientos que varían con el tiempo vector de error vector de fuerzas que varían con el tiempo vector de velocidades que varían con el tiempo vector gradiente vector gradiente con respecto a { u } vector gradiente con respecto a {b} - 1 J . - ~ 1 , índice correspondiente a u n a frecuencia u especifica l??scngcion del problema Capítulo 1 D E S C R I P C I ~ NDEL PROBLEMA 8% 1 . 1 INTRODUCCI&N La vibración mecánica es u n fenómeno causado por la interacción entre las propiedades inerciales y elásticas de los materiales dentro de u n a estructura, máquina, sistema mecánico o unión mecánica. La vibración puede causar o contribuir a u n a variedad amplia de problemas, como por ejemplo: incomodidad para el ser humano, ruido excesivo, incapacidad para mantener tolerancias en la posición de herramientas, fatiga prematura, o la ruptura inesperada : Existen varios factores que contribuyen ai incremento en los problemas relacionados con la vibración. Por ejemplo, los diseños de las estructuras y sus componentes apuntan hacia la reducción de los márgenes de seguridad y el uso de componentes con menos masa, que influyen. directamente sobre las frekuencias naturales del sistema mecánico. Las estructuras, ahora más ligeras, es& propensas a fatiga mas rápidamente que las estructuras más pesadas. Aunado a esto, los cambios en los métodos de fabricación también contribuyen a u n incremento general de los niveles de vibración. Por ejemplo, las uniones atornilladas, que poseen amortiguamiento por fricción, son reemplazadas por soldaduras o por adhesivos con propiedades disipadoras de energías muy pequenas. En contraparte, otra tendencia paralela es la de minimizar el efecto de las vibraciones y el ruido sobre los seres humanos. Por las razones mencionadas, que solamente representan u n a parte del enorme campo de problemas relacionados con la vibración en las estructuras y sistemas mecánicos, el comportamiento d i n h i c o de las estructuras se h a . investigado durante muchos años y es tema de estudio continuo. Prácticamente, Pag. 1 Descripción del problema un nuevo diseño o rediseño de u n sistema mecánico requiere un andisis dinámico de su comportamiento tanto numérico como experimental o mixto. LOS tipos de construcciones que provocan interés en términos de su comportamiento dinámico son muy variados, por ejemplo: edificios, puentes, presas y armaduras 'requieren ser investigados con particular atención sobre cómo se comportarían bajo condiciones de temblores, viento, impacto inesperado, etc. Los aviones requieren de un buen estudio de su comportamiento dinámico para proveer u n diseño óptimo; otras estructuras de interes incluyen automotores, etc. Se puede continuar la lista con más ejemplos, pero es importante mencionar que el comportamiento dinámico de estructuras y sistemas mecánicos e s objeto de investigación en cualquier industria, desde ligera a pesada, como: mecánica, robótica, electrónica, química, alimenticia, biotecnologia y medicina. Lo anterior subraya la importancia e interés del estudio del comportamiento dinámico de cualquier sistema mecánico. En la figura 1.1 s e presenta u n ejemplo clásico de la respuesta, no deseada, del puente Tacoma a la vibración causada por la excitación del viento. Esta vibración causó que el puente se colapsara a causa de la fatiga en los materiales con que estaba construido. Figura I . I: Fotografía del modo torsional d e vibración del puente Tacoma causado por la excitación del viento (Tacoma narrows bridge, 2001). Aceptando la necesidad de estudiar la -vibración mecánica, se vuelve necesario considerar los diferentes métodos que s e utilizan para la identificación de los parámetros dinámicos de estructuras y sistemas mecánicos. En la actualidad, los métodos numéricos y experimentales s e utilizan de manera extendida por su facilidad de aplicación y uso para la predicción y el diagnóstico. Particularmente, se han destacado dos métodos para el cálculo de los parámetros . dinámicos de los sistemas mecánicos. El primero, e s u n análisis numérico del Pag. 2 ' Descripción del problema sistema mecánico por. el método de elementos finitos. Esta técnica se ha establecido firmemente como un método numérico para la solución de problemas e:státicos y dinámicos de ingeniería en general. El segundo método es el análisis modal. Este método se compone 'de dos etapas: la medición experimental y el ajuste de las curvas obtenidas a partir de los datos experimentales mediante u n modelo matemático. En este método, la estructura o sistema real es excitada y se realizan las mediciones correspondientes a la respuesta de ésta, para calcular SUS características dinámicas, Sin embargo, el método de análisis modal no ha sido desarrollado con el fin de reemplazar al análisis teórico, sino que ambos pueden complementarse mutuamente. , Esto trae como consecuencia que los ingenieros modernos deban saber como modelar, analizar y experimentar. Estas actividades implican que se obtendrán dos conjuntos de dato's, estos son: datos numéricos y datos experimentales. La situación ideal sería que los dos conjuntos compaginaran, de manera que el análisis modal y el análisis por elementos finitos pudieran coexistir y complementarse uno a otro. Sin embargo, la incertidumbre esta presente en ambos métodos. Una estructura es u n sistema continuo y teóricamente es necesario u n número infinito de coordenadas para especificar la posición de cada punto en la estructura y de aquí puede decirse que ésta tiene u n número infinito de grados de libertad. Las características vibratorias de la estructura deberían entonces incluir u n número infinito de modos de vibración y cubrir el 'intervalo de frecuencia activo desde cero hasta el infinito. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones prácticas, sólo u n cierto intervalo de frecuencias es de mayor interés .I y sólo aquellas propiedades que caen dentro de este intervalo son las estudiadas. Para tal caso, sólo se busca u n cierto número de modos de vibración y, por tanto, es factible representar el sistema continuo mediante u n modelo aproximado, esto es: u n modelo discreto. El método de elementos finitos d a una aproximación a la estructura continua real con u n modelo de número finito de elementos, de formas y tamaíios definidos que poseen determinado número de grados de libertad, y consecuentemente nunca sera una representación perfecta de esa estru.ctura pero aproxima de forma suficiente la respuesta dinámica del objeto analizado. Pag. 3 * Descripcion del problema Por otro lado, el andisis modal también. tiene sus errores asociados, que involucran la forma con que se recoge la información y posteriormente se analiza. p . Además, existen dos limitaciones insuperables con los métodos experimentales. La primera de éstas es el hecho de que, generalmente, no es posible medir en todos los nodos o grados de libertad requeridos. La segunda limitación es que se obtiene u n modelo incompleto, es decir, el número de grados de libertad excede al número de modos medidos. A pesar de esto, no se puede pasar por alto que las mediciones experimentales ofrecen la representación mas precisa de la estructura puesto que tratan con el objeto de estudio real. Así que, la experimentación da la mejor información, casi siempre incompleta, mientras que el análisis teórico da u n esquema completo aproximado. Por tanto, es prudente tratar de extraer las mejores caracteristicas de ambas aproximaciones. En años recientes, en Cenidet se han realizado diversas investigaciones teóricas, experimentales o mixtas sobre el comportamiento dinámico de vigas sometidas a cargas de impacto y / o amortiguamiento por. fricción.. Algunos de estos trabajos han incluido mediciones experimentales para obtener información. Los objetos en estudio se han sujetado a una estructura, disefiada para dicho propósito, donde se preparan los experimentos relacionados con el estudio de impacto y amortiguamiento por fricción en sistemas mecánicos vibratorios. Por tal motivo, uno de los propósitos principales de investigación en esta tesis es conocer el comportamiento dinámico de la estructura que se u s a para pruebas de !I vibración con la finalidad de establecer los intervalos de excitación en los que SU respuesta es mínima y, por tanto, no tenga influencia en las mediciones obtenidas de los experimentos realizados sobre ella. Para llevar a cabo la tarea de conocer el comportamiento dinámico de la , estructura, se realizó una identificación experimental de ella con la aplicación del. análisis modal. En la primera etapa del análisis modal, se utilizó la técnica del martillo de impacto en conjunto con el tipo de medición de referencia única para extraer las funciones de receptancia experimentales. En la segunda etapa se desarrolló u n algoritmo y en la base de esto, el programa MEPFRA1 que extrae los parámetros modales de estructuras y sistemas mecánicos a partir de las funciones de receptancia experimentales. Pag. 4 . Descripción del problema paralelamente, se realizó un modelado numérico de la estructura por elementos finitos utilizando ALGOR v.12. LOS propósitos de este modelado numérico son: a) validar los resultados experimentales obtenidos por el programa MEPFRA1 con los resultados numéricos, b) que el modelo numérico sirva como base para el posible rediserio de la estructura, que permita ampliar s u intervalo de trabajo. A continuación se presenta la estructura de esta tesis, con u n a breve descripción de los capítulos. En el capítulo uno s e presenta la introducción, el objetivo general y los alcances de esta investigación. Además, se presenta el estado del arte relacionado directamente con la investigación. En el capitulo dos se presentan las bases teóricas del análisis modal y se detalla el desarrollo del modelado numérico de l a estructura por el método de elementos. finitos para dos condiciones de frontera diferentes. Finalmente, se presentan los resultados obtenidos de la simulación numérica de la estructura para pruebas de vibración. En el capítulo tres se muestra la metodología para el proceso de preparación y desarrollo del análisis modal y el posterior ajuste de curvas reaiizado a los datos experimentales mediante el uso del programa MEPFRA1 para obtener la estimación de 1os.parámetros modales de la estructura. En el capítulo cuatro s e analizan y comparan los resultados numéricos y experimentales y s e validan los resultados del programa MEPFRA1. Además, se proponen opciones de redisefio de la estructura para mejorar sus propiedades dinámicas. Finalmente, en el capítulo cinco se presentan las conclusiones de ésta investigación con las recomendaciones para trabajos futuros'. 1.2 OBJETNO GENERAL El propósito principal de esta investigación es la implementación de u n método para la identificación dinámica de estructuras y sistemas mecánicos que, en la base del análisis modal, permita caracterizar numérica y experimentalmente su comportamiento dinámico. Además, aplicar y verificar el método propuesto Pag. 5 I, Descnpcion del problema sobre la estructura para pruebas de vibración del laboratorio de ingeniería mecánica del Cenidet. 1.3 ALCANCES Aplicar el método de elementos finitos c o n el uso de ALGOR v.12 (software comercial existente en el departamento de ingeniería mecánica del Cenidet) para modelar u n a estructura que se utiliza para pruebas de vibración. Obtener del análisis numérico las frecuencias naturales y formas modales de la estructura dentro de un intervalo de OHz a 200Hz, que es el intervalo de interés en esta investigación. Además, en la base del modelo discreto de la estructura, proponer ejemplos del rediseño de ésta para cambiar sus parámetros modales. Obtener archivos de las funciones de respuesta a . l a frecuencia (FRF's), como resultado del experimento modal realizado sobre la estructura utilizando la técnica del martillo de impacto en combinación con el tipo de medición de referencia unica. Analizar las funciones' de receptancia experimentales por medio de u n programa de cómputo elaborado en Matlab v.5.1, que realiza el ajuste de las curvas FRF's utilizando el método polinomial de fracciones racionales (Richardson and Formenti, 1982) para identificar los parámetros modales de '! , la estructura. Las frecuencias naturales, factores de amortiguamiento modal y .'' formas modales de la estructura serán calculados dentro del intervalo de interés de OHz a 200Hz. Describir la metodología seguida tanto para el proceso de modelado numérico ' de la estructura como para desarrollar el análisis modal. ' Implementar un sistema para la identificación dinámica de estructuras y sistemas mecánicos, hasta ahora inexistente en cenidet, para extraer parámetros modales mediante el método polinomid de fracciones racionales. 1.4 E S T A D O DEL ARTE La existencia de información relacionada con el desarrollo y aplicación del método de elementos finitos y el análisis modal es m u y amplia. Por esta razón, en Pag. 6 .I\ 1 Descripción del problema .~ esta sección se presentan sólo las pubiicaciones escogidas que apoyaron directamente al desarrollo del presente trabajo de tesis. ' 1.4.1MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Este método fue concebido originalmente por Turner, Clough, Martin y Topp en 1956 (Meirovitch, 1997), como u n procedimiento para el análisis estático de esfuerzos de estructuras en ingeniería civil. Sin embargo, rápidamente se extendió al análisis estático y dinámico en otras áreas de la ingeniería. El crecimiento en las áreas de aplicación de este método se debió al desarrollo de los sistemas de computación que permitieron resolver miles de ecuaciones algebraicas. Amplia descripción del método se puede encontrar en varios libros, pero los más representativos son: Zienkiewicz y Taylor (1994) y Huebner y otros (1995). Recientemente, se han presentado libros acerca del método de elementos finitos con aplicación directa de u n software' comercial 'dado. U n a publicación referente al modelado con el método del elemento finito fue la presentada por Spyrakos (1995), donde incluye ejemplos con ALGOR. Spyrakos (1995) presenta una descripción general del método, así como los fundamentos para el modelado y ,metodología del uso de ALGOR. Entre los temas que presenta esta publicación están: esfuerzos, deformaciones, criterios de . falla, análisis dinámico con /I elementos finitos, andisis estático y dinámico con ejemplos y uso del paquete ALGOR. Además se presentan ejemplos relacionados con el análisis modal. Esta publicación sirvió como referencia para el uso del paquete ALGOR v . 1 2 en la presente investigación. 1 .b.2 ANALISIS MODAL Los principios del análisis modal comenzaron con u n estudio, realizado por Kennedy y Pancu en 1947 (Ewins, 1995), orientado hacia la medición de los parámetros modales de estructuras de aviones. Los métodos descritos ahí, tuvieron aplicación en la determinación precisa de las frecuencias naturales y niveles de amortiguamiento de estas estructuras. Con la llegada de las minicomputadoras digitales y la transformada rápida de Fourier (FFT), en los aíios 196O's, nació la nueva era del anáiisis modal. Desde entonces se han . . . Pag.7 Descnpción del problema dpsarrollado varias técnicas para la aplicación de este análisis y existe amplia variedad de literatura que presenta sus fundamentos, tales como: Allemang y Brown (1993),Ewjns (19951, Rao (1995)y De Silva (1999). Generalmente, el análisis modal se divide en dos etapas, que son: la medición de la estructura o sistema re-d y la estimación de los parámetros modales. La metodología seguida en esta investigación para la realización de la medición experimental se presenta en la sección 3.2.2 y está basada en la metodología descrita por el manual de usuario del analizador de espectros: 11 Hewlett Packard (HP) 3566A/3567A “Getting Started” (1992). Respecto de la estimación de los parámetros modales, se han publicado numerosas investigaciones. Sin embargo, a continuación se presentan sólo las investigaciones realizadas acerca del método utilizado en esta tesis, esto es: el método polinomial de fracciones racionales (RFPM). Los primeros investigadores que presentaron el método polinomial de ’ fracciones racionales, para la estimación de parámetros modales, fueron Richardson y Formenti (1982). En esta investigación se introdujo una nueva formulación que resolvía los problemas, asociados con el mal condicionamiento de las ecuaciones, que resultaban’ al aplicar este método. La mayor parte de la discusión presentada en este artículo se centró en la reformulación de las v ecuaciones de solución en términos de polinomios ortogonales y la generación de los mismos polinomios. Además, fueron presentados ejemplos del uso del método y se discutieron los problemas que comúnmente enfrentan los sistemas de estimación de parámetros modales, como son: ruido en la medición, la cantidad de resolución en la frecuencia y los efectos de las resonancias que caen fuera del intervalo de análisis. Se concluyó que este método es lo suficientemente rápido y preciso, además, no es iterativo y trabaja directamente con las FRF’s en el dominio de la frecuencia. Por tanto, no se ve afectado si son utilizadas mediciones con truncamiento. Por otro lado, como cualquier otro método, éste disminuye su precisión cuando se trabaja con mediciones que contienen ruido excesivo, distorsión, o que tienen baja resolución en la frecuencia.^ Esta investigación . constituye la base para el proceso de desarrollo del programa de cómputo en esta tesis. Pag. 8 ’ li z !1 !I I: /I .. Más tarde, Lee y Richardson (1992) presentaron dos métodos de ajuste de curvas diferentes, uno para u n solo modo a la vez (SDOF)y el otro para múltiples modos (MDOF) por el método polinomial d~efracciones racionales para evaluar su I* desempeño al ajustar u n total de doce FRF’s que fueron sintetizadas usando los ‘i p.&%netros de tres modos de ,vibración. En este artículo se discutieron los tipos ‘1 d? ajustadores de curvas: locales de u n solo grado de libertad, locales de ‘/I, . multiples grados de libertad, globaies y de referencia múltiple. Además, fueron I/ dkscritas las diferentes fuentes de error que pueden ocurrir cuando se aplica ii cualquier procedimiento de estimación de parámetros. En particular, Lee y li Richardson (1992) mencionaron que cuando se ajustan las curvas de un il . conjunto de mediciones de FRF’s, los problemas que tienen que resolverse son los !i siguientes: resolución insuficiente de la frecuencia, distorsión de la medición, !I ;Lido en la medición y la determinación del número de modos o tamaño del i modelo. Los doce casos presentados contenían algunos de estos problemas, !t <demás unos contenían densidad modal alta y otros baja. Los mejores resultados, I<I para la mayoría de los casos, ,se obtuvieron del método lock de varios grados de ’/ libertad (el método polinomid.de fracciones racionales). Existieron dos casos, que $resentaban gran densidad mpdal o quizás raíces repetidas, en los que el método &odujo’ resultados con errores considerables. Lee y Richardson (1992) cbncluyeron que para estos casos’se necesitaba un método global o uno de !< , . rkferencia múltiple para obtener resultados exitosos. ;I Xu (1997)realizó u n análisis de los sistemas de identificación de parámetros jj modales existentes. En su artículo menciona que generalmente los métodos de i identificación de parámetros modales que trabajan en el dominio de la frecuencia I! s,on excelentes para el análisis en anchos de banda reducidos, típicamente con un límite de 10 modos en la mayoría de los algoritmos más populares. Por tanto, el autor presentó u n estudio en él cual hizo uso del método introducido por ‘li Richardson y Formenti (1982), al cuál implementó el concepto de “matriz ortogonal acompañante” para mejorar el uso de los polinomios ortogonales de I /I Forsythe. Además, presentó un ejemplo experimental con el uso del método implementado, el cual fue capaz de calcular la presencia de 56 modos con !I precisión considerable. También concluyó, al igual que Richardson y Formenti, ‘que es posible sobrestimar el orden del modelo de las FRF’s, puesto que hacer i !! ll 1 Pag.9 Descripción del problema esto sólo produce la aparición de. modos qomputacionaies cuyo significado es nulo y su influencia sobre los modos verdaderos es despreciable. Por último, Schwarz y Richardson (1999) presentaron u n articulo donde revisan los temas princip-es asociados con el' análisis modal experimental, incluyendo la realización .de mediciones de curvas de respuesta a la frecuencia con u n analizador FFT y la estimación de parámetros modales a partir de u n conjunto de FRF's. Entre los temas revisados están:)los modos y tipos de modos de vibración, forma flexionante operante, mediciones de FRF's, prueba de estructuras reales, cálculo de u n a FRF con u n analizador FFT, elementos necesarios para realizar la prueba modal utilizando la técnica de martillo de impacto o con un excitador y la extracción de parámetros modales a partir del ajuste de las curvas FRF's con métodos como: el método exponencial complejo y el método polinomial de fracciones racionales. 1.4.3 MhTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y ANALISIS MODAL La aplicación tanto del método de elementos finitos como del análisis modal para identificar las propiedades dinámicas de las estructuras y sistemas. mecánicos h a adquirido gran' importancia en los últimos d o s . La tendencia 'creciente es la correlación o verificación del modelo por medio de los resultados experimentales obtenidos del análisis modal Correlacionar los resultados v a más allá de la simple comparación de las propiedades modales resultantes de ambos métodos, es decir, se trata de la combinación cuantitativa de ambos resultados para identificar especificamente las causas de las discrepancias entre las propiedades predichas por el modelo y las medidas en el experimento modal. Enseguida se presentan algunas investigaciones que combinan ambos métodos y que por la metodologia planteada tanto para el modelado numérico como para el experimento modal constituyen u n a guía para esta investigación. Por ejemplo, Ramsey (1983) en su investigación discutió la forma en que son utilizados los métodos analíticos y experimentales para resolver problemas de vibración y ruido, y la importancia de usar los parámetros modales para vincular el análisis y la experimentación. Ramsey (1983) mencionó algunas aplicaciones del análisis modal, como son: la verificación de' modelos analíticos, la localización de problemas de ruido y vibración y la evaluación de cambios en los parámetros Pag. IO Descripción del problema . modales. También se mencionó que e&en . cuatro pasos para resolver los problemas de ruido y vibración, que son los' siguientes: caracterizar el problema, identificar las resonancias estructurales, realizar un anáiisis modal para obtener las formas modales de cada u n a de las resonancias de interés y realizar la modificación de la estructura (de ser necesaria) añadiendo amortiguamiento o cambiando la frecuencia a u n a frecuencia más alta o más baja para evitar la excitación. Finalmente, el autor presentó un ejemplo donde combinó el anáiisis por elementos finitos (FEA) y el análisis modal para lograr la respuesta deseada sobre una estructura. El modelo de la estructura fue realizado con un programa de elementos finitos llamado FESDEC usando un modelo de elementos finitos tipo placa y la estructura fue probada usando la técnica de martillo de impacto. Los resultados demostraron que en ocasiones el modelo por elementos finitos fue incapaz de predecir correctamente las formas modales con respecto a las obtenidas a~partir del experimento, aun cuando las frecuencias predichas estaban muy cercanas a los valores experimentales. Salane y Baldwin (1990) realizaron un estudio de fatiga a un puente para identificar los cambios en las propiedades modales de la sección de prueba. Para esto se realizó una prueba de fatiga de cuatro millones de ciclos, de la que se obtuvieron las formas modales y factores de amortiguamiento. Los factores de ahortiguamiento variaron en un intervalo de 1.09% a 0.53%. Además, se realizó un modelo de elementos finitos de la sección probada con u n software llamado GTSTRUDL. La cubierta de concreto fue modelada como elementos placa y los soportes como elementos viga. Con el programa se calcularon las frecuencias de vibración y vibración forzada del modelo de elementos finitos, además se analizó su comportamiento estático. Según los autores, algunas discrepancias existentes entre el modelo de elementos finitos y los valores experimentales se debieron al comportamiento errático de la sección de prueba a respuestas con amplitudes grandes, siendo la mayor discrepancia en la frecuencia de un 13%. Salane y Baldwin (1990) concluyeron que el deterioro causa cambios en las propiedades de rigidez y que estos cambios son evidentes en la información experimental obtenida. Idichandy y Ganapathy (1990) propusieron usar un sistema instrumentado de monitoreo basado en la respuesta dinámica de u n a plataforma de extracción Pag. 11 8 2 - 06-77 Descnpcióii 2eL p r o t i k m de petróleo. El método se basa i n el hecho de que cualquier estructura tiene modos naturales de vibración que son propiedades características de la estructura,y que no cambian a menos que haya cambios en la distribución de su masa o rigidez. Se formuló un modelo por elementos finitos de la plataforma 1 idealizando los miembros como elementos viga en tres dimensiones con seis grados de libertad en cada nodo. Los cambios en la masa de la cubierta que afectaron a la estructura como un todo resultaron en cambios en las frecuencias naturales de todos los modos, sin embargo no afectaron considerablemente las formas modales. Uno de los objetivos principales de ese estudio fue la verificación experimental de los resultados analíticos. Los resultados entre el análisis y el 'I experimento fueron muy cercanos, con una diferencia de un lo%, como máximo, en las frecuencias . naturales. Idichandy y Ganapathy concluyeron que la influencia de los daños estructurales en las formas modales fue notable en todos los casos. La forma modal se desviaba de la forma básica y su magnitud dependía de la severidad del daño. Sanders y otros (1992) desarrollaron una teoría para detectar, localizar y cuantificar daño en estructuras compuestas a partir de los cambios en los pqámetros modales medidos en estructuras hechas de compuestos de fibra reforzada. En esta investigación fueron presentados ejemplos numéricos que involucraban daño en vigas, compuestas (en voladizo) para demostrar la capacidad de la teoría para predecir la localización exacta y la severidad del daño. Paia proveer de evidencia experimental que sustentara la teoría, se realizaron pruebas modales y m e c h i c a s en vigas compuestas en estado sin daño y tres ad:icionales con daño progresivo. Para el desarrollo numérico utilizaron un modelo discreto con 40 elementos finitos tipo viga y con un total de 80 grados de libertad. Los procedimientos experimentales usados en este artículo se dividieron en la caracterización de las propiedades de los materiales, la medición de la degradación de rigidez y la extracción de los parámetros modales. La prueba modal se realizó utilizando la técnica de martillo de impacto. Las FRF's obtenidas fÜeron analizadas 'por u n software de análisis modal llamado SMS, del cual se obtuvieron las' frecuencias naturales y los factores de amortiguamiento del sistema real. Se encontró que la configuración experimental no fue adecuada para determinar las formas modales. Fue atribuida la baja calidad.de las formas Pag. 12 Descnpcibr. dc!pro; lema modales a la falta de consistencia al impactar el mismo punto designadc ex la viga, en la misma dirección y con la misma fuerza. A pesar de esto, encontraron buen acuerdo entre los valores medidos y los valores predichos por la teoría propuesta. En otra investigación, Singal y otros (1992) presentaron los resultados de varias pruebas experimentales realizadas a dos placas para verificar el método de superposición y las capacidades y precisión de análisis del software Analdyne- 1. Lbs experimentos se realizaron a dos placas distintas con cinco configuraciones de frontera diferentes aplicadas a cada una de ellas. El propósito del estudio experimental fue la verificación de los modelos al establecer las frecuencias resonantes y las formas modales asociadas para cada prueba. La técnica utilizada para la prueba modal fue la de martillo de impacto. Se realizaron mediciones en cincuenta y cinco puntos diferentes de las placas. Para cada punto de medición se obtuvo una función de respuesta a la frecuencia como resultado d e u n promedio de solo cinco impactos, esto a causa de la gran cantidad de puntos medidos. Se presentaron resultados analíticos y experimentales para los primeros seis modos y estos muestran muy buena concordancia entre la teoría y la experimentación tanto para las frecuencias naturales como para las formas modales. En general, las discrepancias no excedieron el cinco por ciento. Los autores atribuyeron las diferencias a lo siguiente: pequeños esfuerzos residuales en las placas, pequeñas diferencias en la geometría respecto del modelo idealizado, o que quizás no se alcanzaron las condiciones de frontera idealizadas, o más aun, que las propiedades de las placas (espesor, densidad, módulo de Young, etc.) hayan diferido ligeramente respecto de las empleadas para los cálculos analíticos. Mitri y Morassi (1998) estudiaron el efecto, sobre los modos y las frecuencias de vibración, causado por el daño en una estructura construida por barras planas de acero. Se realizaron experimentos sobre la estructura para extraer sus parámetros modales. Un experimento se realizó sobre la estructura sin daño. Además, se realizaron ocho experimentos con diferentes configuraciones de daño. El daño fue simulado soltando una restricción en el extremo de ciertos miembros. Los autores elaboraron modelos de elementos finitos tanto de la estructura sin daño como para los ocho casos de falla. El Pag. 13 L-)Pscr:~>cióli del problema primer modelo de elementos finitos para la estructura sin dG.0 mostró n s ser una buena aproximación, ya que el error menor era del 13%. Mitri y Morassi (1998) dedujeron que los errores se debían a una descripción incorrecta de las condiciones de restricción entre los miembros, a efectos locales por fricción en las u,niones y finalmente por la incorrecta descripción de la rigidez de las barras. El modelo fue cambiado por u n a aproximación subestructural. Sin embargo, los resultados de este nuevo modelo no fueron buenos. Tan solo u n modo dio u n error aceptable de 7% y las formas modales, excepto la primera, también eran considerablemente diferentes a las medidas. Esta vez, se concluyó que la diferencia se debía a una mezcla de movimientos en el plano y fuera de él, debidos a las excentricidades inevitables en la construcción y a imperfecciones en el ensamble. El modeio analítico no podía describir este tipo de movimientos. Del añálisis modal se notó, .con respecto a las frecuencias naturales, que las estimaciones de cada nodo demostraron repetibilidad puesto que solo se obtuvo una desviación máxima del valor promedio de 0.2Hz para la mayoría de los nodos medidos, excepto para algunos otros. Por último, fue mencionado que este tipo de desacuerdo es frecuente en las pruebas dinámicas de sistemas complejos y que en la interpretación de las pruebas se consideran u n promedio de los valores de frecuencia deducidos a partir de las mediciones en los diferentes nodos. 1!4.4 INVESTIGACIOh!ES EN CEMDET Enseguida se presenta una breve descripción de las investigaciones re’alizadas en Cenidet que han utilizado la estructura para pruebas de vibración del laboratorio de ingeniería mecánica para las pruebas experimentales. En la investigación realizada por Sotelo (1995) se disefió y construyó la estructura para pruebas de vibración que se analiza en la presente investigación. Sotelo presentó el estudio del fenómeno de impacto en vigas, sometidas a vibración transversal, producido por una restricción impuesta en algún punto de la longitud de la viga. Para el estudio de este fenómeno se realizó u n análisis numérico con el método del elemento finito, mediante un programa realizado por Sbedowicz y Sotelo (1995) en Fortran 77. Se realizó la verificación experimental del modelo, para lo cual se montó la viga en la estructura para pruebas de vibración y se simularon las condiciones de frontera y la fuerza de excitación. En Pag. 14 Desciipcion delproblema la prueba experimental, la restricción tenia u n claro de 2mm ccn respecto a la viga. Se sujetó la viga en un extremo (empotrada) y en el otro quedó libre. La excitación impuesta a la viga. fue producida por u n excitador mecánico qu,e fue unido al extremo libre de la viga, y la fuerza de excitación fue de 4 N a una frecuencia de 12.9Hz. La fuerza de impacto se midió mediante u n sensor de fuerza, de diseño propio, que se encontraba en el tope o restricción. Se concluyó que el impacto produce fuerzas muy grandes en periodos de tiempo muy cortos que, además, inducen ondas de alta frecuencia y que ello depende principalmente de la ubicación de la restricción y de los materiales que entran en contacto durante el impacto. En este estudio no se incluyó el análisis de los efectos de amortiguamiento; y los resultados de fuerza de impacto teóricos y experimentales tuvieron una diferencia de 5%,a 11%. ,~ , . La investigación anterior representa el comienzo del estudio del fenómeno de impacto en vigas en Cenidet, a la cual han seguido otras investigaciones relacionadas. con el mismo fenómeno donde se experimenta con diferentes tipos de topes o restricciones. El tipo de contacto obtenido h a sido lineal, puntual y pl.ano; además se han utilizado diferentes materiales para la construcción de los topes. Dentro de las investigaciones relacionadas con este tópico se encuentran los trabajos realizados por: Szwedowicz (1997), Cortés (1997), Diego (1998), Szwedowicz (1998), Szwedowicz y otros (1998), Martínez (1999), Szwedowicz y o k o s (1999), Martinez y otros (2000) y Szwedowicz (2001). Es importante hacer notar que en la mayoría de estas investigaciones se utilizaron frecuencias de excitación desde 9Hz hasta 13.5Hz, sin embargo en una de las investigaciones se excitó con u n intervalo de frecuencia desde 4% hasta 30Hz (Martinez, 1999). En esta investigación se hace notar que cerca de la zona de los 30Hz existía u n salto en la frecuencia provocando que no se tuvieran lecturas en esa zona. Martínez (1999) consideró que este podría ser provocado por algún parámetro del sistema, sin precisar la causa. De aquí que surja la necesidad de verificar el comportamiento dinámico de la estructura para pruebas de vibración, de manera que pueda asegurarse que su comportamiento dinámico es independiente al comportamiento del sistema en estudio para una excitación dada. Por otro lado, se observa en estas investigaciones que los valores de las frecuencias naturales de las vigas fueron tomados directamente de los picos Pag. 15 * Descnpcioii del problema observados en la magnitud d e la función dc respuesta a la frecuencia obtenida 1) del analizador de espectros. Por tanto, estos valores corresponden a las frecuencias naturales amortiguadas y no a las frecuencias naturales resonantes de las vigas. En sentido estricto, las frecuencias de excitación utilizadas en estas investigaciones no eran las frecuencias necesarias para llevar al sistema al estado de resonancia. Sin embargo, se consideró que los elementos simples utilizados en estas investigaciones (vigas de sección constante) poseen amortiguamiento muy pequeño, por lo que las frecuencias naturales resonantes de éstas tienen valores muy cercanos a las frecuencias naturales amortiguadas. De lo anterior, se vuelve necesario poder estimar el amortiguamiento de los sistemas mecánicos y, así, I1 determinar con mayor precisión las frecuencias naturales resonantes de éstos. En la presente investigación se implementa un sistema para determinar con precisión estos parámetros. Como se ha observado en el estado del arte, es notable el amplio panorama de aplicación del análisis modal para la solución de problemas relacionados con el comportamiento dinámico de u n sistema, ya sea para evaluar fallas, fatiga, condiciones de resonancia, validación de un modelo o simplemente para conocer la naturaleza del sistema. Por tanto, en esta investigación se hace uso de esta herramienta para evaluar la estructura para pruebas de vibración. Sin embargo, su aplicación no se limita solo a las estructuras sino también a los sistemas y uniones mecánicas o elementos mecánicos. Además, los resultados obtenidos permiten el rediseño o modificación de las estructuras o sistemas mecánicos. Pag. 16 ’ Modelado por elerneritos finitos Capítulo 2 MODELADO POR ELEMENTOS FINTOS En este capítulo son presentados los fundamentos para el análisis modal y la descripción del modelado numérico de la estructura. Los conceptos básicos sobre el análisis de vibración son encontrados ampliamente en las publicaciones hechas por: Thomson (1982),Den Hartog (1984),Rao (1995)y Meirovitch (1997), por mencionar algunos. 2.1 FUNDAMENTOS T E ~ R I C O S 1; En la realizacion de un análisis de vibración, en general, se encuentran tres fases: el modelo espacial, el modelo modal y el modelo de respuesta (Ewins, 1995). El proceso de modelado de la dinámica de un sistema real se comienza con una descripción de las características fisicas de la estructura, en terminos de sus dimensiones, m a s a , rigidez y amortiguamiento. A esto se le llama modelo espacial. Enseguida, se realiza un análisis modal analítico del modelo espacial que conduce a una descripción del comportamiento de la estructura como un conjunto de modos de vibración, y es llamado modelo modal. Esta solución describe las posibles formas en que la estructura es capaz de vibrar n p r a l m e n t e , es decir, sin la presencia de alguna fuerza de excitación externa. Pag. 17 Modelado por elementos finitos Se defir,e como u n csnjunto de írecuericias naturales con las correspondientes formas modales de vibración y factores de amortiguamiento modales. La tercera fase del análisis establece exactamente como vibrará la estructura bajo condiciones de excitación dadas y, más aun, con qué amplitudes. Ciertamente, esto dependerá no sólo de las características fisicas propias de la estructura sino también de la naturaleza y magnitud de la excitación impuesta; a ekto se le conoce como el modelo de respuesta. Debido al alcance de esta investigación, en este capítulo se presentan sólo las dos primeras fases del análisis de vibración, es decir, el modelo espacial y el modelo modal. 2.1.1 ECUACIdN DE MOVIMIENTO Se considera que la estructura que se va a analizar en esta investigación posee amortiguamiento ligero, de manera que todos los modos de vibración involucrados son reales. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de sistemas con varios grados de libertad son presentadas ampliamente en la bibliografía, como por ejemplo: Den Hartog (19841, Ewins (1995), Rao (1995), Meirovitch (1997). Enseguida se presenta sólo u n a breve descripción de la ecuación de movimiento. La ecuación diferencial de segundo orden que describe el comportamiento dinámico de u n sistema es: donde: [MI, [C] y [ K ] son las matrices N x N de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente, {i (t)] , { (f)]i, velocidades, {.(I)} y desplazamientos {,f(/)} son los vectores y fuerzas que N x 1 de aceleraciones, varían con el tiempo, respectivamente, N es el número de grados de libertad del sistema. Sin embargo, la mayoria de las estructuras y sistemas mecánicos encontrados en la práctica poseen amortiguamiento de diferente tipo y magnitud. Pag. 18 Modelado por elementos finitos . Por esta r z c 2 , en la ecuación (2.0)es posible despreciar el amortiguamiento [C] con el objetivo de simplificar el análisis del sistema y obtener la primera aproximación de su comportamiento ,dinámico. Por tanto, en esta sección se presenta el desarrollo de la ecuación de movimiento para u n sistema lineal no amortiguado con N grados de libertad. Las características dinámicas (frecuencias naturales y formas modales) pueden describirse por u n conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden, en forma matricial: Considerando la solución para vibración libre con el fin de determinar las propiedades modales naturales o normales, se asume que no existe excitación sobre el sistema: if )I = {o) (2.2) (I También, se asume que el desplazamiento tiene la forma: {x(/)) = {.}e (2.3) donde {x} es un vector N x 1 de amplitudes independientes del tiempo. La expresión de aceleración tiene la siguiente forma: 1, Sustituyendo las ecuaciones ( 2 . 2 ) , (2.3)y (2.4)dentro de la ecuación (2.1),s e obtiene: ([KI- w 2 [M]){x}e'"'= {o} Para la cual, la única solución no trivial es la siguiente: det [ K ] - w 2 [MI =O (2.6) De la ecuación (2.6) se encuentran N valores de las frecuencias naturales del sistema no amortiguado, que se puede escribir en la siguiente forma, m2 :(oT,wi,...,w1,..., u:). Sustituyendo cada una de estas frecuencias en la ecuación (2.5) da como resultado u n conjunto correspondiente de valores relativos para {x}, esto es { y } ,, que es llamada la forma modal correspondiente a esa frecuencia Pag. 19 Modelado por elemenfosfinilos La solüción completa puede expresarse .. en dos matrices N x N (matrices propias) como: 'I donde o,'es el r-ésimo valor propio, o el cuadrado de la frecuencia natural, y { y } , es una descripción de la forma modal correspondiente. Existen varios procedimientos numéricos, como el método de iteración subespacial (Bathe, 1982),que toman las matrices [MIy [ K ] del modelo espacial del sistema y las convierten en dos matrices propias [or] y [ Y ] que constituyen el modelo modal. En este punto, es importante notar que la matriz de valores propios es única, mientras que la matriz de vectores propios .no lo es. Mientras que las frecuencias naturales son cantidades fijas, las formas modales están sujetas a un factor de escala indeterminado que no afecta la forma del modo de vibración, sólo su amplitud. El modelo modal posee propiedades importantes, conocidas como propiedades de ortogondidad, las cuales se presentan de manera concisa como: De las cuales: [o:]= [ni,].' [ k r ] donde rn, y k, son llamadas, respectivamente, masa y rigidez modales del modo r-ésimo. Puesto que la matriz de vectores propios está sujeta a u n factor de escala arbitrario, los valores.de rn, y k, no son únicos y por tanto no es posible referirse a la masa o rigidez modales de un modo particular. Entre los procesos de normalización o escala existentes, el método de nohaiizacidn d e masa es ampliamente utilizado y aceptado. Los vectores propios y tienen la propiedad particular con normalización de masa se escriben como [O] que: 14' IMIIQI = I11 (2.9) (2.10) La relación entre la formamodd con normalización de masa para el modo résimo, {+}, , es: Pag. 20 Modelado por elernentosfifiriitos (2.11) Y para su forma más general, {Y},, simplemente es: [o] =[.U]l,n;”Z J (2.12) 2.2 MÉTODO DE ELEMEN’TQS FINITOS El método de elementos finitos es u n método numérico universal que h a sido aplicado extensamente para resolver problemas de casi todos los campos de .análisis de la ingenieria. Los avances en el desarrollo de computadoras más .poderosas han hecho posible el uso más fácil y eficiente del software de elementos finitos, en computadoras personales, para la solución de problemas ‘complejos de ingeniería moderna. Los resultados ‘obtenidos con u n análisis de elementos finitos no son “exactos”. Sin embargo, se puede obtener u n a solución muy precisa si se utiliza un modelo apropiado. La principal ‘diferencia entre los métodos clásicos y el método de elementos finitos es la forma en que consideran el sistema y enseguida el procedimiento de solución. Los métodos clásicos consideran el sistema como u n continuo cuyo comportamiento se describe por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. Por otro lado, el método de elementos finitos considera la estructura como u n ensamble de pequeños elementos de tamaño finito y forma definida que representa u n modelo discreto del problema. Las funciones de forma de los elementos finitos describen el comportamiento del sistema completo y la solución del problema se obtiene formulando u n sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas con el uso de u n a computadora (Meirovitch, 1997). Los elementos de tamaño finito y forma definida se llaman elementos finitos. Los puntos en los que dichos elementos se interconectan se conocen como nodos y el procedimiento de selección del número de elementos finitos se llama discretización. Si el proceso de discretización se realiza apropiadamente, se puede hacer que el resultado converja a u n a solución aproximada de la estructura completa conforme se reducen las dimensiones de los elementos. Durante el proceso de solución deben satisfacerse, entre los elementos, el equilibrio de fuerzas en los nodos y la compatibilidad de desplazamientos de manera que la ’ estructura entera se comporte como u n a entidad única. Pag. 21 ‘ Modelado por elementos firii2os En esta investigación se aplica el método de elementos finitos mediante el modelado de la estructura para pruebas de vibración utilizando el software ,comercial ALGOR v. 12. Enseguida se presenta, de forma breve, la metodología para realizar u n análisis por elementos finitos para resolver problemas estáticos: 1. Modelado de la geometría. El modelo geométrico representa la geometría del elemento o estructura que se, requiere analizar. Además, en esta etapa se definen las propiedades de los materiales. 2. Creación de la malla. En la base de la geometría del modelo se discretiza toda la estructura por medio de elementos finitos. Este paso e s el más crucial, pues de ello depende la precisión de la solución del problema. Además, se definen ., y seleccionan los tipos de elementos finitos que son los más convenientes para el modelo fisico. ' 3. Aplicar las cargas. En este paso, se provee de las fuerzas aplicadas e x t e r n g e n t e [cargas concentradas, uniformes, estáticas, transitorias, etc.). 4. Definir las condiciones de frontera. Se definen las condiciones de apoyo y restricciones de la estructura o sistema que se modela. Al conjunto de pasos anterior se le conoce como la etapa de pre- procesamiento para u n análisis por elementos finitos. Esta etapa del proceso puede realizarse utilizando el pre-procesador de ALGOR v. 12. llamado SuperDraw /I 111. 5. Solución del sistema de ecuaciones lineales algebraicas. Esta es la etapa de procesamiento, donde el programa comercial automáticamente ensambla las matrices de rigidez de los elementos y en esta forma crea una matriz global del '. , sistema. El ensamhlar las' matrices de rigidez de los elementos a u n a matriz global implica el equilibrio del sistema completo. De acuerdo al tipo de problema se hallan, mediante métodos iterativos de solución, los desplazamientos nodaies [método de desplazamientos) o las fuerzas nodales (método de fuerzas), ya que son los valores desconocidos. 6 . Calcular las incógnitas. Según lo requiera el usuario, el programa puede calcular los esfuerzos, las reacciones, formas modales, frecuencias naturales u otra información pertinente. Pag.22 . . .. . . ~ .. . ~. . _ _ . Modelado por elementosfinitos 7 . Visualización d e resultados. Este paso constituye la tercera etapa de análisis, llamada pos-procesamiento, que consiste en la visualización de los resultados. Los pos-procesadores, como el Superview de ALGOR v. 12., ayudan al usuario a mostrar los resultados en forma grefica, como por ejemplo: gráficas de :la distribución de esfuerzos, gráficas de desplazamientos, etc. 2.2.1 TIPOS DE ELEMENTOS FINTTOS Los elementos finitos más comúnmente usados son: barra, viga, elementos axisimétricos, membrana, placa, cascarón, sólido o ladrillo y elementos de contacto o gap. En esta sección se describen, de manera breve, únicamente los elementos sólidos y elementos de contacto o gap, puesto que son los tipos de elementos ' utilizados en el modelo de l a estructura en estudio. Una descripción amplia de los elementos mencionados anteriormente se encuentra, por ejemplo, en Rieger y Steele (1981)y Spyrakos (1995). ., Elemento sólido o ladrillo Los elementos sólidos son elementos tridimensionales con tres grados de libertad tipo traslacional por nodo. El software ALGOR v.12. designa a este elemento como elemento de tipo 5 (type 5). Se asumen propiedades de material isotrópico para el uso de este elemento en esta investigación. El elemento sólido básico puede estar conformado desde 4 hasta 8 nodos. En la figura 2.1, se muestra u n ejemplo de un elemento sólido de ocho nodos. Algunos ejemplos con los que se puede utilizar el elemento sólido, para realizar u n análisis de elemento finito, son: placas gruesas, componentes cilíndricos o esféricos gruesos. Normalmente, se usan en el modelado de estructuras o componentes estructurales con u n espesor comparable a las otras dos dimensiones. Figura 2. I: Elemento sólido o ladrillo d e 8 nodos. Pag. 23 . ' Modelado por elenieniosfmi:ss Elemento de contacto o gap Los elementos de contacto son utilizados para modelar las condiciones de frontera y uniones entre componentes estructurales. Estos son útiles ya sea para evaluar reacciones en soportes rígidos o flexibles, y uniones elásticas o para " especificar desplazamientos predeterminados. Los elementos gap son elementos de dos nodos. La línea definida por los dos nodos indica la dirección en la que la reacción es evaluada o en que el desplazamiento se especifica. En la figura 2.2, se presenta u n esquema del elemento tipo gap. Figura 2.2: Elementofinito tipo Gap 2.3 PROCESO DE MODELADO POR ELEMENTOS FIMTOS En esta sección se describe con detalle el desarrollo del modelado de la estructura para pruebas de vibración utilizando ALGOR v. 12. La estructura que se analizó en esta investigación se encuentra en el laboratorio de ingeniería mecánica del Cenidet. En la figura 2.3 se presenta una fotografía de la misma. Figura 2.3: Fotografía d e la estructura para pruebas d e vibración Como 'primer paso se midieron las dimensiones de la estructura e identificaron los tipos de elementos que la conforman. La estructura está formada de cinco tipos de elementos, con las siguientes dimensiones en milímetros: I ) 4 placas de 90 x lOOx 9, Pag. 24 Modeludo pc: ele;;lentos.'Xtoz 2 ) 8 soleras de 50 x 4, 3) 4 perfiles L 62 x 62 x 7, 4) 8 perfiles L 38 x 38 x 5, 5) 4 perfiles C 78 x 5. A partir de la geometría medida de la estructura, se procedió a elaborar el modelo en ALGOR v. 12 utilizando su interfaz grxica llamada SuperDraw HI. En esta interfaz se dibujó el modelo de la estructura y se discretizó por elementos finitos. La generación de la geometría y discretización del modelo fue u n proceso que se realizó de manera conjunta. Para la construcción de cada elemento de la ' estructura primero se dibujó la forma y malla del perfil dado en dos dimensiones y después se procedió a copiar el perfil el número de veces correspondiente para obtener la longitud del elemento, indicándole ai programa que las copias quedaran enlazadas. Este proceso dio como resultado la generación de los elementos finitos al mismo tiempo que se construyó la longitud del perfil. Los perfiles restantes se construyeron de la misma manera. Para el desarrollo de.la discretización se tomó en consideración la relación de aspecto entre los elementos, es decir, se consideró la relación entre largo y ancho de los elementos finitos; puesto que esto es u n factor que influye de ' manera importante en la precisión de la solución (Spyrakos, 1995). En la figura 2.4a se presenta como ejemplo el perfil L 62 x 62 x 7, dividido '! en elementos finitos, dibujado en SuperDraw 111. En la figura 2.4b se muestra el resultado de copiar el perfil para obtener la construcción su longitud. Figura 2 4 a) Perfil L 62 x 62 x 7, b) Construcción d e la longitud del perfil Pag 25 .,.. .._i Múdelado ph- eicrnentos finitos El material que constituye toda la estructura es u n accro ,iSTM-A36. En ALGOR v.12 se pueden establecer diferentes grupos en los que se define la geometría y las propiedades de los materiales de los elementos que componen el sistema a analizar. En esta investigación el modelo de la estructura fue divido en cuatro grupos diferentes para construir, por separado y con mayor facilidad, la geometría de cada uno de los perfiles que componen la estructura. En ALGOR v. 12 también se pueden establecer diferentes capas dentro de u n mismo grupo para la construcción de la geometría del modelo a analizar. En este proceso de modelado fue muy útil el manejo de distintas capas para construir los diferentes perfiles (o porciones de ellos) para facilitar la visualización y distinción de unos con otros. Puesto que la estructura posee perforaciones en algunos perfiles, la utilización de varias capas facilitó la construcción de la geometría de este modelo y se utilizaron un total de 15 capas. En la figura 2.5 se muestra el modelo discreto completo de la estructura Figura 2.5: Modelo discreto de elemento finito de la estructura elaborado e n SuperDraw III (los distintos tonos de gnses representan grupos). 4 Pag. 26 _~~_ .___ ~ Molelado por elementos finitos Con la geometría y el mallado del, modelo completos, se seleccionaron las condiciones de frontera. Para esto; s e - simularon dos casos diferentes. En el 'primero se simuló la estructura libre, es decir, sin restricción de movimiento. En el segundo se simuló empotramiento en cada una de las bases del modelo de la estructura. En ambos casos ninguna carga externa o desplazamiento previo fueron simulados puesto que el análisis que se realizó corresponde a vibración libre. En la figura 2.6a se presenta la fotografia de u n a de las bases de la estructura, que se encuentra fija al concreto mediante u n conjunto de espárragotuerca de media pulgada; en la figura 2.6b se presenta la porción del modelo discreto por elementos finitos de la estructura donde se estableció la condición de empotramiento. 4 b) Figura 2.6: Detalle de la condición de empotramiento: a)fotografia del empotramiento, b) modelo discreto por elementosfinitos del empotramiento. Teniendo las condiciones de frontera, se prosiguió con la definición del tipo de análisis (formas modales y frecuencias naturales lineales), la definición de los tipos de elementos finitos (brick: sólido o ladrillo), las propiedades de los materiales (acero ASTM-A36) y la especificación de integración de segundo orden para la solución del problema con el fin de reducir el tiempo y esfuerzo de procesamiento computacional. Las propiedades mechicas del acero ASTM-A36, cuyos valores se encuentran en la base de datos de Algor v.12, son las siguientes: densidad de masa (p)= 786 1.4 kg/m3 módulo de elasticidad (E)=199.95~109N/m* relación de Poisson (u)= 0.29 Pag. 21 Modelado por elemeriios finitos módulo de elasticidad a cortante (GI= 771221 N/mz, si este valor no se especifica, Algor v.12 lo calcula como G = E / [ 2 ( 1 - ~ ) ] . El siguiente paso corresponde a la definición del número de frecuencias naturales o modos que se deseaban obtener del análisis. Para la condición libre , se seleccionaron 30 modos de vibración, de los cuáles se esperaban 6 modos rígidos. Para la condición de empotramiento se seleccionaron 20 modos. Además, ' se 'especificó, en ambos casos, que se terminara el cálculo cuando se alcanzaran los 200Hz. Para ambos casos, se especificó u n número de 100 iteraciones como máximo para alcanzar la convergencia del sistema, aunado a una tolerancia de I x ~ O - ~para O el modo más alto. Por último se indicó al programa que creara u n 13 archivo para guardar la información de las formas modales de la estructura. Como comentario final, es necesario mencionar que el modelo de la estructura consta de 8684 nodos y un total de 4407 elementos finitos tipo sólido. 2.4 RESULTADOS En esta sección se presentan los resultados del modelado numérico: las frecuencias naturales y formas modales de la estructura. Para esto se divide en dos partes esta sección, una representa los resultados obtenidos con el modelado de la condición libre y la otra parte representa los resultados de la condición empotrada para el modelo discreto de la estructura. 2.4.1 P A R h E T R O S MODALES DE LA ESTRUCTURA LIBRE Los resultados de las frecuencias naturales de la estructura modelada sin restricción de movimiento se presentan en la tabla 2 . 1 . En la figura 2.7 se presentan ejemplos escogidos de las formas modales de la estructura que corresponden a las primeras 4 frecuencias naturales. Es necesario mencionar que las deformaciones de la estructura presentadas en la figura 2.7 no están a escala real, solamente facilitan la visualización de la tendencia de deformación de los elementos. PQg.28 ' Modelado por elernenroc jÍmlos Tabla 2 1 Frecuencizs naturales de la ostructura iibre 1 MODO I FRECUENCIANATURAL 12 IF1 104.495 I MODO I FRECUENCIA NATURAL a) 34.629 Hz b) 85.175 Hz c) 94.550 Hz d) 95.966 Hz Figura 2.7: Ejemplos escogidos d e las formas modales de la estructura libre. Pag. 29 .: . .;e. .. . Modelado por elemeritos finitos , 2.4.2 PARAMETROS MODALES DE ¿A ESTRUCTURA EMPOTRADA Los resultados de las frecuencias naturales de la estructura modelada con :restricción total de movimiento en sus cuatro bases se presentan en la tabla 2.2. En la figura 2.8 se presentan ejemplos escogidos de las formas modales correspondientes a los primeros cuatro modos de vibración de la estructura empotrada. Nuevamente, las formas modales presentadas en la figura 2.8 no ,lestán a la escala real sino que facilitan la visualización de la tendencia de deformación de los elementos de la estructura. Tabla 2.2. Frecue Pag. 30 :I .. . - - I< Modelado por elementos finitos a) 36.152 Hz b) 39.728 Hz c) 57.012 Hz d) 101.408 Hz Figura 2.8: Ejemplos escogidos de las formas modales d e la estructura empotrada En este capítulo se presentaron los fundamentos teóricos del proceso de modelado por elementos finitos para el análisis de vibración libre. Además, se presentó la metodología utilizada para modelar por elementos finitos (con ALGOR v.12) la estructura para pruebas de vibración del Laboratorio de Ingeniería Mecánica del Cenidet. Se realizaron dos modelos de la estructura, que son: estructura libre y estructura empotrada. Por último, fueron presentados los resultados de los parámetros modales obtenidos de ambos modelos. En el siguiente capitulo se presentará, en la base del análisis modal, el proceso de identificación de estructuras y sistemas mecánicos aplicado sobre la estructura para pruebas de vibración del laboratorio de ingeniería mecánica del Cenidet. Pag. 3 1 Análisis Modal . . .. Capítulo 3 ANÁLISIS MODAL El análisis modal consta de dos etapas: la me ción experimental y ajuste de las curvas de los datos experimentales por medio de un modelo matemático. En este capítulo se presenta el desarrollo de ambas etapas del análisis modal realizado sobre u n a estructura que. se usa para pruebas de vibración (la misma que se modeló por elementos finitos), para conocer su comportamiento dinámico. 3.1 FUNDAMENTOS T E ~ R I C O S El objetivo principal del análisis modal es determinar un conjunto de I propiedades modales características de las estructuras, elementos mecánicos o sistemas mecánicos. Estas consisten en las frecuencias naturales, factores de amortiguamiento modales y formas modales. El procedimiento para lograr tal II objetivo consta de los tres pasos siguientes: a) medir un conjunto de movilidades apropiado (funciones de respuesta a la frecuencia), b) analizar las FRF's utilizando u n procedimiento de ajuste de curvas, c) combinar los resultados de los ajustes de curvas para construir el modelo representativo (formas modales). Antes de describir la metodología empleada en este estudio para el análisis modal, se considera pertinente presentar los' elementos necesarios para la realización de esta tarea. Pag.32 Análisis Modal 3 . 1 . 1 CONSZDERACZONES DEL SISTEMA ' Para hacer posible la ejecución de un .análisis modal, generalmente se imponen sobre cualquier estructura o sistema mecánico las tres consideraciones básicas siguientes: a) la estructura es lineal, b) la estructura es inuariante con el tiempo, c) la estructura es obseruabl;. La linealidad del sistema significa, que la respuesta de la estructura a cualquier combinación de fuerzas, simultáneamente aplicadas, es la suma de las respuestas individuales a cada u n a de las fuerzas aplicadas solas. La no varianza del sistema con el tiempo significa que los parámetros a ser determinados son constantes, es decir, las mediciones hechas al sistema en dos 'r tiempos diferentes serán consistentes. La estructura sólo puede ser observable -si las mediciones de entrada y salida realizadas contienen la información suficiente para generar un modelo ~ adecuado del comportamiento de la estructura. 3.1.2 FUNCZdN DE TRANSFERENCIA DE UN GRADO DE LBERTAD La dinámica de una estructura o sistema mecánico puede ser modelada con u n modelo en el dominio de Laplace (Richardson and Formenti, 1982). En este modelo, las excitaciones y respuestas de la estructura estarán representadas por sus transformadas de Laplace, es- decir, por las funciones de transferencia de la estructura. Estas funciones de transferencia estarán contenidas dentro de una matriz de transferencia que contiene toda la información necesaria para describir las respuestas de la estructura o sistema mecánico en función de las cargas externas aplicadas. La variable de Laplace es una variable compleja denotada, en este caso, por la'letra s. Ya que' la función de transferencia es una función de la variable s, entonces, es también evaluada de forma compleja. Puesto que la función de transferencia es compleja, puede ser representada por sus partes real e imaginaria o por 'su magnitud y fase mediante una gráfica en dos dimensiones llamada plano s (Richardson and Formenti, 1982). Pag. 33 Análisis Modal .. La magnitud de la función de transferencia tiende al infinito en dos puntos del plano complejo. Estas singularidades son llamadas polos de la función de transferencia. Estos polos definen las condiciones de resonancia en una estructura o sistema mecánico que “amplificará“ alguna fuerza de entrada. La localización de estos polos en el plano s está dada por u n valor de frecuencia y un valor de amortiguamiento como se muestra en la figura 3. I Nomenclatura del Plano s j <o t s = u + I L” Polo conjugado o = coeficiente de amortiguamiento o = frecuencia naturai amortiguada f2 = frecuencia natural resonante (no amortiguada) = f2 cos p = factor de amortiguamiento ( % del amortiguamiento crítico] < Figura 3.1: Localización d e un polo en elplano s (Richardson and Formenti, 1982) 3.1.3 FUNCIONES DE RESPUESTA A LA FRECUENCIA (FRF’s). En el experimento no se mide la función de transferencia sobre el plano s en su totalidad, sino más bien a lo largo del eje de la frecuencia. Estos valores son conocidos como la función de respuesta a la frecuencia. La función de respuesta a la frecuencia (FRF) es u n a medición fundamental que aísla las propiedades dinámicas de una estructura mecánica. Es posible obtener los parámetros modales de la estructura (frecuencias naturales, amortiguamientos y formas modales) a partir de un conjunto de mediciones de FRF’s. Una FRF representa u n a medida de cuanta respuesta (desplazamiento, velocidad o aceleración) tiene una estructura en un punto dado debida a una fuerza aplicada en algún otro punto. II En la figura 3.2 se presenta un diagrama que muestra una FRF, definida por la razón entre la transformada de Fourier de una respuesta de salida X ( o ) Pag. 34 Análisis Modal dividida por. la transfxmada de Fcurier de una fuerza de entrada F ( w ) , donde: X(t) Tiempo: F(t) Sistema Mecánico Frecuencia: F(w) x [H(w)] -3 = X(w) I Figura 3.2: Diagrama d e una FRF (Schwarz and Richardson, 1999). En esta investigación se utilizó la función de receptancia o inertancia (aceleración/fuerza). 3.1.4 SISTEMA DE EXCITACIdN Existen dos tipos de excitación para realizar u n análisis modal, estos son: excitación por medio de impacto o con un excitador. Cuando la salida es fija y las FRF’s son medidas por diferentes entradas (una fila de la matriz FRF), se realiza un experimento con martillo de impacto. El experimento con excitador es cuando la entrada es ‘fija y las FRF’s son medidas por diferentes salidas (una columna de la matriz FRF). El experimento modal requiere que las FRF’s sean medidas de por lo menos una ‘columna o una fila de la matriz FRF. La frecuencia natural y el amortiguamiento modal son propiedades globales de u n a estructura y pueden ser determinadas de alguna o todas las FRF’s en u n a fila o columna de la matriz FRF. ‘Por otro lado, cada forma modal es obtenida ensamblando los términos numeradores de las FRF’s (residuos) de al menos’una lila o columna de la matriz FRF. La t6cnic.a de excitación utilizada en esta investigación fue la de martillo de impacto. ! , ! t Pag. 3 5 Análisis Modal 3.1.5 EXPERIMENTO MOPAL CON MARTILLO DE IMPACTO El experimento modai con martillo de impacto es la técnica más popular en análisis modal desde los años 19.70’s. La excitación con martillo de impacto es una forma rápida, conveniente y de bajo costo para encontrar los modos de vibración de una estructura o sistema mecánico (Schwarz and Richardson, 1999). Para realizar el experimento modal con martillo .de impacto, primero s e fija un acelerómetro en u n punto de la estructura o sistema mecánico y después ésta estructura se golpea con el martillo de impacto en tantos puntos de la estructura como se desee. Es importante mencionar que la dirección del impacto debe ser la misma que la dirección de medición del acelerómetro. Usando u n analizador de espectros de dos canales, las FRF’s son calculadas (una a la vez) entre cada impacto y la respuesta obtenida por el acelerómetro fijado en un punto. El equipo requerido para realizar u n análisis modal con la técnica de martillo de impacto es el siguiente: 1. Un martillo de impacto que contiene una celda de carga (sensor de fuerza) colocada en su cabeza para medir la fuerza del golpe (excitación). 2. Un acelerómetro para medir la aceleración como respuesta en u n punto de la estructura o sistema mecánico en estudio, con la dirección requerida en coordenadas cartesianas X, Y o Z. 3. Dos amplificadores de seriales para acondicionar las seriales obtenidas del acelerómetro y del martillo de impacto. 4. Un analizador FFT de al menos dos canales para calcular las FRF’s. 5. Software de pos-procesamiento modal para identificar los parámetros modales. En la figura 3 . 3 se presenta un esquema de la realización de un experimento modal utilizando la técnica del martillo de impacto. Pag. 36 Ariálksis Modal . . -(. I I ~ ~ FFT ~ Ampliíicador l > ~ ~ d ~ ~ Programa de an8Iisir modal: Comercial o propio señales a) Frecuencias naturales. b] Factores de amortiguamiento. c ] Formar modales. Acelerómetro Figura 3.3: Esquema del análisis modal utilizando la técnica de martillo de impacto. 3.2 EXPERZMENTO MODAL En esta parte se presenta la metodología usada para la realización del experimento modal, así como el equipo y sistema de adquisición de datos experimentales utilizados y su configuración. 3.2.1 EQUIPO El equipo utilizado para el experimento modal se presenta en la figura 3.4 y es el siguiente: el objeto de estudio (en este caso: la estructura para pruebas de vibración existente en el Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet), analizador de señales Hewlett Packard (HP)modelo 3566A, (4) martillo de impacto con celda de carga, marca Kistler; modelo 9724A2000, (1) u n acelerómetro, marca Kistler; modelo 8630C50, con intervalo de medición de + 50g, y sensibilidad de 100.2 mV/g. dos amplificadores de baja impedancia, marca'Kistler; modelo 51 18A1, (2) computadora HP Vectra 486/66 X M , (3) cables y conectores. Pag. 37 , ‘ _ Análisis Modal P I I \ ._. .. , Figura 3.4: Fotografia del sistema de adquisición de los datos experimentales: (1) martillo de impacto, (2) amplficadores de baja impedancia. (3)computadora, (4) analizador de espectros. 3.2.2 COWIGURACídN DEL SISTEMA Para realizar el experimento modal con la técnica del martillo de impacto, el equipo se conectó convenientemente. El acelerómetro se fijó sobre la estructura para pruebas de vibración en puntos escogidos. Tanto la salida de la señal del martillo de impacto como la del acelerómetro se conectaron a amplificadores de baja impedancia para acondicionar dichas señales. Los amplificadores se conectaron al analizador de señales, de manera que sólo fue necesario la utilización de dos canales activos; el primero para el martillo de impacto y e 1 segundo para el acelerómetro. Además, el analizador de señales se conectó a una computadora para que los resultados fueran presentados de forma gráfica. El analizador de señales Hewlett Packard (HP) modelo 3566A se preparó para el experimento modal con martillo de impacto con base en la metodología propuesta por el manual del fabricante HP 3566A/3567A “Getting Started” (1992),como sigue: 1. Establecer el número de canales activos: 2 canales (canal 1: martillo, canal 2: acelerometro), 2. Especificar el intervalo de medición: OHz - 200Hz, 3 . Especificar el modo de medición: bajo modo de disparo (under trigger mode), 4. Especificar el tipo de medición: medición de respuesta a la frecuencia (frequency response), 5. Seleccionar el tipo de filtro de señal para remover oscilaciones residuales y ruido: ventana fuerza/exponencial (force/exp window), Pag. 38 ’ Afiálisis Modal .: 6 . Seleccionar el número de impactos que serán promediados para obtener la función de respuesta a la frecuencia: 15 golpes a promediar, . . 7. Especificar el tipo y número de gráficas'en las que serán presentados los resultados: diagramas de Bode (dos grafcas: u n a presenta la magnitud de la receptancia y la otra presenta la fase), 8. Iniciar el experimento. La punta utilizada en el martillo de impacto con celda de carga fue la punta tipo 9912 (punta plástica color gris), que permite excitar la estructura dentro del intervalo de OHz a 350Hz. El acelerómetro (marca Kistler; modelo 8630C50) utilizado para el experimento modal funcionó como la referencia para cada uno de los elementos de' la estructura que fueron medidos. Los resultados del experimento modal fueron grabados en archivos para su posterior análisis. El experimento modal fue realizado con d o s condiciones de frontera diferentes. El primer caso fue la'condición de estructura libre y para lograr esto se aplicaron dos técnicas. En la primera técnica, la estructura se montó sobre esponjas de baja rigidez (ver figura 3.5a)y en la segunda técnica la estructura fue colgada en dos diferentes formas, estas son: con ligas cuya rigidez es baja (ver con la figura 3.5b) y con cuerda de nylon de 40kg de resistencia (ver figura 3.5~1, finalidad de conocer la influencia de la rigidez de estos materiales sobre los parámetros modales de la estructura. Para realizar el experimento se seleccionó u n intervalo de frecuencia de OHz a 200Hz. Se decidió usar 800 líneas espectrales, por lo que la resolución de la medición resultó ser de 0.25Hz. I al bl CI Figura 3.5: Fotografias de las tres diferentes formas de suspension de la estructura: a) con esponjas comerciales de baja rigidez, b] con ligas comerciales de baja rigidez, c] con cuerdas d e nylon d e 40kg de resistencia. Pag. 39 Análisis Moda/ El segundo caso fue la condición de estructura empotrada, que permite medir el comportamiento de la estructura en condiciones reales (ver figura 2.3). La estructura se sujetó firmemente al piso mediante un conjunto de espárragotuerca de media pulgada de diámetro en cada una de sus cuatro bases. Para este experimento se seleccionó un intervalo de frecuencia de OHz a 400Hz y 800 líneas espectrales, dando como resultado u n a resolución de 0.5Hz. 3.2.3MEDICIONES En la figura 3.6 s e presenta u n esquema de la estructura modelada por elementos finitos donde se indican los siete elementos que fueron medidos. Además, 'se indican los elementos medidos 8, 9 y 10 que son los elementos homólogos a 1, 2 y 3 , respectivamente Figura 3.6: Elementos de la estructura utilizados para el experimento modal. Cada elemento fue medido en dos direcciones, para lo .cual el acelerómetro se fijó de manera perpendicular a cada u n a de las superficies medidas de los elementos. El número de nodos experimentales (puntos en los que se golpeó con el martillo d e impacto) que se escogieron para cada elemento medido varió de 6 a 9 nodos, de la siguiente manera: Elemento 1 en direcciones X y Z: 9 nodos, Elemento 2 en direcciones X y Y: 8 nodos, Elemento 3 en dirección Y: 6 nodos, en dirección Z: 8 nodos, Elemento 4 en direcciones X y 2: 7 nodos, Pag. 40 Análisis Modal Elemento 5 en direcciones Y y 2:6 nodos, , Elemento 6 en direcciones X y 2:7 nodos, Elemento 7 en direcciones Y y 2:6 nodos. Cabe mencionar que el número de nodos seleccionado para cada uno de los elementos se consideró suficiente para describir sus formas modales. El método de medición que se utilizó para el experimento modal fue el llamado medición de referencia única (SISO), es decir, el acelerómetro se fijó en un punto y direccion para cada elemento de la estructura y el martillo de impacto se utilizó para excitar, por medio del golpe, los diferentes nodos escogidos para medición de cada elemento. En ,este caso, el acelerómetro es llamado la referencia. Para obtener cada una de las funciones de respuesta a la frecuencia se utilizó la característica que presenta el analizador de señales de promediar los espectros de frecuencia y la Característica de aceptar o rechazar una medición realizada por el martillo de impacto. Como se mencionó en la sección 3.2.2, fueron 15 golpes en cada nodo escogido los que fueron promediados para obtener cada una de las FRF’s. Cabe señalar que se utilizó el promedio de quince golpes por la gran cantidad de nodos que se habrían de medir y porque las funciones de coherencia de las FRF’s obtenidas tuvieron valores superiores a 0.9. El número total de las funciones de respuesta la frecuencia medidas sobre los elementos 1 a 7 de la estructura fue de cien FRF’s. Además, se midieron 48 FRF’s más, pertenecientes a los elementos 8, 9 y 10.. Los archivos de las FRF’s obtenidas del experimento modal fueron guardados en la computadora HP Vectra para su posterior análisis. Los elementos 8, 9 y 10 (ver figura 3.6) de la estructura fueron medidos con la finalidad de verificar la existencia de simetría en la estructura. Los resultados de estos elementos fueron comparados con los de los elementos 1, 2 y 3 , respectivamente. Se observaron algunas diferencias en la apariencia de las FRF’s, además de la presencia de algunos modos que en u n elemento aparecían y de los cuales su homólogo carecía. De estas observaciones, se afirma que la estructura tiene cierto grado de asimetría (ver sección 4.3). Pag. 41 . - Análisis Muda: 3.3 ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES DE,RESPUESTA A LA FRECUENCU Una vez realizado el experimento modal, el siguiente paso es el análisis de las funciones de respuesta a la frecuencia (FRF's) para extraer los parámetros modales de la estructura. Para ello se elaboró, en Matlab v.5.1, el programa propio MEPFRA1. Este programa permite redizar el ajuste de las curvas FRF's experimentales utilizando el método polinomial de fracciones racionales (RFPM). Del programa MEPFRAI se extraen de manera cuantitativa las frecuencias naturales, los factores de amortiguamiento modales y las constantes modales. Además, el programa MEPFRA1 tiene opción de visualización de los resultados del ajuste obtenido en diagramas de Bode (magnitud de la FRF y su fase) y las formas modales del elemento medido en vistas plana y espacial. 3.3.1 MÉTODO POLINOMIAL DE FRACCIOAES RACIONALES (RFPIM) El método polinomial de fracciones racionales funciona dentro del dominio de la frecuencia y es u n método para sistemas con múltiples grados de libertad. La ecuación de la función de respuesta a la .frecuencia se expresa en la forma de fracciones racionales. La descripción del método se encuentra en las publicaciones hechas por Richardson y Formenti (1982) y Mendes (1988).Puesto que el sistema de ecuaciones lineales resultante involucra matrices mal condicionadas, se utiliza el método del gradiente (Cid y Mateos, 2001) para minimizar la función de error y la estimación inicial se calcula mediante el método de mínimos cuadrados (Kennedy y Neville, 19821, (Phillips, 1995). En la base de la teoría del análisis modal, la FRF en términos de la receptancia para un sistema lineal con N grados de libertad y amortiguamiento viscoso puede ser modelada con la siguiente ecuación en la forma de fracción parcial (Richardson and Formenti, 1982): donde: A, y B, son constantes, o es la frecuencia de vibración [rad/s; Hz], o, es la frecuencia natural del modo r-ésimo [rad/s, Hz], res - -I, Pag. 42 . . ires el factor de amortiguamiento viscoso del modo r-ésimo. La ecuación (3.1) puede ser expresada también en forma de fracción racional, como sigue: k=O donde: N es el número de modos de il: iión, a, es la constante k-ésima del polinomio numerador, b, es la constante k-ésima del polinomio denominador. La diferencia entre la FRF analítica experimentalmente H ( w ) y la FRF obtenida H,(u)es la función de error (e,) dada por. k=O donde: j es el índice correspondiente a una frecuencia u específica, La función de error se linealiza, trabajando con la siguiente función de error modificada: 2 ,\' e'1 = e , c b, (i k=O (3.4) Haciendo bzx = 1 . Esto lleva a: U n vector de error es definido para todas las L frecuencias medidas: La ecuación (3.6)expresada en forma matricial es la siguiente: Pag.43 o, en forma condensada: La ecuación que será minimizada con el método del gradiente es la función de error elevada ai cuadrado J: J={E*~{E} (3.9) Donde * indica el conjugado complejo. Entonces, sustituyendo' la ecuación (3.8)en la ecuación (3.91,y después de realizar algunas operaciones algebraicas, se obtiene: J ={o}' Re[P*]'[P])ln)+{b}'Re[T*]T[T])[b}+{lV*]' { W } - (3.10) Z{a}' RE[P']~ [T])(b}- 2{a}' Rc[P*]'[W])+ 2{b}' Re1T*]'[W]) Esta es una ecuación que contiene matrices mal condicionadas. Por esta razón, se utiliza el método del gradiente para minimizar la función de error de la ecuación (3.10). Sin embargo, puede utilizarse el método de los mínimos cuadrados para obtener la estimación inicial que se necesita para el método del gradiente. ecuación (3.10)con respecto a { o } y { b ] ,e igualándolas a cero da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones: o, de forma condensada: Pug.44 Análisis Modal (3.12) donde: 'Ir [PI] [Y] = Re[P [A'] = - Re[f '1' [TI) [Z]= Re[T*]r[T]) {G}= Relf '1' {W}) (3.13) { F } =-Re[T*]'{W}) Al resolver este sistema de ecuaciones, se obtienen los valores iniciales de {o} y {b}. A continuación se presenta el método del gradiente utilizado para obtener las estimaciones de {o} y {b}. 3.3.1.1 MÉTODO DEL GRADIENTE La ventaja del método del gradiente es que d a u n a dirección para poder seguir u n camino que puede minimizar el error. El gradiente (o derivada parcial) del error respecto a un vector, es u n vector cuya dirección es la dirección de crecimiento máximo del error. Su módulo es la variación del error en esa dirección (la de máxima variación) y su sentido es el que indica el crecimiento (Cid y Mateos, 2001). Como el objetivo es minimizar el error, lo que se debe hacer es ir en sentido contrario al que indique el vector gradiente. Además, para garantizar una convergencia más rápida se utiliza un vector gradiente normalizado; este se obtiene dividiendo el vector gradiente por su norma o módulo. {b}, obtenidas de la utilización del método de mínimos cuadrados, para evaluar el gradiente. El gradiente con respecto a { o } e s la derivada parcial de la ecuación (3.10) con respecto a {o}: Re(lP.1' [P])ia}- Re[P*]'[T])jb} - Re(lP.1' {W})={ M } (3.14) donde {A41 es el vector gradiente con respecto a {u) Pag. 45 Análisis Modal El gradiente con respecto á {h} es la derivada parcial de la ecuación (3.10) con respecto a {b}: (3.15) donde { R } es el vector gradiente con respecto a {b}. Entonces, con las ecuaciones (3.14)y (3.15),el vector gradiente es: (3.16) Se calcula la dirección del vector gradiente con la finalidad de restarla a los coeficientes para moverla en la dirección donde la función es minimizada. La dirección del vector gradiente es: (3.17) donde {If} es la norma del vector. Por tanto, los nuevos coeficientes son: (3.18) Entonces el vector gradiente y su norma respectiva son calculados y comparados con la tolerancia deseada. Si el valor es mayor que la tolerancia, la dirección del vector gradiente es sustraída a los coeficientes para calcular los nuevos coeficientes. El proceso se repite hasta que la norma del vector gradiente es menor que la tolerancia. Después de obtener los coeficientes de la ecuación de fracciones racionales (3.2),es posible calcular los p a r h e t r o s modales. Las raíces o polos del polinomio denominador contienen los valores de la frecuencia natural amortiguamiento (< ,), el factor de Estos pueden obtenerse como sigue: (3.19) donde P, es el polo del modo r-ésimo Pag. 46 Análisis Modal Para calcular lcs’residuos, se expande la fracción racional en u n a ecuación de fracciones parciales y el numerador se vuelve un par de constantes complejas conjugadas, llamadas residuos. Entonces, de la ecuación (3.1),se puede escribir en la siguiente forma: A, =-2[Re(R,)Re(Pj)+Im(R,)Im(Pr)] (3.20) E , = 2 Re(R,) donde R, y P,. son los r-ésimos Residuos y Polos respectivamente. Por tanto, la constante modal estará dada por: C, = AS Donde ‘P,= u ,en la ecuación + P, B,? (3.21) (3.1).La fase de la constante modal será: (3.22) 3.3.2JUSTIFICACI~NDEL MODELO MATEMATICO En esta sección se presenta la justificación de la elección de amortiguamiento viscoso para el modelo matemático. El amortiguador viscoso es el tipo más simple de amortiguamiento desde el punto de vista teórico. Es el amortiguador de carácter lineal en el que las ecuaciones de movimiento del sistema, incorporando este tipo de amortiguamiento, pueden ser resueltas con facilidad. Por definición, el amortiguador viscoso es un dispositivo que se opone al movimiento relativo entre sus extremos con una fuerza proporcional a esa velocidad ( f= c s.).La energía disipada Ai5 por,ciclo de oscilación esta dada por: AE=?rx”cw (3.23) De la ecuación (3.23), se observa que la disipación de la energía es dependiente de la frecuencia en este modelo. Por el contrario, en la mayoría de los materiales más comunes y en las estructuras reales se ha observado que poseen mecanismos de disipación de energía casi o totalmente independientes de la frecuencia. Entonces, se requiere u n modelo de amortiguador que se oponga al movimiento relativo entre s u s extremos con u n a fuerza que sea proporcional a su desplazamiento y no a su velocidad. Esto es equivalente a usar un amortiguador Pag. 47 Análisis Modal viscoso cuya razón de m-xtiguamiento varia inversamente proporcional a la frecuencia ( c= d / o). Este amortiguador se conoce como histerético o estructural, ' y a d se le conoce como el coeficiente de 'amortiguamiento estructural. Esta designación resulta del hecho de que este mecanismo describe muy cercanamente el comportamiento de histéresis carga/deformación de la mayoría de los materiales. En este caso, la energía disipada AE por ciclo de oscilación esta dada por: AE=7rX2d (3.24) La amplitud máxima X de la respuesta en estado estacionario de u n sistema con amortiguamiento histerético siempre se obtiene a w = o,, mientras que para . el amortiguamiento viscoso ocurre a w = u,, . 1- 2 c2. En la figura 3.7 se presenta una grálica del factor de amplificación Q contra la razón de la frecuencia /3, donde se observa que los picos en las amplitudes-ocurren a la izquierda de la linea p = l , siendo el cambio mayor para valores mayores de amortiguamiento viscoso, u 0.5 I 1.5 I:riqucriry 2 mi" p I 5 Figura 3.7: Grafica del factor d e amplficación Q contra la razón d e la frecuencia and Montaluao, 1998). p (Mendes Sin embargo, como mencionan Lee y Richardson (1992), la mayoria de las estructuras reales tienen factores de amortiguamiento que varían de 6 = 0.003 a Pag.4 8 - Análisis Modal < = 0.2 (de 0.3% a 20%); por lo tanto, usualmente se considera que la resonancia ocurre a w = w n . El error es menor al 1% para (=O.] y menor al 10% para < = 0.5, Por lo tanto, para valores de amortiguamiento bajos, u n sistema con amortiguamiento viscoso puede ser asumido con suficiente precisión como lo exhibe su amplitud máxima de respuesta en estado estacionario a w = w , , y entonces el comportamiento de su amplitud de respuesta puede asumirse como equivalente al comportamiento de u n sistema amortiguado histeréticamente (Mendes and Montalvao, 1998). 3.3.3 DESCRIPCIdN DEL PROGRAMA MEPFRAl El Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet no contaba con una herramienta (software comercial de análisis modal) que permitiera identificar dinámicamente las estructuras, sistemas y elementos mecánicos. De aquí surgió la necesidad de elaborar u n programa de cómputo propio que permita realizar este tipo de tareas. Por esta razón, se elaboró u n programa propio (MEPFRAl) que permite identificar el comportamiento dinámico de las estructuras y sistemas mecánicos. El programa MEPFRA1, codificado en Matlab v.5.1, se desarrolló en la base del método polinomial de fracciones racionales. Este programa fue validado, con funciones de receptancia sintetizadas a partir del análisis teórico de sistemas cuyos parámetros modales son conocidos, antes de estimar los parámetros modales de la estructura en estudio. En el apéndice B se presentan tres ejemplos teóricos que validan la precisión y confiabilidad del programa MEPFRA1 para estimar los parámetros modales. Además, en el apéndice C se presenta el código del programa MEPFF3.1 codificado en Matlab v.5.1. Como resultado del experimento modal se obtuvieron .archivos que contienen las FRF’s experimentales. Sin embargo, el formato de estos archivos fue cambiado a formato ASCII donde la información fue dividida en tres columnas: la columna uno corresponde a la frecuencia, la columna dos es la parte real de la receptancia y la columna tres es la parte imaginaria. Finalmente, estos archivos fueron cambiados a formato de Matlab (archivos con extensión: .dat) para que pudieran ser procesados por MEPFRAl. En la figura 3.8 se presenta el diagrama de flujo del programa MEPFRAl. Pag.49 i Análisis Modal mcdicibn de la FRF ca~a~ienw (denominador) ~o Errilar I I el jalar de la frriucnria. hluliiplicsi por 2 los ~ d o r idel i num y drnoin, ,-,:I: Regenerar in FRF B partir de los paihmrlras modales csiimadoi. Calcular la deariacion m a n d a r e n m la FRF variar FRFsI. Prerrnlar C" vista plana y espacia1 la3 formar modalrs dr 105 modas identificados lsalo para opclbn: variar F R W ' I * Tz z z , . PROCESO B -, : (47) I . Figura 3.8: Diagrama de flujo del programa MEPFRA I Pag. 50 Aiiblisis modal En el diagrama de flujo de la figura 3.8 se observa que el programa MEPFRA1 tiene dos opciones para realizar el ajuste de las curvas FRF’s experimentales, como son: ajustar’unaFRF y ajustar varias FRF’s. Los procesos A y B se realizan en las dos opciones de ajuste de las FRF’s. La diferencia principal entre el proceso del ajuste de u n a FRF y el ajuste de varias FRF’s es el siguiente: cuando se ajustan varias FRF’s se obtiene una FRF global (que es la suma de todas las FRF’s experimentales leídas) de la cual se extraen los parámetros modales; mientras que en el proceso de ajuste de una FRF, los parámetros modales se extraen de dicha FRF. Además, Cuando se ajustan varias FRF’s, el programa genera y presenta automáticamente las formas modales de los modos identificados. 3.3.4 G U h DE USO DEL PROGRAMA MEpFRAl El proceso del ajuste de curvas con el programa MEPFRA1 se divide en dos partes. La primera parte consiste en preparar los archivos que serán utilizados para realizar los ajustes de curvas y la segunda parte es ejecutar el programa MEPFRAI. Para que la explicación del uso del programa sea más ilustrativa, se tomara como ejemplo: el archivo “1xl.dat” obtenido a partir del experimento modal realizado a la estructura empotrada. 3.3.4.1 PFSPARACIÓN DEL ARCHIVO DE DATOS EXPERIMENTALES El primer paso es convertir el archivo de datos experimentales, obtenidos con el uso de la técnica del martillo de impacto, a formato ASCII. Para esto, se usa el programa de proceso por lotes SDFASCCI elaborado en el Departamento de ingeniería Mecánica del Cenidet, que se ejecuta en el AUTOEXEC de MS-DOS, el cuál contiene la utilería de conversión de datos procedente del analizador de eS&CtTOS: SDFTOASC. El código del programa SDFASCCI es el siguiente: ....................... echo off sdftoasc 1 s l . D A T 1 s l . C S V /t:r,i / d : O / r : O /b:,/ o /x echo on ....................... donde: Pug. 5 1 Análisis modal sdftoasc - utileria del analizador de espectros HP 3566A, 1xl.DAT - archivo obtenido del experimento modal, 1x1 .CSV - archivo deseado en formato ASCII, El paso siguiente es abrir el archivo “1xl.CSV” con el programa de hoja de cálculo EXCEL 2000. Para lograr esto, se realiza lo siguiente: 1. abrir el programa EXCEL 2000, 2. En la ventana de comandos, seleccionar el icono “abrir”, entonces se selecciona el archivo “1xl.CSV”y se presiona la tecla intro, 3. El programa EXCEL 2000 abre el archivo y divide los datos en tres columnas, la columna 1 es la frecuencia en Hertz, la columna 2 es la parte real y la columna 3 es la parte imaginaria de la receptancia. 4. Ahora se seleccionan todos los datos y se usa el comando “copiar”, enseguida se “pegan” los datos en u n archivo de Matlab y, finalmente se guardan con extensión .dat. Para este ejemplo, el archivo se llamará “1xl.dat”.Ahora y a se cuenta con el archivo que contiene los datos con el formato requerido por el programa MEPFRA1. 3.3.4.2 EJECUCIÓN DEL PROGRAMA MEPFRAl Para realizar el ajuste de una FRF con el programa MEPFFL41 se deben seguir los siguientes pasos: 1. Abrir el programa Matlab v.5.1, 2. Indicar la ruta de acceso donde se encuentra el programa, 3. En la ventana de comandos, teclear rnepfraí y pulsar “entrar”, 4. En la ventana aparecerán los archivos con extensión .dat que existan en la ruta indicada. Para este caso aparecerá listado el archivo “ l x l . d a t ” , además del siguiente mensaje: ******+********** 1xl.dat Escribe entre cotas el nombre de los datos seleccionados(no escribas la extension) ***************** 5. Entonces se debe teclear ‘1x1’y pulsar “entrar”: ******I********** ‘1x1’ *e*************** Pag.52 * Análisis modal 6 Esto originará un pequeño menú que preguntará como se desea seleccionar el intervalo de frecuencia: Elige el modo de selección del iango de fiecuencia: 7 . Ahora se selecciona un intervalo de: '1Hz a 2OOHz. 8. Después, el programa pregunta lo siguiente: ...................... ¿Cuantos grados de libertad para el denominador?: ....................... El denominador corresponde al polinomio característico del sistema, por lo que su valor depende del número de frecuencias que se encuentran dentro del intervalo seleccionado. Sin embargo, si se escoge un número mayor al número de frecuencias existentes, se producirá la aparición de "modos computacionales" que no tienen significado fisico. Cabe aclarar que estos n o afectan los resultados de los modos verdaderos (Richardson and Formenti, 1982). A s í , que sólo será necesario desechar los resultados de los modos computacionales. MEPFRA1 presenta u n a gráfica de la parte imaginaria de la receptancia con la finalidad de ayudar al usuario a determinar el número de frecuencias existentes dentro del intervalo seleccionado. 9. Enseguida el programa preguntará: ........................ ¿Cuantos grados de libertad para el Numerador?: ........................ El número debe ser entero y puede ser desde: una unidad menor al grado que se dio al denominador hasta dos veces mayor que el grado del denominador. Establecer un número mayor al doble del valor del denominador no mejorará el ajuste, Esta cantidad depende del número Pag. 53 . Aiiálisis modo; de modos de vibración que existen fuera, pero cerca, de los limites del i n t e n d o de frecuencia seleccionado y cuya contribución es importante. Para el ejemplo mostrado, se seleccionó: 8 para el denominador y 12 para el numerador, con lo que sólo se dio la aparición de u n modo cornputacional, puesto que siete modos existen dentro de este intervalo de frecuencia seleccionado. El ajuste obtenido se muestra en la figura 3.9a y 3.9b ,",IE a w 81 D r,.".h. Irn ,m, I= IO IU m I a) magnitud de la FRF b) Fase de la FRF Figura 3.9: Ajuste d e curuas del elemento 1, dirección X En la tabla 3.1 se muestran los resultados numéricos obtenidos de este ajuste. Frecuencia Natural Factor de [Hzl amortiguamiento Desviación [ % del amort. Crítico] estándar 30.018 11.247 40.852 9.232 108.924 120.582 2.825 3.612 141.395 2.475 148.982 2.829 181.094 2.746 0.00106 Pag. 54 10.E1 programa MEPFRA1 tiene la opción de realizar el .ajuste de v x i e s FRF's dando, así, la posibilidad de obtener las formas modales de los elementos medidos. Para el elemento 1 en la dirección X, las formas modales obtenidas con el programa MEPFRAI se observan en la figura 3.10 .... Figura 3.1O: Formas modales del elemento 1, dirección X (estructura empotrada). En la siguiente sección serán presentados los resultados del análisis modal de la estructura bajo las dos condiciones de frontera utilizadas en esta investigación. 3.4 RESULTADOS En esta sección se muestran los valores numéricos de los parámetros modales de la estructura estimados con MEPFRA1 a partir del experimento modal. Además, s e presentan gráficamente las formas modales, obtenidas con MEPFRA1, de los elementos 1 y 3 de la estructura en sus dos direcciones medidas. El proceso para obtener los modos de vibración de la estructura, a partir de las mediciones realizadas sobre los elementos individuales de ésta, es el siguiente: 1. Se ajustan las curvas de las FRF's medidas de cada elemento y se extraen sus parámetros modales con MEPFRA1, 2. El procedimiento realizado en el paso 1 se aplica a todos los elementos de la estructura, Pag. 5 5 Atia!;sis modal 3. Las frecuencias naturales y factores de amortiguamiento de cada elemento (ver paso 2) se ordenan en una tabla. De esta tabla se calculan las frecuencias naturales y factores de amortiguamiento de la estructura como un promedio de todos los resultados de cada elemento en los que tienen efectos los modos de vibración. Los resultados del análisis modal del sistema se dividen en dos secciones: una para el análisis modal realizado sobre la estructura libre y la otra para el análisis modal de la estructura empotrada. 3.4.1 PARAMETROS MODALES DE LA ESTRUCTURA LIBRE Los resultados de las frecuencias naturales y factores de amortiguamiento modales se presentan en la tabla 3.2 como u n promedio de los modos de vibración identificados en cada uno de los diferentes elementos medidos de la estructura; de tal manera que hay modos de vibración que no tienen efecto sobre algunos de los elementos medidos. La tabla 3.2 presenta los resultados de las tres formas de suspensión de la estructura, conseguidas para la simulación de la condición de frontera libre. En esta tabla, los valores presentados fuera de los paréntesis representan las frecuencias naturales y los presentados dentro de ellos representan los factores de amortiguamiento modales. Tabla 3. Pag.56 Análisis modo1 Tabla 3.2, Parametros modales de la estructura libre Continuación) ESPONJAS[Hz] NYLON [Hz *-LIGAS ] 1 1 [ Hz ] Es importante mencionar que cuando se utilizaron la cuerda de nylon y las ligas, solo se midieron los elementos 1, 3, 8 y 10, de manera que en la tabla 3.2, donde aparecen (***) significa que estas frecuencias deben existir en otros elementos distintos a los medidos; mientras que (- - -) significa que no se encontró la frecuencia. Enseguida, en la figura 3.11 se presentan las formas modales del elemento 1 en sus dos direcciones medidas, obtenidas del experimento modal utilizando las ligas comerciales como medio de suspensión a) dirección X Figura 3.11: Formas modales del elemento 1 (estructura fibre, caso: ligas comerciales) Pag. 57 * Análisis modal En la figura 3.12 se presentan las formas rmdales del elemento 3 en sus dos direcciones medidas, obtenidas con la misma suspensión (ligas comerciales) ----___ Figura 3.12: Formas modales del elemento 3 (estructura libre, caso: ligas comerciales). 3.4.2 PARAMETROS MODALES DE LA ESTRUCTURA EMPOTRADA Del mismo modo que en la sección anterior, los resultados de las frecuencias naturales y factores de amortiguamiento modales se presentan en la tabla 3.3 como un promedio, de los resultados obtenidos en los diferentes elementos medidos de la estructura. Tabla 3.3:Parámetros modales de la estructura empotrada. amortiguamiento ["/O] Pag. 58 Frecuencia natural Factor de [Hzl amortiguamiento ["h] 146.345 2.569 149.299 2.917 156.859 6.395 176.344 2.152 18 1.362 2.727 193.363 3.022 198.955 3.007 - En la figura 3.13 se presentan las formas modales del elemento 1 en sus dos direcciones medidas, obtenidas a partir del experimento modal realizado sobre la estructura empotrada. a) dirección X Figura 3.13: Formas modales del elemento 1 (estructura empotrada). En la figura 3.14 se presentan las formas modales del elemento 3 de la estructura empotrada en sus dos direcciones medidas. Pag. 5 9 ,- . 1 f ....................................................................... - ... .... ............. .... -. i1~ ,.~ , ~ . " \ . ? . .LE+ 5 Atidisis modal . "\.-. ~~ 0015 I ......... . ~ .... - .... a) dirección Y b) dirección 2 Figura 3.14: Formas modales del elemento 3 (estructura empotrada). En este capítulo se presentó el análisis modal de la estructura para pruebas de vibración con dos condiciones de frontera diferentes. Esto s e logró mediante un experimento modal, realizado sobre la estructura, utilizando la técnica del martillo de impacto. Los parámetros modales de la estructura se estimaron mediante la aplicación del programa propio MEPFRA1. Además, se presentaron los resultados obtenidos al aplicar este método. En el siguiente capítulo s e presentará la comparación y análisis de los resultados obtenidos por el modelado numérico de la estructura y por la aplicación del análisis modal. Pag. 60 * Análisis de resultados Capítuio 4 ANÁLISIS DE RESULTADOS En el capítulo dos fue presentado el modelado por elementos finitos de la estructura para pruebas de vibración y en el capítulo tres se presentó el análisis modal realizado sobre esta estructura. En este capítulo se presentan y analizan los resultados obtenidos de ambos métodos. De igual forma que en los capítulos anteriores, el análisis de los resultados sera divido en dos partes. La primera parte corresponde al análisis de resultados de la estructura libre y la segunda a la estructura empotrada: 4.1 ESTRUCTURA LIBRE La discusión de los resultados se centrará en la comparación de las frecuencias naturales obtenidas por el análisis numérico de elementos finitos con respecto a las frecuencias naturales obtenidas del experimento modal. Como ya ha sido mencionado, no se obtuvieron los factores de amortiguamiento modales a partir del modelado, por elementos finitos, de la estructura en estudio con ALGOR v.12. Por lo tanto, no es posible la comparación directa entre los amortiguamientos modales estimados por MEPFRA1 y los resultados del modelo por elementos finitos. Sin embargo, el amortiguamiento modal estimado por MEPFRA1 puede ser introducido al modelo de elementos finitos para predecir la respuesta del sistema mecánico a una frecuencia específica. Por otro lado, si es posible la comparación entre los factores de amortiguamiento obtenidos a partir de las tres f o r m a s ~ d esuspensión de la estructura utilizadas para simular la condición libre. Enseguida, en la tabla 4.1 se presenta la comparación de los resultados numéricos de las frecuencias naturales de la estructura obtenidas tanto del Pág. 61 * Análisis de resuliados modelado numirico como del experimento modal para la condición de estructura libre. Para el caso del experimento modal se presentan los resultados de las tres formas conseguidas de suspensión de la estructura. En la tabla 4.1, los valores presentados fuera de los paréntesis representan las frecuencias naturales y los presentados dentro de .ellos representan los factores de amortiguamiento modales. Tabla 4.1: Frecuencias naturales de la estructura libre. Pág. 62 Análisis de resultados Es importante mencionar que cuando se utilizaron las cuerdas de nylon Y las ligas, sólo se midieron los elementos 1, 3, 8 y 10, de manera que en la tabla 4.1, donde aparecen asteriscos (***), significa que.estas frecuencias deben existir en otros elementos distintos a los medidos; mientras que donde aparecen guiones (- - -), significa que no se encontró la frecuencia. En esta tabla también se presentan los factores de amortiguamiento correspondientes a cada modo de vibración (valores entre los paréntesis). 4.1.1 ANALISIS DE RESULTADOS Los modos de vibración fueron identificados con u n porcentaje de diferencia no mayor al 3%, en la mayoría de los casos. La diferencia máxima se encontró para el primer modo de vibración entre el modelo numérico de ALGOR y el experimento modal que utilizó las esponjas como suspension de la estructura, siendo esta diferencia de 9.8%. De manera que se ha obtenido muy buen acuerdo entre la teoria y el experimento con respecto a las frecuencias naturales de los modos de vibración identificados. El modelo numérico predijo dos modos .de vibración que no fueron encontrados en la estructura con los experimentos modales: 12 1.370Hz y 168.128Hz. Por otro lado, el modelo numérico fue incapaz de predecir la existencia de 4 modos de vibración que fueron encontrados con los experimentos modales: 82.812Hz, 180.216Hz, 184.726Hz y 187.903Hz. La aparición de estos modos en los experimentos modales se atribuyen a las pequeñas diferencias de simetría que tiene la estructura (ver sección 4.3) y probablemente 'a los efectos de la soldadura. En general, se observa u n a correlación muy buena de los resultados del modelo numérico contra los tres resultados de los experimentos modales. Sin embargo, en el experimento modal con las esponjas se observa u n a diferencia un poco mayor para el primer modo de vibración comparado con el modelo numérico y los experimentos modales de las otras dos aproximaciones. Además, en este experimento aparecieron dos modos de vibración que no se obtuvieron ni en el modelo numérico ni en las otras dos aproximaciones del experimento modal: 71.525Hz y 131.533Hz. La aparición de estos modos y la diferencia del primer modo de vibración se atribuyen a las pequeñas influencias que ejercen las esponjas, como condición de frontera, sobre el sistema. Pág. 63 * Aiiálisis de resultados Según los resultados obtenidos, s e establece que las tres aproximaciones conseguidas para realizar el experimento modal simulando condición de frontera libre, son viables y brindan resultados de precisión confiable. Finalmente, es importante destacar que los factores de amortiguamiento modales obtenidos también,fueron consistentes para las tres aproximaciones (ver tabla 4.1). 4.2 ESTRUCTURA EMPOTRADA De la misma forma que en la sección anterior, la discusión de los resultados se centrará en la comparacion entre las frecuencias naturales obtenidas por 'el análisis numérico de elementos finitos y las frecuencias naturales obtenidas del experimento modal. Los parámetros modales de la estructura empotrada son muy importantes porque representan el comportamiento dinámico de la estructura que se utiliza para realizar pruebas de vibración. Enseguida, en la tabla 4.2 se presenta la comparación de los resultados numéricos de las frecuencias naturales de la estructura obtenidas tanto del modelado numérico con ALGOR v.12 como del análisis modal. En esta tabla se presenta también la diferencia obtenida, en porcentaje, entre los modos de vibración identificados. En la tabla 4.2, donde aparecen asteriscos (***), significa que estas frecuencias deben existir en otros elementos distintos a los medidos; mientras que donde aparecen guiones (- - -), significa que no se encontró la frecuencia. 4.2.1 ANALISIS DE RESULTADOS En la tabla 4.2 se observa que tanto en el modelo numérico como en el experimento modal fueron obtenidos 15 modos de vibración dentro del i n t e n d o de OHz a 2OOHz. Fueron identificados 11 modos de vibración, con u n a diferencia no mayor al 2.9% en 10 de los modos identificados. El primer modo identificado tiene una diferencia de 19%. Es notable la diferencia hallada en el primer modo de vibración identificado. Según Ewins (1995), las condiciones de frontera afectan directamente a los modos de vibración más bajos. De aquí que, esta diferencia puede atribuirse al hecho de que en el modelado numérico de la estructura empotrada se simuló restricción total de movimiento, en cada u n a de las bases de ésta, como condición de frontera; mientras que, en la estructura real esta P6g. 64 * Análisis de resultados s . . condición de frontera n o ' s e alcanza en su totalidad (fijación mediante u n conjunto espárrago-tuerca de media pulgada). Resulta fácil deducir esto, puesto que el incremento de la rigidez en las bases de la estructura empotrada origina un valor de frecuencia natural de 36.152Hz para el modelo numérico; en tanto que, el aumento de la rigidez en las bases de la estructura real es menor, por lo que se alcanza u n a frecuencia natural menor con valor de 30.231 Hz. Además, hay influencia de la fricción (causada por el contacto entre el suelo y las bases de la estructura real) sobre los modos de vibración. Esto se deduce por la observación de u n ligero incremento, en general, de los factores de amortiguamiento modales de la estructura empotrada con respecto a los de la estructura libre (ver tablas 3.2 y 3.3). Pag. 65 Análisis de resuliados A parte de la notable diferencia del primer modo identificado, se h a obtenido muy buen acuerdo entre los valores de las frecuencias naturales identificadas del modelo numérico y los de la estructura real. En los resultados de la tabla 4.2, se observa que el modelo numérico predijo 4 modos de vibración que no fueron encontrados en la estructura con el experimento modal. También del experimento modal se obtuvieron otros 4 modos de vibración que el análisis numérico por elementos finitos fue incapaz de predecir. La aparición de estos .modos de vibración en la estructura r e d se atribuyen a la pequeña asimetría que posee la estructura (ver sección 4.3).y probablemente a influencias de la soldadura. 4.3 OBSERVACIONES GENERALES Se h a podido observar la existencia .'de buena correlación entre los parámetros modales del modelo numérico y de la estructura real. Por lo que el modelo numérico desarrollado en esta investigación puede ser tomado como base para rediseñar la estructura, en caso de ser necesario, para alguna investigación futura. Con respecto a las frecuencias naturales, las diferencias obtenidas no excedieron el 3 YOen la mayoría de los casos. Debe reconocerse que existen varios factores por los que la estructura r e d y sus soportes difieren del modelo numérico. Ejemplos de estos factores son: a) la fricción por el contacto entre las bases de la estructura y el suelo, b) los perfiles con los que está construida la estructura real pueden tener esfuerzos residudes debidos ai corte y a la soldadura. Además, estos perfiles pueden diferir en geometría con respecto de la configuración idealizada utilizada en el modelo numérico. Más aún, las propiedades mecánicas de los perfiles (densidad, módulo de Young y módulo de Poisson) n o fueron medidas a partir de los elementos de la estructura. Estas propiedades utilizadas en el modelo numérico fueron tomadas de la base de datos de ALGOR v.12 para un acero ASTM-A36 y estas pueden diferir de las propiedades reales. En la experiencia de algunos autores (Singal et al., 1992) estos factores pueden fácilmente introducir una diferencia de 3%. Otro factor qu'e provoca un pequeño grado de diferencia, entre los resultados del modelo numérico y los del experimento modal, es que las propiedades de Pág. 66 amortiguamiento son generalmente artificiales u omitidas en su totalidad (como en esta investigación) por el análisis de elementos finitos. En secciones anteriores se ha mencionado que la estructura posee cierto grado de asimetria. En esta investigación se llegó a esa conclusión mediante el análisis visual de las funciones de receptancia experimentales, donde se observaron diferencias en la forma de las FRF's entre elementos homólogos y en la cantidad de modos presentes en dichos elementos. Esto puede deberse a pequeñas diferencias en la geometría de los elementos, a pequeñas fallas en las uniones soldadas y esfuerzos residuales en algunos elementos. En las figuras 4. I y 4.2 se muestra u n comparativo de dos funciones de receptancia medidas en los elementos homólogos 1 y 8 de la estructura empotrada (ver figura 3.6, sección 3.2.3)para el mismo nodo, a) elemento 1 b) elemento 8 Figura 4. I : Funciones d e receptancia (nodo 51,dirección X (estructura empotrada) nx ,/ ' ' . ' ib a) elemento 1 b) elemento 8 Figura 4.2: Funciones d e receptancia (nodo 51,dirección Z (estructura empotrada). Lo anterior explica, de alguna manera, la existencia de modos de vibración obtenidos en el experimento modal que el modelo numérico no fue capaz de Pug. 67 Atiálisis d t rcsu!!ador predecir, puesto que éste fue considerado simétrico tanto geométricamente en las propiectades de los materiales (material isotrópico). De las observaciones anteriores se hace evidente que el método de elementos finitos predice las características de vibración por medios teóricos de manera que ninguna instalación experimental se necesita. Este puede emplear un gran número de,coordenadas de manera que. las características de vibración pueden ser descritas en detalle y pueden cubrir u n amplio intervalo de frecuencias. En adición, puede ser usado en la fase de diseño para predecir el comportamiento vibratorio de una estructura futura y, posiblemente, modificar el proyecto original. Sin embargo, debido a la crucial complejidad de las estructuras reales y especialmente las uniones entre los componentes, el modelado de la masa y la rigidez pueden resultar imprecisas o incorrectas. Por otro lado, se supone al experimento modal como el que identifica las características de vibración reales de una estructura (dentro de los límites de precisión de la medición). Sin embargo, debido a la información limitada que puede ser medida en el experimento modal se obtiene, generalmente, una descripción incompleta. Finalmente, cabe destacar que el valor del primer modo de vibración medido en la estructura empotrada (30.231Hz) da una explicación al problema de medición que encontró Martinez (1999) en su investigación del fenómeno de impacto en vigas. Como se menciona en el estado del arte, Martinez (1999) observó que cerca de la zona de 30Hz existía u n salto en la frecuencia provocando que no se tuvieran lecturas'en la medición del fenómeno de impacto. Él consideró que este salto podría ser provocado por algún parámetro del sistema. En efecto, la causa de este fenómeno se debió a que Martinez (1999)utilizó u n a excitación que alcanzó la frecuencia natural de la estructura haciéndola entrar en resonancia y, de esta manera, vibrar en su primera frecuencia natural. Por tanto, el comportamiento dinámico de la estructura tenía influencia directa en las mediciones realizadas en esa frecuencia especifica. Lo anterior comprueba la importancia de conocer el comportamiento dinámico de las estructuras y de esta manera establecer los intervalos de trabajo en los que las estructuras son seguras. Pág. 68 De la tabla 4.2, se puede concluir que el intervalo de trabajo seguro de la ... . estructura para realizar pruebas de vibración es: de OHz a 20Hz y de 5GHz a 85Hz, dando u n margen de lOHz antes de alcanzar alguna frecuencia natural. La estructura presenta gran densidad modal desde 94Hz hasta 200Hz. Por tanto, las pruebas de vibración realizadas sobre la estructura utilizando frecuencias excitación dentro de este intervalo, se verían influenciadas por el comportamiento dinámico de la estructura. En la siguiente sección se presentan ejemplos de rediseño de la estructura para modificar sus parámetros modales. 4.4 EJEMPLOS DE REDISENO DE LA ESTRUCTURA En secciones anteriores se h a comprobado que el modelo por elementos finitos de la estructura para pruebas de vibración presenta los resultados de los modos de vibración con suficiente aproximación a los modos de vibración de la estructura real. Por tanto, este modelo puede ser utilizado para realizar modificaciones a la estructura y predecir su comportamiento. La ventaja de utilizar el modelo por elementos finitos para modificar la estructura es que se pueden realizar diferentes modificaciones sobre el modelo para obtener una respuesta esperada. Esto evitará que las modificaciones de la estructura sean realizadas de manera fisica hasta que el modelo modificado por elementos finitos presente la respuesta esperada, dando como resultado ahorro de tiempo y ahorro económico. Enseguida se presentan dos ejemplos de posibles opciones de rediseílo de la estructura para pruebas de vibración con la finalidad de modificar sus parámetros modales. Es necesario subrayar que estas dos opciones representan la posibilidad y facilidades de poner las modificaciones sobre un modelo discreto de elementos finitos (cuando éste existe). En esta forma se facilita el diseño conceptual o rediseílo de una estructura o sistema mecánico. En la figura 4.3 se presentan los modelos por elementos finitos de las dos modificaciones realizadas a la estructura. La figura 4.3a presenta el modelo de la estructura al cual se le quitaron las soleras inclinadas en su parte superior (modificación 1). La figura 4.3b presenta el modelo de la estructura al c u d se le agregaron dos placas de acero estructural de un cuarto de pulgada. Pág. 69 : Aiidisis de resultados Figura 4.3: Modelos por elementos finitos d e la estructura rediseñada: a) disminuaóii d e ngidez (modifcaciónl), b) incremento de masa (modificación 2). En la tabla 4.3 se presentan los resultados de las frecuenc'ias naturales de las estructuras rediseriadas. Estos valores se obtuvieron del análisis de vibración libre realizado sobre los modelos por elementos finitos presentados en la figura 4.3. Tabla 4.3: Frecuencias naturales d e los modelospor elementos finitos d e la estructura. Estructura empotrada Modificación 2 Modificación 1 Frecuencia natural [Hz] . Frecuencia natural [Hz] Frecuencia natural [Hz] 36.152 26.743 18.294 39.728 32.175 20.206 57.012 41.919 27.824 101.108 10 1.O37 53.856 105.601 104.958 59.730 110.040 109.591 60.61 1 117.579 109.808 6 1.488 126.610 112.285 73.591 140.878 115.583 100.655 153.670 130.553 108.310 Enseguida se presenta el análisis de los resultados de ambos modelos. 4.4.1 ANALISIS DE RESULTADOS DEL PRIMER REDISEÑO El primer rediseño de la estructura se logró mediante la eliminación de las cuatro soleras inclinadas soldadas a la estructura. Con esto se consiguió la disminución de rigidez en la parte superior de la estructura. Pág. 70 Ariálisls de resulfadm Los efectos del cambio de rigidez en la estructura se presentan en la columna dos de la tabla 4.3, donde Se observa disminución de los valores de las frecuencias naturales con respecto al modelo de la estructura empotrada. Estos resultados eran esperados, puesto' que la disminución de rigidez en u n sistema provoca que las 'frecuencias naturales disminuyan s u valor. Esta modificación resulta útil, por ejemplo, para el caso de que se requiera excitar la estructura alrededor de los 60Hz. 4.4.2,ANALISIS DE RESULTADOS 'DEL SEGUNDO REDISENO El segundo rediseño de la estructura se logró mediante la colocación de dos placas de u n cuarto de pulgada en los extremos de la estructura. Con esto se consiguió u n incremento de masa en la estructura para provocar u n decremento mayor de las frecuencias naturales de la estructura. Los resultados de las frecuencias naturales se presentan en la columna tres de la tabla 4.3, donde se observa que efectivamente hay un decremento mayor en las frecuencias naturales de la estructura. Sin embargo, tambien se observa que hay un incremento en la densidad modal de la estructura. Esto se debe a los efectos provocados por el comportamiento dinámico de las placas soldadas. Se concluye que esta modificación no es u n buen rediseño de la estructura porque disminuye su intervalo de trabajo. Cabe mencionar que las modificaciones propuestas no tienen una finalidad específica; sino que sólo se presentan como ejemplos para ilustrar la utilidad de contar el modelo por elementos finitos de la estructura. Las modificaciones de la estructura pueden realizarse en el modelo por element.os finitos hasta que se obtenga la respuesta esperada. Esto evita pérdidas económicas, ya que las modificaciones a la estructura real solo serán realizadas cuando se haya obtenido la respuesta requerida del modelo por elementos finitos. En este capítulo se realizó el análisiS.de los resultados obtenidos del U S O del método de elementos finitos y del método de análisis modal aplicados a la estructura para pruebas de vibración del laboratorio de Ingeniería Mecánica del Cenidet. Además, s e presentaron ejemplos de modificación del diseno del modelo de la estructura para cambiar sus parámetros modales con el uso ALGOR v.12. En el siguiente capítulo se presentarán las conclusiones y recomendaciones obtenidas de esta investigación. Pág. 71 Conduszories y recomendaciones Capítulo 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIOAES En la investigación presentada se desarro116 el programa propio de cómputo MEPFRAl para el monitoreo e identificación dinámica de estructuras y sistemas mechicos. El programa MEPFRA1 se basa en el método polinomial de fracciones racionales (RFPM) para estimar los parámetros modales de estructuras y sistemas mecánicos. Para evaluar el desempefio del programa MEPFRAl, se realizó el análisis modal de una estructura soldada que se utiliza para realizar pruebas de vibración en el laboratorio de Ingeniería Mecánica del Cenidet. Este trabajo consistió en u n experimento modal sobre la estructura con dos condiciones de frontera diferentes. La primera fue la simulación de condición de frontera libre sobre la estructura, es decir, sin restricción alguna de movimiento. Para simular la condición libre, fueron utilizadas do's técnicas diferentes. La primera consistió en suspender la estructura sobre esponjas comerciales de baja rigidez (ver figura 3.5a, sección 3.2.2); en la segunda técnica se colgó la estructura con dos suspensiones diferentes: u n a por medio de ligas comerciales cuya rigidez es baja (ver figura 3.5b, sección 3.2.2) y la otra mediante cuerdas de nylon de 40kg de resistencia (ver figura 3.5c, sección 3.2.2).La segunda condición de frontera fue la fijación que proporciona u n conjunto espárrago-tuerca de media pulgada de diámetro que sujeta, en cada una de sus cuatro bases, a la estructura en su lugar de trabajo. Pág. 1 2 .~ . . Conclusiones y recomendaciones El experimento modal se realizó mediante la excitación de la estructura con un martillo de impacto y la técnica de medición utilizada fue la de referencia única (SISO). Los resultados obtenidos de las tres formas de suspensión de la estructura para la simulación de la condición de frontera libre fueron consistentes, demostrando así su gran utilidad (ver sección 3.4.I ) . Para verificar los resultados del programa MEPFRA1, se desarrolló un modelado numérico de la estructura utilizando el método de elementos finitos con el software comercial ALGOR v.12 para obtener sus frecuencias naturales y formas modales a partir del análisis de vibración libre. De la misma forma que en el experimento modal, la estructura fue modelada con dos condiciones de frontera diferentes: una llamada estructura libre y la otra llamada estructura empotrada. La estructura libre se analizó sin restricción de movimiento alguna. La estructura empotrada se analizó con restricción total de movimiento en cada una de sus cuatro bases; esta condición de frontera simuló la condición real de trabajo de la estructura. Los resultados de ambas aproximaciones, numérica y experimental, en general presentan buen acuerdo; por lo que el modelo numérico desarrollado en esta investigación servirá de base para el rediseño de la estructura, de ser necesario, en futuros trabajos. La estructura fue caracterizada dinámicamente dentro del intervalo de OHz a 200Hz. Por lo que se establece que el intervalo de trabajo seguro de la estructura para realizar pruebas de vibración es: de OHz a 20Hz y de 50Hz a 85Hz, dando u n margen de lOHz antes de alcanzar alguna frecuencia natural de la estructura. La estructura presenta gran densidad modal desde 94Hz hasta 200Hz. Por tanto, las pruebas de vibración realizadas sobre la estructura utilizando frecuencias excitación dentro de este intervalo, se verían influenciadas por el comportamiento dinámico de la estructura. Se estableció una metodología para realizar pruebas que permiten caracterizar dinámicamente estructuras y sistemas mecánicos mediante el análisis modal. Además, se presentó el modelado de la misma estructura por el método de elementos finitos utilizando ALGOR v. 12 Pág. 73 - ConchSiones recorneridaciones Se verificó Y comprobó teórica., nLImer1Ca y experimentalmente la utilidad del Programa MEPFRA1 para el proceso de identikcación dinámica de estructuras, sistemas y elementos mecánicos. La implementación del programa MEPFRA 1 constituye u n ahorro económico importante, puesto que en la actualidad el software comercial existente de análisis modal es muy caro. El programa MEPFRA 1 puede aplicarse para: 1. Aplicación didáctica en los institutos tecnológicos para que los estudiantes tengan u n a mayor comprensión del fenómeno de vibración en las estructuras y sistemas mecánicos y adquieran experiencia práctica en las mediciones. 2. Aplicación en los estudios, de vibraciones de sistemas y elementos mecánicos, realizados por los profesores y estudiantes de maestría y doctorado del Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet. 3. Dar servicio, por parte del Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet, de monitoreo e identificación del comportamiento dinámico de sistemas mecánicos y estructuras en la industria. Esto dará u n beneficio económico a Cenidet. 4 . Obtener beneficio económico vendiendo el código del programa (sin Matlab V.S.1) y dando asesorías. Como aportación al Cenidet, en esta investigación se diseñaron y construyeron unos soportes de acero estructural que sirven para suspender objetos, que v a n a ser medidos experimentalmente, con la finalidad de modelar la condición de frontera libre. Los soportes permiten colgar las estructuras, sistemas y elementos mecánicos (o sus modificaciones futuras) de hasta 150kg, con el objetivo de identificar su comportamiento dinámico en la base del análisis modal y el programa MEPFRA1. En el apéndice A se presenta el dibujo técnico de estos soportes. Se recomienda que en el futuro se implementen nuevas rutinas al programa MEPFRA1 para que pueda estimar parámetros modales de estructuras y sistemas mecánicos con otros algoritmos, como: el método exponencial complejo, el método de Ibrahim en el dominio del tiempo y el método de Hilbert. Además, se recomienda que el código del programa sea codificado en 'otro lenguaje, como: Fortran o C, para reducir el costo de adquisición del programa; PIg. 74 Conclusiones y recomendaciones ya que el paquete de Mstlab es más,caro que los paquetes de programación antes mencionados: AGRADECIMIEhTO Finalmente, se expresa el agradecimiento por el apoyo financiero recibido por parte de COSNET, para el desarrollo de esta investigación, dentro de los proyectos: No. 633.99.00-PR, No. 633.99.00.01-PR y No. 430.02-P. Pág.7s Bibliografía A1lemangR.J. and D.L. B r o l n , 1993, Experimental Modal Analysis, Handbook on Experimental Mechanics, Second Revised Edition, SEM, VCH Publishers, I ~ ~ . , U.S.A. Bathe, 1982, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice Hall, New Jersey, U.S.A. Benzley S.E. et al., “Pre- and Post-Processing for the Finite Element Method”, Finite Elements in Analysis and Design, Volume 19, pp. 243 - 260. Cid A. 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Pag. 78 Apéndice A En el presente apéndice se presenta el plano técnico de los soportes de acero estructural construidos para lograr la simulación de la condición de frontera libre. .. -~ . . ~ . ...... .. ... .~ .. ...-. - .- ~ ~ . .. .. .. . ... , C6x 10.5 2 Piezas m .t d . . . -\ ~. ~.---: Ing. Jesus Medina Acotaciún: mm -. . . .. (excepio indicaciones) Re,,iso: ~~ ~ Cervantes .. ~ . CENIDET ~ Escala. 1:5 Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik . ~ ~ .~~ ~~~ Estructura C6x10.5 ~ ... ~ .- ~ ~. .. . . ~ ~ - AC6 01.03.02 ~ . Pág. 19 Apéndice B VALIDACIÓN TEÓRICA DEL PROGRAMA MEPFRAl Antes de utilizar el programa MEPFFL41 para ajustar las curvas FRF experimentales, fue necesario validar la precisión del programa para obtener los parámetros modales y especialmente la precisión del factor de amortiguamiento puesto que para las FRF's experimentales no se tiene modo de verificación de este parámetro. Para validar la precisión del programa se construyeron funciones de receptancia a partir de modelos teóricos. Enseguida se presentan tres ejemplos y los resultados correspondientes al ajuste de curvas realizado. EJEMPLO 1 . OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO: Fuente: De Silva C. W., 1999, Vibration, Fundamentals and Practice, CRC Press, U.S.A., pp, 48, 49 y 115. DATOS: m=4kg ~ 1.6 x IO3 N/m N s/m Solución: k - 1600 k c = = 80 w,, = , nl r =2 m,,c 4 = 20 rad I s = 3.183 Hz. 80 = 0.5 = 50% 117 2(20)(4) Con esta información es posible construir la función de receptancia: - Pág. 80 Para w con valores de OHz a lOHz (62.831 rad/s). Enseguida se muestra el ajuste de curva realizado con el programa MEPFFV.1: Fase Frecuencia Natural (Hz) 3.183 Factor de Amort. Fase (Grados) 89.999 (YO) 49.999 desviación Estándar 4.115 e-10 JMEMPLO 2. DOS MASASCON A MORTIGUAMIENTO . Fuente: Ewins, D.J.,1995, Modal Testing: Theow and Practice, John Wiley & Sons, Great Britain, pp. 42. (Nota: El problema fue modificado para agregar amortiguamiento viscoso). m,= m2= 1 ko .. .. m, k,= k?= k; = 0.4 Mh'iili c , = cj= 20 Nsírn c2= 40 Nsiin Para este sistema de dos grados de libertad, las ecuaciones de movimiento son: tit, X,+(C, X ? + (c, +c,).~I-(c2)x?+(kl + ,,)X2- (C,)X,+ (A, +k,)X] -(k,)X2 + k 3 ) X' =f, - ( k , ) XI = f, Pág. 81 Ap&dicc B - 40 1 0 - 0.4 (A4N I ni) 0.8 Considerando vibración libre, es decir, {,f(/)}={O} y asumiendo que existe u n a -40 solución de la forma {.(I)}= {*}e'"' 60 - 0.4 i"1 x = -o2{ x } e r W ' ; por tanto, e s claro que Esto da como resultado la siguiente ecuación del sistema no amortiguado: ( [ K I - w ? [M])x-}e'"'= {o} Para ia cuál existe u n a solución no trivial, solo si: det'[K]- U' [A41 = O Sustituyendo valores, se tiene: a.sXio6 (s2)e'"' - 0 . 4 ~ 1 0 ~ 0.8~10' 0 . 8 ~ 1 0-~0' det [ ] - 0.4~10' ]{(xI)e'"' - 0 . 4 ~ 1 0 ~ 0.8~10'-coz 0 . 8 ~ 1 0-~co2 {;I - 0 . 4 ~ 1 0 ~ (]x{I ) é c d f } = = (x2)e'"' - O.4s1O6 -0.4~10~0.8~10 -0' ~ Resolviendo para obtener las raíces del polinomio resultante, se tiene: = 4x10' uad/s w: =12x1O5uadis Para hallar las formas modales, se sustituye uno a uno el valor de o; y W; en: 0 . 8 ~ 1 0- ~ a 2 - 0.4~10' ]{(X,)}={o] - 0 . 4 ~ 1 0 ~ 0 . 8 ~ 1 0 '- w' (X2) Por tanto para o,',se tiene: })F{ 0.8~10'-4~.lO' - 0.4~.10' ]{("I)} = - 0.4~10' 0.8~10"- 4 ~ 1 0 ~( X 2 ) 0.4.1-1O6 - 0.4~1 O']{(*,)} = - 0.4.x106 0 . 4 ~ 1 0 ~(X?) io) Póg. 82 resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas: .II= 1 .Y, '= 1 Para o!;, se tiene: 0.8~10'- 12.~10' - 0.4~10' -0 . 4 ~ 1 0 ~ ]{(xI)} O.XS10' -12x105 ( X * ) - {O] - 0 . 4 ~ 1 0 ~- O . ~ X ~ O ~ ] { ( ~ ~ ) } ~ { ~ } - 0 . 4 ~ 1 0 ' -0.4~10' (I?) resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas: =I x? --I Así, las matrices eigenvalor y eigenvector son: XI o 12s105 Las frecuencias naturales en Hertz, son: .fl = 12.XlO' 27r = 174.345 Hz. Para obtener la matriz normalizada de las formas modales matriz de masa, se tiene: [@I con respecto a la PI' [ A 4 1 [ . 1 = [ 4 NI' [ C I [ ~ l [c, = 1 de donde: Ademas, la matriz eigenvector normalizada con respecto a la masa tiene la propiedad de: [ A 4 ] [ 0= ] [I] Sustituyendo valores, se tiene: 2 0 [&Ir Pág. 83 La forma modal normalizada es: 0.707 0.707 0.707 -0.707 El factor de amortiguamiento modal es: 6 = C.I. 2 o,171, ~~ 2[6320455 <=- Por tanto: ~~~ ~ ~~ I[’ O 1095.445 O O] 2 = [ O ’ 0.0456 < ,=1.58% < ?=4.56% Con esta información se construye la función de receptancia: b., b k J h’ r . . .~ I (0.7071)(0.7071) . ... = (4x1Oi-o2 +2(j)(0.0158)(632.455)~) ~ ~~ ~ G(”” ~ (0.7071)(0.7071) + (12;]0 -I.;’+ );(: (0.0456) ((095.445) o) ~~ 0.5. -. 0.5 . . .~+ . . = (4x10’ - o 2+(j)(19,985)w) (12xi05 - o 2+(j)(99.904) . ~ G(”’’ =74%’ ~ ~ w) (0.7071)(0.7071) ~. - w 2 + 2(j)(O.OiSS)(632.455)~) . ~ ~ Paravalores de w de OHz a 210Hz (1319.468rad/s) Enseguida se presenta el ajuste de curvas realizado con el programa MEPFRA 1: P l g . 84 . Ayeiidicc B Para G ( j a), I se tiene: 111' /Y, Fase Magnitud ,os resultados obtenidos son: 1 Fact. Amort. 1 CeceDtancia 1 Frec. Nat. (Hz) 1 100.659 I 174.348 100.659 ( YQ) 1.5i9 Constante Modal 0.498 Fase Desv. 8.54 le-9 4.560 89.960 I I 9.538 e-9 1. Gráfica d e las formas modales Pag. 85 - Apéndice B EJEMPLO 3. TRES MASAS CON AMQRTIGUAMIENTO: Análisis modal de sistemas de varios grados de libertad. Fuente: Ewins, D.J., 1995, Modal Testing: Theorv and Practice, John Wiley 8: Sons, Great Britain, pp. 58. (Nota: El problema fue modificado para agregar amortiguamiento). i m3 = 1.05 kg. m l = 1.0 kg. m2 = 0.95 kg. k l = k 2 = k 3 = k 4 = k S = k 6 =lOOON/m. c2 = c3 = 20 Ns/m. c3 = 80 Ns/m c l = 100 Ns/m. Empleando la metodología de solución mostrada en el ejemplo número dos, se tienen los siguientes resultados: a) Frecuencias naturales: 31.613 O O 5.031 O O u=[ O I=[ u 62.385 O ]rdís=[ O O 64.216 b) Factores de amortiguamiento modales: 0.0270 O O 2.700 ~ 0.0118 o ' O 0.0112 O O 9.08 , o ~ 2 ~ H e r t z O 1.180 o O % O 1.120 c) Formas modales normalizadas con respecto a la masa: 0.9838 0.8214 2.5792 - 0.2933 -3.8773 1.0260 0.9759 d) Con e s t a información s e construye la función de receptancia: ' - Pág. 86 - :/ ApYtidice B , . (1>.9838)(0.9838) G(iw)" = (399.4-w' +2(j)(0.0270)(31.613)w) ' (0.9838)(- 0.8214) + ( 3 8 9 1 . 9 - ~ ' + 2(~j)(0.0118)(62.385)~) ~ + (i12317 - (0.9838)(2.5792) .. ... . . . .- -u' +2(,j)(0.0112)(64.216)w) 2.5374 - 0.8080 0.9678 .. + . - . . + . .. 1999.4- w' + 1.707(j)w) (3891.9 - o 2 + ~ l . 4 7 2 ( j ) w ) (4123.7 -u' + 1.438(i>w) ~ ~~ (0.9669)(0.9669) =1~ - i + 2(j)(0.0270)(31.613j~) G(jw)?l (0.9669)(- 0.2933) ~. . . .. -. -. + (q891.9 - w + 2 (j)(O.Oi 18)(62.385)w) (0.9669)(..3.8773) ~~ ~~ + (4123.7 - o 2 + 2(j)(0.0112)(64.216)~) - 0.9348 - 0.2835 ... .+ . -. ... . . + 1.472(,)@) (igi- w 2 + 1 . 7 0 7 ( j ) ~ ) (3891.9 ~ + - . (1)(0.9759) ~ - ( ~ 9 9 . 4 ~ - 0 +1.707(j)w) ' - 3.7489 (4123.7 + 1.438());) ..... ~ ~~~ (4123.7 -0' +2(,j)(0.0112)(64.216)~) 1 1.0260 ~~. + ~~ + ~~ (3891.9-w' +1.472(j)w) + ... 0.9759. ~-~ . . ~ (4123.7 - w ' + 1 . 4 3 8 ( j ) ~ ) Para valores de w de OHz a 13Hz, aproximadamente 82 r a d / s . Enseguida se presenta el ajuste de curvas realizado con el programa MEPFFU1: Pág. s7 - .Apeiidire B - Para G ( j u),I se tiene: ,.CUI*" I"?, ID (2 Magnitud Para ~ ( j w ) , se , tiene: ,O' re .r.,y.".iO". .M rR .p'io<rF*.""ll Para G ( j u ) ) ,se tiene: Pug. 88 Apetidice B Los resuitac 9 obtenidos Frec. Nat. ( Hz ) 5.031 9.928 m: Fact. Amort. 9.928 Constante Fase 1.119 2.699 1 . 0.8081 -2.5375 -0.9352 Desv. +-+ t---I--1.180 10.220 5.031 1 30.020 -90.000 -90.000 149.750 I / 1.9727 e-8 1.9764 e-8 90.000 -90.000 9.928 1.180 - 1.0260 10.220 - Om? E.0 0 , - -.-- \ Gráfica d e las fomias modales. Los resultados obtenidos de los 3 ejemplos teóricos demuestran la eficacia y precisión del programa MEPFRA1 para estimar cada uno de los parámetros modales, con lo que queda amp1iamente.validado. Además, debe notarse que se presentaron 3 ejemplos con diferentes características, en los que el programa MEPFFY.1 demostró lo siguiente: En el ejemplo 1, se demostró y verificó la capacidad del programa para estimar la frecuencia natural y amortiguamiento modal de u n alto porcentaje. En el ejemplo 2, se demostró y verificó la capacidad del programa para estimar las frecuencias naturales, amortiguamientos modales de porcentaje bajo y su habilidad para estimar las constantes modales. Pág. 89 1 1 Por último, en el ejemplo 3 ' s e demostró y verificó la capacidad y precisión del programa para estimar las frecuencias naturales, factores de amortiguamiento modales y constantes modales de u n sistema de varios grados de libertad, donde destaca la habilidad del programa para detectar con enorme precisión la presencia de "modos acoplados" (modos muy cercanos). Para la construcción de las FRF's teóricas se utilizó u n programa propio, elaborado en matlab v.5.1. Enseguida se presenta, como muestra, el código del ejemplo 2, presentado en este apéndice. utilizado para crear G ( j a)?, .................... clear cl c close all hidden $%%%%%a%%898a%8b868%%8~ 1s 'dat disp1'Escribe entre cotas e l nombre de los Catos seleccionadoslno escribas la extension)') datos = inpui,("); frf = load (sprintf('%s.cat',ditos)); for n = 1 : 4 2 1 frfl i n , 1)= (0.7071)(0.7071)/1( 1 ~ 5 (frf( n , 1) *2+pi)^2)+(2'1*0.0158.~632.455* (frf(n,l)*Z*pi) ) ) ; frfZ(n,i)= (0.7071)(-0.7071)/((12e5;frf(n,l)*2*pi)?2)t(2*i*G,G456*iO95.~45+~frfln,l~*~+pi)~~; end frf 1 : ,Z)=frfl( : , l)+frf2(;,1); diary (sprintf('frf_resultados.m'i) diary on % &riendo el diario formit long g resp = [ frfl:,Z) I diary o f f % Cierre O s 1 diario sprintfi' El o r c h i -s o d e silida es f r f -resu1tados.m') .................... Pug. 90 -~ .. . Aperidice C Apéndice C CdDZGO DEL PROGRAMA MEPFRAl %METODO POLINOMIAL DE FRACCIONES UCIONALES (RFPM): AJUSTE DE CURVAS %Programa realizado p o r : Ing. Jesus Medina Cervantes. %Fecha: 24 de Noviembre d e 2001. %NOTA: L a s funciones INVFREQS y FREQS, fueran tomadas de %The Math Works, Inc. clear clc; clf; hold off; close all hidden forniat long SZb~eF%S%EBE%g%ra-6%%b$t%eeS$S6S%6Sori-h~?~~~aZg~~?~%%%~8g%~%~? % . S t $ & % % %ELECCION DEL TIPO DE AJUSTE I S 3 S e ~ ~ , ~ a % % S % e e e E P % % $ % E S % % seleccionl = nenu('EL1GE EL TIPO DE AJUSTE:','UNA FRF','VARIAS FRF'S'); ESolY%eeá%egC%6IEeS%B~~%%%~%~.~F~%%~~%~~eg$ggge~.%g~F%%~%%~% %g%%?%SEí%% ELECCION: UNA FRF ? % % e ~ ? ~ F t e h 8 6 ~ e e % B 9 e % ~ ~ % # % ~ ~ % ~ ~ ~ , if seleccionl == i 1s Ydat metodo = 'rfpm'; dis?('Escribe entre cotas el nonbre de los datos seleccionados(no escribas la'eztensián)') d a ~ o s= input ( " ) ; bueno= ' n o ' ; while bueno== ' n o ' frf = load (sprint:('ks.dat',datos)); [r,cl = size(frf); .. _ c ==3 I L d i a r y (sprintf('%s-~s_resultados.m',metodo,datos)) d i s p [ ' AJüSTE DE. CURVA: METODO POLINOMIAL DE FG.CCIONES R W I O N A L Z S ' sprintf('\nArchivo Seleccionado: Ys\n',datos) frec = frfi:,i); d f = f r e c ( 3 ) - frec(2); frf = frf(:,2) i iyfrf(:,3); VJ -T R = lengrh(frfj; [< = j p,; TR; - end S----------r5p-ocificando el intervalo de frecuencia del i i j v s f e de la cs;.L,* --________- s disp('Seieccioniindo el intervalo de Frecuencia deseado:') seleccion2 = menu('Elige el modo de selección del intervalo d e frecuencia:','Dar un plinto en la grafica','Escribirlo'); . _ i i seleccion2 == 1 I ' pug. 91 figure 1.1) semilogylfrec li :II - TR) , abs i frf il:W-T2) ) ) xlabell'frecuencia: I iiz 1'); ylabel('Loq Magnitud: lg/El'i; title('Se1ecciona el primer penco (frecuencia ninina)') [x-frml,y]=ginput ( i ! ; figure ( 1 ) semilogy (frec ( 1: i r ? -TR) , abs (frf( i : W-TR) i ) xlabeli'frecuencia: I H z 1 ' ) ; ylabei('Log Magnitud: [g/Nl'!; title('Se1ecciona el segundo punto (frecuencia máxima) ' ) [W TR,yl=ginput (1); sp;intf ('El intervalo de frecuencia seleccionado es: \n\tf+ec Minima = X8,4g\n\tfrec Maxima = %8.4g',x-frml,W-TR) . else figure ( 1 ) semilogy(frec(l:W_TR),abs(frf( 1 : W - T R ) ) ) titlei'FRF experimental'); xlabeli'frecuencia: [ Hz 1 ' ) ; ylabel('Log Magnitud: [g/N! ' 1 ; x-frml = input('Frecuencia Mínima (Hz): ' 1 ; W TR = inputl'frecuencia Máxima l i i z ) : ' 1 ; sprintf ('El intervalo de frecuencia seleccionado es:\n\tfrec Minina= %d\n\tfrec Maxima= %d',x-frml,V-TR) end % E % % % Ahora se aisla el intervalo de Frecuencia %I,%%% x frml = round((x_frmi - min(frec))/df t I ) ; W-TR - = round((W-TR - min(frec))/af t 1); frf F1 = ones(x-frml-l,l); % Ahora se ponen unos a t e s de los componéntes FRF aislados frf-F l ( x-frrn1:W-T R ) = frf(x-frm1:W-TR); 6 componentes FRF aislados fr: F i (W- TSt1:N) = ones(N-(W-TR),l); f Ahora se ponen unos despues de los componentes FRF aislados . %---------------------% frf = frf F1; clear frf-Fl E h S % S E a % % B & € S % % E ~ $ I b % ~ ~ % ~ ~ ~ ~ E € ~ ~ , ~ k ~ ~ % % ~ ~ % ~ ~ S S % S e dan los grados de libertad para el numerador y f S S para e l polinomio caracteristico (denominador) figure ( 2 ) 5, s +, subplot ( 2 , 1 , 1 ) semilogy(frec(x-frm1:W-TR),abs(frfix-frmi:W-TR))) title('FRF ex-erimental: intervalo Seleccionado para el ajuste'); xlrbeli'frecuencia: [ Hz 1 ' ) ; ylabel('Log Magnitud: [ q / E j ' ) ; subplot 12,i , 2) p?otlfrec(x-frml:V?-TR!,irnaglfrf(x-frrn1:h-S R ! ) ! ri:le('GrSiica de picos ?ara establecer el número de frecuencias'); xiabel('3ecuencia: L H z 1'); yiabelI'Farte Imaginaria: í q / S l ' ) ; dofc = input(';Cuan?os grados de libertad para el Denominzdor?: (núnero de frecuenciasl'l; % E E L ! O F dcnominador dofn = input(';Cuantos qrrios d e iibertad ?ara el Numerador?: (ncmero de residuos)'); % % E D O F numerador diary o f f h Cierre del Oiario 6 5 s i i. € s 6 E % 'a % F. r, E 5 k E € % . E % % P,it 5 i .! SP c E i 9, % 9, a *. % t 'r r %. b b % a %-------------procesamienro de 10s Datos - - - - - - - - - - - - - - % Pág. 92 ., Apéivficc C ii L s % b %. % % $, e % 5 % % % 8s. zE- 3 2'pi*frec(x -frm1:X-?F.) ; i i Convirtiendo la frecuencia a rad/seg E% C Escalando la frecuencia O f O a i % Dividiendo por la frecuencia nzxima wi = w/max(w) ; /a c t o- % % n= grado del polinomi? Oei n.umerador n = dofn'2; %5%%6 d= grado del polinomio característico d = dofd'2; wt = ones (1,length (frf (x-frml:i,J-?Rl 1 ) ; iter = 50; % '6 9, % 9. P % '.. % 6 % s. E P, 6 P, +. 6 % h:= to1 =o; Calculo de los residuos y polos de la fraccion racional % % % (A,3] = invfreqs (frf ( x frml:W-TR), wi,n,d,wt,iter,toll ; IR-rip,p-rfp, K] = residue ( A ,B ) ; B Residuos y Polos, respectivamente % P o--Calculando la Frecuencia Natural y el Factor de Pmorticuamiento - %%% --% Factor >mort -rfp = (-real[?_rfp)./(abs(P-rfp))l+lOO;Renporcentaje del amort. critico 6 Ahora la frecuencia natural es multipiicada por 8 la frecuencia maxima debido a que las frecuencias fueron 6 escaladas de O a 1 para evitar problemas en % la funcion "invfrecs.m" F N rfp = abs[P-rfp)'rnax(w)/[Z*pi);e% convirtiendo la frecuencia a ii.ert; E% %á%%%6%6%6%%%%ChS calcuiando $%% las formas modales F % % % % % % S % % % R % % % % AX= real (R-rfp) 'max í w ) ; 4 X = imaq(R-rfp)+max(w); 6 % % CM= constante modal y fase= Fase a e la constante modal CM=( í ((AX.-2)t ((EX.'abs ( P - r f p ) *$ax O#)).^2)1 . ^ 0 . 5 ) '2). 13X./abs (2x1 ) ; fase=angle(R_rfp).*(l8O/pi); % % convirtiendo la fase a grados % % e - - - - - - - - - -Calculando la Curva ajustaca FRF - - - - - - - - - - 6 frf-r f p = freqs(A,S,wi); c_. - - - Agregando los componentes conjugados a la FRF y ceros en la ---8 % - - - FRF Experimental truncada - - - % frf(l:x frmi-ll = O; ÍrfINtlr = O; frf(N+2:2*N) = conj (frf(N:-l:Z)); 9, Ajuste de la Curva +. frf-rfp(x-:rni:W -TR) = frf-rfp; frf-rfp(i:>:-frml -1) = zerosil,x-frnl -1); frf-rfpiNsl1 = O; frí-rfp(Ni2:Z'N) = conj(fr?-rfpí?4:-1:211,; %--Calculando los Residuos (diferencia) de la FRF ajiistada con respecto a l a FZ? experimental--% Residuos = f r f ( x-frm1:W-T H ) - :rf -rfp(x_frml:W-TR); % - - - - - - - -Grzficando la FRF ajustada --------- F +--La fig. 2 nuestra la magnitud de la FRF ajustada (verde) y la FRF experimental ( a z u l ) - - % figure(?) subplot(Z,l,i) iemiloc-(:rec(x-:rmi:W_TR), a b s (frfix-frm1:W-Ti?)), frec(x_frml:W_T2) ,abs (frf r í p ( x í r m 1 : i S i T R J ) ) titie('FRF experimental (linea 'azull, ?RF ajustada (línea verde) ' ) ; >:labelí ' Frecuencia : I Hz 'I ' ) ; ylabel('log i.<agnitud: [q/W] ' 1 ; %--La figura 3 muestrz'la Lase de la FRF ajustada (verde) y la FRF experinental (azul)--%. subplot ( 2 , 1 , 2 ) frf-a = angle(frf(x-frmi:W T%))*(I6O/?i); frf-rfp-a = angle(frf-rfp(x frmi:N-TX) ) + (18O/pi); p l o t (irec(s_frmi:-T41, Ifrf-a),frec(x-ír~l:w T R ) , Ifrf-rfp-a) i title('FRF experimental (líñea'azul), FRF ajistada (linea verde) ' 1 ; xlabel('Frecuencia: [ 3 2 1 ' 1 ; ylabel('Fase: [grados]' i ; 9, diary on % Abriendo el diario 9--------D esplegando Resultados en el Diario y en pantalla --------- format long g % L o s resultados son: %Columna 1: Frecuencia Natural resonznte, %Columna 2: Factor de Amortiguamiento moaai, %Columna 3: Constante modal, FN FAniort-ConsM = [F-N-rfp Factor-hart-rfp CM j %--------C a l cu l-a ndo y Despiegando la Desviacion Estandar - - - - - - - - - e Desv estandar FR-reqenerala= s q r t ( (R~siduos'*iiesiduosl /length (Residuos)I diary off % Cierre del diario sprintfi' El archivo de salida (resultados) e s %s-%s-resultados.m',netodo,datos) hold off disp('iFue bueno el ajuste realizado?') bueno = input('Resp0nda: si (si el ajaste fue bueno), no (si desea voiver c. reolizar el ajuste) ' , 's'); if bueno == 'si' disp('GRP.CIAS POR UTiLIZA3.: i-E?FFG.l') end if bueno == 'no' clc; clf; hold off; close all hidden end end - ~ . % % E % % % % % E $ 9 S A % o e e 8 ~ ~ % ~ ~ ~ ~ F , ~ ~ e ~ ~ ~ , % ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ ~ % ~ S % % $ % % % % ( ? . k F % ELECCiON: V R R I A S YRF'S F F g g F . e % g k á % h % g ~ e ~ E % a o 6 8 g p else is .+dat meiodo = 'rfpm'; sunareal = O ; sumzimao = O; disp('iCuantas FRF serán sumadas?') numero = input ( ' ) ; f o r contador = 1: numero disp('lscribe encre cotas ei nomcre eel archivo seleccionado(no escribas la extensión)') aatos = i n p u t ( " ) ; frf = load (sprin~f('Ss.aat',daLosi); [r,cj = sizeifr:); disp('2scribe la posición del nodo seleccionado [ m ] ' ) posicion(contsdor, i) = input ( " ) ; sumareal = sumareal + frf(:,Z); sumaimag = sumaimag + frf(:,3]; Pág. 94 ~~ f3=f; .. if c ==3 frec = frf(:,l); df = frec(3) - freci2); frf = frf(:,2) t i*frf(:,3); W -TR = lenqrhifrf); N = W ?R; for kz1:W-TR f (k)=posicion(contador,1); end end if contador==l f l = f ; elseif cantador==2 f2=f; elseif contadOr==3 elseif contador==4 f 4 = f ; elseif contador==5 f5=f; elseif concador==ó f6=f; elseif contador==7 f7=f; elseif contador==8 fE=f; elseif contador==9 f9=f; elseif contador==lO flG=f; end if contador==l frfi=frf; elseif contador==2 frfZ=frf; elseif contador==3 frf3=frf; elseif contador==4 frf4=:rf; eiseif contador==5 frf5=frf; eiseif contador==ó frfá=frf; elseif contador==7 frf7=frf; eiseif contador==E frfE=fr:; elseif contador==9 frf9=frf; elseif contador==lO frflO=frf; end if contador==l color='r'; elseif contador==Z color='y'; eiseif contador==3 color='m'; elseif contzdor==4 color='c'; eiseif contador==5 color='g'; e l s e i f contador==6 color='b'; elseif contador==7.colo~=':r'; e l s e i f contador==8 color=':y'; elseif con:ador==9 color=':m'; elseif contador==iG color=':c'; elseif contador==ll color=':g'; elseif con:ador==lZ color=':b'; elseif cor:rador==i3 color='-.r'; elseif contador==14 color='.Y'; .c'; elceif contador==15 color='-.m'; elseif contador==lá color='- end fiqure(3) piot3 ( frec (1: W T 3 ) , f ( 1:i.,i_TR), log (ab5(frf (1:k?-TR) ) ) , color title('Gráfica de FRF's experimentales: (color NEGRO: FRF GL033¿) ' ) ; xlabel('Frecuencia: [ Ez ] I ) ; zlabel ( ' L o 0 Kügnitud: [ g / N ] ' ) ; ) : l a b e l ( 'oosición [m] ) ; view([O,O]); hold on ena bueno= 'no'; w h i l e b,eno== 'no' frf-S U X Ü = s * i r . a r e a l + i'cumaimig; w-?R= ) iQ; figure(3) ploL3l frec(l:W_TR),f(l:W-?R), log(abs(frf_suma(l:W-~~))), '4' ) title('Gr6fica de FRF's experimentales: (color NEGRO.: FRY GLOBAL)'); Pág. 95 Apéiidice C : .. viabel('irecuencia: [ Ez 1 ' ) ; . zlabe? ['Log Magnitud: [ y / i G l ' I ; ylabel ('poSiciÓn [ml ' 1 ; view([O,Ol); hold on Especificancio el iltervalo de frecuencia del ajuste ce la - - __- - - ___- 8 disp('Ce1eccionando el intervalo de Frecuencia deseado:') seleccion2 = menu('E1ige el moco de selección del intervalo de frecuencir:','Dar un punto en la qrafica','Escribirlo'); if seleccion2 == 1 figure ( 4 ) semilogy(frec(l:W~TR),abslfrf~sumall:W~T~ll~ xlabel I ' Frecuencia : [ H z ] ' j ; ylabel('Log Magnitud: [g/Nl'l: title('Se1ecciona el primer punto (frecuencia minimal') Ix-frml,y]=qinput 11); figure 1 4 ) semilogy(frec(l:W-TR),abs(frf-suza[l:W-TR))) xlaSel('Frecuencia: [ Hz i ' ) ; ylobel ('Log Maqnitud: [ q / N l . ' ) ; title('Se1ecciona el segundo punto (frecuencir maximal') [W-TR, y]=ginput I l l ; sprintf('E1 intervñlo d e frec'uencia seleccionado es:\n\tfrec Minima = %8,4q\n\tfrec Maxima = %8.49',x_frml,W-TR) else figure 1 4 1 semiloqy ( frec ( 1 : W-TR) , abs ( frf-suma ( 1 : IIi-TR) ) 1 +'-. L ~ L ~ ~ ( ' GLOBAL'); FRF xlobel('Frecuencia: [ Hz j ' ) ; ylabel I ' Log Magnitud: [g/N] ' ) ; x -frml = input ( ' Frecuencia Minima (Hz): ' 1 ; W-TR = input ('Frecuencia Maxima (Hz): ' ) ; sprintf('E1 intervalo de frecuencia seleccionado es:\n\tfrec Minima= %d\n\tfrec Maxima= Bd',x-frml,W-TR) end ? , % % % % Ahora se aisla el intervalo de Frecuencia % % E % % >: -f r m l = roundiix-frml - min(frec))/df + 1); I.? -TH = r o u n d ( ( V J-T R - milIfrec))/df + i ) ; írf-F l = oneslx-frml-l,i); i ?.hora se ponen lirios a t e s de los componentes FRF aislados frf-F l ( x-frm?:W-TR) = f r f -sume(>: -frm1:iii -TRl; t componentes FRF aislados frf Fl (!q T 3 t l : l u ' ) = ones I N - 1% -TR), 1 ) ; % Ahora se ponen unos despues de los componeñtes FR F aisladas i. frf-s u a a = f r f -Fl; ci err frf - €1 P %.%i e %'%% 5 S t %5 ii8á~~PSE~ra%--I4á%iiF dan los grados d e libertad parr el nUmersdor y bi,?, para e l polinofiio csricterisTico (denominador)?%% ficure (5) subplot ( 2 , i, i ) semiloqy(frec(x f r m l : ! < T R ) ,ass (frf-suma (x_irml:W-TR) ) j title ('FRF GLOJAL: intérvalo seleccionado p a r a el ajuste'); xlabei ('Frecuencia: 1 Hz 1 ' 1 ; ylabel ('Log Magnitud: [q/l.'] ' ) ; % $ % Se Pag. 96 . - Apeiidice C .... , ' subplot l2,1,2! plot (frec[x-frml:W_TR),irnag(frf-sum~(x-frml:W-TR))) title('Gr2fica de picos para establecer el n¿merc d e frecuencias'); xlabeli'frecuencia: [ Hz 1 ' ) ; ylabel('?arte Imaginaria: [g/Nl'!; dofd = inputi'icuantos grados de libertad para el Denonlnador?: [número de frecuencias) ' ) ; %%ED O F denominador dofn = input(';Cuantos grados de libertad para el Numerador?: (número de residuos! ' ) ; %%YD O F numerador diary off i Cierre del diario for contador= 1:numero if contador==l figure(1) plot3( frec(x-frml:W-TR),fl(x-frml:W -TR), imag [frfl!x-frml:W-TR) ) , 'w' ) title('FORV&S M O D A L E S ' ) ; xlabel('Frecuencia: [ Hz I,!; zlabel('Parte Imaginaria; Lg/Nl'); ylabell'posición del nodo: [ r n l ' ) ; view([90,0]); h o l d on figure (2) plot3(frec(x-frm1:t'J-TR),fl(x- frm1:W-TR!, imag(frfl(x frm,l:W-TR!), ' k ' ) MODA LE FORMAS MCIDALES: vista espacial ; xlabell'Frecuencia: I Hz 1 ' ) ; zlabel('Parte imaginaria: [ g / N j ' ) ; ylabel('posición [ml'); view[ ( 2 0 . 3 0 1 ) ; hold on elseif contaaor==Z figure121 plot3(frec(x -frml:W-TRj,f2(x-frml:W -Ti?), imag(frfZ(x-frml:W-TR)),'k') M O D A L E S : vista espacial 9 1 ; xlabell'frecuencia: [ Hz 1'); zlabeli'Parte imaginaria: [g/Nl'!; ylabel ( 'posición [ml ' ) ; view! [20,30]! ; hold on figure,(?) plot31 frec(x-frml:W-TR) , f Z ( x-frm1:W-TR), imag ( frf2 (x-frml : W ' TR) ) , ',.+ ' ) title('F0RMA~M O D A L E S ' ) ; xlabel['Frecuencia: [ Hz 1 ' ! ; zlabel('Parte Imaginaria: [g/N]'); ylsDel['posición del nodo: [ml'!; -< i ew ( [ 90,O ] ) ; hold on elseif contadsr==3 figure(2) p l o t 3 (frec(x-frml:W-TR) , f3 (x-frml:W-TR) , imag(frf?(x frml:W-TR)i,'k'! title ('FORMAS MODALES : vista e s p a c i o 1 ' 1 ; xlabel('Frecuencia: [ Fz j ' ) ; zlabel('Parte imaginaria: [ g / N l ' ! ; yiabei ('posición [m]' 1 ; 1 I 4 j i ) FORMAS AS Pág. 97 I . Apóidicr C : view( ( 2 0 , 301 ) ; hold on figurell) plot3( frec(xP:rmi:K -T?) ,f3(>:-frml:VJ-TR), imag(frf3(x_frml:W TR) ) , ' w ' I titie('F0RM~sMODPLEC'); xlabel ( 'Frecuencia: I Hz I ' ) ; zlabel ( 'Parte Imoginaria: [g/N.1 ' I ; ylabell'posición d e b n o d o : [ n l ' l ; view í [ g o , 01 i ; hold on elseif contador==4. figure ( 2 ) plot3(frec(x_frrnl:W-TR),:4ix_frml:W -T R ) , imag(frf4(x frml:W-TR) ) , ' k ' l t i t i e ( ' ~ ~ R P + M.O~D A L E S : vista espacial xlabel('Frecuencia: [ Hz 1 ' ) ; zlabel ( 'Parte imaqinaria: [ g / ! i ] ' 1 ; ylabel ( 'posición [m]' ) ; view1 [ 2 0 , 3 0 1 ) ; hold an figure (11 plot31 frec[x-frml:WPTR),f41x- frml:W-TR), imag(frf.l(x-frmi:W-TR)), ' w ' ) title('F0RMP.S MODF.LES'1; xlabel ( Frecuencia: [ Hz 1 ' 1 ; zlabel('Parte Imaginaria: [ g / N l ' ) ; ),label( 'posición del nodo: I m l ' ) ; view( [ 9 0 , 0 1 I ; hold on elseif cantador==5 figure ( 2 I P-i ot3 (frec( x-frmi : W-TR) , f5 (x-frm? :W-TR) , imag ( f rf 5 (x frml : W-TRI I , ' 1í ' 1 title('~~?.L-q~ MODALSS: vista espacial ' 1 ; xlabel('Frecuencia: Hz 1 ' 1 ; zlabeli 'Parte imaginaria: [g/Iill ' 1 ; .ylabel( 'posición [ n i l ' ) ; view ( [ 2 0 , 301 ) ; hold on figure (1I plot3( frec(x_frml:W_TR),f5(x -frm1:W-TR), i m a g (frf5(x frml:W TR) ) , ' w ' ) ciíle ( ' FO&P.C MODALES' ) ; xlabel('Frecuencia: I Hz 1 ' ) ; zlabel('Parte imaginaria: [ g / N l ' ) ; ylabel('posición del nodo: [ n i ] ' ) ; view( [ g o , O ] ) ; hold on elseif con?ador==6 figure(2) plot?(frec(>:-f r m i : V J -TR),f6(x_frmi:W-T31, imag (:rf6(x_frml:U_TR) I , ' k ' ) title('~o~!G.s imD?.LEC: vista espacial ' 1 : ,:label ( ' Frecuencia: 1 Hz I ' ; zlobel('Parte imaginaria: [ g / I . i ] ' ) ; yiabel( 'posición [nl ' ) ; 7 ) ; Pág.98 __ .- - Apéiidice C . . . . view( 1 2 0 . 3 0 1 ) ; hold on figure ( 1 ) plot3( frec(x-frml:W-TZ),f6(>: - frm1:w-T?,), img(frfó(x frml:TcJ-TR)),'w' 1 titie ( FORKhS M O D A LE S j ; xlabel('frecuencia: I Hz 1 ' 1 ; . zlabel('Parte Imaginaria: [g/N]'); ylabeli'posición del nodo: [ m ] ' ) ; view ( [90,O] ) ; hold on elseif contador==' figure (2) plot3(frec(x frml:W-TR),f7lx-frm1:W-TR), imay (frf7( x frml:W-TRI) , ' k ' ) titlei'FORMAS MODALES: vista espacial ' ) ; xlabel('Frecuencia: [ H z 1 ' ) ; zlabel ('Parte imaginaria: [g/l.l]' ) ; ylabel ( 'posición [ m ] ' ) ; view( (20,301) ; h o l d on fipre(1) plot3(frec(x -frm1:l.l-T ? , ) , Í 7 ( x-frm1:W-TR), imag(frf7(x_frml:W-?R)),'w' ) title('F0RIJ'S MODALES'); xlabel ( ' Frecuencia: [ f i z 1 ' ; zlabel('Parte Imaginaria: ig/Nl'); ylabel('posición del nodo: i r n ] ' ) ; view([90,0]1; hold on elseif contador==E figure ( 2 ) plot3(frec(~-frml:W_T?,), f8 (x- frml:M-TR), inay(frf8 (x frml:W-?Rll,'k') ~ ~ T ~ ~ ( ' F O RMODALES: M . ~ S vista espacial ' i ; xlabel ( ' Frecuencia: [ H z I ' ; zlabel('Parte imaginaria: [g/N]'); ylabel( 'posición in1 ' ) ; view ( IZO,301 I ; hold on figure (1) plot3(frec(x-frrnl:W-TX),f&(s -frm1:W-TFI), inry (frf8(>:-frnil:W-?E) ) , ' w ' title('FOR(i4ASMOD.P..¿EC'j; >:label ( 'Frecuencia: [ ?z j ' ) ; 'zlabel('Farte Imaginzrio: [y/NJ'); ylabel('posici0n del noco: [m]'); view([90,0]); hold on elseii contador==!? figure ( 2 ) plot3 (frec( x-frnl:W-T?,),5 3 ( x-frml : W-T R ) , imag ( :r f9 ( x frml : 16-TR I 1 , ' k ' ) title ( 'FORMAS X G 3 . L E S : vista espacial ' j ; >:label( 'Frecuencia: [ 2 2 1 ' ) ; zlabel('Parte inaginariz: [y/Nl ' I ; ylabel( 'posición [m]' ) ; 3 POg. 99 view((20,301); hold on figure ( 1 ) plot3(::ec(x -f r m l : l , J irnag(frfY(x frml:V? TRj), ' w ' t i;ie ( - ._. ~ FO%~F.S MODAES Apc'tidice C TR),fY(r: frm1:E-T R ) , ~ 9 ) ; xlabeli'frecuencia: [ Hz 1 ' ) ; zlabeli'parte imrginaria: [ g / N l ' ) ; ylabeli'posición del nodo: [m]' ) ; view ( 190,O] ) ; hold on elseif contador==lO figure (2) plot3(frec(x-frml:W-TR),flOix -frm1:W-TR), imag(frflO(x frm1:W T R ) ) , ' k ' ) t i t i e ( ' ~ 0 ~ MMODALES: A~ vista espacial 0 ) ; xlabel('Precuencia: 1 Hz 1 ' ) ; zlabeli'parte imaginaria: [ g / N l ' ) ; ylabeli'posición 1x11'); view( [20,301 ) ; hold on figure ( 1 ) plot3(frec(x frml:W-TR),fiO(x-frml:W-TR), imag (frfíü (x-frmi :w-TI) ) , w ' t i t le ( ' FORMFiS MODALCS ' ) ; xlabel('Trecuencia: [ L z 1 ' ) ; zlabel ('Parte Imaginaria: [ g / N ] ' ) ; ylabel('p0sición del nodo: [ m i ' ) ; view( [90,0]); hold on end end P % % % b Z % % 8 % % % E % % E % % S B ~ ~ ~ ? % ~ ~ % ~ ~ % % ~ ~ , ~ ~ ~ % ~ % % ~ , ~ ~ % % % %-------------Procesamiento de los D a t o s - - - - - - - - - - - - - - % %Pe%%$RXee$SS$E%$%B%%etR%a%SEkBBbE%%%B%%~%~~%%% w = 2*pi*frec(x frmi:W TR);%% Convirtiendo la frecuencia a rad/seg 9 % 6 Escalando la irecuenzia de O a 1 Dividiendo por la frecuencia maxima = w/maxiwj; i s % % % n= grado del polinomio del numerador n = dofn'2; $ % % % o d= grido del polinonio crracteristico d = dofd'2; wt = ones(l,lengrh(frf-s u m r ( x-frmi:W-TR)) ) ; % wi iter io1 --* = =o; 50; SF; Calculo de los residuos y polos de la fraccion racional %%a [P.,B] = invfreqs(fr5-sumi(x-frml:W-T X ) , w i , n , d , w t , i t e r , t o l ) ; . jñ-rfp, P-rfp, K] = residue (A,O ) ; S Residiios y P o l o s , respectivamente f c___ Calculando la Frecuencia NEtural y el Factor de PmcrtigusrienLo - Factor->mort-rfp = !-reall~-rÍp)./[aSs!P_r:p)))'lOO;~en porcentaje del aniort. critico i: Ahora la frecuencia natural es multiplicada por % la frecuencia maxima debido a que las frecuencias fueron F escaladas de O a 1 para evitar problemas en F la funcion "invfreqs.m" Pág. 100 - . . Apéndice C . .. abs(2-r f ~ ) ~ ~ a ~ , ~ ( ~ . ~convirtiendo j / ( ~ ~ ? ~ jla ; ~frecuencic. ~ a F-N -rip = seltz S E 5 it % P k P 6 P, % % % +. % 5 E % i. E c2 i ciii a ?do 1as formas moda 1 es S % % % k Q F E P.X= real ( R-r f p ) *ma>:(ii; ! EX= imag ( R-rfp)'ma,: ( w l ; C G % CM= constante modal y faso= fase de la constante modal CM=( ( ( ( P . X . ^ Z ) + ( (BX.'abs(P -rfplimrx(w) . A Z ) ) . * 0 . 5 ) + 2 1 . + (3X./abs(iX)) ; fase=angle(R_rfp).*(18O/pij; b % convirtiendo la fase a grados % ? Calculando la Curra ajustada FRF - - - - - - - - - - % frf-rfp = freqs (A,B, wi); %--Agregando los componentes conjugados a la FRF y ceros en la - - - % %--FRF Experimental truncada frf suma(1:x frml-li = O; frf-suma(~+iT = O; frf-surna(NtZ:Z*N) = conj (frf(N:-l:Z!j ; % Ajuste de la Curva % frf rfp(x frml:W-TR) = frf-rfp; frfIrfp(iYx-:rmi -1) = zeros(i,x-frmi -11; frf rfp(N+l) = O; frf-rfp(Nt2:Z'N) = conj(frf-rfp(N:-l:~i); %--Calculando los Residuos (cifesencia! de la FRF ajusrada con respecto a la FRF experimenral--5 Residuos = frf-suma(x-fzmí:ti-TRj - frf-rfp(x_frml:W_?~); %--------Grafl ,cando la FRF ajustada - - - - - - - - - % %--La f i g . 2 muestra la maqnitud d e la FRF ajustada (verde! y la F3F experimental (azul)--€ figure ( 6 ) subpiot(Z,i,ll seniilogy (frec(x-frmi:iV-?R), aDs (frf-suma ( x-frmi :W-?R) ) , frec (x_frmi:W-TX ! , abs (frf rfp (x-frml:W ? R l ) ) :itle(;FRF GLOBAL (rínea azul) , FRF AJUSTADA (línea verde) ' ! ; xlabel('Frecuencia: [ Hz 1'); ylabel('Log Magnitud: [g/Nl'!; %--La figura 3 muestra ia Fase de la FRF ajustada (verde) y la FRF experimental (azul)--% subplot 12, i , 2) fr: -a = angle(frf_suna(x_frml:i~-~~!!*(i8O/pi!; frf rfo a = angieifrf-rfp(x'frmi:i,$ _ -TRjii(i80/pi); plof(:;ec(x_:rmi:w -m ) , (frf-a),frec(x_ frmi:iq-~R!,(frf-rfp-a)) :.:label( 'Frecuencit: [ Ur 1 ' ; ylabel('iase: [grados] ' 1 ; + diary on % Abriendo el diario i_ _ _ _ _ _ - _ _ 3espleqanco Resultados en el Diario y en pantalla I fornat long g $¿os resultados son: %Columna 1 : Frecuencia !4stural resonante, %Columna 2 : Facror d e horiigiismiento modal, bcoltimna 3: Constance n o r i a l , ?Id-FPxort -Cons!4 = I F-N_rfp Factor-Fmor:-r:p CM I E--------- C;lculrridc y Desplegando la Desviacion Escaridar - Desv-esrancar-FRF-regenerada= sqrt((Residuos"Residuos!/length(Residuos)! diary off S Cierre del ciario sprintf(' El archivo de salida (resultados! es is-6s-resul:ados.m',metodo,numero! Apéiidicr C " O S i i r i í t c c o/. tf* Cisp(';%uantos modos fueron identificados?') modos = input ( ' ) ; for frecs=l:modos disp('escribe la frecuencia del modo identificadc [ f i r ] ' ) modoid(frecs,l) = input("); resta(frecs,l)=modoidifrecs,l)-round(modoid!frecs,i)); if a b s (resta(frecs,1 ) )>di if resta (frecs,1 )> O division(frecs,l)=rouna(resta(frecs,l)/dÍ); frecuencia(frecs,l)=round(modcid(Írecs,l))tdivision(frecs,l)*d:; else divicion(frecs,l)=abs(round(resta(frecs,l)/df)); frecuencia(frecs,l)=rcund(modoid(frecs,l)) division(frecs, 1)'df; end ' else end end frecuencia(frecs,l)=rcund(modcid(frecs,l)); Tsi&~P r cs óo sE 39 YE oF r4 ' L, C0Y9oPtO for nuevocontador=l:modos for ncontador=l:N if irec (ncontador,1)==frecuencia (nuevocontaaor,1) for mcontador=i:numero if mcontador==l modal (mcontador,l)=imag(Í:-fl incontadcr,1 ) ) ; elseif mcontador==2 modal (rncontador,l)=irnag (Írf2(ncontadcr,I) ) ; elseif mcontador==3 modal(rncontador,?)=imag(frf3(nccntador,l)) ; elseif mcontador==4 nodal(mcontador,l)=irnag(frÍ4 (ncontador,l)) ; elseif mcontador==5 modal(mcontador, lJ=imag(frf5(ncontador,1 ) 1; elseif mcontador==ó rnodal(mcontador,l)=imagifrf6(ncontador,l)); elseif mcontador==7 modal(mcontador,l)=imag(frf7(ncontador,l)) ; elseif mcontador==8 mocalimcontador, l)=imag(frf8 (ncontador,1)1 ; elseif mcontador==9. modal(mccnrador,i)=i~a~(frf~(nco~tador,l!!; end elseif ncontador==lO modal(mcontador,l)=im&g(frflO(ncontador,l)); end end enc . i í naevocontador==l color='r'; elseif nüevocontador==Z color='y'; eiseif nuevocontacor==3 color='m'; elseif nuevoconcador==4 color='c'; elseif nuevocontador==S color='g'; elseif nuevocontador==ó color='b'; Pág. 102 elseif color=':y'; elseif color=':c'; elseif color=':b'; elseif color='-.y'; elseif .. nuevoconcador==7 color=':r'; elseif nuevocon;ador==8 nuevoconrador==5 color=':rn'; elseif nuevocontador==lO nuevocontedor==il color=':g" , e l s e i f nuevocontador==?2 nuevoconrador==13 color='-.r'; e l s e i f noevoconcador==l4 nuevocontador==15 color='-.m'; end for otrocontador=l:numero frecuencidl(otrocontador,lj=frecuencia(nuevocontador,lj; end figure ( 2 ) plot3 ( frecuencFal[l:numero),posicionil:numero),rnodal(l:numero~,color~ title('FORW4S NODALES: vista espacial'); xlabel('Frecuencia: [ iiz 1 ' ) ; zlabel('Parte imaginaria: [ c / r I j ylabel('posición [ r n l ' ) ; view( [20,301 1 ; hold on figure(1.1 plot3 ( frecuencial/l:numero),posicion[l:nu~eroj,rnocal~l:numeroj,color 1 tit le ( ' FORMAS MODALES ' ) ; xlabel ( ' Frecuencia: [ Ez 1 ' 1 ; zlabei('Parte imaginaria: [g/i\'l ' ) ; ylabel ('posición del nodo: [ m i j ; view( [ O O ,O j j ; hold on I ) ; end for contador=l:numero modal (contador,l ) = @ ; end figure ( 1i plot3 ( frecuencial(l:numeroj,pcsicion(l:numero),modal(l:numero),':k' 1 title('F0RMP.S MODALES'); xlabel ('Frecuencia: [ Hz I ' ) ; zlabeli'partí Imaginaria: [ g / N j ' j ; ylabell'posición del nodo: [ml ' 1 ; view( [.go, O ] ) ; hold on % E Y ;a%?.% E ie E E h o l o off disp(';Fue bueno e l ajuste realizado?') bueno = input('Resjonca: si (si el aj.uste fue boeno;, volver a realizar el a j u s t e i ' , ' ~ ' ; ; if bueno == 'si' disp('GR3,CIAS POX UTILIZAR: MEPFXAl') end no ( s i C€Se2 Pag. 103