Lugares geometricos: Elipse, hiperbola, parabola y

Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-27 –DICIEMBRE DE 2010
“LUGARES GEOMÉTRICOS: ELIPSE, HIPÉRBOLA,
PARÁBOLA Y CIRCUNFERENCIA. APLICACIONES Y
DIDÁCTICA.”
AUTORIA
FERNANDO VALLEJO LÓPEZ
TEMÁTICA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
ETAPA
ESO Y BACHILLERATO
Resumen
EN ÉSTE ARTÍCULO; ESTUDIAMOS LOS LUGARES GEOMÉTRICOS MÁS IMPORTANTES EN EL
PLANO, COMO SON: LA ELIPSE, LA HIPÉRBOLA, LA PARÁBOLA Y LA CIRCUNFERENCIA
COMO CASO PARTICULAR DE LA ELIPSE. ESTUDIAMOS SUS APLICACIONES MÁS
IMPORTANTES, Y SU DIDÁCTICA EN LA ESO (4º DE ESO MATEMÁTICAS B) Y EL
BACHILLERATO. TAMBIÉN ESTUDIAMOS, LA PRESENCIA DE ÉSTAS CÓNICAS EN: LA
NATURALEZA, EN EL ARTE, Y EN LA TÉCNICA. VEMOS QUE HAY 2 FORMAS DE ESTUDIAR
LAS CÓNICAS:
ANALÍTICAMENTE MEDIANTE LUGARES GEOMÉTRICOS, Y COMO SECCIONES PLANAS DE
UNA SUPERFICIE CÓNICA O CONO.
FINALMENTE, VEMOS SU APLICACIÓN DIDÁCTICA.
Palabras clave
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Lugar Geométrico.
Elipse.
Hipérbola.
Parábola.
Circunferencia.
Aplicaciones.
Didáctica.
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1. INTRODUCCIÓN.
Un lugar Geométrico en el plano, se define como el conjunto de puntos del plano que verifican una propiedad
característica (p). Si un punto P=(x, y) verifica la propiedad característica (p) pertenece al lugar Geométrico, y
recíprocamente. La exigencia de que los puntos del lugar Geométrico satisfagan la propiedad (p), se traduce en una
ecuación algebraica en las variables x, y; llamada ecuación del lugar. Como ejemplos de lugares Geométricos, se pueden
estudiar:
Las Cónicas en el plano, las Cuádricas en el espacio, la Mediatriz de un segmento, la Bisectriz de un ángulo, etc.
Nosotros, en éste artículo vamos a estudiar los lugares Geométricos más importantes en el plano Euclídeo como son, las
Cónicas irreducibles u no degeneradas del plano Euclídeo:
Elipse, Hipérbola, Parábola y Circunferencia como caso particular de la Elipse. Vamos a estudiar las Aplicaciones más
importantes de cada una de ellas, y su Didáctica tanto en 4º de ESO Matemáticas B, como en el Bachillerato. También
vamos a estudiar su presencia en: La Naturaleza, en el Arte, y en la Técnica.
Las Cónicas también se pueden ver, como secciones planas de una superficie Cónica (Cono); pero la mejor forma de
estudiarlas para alumnos de la ESO y el Bachillerato es su estudio Analítico mediante lugares Geométricos.
Las Cónicas, aparecen constantemente en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica; y existen muchas Aplicaciones de cada
una de ellas.
Las 2 formas de estudiar las Cónicas: Analíticamente como lugares Geométricos, y como secciones planas de una
superficie Cónica o cono, están relacionadas entre sí.
2. LA ELIPSE.
Se llama Elipse, al lugar Geométrico de los puntos del plano; tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F, F’
llamados focos, es una constante.
La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse A A’; y la mediatriz de los mismos eje secundario B B’.
Se llaman vértices de la elipse, a los puntos dónde ésta corta a sus ejes: A, A’, B, B’.
El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse O, y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje
principal y semidistancia focal de la elipse, respectivamente.
El valor: e=
c
a
que está comprendido entre 0 y 1 se llama, excentricidad de la Elipse.
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Cálculo del semieje secundario:
Llamando 2b al eje secundario, B al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el teorema de
Pitágoras:
Por definición de elipse,
A la distancia b se le llama semieje secundario de la elipse.
Ecuación canónica de la Elipse:
La ecuación de una Elipse centrada en el origen y con focos en F=(c, 0) y F'= (-c, 0) es:
Dónde a es el semieje principal, y b es el semieje secundario de la elipse.
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Vértices de una Elipse referida a sus ejes:
Los vértices de la Elipse, son los puntos dónde la Elipse corta a los ejes: A, A’, B, B’.
 Eje principa l:
El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su intersección con la elipse, se resuelve el sistema:
Los vértices son: A= (a, 0) y A’= (-a, 0).
 Eje s e cunda rio:
El eje secundario es el eje de ordenadas, es decir x=0. Para hallar su intersección con la elipse, se resuelve el sistema:
Los otros dos vértices son: B= (0, b) y B’= (0, -b).
2.1. LA ELIPSE, COMO SECCIÓN PLANA DE UNA SUPERFICIE CÓNICA O CONO.
Hay 2 métodos para describir la Elipse, como sección plana de una superficie cónica o cono:
Método de Menecmo: Menecmo, partía de un cono circular recto de una sola hoja, que seccionaba por un
plano perpendicular a una generatriz del cono. Y así; la curva obtenida depende del ángulo en el vértice del
cono. Si el ángulo es agudo, la curva es una Elipse.
Método de Apolonio: Apolonio, demostró que al seccionar o cortar un cono por un plano; si el plano corta a
todas las generatrices del cono, se obtiene una Elipse. Además demostró que se puede considerar cualquier
tipo de cono, y no es necesario que el cono sea circular. Pues; lo importante es la inclinación del plano de corte.
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3. LA HIPÉRBOLA.
Se llama Hipérbola, al lugar Geométrico de los puntos del plano; tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos F, F’ es una constante (se representa por 2a).
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola F F’, y la mediatriz se llama eje imaginario de la
hipérbola.
El punto dónde se cortan ambos ejes (que es evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola
O.
Los puntos dónde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real), se llaman vértices de la
hipérbola.
Al igual que en la elipse, se llama distancia focal ( F F’ = 2 c) a la distancia entre los dos focos.
A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede considerar
semieje imaginario de la hipérbola.
El valor: e=
c
a
. Éste valor se llama:
que es un número mayor que1 (c > a), se llama excentricidad de la hipérbola.
Al igual que en la elipse; se considerarán las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas, y con focos en el eje de
abscisas.
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Ecuación canónica de la Hipérbola:
La ecuación de una Hipérbola centrada en el origen, y con focos en los puntos F=(c, 0) y F'= (-c, 0) es:
Dónde a es el semieje principal, y b es el semieje secundario de la hipérbola.
Vértices de una Hipérbola:
Los vértices de una Hipérbola, son los puntos dónde ésta corta a sus ejes: A, A’.
 Eje re a l
Su ecuación es y = 0. Es decir; el eje de abscisas.
Sustituyendo en la hipérbola queda:
Los vértices son: A= (a, 0) y A’= (-a, 0).
 Eje im a gina rio
La ecuación del eje es x = 0.Es decir; el eje de ordenadas.
Al sustituir queda:
Esta ecuación no tiene solución; ya que el primer miembro es siempre negativo y el segundo es positivo.
Así; una Hipérbola tiene siempre 2 vértices, que son los puntos:
A= (a, 0) y A’= (-a, 0).
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Asíntotas de una Hipérbola:
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:
Pero; para valores grandes de x,
se aproxima a x siempre que a sea un número fijo. En efecto:
Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente; mientras que el numerador permanece fijo.
Así; la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x indefinidamente.
Por tanto; la Hipérbola se aproxima indefinidamente a las rectas: y=
b
x
a
, e
y=-
b
x, cuándo x crece
a
indefinidamente. Estas rectas se llaman: Asíntotas de la Hipérbola.
3.1. LA HIPÉRBOLA, COMO SECCIÓN PLANA DE UNA SUPERFICIE CÓNICA O CONO.
Hay 2 métodos para describir la Hipérbola, como sección plana de una superficie cónica o cono:
Método de Menecmo: Menecmo, partía de un cono circular recto de una sola hoja, que seccionaba por un
plano perpendicular a una generatriz del cono. Y así; la curva obtenida depende del ángulo en el vértice del
cono. Si el ángulo es obtuso, la curva es una Hipérbola.
Método de Apolonio: Apolonio, demostró que al seccionar o cortar un cono por un plano; si el plano corta a
todas las generatrices menos a 2 a las cuáles es paralelo; se obtiene una Hipérbola. Además demostró que se
puede considerar cualquier tipo de cono, y no es necesario que el cono sea circular. Pues; lo importante es la
inclinación del plano de corte.
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4. LA PARÁBOLA.
Se llama Parábola, al lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta
fija llamada directriz de la Parábola.
La distancia entre el foco y la directriz de una Parábola, recibe el nombre de parámetro de la Parábola (suele denotarse por
p).
Dada una Parábola, se llama eje de la misma, la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.
Se llama vértice de la Parábola, al punto dónde ésta corta a su eje.
Para simplificar la Parábola; se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas O, y que el foco se encuentra en el
semieje positivo de abscisas.
Ecuación canónica de la Parábola:
La ecuación de la Parábola, con vértice en el origen de coordenadas O y foco en el punto F= (P/2, 0) es:
y2= 2px.
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Hay otros tres casos elementales de Parábolas:
 S i e l e je e s horizonta l y e l foco e s tá e n e l s e m ie je ne ga tivo de a bs cis a s , la e cua ción e s: y2 = -2px.
 S i e l e je e s ve rtica l y e l foco e s tá e n e l s e m ie je pos itivo de ordenadas, la ecuación es: x2 = 2py.
 S i e l e je e s ve rtica l y e l foco e s tá e n e l s e m ie je ne ga tivo de orde na da s , la e cua ción e s: x2 = -2py.
Parábola con vértice en un punto cualquiera:
Si el vértice de una Parábola se encuentra en un punto (x0, y0); su ecuación será según los casos:
 Eje horizonta l y foco a la de re cha :
(y-y0)2 = 2p(x-x0).
 Eje horizonta l y foco a la izquie rda:
(y-y0)2 = -2p(x-x0.
 Eje ve rtica l y foco por e ncim a :
(x-x0)2 = 2p (y-y0).
 Eje ve rtica l y foco por de ba jo:
(x-x0)2 = -2p (y-y0).
4.1. LA PARÁBOLA, COMO SECCIÓN PLANA DE UNA SUPERFICIE CÓNICA O CONO.
Hay 2 métodos para describir la Parábola, como sección plana de una superficie cónica o cono:
Método de Menecmo: Menecmo, partía de un cono circular recto de una sola hoja, que seccionaba por un
plano perpendicular a una generatriz del cono. Y así; la curva obtenida depende del ángulo en el vértice del
cono. Si el ángulo es recto, la curva es una Parábola.
Método de Apolonio: Apolonio, demostró que al seccionar o cortar un cono por un plano; si el plano corta a
todas las generatrices menos a 1 a la cuál es paralelo; se obtiene una Parábola. Además demostró que se
puede considerar cualquier tipo de cono, y no es necesario que el cono sea circular. Pues; lo importante es la
inclinación del plano de corte.
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5. LA CIRCUNFERENCIA.
Una Circunferencia, es el lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro,
C=(a, b). La distancia desde el centro C a un punto cualquiera de la circunferencia, se llama radio de la circunferencia r.
La circunferencia, es un caso particular de la Elipse dónde sus 2 semiejes coinciden.
Ecuación de la Circunferencia:
Considérese la circunferencia de centro C=(a, b) y de radio r. La condición para que un punto P=(x, y) se encuentre en la
misma es:
d (P, C) = r, es decir:
Elevando al cuadrado, se obtiene:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2. Esta ecuación, es la ecuación de la Circunferencia.
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Determinación de la Circunferencia:
Se necesita para su determinación:
• Las coordenadas del centro C= (a, b) y el radio r.
• Se dan tres puntos no alineados por los que pasa una Circunferencia. Tenemos un sistema con tres
ecuaciones.
Potencia de un punto respecto de una Circunferencia:
Considérese una circunferencia cualquiera y un punto P del plano. Desde el punto P se trazan dos secantes a la
circunferencia, obteniéndose los puntos A, A', B y B'.
El valor común
recibe el nombre de: Potencia del punto P respecto de la circunferencia dada.
Cálculo de la potencia de un punto respecto de una Circunferencia:
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia, es igual al cuadrado de la distancia del punto al centro de la
circunferencia, d 2, menos el cuadrado del radio de la circunferencia:
Eje radical de 2 circunferencias:
Se llama eje radical de dos circunferencias, al lugar Geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia
respecto de ambas circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias, es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.
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Construcción gráfica del eje radical de dos circunferencias:
Se consideran dos casos:
a) Las circunferencias se cortan en dos puntos. El eje radical, es la recta que contiene a los dos puntos de intersección.
b) Las circunferencias no son secantes.
Se dibuja una circunferencia secante a ambas, de forma que su centro no esté alineado con el de éstas.
Se trazan los ejes radicales de esta nueva circunferencia con cada una de las iniciales; éstos se cortan en un punto C,
centro radical de las tres circunferencias, que ha de estar en el eje radical buscado.
El eje radical es la recta perpendicular a la recta que une los centros, trazada desde C.
5.1. LA CIRCUNFERENCIA, COMO SECCIÓN PLANA DE UNA SUPERFICIE CÓNICA O CONO.
Hay 2 métodos para describir la Circunferencia, como sección plana de una superficie cónica o cono:
Método de Menecmo: Menecmo, partía de un cono circular recto de una sola hoja, que seccionaba por un
plano perpendicular a una generatriz del cono. Y así; la curva obtenida depende del ángulo en el vértice del
cono. Si el ángulo es agudo y los 2 semiejes coinciden, la curva es una Circunferencia (caso particular de la
Elipse).
Método de Apolonio: Apolonio, demostró que al seccionar o cortar un cono por un plano; si el plano es
perpendicular al eje del cono; se obtiene una Circunferencia. Además demostró que se puede considerar
cualquier tipo de cono, y no es necesario que el cono sea circular. Pues; lo importante es la inclinación del plano
de corte.
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6. APLICACIONES DE: LA ELIPSE, LA PARÁBOLA, LA HIPÉRBOLA Y LA CIRCUNFERENCIA. PRESENCIA DE ÉSTAS
CÓNICAS EN LA NATURALEZA, EN EL ARTE, Y EN LA TÉCNICA.
-PRESENCIA EN LA TÉCNICA:
Los espejos Parabólicos, reflejan cualquier rayo que salga del foco en una dirección paralela al eje de la Parábola y
viceversa. Los focos de los coches son espejos Parabólicos, en los que la bombilla está situada en el foco; así se
consigue concentrar la luz en un haz paralelo a la dirección del coche. Las antenas Parabólicas, se orientan de manera
que las ondas lleguen paralelas al eje, para que se concentren en el foco.
En realidad, estos espejos Parabólicos y antenas parabólicas, se construyen sobre una superficie de Revolución
engendrada por una Parábola: El Paraboloide de Revolución o Elíptico.
-PRESENCIA EN LA NATURALEZA:
Desde el punto de vista de la Ciencia; en Física se estudian las trayectorias Parabólicas, que son las seguidas por
cualquier objeto lanzado con una cierta velocidad inicial; de manera que el vector velocidad forma un cierto ángulo con la
horizontal. Ejemplo, la trayectoria de un proyectil, es una trayectoria Parabólica.
En 1609 Johann Kepler, publica en su Astronomía Nova las 2 primeras leyes que llevan su nombre, el enunciado de la 1ª es
el siguiente: Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas Elípticas, uno de cuyos focos es el sol. La
excentricidad de estas órbitas, depende de la masa de los planetas y de la distancia del sol a la que se encuentren. Por
ejemplo: Venus es el planeta del sistema solar que describe la órbita de menor excentricidad (0,007); mientras que la
de Plutón es la órbita de mayor excentricidad (0,250). Newton estudia el problema general de “los 2 cuerpos” obteniendo
también las trayectorias Elípticas.
También en el estudio de los gases, se utiliza una relación cuya representación es una Hipérbola equilátera: La ley de
Boyle-Mariotte, que dice: A temperatura constante, el producto de la presión de un gas por el volumen que ocupa es
constante, P.V=CTE.
-PRESENCIA EN EL ARTE:
A lo largo de los tiempos, el hombre ha utilizado en sus Construcciones Artísticas distintos tipos de Arcos; según las
condiciones económicas o los gustos culturales. Todos los Arcos curvilíneos, tienen una característica común; son
Cónicas. Desde el de medio punto, principal y casi único protagonista de los Arcos del Románico; formado por una
cuerda de circunferencia. Hasta el Arco Parabólico utilizado por Gaudí en la puerta de entrada al convento de las
Teresianas. También Parabólico, es el arco Gateway de St. Louis (EE.UU.) que es seguramente una de las obras
Artísticas más estrictamente Geométricas.
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7. APLICACIÓN DIDÁCTICA:
Estos lugares Geométricos: La Elipse, la Parábola, la Hipérbola, y la circunferencia; tienen su Aplicación Didáctica en 4º
de ESO (Matemáticas B) y en el Bachillerato. Se estudian ahí las Cónicas más importantes, por encima sin llegar a
profundizar sobre ellas. Las Aplicaciones de estas Cónicas en: La naturaleza, en el Arte y en la Técnica; son muy
importantes para que los alumnos vean que los faros de mar, los focos de vehículos y las antenas Parabólicas se
construyen sobre una superficie engendrada por una Parábola: EL PARABOLOIDE ELÍPTICO O DE REVOLUCIÓN.
Los alumnos de 4º de ESO Y Bachillerato; ya tienen un cierto grado de aprendizaje Matemático, para estudiar todas las
posibles Aplicaciones de estos lugares Geométricos en muchísimas partes del saber.
8. CONCLUSIÓN:
Como hemos visto, las Cónicas del plano más importantes se pueden estudiar de 2 formas: Analíticamente mediante
lugares Geométricos, o como secciones planas de un cono o superficie Cónica.
Como lugares Geométricos, es como normalmente se estudian las Cónicas en la ESO y en el Bachillerato; pero sin embargo
se estudian muy por encima, y no se profundiza sobre ellas
Hemos estudiado, todos éstos lugares Geométricos (cónicas); y tienen muchísimas Aplicaciones en todas las ramas del
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
- Boyer, C.B. (1987). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Universidad.
-Cero, Grupo. (1982). Geometría y Cónicas. Valencia: ICE de la universidad de Valencia.
- Coxeter, H.S.M. (1988).Fundamentos de la Geometría. México: Ed. Limusa.
-Río, J. (1990). Aprendizaje de las Matemáticas por descubrimiento. Una aplicación al estudio de las Cónicas. Salamanca:
ICE de la Universidad de Salamanca.
Autoría:
Fernando Vallejo López, IES Salvador Serrano, Alcaudete, Jaén.
E-mail: canariogranada@hotmail.com.
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