Unidad 4 - IES Monterroso

GUÍA DIDÁCTICA
Matemáticas
Unidad 8 Geometría del plano
CONTENIDO
1. Programación de aula …………………………………………………
2
2. Sugerencias didácticas………………………………………………
7
3. Actividades de refuerzo ………………………………………………
9
4. Propuestas de evaluación……………………………………………..
13
La concreción curricular podrás encontrarla en http://www.smconectados.com.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
1
Programación de aula
2
Programación
Programación
de aula
de aula
Propuesta
Unidad 8 - Matemáticas Geometría del plano
de
Esta unidad es la primera del bloque de geometría. Comienza explicando el concepto de semejanza y de proporcionalidad
entre figuras semejantes, para terminar el epígrafe explicando el teorema de Tales.
En el siguiente epígrafe se recuerda la definición de plano y se explica el concepto de escala. Se diferencia entre escala
numérica y escala gráfica y se aplican en el cálculo de longitudes en planos y mapas.
En el tercer epígrafe se explica el teorema de Pitágoras y, en el cuarto, se definen los lugares geométricos más importantes
(mediatriz, bisectriz y circunferencia), incluyendo la explicación de cómo se construyen, con ayuda de regla y compás.
A continuación, se definen los conceptos de perímetro y área de un polígono y se aplican en el cálculo de áreas de
triángulos y cuadriláteros, así como de polígonos regulares e irregulares.
En las últimas páginas se hace una clasificación de las diferentes figuras circulares, comenzando por la circunferencia y el
cálculo de la longitud de un arco de la misma. A continuación se define el círculo y se explica cómo se calculan las áreas de
un sector, una corona circular y un trapecio circular.
OBJETIVOS
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
COMPETENCIAS BÁSICAS
1.1. Aplicar el teorema de Tales para
calcular lados desconocidos de
triángulos semejantes.
1. Aplicar el teorema de Tales y el
de Pitágoras en problemas de
geometría y de la vida cotidiana.
1.2. Aplicar las razones de semejanza en
escalas para calcular longitudes en
planos y mapas.
1.3. Aplicar el teorema de Pitágoras para
calcular lados desconocidos de
triángulos rectángulos y para la
resolución de problemas.
2. Adquirir el concepto de lugar
geométrico y aplicarlo a ejemplos
sencillos ya conocidos.
2.1. Conocer y representar los lugares
geométricos como la mediatriz, la
bisectriz y la circunferencia.
3.
3.1. Calcular longitudes y áreas de figuras
planas.
Obtener las medidas de
longitudes y áreas de figuras
poligonales y circulares, utilizando
el teorema de Pitágoras y las
fórmulas usuales.
• Lingüística.
• Matemática.
• Social y ciudadana.
• Cultural y artística.
• Tratamiento de la información y
competencia digital.
• Aprender a aprender.
3.2. Resolver problemas relacionados con
el cálculo de longitudes y áreas.
■ Contenidos
• Semejanza. Teorema de Tales.

Figuras semejantes.

Triángulos semejantes.

Teorema de Tales.
• Escalas.

Escala numérica y planos.

Escala gráfica y planos.
• Teorema de Pitágoras.
• Lugares geométricos.

Mediatriz.

Bisectriz.

Circunferencia.
• Perímetro y área de figuras poligonales.

Área de triángulos y cuadriláteros.

Área de polígonos.

Área de un polígono regular.
• Circunferencia y círculo.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
•
Identificación de figuras semejantes.
•
Cálculo de los lados de figuras semejantes utilizando la
razón de semejanza.
•
Cálculo de longitudes en escalas y planos.
•
Representación de algunas rectas notables y de la
circunferencia.
•
Resolución de problemas aplicando el teorema de
Pitágoras: lado desconocido de un triángulo, diagonal
de un rectángulo, apotema de un polígono regular…
•
Cálculo de longitudes y áreas de figuras planas.
•
Interés por la forma de objetos cotidianos.
•
Apreciación de la utilidad de la semejanza en las
representaciones a escala.
•
Valoración del buen uso de los instrumentos de dibujo.
Y además… podrás consultar esta programación didáctica y la
legislación vigente en http://www.smconectados.com.
1
Programación
Programación
de aula
de aula
Propuesta
de
■ Orientaciones metodológicas
1. Conocimientos previos
Este tema se puede considerar como un repaso de contenidos de los dos primeros cursos de la ESO, por lo que será muy
importante conocer hasta qué punto los alumnos han trabajado esta parte de la geometría en los años anteriores. Si realmente lo
han hecho, el tema debe ser muy fácil de desarrollar, ya que conocerán prácticamente todo lo que se trata en él.
2. Previsión de dificultades
Los alumnos suelen tener serias dificultades con el cálculo asociado a los teoremas de Tales y Pitágoras y a la aplicación
de las fórmulas de áreas planas.
También suelen cometer errores cuando trabajan con las figuras circulares.
3. Vinculación con otras áreas
•
Física y Química: la representación de figuras planas se utiliza mucho en la resolución de problemas de física, para
calcular diferentes magnitudes. Más adelante, deberán dominar gran parte de estos conceptos (semejanza, teorema de
Pitágoras, etc.) para aplicarlos en el cálculo de vectores. También existe una relación con el estudio de la estructura
interna de la materia, desarrollado desde la química.
•
Ciencias de la naturaleza: la geometría tiene una relación directa con la geología. Desde el punto de vista de la
cristalografía, los alumnos deberán conocer e identificar diferentes sistemas cristalográficos. Por otro lado, la
naturaleza está plagada de figuras geométricas susceptibles de estudio.
•
Ciencias sociales: la geografía se puede relacionar con esta unidad, calculando distancias en diferentes mapas e
interpretándolos.
•
Lengua castellana y Literatura: se relaciona a partir del empleo del contexto verbal y no verbal, de las reglas de
ortografía y puntuación y de la lectura comprensiva del texto y de los enunciados de los problemas y ejercicios.
•
Educación física: se puede establecer una conexión a través del cálculo de áreas de los campos de juego de
diferentes deportes.
•
Educación plástica y visual: el análisis y la representación de formas planas, el espacio y el volumen, son aspectos
que se relacionan directamente con la geometría plana. De hecho, su estudio es uno de los objetivos de esta disciplina.
•
Tecnología: el estudio de materiales y el diseño de diferentes estructuras requiere de unos conocimientos básicos en
geometría. El cálculo de escalas y longitudes de planos también es necesario para la interpretación de instalaciones en
viviendas.
4. Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en doce sesiones.
1 y 2.ª Semejanza. Teorema de Tales.
3 y 4.ª Escalas y planos.
5.ª Teorema de Pitágoras.
6.ª Lugares geométricos.
7.ª Perímetro y áreas de figuras poligonales.
8.ª Circunferencia y círculo.
9, 10 y 11.ª Actividades de repaso y consolidación.
12.ª Trabajo en competencias mediante la página final de la unidad.
En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de los ejemplos y ejercicios que se proponen tanto en
los epígrafes como en las páginas finales de actividades.
Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante en el número de sesiones necesarias para
desarrollar la unidad.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
2
Programación
Programación
de aula
de aula
Propuesta
de
■ Contribución de la unidad a la adquisición de las competencias básicas
● Competencia lingüística. Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es
básica para su aprovechamiento. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las
actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la
subcompetencia de comunicación escrita.
● Competencia matemática. Esta competencia impregna todas las secciones y actividades de la unidad, por lo que
prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.
No obstante, se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de uso de elementos y
herramientas matemáticos.
•
Competencia social y ciudadana. A través de referencias a la historia de las matemáticas y a hechos y lugares
históricos y actuales, se puede tratar la subcompetencia de desarrollo personal y social.
•
Competencia cultural y artística. En la unidad se trabajan las subcompetencias de sensibilidad artística y de
patrimonio artístico.
● Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital. La unidad contiene variadas referencias
a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.
Así, los alumnos encontrarán referencias a la página web LIBROSVIVOS.NET y también llamadas a otras páginas, en
la sección En la red.
Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.
•
Competencia para aprender a aprender. A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales
de la unidad, particularmente en la sección Autoevaluación, se puede indagar en la adquisición de esta competencia,
especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de
conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la
subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
3
Programación
Programación
de aula
de aula
Propuesta
de
■ Tratamiento específico de las competencias básicas en la unidad
A lo largo de la unidad se trabajan diversas competencias. Sugerimos un itinerario en el que se han seleccionado seis de
ellas, con el objeto de llevar a cabo un trabajo metódico y un registro de las mismas.
COMPETENCIA
SUBCOMPETENCIA
1.er NIVEL DE
CONCRECIÓN
2.º NIVEL DE
CONCRECIÓN
Lingüística
Matemática
Social y
ciudadana
Cultural y
artística
Tratamiento de
la información
y competencia
digital
Aprender a
aprender
Comunicación escrita en
diferentes contextos.
Uso de elementos y
herramientas
matemáticos.
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
3.er NIVEL DE CONCRECIÓN
4.º NIVEL DE CONCRECIÓN
Aplicar de forma efectiva
habilidades lingüísticas y
estrategias no lingüísticas para
interactuar y producir textos
escritos adecuados a la
situación comunicativa.
Conocer y utilizar los elementos
matemáticos básicos en
situaciones reales o simuladas
de la vida cotidiana.
Conocer y aplicar herramientas
matemáticas para interpretar y
producir distintos tipos de
información.
Desarrollo personal y
social.
Conocer y comprender la
realidad histórica y social del
mundo y su carácter evolutivo.
Sensibilidad artística.
Conocimiento y aprecio
del hecho cultural en
general, y del artístico en
particular.
Comprender y valorar
críticamente diferentes
manifestaciones culturales y
artísticas.
Patrimonio cultural y
artístico.
Conocer las principales
instituciones, obras y
manifestaciones del patrimonio
cultural y fomentar el interés por
una participación cultural.
Obtención,
transformación y
comunicación de la
información.
Buscar
y
seleccionar
información
con
distintas
técnicas según la fuente o el
soporte, valorando su fiabilidad.
Manejo de estrategias
para desarrollar las
propias capacidades.
Desarrollar
experiencias
basadas en estrategias de
aprendizaje cooperativo.
Argumenta y defiende una posición a partir de los
resultados y observaciones obtenidos al realizar un
trabajo.
– Pon a prueba tus competencias:
Conoce y reflexiona (d).
Aplica los elementos y relaciones geométricos para
interpretar y resolver problemas en contextos reales.
− Actividades: 56, 68 y 71 a 78.
– Pon a prueba tus competencias:
Conoce y reflexiona.
Construye elementos geométricos, utilizando
instrumentos de dibujo.
– Actividades: 33 a 35.
Conoce la historia de las matemáticas.
– Las pirámides de Egipto (epígrafe 1).
– El misterio de Pitágoras (epígrafe 3).
Conoce edificios públicos importantes.
– Pon a prueba tus competencias:
Conoce y reflexiona.
Conoce la obra de Escher y de Mondrian y su
relación con las matemáticas.
Reflexiona sobre la armonía de las formas artísticas y
su nexo con las matemáticas.
– Pon a prueba tus competencias:
Disfruta del arte.
Reflexiona sobre la relación entre la arquitectura e
ingeniería civil y militar, el arte y las matemáticas.
– Pon a prueba tus competencias:
Conoce y reflexiona.
Visita la página LIBROSVIVOS.NET.
– Actividades: 3, 9, 29 y 45.
– Autoevaluación.
Obtiene información o hace actividades en internet.
– En la red (epígrafes 1 y 5).
– Pon a prueba tus competencias:
Conoce y reflexiona (d). Disfruta del arte (a).
Realiza actividades en grupo.
– Pon a prueba tus competencias:
Conoce y reflexiona (d). Disfruta del arte (a).
A continuación presentamos una matriz de evaluación, que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de adquisición
de las competencias básicas trabajadas a lo largo de la unidad.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
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Programación de aula
COMPETENCIA
SUBCOMPETENCIA
Lingüística
Matemática
Social y
ciudadana
Cultural y
artística
Comunicación escrita
en diferentes
contextos.
Uso de elementos y
herramientas
matemáticos.
Desarrollo personal y
social.
Sensibilidad artística.
Conocimiento y
aprecio del hecho
cultural en general, y
del artístico en
particular.
Patrimonio cultural y
artístico.
Tratamiento de la
información
y competencia
digital
Aprender a
aprender
Obtención,
transformación y
comunicación de la
información.
Manejo de estrategias
para desarrollar las
propias capacidades.
DESCRIPTOR
Aplicar de forma efectiva
habilidades lingüísticas y
estrategias no lingüísticas
para interactuar y producir
textos escritos adecuados
a la situación
comunicativa.
Conocer y utilizar los
elementos matemáticos
básicos en situaciones
reales o simuladas de la
vida cotidiana.
Conocer y aplicar
herramientas matemáticas
para interpretar y producir
distintos tipos de
información.
Conocer y comprender la
realidad histórica y social
del mundo y su carácter
evolutivo.
Comprender y valorar
críticamente diferentes
manifestaciones culturales
y artísticas.
Conocer las principales
instituciones, obras y
manifestaciones del
patrimonio cultural y
fomentar el interés por una
participación cultural.
Buscar y seleccionar
información con distintas
técnicas según la fuente o
el soporte, valorando su
fiabilidad.
Desarrollar experiencias
basadas en estrategias de
aprendizaje cooperativo.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
Propuesta
LO CONSIGUE
Programación de aula
de
NO TOTALMENTE
(3 PUNTOS)
CON DIFICULTAD
(2 PUNTOS)
NO LO CONSIGUE
(1 PUNTO)
Argumenta y defiende
bien una posición a
partir de los resultados
obtenidos en la
actividad propuesta.
Argumenta y defiende
poco una posición a
partir de los resultados
obtenidos en la
actividad propuesta.
Le cuesta argumentar y
defender una posición a
partir de las
conclusiones de la
actividad propuesta.
Aplica correctamente
los elementos y
relaciones geométricos
para interpretar y
resolver problemas en
contextos reales.
Construye elementos
Construye
geométricos, utilizando
correctamente
instrumentos de dibujo.
elementos geométricos,
utilizando instrumentos
de dibujo.
Conoce la historia de las
Conoce totalmente los
matemáticas.
hechos históricos
Conoce edificios públicos
relacionados con la
importantes.
unidad. Conoce el
Pentágono y su función.
Conoce la obra de Escher y
Conoce bien la obra de
de Mondrian y su relación con Mondrian y de Escher y
las matemáticas. Reflexiona
su relación con las
sobre la armonía de las formas matemáticas y
y su nexo con las
reflexiona sobre la
matemáticas.
armonía de las formas.
Aplica bien los
elementos y relaciones
geométricos para
interpretar y resolver
problemas en contextos
reales.
Construye bien
elementos geométricos,
utilizando instrumentos
de dibujo.
Le cuesta aplicar los
elementos y relaciones
geométricos para
interpretar y resolver
problemas en contextos
reales.
Le cuesta construir
elementos geométricos,
utilizando instrumentos
de dibujo.
Conoce bien la historia
de las matemáticas que
se relaciona con la
unidad. Conoce el
Pentágono y su función.
Conoce bastante la
obra de Mondrian y de
Escher y su relación
con las matemáticas y
reflexiona sobre la
armonía de las formas.
A veces aplica bien los
elementos y relaciones
geométricos para
interpretar y resolver
problemas en contextos
reales.
En ocasiones construye
correctamente
elementos geométricos,
utilizando instrumentos
de dibujo.
Conoce algo de la
historia de las
matemáticas que se
relaciona con la unidad.
Conoce el Pentágono.
Conoce algo la obra de
Mondrian y de Escher y
su relación con las
matemáticas y suele
reflexionar sobre la
armonía de las formas.
Reflexiona sobre la relación
entre la arquitectura e
ingeniería civil y militar, el arte
y las matemáticas.
Casi siempre reconoce
la relación entre la
arquitectura e ingeniería
civil y militar, el arte y
las matemáticas.
A veces reconoce la
relación entre la
arquitectura e ingeniería
civil y militar, el arte y
las matemáticas.
Le cuesta reconocer la
relación entre la
arquitectura e ingeniería
civil y militar, el arte y
las matemáticas.
Sabe buscar en internet
la información
necesaria para resolver
muchas de las
cuestiones.
Realiza actividades en
grupo y casi siempre
desarrolla
experiencias y
estrategias de
aprendizaje
cooperativo.
Le cuesta buscar
información en internet
para resolver
cuestiones y contesta
bien a varias de ellas.
Realiza actividades en
grupo y en ocasiones
desarrolla
experiencias y
estrategias de
aprendizaje
cooperativo.
Le cuesta buscar
información en internet
para resolver cuestiones
y contestarlas.
DESEMPEÑO/ACTIVIDA
D
Argumenta y defiende una
posición a partir de los
resultados y observaciones
obtenidos al realizar un
trabajo.
(4 PUNTOS)
Argumenta y defiende
correctamente una
posición a partir de los
resultados obtenidos en
la actividad propuesta.
Aplica los elementos y
relaciones geométricos para
interpretar y resolver
problemas en contextos
reales.
Visita la página
LIBROSVIVOS.NET.
Obtiene información o hace
actividades en internet.
Realiza actividades en
grupo.
Reconoce
completamente la
relación entre la
arquitectura e ingeniería
civil y militar, el arte y
las matemáticas.
Sabe buscar en internet
la información
necesaria para resolver
adecuadamente las
cuestiones.
Realiza actividades en
grupo y desarrolla
muchas experiencias
y estrategias de
aprendizaje
cooperativo
adecuadas.
5
Conoce poco de la
historia de las
matemáticas que se
relaciona con la unidad.
Conoce el Pentágono.
Conoce poco la obra de
Mondrian y de Escher y
su relación con las
matemáticas y alguna
vez reflexiona sobre la
armonía de las formas.
Realiza actividades en
grupo y alguna vez
desarrolla
experiencias y
estrategias de
aprendizaje
cooperativo.
Programación
Programación
Programación
dede
aula
aula
de aula
Propuesta
Propuesta
dede
■ Educación en valores
Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la
tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

Con las actividades 56 y 75, se pueden trabajar aspectos relacionados con la educación medioambiental.
■ Atención a la diversidad
El profesor adaptará el contenido de la unidad, bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de
cada grupo de alumnos dentro de la misma.
Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:
•
Actividades de refuerzo. Tres páginas fotocopiables con ejercicios para consolidar lo aprendido.
•
Propuesta de evaluación. Dos pruebas fotocopiables que cubren los contenidos de la unidad y sirven para
comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.
■ Materiales
didácticos
Repaso de contenidos de cursos anteriores
Bibliográficos
• Cuadernos de matemáticas, 2.º de ESO, n.º 5: Geometría y medida en el plano.
–
–
Unidad III. Teorema de Pitágoras.
Unidad IV. Semejanza.
• Cuaderno de refuerzo de matemáticas, 2.º de ESO: Aprende y aprueba.
–
SM
Unidad 7. Teoremas de Tales y de Pitágoras. Semejanza.
Refuerzo de contenidos de este curso
• Cuaderno de refuerzo de matemáticas, 3.º de ESO: Aprende y aprueba.
–
–
Unidad 7. Figuras planas.
Unidad 10.1. Perímetros y áreas de figuras planas.
• Cuadernos de matemáticas, 3.º de ESO, n.º 6: Geometría y medida.
• Cuaderno de matemáticas para la vida, 3.º de ESO.
Internet
SM
http://www.smconectados.com
http://www.librosvivos.net
Los temas de esta unidad son tratados en unidades correspondiente a 2.º y 3.º de ESO
del proyecto Descartes:
http://www.e-sm.net/3divctrd17
Otros
Geometría del plano en el tema Figuras planas. Propiedades métricas en la página de
educación digital a distancia del Ministerio de Educación:
Otros materiales
http://www.e-sm.net/3divctrd18
• Juegos del tangram.
• Material e instrumentos de dibujo: regla, compás y transportador.
• Programas informáticos, como GeoGebra o Cabri.
• Vídeo 1, Área y volumen, de la serie Ojo matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida en
España por Metrovideo España.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
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Sugerencias didácticas
Orientaciones generales
• El apartado inicial Para comenzar… hace un breve y útil repaso de contenidos básicos que los alumnos deben recordar
antes de afrontar el estudio de esta unidad. Se inicia con la definición de ángulo y sus partes, se repasan los conceptos
de ángulo complementario y suplementario, y se recuerda cuánto vale la suma de los ángulos de un triángulo y la de un
polígono cualquiera de n lados.
• Un buen comienzo sería realizar las actividades de la primera página, especialmente la 3, que, desde la página
LIBROSVIVOS.NET, propone medir los ángulos de diferentes polígonos regulares.
• En esta unidad, los alumnos aplicarán los teoremas de Tales y de Pitágoras en problemas de geometría, para lo que
conviene utilizar ejemplos de la vida cotidiana. Identificarán los lugares geométricos más comunes, como la mediatriz, la
bisectriz y la circunferencia. Por último, calcularán las longitudes y las áreas de las figuras poligonales y circulares.
• La mejor forma de aprender geometría es a través de la manipulación de los objetos, por lo que conviene llevar al aula el
material necesario, por ejemplo, para hacer una demostración de la suma de los ángulos de un triángulo.
• En general, las actividades propuestas a lo largo de la unidad nos permitirán trabajar y reflexionar con los alumnos sobre
contenidos artísticos, históricos, sociales, de vocabulario y, obviamente, matemáticos.
Contenidos
Semejanza. Teorema de Tales
• Al hablar de figuras semejantes se debe hacer referencia a la razón de semejanza y relacionarla con la proporcionalidad
numérica. Es conveniente explicar con ejemplos los tres criterios de semejanza de triángulos, para que así los alumnos
sepan en cada momento qué criterio aplicar para identificar triángulos semejantes.
• Si se dispone de tiempo, se puede hacer algún ejemplo para que recuerden la relación entre la razón de semejanza y la
razón de áreas, si bien eso se puede posponer hasta los epígrafes finales que tratan específicamente del cálculo de
superficies.
• La reseña del margen Las pirámides de Egipto es un buen comienzo para explicar el teorema de Tales y a la vez realizar
alguna actividad competencial, dando a conocer aspectos sobre la realidad histórica de las matemáticas. A continuación
conviene demostrar gráficamente dicho teorema, aplicando el primer criterio de semejanza de triángulos.
• La utilización del programa GeoGebra en la actividad que se propone en En la red proporciona una forma visual que
ayuda mucho en la comprensión del teorema de Tales y, además, en la actividad 9 se pueden hallar diferentes distancias
con este teorema, visitando la página LIBROSVIVOS.NET.
Escalas
• La mayor dificultad de este epígrafe reside en el cambio de unidades que habitualmente es necesario realizar en
cualquier cálculo con escalas, lo que se subsanará fácilmente, realizando varios ejemplos. Recordaremos a los alumnos
que las unidades dependen del tipo de escala que se estudie: de centímetros a metros para el plano de una casa, de
metros a kilómetros para el plano de una ciudad, y de kilómetros a miles de kilómetros en la lectura de un mapa.
• Los alumnos comprenderán fácilmente la utilidad del concepto de semejanza en su aplicación al diseño de planos y
mapas. Para comenzar, un buen ejercicio sería pedirles que, con lápiz y metro, elaboren, individualmente o en grupos
reducidos, un boceto del plano de su casa o de una planta del colegio, a una escala determinada y con la mayor fidelidad
posible en las medidas.
• Esta actividad puede completarse eligiendo un plano del callejero de una zona conocida para el alumno y que, tras
realizar algunas medidas, sea capaz de calcular la escala de dicho plano.
• Cualquier actividad de este tipo puede ser motivadora para afrontar este epígrafe, que suele resultar sencillo y
entretenido. El gran número de actividades propuestas nos permitirá trabajar a conciencia los contenidos del mismo.
Teorema de Pitágoras
• La demostración del teorema de Pitágoras se hace aplicando los criterios de semejanza de triángulos y las propiedades
de los triángulos semejantes. Conviene que los alumnos perciban cómo un teorema tan importante se puede demostrar
de una forma tan sencilla aplicando conocimientos que ya poseen.
• Se puede pedir a los alumnos que utilicen la página LIBROSVIVOS.NET propuesta en la actividad 29, para que
resuelvan triángulos con el teorema de Pitágoras. También pueden buscar en la red otras demostraciones del teorema y
exponerlas después en clase.
• Se debe resaltar la importancia de las aplicaciones del teorema de Pitágoras para hallar segmentos desconocidos en
figuras poligonales y para identificar triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Para ello es útil hacer muchos
ejercicios de muestra.
• La nota histórica del margen El misterio de Pitágoras se puede utilizar para señalar el hecho de que las contribuciones
científicas se personalizan a veces por comodidad, olvidando injustamente a otros protagonistas importantes en la
historia de la ciencia.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
7
Sugerencias didácticas
Lugares geométricos
• En algunos casos puede que sea más sencillo para los alumnos entender el concepto de lugar geométrico a partir de la
propiedad que cumplen los puntos de una circunferencia y afianzarlo con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un
ángulo, variando de esta manera el orden en el que se exponen estos ejemplos en el texto.
• Es útil mostrar posteriormente los procedimientos clásicos de dibujo que se utilizan para trazar la mediatriz y la bisectriz,
y analizar con detenimiento cómo se basan en las propiedades de estos lugares geométricos.
• Con las actividades 33 a 35, los alumnos deberán adquirir cierta práctica en la construcción de elementos geométricos,
utilizando instrumentos de dibujo tales como la escuadra, el cartabón, el transportador de ángulos y el compás.
Perímetro y área de figuras poligonales
• En primer lugar se recuerdan las expresiones que dan el área de las figuras más elementales. Conviene hacer notar a los
alumnos que todas se pueden deducir a partir de la del rectángulo.
• En el caso del rombo, remarcar que existen dos formas alternativas de cálculo de su área: a partir de las diagonales y
con la expresión general para los paralelogramos de base por altura.
• La fórmula del área de un polígono regular se obtiene descomponiéndolo en triángulos, y para calcular el área de
cualquier figura poligonal conviene descomponerla en figuras poligonales elementales, de las que los alumnos ya saben
las fórmulas de sus áreas.
• La actividad que se propone en En la red y la actividad 45, que alude a LIBROSVIVOS.NET, permiten a los alumnos
repasar las fórmulas para calcular el área de las figuras planas y comprobar lo aprendido en el epígrafe.
Circunferencia y círculo
• Conviene insistir a los alumnos en el hecho de que no es necesario que se aprendan de memoria las fórmulas para las
longitudes y áreas de las figuras circulares que se trabajan en el epígrafe. Es mucho mejor que aprendan a deducirlas a
partir de la longitud de la circunferencia y del área del círculo aplicando proporcionalidad, y para el caso de la corona y el
trapecio circulares, expresión de una figura en función de la diferencia de dos círculos.
• Con la actividad 56, los alumnos aplicarán los elementos y relaciones geométricos para interpretar y resolver problemas
en contextos reales.
Actividades
68 y 71 a 78. En todos estos problemas se plantea el uso en contextos realistas de los conceptos y procedimientos
trabajados en la unidad. Obviamente, se pueden incorporar muchas más actividades de este tipo y, en este sentido,
puede ser bueno proponer que los alumnos, preferiblemente en grupos, planteen problemas geométricos a partir de
situaciones de su entorno. Como ejemplos se pueden citar los siguientes:
• Cálculo de alturas reales utilizando el método de las sombras.
• Cálculo de áreas y distancias en sus domicilios, en el centro escolar o en el entorno urbano.
Las actividades de este tipo permiten trabajar la competencia matemática desde el desempeño “aplicar los elementos y
relaciones geométricos para interpretar y resolver problemas en contextos reales”.
Pon a prueba tus competencias
CONOCE Y REFLEXIONA. El Pentágono
Esta actividad trata sobre el diseño arquitectónico y la geometría. Las tres primeras preguntas son puramente matemáticas
y en la quinta deben buscar información fuera del aula.
En clase, la resolución de la actividad puede utilizarse para discutir sobre la relación de las matemáticas con la arquitectura
y la ingeniería, y también sobre las motivaciones de gobiernos y países para crear construcciones “faraónicas”, tanto en
esta época como a lo largo de la historia.
DISFRUTA DEL ARTE. Arte y lugares geométricos
Esta es la actividad más “artística” de la unidad. El análisis de las obras propuestas debe permitirnos profundizar en la
estrecha relación que las matemáticas han tenido y tienen con el mundo de la creación y la expresión artísticas.
La pregunta sobre la razón áurea puede servirnos para proponer otras actividades de búsqueda de esta razón en el arte y
en objetos cotidianos (tarjetas de crédito, por ejemplo). Si se ha trabajado la unidad de sucesiones, se puede hablar de la
relación de esta razón con la sucesión de Fibonacci.
También sería deseable plantear esta actividad en colaboración con el profesor de Educación Plástica y Visual, ya que en
dicha área podrían realizar un análisis complementario de la obra de los artistas propuestos.
Es conveniente que se estimule la participación de los alumnos. En este caso, la reflexión sobre la armonía artística y las
matemáticas debe contribuir a crear o aumentar en ellos la convicción de la utilidad de las matemáticas y de su íntima
relación con todos los aspectos de nuestra vida.
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
8
Sugerencias didácticas
Unidad 8 - Matemáticas Geometría del plano
1. Completa las casillas con las definiciones correspondientes, y podrás escribir, con las casillas marcadas, el nombre de
un famoso personaje de cómic.
1. Teorema para resolver un triángulo rectángulo.
4
1.
2. Recta perpendicular trazada desde el vértice de un
triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación.
8
2.
3.
4.
9
1
6
5.
3
6.
5
7.
2
3.
Zona del plano limitada por una circunferencia.
4.
Lugar geométrico de los puntos del plano que están a la
misma distancia de los extremos de un segmento.
5.
Lugar geométrico de los puntos del plano que están a la
misma distancia de los lados de un ángulo.
6.
Triángulos que tienen sus ángulos iguales y cuyos lados
son proporcionales.
7.
Punto del que equidistan todos los puntos de una
circunferencia.
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. Una habitación tiene forma de cuadrilátero, pero sus paredes no forman ángulos de 90º. Se sabe que los ángulos que
forman tres de las cuatro esquinas son de 85º, 95º y 85º. Utilizando un transportador de ángulos, dibuja el cuadrilátero
con estos ángulos y mide el cuarto ángulo. ¿Podrías calcular el valor del cuarto ángulo sin utilizar el dibujo?
3.
Sean los triángulos ABC y A'B'C'. Calcula el valor desconocido x.
5.
a)
Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 centímetros. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
b)
Dibuja un triángulo con los lados el doble que los del anterior. ¿Son semejantes? ¿Por qué?
c)
Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera diferente de los anteriores. ¿Son todos los triángulos rectángulos
semejantes?
6. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 centímetros, y el lado desigual, 12. Dibuja un triángulo
isósceles con estas dimensiones. ¿Cuánto mide su altura sobre el lado desigual? ¿Qué teorema puedes aplicar para
obtener este resultado sin el dibujo?
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
9
Página fotocopiable
4. Con la ayuda de una cinta métrica, elabora un plano de tu casa o de una parte de tu colegio. Utiliza una escala
adecuada e indica cuál has empleado.
Actividades de refuerzo
7.
8.
Utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos, dibuja:
a)
La mediatriz de un segmento de 8 cm.
b)
La bisectriz de un ángulo de 45º.
c)
Una circunferencia que equidiste 3 cm de otra cuyo radio mide 2 cm.
Calcula el área de las siguientes figuras elementales.
a)
9.
b)
Calcula el área de las siguientes figuras elementales.
a)
b)
10. Colorea los polígonos cuya numeración coincida con la parte entera de los resultados obtenidos en las actividades 8 y
9, y obtendrás una figura compuesta.
¿De qué figura se trata?
b)
Si la cuadrícula está formada por cuadrados de 1 cm de lado, ¿qué área ocupa la figura que has coloreado?
Página fotocopiable
a)
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
10
Actividades de refuerzo
Unidad 8 - Matemáticas Geometría del plano
Soluciones de las actividades de refuerzo
1.
6. 8 cm. Se calcula utilizando el teorema de Pitágoras.
1.
P
4
I
2.
3.
4.
T
Á
G
O
R
A
S
8
10 cm
A
L
T
U
R
A
C
Í
R
C
U
L
O
R
10 cm
8 cm
9
1
6
M
E
D
I
A
T
B
I
S
E
C
T
S
E
M
E
J
C
E
N
T
R
5.
6.
7.
I
Z
R
I
Z
N
T
12 cm
3
5
7. a)
7
A
E
S
2
O
8 cm
1
2
M
2.
3.
3
O
4
R
5
T
6
A
D
7
8
E
9
L
O
95º. Para calcularlo, basta aplicar que la suma de
ángulos de un cuadrilátero es 360º.
10 6
=
15 x
⇒
b)
6 ×15
= 9
10
x=
45º
4.
Respuesta libre
c)
5. a) Hipotenusa: 5 cm
3 cm
5 cm
5 cm
2 cm
4 cm
b) Sí, son semejantes porque sus lados son
proporcionales.
10 cm
8.
a)
22,5 cm2
b) 23,4 cm2
9.
a)
9,42 cm2
b) 30,28 cm2
6 cm
10. a)
8 cm
c) No todos los
semejantes.
triángulos
rectángulos
Unidad 8 - Matemáticas │ Geometría del plano
son
b)
Coloreamos las casillas cuyo interior contiene
los números 9, 22, 23 y 30, y comprobamos que
se trata de una pajarita.
El área de la pajarita es de 32 cm2.
11
Propuesta de evaluación A
Unidad 8 - Matemáticas Geometría del plano
Apellidos: ……………………………………………………………..
Nombre: ………………………………………..
Fecha: …………………..
Grupo: ………………..
1.
2.
3.
Curso: ………………..
Completa las siguientes frases.
a)
El ______________ es la parte del plano limitada por dos semirrectas con un origen común.
b)
Dos ángulos adyacentes son ___________________ cuando suman 180º.
c)
La suma de los ángulos de un ___________________ es siempre 180º.
d)
Las figuras semejantes tienen exactamente la misma ___________.
Razona si los siguientes triángulos pueden ser semejantes.
a)
Triángulo rectángulo ABC con ángulo en A y B = 60º, y triángulo rectángulo A'B'C' con ángulo en A' y C' = 30º
b)
En ABC, a = 16 cm, b = 9 cm y c = 8 cm. En A'B'C', a' = 128 cm, b' = 72 cm y c' = 64 cm
Halla las dimensiones de una habitación de 4,5 m de largo y 3 m de ancho en un plano a escala:
a) 1:150
4.
Calcula el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa y el otro cateto miden 18 y 14 centímetros,
respectivamente.
5.
Calcula el área de un trapecio isósceles en el que las bases y la altura miden 15, 10 y 3 centímetros, respectivamente.
6.
¿Qué superficie abarca un abanico que cuando está cerrado mide 20 centímetros y cuando está abierto tiene una
amplitud de 135º?
7.
Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles no.
a)
El resultado de un partido de fútbol.
b)
El tiempo que tarda en recorrer un coche una determinada distancia a velocidad constante.
c)
Que se encienda una luz al pulsar el interruptor.
d)
Obtener una copa al extraer una carta de la baraja española.
Página fotocopiable
b) 1:300
Propuesta de evaluación B
Unidad 8 - Matemáticas Geometría del plano
Apellidos: ……………………………………………………………..
Nombre: ………………………………………..
Fecha: …………………..
Grupo: ………………..
1.
Curso: ………………..
Completa las siguientes frases.
a)
Dos ángulos adyacentes son ______________________ cuando suman 90º.
b)
La suma de los ángulos de un ___________________ de n lados es siempre (n – 2) · 180º.
c)
El cociente de dos segmentos correspondientes de dos figuras semejantes se llama _________ de semejanza.
d)
Dos triángulos son _________________ si sus ángulos son iguales, y sus lados, proporcionales.
2. En la siguiente figura, las medidas en centímetros son: AB = 4, AD = 18, DH = 15, FG = 8, EG = 12.
Calcula el valor de BF y CG.
Se tiene un plano a escala 1:10 000.
a)
¿A qué distancia en el plano equivalen 15 kilómetros en la realidad?
b)
¿A qué distancia real equivalen 8 centímetros del plano?
4.
Calcula el lado de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 12 y 8 centímetros, respectivamente.
5.
Calcula el área de una corona circular de radios exterior e interior de 8 y 5 centímetros, respectivamente.
6.
Se quiere vallar una finca que tiene forma de trapecio rectángulo y cuya extensión es de 6150 metros cuadrados.
Sabemos que los lados paralelos miden 70 y 120 metros, respectivamente. Si el metro de valla cuesta 15 euros,
¿cuánto cuesta vallar la finca?
Página fotocopiable
3.
Unidad 8 - Matemáticas Geometría del plano
Soluciones propuesta A
1.
a)
Soluciones propuesta B
Ángulo
b) Suplementarios
1.
a) Complementarios
b) Polígono
c) Triángulo
c) Razón
d) Forma
d) Semejantes
2.
a)
Los dos triángulos son semejantes, pues tienen
los ángulos iguales, ya que los tres ángulos de
un triángulo suman 180º.
2.
CG EG
EG × BF
=
⇒ CG =
= 10 cm
BF EF
EF
b) Son semejantes, pues tienen los 3 lados
proporcionales, siendo 8 la razón de semejanza.
3.
a)
Largo: 3 cm. Ancho: 2 cm. Área = 3 · 2 = 6 cm2
3.
b) Largo: 1,5 cm. Ancho: 1 cm. Área = 1,5 cm2
4.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
2
a)
b)
4.
c = h − c2 = 128 ⇒ c1 = 11,31 cm
2
1
BF
AB
AB ×DH 10
=
⇒ BF =
=
cm
DH AD
AD
3
2
1
x
=
; x = 0,0015 km ; x = 150 cm
10 000 15
1
8
= ; y = 80 000 cm ; y = 0,8 km
10 000 y
Aplicando el teorema de Pitágoras:
h 2 = 62 + 4 2 = 52 ⇒ h = 7,21cm
5.
A = 37,5 cm2
5.
π ⋅ (82 − 52 ) = 39 π cm2
6.
El abanico extendido es un sector circular de 20 cm
de radio y 135 grados de amplitud.
6.
Atrapecio =
Área =
20 2 ⋅ 135 π
= 150 π cm2
360
(120 + 70)
h ; 95 h = 6150 ⇒ h = 64,74 m
2
Longitud lado lateral: l =
64,742 + 50 2 = 81,80 m 2
Perímetro: 64,74 + 70 + 81,8 + 120 = 336,54 m
Coste: 336,54 ⋅ 15 = 5048,10 euros