SEMINARIO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS II 1 PROYECTO 1 PROYECTO 1 PROBLEMA 1 Tema: Funciones de varias variables I. Las siguientes preguntas se refieren al costo 𝐶, de renta de un automóvil de una compañía que cobra $40 por día y 15 centavos una milla. 1. Escriba una función donde 𝐶 dependa de las variables 𝑑 es el número de días y 𝑚 es el número de millas. 2. Haga una tabla de valores para 𝐶, usando 𝑑 = 1, 2, 3, 4 y 𝑚 = 100, 200, 300 y 400. Su tabla deberá tener 16 valores. a) Encuentre 𝑓(3,200) e interprétela. b) Explique la importancia de 𝑓(3, 𝑚) en términos de costos de renta de automóviles. Haga una gráfica de esta función, con 𝐶 como una función de 𝑚. c) Explique la importancia de 𝑓(𝑑, 100), en términos de costos de la renta de automóviles. Trace una gráfica de esta función, con 𝐶 como una función de 𝑑. PROBLEMA 2 Tema: Dominio y gráfica de funciones de varias variables I. Para las siguientes funciones determinar su dominio de manera analítica y después graficar la función en su dominio. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 − 𝑦 2 − 1) b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑖𝑛−1 (3 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 ) 1 √𝑧−𝑥 2 −𝑦 2 II. Las siguientes preguntas se relacionan con las gráficas posibles de la ecuación de segundo grado 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹𝑧 + 𝐻 = 0 SEMINARIO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS II 2 PROYECTO 1 1. ¿En qué condiciones de los coeficientes 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es la gráfica a) un elipsoide; b) un paraboloide; c) un hiperboloide? 2. ¿En qué condiciones de los coeficientes es la gráfica un cono o un cilindro? 3. Además de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cuáles son las otras posibilidades para la gráfica de la ecuación de segundo grado? Dé un ejemplo que ilustre cada posibilidad. PROBLEMA 3 Tema: Curvas y superficies de nivel I. Si 𝑉(𝑥, 𝑦) es el voltaje o potencial de un punto (𝑥, 𝑦) del plano 𝑥𝑦, las curvas de nivel de 𝑉 se llaman entonces curvas equipotenciales. A lo largo de una curva tal, el voltaje permanece constante. Para un potencial 𝑉(𝑥, 𝑦) = 8 √16 + 𝑥 2 + 𝑦 2 bosqueje las curvas equipotenciales en las que 𝑉 = 2.0, 𝑉 = 1.0 y 𝑉 = 0.5. II. Para la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 , determine el tipo de superficie que se obtiene si: a) 𝑘>0 b) 𝑘=0 c) 𝑘<0 Ilustre sus respuestas con un ejemplo de cada tipo de gráfica.