´ALGEBRA I. HOJA 1 1) Sea (G,∗) un grupo. Demostrad lo siguiente

ÁLGEBRA I. HOJA 1
1) Sea (G, ∗) un grupo. Demostrad lo siguiente: a) el elemento neutro e es único; b) dado un elemento g ∈ G, su
inverso g −1 es único; c) Para cada a y b en G la ecuación a ∗ x = b tiene una única solución. d) Para cada a y b
en G la ecuación x ∗ a = b tiene una única solución.
2) Sea (S, ∗) un conjunto no vacio con una operación interna ∗ asociativa que además verifica la condición c) del
ejercico anterior. ¿Es (S, ∗)un grupo?
3) Se consideran en R2 dos rectas perpendiculares r y s que se cortan en el origen 0. Sea V = {ι, σ0 , σr , σs },
donde ι es la aplicación identidad en R2 , σ0 , σr y σs son las simetrı́as respecto al origen, r y s respectivamente.
Demostrad que (V, ◦) es un grupo y hallad su tabla ((V, ◦) es el grupo de Klein).
4) En el intervalo G = (−1, 1) de la recta real se define la siguiente operación: ∀x, y ∈ G x ∗ y =
Demostrad que (G, ∗) es un grupo abeliano.
x+y
1+xy .
5 a) Halla el inverso de 11 en Z23 b) Halla el inverso de 5 en Z31
6) Sea G un grupo. Demostrad que las siguientes condiciones son equivalentes.
a) G es abeliano; b) ∀a, b ∈ G (ab)2 = a2 b2 y c) ∀a, b ∈ G (ab)−1 = a−1 b−1 .
7) Sea G un grupo abeliano y n ∈ N no nulo. ¿Es Gn = {x ∈ G | o(x) divide a n} un subgrupo de G. ¿Ocurre lo
mismo si G no es abeliano?
8) Encontrad un grupo G y elementos a, b ∈ G tales que o(a) y o(b) sean coprimos pero o(ab) 6= o(a)o(b).
9) ¿El producto directo de grupos cı́clicos es cı́clico?
10) Demostrad que si un grupo G tiene un número par de elementos entonces hay al menos uno, distinto del
neutro que es su propio inverso.
11) Demostrad que para que un subconjunto distinto del vacı́o de un grupo finito sea subgrupo basta que sea
cerrado para la operación.
12) Calculad los
! elementos y la
! tabla de multiplicación del subgrupo de GL2 (C) generado por las matrices
0 1
0 i
A=
yB=
.
−1 0
i 0
13) Sean x y g elementos de un grupo G. Demostrad que para todo n ∈ N, (x−1 gx)n = x−1 g n x. Deducid que g
y x−1 gx tienen el mismo orden.
14) Sea S un conjunto no vacı́o de un grupo G. Se define una relación en G mediante a ∼ b si y solamente si
ab−1 ∈ S. demostrad que ∼ es una relación de equivalencia si y solamente si S es subgrupo de G.
15) ¿Cuál es el mı́nimo número de generadores del grupo Z ⊕ Z?
16) Se define f : D3 −→ {1, −1} mediante: f (g) = 1 si g es una rotación y f (g) = −1 si g es una simetrı́a.
Demostrad que f es un homomorfismo de grupos.
17) Determinad el grupo Aut(C3 ) y escribid su tabla.
18) Demostrad que un grupo G es abeliano si y solamente si la aplicación f : G −→ G
automorfismo.
!
!
f (x) = x−1 es un
0 1
0 1
19) Sea (H, ·) el subgrupo de GL2 (R) generado por
y
. Demostrad que H es un grupo no
−1 0
1 0
abeliano de orden 8 que no es isomorfo al grupo del ejercicio 12, sino que es isomorfo al grupo D4 .