Ayudantía Métodos de Optimización Método Simplex metodoptimizacion.bligoo.com optimizacion.bligoo.com Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Problema Inicial Max Z= 3x + 2y s/a: 2x + y < 18 2x + 3y < 42 3x + y < 24 x,y >0 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Problema Normalizado Min W= -3x - 2y s/a: 2x + y +S1 2x + 3y +S2 3x + y +S3 x,y,S1,S2,S3 >0 = 18 = 42 = 24 Como las desigualdades eran <, entonces agregamos variables de Holgura Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau Cj -3 CB XB X 0 S1 2 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b 1 0 0 18 0 S2 2 0 S3 3 Cj - Zj -3 3 1 -2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 42 24 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau Entra a la base, Sale de la Base 1º Iteracion Entra: Min{Cj-Zj} Sale: Min{b/Xj} Cj -3 CB XB X 0 S1 2 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b b/X 1 0 0 18 9 0 S2 2 0 S3 3 Cj - Zj -3 3 1 -2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 42 21 24 8 W=0 Si existe En el caso de que todos los elementos de b/X fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. o si alguna columna Fuesen todos los elementos menores o iguales que cero. alguna Columna < 0 solución no acotada Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau Cj -3 CB XB X 0 S1 2 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b 1 0 0 18 0 S2 2 -3 X 3 Cj - Zj -3 3 1 -2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 42 24 F1 F2 F3 Debemos hacer 1, como? con F3/3 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau Cj -3 CB XB X 0 S1 2 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b 1 0 0 18 0 S2 2 -3 X 1 Cj - Zj -3 3 0 1/3 0 -2 0 1 0 0 0 42 1/3 8 0 F1 F2 F3 Debemos hacer 0, como? F1: F1-2*F3 F2: F2-2*F3 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau Cj -3 CB XB X 0 S1 0 -2 0 0 0 Y S1 S2 S3 b 1/3 1 0 -2/3 2 0 S2 0 -3 X 1 Cj - Zj -3 7/3 0 1/3 0 -2 0 1 0 0 -2/3 26 1/3 8 0 Actualizamos los costos reducidos Como? Cj-Zj Zj=> CB*Xj (producto punto) Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau Cj -3 CB XB X 0 S1 0 -2 0 0 0 Y S1 S2 S3 b 1/3 1 0 -2/3 2 0 S2 0 -3 X 1 Cj - Zj 0 7/3 0 1/3 0 -1 0 1 0 0 -2/3 26 1/3 8 1 -3 – (0*0+0*0+-3*1) 0 – (0*1+0*0+-3*0) -2 – (0*1/3+0*7/3+-3*1/3) 0 – (0*0+0*1+-3*0) 0 – (0*-2/3+0*-2/3+-3*1/3) Nota: Si los costos reducidos de una Variable no basica es 0 significa Que tenemos infinitas soluciones Ya que si esa variable la hacemos Entrar a la base no alteraria el valor De la funcion objetivo Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau La base es optima??? Cj -3 CB XB X 0 S1 0 -2 0 0 0 Y S1 S2 S3 b 1/3 1 0 -2/3 2 0 S2 0 -3 X 1 Cj - Zj 0 7/3 0 1/3 0 -1 0 1 0 0 NO Entonces??? Volvemos a iterar -2/3 26 1/3 8 1 Son todos > 0??? NO (-1) Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau 2º Iteracion Cj -3 CB XB X 0 S1 0 -2 0 0 0 Y S1 S2 S3 b 1/3 1 0 -2/3 2 0 S2 0 -3 X 1 Cj - Zj 0 7/3 0 1/3 0 -1 0 1 0 0 b/Y 6 -2/3 26 78/7 1/3 8 24 W=-24 1 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau La base es optima??? Cj -3 CB XB X -2 Y 0 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b 3 0 -2 6 0 S2 0 -3 X 1 Cj - Zj 0 0 0 0 -7 -1 3 1 0 0 4 1 -1 NO Entonces??? Volvemos a iterar 12 6 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau 3º Iteracion Cj -3 CB XB X -2 Y 0 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b 3 0 -2 6 0 S2 0 -3 X 1 Cj - Zj 0 0 0 0 -7 -1 3 1 0 0 4 1 -1 b/S3 -3 12 3 6 6 W=-30 Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Tableau La base es optima??? Cj -3 CB XB X -2 Y 0 -2 Y 1 0 0 0 S1 S2 S3 b -1/2 1/2 0 12 0 S3 0 -3 X 1 Cj - Zj 0 0 0 0 -7/4 1/4 1 3/4 -1/4 0 5/4 1/4 0 3 3 W=-33 SI Entonces??? TERMINAMOS X=3 Y=12 S1=0 S2=0 S3=3 Variables Básicas:{X,Y,S3} Variables NO Básicas:{S1,S2} Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados Interpretación Geométrica Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteración han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0. A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la iteración 2. En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0): Z=f(8,0) = 24 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la iteración 3. En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6,6) : Z=f(6,6)=30. Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son los de la tabla final. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solución no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice D). Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), su valor no supera el valor 33. Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados FIN metodoptimizacion.bligoo.com optimizacion.bligoo.com Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados