T t

NOLAN JARA J.
FUNCIÓN
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (A)
le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada (B).
Definición
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento x del dominio le corresponde
sólo un elemento y del codominio.
f
y
Esto se expresa: y = f (x) o x 
Se observa que:
De cada elemento del conjunto de salida A sale a lo mas una flecha.
De cada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.
[FIEE-UNMSM]
Página 34
NOLAN JARA J.
GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO
En el plano cartesiano se pueden representar los gráficos de las relaciones y funciones
en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas.
El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el eje
horizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos
del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del
producto cartesiano que pertenecen a la relación o función generándose así el grafico de
la relación o función dada.
En este tipo de gráficos pueden representarse distintas variables en función del tiempo:
Cada punto del gráfico nos permite conocer la situación de la variable en un instante
determinado.
Las líneas nos permiten conocer a simple vista la evolución de la variable en el
transcurso del tiempo.
Ejemplos
1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2t  1, t ) / t 
[FIEE-UNMSM]
b) (3t ²  1, t ) / t 
Página 35
NOLAN JARA J.
Solución:
a)
b)
x  2t  1
y t ;
t   y 
x  3t 2  1
y t ; t
x 1
 f ( x) es función
2
x  3y2 1  y  
x 1
no es función
3
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCION LINEAL
f: R  R /y = f(x)  a x + b ; a  0
Dom( f ) : x  R
Ran( f ) : y  R
FUNCION CUADRATICA
[FIEE-UNMSM]
Página 36
NOLAN JARA J.
f : R  R / y  f ( x)  ax ²  bx  c; a  0
Dom( f ) : x  R
i) si a > 0
Ran( f ) : y   k ,   ; k 
4ac  b²
4a
f tiene un valor minimo y  k cuando x  h ; h 
b
2a
ii) si a < 0
[FIEE-UNMSM]
Página 37
NOLAN JARA J.
Ran( f ) : y   , k  ; k 
4ac  b²
4a
f tiene un valor Maximo y  k cuando x  h ; h 
b
2a
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
f: R  R / y = f(x) 
x
Dom (f): x  0 ; Ran (f) : y  0
[FIEE-UNMSM]
Página 38
NOLAN JARA J.
Ejemplo: g ( x)    x ; y    x
 Dom( g ) : x  R / y  (  x )  R
x0x0
 Ran( g )  y  (  x )  R / x  0
x  0  x  0   x  0  y  0
[FIEE-UNMSM]
Página 39
NOLAN JARA J.
Ejemplos
1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2t  1, t ) / t 
b) (3t ²  1, t ) / t 
Solución:
b)
b)
x  2t  1
y t ;
x  3t 2  1
y t ; t
t   y 
x 1
 f ( x) es función
2
x  3y2 1  y  
x 1
no es función
3
2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o
ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver
la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a
24 horas).Se pide:
a) Estimar T (5) y T (16).
b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).
[FIEE-UNMSM]
Página 40
NOLAN JARA J.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
T
28
(7,22)
22
.
.
(20,22)
16
10
t
3
6
9
12
15
18
21
24
Solución:
T(t)=
a)
16 ; si
6t  20 ; si
22 ; si
6t  142; si
16
; si
T(5) = 16º C;
0t 6
6  t  7 ; 16  T  22
7  t  20
20  t  21 ; 16  T  22
21  t  24
T(16) = 22º C
16 ; si 1  t  7
b)
6t  26 ; si 7  t  8 ; 16  H  22
H (t )  T (t 1) 
22 ; si 8  t  21
6t  148; si 21  t  22 ; 16  H  22
16
; si 22  t  25
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
[FIEE-UNMSM]
Página 41
NOLAN JARA J.
H
28
(8,22)
22
(21,22)
16
(1,16)
(25,16)
10
t
3
4
3
c)
J (t )  T (t ) 1
6
8
4
6
9
9
12…
12
15 ; si
6t  21 ; si
21 ; si
6t  141; si
15
; si
15
18
21
24
0t 6
6  t  7 ; 15  J<21
7  t  20
20  t  21 ; 15<J  21
21  t  24
Las temperaturas son un grado más bajas.
[FIEE-UNMSM]
Página 42
NOLAN JARA J.
J
28
(7,21)
22
(20,21)
16
10
)
(24,15)
(0,15)
t
3
6
9 12… 15
4
8
9
12
3 x ² 46 x  8 ; x  -4

6
3) Sea: f ( x)   x  3 ; - 3  x  0

x - 1 ; x  10

18
21
Hallar el rango y graficar la función f.
y
Y
Solución:
f2
24
f3
(0, 3)
(10,3)
(-4, 0)
f1
(-3, 0)
x
Ran( f ) : y  R
4) Un granjero dispone de 300 metros de valla para cercar dos terrenos de pasto
adyacentes (ver figura).
[FIEE-UNMSM]
Página 43
NOLAN JARA J.
x
x
y
x
y
a) Expresar el área total A de los 2 terrenos en función de x. ¿Cuál es el dominio de A?
b) Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que dan el área conjunta máxima.
Solución:
a)
3x  4 y  100  y 
300  3x
; 0  x  100
4
3
3
A( x)  2 xy  A( x)  (100 x  x 2 )  A( x)  (50) 2  ( x  50) 2 
2
2
b)
A(x) = 3750 -
A
3
75
 x  50 ²  3750  Amax  3750u ² ; cuando x = 50 u ; y = u.
2
2
V=(50,3750)
X
(100,0)
[FIEE-UNMSM]
Página 44
NOLAN JARA J.
5) Un pequeño empresario ha determinado que el costo de fabricar 1000
TERMOSTATOS semanalmente es de 9000 dólares y que 1500 TERMOSTATOS le
cuestan 12000 dólares: exprese el costo como función del número de TERMOSTATOS
fabricados, suponiendo que es lineal. Trace la grafica. ¿Cuál es la pendiente de la
grafica y que representa? ¿Cuál es la intersección con el eje Y y que representa?
6) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100
100000
y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) =
100  900e t
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en
llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la
función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.
7) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 100
metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.
Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al
río. ¿Cuál es el dominio de A?
Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima del
terreno.
Más Problemas desarrollados
1) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2  3t , t ) / t 
b) (3  2t ², t ) / t 
Solución:
x  2  3t
c)
b)
y t
;
x  3  2t 2
y t ; t
[FIEE-UNMSM]
t   y 
2 x
 f ( x) es función
3
x  3  2 y2  y  
3 x
no es función
2
Página 45
NOLAN JARA J.
2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o
ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver
la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a
24 horas).Se pide:
a) Estimar T (3) y T (15).
b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
T
32
28
24
2
18
6
10
(5,24)
2
4
3
4
8
4
6
(21,24)
6
9
…
…12
…
20
22
24
t
Solución:
T(t)=
18 ; si 0  t  4
6t  6 ; si 4  t  5 ; 18  T  24
24 ; si 5  t  21
6t  150; si 21  t  22 ; 18  T  24
18 ; si 22  t  24
[FIEE-UNMSM]
Página 46
NOLAN JARA J.
a) T(3) = 18º C;
T(15) = 24º C
b)
H (t )  T (t 1) 
18 ; si 1  t  5
6t  12 ; si 5  t  6
; 18  H  24
24 ; si 6  t  22
156  6t ; si 22  t  23 ; 18  H  24
18
; si 23  t  25
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
H
32
28
24
2
18
6
10
(6,24)
(22,24)
(1,18)
(25,16)
t
2
3
4
3
c)
J (t )  T (t)  1 
4
8
4
6
6
9
9
……1
2
…
20
22
24
17 ; si 0  t  4
6t  7 ; si 4  t  5 ; 17  J<23
23 ; si 5  t  21
6t  149; si 21  t  22 ; 17<J  23
17
; si 22  t  24
Las temperaturas son un grado mas bajas.
[FIEE-UNMSM]
Página 47
NOLAN JARA J.
J
32
28
24
2
18
6
10
(5,23)
(21,23)
(24,17)
(0,17)
t
2
3
4
3
4
6
8
4
6
6
9
5
9
……1
2
…
20
22
24
3) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de
120 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.
a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados
paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A?
b. Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el
área máxima del terreno.
Solución:
x
y
x  2 y  120  y 
y
120  x
; 0  x  120
2
1
1
A( x)  (120 x  x 2 )  A( x)   ( x  60) 2  3600
2
2
A(x) = 1800 -
[FIEE-UNMSM]
1
 x  60 ²  1800  Amax  1800u ² ; cuando x = 60 u ; y = 30 u.
2
Página 48
NOLAN JARA J.
A
V=(60,1800)
t
(120,0)
4)
en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2t  1, t ) / t 
b) (3t ²  1, t ) / t 
Solución:
x  2t  1
y t ;
x  3t 2  1
y t ; t
t   y 
x 1
 f ( x) es función
2
x  3y2 1  y  
x 1
no es función
3
5) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o
ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver
la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a
24 horas).Se pide:
[FIEE-UNMSM]
Página 49
NOLAN JARA J.
a) Estimar T (5) y T (16).
b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
28
(7,22)
22
(20,22)
16
10
3
4
3
Solución:
T (t ) 
16 ; si
6t  20 ; si
22 ; si
6t  142; si
16
; si
a) T(5) = 16º C;
6
8
4
6
9
9
12…
12
15
18
21
24
0t 6
6  t  7 ; 16  T  22
7  t  20
20  t  21 ; 16  T  22
21  t  24
T(16) = 22º C
16 ; si 1  t  7
b)
6t  26 ; si 7  t  8 ; 16  H  22
H (t )  T (t 1) 
22 ; si 8  t  21
6t  148; si 21  t  22 ; 16  H  22
16
; si 22  t  25
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
[FIEE-UNMSM]
Página 50
NOLAN JARA J.
H
28
(8,22)
22
16
(21,22)
(1,16)
(25,16)
10
3
4
3
c)
6
8
4
6
J (t )  T (t ) 1
9
9
12…
12
15 ; si
6t  21 ; si
21 ; si
6t  141; si
15
; si
15
18
21
24
0t 6
6  t  7 ; 15  J<21
7  t  20
20  t  21 ; 15<J  21
21  t  24
Las temperaturas son un grado más bajas.
28
(7,21)
22
(20,21)
16
10
(24,15)
(15,0)
3
4
3
6
8
4
6
9
9
12…
12
15
18
21
24
6) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de
100 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.
a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados
paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A?
b. Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el
área máxima del terreno.
Solución:
[FIEE-UNMSM]
Página 51
NOLAN JARA J.
a)
y
y
x  2 y  100  y 
100  x
; 0  x  100
2
x
1
1
A( x)  (100 x  x 2 )  A( x)   ( x  50) 2  2500
2
2
A(x) = 1250 -
1
 x  50 ²  1250  Amax  1250u² ; cuando x = 50 u ; y = 25 u.
2
v = (50,1250)
A
X
[FIEE-UNMSM]
Página 52
NOLAN JARA J.
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCION VALOR ABSOLUTO
f: R R / f(x)  / x / ; ( y = / x / )
Dom ( f ) : xR ; Ran ( f ) : y  0
FUNCION SIGNO
f: R  R / y = f(x) sgn(x)
 1 ; si x  0

sgn( x)   0 ; si x  0
1 ; si x  0

Dom( f ) : x  R
Ran( f ) : y  1, 0,1
[FIEE-UNMSM]
Página 53
NOLAN JARA J.
FUNCION ESCALON UNITARIO
f: R  R / y = f(x)  u(x)
1; si x  0
u ( x)  
0; si x  0
Dom( f ) : x  R
Ran( f ) : y  0,1
[FIEE-UNMSM]
Página 54
NOLAN JARA J.
FUNCION MAXIMO ENTERO
f : R  R / y  f ( x)   x 
 x   n  n  x  n  1; n  
Dom( f ) : x  R
Ran( f ) : y  

1 ; si  1  x  0

y   0; si 0  x  1
 1; si 1  x  2


[FIEE-UNMSM]
Página 55
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN POLINOMIAL
f: R  R / f(x)  ao xn + a n-1 xn-1 +.....+ an, a 0  0, n  Z+
Dom (f): xR
Observación: (1)
Sea f(x)  x2n xR nZ+
Ran(f): y = x2n = (xn)2  0  xR y  0
[FIEE-UNMSM]
Página 56
NOLAN JARA J.
Observación: (2)
Sea g(x)  x2n+1 xR nZ+
Ran(f): y = x2n+1 x= (x2n x)R  yR . (Si x  0  y  0; si x<0y<0)
FUNCIÓN RACIONAL
f : R  R / f ( x) 
[FIEE-UNMSM]
a0 x n  a1 x n 1  .....  an
; b0  0;
b0 x m  b1 x m1  .......  bm
a0  0
Página 57
NOLAN JARA J.
Dom( f ) : x  R / (b0 xm  b1 x m1  .....  bm)  0
Observación:
1 
1
f ( x)  ;  y  
x 
x
Dom( f ) : x  R / x  0
Ran( f ) : x  0....Dom( f ) 
1
 0  y  0...Ran( f )
x
Gráfico:
x
- -2
-1
- 1/2
 0-
 0+ 1/2 1
y
+ 0 - 1/2
-1
-2
-

2
1
PROBLEMAS
1) Para los triángulos rectángulos de igual perímetro, determinar una expresión para el
área que defina una función de una sola variable, así como el máximo subconjunto de
variación de esa variable.
SOLUCION.
[FIEE-UNMSM]
Página 58
NOLAN JARA J.
x²  y 2
y
x
Indicando por A el área y por x y y las longitudes de los catetos de un triángulo
cualquiera de la colección de todos los triángulos rectángulos con perímetro 2p, donde p
A
es una constante, se tiene que
de dos variables, A  g ( x, y) 
1
x. y , es decir, el área A como una función
2
1
x. y
2
Si se tiene en cuenta que el perímetro de
estos triángulos es 2p, se obtiene la relación:
xy
Despejando
x 2  y 2  2p
x2  y2
, elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
resultante y simplificando se obtiene:
4p 2  2xy  4px  4py  0
Despejando y, resulta
y  2 p(
x p
)
x 2p
Luego
A  g ( x, y )  px
[FIEE-UNMSM]
x p
x 2p
Página 59
NOLAN JARA J.
y de aquí se obtiene la expresión buscada:
A  A( x )  px
x p
x  2p
Pasemos a determinar el máximo subconjunto de variación de la variable x. Obviamente
el menor valor que puede tomar la variable x es el cero y el mayor valor que puede
alcanzar es p que corresponde al caso en que y = 0 o la hipotenusa coincide con el otro
cateto, y por lo tanto toma los mismos valores que x, resultando entonces 2x  2p , de
donde se tiene que x  p . Se concluye que x   0, p  .

2
; x  2, x  6
 7
x6


2) Sea: f(x)=  4sgn( x ²  1)  x ²,1  x  2

 1 

 x  2   x ², x  1



Rango.
trazar la gráfica de f y determinar el
SOLUCION.
2

7  x  6 ; x  , 2  2, 6  6, 


f ( x)  
4  x ² ,1  x  2
f2

1  x ², 1  x  1
f3



Ran( f ) : y  ,
[FIEE-UNMSM]
f1
13
27

, 7  7, 
2
4
Página 60
NOLAN JARA J.
(2, 27 / 4)
(2,13 / 2)
f2
f3
3) Hallar el Dominio de la función f ( x) 
1 x  2
x²  1
Solución:
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
f ( x) 
1 x  2
x2 1
D( f ) : x  R /1  x  2  0  x 2  1  0  x  2  1  x 2  1
 1  x  3  ( x  1  x  1)  x  1,3]...D( f )
4) Hallar el rango y graficar la función f(x) = sgn(
x²  5x
)
x²  4
Solución.
Dom(f): x  R  2
x( x  5)
 0  x  , 2    0, 2    5,  
( x  2)( x  2)
x( x  5)
 0  x  0,5
( x  2)( x  2)
x( x  5)
 0  x  2,0    2,5 
( x  2)( x  2)
 1  x  , 2    0, 2    5,  

f ( x )  0 
x= 0,5

1
 x  <-2,0> <2,5>

[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
5) Hallar el Dominio de la función f ( x) 
1 x  2
x²  1

 x² - 1    x³  1 
Y graficar la función g ( x)   x²-1    x³  1  .
Solución:
a)
f ( x) 
1 x  2
x2 1
  x²-1    x ³  1 
D( f ) : x  /1  x  2  0  x 2  1  0   x 2  1    x 3  1   0
 x  2  1  x 2  1   x 2  1    x 3  1 
 1  x  3  ( x  1  x  1)   x 3    x 2 
 x  1,3]  x  ([1, 3 2   [ 2, 3 3 )
 x  1, 3 2   [ 2, 3 3  ...D( f )
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
0; x  [0, 3 2   [ 2, 3 3 

1; x  1, 0 
 2; x  1

 3; x  [ 3 2, 1 

b) g ( x)  2; x   2,  3 2 

3
 5; x  [ 3,  2]
.

.
.

6) Sea h( x) 
4x
4x
,(y  2 )
x 1
x 1
2
Hallar el dominio y rango de la función h
Solución.
x  R … Dom(h)
Ran(h) : y  (
x
2
4x
)  R / x  Dom(h)
x 1
2

 1 y  4 x  yx 2  4 x  y  0
4  16  4 y 2
x
2y
 2  4  y2
x

y


  R  4  y2  0  y  0  y  4  y  0   2  y  2  y  0


Pero si x  0  f (0)  y  0
 y   2,2
PRACTICA
I)
Hallar el dominio de f, si f es la función definida por :
[FIEE-UNMSM]
Página 64
NOLAN JARA J.
1) f ( x) 
2) f ( x) 
3) f ( x) 
x  x ²  16
x x  2   x
 xx x
  x   x  1

x   x  -1
1 x 
x 2 x  1   2 x
x ²  x  12 sgn( x ²  2)
4) f ( x) 
x  3  sgn( x 4  16)
3
5) f ( x)  x 4  16 -
1 x  2
6) f ( x) 
x²  1

7) f ( x) 
 x ²  16
x³  2x  1
x  3  2 sgn( x 4  16)

 x² - 1    x³  1 
x 2
 x²  2 x  3 
8) f ( x)  4   4  3 x  x ²  ²
II) Hallar el rango de la función:
1) f ( x) 
1
x²  2
2) f ( x) 
x²
x²  4
3) f ( x)  1  1  x
4) h(x) =
4x
x 1
2

x
5) f  ( x,
)
 x4
[FIEE-UNMSM]

x ( x 2  4)  0

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NOLAN JARA J.
x4
x x2
6) f ( x) 
7) f ( x) 
2
x 2  4x  4
8) g ( x) 
x2  4
2x
x 9
2
9) Hallar todos los valores reales de x , si es que existen tales que :
 x 1 
  sgn  x ²  1   0
sgn 

 2 x 
 x 2

2
; x  2, x  6
 7
x6

10) Sea: f(x)=  4 sgn( x ²  1)  x ² ,1  x  2 trazar la gráfica de f y determinar el rango

 1 

 x  2   x ², x  1



de f.
[FIEE-UNMSM]
Página 66
NOLAN JARA J.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
x2+y2=1
(x,y)=(cost, sent)
y
1
y
t
(-1,0)=(cos, sen)
x
x
(0,-1)  (cos
3
3
, sen )
2
2
FUNCIÓN SENO:
f: R R/ f(x) = senx ; (y = senx)
Dom ( f ): x  R
Ran (f): y  -1,1
Sen(-x) = -sen(x)   x, x  Dom( f )
Sen(x+2)= senx x,( x  2 )  Dom( f )
2 = Período
[FIEE-UNMSM]
Página 67
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN COSENO:
f: R R/ f(x) = cos(x) ; ( y = cos(x))
Dom (f): x  R
Ran (f): y  -1,1
Cos(-x) = Cos(x)
Cos(x+2) = Cos(x)
  x, x  Dom( f )
x,( x  2 )  Dom( f )
2 = Período
[FIEE-UNMSM]
Página 68
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN TANGENTE:
f: R R/ f(x) = tg(x) ; (y = tg(x)=
Dom ( f ): x  R 
sen( x)
)
cos( x)
2k  1
; k  Z
2
Ran (f): y  R
tg(x+)= tg(x ) x,( x   )  Dom( f )
 = Período
[FIEE-UNMSM]
Página 69
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN COTANGENTE:
f: R R/ f(x) = cotg(x) ; (y = cotg(x)=
cos( x)
)
sen( x)
Dom ( f ): x  R k ; k  Z
Ran (f): y  R
cotg(x+)= cotg(x ) x,( x   )  Dom( f )
 = Período
[FIEE-UNMSM]
Página 70
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN SECANTE:
f: R R/ f(x) = sec(x) ; (y = sec(x)=
Dom ( f ): x  R 
1
)
cos( x)
2k  1
; k  Z
2
Ran (f): y   , 1  1,  
[FIEE-UNMSM]
Página 71
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN COSECANTE:
f: R R/ f(x) = cosec(x) ; (y = cosec(x)=
1
)
sen( x)
Dom ( f ): x  R k ; k  Z
Ran (f): y   , 1  1,  
[FIEE-UNMSM]
Página 72
NOLAN JARA J.
Las funciones sinusoidales
La forma más general de una función sinusoidal es:
f ( x)  Asen( w( x  x0 ))  B
O también:
f ( x)  A cos( w( x  x0 ))  B
En la que aparecen cuatro parámetros: A, w, x0 , B conocidos con los siguientes
nombres:
A es la amplitud.
w es la frecuencia, que se denomina pulsación en el caso en que la variable
independiente sea el tiempo.
x0 es el ángulo de fase o desfasamiento.
B es el valor promedio de f (x).
La amplitud A determina el valor máximo que puede adquirir la función. Puesto que
las funciones seno y coseno oscila entre -1 y 1, al multiplicarla por un factor A oscilará
entre –A y A tal como indica la figura
[FIEE-UNMSM]
Página 73
NOLAN JARA J.
En la que se han representado simultáneamente las funciones:
f (x) = sen(x) y f (x) = 3sen(x)
El parámetro w está relacionado con el valor P del periodo de la función sinusoidal ,
puesto que se cumple:
P
2
2
 w
w
P
La siguiente figura es la representación gráfica simultánea de dos funciones que
difieren en el parámetro w : f (x) = sen(x) y f (x) = sen(4x). Se observa perfectamente
que la diferencia de periodos entre ellas es: la primera tiene un periodo 2 y el de la

segunda es de .
2
Finalmente, el desfasaje x0 modifica la posición horizontal de la curva: al aumentar su
valor la sinusoide se desplaza hacia la izquierda. Esta propiedad se puede comprobar en
la siguiente figura donde se representan simultáneamente las funciones
f (x) = sen(x) y f (x) = sen(x + 0.5)
[FIEE-UNMSM]
Página 74
NOLAN JARA J.
Obviamente, si el desfasaje fuese negativo la curva quedaría desplazada hacia la
derecha.
Puesto que las funciones seno y coseno tienen la misma forma, estando desplazadas
horizontalmente una con respecto de la otra, tal como indica la siguiente figura, resulta
evidente que sólo difieren entre sí en un defasaje.
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Para obtener la función coseno a partir de la función seno basta con desplazar esta
última

hacia la izquierda, por lo que se deduce:
2
Este hecho permite representar cualquier función sinusoidal sea en forma de un seno o
bien en forma de un coseno.
Ejemplos.
1) Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre
0.025 y 0.04 metros, determinar: la frecuencia de oscilación, una función que describa
el movimiento y la grafica de esta función.
Solución.
Supongamos que el movimiento se describa por la función:
f (t )  A cos( w(t  t0 ))  B .
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que t 0 = 0. en el enunciado del problema
se dice que el periodo es de 1.3 segundos ( P = 1.3 ), entonces la frecuencia es:
w
2 2
= 4.83322

P 1.3
Como la función varia de 0.025 a 0.04 metros se tiene que:
A + B = 0.04
-A + B = 0.025
Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que:
A = 0.0075 ; B = 0.0325
Con estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa:
f (t )  0.0075cos(
[FIEE-UNMSM]
2 t
)  0.0325  0.0075cos(4.8332t )  0.0325
1.3
Página 76
NOLAN JARA J.
2) Aproximadamente la temperatura en la ciudad del Cuzco varia de forma sinusoidal
durante el año. Si la máxima temperatura es de 32 º c el primero de agosto y la mínima
es de 27 º c el primero de febrero, determine una función para la temperatura en el
Cuzco durante el año y después graficarla.
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Sean f,g: R  R
f   x, y   R 2 / y  f ( x), x  Dom( f )
g   x, y   R 2 / y  g ( x), x  Dom( g )
1º) f=g  Dom(f) = Dom(g) y f(x) = g(x) x Dom( f )
Ejemplo:
f ( x) 
x  1x  5
g ( x)  x  1 x  5
Solucion:
Dom( f ) : x  ,1  5, 
Dom( g ) : x 5,  
Dom ( f )  Dom ( g )  fg
2º)
f  g   x, y   R 2 / y   f  g  x  f ( x)  g ( x); x  Domf  Domg
3º)
f .g   x, y   R 2 / y   fg  ( x)  f ( x).g ( x), x  Domf  Domg
[FIEE-UNMSM]
Página 78
NOLAN JARA J.
4º)

f 
f 
f ( x)
  x, y   R 2 / y    ( x) 
; x  D( f )  D( g ) tal que g ( x)  0 
g 
g ( x)
g

f
Dom   Dom( f )  Dom( g ) tal que g(x) 0
g
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
g
f
A
B
C
R(g)D(f)
b=g(a)
a
c = f(b)
= f(g(a))
= (fog)(a)
h = f og
Si f,g: R R
(fog)(x) = f(g(x))
fog  Dom(fog)  0
Dom( f o g )   x  R / x  D( f )  g ( x)  D( f )
O tambien
Dom( f o g )  x  Dom( g ) / g ( x)  Dom( f )
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Generalmente: fog  gof
FUNCION INVERSA
FUNCION INYECTIVA:
Sea fRR/y=f(x) f es inyectiva si y solo si
f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2
x1 , x2  Dom( f )
O también f es inyectiva si y solo si
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
x1 , x2  Dom( f )
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Geométricamente
Es decir si toda recta horizontal que corta al grafico de una funcion, lo corta en un solo
punto entonces la funcion es inyectiva
[FIEE-UNMSM]
Página 81
NOLAN JARA J.
Como f(x1) = f(x2) y x1  x2 entonces f no es inyectiva.
FUNCION SOBREYECTIVA:
Sea f: A  B/y = f(x)
f es sobreyectiva si y solo si
Ran ( f ) = B
O también f es f sobreyectiva Si  y B  xA / f(x) = y
FUNCION BIYECTIVA
Sea f: A  B/ y = f(x)
f es biyectiva  f es inyectiva y sobreyectiva
Sea f: A  B/ y = f(x); x Dom (f)
f = (x,y) AxB / xD( f ) 
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
y si f es inyectiva  la función inversa de f: f
Donde f
-1
-1
ó f*
= (y,x) BxA / xDom( f )
Tal que:
Ran ( f -1) = Dom( f )
Dom ( f -1) = Ran( f )
Una forma práctica para hallar f - 1 consiste en que a partir de la ecuación
y = f(x) intercambiar variables obteniéndose la ecuación x = f ( Y )
Luego despejamos Y = f - 1( x )
Observación: Si f y g son dos funciones inyectivas se tiene que.
(f -1) -1 = f
f o f -1 = f -1o f = I (I función identidad)
(f o g)-1 = g-1 o f-1
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f: R R/ f(x) = ax ; ( y = ax ) ; a>0  a1
Dom(f): x  R
Ran(f): y = ax >0; y > 0
0, Si x  
1º) Si 0<a<1;y = ax =
[FIEE-UNMSM]
, Si x  -
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NOLAN JARA J.
, Si x  
2º) Si a>1; y = ax = 0, Si x  -
FUNCIÓN LOGARITMO
f: R  R/ f(x) = loga x ; ( y = loga x ) ; a>0; a1
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Dom(f): x>0
Ran(f): yR
1º) Si 0 < a < 1
2º) Si a >1
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
FUNCION: PAR – IMPAR Y PERIÓDICA:
Sea f:R R / y=f(x)
1º)
f es par  f(-x) = f(x),  x, -x Dom(f)
El gráfico de f es simétrico al eje y
2º)
f es impar  f(-x) = -f(x),  -x, x Dom(f)
El grafico de f es simétrico con respecto al origen.
3º)
f es periódica Sii: f(x+p) = f(x)  x, x+p  Dom(f)
P: Período; P>0
Ejercicios:
1. Sea f ( x)  ln( x  x 2  1) Hallar f -1 Si 
Solución.
Dom ( f ): x  R
f -1  si y solo si f es inyectiva
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
f es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R
En efecto:
Si f ( x1 )  f ( x2 )  ln( x1  x12  1)  ln( x2  x22  1)
 x1  x12  1  x2  x22  1  ( x1  x2 ) 2  ( x22  1  x12  1) 2
 x12  2 x1 x2  x22  x22  1  x12  1  2 ( x12  1)( x22  1)
 x12  2 x1 x 2  x 22  0  ( x1  x2 )2  0  x1  x2  0  x1  x2
f es inyectiva   f -1
A partir de: y  ln( x  x2  1) ; intercambiamos variables
x  ln(Y  Y 2  1) ; Y  f 1 ( x) 
 ex  Y  Y 2  1  (e x  Y )2  ( Y 2  1)2
e2 x  2exY  Y 2  Y 2  1  Y 
 f 1 ( x) 
e x  e x
; Y  f 1 ( x)
2
e x  ex
 Senh( x)
2
2.
Sea
 x  x  2; x  2... f1
f ( x)  
 x   x ; x  4... f 2
Hallar f -1 si 
Solución.
 f -1  i) f es inyectiva
ii) Ran( f 1 )  Ran( f 2 ) = 
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
i) f es inyectiva si y solo si f 1 y f 2 inyectiva

f1 es inyectiva si y solo si
f1 (x1) = f1(x2)  x1 = x2  x > 2 …. D( f 1 )
en efecto
si f1 ( x1 )  f 2 ( x2 )  x1  x1  2  x2  x2  2 
................
 x1  x2  f1 es inyectiva ( ejercicio )

f 2 es inyectiva si y solo si
f 2 (x1) = f 2 (x2) x1 = x2  x < - 4 …. D(f2 )
en efecto
si f2 (x1) = f2 (x2)
………….
 x1  x2  f 2 es inyectiva ( ejercicio )
ii)

Ran (f1): y  f1 ( x)  x  x  2 , x 2, 
R( f1 )  D( f11 )
 y  4, 

D( f1 )  R( f11 )
Ran (f2): y  f 2 ( x)  x   x ; x  ,4
 y , 6
D( f 2 )  R( f 21 )
R( f 2 )  D( f 21 )
Como R ( f 1)  R ( f 2 ) = 4,   -,-6 =   f -1 existe
f = f1  f2  f -1 = f1-1  f2-1
a) ¿ f1-1?
A partir de y  f1 ( x)  x  x  2 intercambiamos variables
x
[FIEE-UNMSM]
Y
Y, Y = f 1-1(x)
Página 88
NOLAN JARA J.
x  Y  Y  2  Y  2  x 2  2 xY  Y 2
 Y 2  (2 x  1)Y  x 2  2  0  Y 
 f11 ( x) 
2x 1  4x  9
2
2x 1 4x  9
; x   4, 
2
b) ¿ f2-1?
y  x   x Intercambiando variables
x  Y  Y
Y 
2 x  1  (2 x  1) 2  4 x 2
2
Y  f 21 
2x 1  1  4x
; x  6
2
2x 1  4x  9
;x  4
2
f
1
( x) =
2x  1  1  4x
; x  6
2
3. Sean:
 2  x 2 ; si 3  x  2..... f1
f ( x)  
2
1  x  4; si x  4..... f 2
g ( x) 
x 2  4  3; si x  , 4    0, 2
tal que f  h 1 g , hallar la funcion h.
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Solución:
 x 2  4; Si x 2  4  0 sii x   , 2   2,  
x 4  
2
x  2, 2
 4  x ²; Si x  4  0 sii
2
 x 2  4  3; si x   , 4 g
1
g ( x)  
2
 4  x  3; si x   0, 2 g 2
Como f = h-1 o g , si g -1 
 fog 1  (h 1og )og 1  h 1o( gog 1 )  h 1oI  h 1
 ( fog 1 ) 1  (h 1 ) 1  h
( fog 1 )1  gof 1
 h  gof 1......(*)
f -1   f1 y f2 son inyectivas y Ran( f1 )  Ran( f2 ) = 
1º)
i) f1 es inyectiva  f1 (x1) = f2 (x2)  x1  x2x   3, 2
2  ( x1 ) 2  2  ( x 2 ) 2  x1
2
 x 2  x1  x2
2
 x1  x2  f1 es inyectiva
ii) De igual manera f2 es inyectiva
2º)
R(f1): y -2,-1
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
R(f2): y <-, 1- 23
R(f1)  R(f2) = 
De (1º) y (2º): f -1 , f -1= f1-1  f2-1

¿ f1-1?
y  2  x 2  x  2  Y 2  Y  f 1 ( x)  2  x ; x   2, 1
Y   3, 2

¿ f2-1?
y  1  x 2  4  x  1  Y 2  4  Y  f 21 ( x)   x 2  2 x  5
x  ,1 2 3 
Y  , 4
 2 x
;
si
x   2, 1 f11

Ahora f ( x)  
 4  ( x  1) 2 ; si x  ,1 2 3  f 21


1
h  gof 1 ......(*)
h  ( g1  g 2 ) o ( f11  f 21 )
h  g1of11  g1of 21  g2of11  g2of 21

D( g1of11 ) : x  D( f11 )  f 11 ( x)  D( g1 )
 2  x  1  2  x  4
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
 2  x  1  


D( g1of 21 ) : x  D( f 21 )  f 21 ( x)  D( g1 )
x  1  2 3   4  ( x  1) 2   ,  4
x  1  2 3   4  ( x  1) 2  4
x  1  2 3  4  ( x  1) 2  4
x  1  2 3  4  ( x  1)2  16
x  1  2 3  ( x  1)2  12
x  1  2 3  ( x  1  2 3  x  1  2 3 )
x  1  2 3  (x  1  2 3  x  1  2 3 )
x  ,1  2 3 
 D( g1of 21 ) : x  ,1  2 3 
( g1of 21 )  ( f 21 ( x)) 2  4  3  x  1  3   x  2
 g1 ( f 21 )( x)   x  2, x  ,12 3 

 D( g2of11 )  x  Df11  f11 ( x)  Dg2
2  x  1  2  x  0, 2
 2  x  1  2  x  2
x   2, 1.....D( g 2of11 )
 g 2 ( f11 ( x))  4  ( f11 ( x)) 2  3 
x2 3
 g 2 ( f11 )(x)  x  2  3;2  x  1

D ( g 2 of 21 )
x  Df 21  f 21  Dg2
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.


 x  2, x  ,12 3 
h =g o f -1=
x  2  3; x  2, 1
Mas Ejemplos.


1) Sea f ( x)  loga x  x 2  1 ¿f es impar?
Dom ( f ): xR
f(-x) = -f(x) -x, x Dom(f)
f ( x)  loga


x 2  1  x Racionalizando




1
   log a x  x 2  1   f (x)
f ( -x )  loga 

2
 x  x 1 
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
2 ) Sea:
f ( x)  Sen
x
x
 Cos
3
3
Dom(f): xR
Ran(f): y  Sen
x
x
 Cos
3 0
3 0
x
x
 Cos
3
3
y  Sen
>0
y  Sen
x
x
 Cos ; a  a ; a>0
3
3
2

x
x
y   Sen  Cos  ; a  a 2
3
3

2
y
2
x
x
x
x
Sen
 Cos
 2 Sen Cos
3
3
3
3
2
2
x 
x
x
x

y   Sen    Cos   2 Sen Cos
3 
3
3
3

y  Sen2
x
x
x
x
 Cos 2  2Sen Cos
3
3
3
3
y  1  Sen
0  Sen
2x
.......(*)
3
2x
2x
 1  1  Sen
2
3
3
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
 1  1  Sen

2x
 2
3

 y  1, 2 (Ran(f))
de (*): f ( x)  Sen
x
x
2x
 Cos  1  Sen
3
3
3
f(x+P) = f(x)
2
2
1  Sen ( x  P)  1  Sen x
3
3
2x
 2x 2 
Sen  P   Sen
3
 3 3 
Sen
2x
2
2x
2P
2x
Cos P  Cos Sen
 Sen
3
3
3
3
3
1
Cos
0
2P
2P
 1 
 K
3
3
P3
Sen
2P
2P
0
 K
3
3
 P min 
K
2
K Z +
3
2
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
3) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100
y que soporta una capacidad de 1000, es
p(t) =
100000
100  900e t
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuánto tarda la población en
llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la
función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.
SOLUCION.
y:Población ; t:tiempo
100000
1000
=
; t  0 Dom( p )
t
100  900e
1  9e  t
p(0)  100 ; si t    y  1000  y  p(t )  100,1000 
y  p (t ) 
[FIEE-UNMSM]
Ran( f )
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NOLAN JARA J.
La función P es inyectiva  existe la función inversa de P
y  p(t ) 
1000
1000
9y
 1  9e t 
 et 
t
1  9e
y
1000  y
 9y 
 t  ln 

 1000  y 
cuando y  900  t  ln  81  t  4 ln(3)  4.394449154 años
Por ejemplo sea la expresión:

x  2n ; x   2n, 2n  1 , n  

f ( x)  

2n  2  x ; x   2n  1, 2n  2  , n  
a) Verifique que f es una función de R en R .
Solución.
Si:
(2n  1)  2n  1
x  2n  1  f ( x )  
2n  2  (2n  1)  1
n    f : R   R; D( f ) : x  R 
[FIEE-UNMSM]
Página 97
NOLAN JARA J.
b) Encuentre el mayor conjunto
A  R donde la expresion g(x)=
f ( x)
define una funcion.
x
Solución:
 2n
1  ; x  [2n, 2n  1]; x  0
f ( x) 
x
g ( x) 

x
 2n  2  1; x  [2n  1; 2n  2 
 x
 1; x  0,1 

(n  0)
 2  1; x  [1, 2 
x

1  2 ; x  [2,3 
 x
g ( x)  
(n  1)
 4  1; x  [3, 4 
x
 ... .


.


.
A  R0 .
c) Grafique g: AR
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
Solución:
y
1
x
0
1
2
3
4
1 

d) Pruebe que para todo n   la función F:  2n  1, 2n  2    0,

 2n  1 
Definida por F(x)=g(x), es biyectiva. Encuentre la inversa de F.
Solución:
F ( x)  g ( x) 
2n  2
 1; x [2n  1, 2n  2 
x
F es biyectiva si y solo si
1º) F es inyectiva (si es inyectiva,demuéstrelo)
2º) F es sobreyectiva
[FIEE-UNMSM]
Página 99
NOLAN JARA J.
2n  1  x  2n  2....D( F ) 
1
1
1
 
2n  2 x 2n  1
2n  2 2n  2

x
2n  1
2n  2
1
0
1 
;n
x
2n  1
1
 y  F ( x)  0,
: R( F )
2n  1
 F es sobreyectiva de (1º) y (2º): F es biyectiva
1
1
1
como; R( F ) : y  0,1]  0, ]  0, ]  ... 
3
5
1
1
Como :  0,1]  0, ]  0, ]  ...  
3
5
1
 F no existe.
[FIEE-UNMSM]
Página 100
NOLAN JARA J.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Sabemos que la ecuación de la hipérbola equilátera con eje focal en el eje x y centro en
el origen de coordenadas es
x2-y2 = 1 ......... (Hipérbola)
(*)
Definamos a:
x
et  e  t
 cosh(t ); t  R ; x  1
2
y
et  et
 senh(t ); t  R ; x  R
2
En (*)
2
2
 et  e  t   et  e  y 
1
x ²  y ²  Cosh (t )  Senh (t )  
 
  (4)  1
4
 2   2 
2
2
Cosh 2 (t )  Senh 2 (t )  1
 t 1
e  t
e

 et  et


2

t

R

x




 2
 et  et
y
 2

  1 t  R


  R ; t  R

et  e  t
 cosh t …función coseno hiperbólico de t
2
et  e  t
 senht … función seno hiperbólico de t
2
[FIEE-UNMSM]
Página 101
NOLAN JARA J.
FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO:

e x  e x 
f : R  R / y  f ( x)  cosh( x);  cosh( x) 

2 

Dom(f): xR
Ran(f): y  1
FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO:
[FIEE-UNMSM]
Página 102
NOLAN JARA J.

e x  e x 
f : R  R / f ( x)  senh( x);  senh( x) 

2 

Dom( f ): xR
Ran( f ): y R
2. Sea f ( x)  ln( x  x 2  1) Hallar f - 1 Si 
Solución.
Dom ( f ): x  R
Ran( f ): y R
f - 1  si y solo si f es inyectiva
f es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R
[FIEE-UNMSM]
Página 103
NOLAN JARA J.
En efecto:
Si f ( x1 )  f ( x2 )  ln( x1  x12  1)  ln( x2  x22  1)
 x1  x12  1  x2  x22  1  ( x1  x2 ) 2  ( x22  1  x12  1) 2
 x12  2 x1 x2  x22  x22  1  x12  1  2 ( x12  1)( x22  1)
 x12  2 x1 x 2  x 22  0  ( x1  x2 )2  0  x1  x2  0  x1  x2
f es inyectiva   f -1
A partir de: y  ln( x  x2  1) ; intercambiamos variables
x  ln(Y  Y 2  1) ; Y = f - 1(x)
 ex  Y  Y 2  1  (e x  Y )2  ( Y 2  1)2
e2 x  2exY  Y 2  Y 2  1  Y 
 f 1 ( x) 
e x  e x
; Y  f 1 ( x)
2
e x  e x
 Senh( x) ; si f 1 ( x)  g ( x)
2
[FIEE-UNMSM]
Página 104
NOLAN JARA J.
Función Tangente Hiperbólica

sen h( x) e2 x  1 
f : R  R / y  f ( x)  tg h( x);  tgh( x) 


cos h( x) e2 x  1 

Dom( f ): x R
Ran( f ): y  1,1
[FIEE-UNMSM]
Página 105
NOLAN JARA J.
Función Cotangente Hiperbólica

cosh( x) e2 x  1 
f : R  R / y  f ( x)  cotg h( x);  cotgh( x) 


senh( x) e2 x  1 

Dom( f ): x R- 0
Ran( f ): y , 1  1, 
[FIEE-UNMSM]
Página 106
NOLAN JARA J.
Función Secante Hiperbólica

1
2e x 
f : R  R / y  f ( x)  sec h( x);  sech( x) 
 2x

cos h( x) e  1 

Dom( f ): x R
Ran( f ): y  0,1
[FIEE-UNMSM]
Página 107
NOLAN JARA J.
Función Cosecante Hiperbólica

1
2e x 
f : R  R / y  f ( x)  cosec h( x);  cosech( x) 
 2x

senh( x) e  1 

Dom( f ): x R- 0
Ran( f ): y R- 0
[FIEE-UNMSM]
Página 108
NOLAN JARA J.
PRACTICA DE FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
I) Hallar el dominio de f, si f es la función definida por:
1) f ( x) 
1 x
x²  2
2) f ( x) 
x 1
x²  4
3) f ( x)  x  1  x
5) h(x) =
4x
x 1
6) f ( x) 
x  x ²  16
x x  2   x
7) f ( x) 
4
1 x 
x 2 x  1   2 x
[FIEE-UNMSM]
Página 109
NOLAN JARA J.
8) f (x) 
x 2
 x²  2 x  3 
9) f ( x)  4   4  3 x  x ²  ²
IHallar el dominio y rango de f, si f es la función definida por:
1) f (x) =
1 x
1 x
(graficar)
2) f(x)= 2  x  x ² (graficar)
3.- f ( x) 
2x
x 9
4.- f ( x) 
x4
x x2
2
2
5.- f ( x)  1  1  x
6.- f ( x) 
7.- f ( x) 
x x
x   x 
x 1  3
; x   2, 4 
1 x  3
x
x
8.- f(x)=x 2    4 x   ; x   0, 6
2
3
Hallar el Dominio Rango y Graficar la función f, si:
 x ², si x  0

1) f(x) =  x , si 0  x  1
 x , si x  1

  x , si x  0

2) f(x) =  x , si 0  x  1
1  x² , si x  1

[FIEE-UNMSM]
Página 110
NOLAN JARA J.
 1  x, si x  1

3) f(x) = x - 1 , si 1  x  2
 5 - x² , si x  2

4. 
5. 
4x
x2 1

x 
f=  x,

 x  2 
f(x)=

x  x 2  1  0 


 x 2  16

f ( x)   x+4  3
 4x-25

 x-6
6. 
7. 
 1 
f(x)=  x-1 

 x 1 
8. 
f(x)=
9. 
f(x)=  x  x
; si -6  x  - 4
; si 0<x  6
; si x > 7
2x-1
 1  x 
x
x
10.  f(x)=x 2    4 x  
2
3
11.- f ( x) 
1
x²  2
12.- f ( x) 
x²
x²  4

x
13.- f  ( x,
)
 x4
14.- f ( x) 

x ( x 2  4)  0

x 2  4x  4
x2  4
15.- f ( x ) =  ( x ) – 2  (x ² - 9) +  ( 1- x ³ ), :función escalón unitario
16.- f ( x ) = u( x 2  4 )-3u(x ³-1) + 2u(5x-x²) ,u: función escalón unitario
17.- f(x)=
[FIEE-UNMSM]
x  x 
Página 111
NOLAN JARA J.
18.- f(x)= 9  x ² sgn(
x  2  2x  5 
)
 1
x -1
 x3 

2
; x  2, x  6
 7
x6

19.- f(x) =  4 sgn( x ²  1)  x ² ,1  x  2

 1 

 x  2   x ², x  1



 7 x  15 
20.- f ( x)  
  2 x ; x  1, 0
 x 1 
1
21.- f ( x)  x  
x
II) Hallar todos los valores reales de x, si es que existen, tales que:
 x2  4
 x8
1.- sgn
  sgn
 0
 x  9
 5 x 
 4  x2 1
  sgn  x ²  1   0
2.- sgn 

x  2 
 2 x 

III)
En las siguientes funciones: Hallar su Dominio, Rango, si es periódica hallar su
periodo mínimo y luego hacer su gráfico:
a. 
y = 5 Sen4x
c. -
b. 
y = Cos2x
d.  y = sen 2 x
e.- f ( x)  2x  2x  3  3
g.- f(x)=[/2x/]-2[/x/]
i.- f(x)=sen(

4
x)
y = sen 23 x  cos 23 x
2
2
f.- f(x)= sen x  cos x
3
3
h.- f(x)=x-[/x/]
k.- f(x) = cos(
2
x)
3
¿ Es periódica la función y  senx  sen 2x ?. Explicarlo.
IV)
Sean las funciones:
[FIEE-UNMSM]
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NOLAN JARA J.
 x  1  sgn(3  x)  ; x   0,6
1.- f(x)= 
2
; x  6,10
 x
 x2

g(x) = 

 x x  2
Hallar: f  g ; f.g ;
; x   8,3

; x  3,8
f g
; ; f  g ; g  f si .
g f
2.- g = { (3,6);(5,9);(7,5);(8,4) } ;
h = { (3,9);(5,2);(8,7) }
Hallar f tal que: f  g = h
1
1
3.- f ( x)  x  ; g ( x)  a 2 x 2  2 2
x
a x
Hallar h tal que: f  h = g
 x  2 
;x  -1,1
 

4.- f ( x)    3  x 

2
  x  1  1 ; x   1,2
 2
 x 1

g( x )  

 x 1

Hallar: f  g ; f.g ;
;x 
;x 
- 2,-1 
0,3
f g
; ; f  g ; g  f si .
g f
 x  6  1 

 ;x 
  x  3 
5.- f ( x)  
 x 2  16
;x 

6x

[FIEE-UNMSM]


-1,8
-5,-3
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NOLAN JARA J.


1


 2  x 
g ( x)   

 1

 x
;x 
 -1,1 
;x  1
f g
; ; f  g ; g  f si .
g f
Hallar: f  g ; f.g ;
3x  1 ; x  1
6.- f (x ) = /x-3/ + /x+1/ y g (x) = 
 2-x;x 1
Hallar f + g, f-g, f/g, fog si .
1  2 x ; - 3  x  -1
7.- f(x) = 
  4  cos x ; x  0
Hallar: f  g ; f.g ;
 x² ; x  0
y g(x)= 
senx ; 0  x  
f g
; ; f  g ; g  f si .
g f
 x ²  6 x, si... x  2
8.- f ( x ) = 
  x  2, si... x  2
Hallar: f  g ; f.g ;
g(x)=2x-4 ; si x>2
f g
; ; f  g ; g  f si .
g f




8.- f  x, x²  / x x  1  0  y g  x, 3 - x /  1  x  3 . Hallar fog-1 si 
9.- f ( x)  x²  4 y g = {(-1,-2 2 );(2,-1);(4, 5 );(3,4);(7, 5 )}. Hallar fog
10.- Si f (x) = x4 +2x² + 2 , hallar dos funciones g , para los cuales:
(fog)(x)= x4 - 4x²+5
11.- hallar f(x); si: g(x)=
12.- f (x) =
1
; g(x)  2 - x
x3
Hallar: f  g ; f.g ;
[FIEE-UNMSM]
1
senx
y f(g(x)) 
sec x
1  cosx
f g
; ; f  g ; g  f si .
g f
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NOLAN JARA J.


V) Mostrar que el grafico de la función f(x)= loga x  x ²  1 , a  1 , es simétrica con
respecto al origen de coordenadas.
VI) Sea f(x)= 4  x² sgn(
x
) probar que f es una función impar en su dominio
x² - 1
VII) Hallar: f(1/x) ; f(f(x)) , si: 1) f(x) =
x
; 2) f(x) =
x 1
x
x 1
Hallar: FoG ; GoF si existen , indicando su dominio
1) F(x) =
3) F(x) =
x 3
, G(x) =
2
x ²  1 , G(x) =
6x
, G(x) =
x²  9
x 1
;
2) F(x) =
2
x3
;
4) F(x) = lnx , G(x) = x²-9
3x
VIII) Probar que las siguientes funciones son inyectivas y hallar su inversa:
1) f(x)=
x 1
; 2) f(x)=
2x  1
x  1 : 3) f(x) =
x
e x  ex
; 4) f(x) =
1 x
2
IX) Hallar la composición de f con la inversa de f para las funciones del problema VIII
X) Hallar la composición de la inversa de f con f para las funciones del problema VIII
XI) Si f(x) = 2x +lnx , encuentre f -1(2)
XII) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de
100000
100 y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) =
100  900e t
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en
llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la
función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.




XIII) Si: f  x, x²  / x x  1  0  y g  x, 3 - x /  1  x  3 . Hallar fog-1 si 
XIV) Hallar f -1 si existe:
 x ²  6 x  8 ; x  -4

1.- f ( x)   x  3 ; - 3  x  0

x - 1 ; x  10

[FIEE-UNMSM]
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2.- f(x)=- x²  6 x  7 ; x  -7
3.- f(x)=- x²  8x  9 ; x  -9
 x ²  6 x  8 ; x  -4

4.- f ( x)   x  3 ; - 3  x  0

x - 1 ; x  10


2
; x  2, x  6
 7
x

6

5.- f(x) =  4 sgn( x ²  1)  x ² ,1  x  2

 1 

 x  2   x ², x  1



6.- f(x) = x -
 x ;x  -4 .
7.- f(x)= x  4 x +5
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