Discretización Vertical en la Dinámica del IFS Álvaro Subı́as Dı́az-Blanco Agencia Estatal de Meteorologı́a Departamento de Desarrollo y Aplicaciones Madrid, España 24 Octubre 2014 Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 1 / 25 Niveles del Modelo La coordenada vertical hı́brida η ∈ [0, 1] es una coordenada adaptada al terreno Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 2 / 25 Niveles del Modelo η se define implı́citamente a través de la presión hidrostática π(x, y, η, t) = A(η) + B(η) πs (x, y, t) suvv1.F90 suvert.F90 donde A(0) = πtop B(0) = 0 A(1) = 0 B(1) = 1 La monotonicidad necesita [B] " min πs (x, y, t) > max x,y,t η∈[0,1] − dA dη dB dη # Esta condición se comprueba en facadi.F90 con πsmin = 450hPa a través del test del Monte Everest (aunque la presión real es menor que πsmin ) Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 3 / 25 Niveles del Modelo: Construcción relación entre A, B y η A η := +B πoo m: estiramiento, determina en qué niveles de la coordenada vertical se tiene mayor resolución. h: hibridación, cuando su valor es cero desaparece el efecto de la superficie π(η) = πoo m(η) A(x) B(x) = = [m(x) − h(m(x))]πoo h(m(x)) π(η) = πoo m(η) + (πs − πoo ) h(m(η)) h(x) = 0 : h(x) = x : h Álvaro Subı́as (AEMet) niveles π niveles σ π(η) = πoo m(η) π(η) = πs m(η) m Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 4 / 25 Diferencias Finitas NFLEVG niveles definidos en rejilla alternada (stagger grid, suvert.F90). half levels: YRVETA%VETAH, flujos en interfaces ηl̃ = ηl̃ = l̃ L Al̃ πoo LREGETA=.T. + Bl̃ LREGETA=.F. full levels: YRVETA%VETAF, variables del modelo η0 ηl l̃ ∈ [0, L] ⇒ 8 < Al̃ B : l̃ πoo l ∈ [0, L + 1] = η0̃ = 1 [η 2 l̃ + η] ] l−1 l ∈ [1, L] ηL+1 = ηL̃ Álvaro Subı́as (AEMet) YRVAB%VAH YRVAB%VBH YRVAB%VP00 e 0 0, 1 e 1 g l−1 l le ] L−1 L e L+1 L, Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 5 / 25 Elementos Finitos Los elementos finitos han sido implementados exitosamente en el IFS en el modelo hidrostático por A. Untch y M. Hortal [UH], a través de B-splines lineales y cúbicos usando el método de Galerkin. Todas las variables se definen en full-levels de modo que desaparece el staggering y son necesarias un menor número de interpolaciones el método semi-lagrangiano (lavent.F90) Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 6 / 25 Elementos Finitos Sólo en el modelo hidrostático, el switch principal es LVERTFE. La integral de una función es η Z F (η) = ds f (s) 0 expandimos sobre funciones base P f˜ = ci ei Pi∈M F̃ = C j dj j∈N {ei (η)}i∈M {dj (η)}j∈N y tratamos con operadores de proyección f˜l F̃l P := f˜(ηl ) = Sli ci Pi∈M := F̃ (ηl ) = P lj Cj j∈N Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . Sli := ei (ηl ) Plj := dj (ηl ) 24 Oct. 2014 7 / 25 Elementos Finitos a partir de la equivalencia X Cj dj (η) + R ≡ j∈N X η Z ci 0 i∈M ds ei (s) proyectamos en dk con funciones test Πk 1 Z Πk (g) = 0 dη dk (η) g(η) es necesario que Πk (R) ' 0, definimos las matrices η „Z Akj := Πk (dj ) Bki := Πk 0 « ds ei (s) el operador vertical se calcula en suvertfe.F90 y se almacena en RINTE F̃ = PA −1 BS −1 f˜ la integración vertical se realiza en verint.F90 Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 8 / 25 Elementos Finitos condiciones de consistencia en full-levels (suvert.F90) para A (YRVAB%VAF) B (YRVAB%VBF) π = A(η) + πs B(η) + πs dB m = dA dη dη Z 1 Z 1 Z 1 dπ dA dB = πs ⇒ =0 =1 dη dη 0 0 0 dη Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 9 / 25 Elementos Finitos: Modelo NH En el modelo no hidrostático aparece una ligadura que no está presente el hidrostático (constraint C1). En diferencias finitas esta ligadura se mantiene, ¿podremos mantenerla también en elementos finitos? P. Smolı́ková y J. Vivoda han desarrollado una discretización en FE utilizando B-splines calculados con el algoritmo de de Boor y el método de Galerkin. La constraint C1 no se resuelve si no que se relaja mediante un método iterativo Nik (t) = t − ti ti+k−1 − ti Ni,k−1 (t) + ti+k − t ti+k − ti+1 Ni+1,k−1 (t) Los nodos son una colección no decreciente de puntos relacionados con los niveles. B-Splines de orden 0 1 ti ≤ t < ti+1 Ni1 (t) = 0 otherwise Actualmente estamos trabajando para resolver la constraint C1 en un modelo NHVFE Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 10 / 25 Elementos Finitos: Modelo NH Operadores VFE basados en propiedades analı́ticas de los B-splines en lugar del método de Galerkin. Los B-splines forman una partición de la unidad de modo que las funciones constantes pueden ser escritas como combinaciones lineales de funciones base P Nik (t) = 1 i Los B-splines forman un conjunto cerrado bajo las operaciones de derivación e integración » – Ni,k−1 Ni+1,k−1 ∂ Nik = (k − 1) t − t −t ∂t −t i+k−1 Rt 0 Álvaro Subı́as (AEMet) Nik = ti+k −ti k P i≤s i i+k i+1 Ns,k+1 Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 11 / 25 Elementos Finitos: Modelo NH construimos los operadores a partir del siguiente diagrama commutativo R Sk Pk o 0 R , 1 / Sk+1 ∂ Pk+1 Qk Qk+1 Rc Rc , 0 1 F(1:L) F(0:L) b ∂ aseguramos la invertibilidad entre los operadores integral y derivada (lo que puede ser considerado como una constraint) en el espacio de funciones de punto de R R b c, c (EN DESARROLLO) rejilla ∂, 0 1 Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 12 / 25 Elementos Finitos: Modelo NH construimos los operadores a partir del siguiente diagrama commutativo R O o 0 R , 1 Sk ∂ Pk+1 Qk Pk F(1:L) / Sk+1 O o Rc Rc , 0 1 Qk+1 / F(0:L) b ∂ aseguramos la invertibilidad entre los operadores integral y derivada (lo que puede ser considerado como una constraint) en el espacio de funciones de punto de R R b c, c (EN DESARROLLO) rejilla ∂, 0 1 Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 12 / 25 Ecuaciones Fundamentales Ecuaciones del modelo no hidrostático [La, Bb] d~ v + RT ∇p ~ + 1 ∂η p∇φ ~ ~ = V dt p m dw + g[1 − 1 ∂ p] = W dt m η dT − RT dp = Q dt pcp dt cp cp dp Qp pD3 = + dt cv cv T ~ v ) + ∂η (mη̇) = 0 ∂t m + ∇(m~ dφ = gw dt ∂η φ = −m RT p p gp ~v+ ~ D3 := ∇~ v) − (∇φ)(∂ ∂ w η~ mRT mRT η Álvaro Subı́as (AEMet) π p T R φ D3 η ~ ∇ : : : : : : : presión hidrostática presión real temperatura virtual constante de los gases aire seco geopotencial divergencia 3D coordenada vertical hı́brida : gradiente cuasi-horizontal η cte. ~ , W.Q V m : := w := ω := componentes fı́sicos del forzamiento ∂η π dz dt dp dt Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 13 / 25 Ecuaciones Fundamentales nuevas variables de pronóstico: desviación de la presión hidrostática P̂ y divergencial pseudovertical d̂ d~ v dt d(d̂) dt := + gw = −m + D3 d̂ p−π π ∗ (η) ρ∗ (η) ∂ w −g m∗ (η) η = + + dφ dt ∂η φ := RT ∇p ~ + 1 ∂η p∇φ ~ ~ = V p m ρ∗ ρ∗ 2 ∗ 1 ~ ∂ ( (∂η ~ v )∇w g ∂ (π P̂)) − g m∗ η m η m∗ d̂ 1 ∂η (η̇m) − d̂η̇∂η (ln ρ∗ ) m gρ∗ (η̇m) 1∗ ∂η ( 1 ∂η w) m m ρ∗ gρ∗ η̇∂η ( 1∗ ∂η w) = −g ∂ W m m∗ η RT D = Q 3 cv cv cp p Qp D + π̇∗ + P̂∗ η̇m∗ = cv π ∗ 3 π π cv T π ∗ ~ ∇(m~ v ) + ∂η (mη̇) = 0 + − dT dt dP̂ dt ∂t m P̂ + + = NPDVAR NVDVAR las definiciones se hacen en referencia a un estado básico ∗ m∗ (η) := ∂η π ∗ ρ∗ (η) := π∗ Rd T ∗ RT π+π ∗ P̂ p gp ~v+ ~ ∇~ (∇φ)(∂ v) − ∂ w η~ mRT mRT η Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 14 / 25 Modelo Lineal modelo explı́cito: ecuaciones fundamentales ∂t X = M(X) modelo semi-implı́cito: en las ecuaciones fundamentales se añade un término lineal que actúa como filtro de las ondas elásticas que viajan a gran velocidad en cualquier dirección [BM]. X̄ es un promedio temporal de X ∂t X = M(X) + βL(X̄ − X) discretizando en 3 pasos de tiempo (mejorado en SETTLS 2TL) X + = X − 0 + 0 − + 2(∆t)M(X ) + β(∆t)L(X − 2X + X ) dados los estados X 0 , X − , el estado pronóstico X + es aquel que satisface la ecuación implı́tica [1 − β(∆t)L] X Álvaro Subı́as (AEMet) + 0 − = RHS(X , X ) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 15 / 25 Modelo Lineal establecemos un estado básico X ∗j 8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : u∗ v∗ w∗ D∗ d̂∗ q∗ P∗ T∗ φ∗ s ∗ πs := := := := := := := := := := 0 0 0 0 0 0 0 cte. cte. cte. 9 > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > ; ( ⇒ c∗ v c∗ p = = c∗ vd c∗ pd ) 8 ∗ < π (η) m∗ (η) : ∗ p (η) = = = ∗ A(η) + B(η)πs ∗ ∂η A + ∂η Bπs ∗ π (η) 9 = ; obtenemos el modelo lineal alrededo del estado básico X j = X ∗j + X 0j . Cuando el valor de referencia es cero se omite la notación prima ∂t X Álvaro Subı́as (AEMet) 0j = ˛ ˛ ∂Mj ˛ 0k ˛ X ˛ ∂X k ˛ ∗ X Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 16 / 25 Modelo Lineal resolvemos el sistema lineal previa eliminación de variables (spnhsi.F90) 8 > D+ > > > > > > > > > > T 0+ > > > > < 0+ πs > > > > > > > > > P̂ + > > > > > > : d̂+ := := := := := » – Rd T ∗ 0+ 0+ β(∆t) −Rd G ∗ ∆T 0+ + gHG ∗ ∆P̂ + − Rd T ∗ ∆P̂ + − ∗ ∆πs − ∆φs πs » – R T∗ β(∆t) − d (D + + d̂+ ) cvd h i ∗ N ∗ D+ β(∆t) −πs » – cpd β(∆t) − (D + + d̂+ ) + S ∗ D + cvd h i g ∗ + β(∆t) − L P̂ H Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . + RD + RT + Rπs + R P̂ + R d̂ 24 Oct. 2014 9 > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > ; 17 / 25 Operadores Verticales derivación: 8 < ∂∗ := L∗ := : integración: 8 > > G∗ f > > > > > < S∗ f > > > > > > > : N ∗f ligaduras: 8 A∗ > 1 < > : A∗ 2 Álvaro Subı́as (AEMet) := := := π∗ 9 ∂ = ∂π ∗ ; ∂ ∗ (∂ ∗ + 1) ∗ R πs ∗ f dπ∗ π π∗ 1 R π ∗ f dπ ∗ π∗ 0 ∗ 1 R πs f dπ ∗ ∗ 0 πs 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; := G∗ S∗ − G∗ − S∗ + N ∗ := cpd S∗ G∗ − [G ∗ + S ∗ ] cvd Discretización Vertical . . . 9 > = > ; 24 Oct. 2014 18 / 25 Ecuación de Estructura eliminando variables se llega al modelo lineal simplificado 2 [1 − β 2 (∆t)2 c 2 L∗ ] d̂+ H > 2 2 2 > : β (∆t) [c − gHG ∗ ]∆ d̂+ 8 > > < » realizando la combinación R3 := 2 4− 1 c2 = = ∗ β 2 (∆t)2 L 2 [c2 − gHS ∗ ] D + H c 2 2 2 [1 − β (∆t) c ∆{1 − vd A∗ }] D + cpd 1 + R1 9 > > = + R2 > > ; – » – ∗ gH − 12 + β 2 (∆t)2 ∆ R1 + β 2 (∆t)2 L 2 1 − 2 S ∗ R2 c H c 3 2 3 2 L∗ cvd ∗ + 2 2 4 4g ∗ ∗ 4 4 cvd 4 ∗ + + β (∆t) {∆ + } + β (∆t) 1− L A2 ∆5 d̂ + β (∆t) ∆ S 5 A1 D = R3 2 2 H c cpd cpd a nivel analı́tico se satisfacen las constraints C1 C2 g2 2 L∗ A∗ 2 = N 2 c A∗ 1 = 0 ecuación de estructura: el core del modelo es una ecuación de pronóstico para una única variable " − Álvaro Subı́as (AEMet) 1 c2 2 2 + β (∆t) ( ∆+ ) L∗ H2 # 4 4 2 + + β (∆t) N ∆ d̂ = R3 Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 19 / 25 Ecuación de Estructura: FD ∗ SIDELP) operadores discretizados (δπ ∗ := π ∗ − π l ] l̃ l−1 (G∗ f ) l := PL δ ∗f + α ∗f k=l+1 k k l l sigam.F90 (S∗ f ) l := 1 Pl−1 δπ ∗ f + β ∗ f k=1 k k l l π∗ l sitnu.F90 (N∗ f ) l := (L∗ f ) l := 1 PL δπ ∗ f k=1 k k π ∗ L̃ A ∗f + B ∗f + C ∗f l l−1 l l l l+1 sitnu.F90 siseve.F90 los coeficientes α ∗ SIALPH, β ∗ , δ ∗ SILNPR se eligen para satisfacer la constraint C1 l l k A∗ 1 = 0 si cccor.F90 la constraint C2 analı́tica es T ∗ := " − Álvaro Subı́as (AEMet) 1 c2 2 2 + β (∆t) “ ” g 2 L∗ A∗ ≡ 1, en la versión FD T∗ es tridiagonal 2 Nc ( ∆+ L∗ H2 ) # 4 4 2 ∗ + + β (∆t) N T ∆ d̂ = RHS Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 20 / 25 Ecuación de Estructura: FE la factorización (G ∗ − 1)(S ∗ − 1) = (1 − N ∗ ) permite establecer el siguiente diagrama conmutativo en el espacio de funciones base ∗ Hk 1−N /H VVVV mm6 k VVVV m m VVVV mm VVV* S ∗ −1 mmm G∗ −1 Kk Q Hk P Hk P Kk Q Kk \∗ 1−N F(1:L) \ ∗ −1 S F(1:L) F(1:L) \ ∗ −1 G y en el espacio de punto de rejilla (EN DESARROLLO) Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 21 / 25 Ecuación de Estructura: FE la factorización (G ∗ − 1)(S ∗ − 1) = (1 − N ∗ ) permite establecer el siguiente diagrama conmutativo en el espacio de funciones base ∗ 1−N /H O VVVVVVV mm6 k m m VVVV VVVV mmm S ∗ −1 * Kk mm G∗ −1 O Hk Q Hk P Hk P Kk Q Kk / \∗ 1−N F(1:L) \ ∗ −1 S * F(1:L) 6 F(1:L) \ ∗ −1 G y en el espacio de punto de rejilla (EN DESARROLLO) Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 21 / 25 Ecuación de Estructura desarrollamos la ecuación de estructura # ∗ 2 2 2 2 4 4 2 ∗ + 2 2 2 L 1 − c β (∆t) − c β (∆t) ∆ − c β (∆t) N T ∆ d̂ = RHS H2 " definimos F (SIFAC) y su inversa (SIFACI) ∗ 2 2 2 L F := 1 − c β (∆t) H2 y la matriz B (SIB) i h 2 −1 2 2 2 ∗ B := c F 1 + β (∆t) N T sunhsi.F90 sunhbmat.F90 para la estabilidad del modelo es necesaria la diagonalización B = Q−1 A Q con autovalores reales y positivos A (SIVP). Las matrices de cambio de base son Q (SIMI), Q−1 (SIMO). finalmente obtenemos la ecuación de Helmholtz dependiente de operadores diagonales A, ∆ y que por tanto se convierte en una ecuación algebraica h i 2 2 + 0 1 − β (∆t) A∆ Qd̂ = RHS Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . sunhheg.F90 24 Oct. 2014 22 / 25 Operadores F90 • VERINT (kproma,kstart,kprof,kflev,pin,POUT,ktype) Z η T f (s) ds ⇒ [POUT] = [PIN] [RINTE] ktype γ = Rd G • SIGAM (klev,klon,PD,pt,psp,knlon,kflevg) ∗ µ = Rd T ∗ [PD] = γ [PT] + µ [PSP] • SITNU (klev,klon,pd,PT,PSP,knlon) τ = Rd T ∗ S ∗ ν = N ∗ cpd [PT] = τ [PD] [PSP] = ν [PD] • SI CCCOR (klev,klon,knlon,pin,POU) • SISEVE (klev,klon,pv1,PV2,knlon) [POU] = Rd T ∗ A∗ 1 [PIN] [PV2] = L∗ [PV1] • SIDD (klev,klon,PDH,PDV,prnh,pt,psp,knlon) [PDH] = γ [PT] + µ [PSP] + {µ − T g2 [PDV] = Álvaro Subı́as (AEMet) ∗ Rd Ta ∗ γ} [PRNH] ∗ L [PRNH] Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 23 / 25 References Bubnová R., G. Hello, P. Bénard, J-F. Geleyn, 1995: Integration of the Fully Elastic Equations Cast in the Hydrostatic Pressure Terrain-Following Coordinate in the Framework of the ARPEGE/Aladin NWP System. Mon. Wea. Rev., 123, 515-535. Untch A., M. Hortal, 2004: A Finite-element Scheme for the Vertical Discretization in the Semi-langrangian Version of the ECMWF Forecast Model. Q. J. R. Meteorol. Soc. 130, pp. 1505-1530 IFS Documentation - Cy40r1. Operational implementation 22 November 2013 Dynamics and Numerical Procedures http://www.ecmwf.int/sites/default/files/IFS CY40R1 Part3.pdf Bénard P., J. Masek, 2011: Scientific Documentation for ALADIN-NH Dynamical Kernel http://www.cnrm.meteo.fr/gmapdoc/IMG/pdf/designv3 1 0.pdf Yessad K., 2014: Semi-implicit spectral computations and predictor-corrector schemes in the cycle 39T1 of Arpege/IFS. http://www.cnrm.meteo.fr/gmapdoc//IMG/pdf/yksi40t1.pdf Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 24 / 25 References Kasahara A., 1974: Various Vertical Coordinate Systems Used for Numerical Weather Prediction. Mon. Wea. Rev., 102, 509-522. Laprise R., 1992: The Euler Equations of Motion with Hyrostatic Pressure as an Independent Variable. Mon. Wea. Rev., 120, 197-207. Bénard, 2008: Design of the hybrid vertical coordinate η (case of a domain with πtop = 0) http://www.cnrm.meteo.fr/gmapdoc//IMG/pdf/memoeta0.pdf Álvaro Subı́as (AEMet) Discretización Vertical . . . 24 Oct. 2014 25 / 25