4º ESO - opcion B - 01-Ecuaciones

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Emilio Ferrari, 87 28017 -Madrid
Dpt o de Matemáticas
4º ESO – opción B – Ejercicios
Ejercicios de ecuaciones
1) Resuelve la siguiente ecuación (pag 49, ejercicio 3a)):
x4 – 5x2 + 4 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x2
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:
(x2)2 – 5x2 + 4 = 0
=> z2 – 5z + 4 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z=4 y z=1
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x2 entonces, x2 = 4 y x2 = 1, de donde tenemos que
_
_
x = + √4 = + 2 y x = + √1 = + 1
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
2) Resuelve la siguiente ecuación (pag 49, ejercicio 3b)):
x4 + 10x2 + 9 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x2
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:
(x2)2 + 10x2 + 9 = 0
=>
z2 + 10z + 9 = 0
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Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z = –9
y z = –1
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x2 entonces, x2 = –9 y x2 = –1, de donde tenemos que
NO HAY SOLUCIONES PUES NO PODEMOS CALCULAR RAICES
CUADRADAS DE NÚMERO NEGATIVOS
3) Resuelve la siguiente ecuación (pag 49, ejercicio 3c)):
x4 – 4x2 – 12 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x2
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:
(x2)2 – 4x2 – 12 = 0
=> z2 – 4z – 12 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z = 6 y z = –2
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x2 entonces, x2 = 6 y x2 = –1, de donde tenemos que
_
x = + √6 exclusivamente pues no podemos calcular la raíz cuadrada
de –1
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
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4) Resuelve la siguiente ecuación (pag 49, ejercicio 3d)):
2x4 – 4x2 – 30= 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x2
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:
2(x2)2 – 4x2 – 30 = 0
=> 2z2 – 4z – 30 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z = 5 y z = –3
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x2 entonces, x2 = 5 y x2 = –3, de donde tenemos que
_
x = + √5 exclusivamente pues no podemos calcular la raíz cuadrada
de –3
5) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 8a)):
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores factorizaremos el denominador y
operaremos como si de fracciones de números enteros se tratara:
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Como en cualquier ecuación el denominador lo podemos pasar al otro lado de la ecuación
multiplicando:
(x – 3) + x(x + 2) = 3(x – 2)(x + 2)
2x2 + 3x – 9 = 0
=>
=>
x – 3 + x2 + 2x = 3x2 – 12
=>
de donde resolviendo esta ecuación de segundo grado
Las soluciones serán:
x = –3 y x = 6/4
Ambas soluciones válidas pues ninguna de ellas anula el denominador de la ecuación.
6) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 8b)):
x+
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores ya están factorizados (son
polinomios irreducibles y además en este caso son el mismo) con lo que el común
denominador será (x – 4) :
x+
=>
Así pues, podemos quitar los denominadores al estar divididos ambos miembros de la
ecuación por lo mismo,
x(x – 4) + 4x = 16 => x2 – 4x + 4x = 16 => x2 = 16
Ecuación de segundo que tiene como soluciones,
x = 4 y x = –4
Con lo que tenemos que la única solución es x = –4, pues x= 4 anula los denominadores
y no puede ser solución.
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7) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 8c)):
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores ya están factorizados (son
polinomios irreducibles) con lo que el común denominador será el producto de ellos:
=>
Así pues, podemos quitar los denominadores al estar divididos ambos miembros de la
ecuación por lo mismo,
(x +1)(x + 2) = 5(x – 3)(x + 2) + (x + 9)(x – 3)
=>
x2 +3x + 2 = 5x2 – 5x – 30 – (x2 +6x – 27) = >
x2 +3x + 2 = 5x2 – 5x – 30 – x2 – 6x + 27
= > 3x2 – 14x – 5 = 0
Ecuación de segundo que tiene como soluciones,
x = 5 y x = –(1/3)
Ambas soluciones son válidas pues no anulan los denominadores.
8) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 8d)):
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Primero factorizaremos para posteiormente pasar a común
denominador:
=>
Así pues, el común denominador será (x – 2)(x + 2),
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Ahora podemos quitar los denominadores al estar divididos ambos miembros de la ecuación
por lo mismo,
3x + 2 = (5x + 1)(x – 2) – (x + 2) => 3x + 2 = 5x2 – 10x + x – 2 – x – 2 =>
5x2 – 13x – 6 = 0
Ecuación de segundo que tiene como soluciones,
x = 3 y x = –(2/5)
Ambas soluciones son válidas pues no anulan los denominadores.
9) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 9a)):
_____
√x + 3 + 1 = x – 8
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación:
_____
√x + 3 + 1 = x – 8 = >
____
____
√x + 3 = x – 9 => (√x + 3 )2 = (x – 9)2
Operando tenemos que:
x + 3 = x2 – 18x + 81 => x2 – 19x + 78 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 6 y x = 13
En el caso de radicales (especialmente con índice par) hay que comprobar que esta solución
no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no
sea válida. En este caso si sustituimos por x = 6 nos quedaría 4 = –2 , con lo que nos es raíz
y si sustituimos por x = 13 nos quedaría 5 = 5.
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x = 13
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10) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 9b)):
_____
4x – 3√x2 + 9 = 1
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación:
_____
3√x2 + 9 = –4x + 1
=>
_____
(3√x2 + 9 )2= (–4x + 1)2
Operando tenemos que:
9(x2 +9) = 16x2 +1 – 8x
=> 7x2 – 8x – 80 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 4 y x = - (40/14)
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso,
______
4(4) – 3√(4)2 + 9 = 16 – 15 = 1, así solución VÁLIDA
___________
_________
4(-40/14) – 3√((-40/14)2 + 9 = -80/14 – 3 √(3364/196) = -80/14 – 3(58/14) = (-80-174)/14
lo que nos da un número negativo siempre distinto de 1, con lo que la solución NO ES
VALIDA
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x=4
11) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 9c)):
_____
_____
√5 – 4x = √2x + 7 – 2
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos
elevamos al cuadrado dos veces siguiendo el siguiente procedimiento:
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Elevamos por primera vez al cuadrado:
_____
_____
_____
2
(√5 – 4x = √2x + 7 – 2 )
= > (5 – 4x) = (2x + 7) + 4 – (2*2*√2x + 7)
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la
ecuación
_____
_____
4√2x + 7 = 6x + 6 = > (4√2x + 7)2 = (6x + 6)2 => 16(2x + 7) = 36x2 + 36 + 72x
32x + 112 = 36x2 + 36 + 72x => 36x2 + 40x – 76 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = -152/72 y x = 1
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso:
_______
_______
_
(√5 – 4(1) = √2(1) + 7 – 2 => 1 = √9 – 2 , asi pues la solución ES VALIDA
___________
____________
(√5 – 4(-152/72) = √2(-152/72) + 7 – 2 , asi pues la solución ES VALIDA
Con lo que AMBAS SOLUCIONES SON VÁLIDAS
12) Resuelve la siguiente ecuación (pag 50, ejercicio 9d)):
______
____
√2x – 3 – √x – 5 = 2
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos
elevamos al cuadrado dos veces siguiendo el siguiente procedimiento:
Elevamos por primera vez al cuadrado:
______
____
_____ ____
(√2x – 3 – √x – 5 )2 = (2)2
= > (2x – 3) + (x – 5) – 2(√2x – 3)(√x – 5) = 4
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la
ecuación
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Operando y elevando al cuadrado tenemos que:
___________
___________
2
2
(–2(√(2x – 3)(x – 5) ) = (4 – 3x + 8 ) = > (2(√(2x – 1)(x – 5) )2 = (– 3x + 12)2
4(2x – 3)(x – 5) = 144 + 9x2 – 72x
=> 8x2 + 60 – 52x = 144 + 9x2 – 72x
x2 + 84 – 20 x = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 14 y x = 6
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso:
______
____
√2(6) – 3 - √6 – 5 = 2 => 3 - 1 = 2 , solución VÁLIDA
________
______
√2(14) – 3 - √14 – 5 = 2 => 5 – 3 = 2 solución VÁLIDA
Así pues ambas soluciones son válidas:
x = 14 y x = 6
13) Resuelve la siguiente ecuación (pag 51, ejercicio 13a)):
log x + log(x + 1) = log 6
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log x + log (x+1) = log 6 => log (x * (x+1)) = log 6
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
x(x + 1) = 6 => x2 + x – 6 = 0
Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,
x = –3
y
x=2
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Ahora habrá que comprobar las soluciones,
log –3 + log (–3 + 1) = log 6 => lo que es imposible pues no podemos calcular
logaritmos de números negativos
log 2 + log (2 + 1) = log 6 => que si será solución.
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=2
14) Resuelve la siguiente ecuación (pag 51, ejercicio 13b)):
log x – log (x + 3) = –1
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log x – log (x + 3) = –1 => log (x / (x + 3)) = log 10-1
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
x / (x + 3) = 1 / 10 => de donde si pasamos lo que está dividiendo al otro lado
multiplicando tenemos que,
10x = x + 3 = > 9x = 3 = > x = 3 / 9 = > x = 1/3
La posible solución será x = 1/3, que comprobaremos en la ecuación a ver si se cumple la
igualdad:
log 1/3 + log (1/3 + 3) = –1 => log ((1/3) / ( 10/3)) = –10 => log 1/10 = –1 = >
log 10-1 = –1 c.q.d (como queríamos demostrar)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=1/3
15) Resuelve la siguiente ecuación (pag 51, ejercicio 13c)):
log (x – 2) + log 5 = 1 – log (x – 3)
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10
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Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log (x – 2)5 = log 10 – log (x – 3) = > log (5x – 10) = log (10/(x – 3))
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
(5x – 10) = 10 / (x – 3) => (5x – 10)(x – 3) = 10 => 5x2 + 30 – 25x = 10 =>
5x2 – 25x + 20 = 0
Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,
x=1
y
x=4
Comprobemos ambas soluciones,
log (1 – 2) + log 5 = 1 – log (1 – 3) => log –1 + log 5 = 1 – log –2 , así pues no puede ser
solución pues hace que tengamos que calcular logaritmos negativos.
log (4 – 2) + log 5 = 1 – log (4 – 3) => log 2 + log 5 = 1 – log 1 =>
log (2*5) = 1 – 0 => log 10 = 1 c.q.d (como queríamos demostrar)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=4
16) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 51, ejercicio 14a)):
2log x = 3log2 + log (x + 6)
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
2log x = 3log2 + log (x + 6) = > log x2 = log 23 + log(x + 6) => log x2 = log (8(x + 6))
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
x2 = 8(x + 6) => x2 – 8x – 48 = 0
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11
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Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,
x = 12
y x = –4
Comprobemos ambas soluciones,
2log 12 = 3log 2 + log (12 + 6) = > log 122 = log 23 + log 18 =>
log 144 = log 8 + log 18 => log 144 = log 8 * 18 = > log 144 = log 144 c.q.d (como
queríamos demostrar)
2log –4 = 3log 2 + log (–4 + 6) , solución que no es posible pues no podemos calcular
logaritmos de números negativos
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 12
17) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 51, ejercicio 14b)):
log (x2 – 15x) = 2
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log (x2 – 15x) = 2 => log (x2 – 15x) = log 102
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
x2 – 15x = 100 => x2 – 15x – 100 = 0
Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,
x = 20
y x = –5
Comprobemos ambas soluciones,
log (202 – 15*20) = 2 = > log (400 – 300) = 2 => log 100 = 2 => log 102 = 2 c.q.d (como
queríamos demostrar)
log ((–5)2 – 15*(–5)) = 2 => log(25 + 75) = 2 => log 100 = 2 => log 102 = 2 c.q.d (como
queríamos demostrar)
Página
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Así pues las soluciones de nuestra ecuación serán:
x = 20 y x = –5
18) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 51, ejercicio 14c)):
log
= 1 – log
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log
= 1 – log
log
= log
= > log
= 1og 10 – log
=>
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
=
Ecuación con raíces cuadradas que resolveremos así,
= 10 =>
= 10, que elevando al cuadrado ambas miembros,
3x2 + 5x = 100 = > 3x2 + 5x – 100 = 0
Ecuación de segundo grado que al resolver nos queda, 35
x = 5 y x = –40 / 6
Comprobemos ambas soluciones,
La solución negativa es imposible pues no podemos calcular raíces cuadradas de números
negativos
log
= 1 – log
log
= log
= > log
=>
log
= 1 - log
= log
=> log
= log
=>
c. q. d (como queríamos demostrar)
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Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=5
19) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 18a)):
23x-4 = 64
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos con incógnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de
variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igual exponentes, es decir:
23x-4 = 26 => 3x – 4 = 6 => 3x = 10 => x = 10/3
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 10/3
20) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 18b)):
32x-7 * 27 = 35x
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos con incógnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de
variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igual exponentes, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de tres
32x-7 * 33 = 35x , y ahora en el miembro de la izquierda para multiplicar potencias de la
misma base sumamos exponentes,
32x-7+3 = 35x => 2x – 7 + 3 = 5x => 3x = –4 => x = -(4/3)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = -(4/3)
21) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 18c)):
2x+1 = 1024
Página
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Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos con incógnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de
variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igual exponentes, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
2x+1 = 1024 => 2x+1 = 210 , de donde
x +1 = 10 => x = 9
Así pues la solución de nuestra ecuación será,
x=9
22) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 18d)):
23 * 2x-5 = 0,25
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos con incógnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de
variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igual exponentes, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
23+x-5 = 1/4 => 2x-2 = 2-2, de donde
x – 2 = –2
=> x = 0
Así pues la solución de nuestra ecuación será,
x=0
23) Halla las soluciones de esta ecuación (pag. 52, ejercicio 20a)):
100x – 1001*10x + 1000 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de diez
Página
15
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(102)x – 1001*10x + 1000 = 0 => (10x)2 – 1001*10x + 1000 = 0, (hemos dado la vuelta a
los exponentes de la primera potencia aplicado propiedades de potencias,
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 10x = t, así tendríamos:
t2 – 1001t + 1000 = 0, ecuación de segundo grado cuyas soluciones son,
t = 1000 y t = 1
La solución para t es t = 1 y t = 1000; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es
decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 1 => 10x = 1 (pues t = 10x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)
Si t = 1000 => 10x = 103 (pues t = 10x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=3
24) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 20b)):
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
=>
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 2x = t, así tendríamos:
, que operando nos quedaría,
=5–
=>
=
=> 16 = 10t – t2 => t2 – 10t + 16 = 0
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Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos quedaría,
t=8
y t=2
La solución para t es t = 8 y t = 2; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es
decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 8 => 2x = 23 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=3
Si t = 2 => 2x = 21 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=1
25) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 20c)):
23+2x – 3*2x+1 + 1 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
23+2x – 3*2x+1 + 1 = 0 => 23 * 22x – 3*2x * 2+ 1 = 0 => 23 * (2x)2 – 3*2x * 2+ 1 = 0
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 2x = t, así tendríamos:
8t2 – 6t + 1 = 0
Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos quedaría,
t = 1/4
y t = 1/2
La solución para t son las anteriores; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es
decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 1/4 => 2x = 1/4 (pues t = 2x) y nos queda x = -2
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = -2
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Si t = 1/2 => 2x = 1/2 (pues t = 2x) y nos queda x = -1
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = -1
26) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 20d)):
4x – 8 = 2x+1
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
4x – 8 = 2x+1 => 22x – 8 = 2x * 2 => (2x)2 – 8 = 2x * 2
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 2x = t, así tendríamos:
t2 – 8 = 2t => t2 – 2t – 8 = 0
Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos quedaría,
t=4
y t = -2
La solución para t son las anteriores; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es
decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 4 => t= 22 => 2x = 22 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=2
Si t = -2 => 2x = -2 (pues t = 2x)
Solución que es imposible pues no hay ningún exponente que haga que una potencia de dos
sea negativa
27) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 52, ejercicio 20e)):
4x+1 – 5*42x-1 + 4864 = 0
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Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de cuatro
4x+1 – 5*42x-1 + 4864 = 0 => 4x * 41 – 5*42x * 4-1 + 4864 = 0 =>
4x * 41 – 5*(4x)2 * 4-1 + 4864 = 0
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 4x = t, así tendríamos:
4t – 5/4 * t2 + 4864 = 0
Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos quedaría,
t = 64
y t = -(304/5)
La solución para t son las anteriores; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es
decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = -128 => t= 43 => 4x = 43 (pues t = 4x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=3
Si t = -(304/5) => 4x = -(304/5) (pues t = 4x)
Solución que es imposible pues no hay ningún exponente que haga que una potencia de
cuatro sea negativa
28) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 46a)):
x4 – 13x2 + 36 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x2
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:
(x2)2 – 13x2 + 36 = 0
=> z2 – 13z + 36 = 0
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Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z=9 y z=4
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x2 entonces, x2 = 9 y x2 = 4, de donde tenemos que
x=+3 y x=+2
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
29) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 46b)):
3x4 – 15x2 + 12 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x2
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:
3(x2)2 – 15x2 + 12 = 0 => 3z2 – 15z + 12 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z=1 y z=4
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x2 entonces, x2 = 1 y x2 = 4, de donde tenemos que
_
_
x = + √4 = + 2 y x = + √1 = + 1
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
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30) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 46c)):
x6 – 7x3 – 8 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 6, 3 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x3
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x3 ponemos z nos quedaría:
(x3)2 – 7x3 – 8 = 0
=> z2 – 7z – 8 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z = 8 y z = -1
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x3 entonces, x3 = -1 y x3 = 8, de donde tenemos que
__
_
3
x = √-1 = - 1 y x = √8 = 2
3
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
31) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 46d)):
x6 – 2x3 +1 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 6, 3 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x3
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x3 ponemos z nos quedaría:
(x3)2 – 2x3 +1 = 0
=> z2 – 2z +1 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
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z=1 y z=1
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x3 entonces, x3 = 1 y x3 = 1, de donde tenemos que
_
_
3
x = √1 = 1 y x = √1 = 1
3
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
32) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 46e)):
x8 – 17x4 + 16 = 0
Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 8, 4 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x4
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x4 ponemos z nos quedaría:
(x4)2 – 17x4 + 16 = 0
=> z2 – 17z + 16 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z = 1 y z = 16
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x4 entonces, x4 = 1 y x4 = 16, de donde tenemos que
_
__
4
x = + √1 = + 1 y x = + √16 = + 2
4
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
33) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 46f)):
x10 – 31x5 – 32 = 0
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Resolución:
Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 10, 5 y término
independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:
z = x5
Si en la ecuación sustituimos y donde pone x5 ponemos z nos quedaría:
(x5)2 – 31x5 – 32 = 0
=> z2 – 31z – 32 = 0
Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas
tendría por soluciones:
z = -1 y z = 32
¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡
Para obtener nuestras soluciones procederemos así:
Si z = x5 entonces, x5 = -1 y x5 = 32, de donde tenemos que
_
__
5
x = √1 = -1 y x = √64 = 2
5
Y estas SI serán las soluciones de nuestra ecuación
34) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 47a)):
–2x3 + 4x2 + 18x – 36 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una bicuadrada ni de una ecuación en la que falte el término
independiente, así pues procederemos primero a verificar si los divisores del término
independiente (en este caso +1, +2, +3, +6, +8, +12, +18y +36) son raíces del polinomio:
P(2) = –2(2)3 + 4(2)2 + 18(2) – 36 = –16 + 16 + 36 – 36 = 0 , así pues x = 2 es raíz
P(3) = –2(3)3 + 4(3)2 + 18(3) – 36 = –54 + 36 + 54 – 36 = 0 , así pues x = 3 es raíz
P(–3) = –2(–3)3 + 4(–3)2 + 18(–3) – 36 = +54 + 36 – 54 – 36 = 0 , así pues x = –3 es raíz
Por el teorema fundamental del Álgebra sabemos que no hay más raíces así pues las
soluciones reales a la ecuación serían:
x = 2 , x = 3 y x = –3
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35) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 47b)):
4x3 – 24x2 + 48x – 32 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una bicuadrada ni de una ecuación en la que falte el término
independiente, así pues procederemos primero a verificar si los divisores del término
independiente (en este caso +1, +2, +4, +8, +16y +32) son raíces del polinomio:
P(2) = 4(2)3 – 24(2)2 + 48(2) – 32 = 32 – 96 + 96 – 32 = 0 , así pues x = 2 es raíz
Una vez que hemos encontrado esta, y por tener los coeficientes grandes, aplicamos Ruffini
para agilizar:
4
2
4
–24
8
–16
48
–32
16
–32
32
0
Así pues, si resolvemos la ecuación de segundo grado 4x2 –16x +16 = 0 tendremos las
raíces. Las soluciones de esa ecuación son el 4 como raíz doble con lo que las soluciones
reales a la ecuación serían:
x=2 , x=4 y x=4
36) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 47c)):
–3x4 + 3x3 + 12x3 – 12x = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una bicuadrada; pero si una ecuación en la que falte el término
independiente, con lo que primero sacaremos factor común de x:
x(–3x3 + 3x2 + 12x – 12) = 0
Ya sabemos que x=0 es raíz, ahora procederemos a verificar si los divisores del término
independiente (en este caso +1, +2, +3, +4, y +12) son raíces del polinomio:
P(1) = –3(1)3 + 3(1)2 + 12(1) – 12 = –3 + 3 + 12 – 12 = 0 , así pues x = 1 es raíz
P(2) = –3(2)3 + 3(2)2 + 12(2) – 12 = –24 + 12 + 24 – 12 = 0 , así pues x = 2 es raíz
P(–2) = –3(–2)3 + 3(–2)2 + 12(–2) – 12 = 24 + 12 – 24 – 12 = 0 , así pues x = –2 es raíz
Por el teorema fundamental del Álgebra sabemos que no hay más raíces así pues las
soluciones reales a la ecuación serían:
x = 0 , x = 1, x = 2 y x = –2
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37) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 47d)):
6x4 – 5x3 – 43x2 + 70x – 24 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una bicuadrada ni de una ecuación en la que falte el término
independiente, así pues procederemos primero a verificar si los divisores del término
independiente (en este caso +1, +2, +3, +4, +6, +8, +12y +24) son raíces del polinomio:
P(2) = 6(2)4 – 5(2)3 – 43(2)2 + 70(2) – 24 = 96 – 40 – 172 + 140 – 32 = 0 ,
así pues x = 2 es raíz
Una vez que hemos encontrado esta, y por tener los coeficientes grandes, aplicamos Ruffini
para agilizar:
6
2
6
–3
6
–5
12
7
–18
–11
–43
14
–29
33
4
70
–58
12
–12
0
–24
24
0
Así pues, si resolvemos la ecuación de segundo grado 6x2 –11x + 4 = 0 tendremos las raíces.
Las soluciones de esa ecuación son el 4/3 y 1/2 con lo que las soluciones reales a la ecuación
serían:
x = 2 , x = –3 x = 4/3 y x = 1/2
38) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 48a)):
4 _ 6_
1
=
x–2 x+3
3
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores ya están factorizados (son
polinomios irreducibles) con lo que el común denominador será el producto de ellos:
4(x + 3) – (x – 2)6
1
=
(x – 2)(x + 3)
3
Como en cualquier ecuación el denominador lo podemos pasar al otro lado de la ecuación
multiplicando:
(4(x + 3) – (x – 2)6)3 = (x – 2)(x + 3)
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=> (4x + 12 – 6x +12)3 = x2 + x – 6
=>
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12x + 36 – 18x + 36 = x2 + x – 6
=>
12x + 36 – 18x + 36 – x2 – x + 6 = 0
=>
– x2 –7x + 78 = 0, ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,
x = –13 y x = 6
Así pues las soluciones de la ecuación serían:
x = –13 y x = 6
La única consideración que hay que hacer en este tipo de ecuaciones es que la solución no
anule ninguno de los denominadores, pero no es el caso, pues los números que anulan los
denominadores serían x = 2 y x = –3; así pues las soluciones son válidas.
39) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 48b)):
x + 1 2x + 1
3
+
=
3x – 2
x+5
2
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores ya están factorizados (son
polinomios irreducibles) con lo que el común denominador será el producto de ellos:
(x + 3)(x + 5) + (3x – 2)(2x + 1)6 = 3
(3x – 2)(x + 5)
2
Como en cualquier ecuación el denominador lo podemos pasar al otro lado de la ecuación
multiplicando:
((x + 3)(x + 5) + (3x – 2)(2x + 1))2 = ((3x – 2)(x + 5))3
=>
(x2 + 8x + 15 + 6x2 – x – 2)2 = (6x2 + 13x – 10)3 =>
2x2 + 16x + 30 + 12x2 – 2x – 4 = 18x2 + 39x – 30 =>
4x2 + 25x – 56 = 0 , ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,
x = –14/8 y x = 8
Así pues las soluciones de la ecuación serían:
x = –14/8 y x = 8
La única consideración que hay que hacer en este tipo de ecuaciones es que la solución no
anule ninguno de los denominadores, pero no es el caso, pues los números que anulan los
denominadores serían x = 2/3 y x = –5; así pues las soluciones son válidas.
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40) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 48c)):
4x + 2
3
x+5
+
=
x2 + 2x + 1 2
x+1
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores no están factorizados con lo que
el primer paso es factorizar el primero de ellos:
4x + 2 + 3 = x + 5
(x + 1)2
2
x+1
Así, el mcm será (x + 1)2 * 2
2(4x + 2) + 3(x + 1)2 = (x + 5)2(x + 1)
2 (x + 1)2
2 (x + 1)2
Como en cualquier ecuación el denominador lo podemos pasar al otro lado de la ecuación
multiplicando:
2(4x + 2) + 3(x +1)2 = (x +5)(x + 1)2
=>
8x + 4 +3x2 + 6x + 3 = 2x2 + 12x + 10
=>
x2 + 2x – 3= 0 , ecuación de segundo grado que si resolvemos comprobaremos que
tiene como soluciones,
x = –3 y x = 1
41) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 48d)):
3
_ 6
–2 _
=
x+1
x+4
4x – 8
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual
que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a común denominador, para
posteriormente resolver. Para este caso los denominadores ya están factorizados (son
polinomios irreducibles) con lo que el común denominador será el producto de ellos:
3(x + 4)(4x – 8) – 6(x + 1)(4x – 8) =
–2(x + 1)(x + 4)
(x + 1)(x + 4)(4x – 8)
(x + 1)(x + 4)(4x – 8)
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Como en cualquier ecuación el denominador lo podemos pasar al otro lado de la ecuación
multiplicando:
3(x + 4)(4x – 8) – 6(x + 1)(4x – 8) = –2(x + 1)(x + 4)
12x2 + 24x – 96 – 24x2 + 24x + 48 = – 2x2 – 10x – 8
=>
=>
–10x2 + 58x – 40 = 0 , ecuación de segundo grado que si resolvemos nos queda,42
x = 5 y x = 16/20 = 4/5
Así pues las soluciones de la ecuación serían:
x = 5 y x = 4/5
La única consideración que hay que hacer en este tipo de ecuaciones es que la solución no
anule ninguno de los denominadores, pero no es el caso.
42) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49a)):
__
x – √x – 6 = 0
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación:
_
x – 6 = √x
_
2
(x – 6) = (√x) 2
Operando tenemos que:
x2 – 12x + 36 = x
x2 – 13x + 36 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x=9 y x=4
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso 9 – 3 – 6 = 0 y 4 – 2 – 6 ≠ 0. Así pues la única solución válida será:
x=9
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43) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49b)):
____
√8 – x = 2 – x
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación (como es el caso) y elevar al
cuadro ambos miembros de la ecuación:
____
(√8 – x) 2= (2 – x)2
Operando tenemos que:
8 – x = 4 + x2 – 4x
x2 – 3x – 4 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x = –1 y x = 4
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso 3 = 3 y 2 = – 2. Así pues la única solución válida será:
x = –1
44) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49c)):
_
2
√x – _
√x
=1
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas y denominadores. El
procedimiento para este tipo de ecuaciones es, primero, quitar los denominadores y después
dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
_
(√x)2 – 2
=1
_
√x
_
_
2
(√x) – 2 = √x
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Operando tenemos que:
_
x – 2 = √x
_
(x – 2)2 = (√x) 2
x2 – 4x + 4 = x
=>
x2 – 5x + 4 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x=1 y x=4
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso 1 – 2 = 1 lo que es falso y 2 – 1 = 1. Así pues la única solución válida será:
x=4
45) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49d)):
____
x + √x – 1 – 3 = 0
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación:
____
(√x – 1) 2= (3 – x)2
Operando tenemos que:
x – 1 = 9 + x2 – 6x
x2 – 7x +10 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x=2 y x=5
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso 2 + 1 – 3 = 0 lo que es correcto y 5 + 2 – 3 ≠ 0. Así pues la única solución válida
será:
x=2
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46) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49e)):
____
____
√7x + 1 = 2√x + 4
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación; pero en este caso tenemos dos raíces, eso sí, una en cada lado de
la ecuación y no tenemos nada más, con lo que elevaremos al cuadrado en ambos miembros:
_____
____
2
(√7x + 1) = (2√x + 4)2
Operando tenemos que:
7x + 1 = 4(x + 4)
7x + 1 = 4x + 16
3x = 15 =>
x=5
Así pues la posible solución será:
x=5
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso la raíz cuadra de 36 que es 6 debe ser igual a dos por la raíz cuadrada de 9 que es
tres. Así pues la solución es válida.
47) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49f)):
_____
____
√5x + 1 – 2 = √x + 1
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo
de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos
miembros de la ecuación; pero en este caso tenemos dos raíces con una suma, por que
deberemos elevar al cuadrado dos veces de la siguiente manera:
Elevamos por primera vez al cuadrado, teniendo en cuenta que el miembro de la derecha es
el cuadrado de una diferencia:
____
____
_____
2
(√5x +1 – 2 = (√x + 1 ) = > (5x + 1) + 4 – 4(√5x + 1 = x + 1
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la
ecuación
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_____
(4√5x +1 )2 = (–4x – 4)2
= > 16(5x +1) = 16x2 + 16 – 32x
Operando tenemos que:
80x + 16 = 16x2 + 16 – 32x => 16x2 – 112x = 0 , sacando factor común x,
x(16x – 112) = 0
Así pues una solución será x = 0 y la otra x = 7:
x=0 y x=7
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso:
______
____
√5(0) + 1 – 2 = √0 + 1 => 1 – 2 = 1, lo que es falso
______
____
_
√5(7) + 1 – 2 = √7 + 1 => 6 – 2 = √7, lo que es falso
Así pues la ecuación no tiene soluciones.
48) Resuelve la siguiente ecuación (pag. 58, ejercicio 49g)):
____
3
2√x – 1 – 5 = ____
√x – 1
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas y denominadores. El
procedimiento para este tipo de ecuaciones es, primero, quitar los denominadores y después
dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
____ ____
____
2√x – 1 √x – 1 – 5√x – 1 = 3
____
2(x – 1) – 5√x – 1 = 3
____
2x – 5 = 5√x – 1
____
2
(2x – 5) = (5√x – 1)2
Operando tenemos que:
4x2 – 20x + 25 = 25(x – 1) => 4x2 – 45x + 50 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
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x = 10 y x = 10/8
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el
radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En
este caso 2*3 – 5 = 3 / 3 lo que es cierto y 2 * (1/2) – 5 = 3/(1/2) lo que es falso. Así pues la
única solución válida será:
x = 10
49) Resuelve la siguiente ecuación (pag 58, ejercicio 50a)):
log9 (27)1/5 = 2x – 1
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, aunque si nos fijamos un poco más veremos que en el
logaritmo NO HAY INCOGNITA, se trata DE UN NÚMERO (para ti seguramente muy
feo, pero es un número) con lo que podemos despejar sin más:
2x = log9 (27)1/5 + 1 = > x = (log9 (27)1/5 + 1) / 2
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = (log9 (27)1/5 + 1) / 2
50) Resuelve la siguiente ecuación (pag 58, ejercicio 50b)):
logx (
) = –0,4
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, además en este caso la incógnita es la base del
logaritmo:
Pero primero introducimos el 2 dentro de la raíz,
logx (
) = –0,4
=> logx (
) = –0,4
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= –0,4
logx
(1/5)logx (1/ 22) = –0,4
Pasamos el 5 multiplicando al otro lado de la ecuación,
logx 2-2 = –2
logx 2-2 = logx x-2
Así pues la solución será:
x=2
51) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 51a)):
log (x – 1) + log (x + 1) = 3log 2 + log (x – 2)
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log [(x – 1) (x + 1)] = log 23(x – 2)
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
(x – 1)(x + 1) = 8(x – 2) => x2 – 1 = 8x – 16 => x2 – 8x + 15 = 0
Si resolvemos la ecuación de segundo grado nos quedan como soluciones x = 5 y x = 2, que
comprobaremos en la ecuación a ver si se cumple la igualdad:
log 4 + log 6 = 3 log 2 + log 3 => log 24 = log 8 + log 3 => log 24 = log 24, así
pues x = 5 es solución
log 1 + log 3 = 3 log 2 + log 0 => El logaritmo de 0 no existe así pues x= 2 no es
solución
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=5
52) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 51b)):
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log (x – 2) – (1/2) log (3x – 6) = log 2
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos, es decir:
log [(x – 2) / (3x – 6)1/2] = log 2
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
(x – 2) / (3x – 6)1/2 = 2 , recuerda elevar a un medio es lo mismo que extraer la raíz
cuadrada, con lo que esta ecuación en una ecuación con radicales que para resolver
tendremos que elevar al cuadrado ambos miembros
(x – 2)2 / (3x – 6) = 4 => (x – 2)2 = (3x – 6)4 => x2 – 4x + 4 = 12x – 24 = >
x2 – 16x + 28 = 0
Si resolvemos la ecuación de segundo grado nos quedan como soluciones x = 14 y x = 2,
que comprobaremos en la ecuación a ver si se cumple la igualdad:
log 12 – (1/2) log 36 = log 2 => log 12 – log 6 = log 2 => log 2 = log 2, así pues x
= 14 es solución
log 0 – (1/2) log 0 = log 2 => El logaritmo de 0 no existe así pues x= 2 no es
solución
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 14
53) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 51c)):
log7 (x – 2) – log7 (x + 2) = 1 – log7 (2x – 7)
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos,
log7 [(x – 2) / (x + 2)] = log7 [7 / (2x – 7)]
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Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:
[(x – 2) / (x + 2)] = [7 / (2x – 7)] , que operando
(x – 2) (2x – 7) = 7(x + 2) => 2x2 – 11x + 14 = 7x + 14 = >
2x2 – 18x = 0
Si resolvemos la ecuación de segundo grado nos quedan como soluciones x = 0 y x = 9,
x = 0 no puede ser solución pues haría que uno de los logaritmos fuera negativo, para x = 9
log7 7 – log7 9 = 1 – log7 11, igualdad que tampoco se cumple
Así pues NO HAY SOLUCIONES
54) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 51d)):
log9 (x + 1) – log9 (1 – x) = log9 (2x +3)
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos,
log9 [(x +1) / (1 – x)] = log9 (2x + 3)
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente,
(x + 1) / (1 – x) = (2x + 3) , que operando
(x +1) = (2x + 3)(1 – x) => x + 1 = 2x – 2x2 + 3 – 3x
=>
2x2 + 2x – 2 = 0 => x2 + x – 1 = 0
Si resolvemos la ecuación de segundo grado nos quedan como soluciones,
x=
yx=
La segunda no puede ser porque es un número negativo y haría que, en el segundo sumando,
tendríamos que calcular el logaritmo de un número negativo.
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Así pues la única solución es,
x=
55) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 51e)):
log2 x – 1 = log2 (x – 16)
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos,
log2 x – log2 2 = log2 (x – 16) => log2 (x/2) = log2 (x – 16)
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente,
(x / 2) = x – 16, que operando
x = 2x – 32 => 3x = 32 = > x = 32/3
Pero esta solución hace que el miembro de la derecha queda,
log2 (
– 16) = log2 (
) = log2 (
), lo QUE ES IMPOSIBLE
ASÍ PUES, NO HAY SOLUCIÓN
56) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 51f)):
log x = (½) log (x + 2)
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación logarítmica. En estos casos aplicaremos las
propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de
la ecuación sólo queden logaritmos,
log x = log
Una vez aquí, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la
derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente,
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x =
miembros
, ecuación con raíces que para soluciones elevaremos al cuadrado ambos
x2 = (
)2 => x2 = x + 2 => x2 – x – 2 = 0
Ecuación de segundo grado que tiene por soluciones,
x = 2 y x = –1
La solución negativa no puede ser pues tendríamos que calcular el log (–1),
Así pues la única solución es,
x=2
57) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 52a)):
4x – 9 * 2x + 8 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
(2x)2 – 9 * 2x + 8 = 0
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 2x = t, así tendríamos:
t2 – 9t + 8 = 0
ecuación de segundo grado que tiene por soluciones, t = 1 y t = 8; pero recuerda debes dar
la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 1 => 2x = 1 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)
Si t = 8 => 2x = 23 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=3
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58) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 52b)):
2x-1 + 2x+2 = 72
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
2x * 2-1 + 2x * 22= 72
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 2x = t, así tendríamos:
t/2 + 4t = 72 => 9t = 144 => t = 16
pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 16 => 2x = 24 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=4
Si t = 8 => 2x = 23 (pues t = 2x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=3
59) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 52c)):
= 42x
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos
= 24x => 27/3 = 24x
Igualando exponentes,
7/3 = 4x => x = 7/12
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Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 7/12
60) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 52d)):
= 31-3x
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de tres
= 31-3x => 34/5 = 31-3x
Igualando exponentes,
4/5 = 1 – 3x => 3x = 1 – 4/5 => 3x = 1/5 => x = 1/15
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 1/15
61) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 53a)):
63 – x = 216
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de seis
63 – x = 216 => 63 6– x = 63 => 63 (6x)–1 = 63
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 6x = t, así tendríamos:
216 t–1 = 216 => t–1 = 1 => 1/t = 1 => t = 1
La solución para t es t = 1; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO
HAS TERMINDADO.
Si t = 1 => 6x = 1 (pues t = 6x)
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Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)
62) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 53b)):
(3/7)3x – 7 = (7/3) 7x – 3
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. La base no es la misma, pero es la
misma fracción “dada la vuelta”, aquí debemos recordar que si cambiamos de signo al
exponente cambiamos “el orden” de la fracción. Así pues si operamos así:
(3/7)3x – 7 = (3/7) 3 – 7x => ((3/7)x) 3): (3/7)7 = (3/7)3: (( (3/7)x)7
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, (3/7)x = t, así tendríamos:
t3 : (3/7) 7 = (3/7) 3 : t7 => t10 = (3/7) 10 => t = +(3/7)
La solución para t es t = +(3/7); pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es
decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = +(3/7) => (3/7)x = +(3/7) (pues t = (3/7)x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 1 (pues no hay ninguna x que haga que la potencia sea negativa e
igual a la base)
63) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 53c)):
132x – 6 * 13x + 5 = 0
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de trece
(13x)2 – 6 * 13x + 5 = 0
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 13x = t, así tendríamos:
t2 – 6t + 5 = 0
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Ecuación de segundo grado que si revolvemos nos da como soluciones para t son t = 1 y t =
5; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 1 => 13x = 1 (pues t = 13x) => x = 0
Si t = 5 => 13x = 5 (pues t = 13x) => x = log13 5
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = 0 y x = log13 5
64) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 53d)):
4x – 3 * 4x + 1 + 4x + 2 = 20
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de cuatro
4x – 3 * 4x * 4 + 4x * 42= 20 => 4x – 12 * 4x + 16 * 4x= 20
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 4x = t, así tendríamos:
t – 12t + 16t = 20 => 3t = 20 => t = 20/3
La solución para t es t = 20/3; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir,
NO HAS TERMINDADO.
Si t = 20/3 => 4x = 20/3 (pues t = 4x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = log4 (20/3)
65) Resuelve la siguiente ecuación(pag 59, ejercicio 53e)):
3x (1/3)x – 3 = (1/27)x
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. La base no es la misma, pero si nos
fijamos y factorizamos el 27 tendremos la misma base. Así pues si operamos así:
3x (1/3)x : (1/3)–3 = (1/33)x => 3x (3)–x : (3)3 = (1/3x) 3 => 1 : (3)-3 = (1/3x) 3
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Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, (1/3)x = t, así tendríamos:
1 : 3-3 = t3 => t = 3
La solución para t es t = (3); pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir,
NO HAS TERMINDADO.
Si t = (3) => (1/3)x = (3) (pues t = (1/3)x)
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x = -1
66) Resuelve la siguiente ecuación (pag 59, ejercicio 53f)):
10x – 5x – 1 * 2 x – 2 = 950
Resolución:
Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar
todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:
En este caso intentaremos dejar todo como potencia de diez
10x – 5x – 1 * 2 x – 1 * 2 –1 = 950 => 10x – (5 * 2) x – 1 * 2 –1 = 950
10x – (10) x – 1 * 2 –1 = 950 => 10x – 10 x 10–1 * 2 –1 = 950
Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 10x = t, así tendríamos:
t – t / 20 = 950
Si resolvemos la ecuación de primer grado nos quedaría como solución para t = 1000; pero
recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.
Si t = 1000 => 10x = 1000 (pues t = 10x) => x = 3
Así pues la solución de nuestra ecuación será:
x=3
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