Fluidos

Capı́tulo 12
Fluidos
12.1.
Conceptos Preliminares
Un fluido es una substancia incapaz de soportar fuerzas de cizalla. Es ésta la propiedad que distingue a un sólido de un fluido.
En la figura 12.1 se muestra una placa, la
cual se intenta deslizar hacia la derecha
mediante la aplicación de una fuerza F .
Un pasador sólido evita que esto ocurra.
Sin embargo, cuando el pasador es sustituido por un lı́quido o un gas, la placa comenzarı́a a deslizarse (aun para fuerzas F
pequeñas). El fluido no es capaz de ejercer una fuerza de cizalla para mantener el
equilibrio.
pasador
F
F
placa
Figura 12.1
La densidad de una sustancia es la razón entre su masa y volumen: ρ = m/V . La densidad
del agua, a 4◦ C, es 1.00 g/cm3 (es el valor máximo de la densidad del agua).
Los fluidos se dividen en dos subclases: los lı́quidos y los gases. Los lı́quidos se caracterizan
por ocupar un volumen definido independiente del volumen del recipiente que lo contiene.
Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente que
lo contiene. La compresibilidad del fluido es otra propiedad marcadamente distinta en los
lı́quidos y en los gases. Un lı́quido es bastante incompresible y en la gran mayorı́a de las
aplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los
gases. Éstos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que su
densidad sea constante.
A pesar de que los fluidos están constituidos por moléculas, en le presente capı́tulo se
tratan como un medio continuo. El uso de los aspectos macroscópicos de un fluido está justificado cuando el camino libre medio (es decir, la distancia media que alcanza a recorrer
una molécula del fluido antes de colisionar con otra) es mucho menor que las distancias
involucradas del sistema bajo consideración.
317
318
Fluidos
Sea F una fuerza que actúa en forma perpendicular sobre un área A. Se define la presión
P por la relación
F
P ≡
A
Considere un fluido en reposo (por ejemplo, un vaso de agua, una piscina o una lago). Al
sumergir un objeto en el fluido, éste ejercerá una fuerza sobre las superficies del objeto. La
fuerza por unidad de área (o presión) que ejerce un fluido sobre los objetos (o superficies)
con las que está en contacto, tiene varias propiedades importantes:
a) La fuerza que un fluido en reposo ejerce sobre una superficie es siempre perpendicular
a ella. Esto está directamente relacionado con el hecho de que un fluido es incapaz de
ejercer una fuerza de cizalla.
b) Un fluido, en un punto particular, ejerce la misma presión en todas las direcciones
(Principio de Pascal ). En otras palabras, la presión es una magnitud escalar. Si sumergimos en el fluido un cubo infinitesimal, la fuerza sobre todas las caras del cubito
será la misma, siendo su magnitud F = P A. Aquı́ A es el área de una de las caras del
cubito y P es la presión del fluido en el lugar donde se encuentra el cubo (estamos
despreciando variaciones de la presión sobre distancias del tamaño del cubito).
c) Los lugares isobáricos (de igual presión) en un fluido en reposo (y de densidad constante) son los planos horizontales. En la figura 12.2, en los puntos A, B, C, D y E
la presión es la misma. También la presión es igual en los puntos F , G, H e I. La
presión es mayor en puntos ubicados a mayor profundidad. En el punto J la presión
es menor que en el punto F .
J
H
aire
F
A
G
B
C
I
D
E
líquido
Figura 12.2
12.2.
La presión atmosférica P0
La presión en la superficie de un fluido que se encuentra en un recipiente abierto a la
atmósfera no es nula, sino igual a la presión atmosférica. Esta última se debe a que estamos
inmersos en un fluido (compresible) constituido por el aire. La atmósfera de la Tierra ejerce
una presión sobre todos los objetos con los que está en contacto, en particular sobre otros
12.2 La presión atmosférica P0
319
fluidos. La presión atmosférica sobre la superficie terrestre la denotaremos por P0 , y es igual
a la presión ejercida por el peso de toda la columna de aire que está por encima.
P0 no es despreciable o insignificante como algunas personas suelen creer. Por el contrario,
la presión atmosférica juega un papel importante en numerosos aparatos y máquinas de la
vida diaria.
Antes de continuar digamos algo sobre las unidades de la presión:
En el sistema SI, la unidad de presión es el Pascal: 1 Pa = 1 N/m2 . A 105 Pa se le suele
llamar bar , o sea 1 bar = 105 Pa. Observe que 1 bar es aproximadamente la presión que
ejerce una masa de 1 kg si ésta está apoyada sobre un área de 1 cm2 . En efecto,
1 Kg/cm2 =
9,81 N
= 0,981 · 105 N/m2 = 0,981 bar.
2
0,0001 m
También observe que 1 kg es la masa de una columna de agua de 10 m de altura y 1 cm2
de sección transversal.
Otra unidad frecuentemente usada para medir la presión es la atmósfera (atm). 1 atm
corresponde a la presión promedio que ejerce la atmósfera terrestre a nivel del mar. Experimentalmente se encuentra que ésta es aproximadamente 1,013 · 105 N/m2 = 1.013 bar. Se
define la atmósfera estándar por
1atm = 1,0135 · 105 N/m2 = 1,0135bar .
O sea, y esto es útil recordar, 1 atm es aproximadamente igual a un bar e igual a la presión
que ejerce el peso de una masa de 1 kg sobre 1 cm2 , que a su vez es igual a la presión
adicional ejercida por una columna de agua a 10 metros de altura.
La palma de una mano tiene un área de aproximadamente 100 cm2 , luego la fuerza que
ejerce la atmósfera sobre la palma extendida es aproximadamente igual a la que ejercerı́a
una masa de 100 kg apoyada sobre ella. La fuerza sobre la palma es balanceada por una
fuerza igual y contraria aplicada sobre el dorso de la mano.
Considere un tubo de 1 m de largo y sección
transversal A, cerrado por uno de los extremos. Llenemos el tubo con mercurio y coloquemos el tubo, con el extremo abierto hacia
abajo, en un recipiente con mercurio. Observaremos que el nivel de mercurio se situará a
aproximadamente 760 mm del nivel del recipiente (ver figura 12.3). El extremo superior
del tubo queda al vacı́o.
Apliquemos la segunda ley de Newton a la
columna de mercurio (que sobresale de la superficie del lı́quido en el recipiente). ¿Cuáles
son las fuerzas que actúan sobre ella?
vacío
presión 0
h = 760 mm
presión P0
Hg
Figura 12.3
320
Fluidos
Hay sólo dos: por una parte está la presión que el fluido que está en el recipiente ejerce
sobre el mercurio que está en el tubo: tal fuerza es F~1 = P0 Aẑ; por otra, está el peso del
mercurio al interior de la columna, F~2 = −AhρHg gẑ. Como el fluido está en reposo la fuerza
neta debe ser nula, o sea
P0 A = AhρHg g .
La densidad del mercurio es ρHg = 13,6 g/cm3 . Con esto obtenemos par P0 el valor
P0 ' 1,014 · 105 Pa = 1 atm .
¡La fuerza que eleva l mercurio al interior del tubo es la presión atmosférica! El dispositivo
que acabamos de describir es un barómetro de mercurio. La altura de la columna de mercurio
mide la presión atmosférica. La presión atmosférica promedio a nivel del mar corresponde
a 760 mm de mercurio.
Al repetir el mismo experimento, pero con una columna de agua, la altura será 13.6 veces mayor (recuerde que la densidad del mercurio es 13.6 g/cm3 y la del agua 1 g/cm3 ).
Multiplicando los 76 cm por 13.6 se obtienen 10.34 m. Este dato es muy importante, ya
que interviene en varias aplicaciones tecnológicas. Por ejemplo, al intentar elevar agua de
un pozo (cuya superficie está en contacto con el aire que nos rodea) succionando por el
extremo superior de un tubo largo, sólo se tendrá éxito si el nivel de agua no está a más de
10.34 metros de profundidad (en la práctica esta altura es menor ya que el agua comienza
a hervir bastante antes de llegar a los 10.34 metros).
12.3.
Principio de Arquı́medes
Al sumergirnos en un fluido, la presión aumenta. Evaluemos este aumento de presión
para un fluido incompresible (lı́quido) de densidad ρ. para ello consideremos el fluido contenido en un paralelepı́pedo imaginario de altura h y área A. Una de las caras de área
A la ubicamos de manera que coincida con
la superficie del lı́quido mientras que la otra
queda a una profundidad h (ver figura 12.4).
Por lo dicho en la sección anterior, la presión
P = P (h) es sólo una función de la profundidad h.
z^
h
P0
A
g
ρ
Figura 12.4
Es claro que las fuerzas netas horizontales ejercidas por el fluido externo sobre el paralelepı́pedo son nulas, de lo contrario el fluido del paralelepı́pedo acelerarı́a —lo que estarı́a
en contradicción con la suposición de que el fluido se encuentra en reposo.
Las fuerzas que actúan sobre el paralelepı́pedo en la dirección vertical son: i) la fuerza
que el aire ejerce sobre la cara superior, que es F~1 = −P0 Aẑ, ii) la fuerza que el fluido
(exterior) ejerce sobre la cara inferior, que es F~2 = P (h)Aẑ y iii) la fuerza debida al peso
del paralelepı́pedo con su fluido. Esta fuerza de gravedad es F~3 = −(ρAh)gẑ. Como el
12.3 Principio de Arquı́medes
321
paralelepı́pedo está en equilibrio, la fuerza total debe ser nula, es decir,
0 = F~1 + F~2 + F~3 = (−P0 A + P (h)A − ρAhg)ẑ .
De la ecuación anterior se deduce que
P (h) = P0 + ρgh ,
donde P0 es la presión atmosférica que actúa sobre la superficie del fluido. Observe que el
aumento de la presión con la profundidad es igual a la presión ejercida por el peso de la
columna del fluido que se encuentra por encima.
Estamos en condiciones de demostrar el Principio de Arquı́medes:
Al sumergir un cuerpo parcial o totalmente en un fluido aparece una fuerza
llamada empuje que actúa sobre el cuerpo y apunta en la dirección opuesta a
la gravedad. La magnitud del empuje es Fe = ρgV , donde ρ es la densidad del
fluido y V es el volumen del fluido que fue desplazado por el cuerpo.
Para demostrar este principio observe primeramente que la fuerza que el lı́quido ejerce
sobre cada parte de la superficie del cuerpo
sumergido o parcialmente sumergido es independiente del material de que está hecho.
Por lo tanto, en lo que a empuje respecta,
podemos reemplazar la parte sumergida del
cuerpo A por un lı́quido igual al lı́quido que
lo rodea (ver figura 12.5). Si ρ es la densidad del lı́quido y Vs el volumen de la parte sumergida del cuerpo A, entonces el peso
~ = −ρVs gẑ. Por supuesdel cuerpo B es W
to que el cuerpo B estará en equilibrio, por
consiguiente la fuerza de empuje que el lı́quido exterior ejerce sobre B debe exactamente
contrarrestar el peso. Luego la fuerza de empuje es F~e = ρVs gẑ.
z^
A
B
Figura 12.5
Más aún, el cuerpo B está en equilibrio neutro (es decir, dentro del lı́quido lo podemos
trasladar a cualquier punto y orientarlo en cualquier dirección, quedando en reposo), luego
la fuerza de empuje debe estar actuando como si estuviera aplicada en el centro de gravedad
de B. Esto es un dato de importancia para analizar el equilibrio de objetos flotantes o
sumergidos.
322
Ejemplo: Considere tres cubos del mismo
tamaño, adheridos tal como se muestra en la
figura 12.6. El material del cual están hechos
los dos cubos A y B es ρ1 = 0,5 g/cm3 , mientras que el cubo C está hecho de un material
de densidad ρ2 = 2 g/cm3 . Observe que la
densidad media de los tres cubos es igual a
la del agua (ρ = 1 g/cm3 ) y, por lo tanto,
al sumergirlo en agua, la fuerza de empuje
exactamente cancela el peso. ¿Cuál será la
orientación de equilibrio estable que el objeto adquirirá cuando está “flotando” rodeado
de agua?
Fluidos
β
B
A
C
Figura 12.6
~ y el empuje F~e . Ya
Las únicas fuerzas que están actuando sobre el objeto son el peso W
sabemos que ambas fuerzas tienen la misma magnitud y apuntan en direcciones opuestas
y, por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto es nula. Pero para que se encuentre en
equilibrio también el torque neto debe ser nulo. Esto se logra sólo si ambas fuerzas son
colineales (actúan a lo largo de la misma recta). Encontremos los puntos en que actúan las
dos fuerzas.
La gravedad actúa en el centro de masas. El
B
A
centro de masas de los cubos A y B se encuentra en a y el centro de masas de C se
a
encuentra en b. El centro de masas del objeL
2
to completo se encontrará sobre la recta que
une a con b. Como el cubo C tiene el doble
de masa de los dos cubos A + B juntos, el
1 β
centro de masas del objeto completo se ubicará más cerca de b que de a. En la figura 12.7
C
b
hemos designado el centro de masas del objeto completo con el número 1. Se tiene que
b, 1 = a, b/3.
L
La fuerza de empuje, por otra parte, actúa en
el centro de masas que se obtiene al sustituir
Figura 12.7
los tres cubos por agua (en la figura lo hemos
designado con el número 2).
Nuevamente el centro de masas de los cubos A+B se encuentra en a, mientras que el de C se
encuentra en b. El centro de masas de los centros de masas nuevamente se encontrará sobre
la recta a, b. Pero ahora los cubos A + B pesan el doble de lo que pesa C, luego el centro
de masas ahora estará más cerca de a que de b. De hecho, el centro de masas cuando los
tres cubos están hechos de agua debe estar sobre el plano de simetrı́a indicado en la figura
con una lı́nea punteada.
En resumen, la fuerza de gravedad actúa en 1 y el empuje actúa en 2. Para que no haya
torque sobre el sistema la recta a, b debe orientarse a lo largo de la vertical. Concluimos que
12.4 La fórmula barométrica
323
el ángulo β de la figura 12.6 debe coincidir con el de la figura 12.7. Se deduce inmediatamente
que tan β = 1/2. Convénzase de que el equilibrio es estable cuando el punto 2 está sobre el
punto 1 e inestable cuando 1 está sobre 2.
12.4.
La fórmula barométrica
Considere N moléculas de un gas confinadas en un volumen V y a una temperatura T . Si
la ecuación de los gases ideales es aplicable se tiene que
P V = N kB T .
Aquı́ P es la presión del gas y kB = 1,38 · 10−16 erg/K es la constante de Boltzmann. Sea
m la masa de cada molécula, entonces
P =
N m kB T
kB T
=ρ
,
V m
m
donde ρ es la densidad de masa del gas. De esta relación se deduce que, mientras la temperatura se mantenga constante, la presión de un gas es proporcional a su densidad. En
particular, si ρ0 y P0 son la densidad y presión de la atmósfera al nivel del mar (z = 0) y
ρ(z)y P (z) son las mismas magnitudes, pero a una altura z (por sobre el nivel del mar),
entonces
P0
ρ0
=
.
P (z)
ρ(z)
Por otra parte (ver figura 12.8), la presión a
una altura z es la misma que la que hay a
una altura z es la misma que la que hay a
una altura z + dz más la presión ejercida por
el peso del gas que hay entre las alturas z y
z + dz, o sea,
z^
z+dz
g
z
P (z) = P (z + dz) + ρ(z)g dz .
Esta ecuación se puede reescribir de la forma
dP
gρ0
= −ρ(z)g = −
P (z) .
dz
P0
Figura 12.8
(12.1)
Ésta es la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la presión atmosférica
(a temperatura constante). Para resolver esta ecuación debemos antes discutir la función
exponencial .
La función exponencial
La ecuación diferencial del tipo
df (t)
= Γf (t) ,
f˙(t) =
dt
(12.2)
324
Fluidos
donde Γ es una constante (real o compleja), aparece frecuentemente en las ciencias naturales
(y también en las ciencias económicas). Es muy importante discutir y analizar sus soluciones.
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función y sus derivadas (primera,
segunda, etc.). La derivada de más alto orden que aparece en la ecuación define el orden
de la ecuación diferencial. La ecuación diferencial (12.2) es de primer orden.
Nos interesa encontrar la solución más general de (12.2). Un resultado importante de la
teorı́a de ecuaciones diferencial (y que no demostraremos aquı́) es que la solución general
de una ecuación diferencial de orden n tiene n constantes arbitrarias. En otras palabras,
sabremos que tenemos la solución general de la ecuación (12.2) si ésta tiene una constante
que se puede elegir arbitrariamente. Una vez que se ha encontrado la solución general, la
constante arbitraria se elige de manera que la solución corresponda a la solución del problema planteado (o sea, cumpla con las condiciones iniciales).
Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial z̈ = a0 . Ésta es una ecuación diferencial de
segundo orden. La solución general es z(t) = z0 + v0 t + a0 t2 /2. La solución general tiene dos
constantes arbitrarias z0 y v0 , las que deben elegirse de manera que la solución corresponda
a la situación fı́sica concreta que se está considerando.
Definamos la función exp(t) mediante la serie
exp(t) = 1 +
t
t2 t3
+ + + ··· .
1! 2! 3!
(12.3)
Es evidente que su derivada es igual a la función, es decir,
d
exp(t) = exp(t) .
dt
Ejercicio: Demuestre que la función f (t) = A exp(Γt), donde A es una constante arbitraria,
es la solución general de la ecuación
f˙(t) = Γf (t) .
Como consecuencia del ejercicio anterior concluimos que la solución general de la ecuación
(12.1) es
gρ0
P (z) = A exp −
z ,
P0
donde la constante arbitraria A se determina exigiendo que la presión en z = 0 sea P0 . Esto
nos da la condición A = P0 . De esta manera obtenemos la fórmula barométrica
gρ0
P (z) = P0 exp −
z .
P0
Reiteramos que este resultado, que nos da la presión barométrica en función de la altura,
es sólo aproximadamente correcto ya que, contrariamente a nuestra suposición, la temperatura de la atmósfera normalmente disminuye a medida que uno se eleva.
12.4 La fórmula barométrica
325
Ejercicio: Demuestre que la función f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) es una solución de la ecuación
diferencial
f˙(t) = (Γ1 + Γ2 )f (t) .
Por consiguiente, f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) debe poder escribirse de la forma f (t) = A exp((Γ1 +
Γ2 )t). Demuestre que en ese caso A = 1, o sea
exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) = exp((Γ1 + Γ2 )t) .
(12.4)
Observe que esta relación justifica la introducción de la notación
exp(Γt) = eΓt .
La función et = exp(t) se llama función exponencial .
Ejercicio: Evaluando la serie (12.3) para t = 1, demuestre que e = 2,718 . . .
Problemas (relacionados con la función exponencial)
1.
Suponiendo que la atmósfera tiene una temperatura constante, determine la presión
atmosférica a 10 km de altura. (La densidad del aire, en la vecindad de la superficie
terrestre, a 20◦ C, es aproximadamente ρ0 = 1,29 kg/m3 .)
2.
Considere un cilindro de radio R sobre el cual se apoya una cuerda. Sea µe el coeficiente de roce estático entre la cuerda y el cilindro. Suponga que en uno de los extremos
de la cuerda está colgando una masa M . ¿Cuál es la mı́nima masa que debe colgarse
en el otro extremo para que la cuerda no resbale?
Respuesta: m = M e−µe π .
3.
La cantidad de núcleos de un elemento radiactivo que decae en un intervalo [t, t0 ]
es proporcional al número de núcleos no decaı́dos que se tenı́a inicialmente (en el
instante t). Demuestre que la afirmación anterior implica que
N (t) = N0 e−λt ,
donde N (t) es el número de núcleos en el instante t que no ha decaı́do, N0 la misma
magnitud pero en el instante t = 0 y λ es una constante positiva (la ası́ llamada
constante de desintegración).
Para el caso en que λ = 0,01 s−1 , determine el tiempo que debe transcurrir para que
decaiga la mitad de los núcleos.
4.
Suponga que cierto banco (en el paı́s de las maravillas) para intereses a una tasa de
100 % anual sobre los depósitos, y más aún, los paga en forma continua, sumando los
intereses al capital depositado. Si una persona deposita $1000, ¿cuánto le devolverá el
banco al cabo de un año?
Respuesta: $ 2 718.28. . . = e · 1000.
326
12.5.
Fluidos
Tensión superficial
Entre dos moléculas de un fluido actúan fuerzas. Estas fuerzas, llamadas fuerzas de van
der Waals o fuerzas cohesivas son de origen eléctrico. Una de las caracterı́sticas de estas
fuerzas es que su alcance es muy pequeño (rápidamente se desvanecen cuando la distancia
entre las moléculas es dos o tres veces su tamaño); otra caracterı́stica es que mientras las
moléculas no se traslapan, la fuerza es atractiva.
El efecto neto de las fuerzas de cohesión sobre una molécula que está en el interior del
lı́quido es nulo, pero no ası́ para una molécula
que se encuentra en la superficie (ver figura
12.9). Para poner una molécula en la superficie hay que realizar un trabajo. O sea, la
existencia de una superficie en un fluido introduce una energı́a potencial. Esta energı́a
es proporcional a la superficie y se tiene que
Figura 12.9
dW = σ dA .
Aquı́ σ es una constante que depende del fluido y se llama tensión superficial y dA es un
elemento (infinitesimal) de superficie. En realidad la tensión superficial depende de las dos
substancia que están en contacto. La siguiente tabla da valores de la tensión superficial
para algunos casos.
Substancia
Agua
Agua
Agua
Hg
Hg
Alcohol metı́lico
Glicerol C3 H8 O3
Solución jabonosa
En contacto con
aire
aire
aire
vacı́o
aire
aire
aire
aire
Temp. ◦ C
0
20
80
20
20
20
20
20
σ [N/m]
0.0756
0.07275
0.0626
0.475
0.436
0.0227
0.0634
' 0,025
F
Para medir la tensión superficial se puede usar el dispositivo mostrado en la figura
12.10. Un alambre movible, inicialmente sumergido, se tira lentamente, extrayéndolo del
lı́quido (con una pelı́cula del lı́quido adosada). Midiendo la fuerza F se puede deducir
σ. En efecto, al mover el alambre movible a
una altura h a h+dh, el trabajo que se realiza
es dW = F dh.
h
L
Figura 12.10
12.5 Tensión superficial
327
Por otra parte, la superficie de la pelı́cula aumenta en dA = 2L dh (el factor 2 se debe a
que la pelı́cula tiene una superficie a cada lado). Se tiene
σ=
dW
F dh
F
=
=
.
dA
2L dh
2L
Problema: Deseamos encontrar la diferencia de presión entre el interior y exterior de una
pompa de jabón de radio R = 1 cm.
Si, soplando con una pajita, aumentamos el radio de la pompa de R a R + dR, entonces la
superficie aumenta en
dA = 2 · (4π(R + dr)2 − 4πR2 ) = 16πR dR .
El factor 2 nuevamente se debe a que hay que considerar tanto la superficie interior como
exterior de la pompa. El cambio de energı́a debido al aumento de la superficie es por lo
tanto
dW = σ dA = 16σπR dR .
Por otra parte, podemos evaluar el trabajo directamente, multiplicando el desplazamiento
dR por la fuerza ∆P · 4πR2 , es decir,
dW = ∆P · 4πR2 dR .
Igualando las dos últimas expresiones se encuentra la diferencia de presión
∆P =
4σ
.
R
Con σ = 0,025 N/m y R = 0,01 m se obtiene ∆P = 10 N/m2 . Si se deja de soplar por la
pajita, la pompa se desinfla.
Observe que la presión al interior de una pompa de jabón es mayor tanto más pequeño
es su radio. De esta observación se deduce que al juntarse una pompa de jabón grande
con una pequeña, la pequeña inflará a la más grande. De esta manera la pompa grande
aumentará su tamaño mientras que la pequeña disminuirá: en otras palabras, la más grande
absorberá a la más pequeña.
328
12.6.
Fluidos
Capilaridad
La fuerza entre moléculas de dos substancias
distintas se llama fuerza de adhesión. Consideremos una pequeña cantidad de lı́quido
(medio #2) en contacto con una superficie
sólida plana(medio #3) y ambos en contacto
con un gas (medio #1) (ver figura 12.11). Sea
{σi,j }, con i, j = 1, 2, 3 las tensiones superficiales para las distintas interfases de la figura
12.11.
Si la fuerza de adhesión (entre el lı́quido y
el sólido) es mucho mayor que la fuerza de
cohesión (entre las moléculas del lı́quido), entonces el lı́quido tenderá a esparcirse sobre el
sólido (ver figura 12.6a). En este caso se dice
que el lı́quido moja al sólido.
α
Γ
α
Figura 12.11
Por otra parte, si la fuerza de adhesión es mucho menor que la fuerza de cohesión, entonces
el lı́quido tenderá a concentrarse, adquiriendo una forma compacta tipo gota (ver figura
12.11 b).
Como resultado de esta competencia entre las distintas fuerzas de adhesión y cohesión,
se forma un ángulo de contacto α bien caracterı́stico entre el lı́quido y el sólido. Experimentalmente se determina que este ángulo de contacto para las substancias agua–vidrio es
aproximadamente 0◦ , mientras que para mercurio–vidrio α = 140◦ .
Considere la lı́nea Γ a lo largo de la cual conviven las tres fases. Conocemos la magnitud
y la dirección de la fuerza sobre Γ proveniente de la tensión superficial del lı́quido. Por el
principio de acción y reacción, el sólido ejercerá sobre el lı́quido una fuerza de la misma
magnitud pero en dirección opuesta. Esta fuerza es la que hace subir un fluido por un
capilar.
Consideremos un tubo fijo, de diámetro interior muy pequeño 2r y con un extremo inmerso verticalmente en un lı́quido cuya tensión superficial es σ. El largo de la lı́nea Γ
en este caso es 2πr. La fuerza que el tubo
ejerce sobre el lı́quido a través de la tensión
superficial es
2r
h
F = σ(2πr) cos α ,
donde α es el ángulo de contacto del lı́quido con el material del tubo. Esta fuerza debe compensarse exactamente con el peso del
lı́quido (que está por sobre el nivel exterior).
Figura 12.12
12.7 Fluidos en movimiento
329
El peso del lı́quido que subió por el tubo capilar es
Fg = ρ0 (πr2 h)g ,
donde ρ0 es la densidad del lı́quido. Igualando las dos fuerzas se obtiene para la altura
máxima h a la que sube el lı́quido la expresión
h=
2σ cos α
.
ρ0 gr
Ejemplo: Los xilemas que trasportan los nutrientes en una plante tı́picamente tienen un
radio de 10−3 cm. Evaluemos la altura máxima a la que podrán llegar los nutrientes. Supondremos que el ángulo de contacto α = 0 y para la densidad y tensión superficial del
lı́quido usaremos la del agua.
Usando la fórmula expuesta más arriba se encuentra que h ' 1,5 m. La capilaridad es
efectivamente uno de los mecanismos que las plantas usan para elevar la savia, sin embargo,
no puede ser el mecanismo responsable para elevar el agua de las raı́ces hasta la punta de
los árboles grandes (cuya altura puede superar los 100 metros), ya que para ello los xilemas
tendrı́an que tener un diámetro 100 veces menor.
12.7.
Fluidos en movimiento
Consideraciones preliminares
Los fluidos en movimiento se pueden clasificar con respecto a varios aspectos. Uno de
ellos es la compresibilidad. La hidrodinámica se preocupa de estudiar el flujo de fluidos
incompresibles, mientras que la aerodinámica analiza los flujos de fluidos compresibles.
Notamos, sin embargo, que incluso los gases pueden aproximadamente como incompresibles
mientras su velocidad no supere a la tercera parte de la velocidad del sonido.
Otro aspecto clasificatorio se introduce respecto al roce interno. Se tiene el flujo de un fluido
ideal si se ignoran todos los efectos debido al roce interno (es decir, se ignora la viscosidad
del fluido). En caso contrario se estará considerando flujos de lı́quidos y gases reales.
La trayectoria de un pequeño elemento de
fluido define una lı́nea de corriente o lı́nea
ρ2
A2
de flujo. A su vez todo un haz de lı́neas de
ρ
v2
1
flujo define un tubo de flujo (ver figura 12.13)
también podemos clasificar los fluidos en moA1
vimiento con respecto al comportamiento de
v1
sus lı́neas de corriente. Si éstas no varı́an a
medida que transcurre el tiempo se tiene un
Figura 12.13
flujo estacionario o flujo laminar ; en caso
contrario, el flujo es turbulento.
En un flujo laminar, dos lı́neas de corriente cercanas entre sı́ en cierto lugar, se mantendrán
cercanas en todas partes. También dos lı́neas de corriente del fluido nunca se cruzan.
Cuando el flujo es turbulento entonces elementos de fluido que inicialmente están infinitesimalmente cerca pueden llegar a estar separados por distancias macroscópicas a medida
330
Fluidos
que transcurre el tiempo. El flujo del fluido en este caso es caótico y se forman remolinos
erráticos (llamadas también corrientes parásitas).
Flujo turbulento
Flujo laminar
Figura 12.14
La disipación de energı́a es mucho mayor cuando el flujo es turbulento que cuando es
laminar.
Ecuación de continuidad
Consideremos un tubo de flujo como, por ejemplo, el que se muestra en la figura 12.7. Sean
A1 , ρ1 y v1 el área transversal del tubo, la densidad y velocidad del fluido en la entrada
del tubo y A2 , ρ2 y v2 las mismas magnitudes pero a la salida del tubo. Para un flujo
estacionario, la cantidad de fluido que ingresa por el tubo durante un intervalo de tiempo
dt debe coincidir con la que emerge en ese mismo intervalo por el otro extremo, luego
ρ1 A1 v1 dt = ρ2 A2 v2 dt ,
relación a la que se denomina ecuación de continuidad . Cuando el flujo es incompresible,
la densidad no cambia (o sea, ρ1 = ρ2 ), luego, para fluidos incompresibles, la ecuación de
continuidad es
A1 v1 = A2 v2 .
Ecuación de Bernoulli
En lo que sigue consideraremos el flujo estacionario de un fluido ideal incompresible. Sean
P1 y P2 las presiones a la entrada y salida de un tubo de flujo, respectivamente. Evaluemos
el trabajo neto en el punto de entrada realizado por la presión sobre el fluido que está al
interior del tubo. En un tiempo dt la sección transversal inicial avanza una distancia v1 dt,
siendo el trabajo sobre el fluido
W1 = F1 v1 dt = P1 A1 v1 dt .
Por otra parte, el fluido que emerge del tubo realiza un trabajo igual a
W2 = F2 v2 dt = P2 A2 v2 dt .
La diferencia es el trabajo neto realizado sobre el fluido:
dW = W1 − W2 = (P1 A1 v1 − P2 A2 v2 ) dt .
12.8 Aplicaciones del principio de Bernoulli
331
Este trabajo neto hecho sobre el fluido debe ser igual al cambio de energı́a (potencial y
cinética) del fluido:
dW = dU + dK .
Si z1 es la altura del fluido a la entrada del tubo y z2 la altura a la salida, el cambio de
energı́a potencial es
dU = (ρA2 v2 dt)z2 g − (ρA1 v1 dt)z1 g .
El cambio de energı́a cinética es
1
1
dK = (ρA2 v2 dt)v22 − (ρA1 v1 dt)v12 .
2
2
De las ecuaciones anteriores se obtiene
(P1 A1 v1 − P2 A2 v2 ) dt = [(ρA2 v2 dt)z2 g − (ρA1 v1 dt)z1 g]
1
1
+ (ρA2 v2 dt)v22 − (ρA1 v1 dt)v12 .
2
2
Usando la ecuación de continuidad, se encuentra
1
P1 − P2 = ρg(z2 − z1 ) − ρ v22 − v12 ,
2
o sea, para cualquier punto a lo largo de un tubo de flujo,
1
P + ρgz + ρv 2 = constante .
2
Esta última relación, consecuencia directa del teorema de conservación de la energı́a, se
conoce con el nombre de ecuación de Bernoulli . Es importante recalcar que la ecuación de
Bernoulli recién deducida es sólo válida para fluidos ideales, o sea aplicable sólo a situaciones
en las cuales la viscosidad es despreciable.
12.8.
Aplicaciones del principio de Bernoulli
Supondremos implı́citamente que en todos los casos analizados en la presente sección que
el fluido bajo consideración es ideal y que el flujo es estacionario. En la práctica los resultados obtenidos aquı́ serán sólo una primera aproximación al problema estudiado. Para una
descripción más precisa es necesario incluir en el formalismo los efectos introducidos por la
viscosidad.
332
Fluidos
Problema 1: Un tambor de altura h y área
A, parado y abierto por la tapa superior
(es decir, en contacto con la atmósfera), se
encuentra lleno de agua. Asuma que en la
parte inferior del manto se abre un tapón
de sección transversal a. ¿Cuánto tiempo
tardará en vaciarse el tambor?
A
1
h
Solución: Apliquemos la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2, en la parte superior del fluido en el tambor y una vez que ha
emergido del tambor (figura 12.14). En ambos lugares la presión del fluido es igual a la
presión atmosférica P0 .
2
Figura 12.15
Elijamos el origen del eje vertical en la base del tambor. De acuerdo a la ecuación de
Bernoulli se tiene
1
P0 + ρgh + 0 = P0 + 0 + ρv 2 ,
2
donde v es la velocidad del fluido a la salida del tambor. La velocidad, por lo tanto, es
p
v = 2gh .
Esta última relación se llama teorema de Torricelli . Observe que la velocidad del fluido es
la misma que la que adquiere un objeto cuando cae una distancia h.
Supongamos ahora que en cierto instante el fluido dentro del tambor está a una altura z.
El volumen de fluido que emerge en un tiempo dt es av dt, lo que hace bajar el nivel del
tambor en dz = −av dt/A. Tenemos que
−
dz
a
ap
= v=
2gz ,
dt
A
A
o, escribiéndolo de otra forma,
dz
ap
−√ =
2g dt .
A
z
Integrando la última ecuación desde que se comienza a evacuar el tambor hasta que esté vacı́o,
se obtiene:
Z t=T
Z z=0
ap
dz
√ =
−
2g
dt
A
z
t=0
z=h a p T
0
− 2z 1/2 =
2gt
A
h
0
√
ap
2 h=
2gT .
A
El tiempo que demora en evacuarse el tambor es
s
2A h
.
T =
a
2g
12.8 Aplicaciones del principio de Bernoulli
Problema 2: Considere un sifón consistente
de un tubo con un diámetro constante de
10 cm, con el cual se extrae agua de una
represa. Con las alturas mostradas en la figura 2.15, evalúe el flujo que pasa por el tubo.
333
4
z^
h 1= 2 m
h 2= 6 m
1
3
Solución: Apliquemos la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2. Se tiene que
2
agua
1
P0 + ρg(h2 − h1 ) + 0 = P0 + 0 + ρv 2 ,
2
O
Figura 12.16
donde v es la velocidad del agua al interior del tubo. Como el fluido es incompresible y el
diámetro del tubo no cambia, la velocidad para un fluido ideal al interior del tubo en todos
los lugares es la misma. Para la velocidad v se obtiene
v=
p
2g(h2 − h1 ) .
El volumen de agua que pasa por el tubo en un tiempo dt es
dV = Av dt ,
donde A es la sección transversal del tubo. Sustituyendo los valores del enunciado se obtiene
p
dV
= π(0,05)2 2 · 9,81 · 4 m3 /s ' 70 litros/s .
dt
¿Cuál es la presión en el punto 3 (al interior del tubo, a la altura del nivel de agua del
tranque)?
Para responder esta interrogante aplicamos la ecuación de Bernoulli en los puntos 2 y 3.
Tenemos
1
1
P0 + 0 + ρv 2 = P3 + ρg(h2 − h1 ) + ρv 2 .
2
2
Acá P3 es la presión del agua en el punto 3. Se obtiene
P3 = P0 − ρg(h2 − h1 ) .
Una columna de agua de 10 metros corresponde a aproximadamente la presión atmosférica
P0 . Por lo tanto, ρg(h2 − h1 ) = 0,4P0 . Luego P3 ' 0,6P0 .
Análogamente, para la presión en el punto 4 se obtiene
P4 = P0 − ρgh2 ' 0,4P0 .
Observe que h2 no puede sobrepasar los 10 metros, ya que de lo contrario la columna de
agua se corta.
334
Fluidos
Otras aplicaciones
i) Atomizador:
Al pasar una corriente de aire por encima de un tubo abierto, se reduce la
presión al interior del tubo. Si la velocidad del aire es v, la presión P justo
encima del tubo es
v
aire
P0
1
P = P0 − ρv 2 .
2
La disminución de presión provoca que
el lı́quido suba por el tubo. Una vez que
el lı́quido llega a estar en contacto con
la corriente de aire, éste se atomiza. Este principio es usado en las botellas de
perfume y en los aspersores de pintura.
ii) Tubo de Venturi:
Al hacer pasar un lı́quido por una
tuberı́a estrechada, en el lugar constreñido baja la presión. La disminución
de la presión permite determinar la velocidad del fluido.
Figura 12.17
P1
P2
2
A1
A2
1
Apliquemos la ecuación de Bernoulli en
los puntos 1 y 2 (figura 12.18).
Figura 12.18
Si la tuberı́a es horizontal (o sea, no hay cambios en la energı́a potencial del fluido) se tiene
que
1
1
P1 + ρv12 = P2 + ρv22 .
2
2
Por otra parte, la ecuación de continuidad nos da la relación
A1 v1 = A2 v2 .
De las ecuaciones anteriores se deduce que
s
v2 = A1
2(P1 − P2 )
.
ρ A21 − A22
Si el flujo es suficientemente alto, el tubo de Venturi puede usarse para bombear. Por
ejemplo, los extractores de saliva usados por los dentistas se basan en este principio.
12.9 *Viscosidad
335
iii) Efecto Magnus:
F
Consideremos un cilindro (o una esfera) en
un fluido en movimiento. Si el cilindro rota
en torno a un eje perpendicular a la corriente del fluido, y además hay roce viscoso entre le cilindro y el fluido, entonces el cilindro
arrastrará al fluido haciendo que las velocidades del fluido a ambos lados del cilindro no
sean iguales. En el caso mostrado en la figura adjunta, la velocidad es mayor arriba que
abajo.
1
2
Figura 12.18
De acuerdo a la ecuación de Bernoulli, la presión en el lugar 1 serán inferior que en el lado 2
(P1 < P2 ). Esta diferencia de presión genera una fuerza neta sobre el cilindro hacia arriba.
Es este efecto, llamado efecto Magnus, el responsable de los ası́ llamados “efectos” que
pueden observarse en numerosos juegos de pelota. Justamente para aumentar el “efecto”
las pelotas no deben ser completamente suaves en la superficie (pelusas en la pelota de
tenis).
iv) Bomba de chorro (jet) de agua:
Por una tobera inyectora P se hace ingresar
agua a alta velocidad en una cámara. De esta
manera se genera una disminución de la presión en la vecindad de P , lo que a su vez permite aspirar el aire de un recipiente. El lı́mite
inferior a que puede bombear este dispositivo (usando agua y a temperatura ambiente)
es de aproximadamente P ' 2,7 · 104 Pa (la
1/40 ava parte de la presión atmosférica)
agua
aire
P
Figura 12.20
12.9.
*Viscosidad
Entre las distintas moléculas de un fluido actúan fuerzas de adhesión. Por esta razón, cuando
fluyen y distintas partes del fluido se mueven con velocidades relativas, aparecen fuerzas
de roce interno, también llamada viscosidad . A pesar de que los fluidos no manifiestan
resistencia a fuerzas de cizalla, la viscosidad hace que sı́ presenten cierta resistencia al
deslizamiento.
Otra consecuencia de la viscosidad es que la velocidad del fluido que está en contacto con
una superficie (de un sólido) es nula (con respecto a la superficie).
En esta sección sólo analizaremos casos en que el flujo es laminar.
336
Fluidos
Consideremos dos placas paralelas de área A,
separadas por una distancia D y con un fluido entre ellas. Una de las placas la mantenemos fija y la otra se mueve (paralelamente)
con velocidad v0 (ver figura 12.21). El fluido
en contacto con la placa superior se mueve
con velocidad v0 , mientras que el que está en
contacto con la placa inferior está en reposo.
^z
Área A
v0
Fr
en reposo
Figura 12.21
Newton experimentalmente encontró que para muchos fluidos la fuerza que se debe realizar
para mantener la placa en movimiento es
Fr = ηA
dv
v0
= ηA
,
D
dz
o sea, es proporcional al área A y al gradiente (derivada) de la velocidad. La constante de
proporcionalidad η es la viscosidad dinámica. Los fluidos que cumplen con esta relación se
llaman fluidos newtonianos. La siguiente tabla da la viscosidad para algunas substancias:
Fluido
Agua
Agua
Agua
Alcohol etı́lico
Glicerina
Glicerina
Aire
Aire
Aire
Helio
Temp. ◦ C
0
20
100
20
0
20
-31.6
20
230
20
viscosidad η [Ns/m2 ]
1,79 · 10−3
1,00 · 10−3
0,28 · 10−3
1,2 · 10−3
12.11
1.49
1,54 · 10−5
1,83 · 10−5
2,64 · 10−5
1,94 · 10−5
(Otra unidad usada para medir la viscosidad es el poise [P]: 1 [P] = 10 [Ns/m2 ].) De la tabla
se observa que la viscosidad es mucho mayor para los lı́quidos que para los gases. También se
observa una fuerte dependencia de la temperatura. Para los lı́quidos la viscosidad disminuye
al aumentar la temperatura, mientras que para los gases aumenta.
Flujo laminar en tubos
El efecto de la viscosidad en el flujo de fluidos por tubos de sección redonda es de gran
importancia en muchas aplicaciones. Consideremos aquı́ un caso: el flujo estacionario de un
lı́quido newtoniano por un tubo horizontal de largo L y radio R. Sean P1 y P2 las presiones
del lı́quido en los dos extremos del tubo y determinemos el perfil de velocidad v(r) del fluido
al interior del tubo y el flujo por unidad de tiempo.
12.9 *Viscosidad
337
Sea v(r) la velocidad del fluido al interior del tubo. Sabemos que v(R) = 0, o sea, el fluido
en contacto con el tubo está en reposo. Consideremos ahora el fluido encerrado al interior
de un cilindro de radio r (ver figura 12.22). Llamemos A al fluido interior y B al fluido que
está ubicado a distancia mayores que r. El área de contacto del fluido A con B es 2πrL.
Fluido A
P1
r
Fluido B
P2
R
L
Figura 12.22
La fuerza que B ejerce sobre A es, por lo tanto,
dv(r)
x̂ .
F~r = η(2πrL)
dr
Observe que dv/dr es negativo y, por lo tanto, la fuerza que el fluido exterior ejerce sobre
A es contraria a la dirección del fluido. Como el flujo es estacionario, la fuerza total sobre
el fluido A debe ser nula, o sea, la fuerza ejercida por las presiones P1 y P2 sobre el cilindro
interno debe cancelar exactamente a la fuerza F~r debida a la viscosidad:
P1 πr2 x̂ − P2 πr2 x̂ + F~r = 0 .
De esta manera se deduce que
dv
P1 − P2
=−
r.
dr
2ηL
Integrando sobre r y fijando la constante de integración de manera que v(R) = 0 se encuentra el perfil de velocidades al interior del tubo (ecuación de Poiseuille):
v(r) =
P1 − P2 2
(R − r2 ) .
4ηL
Este perfil es de forma parabólica.
Conocido el perfil de velocidades podemos evaluar el flujo dV /dt (la cantidad de fluido que
atraviesa la sección transversal del tubo por unidad de tiempo). La cantidad de fluido que
pasa entre dos cilindros concéntricos de radios r y r + dr en un tiempo dt es (2πr dr)v(r) dt.
Sumando sobre todos los cilindros (integrando sobre r) se obtiene la cantidad de fluido dV
que pasa por el tubo en un tiempo dt:
Z R
dV =
(2πr dr)v(r) dt .
0
Se obtiene
dV
P1 − P2
= 2π
dt
4ηL
Z
0
R
r(R2 − r2 ) dr =
P1 − P2
πR4 .
8ηL
338
Fluidos
Observe que la cantidad de agua que se puede hacer pasar por un tubo aumenta dramáticamente cuando se aumenta su diámetro. Aumentar la diferencia de presión en un factor 2
aumenta el flujo en ese mismo factor; aumentar el diámetro en un factor 2 (sin aumentar
la diferencia de presión) aumenta el flujo en un factor 16.
También podemos escribir la última ecuación como sigue:
∆P = P1 − P2 =
8ηL dV
,
πR4 dt
o sea, la pérdida de presión al pasar un flujo dV /dt por un tubo es proporcional a su largo
L y a la viscosidad e inversamente proporcional a la cuarta potencia de R.
Flujo laminar alrededor de una esfera
Usando matemáticas más avanzadas se puede evaluar la fuerza de roce Fr debido a la
viscosidad que actúa sobre una esfera de radio R cuando ésta se mueve respecto a un fluido
con velocidad v0 . Si el flujo es laminar la fuerza es (ley de Stokes)
Fr = 6πηrv0 .
Esta ecuación, midiendo la velocidad terminal de esferas cayendo en el fluido, permite
determinar su coeficiente de viscosidad.
12.10.
Problemas
1.
El rey Hierón de Siracusa pidió a Arquı́medes que examinara una corona maciza
que habı́a ordenado hacer de oro puro. La corona pesaba 10 kg en el aire y 9.375 kg
sumergida en agua. Arquı́medes concluyó que la corona no era de puro oro. Asumiendo
que en su interior contenı́a plata, ¿cuánto oro tenı́a la corona de Hierón? La densidad
del oro es 19.3 g/cm3 ; la de la plata, 10.5 g/cm3 .
2.
Considere un vaso de agua lleno hasta el borde, con un trozo de hielo flotando en
él. Por supuesto que el hielo, al flotar, sobrepasará por encima del borde del vaso. A
medida que el hielo se derrite. ¿Se derramará el vaso?
Suponga ahora que en el mismo vaso flota un pequeño barco de juguete hecho de
latón. Suponga además que el barquito tiene un pequeño orificio por el cual penetra
agua, haciendo que el barquito lentamente se llene de agua. Durante este proceso, o
sea mientras el barco se llena de agua pero aún no se hunde, el nivel del agua del vaso
¿baja, queda a igual altura o sube? Cuando finalmente el barquito se hunde, que pasa
con el nivel del agua?
3.
Considere un cilindro de masa M , área A y altura h, que flota “parado” en un lı́quido
de densidad ρ0 .
12.10 Problemas
339
a) ¿Hasta qué alguna estará sumergido
el cilindro en el lı́quido?
b) Si el recipiente que contiene le lı́quido es muy grande (por ejemplo, un
lago), ¿qué trabajo debe realizarse
para sacar el cilindro del lı́quido?
A
h
ρ0
c) ¿Varı́a la respuesta si el recipiente
que contiene el lı́quido es un tambor
cilı́ndrico de área A0 ?
4.
Considere una varilla de madera muy liviana, de largo L, sección transversal A y
densidad ρ, que se hace flotar en el agua
(designe la densidad del agua por ρ0 ).
a) Convénzase de que no es posible que
la varilla flote “parada”.
Figura 12.23
ρ
L
ρ
0
b) Para lograr que la varilla flote parada, agreguémosle una masa puntual
m en el extremo inferior. ¿Cuál es la
mı́nima masa m que debe agregarse
para lograr el objetivo?
m
Figura 12.24
5.
Considere un vaso comunicante de 2 cm2
de sección transversal que contiene mercurio (ρ = 13,6 g/cm3 ). A un lado se echan
360 gramos de glicerina (ρ = 1,2 g/cm3 )
y en el otro 1/4 de litro de alcohol (ρ =
0,8 g/cm3 ). Encuentre el desnivel d que glicerina
existe entre los niveles superiores de la glicerina y el alcohol. Haga un gráfico cualitativo de la presión “hidrostática” en
función de la profundidad para cada uno
de los dos “brazos” del vaso comunicante
(grafique las dos curvas en el mismo gráfico).
d
alcohol
mercurio
Figura 12.25
340
6.
Fluidos
Considere un cilindro de sección A y altura h que se encuentra flotando en la interfase de dos fluidos de densidades ρ1 y ρ2 ,
respectivamente (ρ1 > ρ2 ). Encuentre la
densidad ρ del cilindro si éste se encuentra
sumergido en el fluido 1 en una magnitud
d.
ρ
2
h
d
ρ
1
Figura 12.26
7.
¿Qué volumen de helio se requiere si debe elevarse un globo con una carga de 800 kg
(incluido el peso del globo vacı́o)? Las densidades del aire y del helio, a la presión de
una atmósfera, son ρaire = 1,29 kg/m3 y ρHe = 0,18 kg/m3 , respectivamente.
8.
Una varilla de largo L y densidad ρ1 flota
en un lı́quido de densidad ρ0 (ρ0 > ρ1 ). Un
extremo de la varilla se amarra a un hilo
a una profundidad h (ver figura adjunta).
ρ
1
aire
α
a) Encuentre el ángulo α.
ρ0
b) ¿Cuál es el mı́nimo valor de h para el cual la varilla se mantiene en
posición vertical?
fluido
hilo
c) Si A es la sección transversal de la
varilla, encuentre la tensión del hilo.
9.
h
L
Figura 12.27
Considere las tres mediciones mostradas en la figura adjunta:
P1
P2
P3
Figura 12.28
• P1 es el peso de un recipiente con agua con un objeto sumergido en él.
• P2 es el peso cuando el objeto está sumergido en el agua, pero colgado de una
cuerda sin que toque el fondo del recipiente.
• P3 es el peso del recipiente con agua.
Encuentre la densidad promedio del objeto.
12.10 Problemas
10.
341
En un canal horizontal, de ancho b, fluye agua con velocidad v, siendo el nivel de
agua h. Asuma que en cierto lugar el canal se ensancha en una pequeña cantidad db.
Demuestre que el nivel del agua cambiará en
dh =
hv 2
db .
b(gh − v 2 )
Note que si v 2 < gh el nivel del agua sube.
11.
12.
13.
S1
Un corcho cilı́ndrico de masa m1 y sección
transversal S1 flota en un lı́quido de densidad ρ. El corcho está conectado por medio
de una cuerda sin masa, de largo L, a un
cilindro de aluminio de masa m2 y sección transversal S2 . El cilindro de aluminio puede deslizarse sin roce por un orificio
hermético en el fondo del tiesto. Calcular
la profundidad h a la que debe hallarse la
base del corcho para que el sistema de los
dos cilindros esté en equilibrio. La presión
atmosférica, ¿juega algún rol?
Un prado es regado con un regador hechizo que consiste en una botella plástica, con numerosos agujeros de 1 mm de
diámetro, acostada sobre el prado y conectada aun a manguera. Asuma que una
bomba de agua se encarga de generar un
flujo de agua constante de 0.2 litros por
segundo. ¿Cuántos agujeros debe tener la
botella para que el agua llegue a mojar el
prado a 8 metros de distancia de la botella? ¿Cuál es la presión al interior de la
manguera si ésta tiene una sección transversal de 4 cm2 ?
Un tubo de largo L, lleno de agua, gira en
el plano horizontal en torno a un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. En
el extremo junto al eje, el tubo está abierto, coincidiendo por lo tanto la presión del
fluido con la presión atmosférica. El tubo
gira con velocidad angular constante ω. Si
en el otro extremo, en cierto instante, se
abre un pequeño orificio, ¿con qué velocidad emergerá el agua del tubo? (Especifique la rapidez y dirección de la velocidad.)
m1
h
L
m2
S2
Figura 12.29
Vista lateral
Vista frontal
Figura 12.30
ω
L
Figura 12.31
342
14.
Fluidos
llave
Para abastecer de agua a una casa de dos pisos se recurre a un
“hidropack”. Este sistema consiste en una depósito subterráneo,
5m
una bomba y un cilindro con
agua y aire. La bomba inyecta
agua a presión al cilindro, que en
su parte superior queda con ai1m
re comprimido. Un medidor de
depósito
presión detiene la bomba cuando la presi ón del cilindro alcanza
el valor deseado (el mismo medibomba
dor vuelve a encender la bomba
cuando la presión baja de cierto
Figura 12.32
nivel).
aire
comprimido
Si el nivel del agua en el cilindro se sitúa 1 metro por debajo del suelo, calcule la
presión necesaria en el aire comprimido para que una llave de 1 cm2 de sección, a una
altura de 5 metros sobre el suelo, entregue un caudal de 12 litros por minuto. (La
sección transversal del cilindro es grande respecto a la de la llave.) También encuentre
la presión del aire al interior del cilindro.
15.
16.
La fuerza de sustentación de un avión moderno es del orden de 1000Ñ por metro
cuadrado de ala. Suponiendo que el aire es
un fluido ideal y que la velocidad del aire
por debajo del ala es de 100 m/s, ¿cuál
debe ser la velocidad requerida por sobre
el ala para tener la sustentación deseada?
(La densidad del aire es 1.3 kg/m3 .)
Figura 12.33
Un bombero lanza agua con su manguera hacia un incendio formando un ángulo de
45◦ con la horizontal. El agua que emerge del pistón penetra horizontalmente por una
ventana del tercer piso que se encuentra a una altura h = 10 metros. La manguera
que transporta el agua desde el carro bomba tiene un diámetro D de 6 cm y concluye
en un pistón cuya abertura tiene un diámetro d de 1.5 cm.
a) ¿Cuántos litros de agua emergen del pistón por minuto?
b) ¿Cuál es la presión P que debe soportar la manguera (en atmósferas)?
12.10 Problemas
17.
343
Considere la tuberı́a que lleva el agua
de una represa hacia una turbina. Suponga que la bocatoma se encuentra a
10 metros bajo el nivel de las aguas y
que la turbina se encuentra 80 metros
por debajo de ese nivel. Al inicio, es decir a la salida de la represa, la tuberı́a
tiene un diámetro de 40 cm. Suponga
que el fluido se comporta como un fluido ideal.
10 m
80 m
a) ¿Cuál es el diámetro máximo que
puede tener la tuberı́a en su extremo inferior para que no se produzcan cortes de la columna de
agua al interior de la tuberı́a?
Figura 12.34
b) ¿Cuál serı́a la cantidad de agua que pasarı́a en ese caso por la tuberı́a y cuál la
velocidad del agua emergente?
c) Si el proceso de generación de energı́a eléctrica usando la presente turbina fuese
100 % eficiente, ¿cuál serı́a la potencia de esta central? ¿Esto corresponde al
consumo promedio de cuántas casas?
d) Haga un gráfico cualitativo de la presión al interior de la tuberı́a en función de
la altura. ¿Cómo cambia esta presión si la sección de la tuberı́a, en el punto
emergente, se disminuye a la mitad? ¿A la centésima parte?
18.
Considere una tuberı́a de una calefacción. En el sótano su diámetro es de 4.0 cm y en
el segundo piso, 5 metros más arriba, la tuberı́a tiene un diámetro de sólo 2.6 cm. Si
en el sótano una bomba se encarga de bombear el agua con una velocidad de 0.5 m/s
bajo una presión de 3.0 atmósferas, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en el
segundo piso?
19.
Suponga que el nivel de un lı́quido
(agua) en un tambor tiene una altura
h. A una altura b se hace una pequeña
perforación lateral que permite que
el agua emerja horizontalmente. ¿A
qué altura debe hacerse la perforación
para que el alcance d del agua se máximo?
Respuesta: b = h/2.
20.
h
b
d
Figura 12.35
En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, tal como se muestra en la figura
adjunta. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v = 2,5 m/s. La parte
superior del tubo se encuentra a h0 = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente y
tiene un pequeño agujero.
344
Fluidos
¿A qué altura h subirá el chorro de agua que sale por el agujero?
h
h0
v
Figura 12.36
21.
Considere una masa esférica homogénea en equilibrio hidrostático. Sea RT el radio y
ρ0 la densidad de masa.
a) Muestre que la presión a una distancia r del centro viene dada por
p=
2π 2
ρ0 G R 2 − r 2 .
3
b) Evalúe la presión al centro de la Tierra. RT = 6,3 · 108 cm y densidad uniforme
promedio ρ0 = 5,5 g/cm3 .
22.
En un balón el gas en su interior se encuentra a una presión P . Demuestre que la
velocidad con que escapa el gas, al abrir la válvula, es
s
v=
2(P − P0 )
,
ρ
donde ρ es la densidad del gas y P0 la presión atmosférica. (Esta ecuación se conoce
por ley de Bunsen.)
23.
Considere una prensa hidráulica (ver figura 12.37). Sean R1 = 25 cm y R2 = 150 cm
los radios de los émbolos de bombeo y de presión, respectivamente.
Si de la palanca que actúa sobre el émbolo de bombeo se tira con una fuerza F1 =
100 [N] (ver figura), ¿qué fuerza ejercerá el émbolo de presión sobre el objeto S?
24.
Se quiere confeccionar aluminio poroso (algo ası́ como queso suizo) que se mantenga
en suspensión en agua. Determine la razón entre el volumen de los poros y el volumen
del aluminio poroso. (La densidad del aluminio sólido es ρ = 2700 kg/m3 .)
12.10 Problemas
345
L
F2
F1
L
émbolo
de presión
S
válvula
de retorno
émbolo
de bombeo
válvula
estanque
de reserva
válvula
Figura 12.37
25.
ω0
∗
Considere un cuerpo lı́quido de densidad
uniforme ρ0 , que se mantiene unido debido
a la gravedad y que gira con una velocidad
angular ω0 . Si bien el cuerpo es esférico si
ω0 = 0, cuando ω0 6= 0 (pero no demasiado grande), el cuerpo adquiere la forma
de un esferoide oblato. Demuestre que si
la desviación de la esfericidad es pequeña,
entonces
R1
O
R2
R1 − R2
3 ω02
=
,
R
8π ρ0 G
Figura 12.38
donde R ' R1 ' R2 . Evalúe (R1 − R2 )/R
para la Tierra y compárelo con el valor
experimental, que es ∼ 1/298,4.
26.
∗
Considere la situación mostrada en la figura 12.39. Un cilindro de radio R y largo
L evita que el agua de cierto recipiente
se rebase. El cilindro se puede mover libremente. La densidad del cilindro es tal
que, cuando el agua llega a la parte superior del cilindro, la posición del cilindro
es la mostrada en la figura. Encuentre la
fuerza que ejerce el agua sobre el cilindro.
Encuentre la densidad del material del que
está hecho el cilindro.
z^
cilindro
x^
R
agua
ρ
0
Figura 12.39
346
27.
28.
Fluidos
∗
Considere una caja de dimensiones a, b
y h, llena de agua. Todos los lados de la
caja están firmemente unidos entre sı́, excepto uno de los lados laterales (de dimensión b · h). Evalúe la magnitud de la fuerza
exterior mı́nima con que debe presionarse
ese lado contra el resto de la caja para que
el agua no escurra. Si la fuerza se aplica
en un solo lugar, encuentre la posición en
la que debe aplicarla.
agua
F
h
b
a
Figura 12.40
Un mol de aire en condiciones normales (a nivel del mar y a 20◦ C de temperatura)
ocupa un volumen de 22.4 litros. Estime la densidad del aire si gran parte de él
está constituido por nitrógeno. (Resp.: ∼ 1,28 kg/m3 .)
¿Cuál es el mı́nimo volumen que debe tener un globo de helio (ρ = 0,18 kg/m3 ) para
levantar un vehı́culo de 1200 kg?
29.
Dos globos esféricos inflados con aire, ambos de radio R, se unen mediante una
cuerda de longitud L. Los dos globos se
mantienen bajo el agua con el punto medio de la cuerda fijo al fondo. Calcular la
fuerza de contacto entre los globos.
R
L /2
L /2
Figura 12.41
30.
Una varilla yace en el fondo de un recipiente con agua formando un ángulo de
60◦ con la vertical. La varilla es de sección
uniforme y está formada por dos pedazos
iguales en longitud pero de distinta densidad. La densidad de una de las porciones
de la varilla es la mitad de la del agua. Determine la densidad de la otra porción.
30 o
Figura 12.42
12.10 Problemas
347
a
31.
32.
Considere un bloque de hielo (ρ =
920 kg/m3 ) en forma de “L”, formado de
tres cubos de 25 cm por lado. Mediante
un peso se desea sumergir el hielo en agua
como se indica en la figura. Determine la
masa del peso y la ubicación en el hielo
donde deberı́a adherirse de modo que el
hielo se mantenga justo sumergido lo más
estable posible.
hielo
P
Figura 12.43
Considere un sistema de vasos comunicantes formado por dos tubos de sección
transversal de 50 cm2 que están unidos por
un tubito corto de sección transversal muy
pequeña (o sea, para efectos de este problema podemos despreciar la cantidad de
fluido que se encontrará en el tubito). Inicialmente en este sistema de vasos comunicantes se encuentran dos litros de agua.
Figura 12.44
a) Encuentre la altura en que se encontrarán las interfases entre los lı́quidos y el
aire en cada uno de los tubos si en uno de los tubos se le agregan 2 litros de un
lı́quido cuya densidad es ρ = 0,8 g/cm3 .
b) Para la situación descrita en la parte a), encuentre la presión en el fondo de los
vasos comunicantes.
c) Encuentre la altura en que se encontrarán las interfases entre los lı́quidos y el
aire en cada uno de los tubos si en uno de los tubos, en lugar de 2, se le agregan
3 litros de un lı́quido cuya densidad es ρ = 0,8 g/cm3 .
33.
Un tubo horizontal por el que fluye lı́quido de densidad ρ0 a razón de Q m3 /s, se
bifurca en dos ramas en el plano vertical, una superior y otra inferior, de secciones
transversales a1 = a2 = a, abiertas a la atmósfera (ver figura 12.45). Si la distancia
entre las ramas es h, determinar:
a) Las cantidades q1 y q2 de lı́quido (en m3 /s) que fluyen por ambas ramas.
b) La condición que debe cumplir Q para que haya flujo en la rama superior.
34.
Una gotita de agua de 1 mm de radio se pulveriza en gotitas de 10−4 mm de radio.
¿En qué factor aumenta la energı́a superficial (debido a la tensión superficial)?
348
Fluidos
q1
g
Q
h
q2
Figura 12.45
35.
La figura 12.46 muestra un tubo de Pitot,
instrumento que se usa para medir la
velocidad del aire. Si el lı́quido que indica
el nivel es agua y ∆h = 12 cm, encuentre
la velocidad del aire. La densidad del aire
es ρaire = 1,25 kg/m3 .
Respuesta: v0 = 43,4 m/s = 156 km/h.
aire
∆h
agua
Figura 12.46
36.
Considere dos placas planas de vidrio, separadas por una distancia de 0,1 mm, con
un extremo sumergidas en agua en forma vertical. ¿Qué distancia se elevará el agua
entre las placas debido a la capilaridad?
37.
∗
Encuentre la velocidad terminal que adquiere una esfera de cobre de 0,5 cm de
diámetro, cuando cae en agua (ρCu = 8,92 g/cm3 ). ¿En qué factor disminuye la
velocidad terminal si el diámetro se achica en un factor 10?
38.
∗
Considere un oleoducto de 5 km y 50 cm de diámetro por el cual se desea bombear
1 m3 por segundo. Si uno de los extremos está abierto a la presión atmosférica,
¿qué presión P1 debe existir en el otro extremo? Suponga que la densidad del petróleo
es ρ = 950 kg/m3 y el coeficiente de viscosidad es aproximadamente η = 0,2 Pa · s.
¿Cuál es la potencia dW/dt (energı́a por unidad de tiempo) disipada por la fricción
interna originada por la viscosidad?
Respuesta: P1 ' 7,5 atm; dW/dt ' 650 kW.
12.11 Solución a algunos de los problemas
12.11.
349
Solución a algunos de los problemas
Solución al problema 8
El largo a de la parte de la varilla sumergida es a = h/ sen α. La fuerza de empuje
se aplica en el lugar a/2 y la fuerza de
gravedad en el lugar L/2 (medidos desde
O).
Sea A la sección transversal de la varilla.
Entonces la fuerza de empuje viene dada
por
h
F~e = ρ0 Aagẑ = ρ0 A
gẑ .
sen α
ρ
Fe
1
aire
área A
a
h
Fg
ρ0
O
fluido
hilo
T
Figura 12.47
La fuerza de gravedad es
F~g = −ρ1 LAgẑ .
El torque ejercido por ambas fuerzas respecto a O debe ser nulo, o sea,
a
L
Fe cos α = Fg cos α .
2
2
Simplificando se obtiene
Fe a = Fg L .
Sustituyendo las expresiones par Fe y Fg se deduce que
ρ0 Aa2 g = ρ1 AL2 g ,
o sea
h2
= ρ1 L2 .
sen2 α
Despejando se encuentra finalmente que
r
ρ0 h
.
sen α =
ρ1 L
ρ0
Si el lado derecho de la última ecuación es mayor o igual a uno, la varilla se mantendrá en
posición vertical. El mı́nimo valor de h para que la varilla esté en posición vertical es
r
ρ1
hmin = L
.
ρ0
La tensión del hilo se obtiene exigiendo que la fuerza total sea nula. De esta manera se
obtiene que
h
T = Fe − Fg = ρ 0 A
g − ρ1 LAg
senα
r
r
ρ0
ρ0
= ALgρ1
− 1 = Mg
−1 ,
ρ1
ρ1
donde M es la masa de la varilla.
350
Fluidos
Solución al problema 16
a) Si v es√la velocidad con que emerge el agua del pistón, la velocidad hacia arriba
será v/ 2. El agua alcanza a subir una altura h, luego su velocidad es
p
v = 2 gh = 20 m/s .
La cantidad de agua V que emerge del pistón en t = 60 segundos es
2
1
d
= 20 · 60 · 3,14 · (0,015)2 m3 = 212 litros .
V = vtπ
2
4
b) Usemos el teorema de Bernoulli para comparar el flujo del agua justo a la salida
del pistón con el flujo en la manguera justo detrás del pistón. No hay cambio en la
energı́a potencial. Como la sección transversal de la manguera es 16 veces mayor que
la abertura del pistón, la velocidad del agua en la manguera será 16 veces menor que
la velocidad emergente v. A la salida del pistón la presión es la presión atmosférica,
que ignoraremos en el presente cálculo, ya que sólo estamos interesados en la presión
adicional p que debe soportar la manguera debido al agua que fluye en su interior. Se
tiene
1 v 2 1
p + ρ0
= ρ0 v 2 .
2
16
2
Ignorando la energı́a cinética del agua al interior de la manguera (convénzase de que
modifica el resultado final en menos de un 0.5 %), se obtiene
1
1
kg
m2
kg
p = ρ0 v 2 = 1000 3 400 2 = 2 · 105
,
2
2
m
s
m s2
lo que corresponde a aproximadamente 2 atmósferas.
Solución al problema 27
Elijamos el eje ẑ a lo largo de la vertical, con el origen al fondo de la caja sobre la tapa móvil.
La presión a una altura z es P (z) = ρ0 g(h − z). Dividamos la tapa en franjas horizontales
de largo b y ancho (altura) dz. La fuerza que ejerce el fluido sobre la franja que está a la
altura z es
dF = P (z)b dz .
Sumando (integrando) la fuerza que el lı́quido ejerce sobre cada una de las franjas se obtiene
la fuerza total
Z h
Z h
1
F =
P (z)b dz = ρ0 gb
(h − z) dz = ρ0 bgh2 .
2
0
0
Para encontrar a qué altura h0 debemos aplicar esta fuerza sobre la tapa, evaluemos el
torque que ejerce el fluido sobre la tapa respecto al origen. El torque que el fluido ejerce
sobre la franja que está a la altura z es
dτ = zP (z)b dz .
12.11 Solución a algunos de los problemas
351
Sumando (integrando) el torque que el lı́quido ejerce sobre cada una de las franjas se obtiene
el torque total
Z h
Z h
1
z(h − z) dz = ρ0 bgh3 .
zP (z)b dz = ρ0 gb
τ=
6
0
0
Para que la tapa esté en equilibrio el torque que ejerce la fuerza total externa F debe
coincidir en magnitud con τ , es decir,
F h0 = τ ,
o sea
1
1
ρ0 bgh2 h0 = ρ0 bgh3 .
2
6
De esta ecuación se deduce finalmente que h0 = h/3.
Solución al problema 33
La relación de Bernoulli se puede aplicar entre los puntos A y B1 y también entre A y B2 .
Por transitividad, la relación de Bernoulli también es válida entre los puntos B1 y B2 . Se
tiene
1
1
P1 + ρgh1 + ρv12 = P2 + ρgh2 + ρv22 .
2
2
Pero P1 = P2 = P0 (la presión atmosférica), h1 = 0 y h2 = h, luego
1
1 2
ρv1 = ρgh + ρv22 .
2
2
q1
B1
^z
g
Q
h
A
B2
O
q2
Figura 12.48
Los flujos que circulan por la rama superior e inferior vienen dados por q1 = av1 y q2 = av2 ,
respectivamente. También se tiene que Q = q1 + q2 . De las relaciones anteriores se deduce
que
Q2 − 2a2 gh
q1 =
2Q
y
Q2 + 2a2 gh
q2 =
.
2Q
352
Para que circule lı́quido por la rama superior se debe tener que
p
Q > a 2gh .
Fluidos