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Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
1
Se advierte a los alumnos que
estas transparencias no
incluyen demostraciones
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
2
• MEDIR es determinar el valor de una magnitud al compararla
con un patrón que se denomina unidad de medida.
• Desde Galileo la Física se basa en experimentos, formulando
leyes y teorías que rigen e interpretan los fenómenos estudiados
• Hasta finales del XIX no se desarrollaron la Termo y EM por
falta de aparatos para realizar experimentos
• La física moderna (inicio s. XIX) se desarrolló gracias al
descubrimiento de fenómenos físicos no explicables con la teoría
clásica → mecánica cuántica y teoría de la relatividad
• Medida + unidades. La velocidad de un coche es 200….
• El sistema de unidades aceptado: Sistema Internacional (S.I.):
• Apartir de la Revolución francesa se creó el sistema
métrico decimal
• A mediados del s. XIX comenzó a extenderse por Europa
• No es hasta 1960 cuando los físicos adoptaron el S.I.
• La metrología: parte fundamental de la Física. Definición
de las unidades con mayor precisión.
• Destacar contribuciones de físicos como Webber y Gauss
(campo magnético), Giorgi
• En 1954 se introducen: amperio (A), el kelvin (K) y la
candela (cd)
• No es hasta el año 1970 cuando se completa con el mol
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3
• En España no es hasta el año 1989 cuando aparece en el BOE el
sistema métrico de decimal de 7 unidades básicas, denominado
Sistema Internacional:
• Compuesto por la siguientes unidades básicas
Longitud: Metro (m)
Masa: Kilogramo (kg)
Tiempo: Segundo (s)
Corriente eléctrica: Amperio (A)
Temperatura: Kelvin (K)
Cantidad de una sustancia: mol (mol)
Intensidad lumínica: candela (cd)
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Prefijos
R. Valiente
Dpto. Física Aplicada
Unidades derivadas
R. Valiente
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Unidades que no son del SI pero que son aceptadas dentro de él
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• Conclusión: ninguna magnitud física puede ser medida con
completa certeza. Podemos reducir la incertidumbre pero nunca
eliminarla por completo.
• No siempre incertidumbres muy pequeñas son necesarias
 INSTRUMENTOS


ESCALAS


DATOS 
 ⇒ RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS
CRONÓMETRO
S


 INDICADORES 
ERRORES EN LOS DATOS ⇒ ERRORES EN LOS RESULTADOS
DE LOS CÁLCULOS
• No se pretenden desarrollos matemáticos rigurosos, que se
escapan del cometido de esta asignatura, pero si poner las bases
de la teoría de errores para poder manejarse en cualquier
laboratorio.
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• Desafortunadamente debido a fallos humanos, imperfecciones
de los instrumentos, el resultado de toda medida debe tiene un
cierto grado de incertidumbre.
• Toda medida debe contener: UNIDAD+NÚMERO+ERROR
• ERROR científicamente es inevitable y afecta a toda medida.
• Diferenciar de fallo o “metedura de pata”
• Ejemplo: ¿Cuánto mide este lápiz?
• Errores evitables
• Errores intrínsecos
cm
• El carpintero utiliza un metro de carpintero de madera: 35 cm
• Técnico utiliza la cinta métrica: 35.5 cm
• Un físico con un calibre: 35.56
• …. El aparato más preciso es el interferómetro y tiene una
precisión de 10-7 m.
• Incluso podríamos tener problemas de definición de longitud,
variación con T, humedad, etc.
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TIPOS DE ERRORES
• Errores sistemáticos: ctes. a lo largo de una serie de medidas
•Mismo origen y magnitud para las mismas condiciones
•Su efecto es incrementar o disminuir la medida siempre la
misma cantidad
•Origen: fallo en la calibración (cero del instrumento).
Suposición errónea, uso de un parámetro o cantidad
inadecuada. Fenómenos naturales inadvertidos. Errores de
lectura: paralaje.
•Solución: Recalibración, Escalas y unidades adecuadas.
Mejora de las condiciones de medida. Utilización de
métodos alternativos. Cambio del instrumento de medida.
No hay principios generales para tratarlos. Es la experiencia
la que puede hacer una adecuada valoración, detectarlos y
eliminarlos o corregirlos.
• Ejemplos:
Balanza sin calibrar
NASA millas en vez de km (sonda Marte)
Ctes. Universales inexactas
Péndulo método estático y dinámico
Dilatación, rozamiento, ….
Paralaje empleo del espejo
Escala mal graduada
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TIPOS DE ERRORES
Errores aleatorios: siempre presentes en cualquier experimento.
Se producen por un gran número de variaciones impredecibles y
desconocidas en la realización repetida del experimento en
condiciones aparentemente idénticas. Varían de una medida a
otra y que lo mismo puede ser positivo que negativo.
• Origen:
• Fluctuaciones aleatorias del proceso a nivel microscópico
• Sensibilidad instrumental.
• Al desconocer su causa es imposible determinarlos de
forma exacta (estimaciones).
• Responden a distribuciones probabilísticas
• Pueden ser tratados mediante métodos estadísticos
• Solución: Repetición de medidas. Sentido común. El análisis de
los errores aleatorios es lo que constituye la teoría de errores.
La repetición de las medidas es el arma para luchar contra los
errores aleatorios pero no contra los sistemáticos.
Ejemplos:
• Estimación de las pequeñas divisiones de la escala de lectura
por el observador
• Fluctuaciones de la temperatura
• Fluctuaciones de voltaje
• Vibraciones mecánicas
• Errores al disparar y parar un cronómetro
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Diseñar y realizar bien un experimento significa:
• planificar un experimento cuya precisión es apropiada a su
propósito (esto exige un estado de conocimiento y consecuente
reflexión previos y puede significar replantearse en sucesivas
etapas la modelización del experimento).
• asegurarse de eliminar los errores sistemáticos en métodos e
instrumentos, (el dispositivo experimental debe estudiarse
minuciosamente).
• estimar la precisión del resultado final (la estimación previa a la
realización es imprescindible para ahorrar mucho trabajo inútil).
• registrar las medidas y los cálculos con fidelidad, claridad y
concisión (resulta tan indeseable la información incompleta
como la que es superflua)
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¿Por qué es importante estimar el error?
Las observaciones experimentales siempre vienen afectadas de
imprecisiones.
• Prevención de catástrofes (errores sistemáticos).
• Algunas observaciones se usan para computar un resultado,
debemos conocer cómo las imprecisiones de las observaciones
individuales contribuyen a la imprecisión total del resultado.
Mulliken (gota de aceite) en su día obtuvo una carga para el
electrón de (1.591±0.002) ×10-19 C siendo el valor actual de
(1.602189±0.000005) ×10-19 C. Esto hizo que hasta 1930 otras
constantes que utilizan e tuvieran un error del 0.5%.
Interconexión en la Ciencia. Importancia de obtener estimaciones
exactas y precisas de las constantes físicas.
• En algunos casos los científicos realizan hipótesis y modelos
que sólo pueden ser refutados o contrastados con la realización
de experiencias diseñadas al respecto. En estos casos es
fundamental conocer si el resultado de la medida junto con su
error aparece dentro de lo que se estimó como valor esperado
para dicho modelo.
• Determinación de la densidad: oro o aleación.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
¿Por qué es importante estimar el error?
Determinación de la densidad de dos piezas que se suponen oro:
• Experto A: medida rápida 15 g/cm3 y valor verdadero entre
13.5 y 16.5 g/cm3.
• Experto B: 13.9±0.2 g/cm3.
• Si la densidad del oro es 15.5 g/cm3 y la de una aleación que lo
imita es 13.8 g/cm3. ¿Qué conclusiones podemos sacar?
• La del B es la más precisa
• La primera medida no puede identificar el material
• Con incertidumbres grandes es difícil obtener resultados
• El experto B debe justificar un error tan pequeño
• La última y más importante es que sin el error no podemos
obtener una conclusión vállida
• No pretendemos que elaboreis o verifiqueis nuevas teorías, pero
si que verifiqueis teorías ya existentes: Hooke, Newton, etc.
• A menudo los estudiantes piensan que repetir ya verificadas en
multitud de ocasiones y de modo más preciso es un sin sentido
pero fundamental en la iniciación experimental y juega un papel
fundamental a la hora de diseñar un experimento y emplear las
herramientas de análisis
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Exactitud vs. Precisión (accuracy vs. precision)
La EXACTITUD de un experimento es una medida de cuanto de
cerca está un valor medido del valor verdadero. Si el valor
verdadero no se conoce es difícil determinar la exactitud de la
medida. Exactitud → error sistemático pequeño
La PRECISIÓN de un experimento determina cómo de
exactamente se ha obtenido el resultado sin entrar en si el valor
se parece al verdadero. Una medida más precisa no tiene porque
ser más exacta. Gran precisión → errores aleatorios pequeños
Medida exacta pero imprecisa
Precisa pero inexacta
Precisa y exacta
La precisión de un experimento se indica mediante el número de
cifras significativas del error. El buen experimento es el que
produce una estimación exacta y precisa de la cantidad medida.
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R. Valiente
¿CÓMO ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE?
Sabiendo que hay errores hay que estimarlos.
mm
V
Hay incertidumbres más difíciles
que estimar que las relacionadas
con las escalas.
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REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DEL RESULTADO
EXPERIMENTAL
Una vez medida una magnitud x y estimado su error, ∆x:
x=(x0±∆x) [unidades]
La altura de persona es 1.81 y el error es 2 cm, se expresa:
1.81±0.02 m
La mejor estimación es 1.81 y la verdadera altura estará entre
x0-∆x=1.81-0.02=1.79 m y x0-∆x=1.81+0.02=1.83 m
∆x es siempre definido positivo, cuando menor es ∆x más precisa
es la medida.
Ojo, si ∆x es mayor que x algo falla. Carece de sentido.
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MEDIDAS DIRECTAS
• Es la que se obtiene directamente del aparato de medida
• Involucran directamente la lectura de una escala o pantalla digital
• Las fuentes de error son la lectura y la interpolación de la escala
• En experimentos de óptica p.e. es más complicado definir las
magnitudes aunque se emplee un banco óptico.
• AL ESTIMAR UN ERROR NO DEBEMOS LIMITARNOS A LAS
ESCALAS SINO QUE HAY OTRAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE
MÁS DIFÍCILES DE ESTIMAR.
• Equipos Digitales:
• El número de cifras significativas coincide con el número de
cifras mostradas en la pantalla. Un voltímetro que indica 81
V, la incertidumbre será ±1 V.
• Los manuales indican las incertidumbres dependiendo de los
rangos de medida.
• Falsa sensación de precisión, dos personal obtendrían
resultados diferentes.
• La dispersión de los datos es una buena medida de la
incertidumbre de la medida y el promedio está más próximo
al valor verdadero que una única medida.
A partir de ahora haremos el tratamiento de errores suponiendo
que las medidas están libres de errores sistemáticos. Sólo
tendremos en cuenta los errores debidos a la precisión de los
instrumentos de medida y los aleatorios o estadísticos.
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Error cometido al realizar una sola medida de la magnitud x:
El error (absoluto) viene dado por el error de precisión (o
simplemente precisión) del aparato, ∆x = ep.
• Aparato analógico: la precisión es la mitad de la división más
pequeña que puede medir el aparato. El error de precisión de una
regla dividida en mm es ep = 0.5 mm.
• Aparato digital: ep = mínima magnitud que es capaz de medir el
aparato. Multímetro digital medimos la ddp y obtenemos 234 V se
tomará ep= 1 V. Si el número es 234.7 V, ep=0.1 V, etc.
Error cometido al realizar n medidas de una magnitud x:
Regla general: una única medida es poco fiable. Al medir varias
veces obtenemos una serie de valores diferentes x1, x2, …, xn, cada
uno afectado por la precisión ep.
¿Cuál es el valor más fiable? ¿Con cuál nos quedamos? ¿Cuántas
medidas es preciso realizar?
La mejor aproximación al valor verdadero de x viene dado por la
media aritmética,
n
∑ xi
x = i =1 =
n
x1 + x2 + ... + xn
n
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¿Qué error se comete al tomar el valor medio como el mejor
valor? ¿Cuántas medidas realizo? Procedimiento
Comenzamos por tres medidas. Se calcula su valor medio, se halla
la dispersión total o diferencia entre los valores extremos (D =xmaxD
xmin), y se calcula el porcentaje de dispersión d = × 100 (%) .
x
Casos según el valor de d:
Si 0% < d < 2%, no se hacen más medidas.
Si 2% < d < 6%, se realizan 3 medidas más.
Si 6% < d < 15%, al menos son necesarias 15 medidas totales.
Si d >15% al menos serían necesarias 50 medidas. Prof.
Estimar el error cometido al aproximar el valor verdadero por el
valor medio → dispersión de los datos en torno al valor medio.
Definimos la desviación respecto al valor medio como la
diferencia xi − x
Definimos la dispersión por el valor medio de los cuadrados de las
desviaciones:
s2 =
1
(xi − x )2
∑
n i
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que se denomina varianza del conjunto de datos o desviación
cuadrática media de los mismos. Al valor s se le denomina
desviación típica o desviación estándar. Cuando el número n de
datos es pequeño, suele definirse la desviación típica
reemplazando n por n-1 en el denominador. Por tanto, definimos la
desviación estándar de x1, x2, …, xn, como
1/ 2
1
2  n 
(
)
σ=
−
=
x
x

∑ i
1
n
−
n −1 i


s
La diferencia entre ambas es insignificante. Si uno repite 6 veces
una medida la diferencia entre √n=2.45 y √n-1=2.24, esta
diferencia disminuye conforme n aumenta.
En el laboratorio emplearemos la segunda definición que da lugar
a errores más grandes
siempre debe clarificarse cual de las definiciones se utiliza para
que los lectores sean capaces de verificar los cálculos
Si realizamos un gran número de medidas, definimos la desviación
estándar de la media como
1/ 2
1 
σ m = 

 n −1
s
σm =
σ
n
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La desviación estándar como incertidumbre
Si medimos la misma cantidad n veces, siempre con el mismo
método y si las fuentes de error son pequeñas y aleatorias,
entonces expresamos el resultado de una medida como:
x = x ± máx(e p ,σ m ) [unidades]
Como veremos más adelante, la probabilidad de que el resultado
correcto (valor verdadero) este dentro del rango ±σ es del 68%
Ejercicio: Se han realizado una serie de medidas de la longitud de
una barra con una regla graduada en mm.
L/mm
L/mm
L/mm
15.0
14.0
13.5
15.5
15.5
15.5
13.5
15.0
14.0
14.0
14.0
15.5
13.0
14.0
14.0
Determina la mejor aproximación al valor verdadero de L con su
error
Dpto. Física Aplicada
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La mejor aproximación al valor verdadero es la media aritmética
15
∑ Li
L = i =1 = 14.4 mm
15
Antes de calcular el error es conveniente conocer la precisión de la
medida ∆L=ep=0.5 mm.
Para obtener una estimación del error
i
Li ± 0.5 mm
Li − L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Σ
15.0
15.5
13.5
14.0
13.0
14.0
15.5
15.0
14.0
14.0
13.5
15.5
14.0
15.5
14.0
216
0.6
1.1
-0.9
-0.4
-1.4
-0.4
1.1
0.6
-0.4
-0.4
-0.9
1.1
-0.4
1.1
-0.4
( Li − L) 2
0.36
1.21
0.81
0.16
1.96
0.16
1.21
0.36
0.16
0.16
0.81
1.21
0.16
0.21
0.16
10.1
s=
1
(xi − x )2 = 0.82 mm
∑
n i
1/ 2
1 
σ m = 

 n −1
s = 0.22 mm
∆L = máx(e p ,σ m ) =
máx(0.5, 0.22) = 0.5 mm
L = 14.4±0.5 mm
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Cifras significativas: Redondeo
El emplear muchas cifras en el error es innecesario ya que es sólo
una estimación. No confundir cifras significativas con decimales.
El nº de cifras significativas de una medida se utiliza para indicar
el grado de incertidumbre.
Criterios:
1.El valor de una medida y su error deben expresarse en las
mismas unidades
2.En el error sólo debe emplearse una cifra significativa con la
excepción de que si esta cifra es 1, se añade otra más.
Redondeo: a) Si la primera cifra es mayor que 5, la cifra de orden
de magnitud anterior aumenta en 1 unidad. 0.8642 s → 0.9 s. b) Si
la primera cifra que se suprimera es menor que 5, la última cifra
conservada no varía 215.32 m → 200 m. c) Si la primera que se
suprime es 5 pueden darse dos casos:
35.234 m → 40 m
350 N → 300 N
Estas reglas de redondeo se aplican al error y
posteriormente al valor de la medida.
• El valor de la medida debe tener la misma precisión que su error.
Al redondear hay que despreciar todas las cifras cuyo orden de
magnitud sea inferior al del error. Error 0.7 kg y el valor de la
medida 25.7845 kg, el resultado final debe expresarse como:
25.8±0.7 kg
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Ejercicios:
• Escribir adecuadamente los siguientes resultados:
L = 0.4672±0.00482 m
190.8±25.7 m
M = 23478±28 kg
0.000426±0.000072 kg
t = -46.2±4.6 ºC
3.267·103±42 ºC
Q = -3.21·10-19±2.67·10-19 C
• La lectura de dos masas en una balanza digital tienen varias
cifras significativas. Redondea el resultado y da su error con
las cifras significativas adecuadas. Si el porcentaje de error es:
1) M = 261.65±0.1%
2) 1029.72±1%
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MEDIDAS INDIRECTAS. PROPAGACIÓN DE ERRORES
• Hay magnitudes no medibles directamente con el aparato de
medida, sino que se determinan de modo indirecto a partir de otras
magnitudes. Se dide que la medida es indirecta.
• El error de la medida indirecta es función de los errores de las
medidas directas (errores primarios).
• Los diferentes errores primarios contribuyen de forma diferente
al error final. Es posible minimizar el error de la medida indirecta
si se reducen los errores primarios que más contribuyen al error
final.
• El procedimiento para calcular este error se conoce como
propagación de errores.
• Sea q una magnitud que se evalúa de modo indirecto a partir de
las magnitudes A, B, C, D y E, q = f(A, B, C, D y E). f función
infinitamente derivable.
dq =
∂f
∂f
∂f
dA +
dB +
dC + ...
∂A
∂B
∂C
2
2
(∆q ) =  ∂f  (∆A)2 +  ∂f  (∆B )2 + ...
 ∂A 
 ∂B 
• Esto es cierto únicamente si los errores de A, B, C, … son
independientes y aleatorios
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1. Expresar en forma de error fraccional y porcentaje de error la
velocidad de un scooter:
a) v = 55±2 m/s
b) u = -20±2 m/s
c) Si la energía cinética es Ec=4.58 J ± 2% reescribe el
error y su magnitud en función del error absoluto
2. Reescribe correctamente los siguientes resultados:
a) x = 3.323±1.4 mm
b) t = 1234567±54321 s
c) λ = 5.33×10-7±3.21×10-9 m
d) r = 0.000000538±0.00000003 mm
3. Calcula el error relativo de las cuatro medidas del apartado
anterior, ordena las medidas según su precisión (de mayor a
menor)
4. Escribe los errores dados a continuación en la forma estándar y
reescribe el resultado redondeado adecuadamente:
a) x = 543.2 m ± 4%
b) v = -65.9 m/s ± 8%
c) λ = 671×10-9 m ± 4%
5. Queremos medir el diámetro de una moneda y disponemos
para ello de una regla graduada en mm y de un calibre con
precisión de 0.05 mm. Si el diámetro de la moneda es del
orden de 2 cm, que instrumento debo utilizar si la precisión
debe ser mejor del 1%.
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6. Un estudiante trata de determinar la aceleración de la gravedad
midiendo el tiempo t que una piedra tarda en caer desde una
altura h del suelo. Despúes de una serie de medidas obtiene
t = 1.6±0.1 s
la altura es
h=12.6±0.1 m
Calcular g con su error relativo y absoluto.
7. La teoría de la relatividad espacial establece que la masa de
una partícula no es constante sino que es una función de la
velocidad de la partícula, según la relación:
m0
m=
2
v
1−  
c
Donde m0 es la masa en reposo, v la velocidad de la partícula y
c la velocidad de la luz. Con el objeto de medir la relación
carga/masa del electrón en reposo, los electrones viajan a una
velocidad apreciable. Entonces, en realidad lo que se mide es
esa relación cuando el e- tiene velocidad v. Si e/m es la relación
carga masa medida cuando los e- viajan a 3·107 m/s, encontrar
el factor por el que se debe multiplicar este valor para obtener
e/m0. ¿Qué error relativo se comete si se omite ese factor?
8. Se ha medido la distancia de la Tierra al Sol y de Marte al Sol:
dTS=(1.5±0.4)·108 km
dMS=(1.5±0.4)·108 km
¿Qué medida es más precisa? Justifícalo
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9. Una barra rectangular de masa M tiene dimensiones a, b, c. El
momento de inercia I alrededor de un eje perpendicular a la
cara ab y que pasa por su centro es
I=
1
M (a 2 + b 2 )
12
Realizamos las siguientes medidas:
• M = 135.0±0.1 g
• a = 80±1 mm
• b = 10±1 mm
• c = 20.00±0.01 mm
Calcular la densidad y el momento de inercia de la barra con su
error.
10. El calor específico molar de un sólido a bajas temperaturas está
dado por Cv = a·T+ b·T3. Si a = 1.35±0.05 mJ·mol-1·K-2 y b =
0.021±0.001 mJ·mol-1·K-4 y T = 5.0±0.5 K. Calcular el valor de
Cv a esa temperatura con su error.
11. Se han realizado 5 medidas de cada una de las resistencias R1 y
R2: R1 = 9.5, 9.8, 10.2, 9.9, 10.1 Ω; R2 = 15.5, 15.2, 14.8, 15.2,
15.0 Ω. La precisión de cada medida es 0.1 Ω. Calcular el
mejor valor de R1 y R2 y su error. Si las colocamos en paralelo
¿cuál será la resistencia equivalente?
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REPRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES
TABLAS
Siempre que tengamos parejas de puntos de las mismas
variables deben escribirse en forma de tablas.
Cuando queramos comparar dos o más listas de números, estos
deben disponerse en columnas en paralelo.
Un error grave y bastante frecuente en el trabajo del laboratorio
es olvidarse de los datos originales obtenidos directamente del
experimento por no anotarlos inmediatamente, por lo que se
recomienda que al tomar los datos estos se dispongan ya en
forma tabulada.
Cada tabla debe estar numerada correlativamente y debe tener
un pie de tabla o leyenda explicativa que indique a que se refieren los datos
Convenio: los números que aparecen en la tabla sean adimensionales. Por tanto, es necesario que en la cabecera de la tabla se
exprese la magnitud dividida por su unidad. Por ejemplo, T/K.
Si los valores numéricos dados en la tabla son muy grandes o
muy pequeños, se utilizarán los prefijos y sufijos científicos
correspondientes o mediante multiplicación por las potencias de
10 adecuadas. Así, expresaremos 1.23·106 Pa como 1.23 y en la
cabecera P/MPa, o en vez de coeficientes de dilatación lineal de
0.0000123 K-1 se expresará 1.23 en la celda correspondiente y
α·105/K-1 en la cabecera de dicha columna.
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R. Valiente
TABLAS (continuación)
Recomendaciones:
En las tablas se representan tanto los datos directos de las
medidas del laboratorio como de los pasos intermedios
relevantes y los resultados finales.
Las medidas de una misma magnitud se escribirán
preferiblemente sobre una misma columna vertical.
En la cabecera de cada columna se indicará el nombre de la
magnitud dividido por su unidad. Al escribir la unidad en la
cabecera no es necesario repetirlas luego en cada celda.
Es conveniente elegir las unidades (o las potencias de 10
adecuadas) para que los números queden expresados en el rango
entre 0.1 y 1000.
Los errores en la estimación de cada magnitud se pueden poner
en la cabecera de la columna correspondiente, si son comunes a
todas las medidas de la misma magnitud. En caso contrario,
debe incluirse una columna adicional indicando el error en cada
una de las medidas.
V ± 0.1/V
21.2
29.5
39.3
55.3
59.4
I/A
19.9
29.8
40.1
50.3
59.9
∆I/A
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS
La forma más útil de presentar resultados experimentales es el
empleo de gráficas que relacionan dos o más variables.
La gráfica permite interpretar la relación entre dos variables o su
comportamiento de una manera más sencilla que una tabla
Su uso es fundamental cuando queremos comparar los resulta-dos
experimentales con las predicciones teóricas de un modelo
Pueden realizarse con la ayuda de un ordenador, pero es más
formativo dibujarlas en papel milimetrado (#)
a) VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE
En TODO estudio experimental de causa y efecto lo fundamental
es variar una condición (causa) y observar los correspondientes
valores de otra magnitud (efecto), que está (o se sospecha)
relacionado con el primero.
Convenio para todas las gráficas en física: la variable independiente (cantidad que controla el investigador y que varía de modo
regular) se representa en el eje horizontal (eje X), y la variable
dependiente (la cantidad cuyo valor se determina mediante la
medida) se representa en el eje vertical (eje Y).
La causa se representa en el eje X y el efecto en el eje Y. Así la
relación entre la causa y el efecto es más fácil de interpretar.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS (continuación)
b) ELECCIÓN DE LA ESCALA
Las escalas se eligen de forma que los puntos queden lo más
espaciados posible (ocupando el mayor área posible)
Las escalas vertical y horizontal pueden ser diferentes si es
necesario.
En algunos casos no es necesario que la intersección de los dos
ejes coincida con el punto (0, 0).
Los ejes deben dividirse en intervalos regulares, no para cada
punto.
Debe elegirse una escala cómoda, usando factores que faciliten el
cálculo. Así, se utilizarán intervalos de 1, 2, 5, 10, … Los valores
escogidos deben ser fácilmente subdivididos.
Si los valores a representar son muy grandes o muy pequeños, se
debe emplear un factor multiplicador que permita usar un máximo
de dos o tres dígitos para indicar el valor de la división principal.
En ese caso el factor multiplicador debe aparecer a la derecha de
las unidades empleadas.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS (continuación)
c) ETIQUETAS
Después de decidir que variable se representa en cada uno de los
ejes, debe escribirse el nombre de las cantidades que se están
representando junto con sus unidades.
Se empleará la notación abreviada estándar, esto es, m en lugar de
metros.
Los valores mostrados en la gráfica deben ser adimensionales
dividiendo la magnitud por su unidad. Si queremos mostrar la
variación de la velocidad respecto al tiempo debemos escribir, t/s
en el eje X y v/m·s-1 en el eje Y. Las divisiones principales
realizadas con anterioridad deben tener un número asignado.
El título puede aparecer sobre la gráfica (cabecera) o dentro de la
gráfica una vez que todos los puntos experimentales han sido
representados de tal manera que el título no interfiera.
Toda gráfica debe incluir un pie de figura, donde se van enumeran
correlativamente y se describe con pocas palabras y de forma
explícita lo que se muestra en ella y las escalas empleadas.
Tanto tablas como gráficas deben ser autoexplicativas, debe ser
posible entenderla sin necesidad de leer el resto del texto.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS (continuación)
d) CURVAS Y PUNTOS EXPERIMENTALES
Los puntos experimentales deben ser claramente visibles y
suficientemente grandes para distinguirse de las curvas de
trazo continuo
Si se dibuja más de una curva o conjunto de puntos experimentales procedentes de diferentes sustancias o condiciones en la
misma gráfica, éstas deben distinguirse mediante el uso de
símbolos (●, ○, ▲, ■, □, etc) o colores diferentes para los puntos
de las distintas curvas.
Si la gráfica comienza a complicarse es mejor dibujar las gráficas
por separado.
En ocasiones algunos puntos experimentales parecen no tener
relación con el resto de los datos. Estos puntos no deben ser
sobrepesados y si el tiempo lo permite deben ser explicados o
reevaluados con objeto de que sean consistentes con el resto de
los medidas.
Toda gráfica con datos experimentales debe incluir una indicación
de la incertidumbre de la medida, se deben representar también
los errores. Esto se realiza por medio de las barras de error. Esto
consiste en trazar segmentos horizontales y/o verticales centrados
en los puntos experimentales y cuya longitud sea igual a ∆x (a lo
largo del eje X), y ∆y a lo largo del eje Y.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS (continuación)
Las líneas, rectas o curvas, que mejor se ajustan al conjunto de
puntos experimentales, han de ser continuas y finas, nunca
quebradas ya que generalmente las magnitudes físicas y sus
derivadas varían de forma continua, además pudieran confundirse
con puntos experimentales.
El trazado de la curva que mejor se ajusta a la distribución de
puntos experimentales se realiza de forma que pase por el mayor
número posible de éstos y deje aprox. a la derecha el mismo
número de puntos que a la izquierda.
El significado de las desviaciones con respecto a una curva
teórica puede depender del error estimado, y por eso es tan
importante dibujar las barras de error.
e) ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LA GRÁFICA
La ventajas de la representación gráfica es la simplicidad con que
se obtiene información de forma directa observando por ejemplo
su forma, tendencia e intercepciones con los ejes.
La forma de una gráfica determina inmediatamente si la variable
dependiente aumenta o disminuye con un incremento de la
variable independiente, pudiéndose medir en muchos casos la tasa
de ese cambio.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS (continuación)
Si los puntos se sitúan en línea recta, se puede decir que existe
una relación lineal entre las dos variables.
Si las variables son directamente proporcionales se aproximarán a
cero de modo simultáneo y la línea pasará por el origen, en este
caso el punto (0, 0) será relevante.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS (continuación)
Normas generales
● Los puntos experimentales deben ser expresados mediante
símbolos claramente visibles, nunca puntos pequeños.
● Las gráficas deben dibujarse en papel milimetrado y han de
ocupar media página o como mucho una completa. Las
proporciones de la gráfica deben ser razonables y de acuerdo con
lo que se pretende mostrar.
● Las divisiones de las escalas en los ejes deben estar separadas 1,
2, 5, 10, …unidades y nunca (3, 7, 13, …).
● La escala de cada eje debe llevar una leyenda que indique la
magnitud representada y su unidad, tal y como ya hemos indicado
con anterioridad.
● El (0, 0) no debe indicarse a menos que sea un punto relevante
de la gráfica.
● La curva y los puntos experimentales deben cubrir el área de la
gráfica y no sólo una parte de ésta, lo mejor es elegir las
divisiones de cada eje de modo que la pendiente de la curva (en el
caso de ser una línea recta) forme aproximadamente 45º con la
horizontal.
● Si los puntos resultan alineados y la teoría dice que la relación
entre las variables es lineal, entonces debe trazarse una recta de
regresión lineal obtenida mediante el ajuste por el método de
mínimos cuadrados.
● Finalmente, la gráfica debe incluir en su cabecera un título,
breve y claro que indique lo que representa y un pie, donde las
gráficas se numeran correlativamente y que incluye la explicación
de la misma, tal y como hemos indicado anteriormente.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
EJEMPLOS DE GRÁFICAS NO DESEABLES
•La gráfica es demasiado pequeña, debe ocupar al menos media
página.
•El título es muy pobre, nos da la misma información que los ejes
•Representamos t frente a v y no v frente a t (v. título)
•Las etiquetas de los ejes deben informar de la magnitud y
unidades (v/m·s-1)
•El punto (0,0) no es relevante. Los puntos deben ocupar el mayor
área posible. Los datos de v varían desde 100 a 130 m·s-1
•Los datos deben ajustarse a una línea (?)
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Velocidad, v/m·s-1
Figura 1. Variación de la velocidad frente al
tiempo de un coche acelerando
Tiempo, t/s
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS NO DESEABLES (continuación)
•La gráfica es demasiado pequeña
•El título es ridículo
•Los ejes deben tener etiquetas con nombre y unidades
•Nunca se deben utilizar líneas para unir los puntos
experimentales, para eso están los ajustes
•Los grids se ponen en ambos ejes o en ninguno
•Quizá a Bill Gates le gusten las gráficas con fondo gris pero el
procedimiento científico normal dice que debe ser blanco
•Falta la ecuación que ajusta a los puntos experimentales
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Figure 3.
Posición, x/cm
Posición de una bola en movimiento
Tiempo, t/s
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
GRÁFICAS NO DESEABLES (continuación)
No se aprecian las
divisiones o marcas
Título muy pobre
x/cm
Línea dibujada a
mano, usar regla
La pendiente se
calcula a partir de
puntos separados x=(4.0 cm/s) t + (0.3 cm)
La ecuación
debe utilizar
los símbolos
dados en los
ejes
No se aprecian las
divisiones o marcas
t/s
Escala inadecuada
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Errores medidas indirectas
Se obtiene el error absoluto de un conjunto de medidas como
ε i = xi − X = xi − x
La medida que nos mide la dispersión de los datos entorno al valor
medio viene dada por la varianza:
s2 =
1
(xi − x )2
∑
n i
A partir de aquí obteníamos la desviación estándar
1/ 2
1
(xi − x )2 =  n 
σ=
∑
n −1 i
 n −1
s
Para un número grande de medidas podemos obtener la desviación
estándar de la media, que nos da el error en la media de un número
de medidas. El conjunto de los valores medios dará lugar a una
distribución de las medias. Por tanto, σ es la desviación estándar
de la distribución de un único conjunto de medidas y σm es la
distribución estándar de la distribución de las medias de varios
conjuntos de medidas, es deseable que cada conjunto tenga el
mismo número de medidas.
1/ 2
1 
σ m = 

 n −1
s
σm =
σ
n
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Relación entre σ y σm
Consideremos un conjunto de medidas. El error en una de esas
medidas es
ε i = xi − X
Donde X es el valor verdadero de la magnitud, que por supuesto es
desconocida. El error en la media es
1
1
1

E = x − X =  ∑ xi  − X = ∑ ( xi − X ) = ∑ ε i
n
n
n

Elevando al cuadrado obtenemos
1
1
E 2 = 2 ∑ ε i2 + 2 ∑ ∑ ε iε j
n
n i j ≠i
Esto es para un conjunto de n medidas. Pero si realizamos un gran
número de conjunto de medidas, cada conjunto consistente en n
medidas. Cada uno tendrá su propio ε1, ε1, …, εn y el
correspondiente E. Si ahora sumamos los valores de E2 para todos
los conjuntos y dividimos por el número de conjuntos, es decir,
calculamos el valor medio sobre todos los conjuntos, el promedio
de ∑ ε i2 es nε 2 . El promedio en el doble sumatorio es cero ya que
los errores εi y εj son independientes, y el promedio de cada uno es
cero. Entonces, tenemos:
1
E2 = ε 2
n
Y por definición
σ m2 = E 2 y σ 2 = ε 2 ⇒ σ m =
σ
n
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Relación entre σ y σm
Se podría llegar al mismo resultado. Repetimos n medidas varias
veces y calculamos el promedio:
x=
x1 + x2 + ... + xn
n
La incertidumbre o la desviación estándar de la media será función
de las desviaciones estándar de cada conjunto de medidas
σ m = f (σ1,σ 2 ,...,σ n )
Mediante la propagación de errores tenemos:
2
2
 ∂x

 ∂x   ∂x

σ m = 
σ1  + 
σ 2  + ... + 
σ n 
 ∂ x1   ∂ x2 
 ∂ xn 
2
Como las x1, x2 ,..., xn son medidas de la misma magnitud x, sus
errores serán todos iguales
σ1 = σ 2 = ... = σ n = σ
Además,
∂x ∂x
∂x 1
=
= ... =
=
∂ x1 ∂ x2
∂ xn n
Finalmente
2
2
2
σ2 σ
1  1 
1 
σ m =  σ1  +  σ 2  + ... +  σ n  = n 2 =
n
n  n 
n 
n
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Retomemos las medidas indirectas. Propagación de errores.
Hemos determinado x, y, … con una incertidumbre ∆x, ∆y, …y
queremos calcular las incertidumbres de una cantidad q que
depende de las anteriores. Calcular q es sencillo, pero como
afectan las incertidumbres de ∆x, ∆y, … al error ∆q.
q = x + y; ∆q = ∆x + ∆y
q = x − y; ∆q = ∆x + ∆y
q = x· y;
q = x / y;
∆q ∆x ∆y
=
+
q
x
y
∆q ∆x ∆y
=
+
q
x
y
Se puede comprobar que estos resultados son los mismos que los
obtenidos mediante el método de las derivadas parciales.
La regla de las derivadas parciales es siempre válida pero hay
formas alternativas (productos, divisiones o potencias):
1) Se toman neperianos q = f(A, B, …) → lnq =ln f(A, B, …)
2) Se derivan ambos miembros
3) Se identifican diferenciales con los errores de las variables.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Si una magnitud física Z se relaciona con otras, A, B y C mediante
la ecuación
Z = ABn/C
Determinar su error si las medidas directas vienen afectadas por
errores ∆A, ∆B y ∆C.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ANÁLISIS DE LA DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES.
AJUSTE POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Las leyes de la Física establecen relaciones entre variables
En un experimento se modifica una variable (controlada por el
investigador: tiempo, temperatura, …) y se observa el
comportamiento de otra tratando de comprobar la relación que
establece la ley física entre ambas
Hasta ahora hemos tratado con datos cuando se realizan n
medidas en condiciones idénticas
Los experimentos más interesantes tienen lugar cuando medimos
valores diferentes de dos variables tratando de investigar la
relación matemática existente entre ambas
Los experimentos más interesantes están relacionados con
aquellos en los que la relación es lineal:
Dadas dos variables físicas cualesquiera x e y la relación es de la
forma
y = a·x + b
Donde a y b son constantes. Si las dos variables tienen una
relación de este tipo, entonces al representar y frente a x debe ser
una línea recta siendo a la pendiente de la recta y b la ordenada en
el origen, valor de corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos: v = v0+g·t, F = k·x, V = I·R, ΣF = m·a, …
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Una ley será válida si al realizar las medidas experimentales de
una de las variables o magnitudes en función de la otra
comprueba que siguen la relación predicha por la ley
Por ejemplo, deberíamos medir la velocidad de un móvil vi en
distintos instantes ti para luego comprobar si la relación lineal es
cierta. Si se verifica esta relación podremos determinar tanto v0
como g a partir de los datos experimentales
Hay varios métodos que permiten comprobar las relaciones de
proporcionalidad entre dos variables y el valor de los coeficientes
de proporcionalidad. Seguiremos dos:
i)
Método gráfico. Permite comprobar in situ el
resultado sin necesidad de cálculos laboriosos
ii) Método de mínimos cuadrados
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
i) Método gráfico (laboratorio o comprobación)
Si una cantidad y es linealmente proporcional a otra x, al
representar una frente a la otra se obtiene una línea recta. Al
representar los puntos experimentales obtendremos una serie de
puntos que determinan una recta. Trazando la recta que más se
aproxima a los puntos experimentales podemos obtener un valor
numérico aproximado de a y b
Tiempo t/s
Velocidad v/m·s
0.940
1.58
13.21
17.23
1.96
23.99
2.66
2.91
26.74
35.57
3.76
38.43
-1
Dependencia de la velocidad frente al tiempo
v2-v1=26 ms-1
40
y = 3.98 + 9.5069x R= 0.97045
30
20
10
0
a≡g=
t2-t1=2.75 s
0
1
2
t/s
3
4
v2 − v1
t2 − t1
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
i) Método gráfico (continuación)
Es importante darse cuenta que las unidades de a y b se obtienen a
partir de las unidades de x e y.
Los puntos experimentales se distribuyen siguiendo una línea
recta como predice la ley física:
v = v0+g·t
Esta ecuación se corresponde con la de una recta donde
x→t
y → v(t)
Y por tanto,
a→g
b → v0
El método gráfico se obtiene sin mas que determinar la pendiente
y el punto de intersección con el eje y:
a = g ≈ 9.4 m·s-2 y b ≈ 4 m·s-1
¿Es posible determinar errores de a y b?
Si, aunque es un método en general muy impreciso
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
i) Método gráfico (continuación)
Dependencia de la velocidad frente al tiempo
40
y = 3.98 + 9.5069x R= 0.97045
30
20
10
0
b ± ∆b
0
1
2
3
t/s
Al calcular a y b cuidado con las unidades de x e y.
4
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ii) Método de mínimos cuadrados
Válido para cualquier tipo de función
Caso más sencillo: ajustar el conjunto de puntos a una línea recta
de ecuación y = a·x + b
El método de los mínimos cuadrados da como mejor estimación
de los parámetros a (pendiente de la recta) y b (ordenada en el
origen) aquellos que minimizan la suma de los cuadrados de las
diferencias entre los puntos experimentales y los de la recta.
40
y = 3.98 + 9.5069x R= 0.97045
∆Yi = a·xi+b - yi
30
20
10
0
0
1
2
t/s
3
4
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):
Sean (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) un conjunto de puntos obtenidos
experimentalmente. Si no se dice lo contrario todos con el mismo
peso estadístico. En caso contrario, cada punto debe ser pesado
con la frecuencia correspondiente
El método de mínimos cuadrados trata de obtener la ecuación de
la recta y=a·x+b que mejor se ajusta a los datos experimentales.
Para cada uno de los valores x1, x2, …, xn se obtienen los valores
del ajuste Y1=a·x1+b, Y2=a·x2+b, …, Yn=a·xn+b.
Se define la desviación ∆Yi como la diferencia entre el valor
experimental yi y el correspondiente valor del ajuste Yi:
∆Y1 = Y1 − y1 = a· x1 + b − y1
∆Y2 = Y2 − y2 = a· x2 + b − y2
M
∆Yn = Yn − yn = a· xn + b − yn
El criterio de mínimos cuadrados consiste en imponer la
condición de que
n
∑ (∆Yi )2
sea mínimo.
i =1
Este método nos determina los valores de a y b que hacen que la
cantidad
n
n
2
R = ∑ (∆Yi ) = ∑ (a· xi + b − yi )2
i =1
sea mínima.
i =1
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):
Este criterio podría parecer arbitrario: podría hacerse mínima la
suma
n
∑ (∆X i )2
o bien la distancia del punto a la recta
i =1
La razón de ser queda clara cuando se elige como variable
independiente x aquella magnitud que se puede controlar mejor y
que se puede medir con mayor precisión o menor error relativo.
Así, su contribución al error absoluto de los coeficientes de la
recta será despreciable frente a la contribución de la variable y.
Condición de mínimo exige que ∂R/∂a=0 y ∂R/∂b=0:
n
∂R
= 2·∑ (a· xi + b − yi )· xi = 0
∂a
i =1
n
∂R
= 2·∑ (a· xi + b − yi ) = 0
∂b
i =1
Los valores de a y b que hacen mínimo R dan lugar a:
a·∑ xi + b·n = ∑ yi


a·∑ xi2 + b·∑ xi = ∑ xi · yi 
Resolviendo este sistema obtenemos los valores de la pendiente y
de la ordenada en el origen:
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):
n
∑ yi
∑ xi · yi ∑ xi = ∑ yi ·∑ xi − n·∑ xi · yi
a=
∑ xi n
(∑ xi )2 − n·∑ xi2
∑ xi2 ∑ xi
∑ xi ∑ yi
xi2 ∑ xi · yi ∑ xi ·∑ xi · yi − ∑ yi ·∑ xi2
∑
=
= y − a· x
b=
2
2
x
n
∑ i
(∑ xi ) − n·∑ xi
∑ xi2 ∑ xi
Donde
x=
1
1
x
;
y
=
yi
∑
∑
i
n
n
El coeficiente de correlación, r, entre x e y es una medida de lo
bien que se aproximan los puntos experimentales a la recta
ajustada y viene dado por
r=
∑ ( xi − x)( yi − y )
∑ ( xi − x)2 ·∑ ( yi − y)2
r = 1 correlación perfecta, r = 0.7 los puntos se alejan de una recta
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):
Como xi e yi son medidas experimentales poseen una cierta
incertidumbre asociada, bien al proceso de medida, bien a la
precisión de los instrumentos. Esto hace que los coeficientes a y b
obtenidos mediante el ajuste por mínimos cuadrados tengan cierta
incertidumbre.
Recordemos que la condición de mínimo presupone que los
errores de xi son despreciables frente a los de yi. Para que esta
suposición sea válida se debe elegir como variable independiente
aquella que se puede variar con mayor control y medir con menor
error relativo.
Mediante propagación de errores:
n
n
∂a
∂a
·∆x j + ∑
·∆y j
∆a = ∑
y
∂
x
∂
j
j
j =1
j =1
n
n
∂b
∂b
∆b = ∑
·∆x j + ∑
·∆y j
j =1 ∂x j
j =1 ∂y j
Teniendo en cuenta la suposición inicial ∆xi = 0
n
xi − n· xi
∂a
∑
∑ xi − n·xi ·∆y
=
⇒
∆
=
a
∑
j
2
2
∂y j (∑ xi )2 − n·∑ xi2
j =1 (∑ xi ) − n·∑ xi
2
n x · x −
x j ·∑ xi − ∑ xi2
∂b
j ∑ i ∑ xi
=
⇒ ∆b = ∑
·∆y j
2
2
2
2
∂y j (∑ xi ) − n·∑ xi
j =1 (∑ xi ) − n·∑ xi
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):
Aparte de este error existe un error intrínseco al método de ajuste
por mínimos cuadrados y que se debe a que la recta no pasa por
los puntos experimentales:
∑ (y j − a·xi − b )2
∆a =
j
(n − 2)∑ ( x j − x) 2
j
∑ (y j − a·xi − b )2
∆b =
j
n·( n − 2)
Recta que pasa por el origen:
y = a·x
a=
∑ xi · yi
i
∑
i
xi2
∆a ≈
1
n −1
∑ ( yi − a·xi )2
i
∑ xi2
i
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestra la longitud de un muelle en
función de la masa que cuelga de él. Obtener la constante del
muelle y su longitud inicial de acuerdo con la ley de Hooke.
Suponer la masa del muelle despreciable.
M/g L/cm
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100
22.1
24.0
25.7
28.4
30.1
31.7
34.3
36.1
37.7
39.9
Alargamiento de un muelle frente a la masa suspendida
40
35
30
25
20
0
20
40
60
m/g
80
100
120
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
xi/g
yi /cm
xi · yi/g·cm
xi2/g2
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100
22.1
24.0
25.7
28.4
30.1
31.7
34.3
36.1
37.7
39.9
221
480
771
1136
1505
1902
2401
2888
3393
3990
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
10000
∑ xi = 550 ∑ y
x = 55.0
i
= 310
∑ xi · yi = 18687 ∑ xi2 = 38500
y = 31.0
yi ·∑ xi − n·∑ xi · yi 310·550 − 10·18687
∑
a=
=
=
2
2
2
550 − 10·38500
(∑ xi ) − n·∑ xi
= 0.1984 cm / g = 1.984 m / kg
b = y − a· x = 31 − 0.1984·55 = 20.09 cm
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Alargamiento de un muelle frente a la masa suspendida
40
y = 20.09 + 0.1984· x
35
30
25
20
0
20
40
60
80
100
120
m/g
Teniendo en cuenta las expresiones de los errores de a y b,
obtenemos:
∆a = 0.00303 cm/g y ∆b = 0.18 cm
Teniendo en cuenta la ley de Hooke: F = P = m· g = k ·(l − l0 )
y comparando con la ecuación de la recta y = a·x + b, se
obtiene
a = g / k = 4.94 ± 0.07 N / m
b = l0 = 0.2009 ± 0.0018 m
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Linealización de ecuaciones
Hemos aplicado el método de los mínimos cuadrados cuando la
relación entre dos variables es lineal.
Existen múltiples casos en los que las leyes físicas están descritas
por una relación no lineal entre variables
Es posible generalizar este método para aplicarlo en el caso de
funciones no lineales.
Es posible realizar un cambio de variables que transforme la
relación inicial en una relación lineal en las nuevas variables.
Por ejemplo, la teoría indica que la relación entre el espacio
recorrido por un móvil y el tiempo en caída libre es:
1
s (t ) = g ·t 2
2
En este caso es posible linealizar dicha ecuación para que tenga la
forma y = a·x + n. Realizando los cambios de variable:
t2 → x, s → y
la ecuación resultante es:
1
y = g ·x
2
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Linealización de ecuaciones (continuación):
Sin embargo hay otros ejemplos un poco más complicados:
•
La variación de la resistencia, R, de un termistor con la
temperatura sigue una dependencia exponencial:
R = A·e B / T
•
La variación del calor específico, cp, de un sólido a baja
temperatura:
c p = a·T + b·T 3
•
La expansión adiabática de un gas verifica:
P·V γ = cte
•
El periodo de un péndulo de longitud l:
T = 2π l / g
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Se estudian las oscilaciones elásticas de un muelle helicoidal, de
constante elástica k y masa m0. Se quiere determinar cómo
depende el período de oscilación T de la masa m0. El estudio
teórico predice un valor del período de:
T = 2π
M+
m0
3
k
siendo M una masa externa unida a un extremo del resorte,
mientras que el otro extremo está unido a un punto fijo. Deseamos
obtener la constante elástica k y la masa de este.
El experimento se realiza midiendo los períodos T de oscilación
del resorte en función de los distintos valores de M. Se han
obtenido los siguientes datos experimentales:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T/s
1.074
1.288
1.460
1.625
1.768
1.905
2.028
2.145
2.258
2.365
M/kg
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
Masa sobre el resorte frente al periodo
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
0.1
0.2
0.3
M/kg
0.4
0.5
0.6
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Si desarrollamos la expresión del período y la comparamos con la
ecuación de la recta tenemos:
 y → T 2; x → M
2
m 
4π 

T2 =
M + 0  ⇒ 
4π 2
4π 2 m0
k 
3 
; b=
a =

k
k
Cuadrado del periodo frente a
la masa
el resorte
delsobre
periodo
6
5
4
3
2
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
M/kg
Ajuste del cuadrado del periodo
frente a la masa sobre el resorte
6
y = m1 + m2 * M0
Value
Error
m1
0.17171 0.005159
m2
9.8548 0.014519
Chisq 0.00034784
NA
5
R
4
2
0.99998
NA
3
2
2
y = 0.17171 + 9.8548x R = 0.99998
1
0
0.1
0.2
0.3
M/kg
0.4
0.5
0.6
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Un recipiente contiene un determinado gas (supuesto ideal). Se
comprime adiabáticamente midiendo la presión y el volumen del
mismo. Las lecturas son:
V/cm3
n
P/mbar
1
1000
150.0
2
1200
131.6
3
1400
118.2
4
1600
107.0
5
1800
98.6
6
2000
91.4
Calcular el coeficiente adiabático del gas (con su error) teniendo
en cuenta que PVγ = Cte. Adjuntar tabla y representación gráfica
adecuada.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
La resistencia eléctrica de un termistor varía con la temperatura
como
R = A exp( B / T )
Donde T es la temperatura absoluta y A y B son las constantes
características del termistor. Las lecturas son:
n
t/ºC
1
10
205.0
2
25
100.0
3
45
41.1
4
55
27.7
5
70
15.7
6
80
11.0
R/kΩ
Obtener las constantes A y B necesarias para calibrar el termistor
y poderlo emplear como termómetro.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Probabilidad y funciones de distribución
Hasta ahora hemos hablado de errores aleatorios y hemos dicho
que se les puede aplicar procedimientos estadísticos pero no
hemos justificado el porque de las cosas.
El diccionario de la Real Academia de la Lengua establece 3
acepciones a la palabra estadística:
1) Estudio de los datos cuantitativos de una población, de los
recursos naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra
manifestación de las sociedades humanas.
2) Conjunto de estos datos
3) Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos
para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.
La 1), además del recuento, conlleva organizar, presentar, resumir
y estudiar. A esto se denomina Estadística Descriptiva. Natalidad,
IPC, tasa de paro, población activa, … De ello se encarga el INE.
La 2) hace alusión a la recogida de datos de interés sin que
intervenga un aparato matemático importante. Estadísticas de una
empresa, de un jugador de baloncesto, …
La 3) que es la que a nosotros nos interesa es la que se denomina
Estadística Inferencial, es decir, que permite sacar consecuencias
de una población a partir de una muestra de ella. La diferencia
esencial con la estadística descriptiva es que el conjunto de datos
disponibles es la totalidad de los mismos.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Probabilidad y funciones de distribución
Al no disponer de la totalidad de la población los resultados
siempre podrán tener errores que se cuantifican mediante las
técnicas de Cálculo de Probabilidades.
Entonces, ¿por qué utilizamos muestras? Comodidad, ahorro
económico, imposibilidad práctica de acceder a la totalidad de
una población.
La inferencia estadística es una herramienta básica en todas las
ciencias experimentales, sociales, etc. Como ejemplo, y muy
reciente, podemos mencionar las encuestas de estimación de voto
con su error u horquilla, los controles de calidad que se regulan
mediante normas ISO.
En la Física, la estadística es una herramienta fundamental como
en casi todas las ciencias experimentales, ya que permite medir
las diferencias entre los valores experimentales obtenidos y los
valores esperados según el modelo teórico supuesto (método
científico). Los métodos estadísticos se utilizan para controlar los
errores de medida y estudiar si los modelos son compatibles con
los valores experimentales observados. En otras ocasiones, los
modelos físicos incluyen modelos estadísticos como la ley de
distribución de velocidades en un gas, las estadísticas de FermiDirac, Bose-Einstein, o el principio de incertidumbre.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Probabilidad y funciones de distribución
Nos centraremos por tanto en la Estadística Inferencial.
•Para muchos la estadística moderna nace con las técnicas del
cálculo de probabilidades, que permitió obtener conclusiones de
una población a través de una pequeña muestra de la misma con
una pequeña probabilidad de fallo.
•En ciencias como la Física, Química, etc., aparecen lo que se
denomina fenómenos pseudoaleatorios, es decir son
deterministas, pero pequeñas variaciones en las condiciones
iniciales o efectos de fluctuaciones (errores aleatorios) hace que
sean tratados como fenómenos aleatorios.
•El origen del cálculo de probabilidades está ligado al estudio de
los juegos de azar (Pascal y Fermat, 1650): cartas, dados, ruleta,
etc. Huygens publicó en 1657 un trabajo relativo al juego de los
dados.
•En 1812, Pierre Simon, marqués de Laplace publica la primera
definición de probabilidad.
•La definición se basa en el deseo de tener una medida
cuantitativa sobre el grado de seguridad de que un acontecimiento
se produzca o no. Esta idea puede cuantificarse asignando un
número a la probabilidad.
•Si n es el número de casos posible, y h el número de casos
favorables al suceso A, definimos la probabilidad p de acertar
como
p ( A) =
h número de casos favorables
=
número de casos posibles
n
Def. clásica Laplace
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Dos estudiantes de Físicas intentan ponerse de acuerdo en como
pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando
una moneda. Si sale cara irán al cine, si sale cruz saldrán a tomar
una caña y si la moneda cae de canto, estudiarán.
•Que podemos aprender: la experiencia, nos dice que los
estudiantes no tienen muchas ganas de estudiar. Sabemos
intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre
la cara o sobre la cruz. Si la moneda es legal, la posibilidad de que
salga cara o cruz son las mismas.
•La probabilidad se basa en cuestiones tales como : ¿Cuál es la
probabilidad de que una moneda caiga de canto? ¿Probabilidad de
que salga cara? ¿Y de que salga cruz?
•Desde un punto de vista matemático, necesitamos asignar valores
numéricos a cada una de las probabilidades involucradas.
•Si llamamos p el valor numérico de la probabilidad de que al
lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible
que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga
cruz también debe tener asignado el valor p.
•Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz, 2p debe ser
el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que
lancemos una moneda al aire. Eligiendo el valor 1 para el suceso
seguro. Esto es 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda
muestre cara es : 1/2 ; la probabilidad de que muestre cruz es :
1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es:
½+ ½ =1
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Si lanzamos una moneda tenemos dos resultados posibles: cara o
cruz. La probabilidad de que salga cara es p = ½. La probabilidad
de que salga cruz es también ½ y por tanto ½ + ½ = 1 indica que
es seguro que salga cara o cruz.
•En el caso de un dado con 6 caras marcadas del 1 al 6, la
probabilidad de que salga un 3 es 1/6 y la probabilidad de que
salga un número par es 3/6 = ½.
•Si lanzamos una moneda 200 veces y anotamos el número de
veces que sale cara:
NT
10
30
50
70
90
110
130
150
170
200
NC
6
16
27
37
48
57
68
77
86
101
Fa
6
16
27
37
48
57
68
77
86
101
Fr
0.60
0.533
0.540
0.528
0.530
0.518
0.523
0.513
0.506
0.505
•Las frecuencias absolutas proporcionan escasa información de
cómo se comporta el suceso a medida que el número de medidas
crece, es más se da la paradoja que la diferencia entre caras y
cruces puede aumentar. Por ello se calculan las frecuencias
relativas: cociente de la frecuencia absoluta del suceso (número
de caras) y el número total de pruebas realizadas.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•El este diagrama hemos dibujado las frecuencias para nuestro
experimento y se puede comprobar que las frecuencias relativas
del suceso CARA tienden a estabilizarse hacia un valor 0.5.
•Esto quiere decir que la frecuencia del suceso cara toma valores
más próximos a 0.5 de manera que las fluctuaciones u
oscilaciones alrededor de este valor son cada vez más pequeñas,
es decir, el polígono de frecuencias se suaviza conforme aumenta
el número de tiradas.
Frecuencia relativa
0.62
0.6
0.58
0.56
0.54
0.52
0.5
0
50
100
150
200
250
Numero de sucesos
•Jacques Bernouilli demostró la ley de los grandes números que
dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en
torno a un valor a medida que el número de pruebas del
experimento crece indefinidamente.
•A este número, al que la frecuencia relativa se acerca cuanto
mayor es el número de pruebas realizadas, se denomina
probabilidad del suceso.
•Problema, para conocer la probabilidad es preciso realizar un
gran número de pruebas, de esta forma sólo podemos obtener un
valor aproximado de la probabilidad
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Por definición, p es un número comprendido entre 0 y 1. Si p = 0
el suceso es imposible. Si p = 1 es seguro ganar, ya que todos los
resultados son favorables (h = n)
•Si h son los casos favorables, n-h son los desfavorables y, por
tanto, la probabilidad de no ganar es
q=
n−h
=1− p
n
de donde p + q = 1. De modo que la suma sea la unidad.
•A la definición de Laplace hay que añadir que los casos deben
ser “igualmente probables” cometiendo el error de incluir en la
definición lo que se quiere definir.
•Surge la definición axiomática de la probabilidad, que establece
la probabilidad de un suceso como el número al que tiende el
cociente entre el número de veces que sucede (frecuencia) y el
núemro de veces que se realiza el experimento.
•Kolmogorov relacionó el concepto de frecuencia relativa de un
suceso y su probabilidad cuando el número de ensayos es muy
grande.
•Esta definición es la que aplicamos al tratar de representar los
errores de medida mediante un modelo estadístico. Es de esto
modo en el que se unen la estadística y la probabilidad, que a
partir aquí se desarrollan de modo conjunto.
•La estadística permite medir las diferencias entre los valores
experimentales obtenidos y los valores esperados.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•La definición de Kolmogorov relacionada con las frecuencias
relativas y que enunción von Mies:
Se llama probabilidad de un suceso al límite de la frecuencia relativa de éste, cuando
el número de pruebas efectuadas tiende a infinito
cumple los siguientes axiomas:
1) La probabilidad de un suceso A, p(A), cualquiera es positiva o
nula:
p(A) ≥ 0
2) La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad
p(A) = 1
3) La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es
igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos:
p(A∪B) = p(A) + p(B)
4) La probabilidad del suceso , contrario al suceso A, es
p( ) A
= 1 – p(A)
A
5) La probabilidad del suceso imposible es cero
6) La probabilidad de un suceso es menor o igual a la unidad. La
probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1
7) Si el espacio muestral de un experimento se puede
descomponer en n posibles sucesos equiprobables e incompatibles
entre sí, y de ellos h son favorables a la realización de un cierto
suceso B, la probabilidad de éste es h/n; razón entre casos
favorables al suceso B y el número de casos posibles
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
8) La probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B
independientes es el producto de las probabilidades de cada uno
de ellos separadamente. Como las probabilidades son inferiores a
la unidad, el producto es siempre inferior a cualquiera de los
factores.
9) Si los sucesos A y B son compatibles, se verifica que la unión
de A y B es
p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)
Dpto. Física Aplicada
•
R. Valiente
Ejercicios y problemas
1) Se considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar
un dado. Calcular la probabilidad de obtener:
• Número par
• Número primo
• Múltiplo de tras
• Múltiplo de cinco
2) Se realiza un experimento aleatorio que consiste en lanzar dos
monedas. Hallar las siguientes probabilidades:
• Obtener dos caras
• Obtener dos cruces
• Obtener una cara y una cruz
• Obtener al menos una cruz
3) Se realiza un experimento aleatorio que consiste en extraer
una carta de la baraja española. Halla las siguientes
probabilidades:
• Obtener un oro
• Obtener un as
• Obtener la sota de espadas
4) Lanzamos dos dados y anotamos su suma. Hallar la
probabilidad de los siguientes sucesos:
• Obtener una suma igual a 11
• Obtener suma igual a 8
• Obtener suma menor o igual a 4
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Ejercicios y problemas
8) Hallar la probabilidad de que al lanzar 3 monedas se obtenga al
menos una cara.
9) Un saco hay a bolas blancas y b bolas negras. Se saca una bola
¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? A continuación se
saca otra sin devolver la anterior. Determinar la probabilidad de
que sea también blanca.
10) En una urna hay a bolas blancas y b bolas negras (a≥2).
Sacamos dos bolas simultáneamente. ¿Calcular la probabilidad de
que las dos bolas sean blancas?
11) En el juego de la ruleta rusa se inserta una bala en un revólver
con capacidad para seis. Se gira la cámara, se apunta a la cabeza y
se dispara. ¿Cuál es la suerte de quedar vivo después de jugar una
vez, dos veces, tres veces, muchas veces?
12) Tenemos 6 bolas en una bolsa, bolas blancas y negras,
calcular la probabilidad de sacar 2 blancas y una negra (con
reemplazamiento) para cada uno de los casos posibles (todas
blancas, 5B y 1N, 4B y 2N, …)
13) Si realizamos una apuesta a la Lotería Primitiva (marcamos 6
de los 49 números), calcular la probabilidad de tener 6 aciertos. Y
5 aciertos.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Si x es el resultado de un experimento, definiremos la
probabilidad de que el valor verdadero sea x como la frecuencia
del resultado x en un conjunto suficientemente amplio después de
repetir el experimento muchas veces.
•Una magnitud o variable se llama discreta si sólo puede tomar
un número contable de valores, es decir, los posibles valores son
números aislados. Ej.: número de turistas al año, número de
ordenadores defectuosos en un lote de 100, etc.
•Por lo general, se representan en forma de tablas de distribución
de frecuencias. Se asigna a cada número que aparece su
frecuencia absoluta (número de veces que se repite un dato). A
partir de esta se puede obtener la frecuencia relativa, es decir, el
cociente entre las frecuencias absolutas y el número total de datos.
Además, se puede calcular el porcentaje correspondiente.
•Supongamos que realizamos un total de n medidas de una
cantidad o variable x, un experimento muestra que x1 aparece f1
veces, x2 se registra f2 veces, …, xi, fi veces. Entonces se tiene que
para los valores de la variable discreta tenemos frecuencias
absolutas fi, frecuencias relativas fri o porcentajes pi que verifican:
f1+f2+…+fi = n; fr1+fr2+…+fri = 1; p1+p2+…+pi = 100
1
2
3
4
fi
2
3
2
3
Total 10
fri
0.2
0.3
0.2
0.3
pi
20
30
20
30
1
100
Fi
2
5
7
10
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
NT
10
30
50
70
90
110
130
150
170
200
fi
6
16
27
37
48
57
68
77
86
101
fri
0.60
0.533
0.540
0.528
0.530
0.518
0.523
0.513
0.506
0.505
•Cuando se utilizan las frecuencias relativas se dice que la
distribución de frecuencias está normalizada, es decir, pasar de la
frecuencia absoluta a la relativa es equivalente a normalizar la
distribución
•En la tabla vemos que a medida que aumenta el número de
medidas las fluctuaciones de la frecuencia relativa disminuyen.
Ejercicio: número de monedas en nuestros bolsillos.
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
1
1
4
9
11
12
6
4
2
2
1
fri
1/53
1/53
4/53
9/53
11/53
12/53
6/53
4/53
2/53
2/53
1/53
p
(1/53)×100
(1/53)×100
(4/53)×100
(9/53)×100
(11/53)×100
(12/53)×100
(6/53)×100
(4/53)×100
(2/53)×100
(2/53)×100
(1/53)×100
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•La representación gráfica de las variables discretas se realiza
mediante los diagramas de barras. Se sitúa en el eje de abscisas
los valores xi de la variable y en el eje de ordenadas, barras de
longitud igual a la frecuencia. Podemos representar frecuencias
relativas, absolutas, porcentajes o los correspondientes valores
acumulados.
Diagrama de barras de frecuencias absolutas
14
Frecuencias absolutas
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
Nº de monedas
7
8
9
10
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Las variables continuas o de rango continuo son las que
pueden, a priori, tomar cualquier valor de un intervalo real. Ej.:
Altura de un grupo de personas, densidad de un material,
consumo de gasolina de coche, etc. En estos ejemplos, cada dato
medido puede situarse entre dos valores determinados y en
principio no sabemos cuantos datos hay en cada intervalo.
•Las variables continuas se describen mediante intervalos, de
manera que todo valor posible este dentro de un intervalo. La
amplitud de estos intervalos depende de la frecuencia de aparición
de los valores de la variable. En general es más cómodo emplear
intervalos iguales.
•El número de intervalos debe estar en relación con el número de
datos disponibles. Así, si n es el número de datos disponibles se
suele emplear el criterio de tomar k intervalos, siendo k≈√n. k
debe ser entero, luego se toma el entero más próximo al valor
obtenido. Así, si n = 50, √50 = 7.07 luego dividiremos en 7.
•Una vez determinado el número de intervalos podemos obtener
la amplitud (suponiendo que todos tengan la misma amplitud)
amplitud =
R
rango
,a=
nº de intervalos
k
•Al número de valores observado en un intervalo de amplitud k se
denomina frecuencia absoluta de dicho intervalo. La amplitud del
intervalo corresponde por tanto con la diferencia entre los
extremos del intervalo.
•El conjunto de todos los intervalos deben cubrir todo el rango
continuo de valores de la variable x.
•Como siempre que se agrupan datos tenemos pérdida de
información.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•Las variables continuas agrupadas en intervalos se representan
mediante los histogramas. Para construir un histograma se
representan los intervalos en el eje de abscisas y sobre cada uno
se levanta un rectángulo de área proporcional a la frecuencia de
dicho intervalo. Cuando los intervalos son de igual amplitud, las
áreas serán proporcionales a las alturas. En estos casos, se suelen
incluir los valores de las frecuencias (absolutas, relativas o
porcentajes).
•Los rectángulos deben estar yuxtapuestos para respetar la
continuidad de la variable y la suma de las áreas de todos ellos
debe ser igual bien al número total de observaciones (si
representamos la frecuencia absoluta), bien a 1 (si representamos
la frecuencia relativa). Si los intervalos tienen la misma amplitud,
el criterio de igual área se puede sustituir por el de igual altura a
igual frecuencia. Esto representa lo que se denomina distribución
de frecuencias.
•La altura por ejemplo es una variable continua aunque el aparato
de medida tenga una determinada precisión. Eso no quiere decir
que los alumnos crezcan de 0.1 en 0.1 cm.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Distribución límite
• Cuando el número de medidas aumenta, la amplitud del
intervalo disminuye y el histograma comienza a tener un aspecto
suavizado. La envolvente es claramente visible
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Distribución límite
De la figura anterior dan lugar a los siguientes comentarios:
a) Cuando tenemos pocas medidas cada una representa mediante
una barra indicando su valor sobre el eje x.
b) Representa los datos de a) en forma de histograma donde se
agrupan los resultados mediante intervalos iguales
c) Mismo histograma que b) pero aumentando el número de
medidas, esto hace que la amplitud del intervalo se reduzca.
d) Seguimos reduciendo la amplitud del intervalo
e) Para un gran número de medidas y un intervalo cada vez menor
el histograma se aproxima a una distribución continua.
Esta figura ilustra una propiedad importante de la mayor parte de
las medidas: cuando el número de medidas se aproxima a infinito,
su distribución se aproxima a una curva continua denominada
distribución límite. Como puede verse esta curva tiene forma de
campana.
Al representar las frecuencias relativas la función de distribución
límite se convierte en la función de probabilidad de la medidas.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
2.87
2.44
3.49
3.83
3.97
4.69
3.35
1.89
3.90
3.55
4.69
3.03
3.00
4.96
3.10
1.84
2.23
3.64
1.96
4.39
3.15
3.61
4.43
2.69
2.04
2.62
3.96
2.41
4.03
4.70
5.33
3.19
3.19
5.03
3.92
1.93
2.74
2.83
3.03
2.64
3.70
1.41
3.87
1.04
2.43
2.87
3.44
0.920
4.22
2.88
Histograma que estudia la velocidad de un ordenador
14
12
Frecuencia
10
8
6
4
2
0
0.92
1.55
2.18
2.81
3.44
Rango
4.07
4.7
5.33
5.96
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Esta figura ilustra una propiedad importante de la mayor parte
de las medidas: cuando el número de medidas se aproxima a
infinito, su distribución se aproxima a una curva continua
denominada distribución límite. Esta curva tiene forma de
campana en el caso de sucesos aleatorios.
Al representar las frecuencias relativas la función de
distribución límite se convierte en la función de probabilidad
de la medidas.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Definida la función f(x), f(x)dx indica el número de las n lecturas
que caen en el intervalo x a x+dx, o en otras palabras, f(x)dx es la
probabilidad de que una medida tomada aleatoriamente de la
distribución aparezca en el intervalo, x a x+dx. La importancia de
esta definición es que nos da la probabilidad de que una medida
de x este comprendida entre x y x+dx.
Por definición se debe satisfacer la relación:
+∞
f
−∞
∫
( x)·dx = 1
(cond. normalización)
De este modo, la fracción de medidas que caen entre los valores a
y b, o en otras palabras, la probabilidad de que al hacer una
medida el valor este entre a y b, es el área total bajo la gráfica
entre x=a y x=b y se calcula como:
b
f
a
∫
( x)·dx = fracción de medidas comprendidas entre x=a y x=b.
b
Asimismo, la integral ∫ f ( x)·dx = P(a<x<b) nos indica la
a
probabilidad de que cualquier medida este comprendida entre x=a
y x=b. La probabilidad de obtener una respuesta entre -∞ y ∞
debe ser 1.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
La condición de normalización no implica que los valores de x se
tengan que extender entre ±∞. En un experimento real, las
medidas estarán comprendidas en un intervalo finito. Por ejemplo,
la altura de los alumnos de esta clase está comprendida entre
x=1.50 m y x=1.95 m. Y la posibilidad de encontrar a alguien
fuera de este intervalo es despreciable. Es decir, f(x) es
esencialmente cero fuera de este intervalo. Esto hace que integrar
entre 1.50 y 1.95 m o entre -∞ y +∞ sea lo mismo. En caso
general y como se desconocen los límites se emplea por
conveniencia la integración entre ±∞.
Si realizamos un número elevado de medidas de un mismo
suceso, los valores estarán próximos al valor real si la medida se
lleva a cabo de modo preciso y dan lugar a una distribución límite
con un pico estrecho. Si la precisión es baja, los valores se
dispersan y la distribución será más ancha entorno al valor
verdadero.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
•La distribución límite f(x) para la medida de una cantidad x
usando un aparato determinado describe como los resultados se
distribuyen después de muchas, muchas medidas.
•Si conocemos f(x) podríamos calcular el valor medio x que
encontraríamos después de muchas medidas.
•Sabemos que la media aritmética de un número de medidas es la
suma de todos los valores xi, cada uno de ellos pesado por su
frecuencia:
x ⋅ f + x · f + ... + xn · f n
x= 1 1 2 2
= ∑ xi · f ri
n
i
•Si el número de medidas aumenta (variable continua) y
dividimos el rango en pequeños intervalos de amplitud dx, el
sumatorio se transforma en una integral
+∞
x
−∞
x=∫
f ( x) dx
De este modo calculamos el valor medio después de un número
infinito de medidas.
•La función de distribución límite representa de forma compacta
toda la información que se obtiene de un experimento. Tanto la
cantidad física que se ha medido como el aparato de medida
(incluyendo al observador) están involucrados en la
determinación de la posición y la forma de la curva.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Funciones de distribución más empleadas en estadística son:
1.Normal o Gaussiana
2.Binomial
3.Poisson
DISTRIBUCIÓN NORMAL
•Diferentes tipos de medidas tienen diferentes distribuciones
límite.
•La distribución normal o gaussiana tiene forma de campana.
•Es una función simétrica
•La mayor parte de las medidas en el laboratorio dan lugar a
curvas simétricas
•Si una medida esta sujeta a errores aleatorios y los sistemáticos
son despreciables, los valores medidos se distribuyen con una
campana simétrica y centrada en el valor verdadero de x.
•Si la medida tuviera error sistemático la distribución no estará
centrada en el valor verdadero, sino que aparece desplazada. Los
valores se ven afectados en una misma dirección y la función de
distribución se desviará del valor verdadero.
•Admitimos como valor verdadero de una magnitud continua
aquel valor al que nos aproximamos cuando aumentamos el
número de medidas.
•La función matemática que describe una curva con forma de
campana es la distribución normal o de Gauss.
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Tiene la forma:
e− x
2 / 2σ 2
donde σ es un parámetro que da idea de la anchura de la función.
Vale lo mismo para x que para –x.
Gaussinana centrada en x=0.
Para obtener una gaussiana centrada en x = x no tenemos más que
reemplazar x por x − x
e −( x − x )
2 / 2σ 2
Esta función tiene su máximo en x = x y es simétrica en torno a
x=x
Esta función debe estar normalizada:
+∞
f
−∞
∫
( x)·dx = 1
Definimos la función:
f ( x) = N ·e
−( x − x ) 2 / 2σ 2
El factor de normalización no modifica la forma de la curva ni
desplaza el máximo de la función. Entonces
+∞
f
−∞
∫
2
2
+∞
N ·e −( x − x ) / 2σ dx
−∞
( x)·dx = ∫
Mediante el cambio de variable y = x − x
+∞ − y 2 / 2σ 2
e
dy
−∞
= N∫
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Haciendo el cambio de variable y/σ=z tenemos
+∞ − z 2 / 2
e
dz
−∞
= Nσ ∫
La solución de esta integral es
+∞ − z 2 / 2
e
dx
−∞
∫
= 2π
Por tanto,
+∞
f
−∞
∫
( x)·dx = Nσ 2π = 1
Entonces
N=
1
σ 2π
La función normal o gaussiana en su expresión más general se
define por:
f ( x) = G ( x) =
1
e
σ 2π
( x− µ )2
−
2σ 2
µ → x : la media poblacional y la muestral coinciden para n → ∞
σ : desviación típica
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Distribución normal o gaussiana. Cumple las siguientes
propiedades:
1) Es una función continua en toda la recta real
2) Es simétrica respecto del parámetro µ
3) Nunca toma el valor 0, pero el eje x es su asíntota horizontal
4) Es creciente para x<µ y decreciente para x>µ
1
5) Presenta un máximo en el punto x=µ y vale
σ 2π
6) Tiene dos puntos de inflexión x=µ+σ y x=µ−σ
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Es importante destacar que lo que antes definíamos ahora surge
de modo natural, la anchura de la distribución está relacionada
con los errores y el valor medio como valor verdadero coincide
con la posición de la gaussiana.
La probabilidad de obtener un valor x dado se puede obtener por
tanto como
b
∫ f ( x)·dx = P(a ≤ x ≤ b)
a
que es la probabilidad de que una medida cualquiera de la
magnitud x este en el rango a≤x≤b
En el caso de la distribución normal o gaussiana la probabilidad
de que el valor verdadero este en el intervalo µ±σ es
µ +σ
µ −σ
P(µ − σ ≤ x ≤ µ + σ ) = ∫
1
f ( x )·dx =
σ 2π
+ ∞ −( x − µ )2 / 2σ 2
e
dx
−∞
∫
Que no es otra cosa que el área comprendida entre µ−σ y µ+σ.
Ejemplo de cálculo de probabilidades
Supongamos que al medir el periodo de un péndulo sólo tenemos
errores aleatorios y, por tanto, sigue una distribución gaussiana
con µ=1.78 s y σ=0.10 s.
¿Cuál será la probabilidad de que al realizar una medida su valor
esté comprendido entre 1.68 s y 1.78 s?
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Para calcular esta integral en el caso de límites finitos se requieren
métodos numéricos para evaluarla. Se recurre a lo que se
denomina tipificación de la variable, que consiste en un cambio
de variable de tal manera que la distribución queda centrada en
cero y la desviación estándar es la unidad:
f ( x) = G ( x) =
x−µ
El cambio t =
σ
G(0,1)
1
e
σ 2π
( x− µ )2
−
2σ 2
convierte a la distribución G(µ,σ) en otra
G (0,1) =
1
2π
z2
−
e 2
De esta forma la distribución normal se convierte en la función de
error que está debidamente tabulada
G ( z ) = erf ( z ) =
1
2π
z
−∞
∫
t2
−
e 2
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
A partir de la distribución de probabilidad
P ( a ≤ x ≤ b) =
∫
b
a
f ( x; µ ,σ )dx =
1
0.1
1.78 −
2π ∫
1.68
( x−1.78)2
e
2·0.12
dx
A partir de la función de distribución tipificada o función de error
tenemos:
Cambio de variable:
P ( a ≤ x ≤ b) =
t=
x−µ
σ
a = 1.68 → ta = −1
⇒
 b = 1.78 → tb = 0
b
b
a
a
−∞
−∞
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −∫ f ( x)dx =
G (b) − G (a) = erf (tb ) − erf (ta ) = 0.5 − (1 − 0.8431) = 0.3431 (34%)
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Ejercicios
• Una empresa fabrica tubos de acero cuyos diámetros interiores
siguen una distribución normal de media 5 cm y desviación
típica 0.5 cm. ¿Qué porcentaje de tubos al medir con el calibre
tienen diámetro superior a 6 cm?
• La conductividad térmica del Cu a 0ºC es k = 385.0 W·m-1·K-1.
Un gran número de medidas de k, libres de error sistemático,
forman una gaussiana con error estándar σ = 15.0 W·m-1·K-1.
¿Cuál es la probabilidad de que una sola medida aparezca en
los rangos 385.0 a 388.0, 400.0 a 403.0, 405.0 a 408.0, 370.0 a
400.0, 355.0 a 415.0 y 340.0 a 430.0 W·m-1·K-1?
• La función de distribución de una variable aleatoria definida en
el intervalo [1,4] es f(x)=ax+b. Sabiendo que p(x>3)=0.6,
calcular:
1. a y b
2. P(x)
3. Valor medio de x
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Ejercicios
•
La distribución límite en una medida hipotéticaestá dada por
una función triangular (v. figura), donde el valor de f(0) es C.
• ¿Cuál es la probabilidad de que una medida este fuera
del rango x = -a y x= a?
• ¿Cuál es la probabilidad de obtener una medida con
x>0?
• Obtener C a partir de la condición de normalización
en función de a
• Dibujar la función para el caso a = 1 y a =2
•
Un estudiante mide una cantidad y varias veces y calcula su
valor medio y = 23 y una desviación estándar σy = 1. ¿Qué
fracción de sus resultados esperaríamos encontrar entre
a) 22 y 24?
d) 21 y 23?
b) 22.5 y 23.5?
e) 24 y 25?
c) 21 y 25?
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Justificación de la media como mejor estimación
La distribución límite f(x) obtenida después de un número infinito
de medidas de una cantidad x. Si conociéramos f(x) podríamos
calcular x y la desviación estándar σ después de infinitas medidas,
y podríamos también obtener el verdadero valor X.
Desafortunadamente la función límite no es conocida. En la
práctica tenemos un número finito de valores medidos
x1, x2, …, xN
y nuestro problema es obtener la mejor estimación de X y σ a
partir de los N valores medidos.
Si las medidas siguen una distribución normal GX,σ(x) y si
conociéramos los valores de los parámetros X y σ, podríamos
calcular la probabilidad de obtener los valores x1, x2, …, xN.
La probabilidad de obtener una medida próxima a x1 en un
pequeño intervalo dx1 es
−( x1 − X ) 2 / 2σ 2
1
Prob ( x ∈ [ x1, x1 + dx1 ]) =
e
dx1
σ 2π
Dpto. Física Aplicada
R. Valiente
Justificación de la media como mejor estimación
No estamos interesados en el tamaño del intervalo y podemos
abreviar la probabilidad como
Prob ( x1 ) ∝
1
σ
e
−( x1 − X ) 2 / 2σ 2
Que no es mas que la probabilidad de obtener el valor x1.
La probabilidad de obtener x2 es
Prob ( x2 ) ∝
1
σ
e
−( x 2 − X ) 2 / 2σ 2
Y podemos escribir la probabilidad de xN como
Prob ( xN ) ∝
1
σ
e
−( x N − X ) 2 / 2σ 2
Son las probabilidades de obtener cada una de las medidas x1, …,
xN, calculadas en términos de la distribución límite GX,σ(x). La
probabilidad de obtener el conjunto total de las N medidas es el
producto de las probabilidades (sucesos independientes):
Prob X,σ (x1, ..., xN ) = Prob ( x1 ) × Prob ( x2 ) × ... × Prob ( xN )
Prob X,σ (x1, ..., xN ) =
1
σ
N
e
−∑ ( xi − X ) 2 / 2σ 2