1. Cuatro cargas se colocan en los puntos medios de... en la figura, siendo Q=1 nC. Se pide: a) Vector...

1. Cuatro cargas se colocan en los puntos medios de un cuadrado de lado L=10 cm, como se indica
en la figura, siendo Q=1 nC. Se pide: a) Vector campo eléctrico en el punto A. b) Potencial eléctrico
en los puntos A y B. c) ¿ Si colocamos una quinta carga +Q’=
5Q
en el punto A, ¿ qué fuerza
eléctrica siente y cuál sería el trabajo mecánico para que se desplazase desde A hasta B ?.
a) En la figura adjunta se muestran tanto el sistema de referencia utilizado (ejes X e Y) como los vectores
campo eléctrico de cada una de las cargas en el punto A. Cada carga se ha señalado con los números 1 a 5,
para ver de forma más clara los campos eléctricos. Además el lado del cuadrado es L=10 cm=0.1 m, luego
L/2=0.05 m y Q=1 nC=1x10-9 C.
Podemos observar que E1 y E2 se cancelan, por tener el mismo módulo y sentido contrario, luego el campo
eléctrico en A es la suma vectorial de E3 y E4, es decir:
r
r
r
E A = E3 + E 4
siendo:
r
2Q r
E3 = − K
i = 9 x10 9
L/2
r
2Q r
E3 = − K
i = 9 x10 9
L/2
luego:
2 x10 −9
0.05
2 x10 −9
0.05
r
r N
i = −360 i
C
r
r N
i = −360 i
C
r
r N
E A = −720 i
C
b) El potencial en el punto A es la suma algebráica de los potenciales eléctricos creados por cada carga, es
decir:
V A = V1 + V2 + V3 + V4
siendo L/2 la distancia existente entre cada carga y el punto A, luego:
Q
1x10 −9
= 9 x10 9
= 180 V
L/2
0.05
Q
1x10 −9
V2 = K
= 9 x10 9
= 180 V
L/2
0.05
2 x10 −9
2Q
V3 = K
= 9 x10 9
= 360 V
L/2
0.05
−9
2Q
9 2 x10
V4 = − K
= −9 x10
= −360 V
L/2
0.05
V1 = K
sumando los cuatro potenciales, obtenemos finalmente:
V A = 360 V
El potencial eléctrico en el punto B es la suma escalar de los potenciales eléctricos creados por cada carga en B,
es decir:
1
V B = V1 + V2 + V3 + V4
Las distancias desde las cargas 2 y 3 hasta B es L/2, mientras que las de 1 y 4 hasta B es d, siendo (ver figura
adjunta):
2
5
5
 L
d = L +   = L2 ⇒ d =
L ≈ 0.112 m
4
2
2
2
2
luego:
Q
1x10 −9
= 9 x10 9
≈ 80.5 V
d
0.112
−9
Q
9 1x10
V2 = K
= 9 x10
= 180 V
L/2
0.05
2 x10 −9
2Q
V3 = K
= 9 x10 9
= 360 V
L/2
0.05
2Q
2 x10 −9
V4 = − K
= −9 x10 9
≈ −161 V
d
0.112
V1 = K
sumando los cuatro potenciales, obtenemos finalmente:
V A = 459.5 V
c) Al colocar una quinta carga Q’ en el punto A, ésta siente una fuerza eléctrica igual al producto de la carga Q’
por el campo eléctrico existente en A, es decir:
r
r
r
r
FQ ' = Q' E A = 5 (1x10 −9 ) (−720 i ) = −1.61x10 −6 i N
Como la fuerza eléctrica es conservativa, el trabajo mecánico para desplazar a la carga Q’ desde A hasta B es:
B r r
Br r
W A→ B = ∫ F dr = Q' ∫ E dr = −Q' ∆V = −Q' (VB − V A )
A
A
sustituyendo el valor de la carga Q’ y los potenciales eléctricos en A y en B, resulta:
W A→ B = − 5 (1x10 −9 ) (459.5 − 360) = −2,2 x10 −7 J
2. En la figura se muestra una esfera maciza conductora de radio R=30 cm, cargada con una
densidad superficial de carga σ=4 nC/m2. Calcula el vector campo eléctrico E en un punto A situado
a 1 m del centro de la esfera. ¿ Cuánto vale el campo eléctrico E y el potencial eléctrico V en un
punto B situado a 15 cm del centro de la esfera ?.
a) Campo eléctrico en A. Sea Sg una superficie gaussiana de radio 1 m (igual a la distancia desde el centro de la
esfera al punto A). Aplicando el teorema de Gauss:
4π 12 E =
∑q ⇒ E
εo
A
=
2
1
4πε o
∑q = K∑q
La carga encerrada en la superficie de Gauss es igual a la carga que existe en la superficie de la esfera de radio
R=0.3m, es decir:
∑q = σ S
esfera
= σ 4πR 2 = (4 x10 −9 ) 4π (0.3) 2 = 4.52 x10 −9 C
Por tanto, el campo eléctrico EA es:
E A = K ∑ q = 9 x10 9.4.52 x10 −9 = 40.72
N
C
b) Campo eléctrico en B. Al tratarse de un conductor, el campo eléctrico en el punto B es nulo.
c) Potencial eléctrico en B. Como se trata de un conductor, el campo eléctrico en cualquier punto interior a la
esfera será cero, luego, el potencial eléctrico V satisface la ecuación:
0=−
dV
⇒ V = cte
dr
es decir, el potencial eléctrico es constante en cualquier punto del conductor (el conductor es una región
equipotencial). Por continuidad del potencial eléctrico, V será el mismo en r=R, luego:
V (r = R ) = K
∑ q = (9 x10
R
9
)
4.52 x10 −9
= 135.6 V
0.3
3. Una espira circular de radio R=10 cm está situada en una región donde existe un campo
magnético dependiente del tiempo, de la forma B(t)=4t2 Tesla, siendo éste perpendicular y entrante
al plano del papel. ¿ Qué diferencia de potencial se inducirá entre los extremos A y B de la espira ?.
El flujo magnético sobre la espira es:
r r
φ B = B . S = B S cos β
siendo B el módulo del campo magnético, S la superficie de la espira y β el ángulo formado por el campo
magnético y el vector superficie de la espira. Sustituyendo los datos del problema, resulta:
φ B = B S cos β = 4t 2 (π 0.12 ) cos 180 = −0.125 t 2 Wb
La f.e.m. inducida es:
ε =−
dφ B
d
= − (−0.125 t 2 ) = 0.251t
dt
dt
4. Dos hilos paralelos e infinitos están separados una distancia de 9 cm, transportando las
corrientes indicadas en la figura adjunta. Calcula el módulo, dirección y sentido del vector campo
magnético en los puntos A y B. Nota: el campo magnético es la suma vectorial de los campos individuales
creados por cada conductor. Si una carga de +25 µC penetrara con velocidad v=-250 k m/s en esta
región, ¿ qué fuerza magnética sentiría ?. Dato: µo=4πx10-7.
a) Campo magnético en A. El campo magnético en el punto A es la suma vectorial de los campos magnéticos
producidos por ambos conductores en A. Aplicando la ley de Ampere a un conductor recto e infinito, obtenemos
que el módulo del campo magnético es inversamente proporcional a la distancia r del conductor al punto, es
decir:
3
∫
C
r r
µ I
B dl =B (r ) 2πr = µ o I ⇒ B(r ) = o
2πr
Si denominamos 1 al hilo de la izquierda (I1=25 A) y 2 al hilo de la derecha (I2=20 A) y designamos por k al
vector unitario saliente del plano del papel, aplicando la expresión anterior a los dos conductores, así como la
regla de la mano derecha, obtenemos:
r
r
µ o I 1 4πx10 −7 25
B1, A =
=
= 5 x10 − 4 T ⇒ B1, A = 5 x10 − 4 k
2πr1
2π 0.01
r
r
µ o I 2 4πx10 −7 20
B2, A =
=
= 4 x10 −5 T ⇒ B2, A = −4 x10 −5 k
2πr2
2π 0.1
Por tanto, el campo magnético en A es un vector saliente del plano del papel cuyo módulo es 4.6x10-4 Tesla:
r
r
r
r
B A = B1, A + B2, A = 4.6 x10 −4 k
b) Campo magnético en B. Actuando análogamente como en el apartado anterior, obtenemos:
r
r
µ o I 1 4πx10 −7 25
=
= 6.25 x10 −5 T ⇒ B1, B = −6.25 x10 −5 k
2πr1
2π 0.08
r
r
µ I
4πx10 −7 20
B2, B = o 2 =
= 4 x10 − 4 T ⇒ B2, B = −4 x10 − 4 k
2πr2
2π 0.01
B1, B =
Por tanto, el campo magnético en B es un vector entrante en el plano del papel cuyo módulo es 4.625x10-4
Tesla:
r
r
r
r
B B = B1, B + B2, B = −4.625 x10 −4 k
c) Fuerza magnética sobre la carga. Podemos observar que da lo mismo en qué región penetre la carga, pues
en todos los casos posibles, el campo y el vector velocidad son paralelos (ángulo igual a 0º) o antiparalelos
(ángulo igual a 180º), por tanto, la fuerza magnética que experimenta dicha carga es nula, debido a que en un
caso u otro el seno del ángulo formado por el vector velocidad y el campo magnético es nulo (sen 0=0 o sen
180=0).
5. Una partícula de 1 g está cargada negativamente con una carga de 0.02 C, penetrando con
velocidad de 50 m/s en una región donde existe un campo magnético de 10 T perpendicular y
entrante al plano del papel, como se muestra en la figura. a) Calcula el radio de la trayectoria
circular que describiría dicha carga, el sentido del movimiento y la velocidad angular con la que gira
en su trayectoria. b) ¿ Qué dirección, sentido y módulo, debería tener el campo eléctrico E en dicha
región, para que la partícula no se desvíe y siga moviéndose en línea recta ?.
a) Radio de la trayectoria, sentido del movimiento y velocidad angular. Cuando la partícula cargada penetra en
la región donde existe un campo magnétio, al ser v y B perpendiculares, la carga se moverá en una
cincunferencia de radio R. Para encontrar R, igualamos los módulos de las fuerzas magnética FB y centrífuga FC,
es decir:
qvB = m
m v 10 −3 50
v2
⇒R=
=
= 0.25 m
R
q B 0.02 10
Con objeto de determinar el sentido del movimiento, calculamos vectorialmente la fuerza magnética que sufre
la carga al entrar en la región. Teniendo en cuenta los valores especificados en el problema, así como el
sistema de referencia XYZ utilizado, obtenemos:
r
r
r
r
q = −0.02 C ; v = 50 i m / s; B = −10 k T
entonces:
4
r
r
r
r r
r
r
r r
FB = q (v × B) = −0.02 (50 i × −10 k ) = 10 (i × k ) = 10(− j ) = −10 j N
es decir, justo al entrar en dicha región la fuerza va dirigida en la dirección del eje Y con sentido negativo,
luego, el sentido del movimiento es el indicado en la figura adjunta.
Como la fuerza magnética y el vector velocidad son siempre perpendiculares, el trabajo mecánico realizado por
la fuerza magnética es nulo, por tanto, en virtud del teorema de las fuerzas vivas, la energía cinética de la
carga se mantiene constante, es decir, la carga gira con velocidad constante v en su trayectoria circular.
Conocida su velocidad lineal v y el radio R de la circunferencia, calculamos su velocidad angular:
v = wR ⇒ w =
v 50 m / s
=
= 200 rd / s
R 0.25 m
b) Módulo, dirección y sentido del campo eléctrico. Si la carga no se desvía de su trayectoria inicial, moviéndose
en línea recta (ver figura adjunta), las fuerzas eléctrica y magnética se compensan, es decir, la fuerza de
Lorent es nula, por tanto:
r
v r r r
v
r r
FLorentz = q ( E + v × B) = 0 ⇒ E = −(v × B )
sustituyendo los valores de los vectores velocidad y campo magnético, obtenemos:
r
v
r
r r
r N
r r
E = −(v × B) = −(50 i × − 10 k ) = 500 ( i × k ) = −500 j
C
es decir, el módulo del campo eléctrico es de 500 N/C, su dirección es el eje Y (perpendicular a la velocidad de
la carga y al campo magnético) y su sentido es opuesto al unitario j (ver figura adjunta).
CUESTIONES (Puntuación total: 2.5 puntos. Cada cuestión acertada puntúa con +0.25, sin contestar
no puntúa y mal contestada resta 0.15 puntos)
1.
Si el cuadrado del problema 1 se introduce en el interior de una esfera de radio 1 m. ¿ cuál es el flujo
eléctrico a través de la esfera ?
a. Nulo
b. 2Q/εo
c. - 2Q/εo
Según el teorema de Gauss, el flujo eléctrico a través de la esfera es la carga neta que contiene dividido por εo,
es decir:
5
∑ Q = Q + Q + 2Q − 2Q = 2Q
εo
εo
εo
2. ¿ De qué forma debemos colocar un conductor recto en una región donde existe un campo magnético B
para que no sufra fuerza alguna ?.
a. Paralelo al campo magnético
b. Perpendicular al campo magnético
c. Formando un ángulo de 45º con el campo magnético
Si el conductor se coloca paralelo al campo B, los vectores L y B son paralelos, luego su producto vectorial es
nulo, es decir:
r
r r r
Fconductor = IL × B = 0
3.
¿ En qué unidad se mide la fuerza electromotriz inducida ?.
a. Newton
b. Amperios
c. Voltios
A pesar de denominarse fuerza electromotriz inducida, ésta se mide en voltios, pues se trata de un voltaje.
4. Si una carga puntual q negativa está en reposo en una región donde existe un campo eléctrico E, ¿ qué le
ocurrirá a la carga ?.
a. Se moverá en el mismo sentido que el campo
b. Se moverá en sentido contrario al campo
c. No se moverá
La fuerza que siente una carga Q situada en un campo eléctrico E es F=Q E. Al ser negativa dicha carga, el
sentido de la fuerza eléctrica es opuesto al del campo, luego al dejarla en libertad ésta tenderá a moverse en la
dirección del campo y sentido opuesto a éste.
5. Las líneas del campo magnético, ¿ son abiertas o cerradas ?.
a. Abiertas
b. Cerradas
c. Depende del módulo del campo
Son líneas de campo cerradas.
6.
¿ En qué unidad se mide el flujo magnético en el SI.
a. Wb
b. T.cm2
c. V/T
El flujo magnético se define como el producto del campo magnético (en Teslas) por la superficie (en m2),
denominándose a esta magnitud Weber (Wb), siendo 1 Wb= 1 T x 1 m2.
7.
Un electrón se somete a un campo eléctrico E. Si el electrón se desplaza desde A hasta B por dos caminos
diferentes, ¿será idéntico el trabajo mecánico por los dos caminos ?.
a. Sí
b. No
c. Depende de la distancia entre A y B
Al ser la fuerza eléctrica conservativa, el trabajo mecánico de una fuerza conservativa, no depende del camino
elegido para llevarla desde un punto A hasta otro B.
8.
¿ Pueden cortarse dos líneas de campo eléctrico ?.
a. No, nunca
b. Sí
c. Sí, cuando las líneas sean rectas.
Dos líneas de campo eléctrico nunca se cortan, debido a que en un punto sólo puede existir un solo vector
campo eléctrico, que será tangente a la línea de campo en el punto considerado.
9.
Un imán se encuentra en reposo cerca de una espira de cobre, también en reposo. ¿ Se inducirá una
diferencia de potencial en la espira ?.
a. Sí, porque el imán crea un campo magnético
b. No, porque el imán está en reposo
c. Sí, porque varía el flujo magnético
6
El imán crea un campo magnético B, sin embargo, el producto del campo por la superficie de la espira se
mantienen constantes a lo largo del tiempo, es decir, no se induce ningún voltaje en la espira porque no varía
con el tiempo el flujo magnético. Si el imán se moviera si aparecería un voltaje.
10. La ley de Faraday-Henry dice que la f.e.m. inducida es
a. Proporcional al flujo magnético
b. Inversamente proporcional al campo magnético
c. Proporcional a la variación de flujo magnético
La expresión de la ley de Faraday-Henry es:
ε =−
dφ B
dt
es decir, la f.e.m. inducida es proporcional a la variación temporal del flujo magnético.
DEMUESTRA QUE (Puntuación 1.5 puntos):
Dos hilos conductores rectos, infinitos y paralelos, separados una distancia D, que transportan
corrientes I1 e I2, en el mismo sentido, se atraen con una fuerza por unidad de longitud igual a:
µ o I1 I 2
2π D
Consideremos dos hilos rectos e infinitos, separados una distancia D. Tanto el conductor de la izquierda (hilo 1)
como el de la derecha (hilo 2), transportan corrientes I1 e I2 hacia arriba.
Si tomamos en el hilo 2 un segmento de conductor de longitud L, la fuerza magnética quie siente dicho
segmento es:
r
r r
Fhilo1, segmento = I 2 ( L × B1 )
siendo B1 el campo magnético que existe en cualquier punto de este segmento, producido por el hilo 1. Para
calcular B1 aplicamos la ley de Ampere al hilo 1, calculando el campo en un punto del segmento, es decir:
B1 2πD = µ o I 1 ⇒ B1 =
µ o I1
2πD
Expresando en forma vectorial L y B1 (teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido), la fuerza que
siente el segmento considerado es:
r
Fhilo1, segmento
r
r r
µ I r
L = L j ; B1 = − o 1 k
2πD
r
r
µ o I1 r
µ o I1 I 2 r r
µ II
= I 2 (L j × −
L( j ×k) = − o 1 2 L i
k) = −
2πD
2πD
2πD
luego la fuerza que el hilo 1 hace por unidad de longitud sobre el hilo 2 es (dividiendo por L):
r
µ II r
F/L =− o 1 2 i
2πD
es decir, el hilo 1 atrae al hilo 2 (ver la figura anterior). Faltaría ahora completar la demostración, calculando
la fuerza que el hilo 2 hace sobre el hilo 1, sin embargo, debido a la similitud con la demostración anterior, ésta
se ha omitido.
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