Capitalización Compuesta

TEMA 2
CAPITALIZACION COMPUESTA
Los intereses se acumulan al capital principal para producir intereses. De este modo en cada
período los intereses se calculan sobre el capital inicial más los intereses acumulados hasta
comienzo de dicho período. Se utiliza normalmente para períodos superiores al año
CÁLCULO DEL MONTANTE
Sea Co el capital invertido a un tanto inicial de interés compuesto i durante 1, 2, 3 ……. n
años , vamos a ver cómo va evolucionando el interés y el capital final período a período. El
montante final del primer año es el capital inicial del 2º y así sucesivamente.
Capital inicial
Períodos (años)
Intereses
Capital final o
montante
Co
1º
Co . i
Co + Co . i = Co(1+i)
Co(1+i)
2º
Co(1+i)i
Co(1+i)+Co(1+i)i =
Co(1+i)(1+i) = Co(1+i)2
Co(1+i)2
3º
Co(1+i)2i
Co(1+i)2+Co(1+i)2i =
Co(1+i)2(1+i)= Co(1+i)3
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Co(1+i)n-1
Co(1+i)n-1i
Nº
Co(1+i)n
Fórmula del montante en capitalización compuesta es
Cn = Co (1+i )n
Cuando el capital inicial Co invertido sea una unidad monetaria, entonces el montante es igual
a (1+i)n y si Co = 1 → Cn = (1+i)n Factor de capitalización compuesta, que sirve para trasladar
capitales de un momento a otro posterior. (se puede mirar en las tablas financieras)
Co_________________________
0
n
 Ejercicio: Calcular el montante que se obtiene al invertir 10000 € al 6% de interés
compuesto anual durante 3 años.
Co = 10000
10000
i = 0,06 compuesto
n=3
0
3
3
¿Cn?
Cn = 10000(1+0,06) = 11910,16
-1-
 Ejercicio: Hace 4 años un trabajador cobraba 20000 € al año. Si se ha revalorizado su
sueldo en 8% acumulativo ¿cuánto cobra ahora?
20000
0
C4 = 20000(1+0,08) = 27209,78
4
4
Factor de capitalización
CÁLCULO DE CAPITAL INICIAL
Cn = Co (1+i)n;
Co = Cn / (1+i)n ;
Co = Cn (1+i)-n
Si Cn = 1 entonces Co = (1+i)-n es el factor de actualización en capitalización compuesta, que
sirve para trasladar capitales de un momento dado a otro anterior, se puede mirar en la tabla
financiera o hacerlo con la calculadora (1 / (1+i)n)
(1+i)-n
Cn
n
 Ejercicio: Calcular el capital que invertido al 4% de interés compuesto anual durante 10
años, alcanzó al cabo de los mismos un montante de 14802,44
i= 0,04
Co
14802,44
n = 10 años
Cn = 14802,44
10
Co = 14802,44 (1+0,04)-10;
Co =14802,44(1+0,04)10
Co= 10000
 Ejercicio: Averiguar el precio que un artículo tenía hace 4 años si ha crecido a razón de
un 6% anual acumulativo y hoy vale 504,99
504,99
C4
i= 0,06
0
4
C4 = 504,99 (1+0,06)4 = 504,99
CÁLCULO DEL TIEMPO
Si Cn = Co (1+i)n
Cn / Co = (1+i)n como n está de exponente se aplica logaritmos
Log Cn /Co = log (1+i)n ;
log Cn / Co = nlog(1+i);
n = log (Cn / Co)
Log (1+i)
 Ejercicio: calcular el tiempo que estuvo invertido un capital de 10000 E al 6% interés
compuesto anual si se obtuvo un montante de 17908,48.
-2-
Cn = Co (1+i)n ;
17908,48 = 10000(1+0,06)n
17908,48 / 10000 = (1+0,06)n ; 1,7908848 = (1+0,06)n
n?
Co =10000
i= 0,06
Cn = 17908,48
le buscamos en la tabla y así
sabemos el período “n”
Otra forma es con la calculadora
Log 1,790848
Log=
0,253058726
=
Log 1,06
= 10
0,025305865
CÁLCULO DEL TANTO DE INTERÉS
Cn = Co (1+i)n → Cn / Co = (1+i)n → 𝑛√𝐶𝑛/𝐶𝑜 = 1+I → (Cn / Co)1/n = 1+I →
i = (Cn / Co)1/n – 1
 Calcular el tanto unitario de interés compuesto anual al que se invirtió un capital de
50000€ durante 4 años, sabiendo que alcanzó un montante de 60775,30.
Co = 50000
Cn = Co(1+i)n
n=4
60775,30 = 50000(14+I)4
Cn = 60775,30
60775,30 / 50000 = (1+i)4;
1,215506=(1+i)4
i=5%
Con la fórmula:
Miro en las tablas
4
√1,215506 = 1+i ; (1,2155606)1/4 = 1+i
(1,215506)0,25 – 1 = i; 1,05 – 1 = i ; i = 0,05 = 5%
TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Sean C1, C2, C3, ………….Cn capitales invertidos a los tantos de interés compuesto anual i1,i2,i3,
…..in durante t años, el tanto medio de capitalización compuesta será aquel que aplicado a
dichos capitales durante ese tiempo nos ofrezca el mismo montante.
C1
i1
C2
i2
………………………….
Cn
in
0
t
C1
i
C2
i
…………………………………..
Cn
i
=
0
t
C1(1+i1)t + C2(1+i2)t + C3(1+i3)t + ……… +Cn(1+in)t =C1(1+i)t + C2(1+i)t + C3(1+i)t + …….+ Cn(1+i)t
n
n
t
n
t
n
t
t
∑ Ch (1+ih) = ∑ Ch (1+i) ; ∑ Ch (1+i) = (1+i) ∑ Ch ;
h=1
h=1
h=1
h=1
-3-
n
∑ Ch (1+ih)t
= (1+i)t
h=1
𝑡
𝑡
√∑𝐶ℎ(1 + 𝑖ℎ)
;
/∑𝐶ℎ = (1+i);
n
∑
Ch
1/t
h=1
1/t
n
∑ Ch (1+ih)
n
t
∑ Ch (1+ih)t
= 1+i
h=1
;
i=
n
- 1
h=1
n
∑ Ch
∑ Ch
h=1
h=1
 Ejemplo pág. 62
t=5
C1 = 10000
C2 = 20000
C3 =25000
¿i?
i1 =0,09
i2 = 0,07
i3 = 0,04
10000(1+0,09)5 + 20000(1+0,07)5 + 25000(1+0,04)5 = 10000(1+i)5 + 20000(1+i)5 + 25000(1+i)5
73853,60 = 55000(1+i)5 ; 73853,60 / 55000 = (1+i)5 ; 1,3428 = (1+i)5 ; 5√1,3428 = 1+I ;
(1,3428)1/5 – 1 = i ; i = 0,0607 ; i = 6,07 %
Si lo miramos por las tablas como el resultado no es exacto entonces hay que interpolar, se
hace así:
6%
7%
5
1,338226
7% - 6% = 1% →
1,342792
1,402552
Si 1% ………………….. 0,064326
X ……………………… 0,004566
X = 0,004566 / 0,064326 = 0,0709821 que es i (no dan exactamente igual, es aproximado)

Invertimos 25000, 45000 y 70000 € al 8% , 10%, y 9% respectivamente de interés
compuesto anual durante 8 años. Determinar el tanto medio de colocación de dichos
capitales.
C1 = 25000
i = 0,08
t= 8
C2 = 45000
i = 0,10
t=8
C3 = 70000
i = 0,09
t=8
-4-
25000(1+0,08)8 + 45000(1+0,10)8 + 70000(1+0,09)8 = 282214,16
25000(1+i)8 + 45000(1+i)8 + 70000(1+i)8 = (1+i)8 140000;
(1+i)8 = 282214,16 / 140000 = 2,0158154
8
Con calculadora: 1+i = √2,0158154 = (2,0158154)1/8 ; 1+i = 1,091581948;
i = 0,09158 % = 9,158 %
Con tablas:
9%
10%
8
1,992563
2,143589
1% ……………………………. 0,151026
X ………………………………… 0,0232524 (2,0158154 – 1,992563)
X = 9 + 0,1539628 = 9,153928%
 Realizando una inversión de 90000, 100000 y 120000 € al 7%, 10% y x%
respectivamente de interés compuesto anual durante 4 años. Sabiendo que el tanto
medio de colocación de dichos capitales es el 9%. Determinar el tanto al que se
invirtieron los 120000€.
Con calculadora:
90000(1+0,07)4 + 100000(1+0,10)4 + 120000(1+i3)4 = (1+0,09)4310000;
264381,6409 + 120000(1+i3)4 = 437590,2991;
120000(1+i3)4 = 173208,6582
(1+i3)4 = 173208,6582 / 120000 = 1,4434065; 1+i3 = (1,4434)0,25 ;
1+i3 = 1,0960 ; i = 0,0960 = 9,60%
Con tablas:
9%
10%
1,411582
1,464100
4
(1,464100 – 1,411582 = 0,052518)
1% …………………………………. 0,052518
X% …………………………………. 0,03158
x = 0,6013
i3 = 9% + 0,60% = 9,60%
-5-
EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Dos capitales C1 y C2 que vencen en los momentos t1 y t2 , son equivalentes cuando
valorados a un mismo tanto i en un mismo momento t tienen la misma cuantía.
Pueden plantearse tres casos:
a)
t < t1 < t2
Ct C´t
C1
t
C2
t1
Ct =
C1
(1+i)(t1 - t)
= C1 (1+i)- (t1 - t)
C´t =
C2
(1+i)(t2 - t)
= C2 (1+i)- (t2 - t)
t2
Si Ct = C´t → C1 y C2 son equivalentes
b) t1 < t < t2
C1
t1
Ct = C1 (1+i) (t - t1)
Ct
C´t
t
C2
t2
C´t = C2 (1+i) –(t2 - t)
Si Ct = C´t → C1 y C2 son equivalentes en el momento “t”
c) t1 < t2 < t
C1
C2
t1
t2
Ct = C1 (1+i) (t - t1)
Ct
C´t
t
C´t = C2 (1+i) (t – t2)
Si Ct = C´t → C1 y C2 son equivalentes en el momento “t”
 Averiguar si al 12% de interés compuesto annual son equivalentes un capital de
1.573.519€ con vencimiento dentro de 4 años y otro de 3.105.848€ dan vencimiento
dentro de 10 años
i = 0,12
C2 = 3105848
C1 = 1573519
t = 10
t=4
-6-
Momento 0
Ct
C´t
1573519
0
3105848
4
10
Ct = 1573519 / (1+0,12)4 = 1573519 / 1,573519 = 1000000
C´t = 3105848 / (1+0,12)10 = 3105848 / 3,105848 = 1000000
Si son equivalentes en el momento 0
Momento 5
1573519
4
Ct C´t
3105848
5
10
Ct = 1573519(1+0,12)1 = 1762341,28
C´t = 3105848 / (1+0,12)5 = 3105848 / 1,762341 = 1762342,24
Son equivalentes en el momento 5
Momento 13
1573519
4
3105848
Ct C´t
10
13
Ct = 1573519 (1+0,12)9 = 4363492,11
C´t = 3105848 (1+0,12)3 = 4363492,81
(Si dos capitales son equivalentes en un momento lo son en cualquier otro)
Ejemplo pág 64
a)
t=0
Ct
0
29282 (1+0,10)0-4 = 20000
i = 0,10
29282
4
Son equivalentes en t = 0
-7-
b)
t=3
i = 0,10
Ct C´t
20000
0
29282
3
4
Ct = 20000 (1+0,10)3 = 26620
C´t = 29282 / 1,10 = 26620
Son equivalentes en t = 3
c)
i = 0,10
t = 10
20000
0
4
Ct = 20000 (1+0,10)10 = 51874,8492
C´t = 29282 ( 1+0,10)6 = 51874,8492
d)
Ct C´t
29282
t=0
10
Son equivalentes en t = 10
i = 0,08
20000 (1+0,08)0-4 = 20000 / (1+0,08)4 = 20000 / 1,3604 = 14701,55
29282 (1+0,08)4 = 39837,83
No son equivalentes en t = 0
Ejemplo pág 67
C1 = 20000
C2 = 13000
C3?
i = 0,14
i = 0,14
I = 0,14
20000
0
Cn = Co (1+i)n ;
t=0
t=2
t=3
13000
Ct C´t
2
20000 = 13000 (1+0,14)-2 + C3 (1+0,14)-3,
3
C3 = 14810,88 €
-8CAPITALIZACIÓN COMPUESTA PARA PERÍODOS FRACCIONARIOS
Cn = Co (1+i)n´
Cn = Co (1+i)n+h
n´ = n+(h) nº fraccionario
Cuando el tiempo que dura la inversión no es un número entero de años
 Calcular el montante que se obtiene al invertir 15000 € al 6% interés compuesto anual
durante 4 años y 3 meses.
Cn?
Co = 15000
Interpolamos
i = 0,06
n´ = 4 + (31/12) = 4+0,25 = 4,25 años
1 …………………… 0,075749
0,25 ………………… y – 1,262467 = x
x =( 0,25.0,075749) ; x = 1,262477 + 0,018937 = 1,281414
Cn = (15000.1,281414) = 19221,21
CONVENIO LINEAL Y CONVENIO EXPONENCIAL
Convenio exponencial
( 0 ≤ h ≤ 1)
Cn´ = Co (1+i)n (1+i)h
Utilizamos la capitalización compuesta para período entero y para fraccionario
Convenio lineal
Cn´ = Co (1+i)n (1+ih)
Utilizamos capitalización compuesta para período entero y capitalización simple para
fraccionario.
Ejemplo anterior:
Cn´ = 15000 ( 1+0,06)4,25 = 15000 ( 1+0,06)4( 1+0,06)0,25 = 19215,21 €
Cn´ = 15000 ( 1+0,06)4(1+0,06.0,25) = 19221,21 €
exponencial
lineal
FRACCIONAMIENTO DEL TANTO EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Cuando el tiempo que me dan no es anual, sino que es bimestral, trimestral. Etc… entonces
convertimos la fórmula
Cn = Co (1+i)n
en esta otra
Ik → Cn = Co (1+ik)nk
En capitalización compuesta no son proporcionales los tantos, por lo que i =ikk no vale.
-9EQUIVALENCIA DE TANTOS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Dos tantos son equivalentes cuando aplicados al mismo capital inicial durante el mismo
tiempo , producen el mismo interés o se obtiene el mismo montante
Cn = Co (1+i)n
Cn = Co (1+ik )nk
Co (1+i)n
1+i
𝑛
√(1 + 𝑖𝑘)nk
=
Si queremos hallar ik despejo
1+i = (1+ik )k ;
Co (1+ik )nk
=
i = (1+ik )k - 1
1+i = 𝑛√(1 + 𝑖𝑘)nk ;
𝑘
√1 + 𝑖 = 1+ ik ;
(1+i)1/k = 1+ ik ;
ik = (1+i)1/k - 1
 Ejemplo pág. 75
i?
i2 = 0,05 semestral
i = (1+i2 )2 – 1 = (1+0,05)2 – 1 = 10,25 %
Con los datos anteriores comprobar la equivalencia de los tantos para un capital de
10000 € invertido durante 3 años.
i2 = 0,05
Cn = Co (1+ ik)nk → si es k-esimal
i = 0,1025
Cn = 10000(1+0,05)2.3 = 13.400,96
Co = 10000
Cn = Co (1+ i)n → si es anual
n=3
Cn = 10000(1+0,1025)3 = 13.400,96
TANTO NOMINAL
Jk = k . i k
→
ik = Jk / k
También se puede hallar con la fórmula del montante
Cn = Co (1+ Jk/k) nk
Nombra o designa a otro al tanto k-esimal.
 Ejemplo 1 (pág. 78)
Cn?
Co = 7.000
n=5
J2 = 0,08 semestral
Cn = Co (1+ ik ) nk = 7.000(1+0,04)5.2 =
7.000. 1,480244 = 10361,71 €
-10 Ejemplo 2
i = (1+0,04)2 – 1 = 1,0816 – 1 = 0,0816 = 8,16%
i?
J2 = 0,08
i2 = J2 / 2 = 0,08/2 = 0,04
EJERCICIOS (PÁG. 95)
1)
2)
3)
Co = 4.000
i = 0,07
n=8
Cn?
Cn = Co (1+i)n
Cn = 4.000(1+0,07)8 ;
Cn = 6.872,74
Co?
n=5
i = 0,08
Cn = 1.616,26
Co = Cn / (1+i)n
Co = 1.616,26 / (1,08)5 = 1.100
Cn?
Co = 1.400€/mes
n= 10
i = 0,06
Cn
1.400 (Co)
0
10
Cn = 1.400(1+0,06)10 = 2.507,18
4)
Cn?
Co = 1.682
i = 0,04
n = 10
Co
1.682(Cn)
0
10
1.682
Co =
=
(1+0,04)
5)
1.136,48
10
14.000
Cn
0
6 años y 4 meses
Cn = 14.000(1+0,06) 6,33
= 20.248,76
Si 1 año …………….12 meses
X ………………. 4 meses
-116)
Co = 7.000
Cn = 7.000 (1+0,08)6 = 11.108,12
n=6
i = 0,08 annual
7)
8)
Co = 7.000
n=6
ik = 0,04 semestral
Cn = 7.000(1+0,04)6.2 = 11.207,22
Co = 30.000
i = 0,05
n=6
Cn = 30.000(1+0,05)6 = 40.202,87
Co = 8.300
i = 0,05
n = 7 años y 2 meses
Cn =8.300(1+0,05)7,16 = 11.774,29
9)
i = ( Cn / Co )1/n – 1;
i = (1,4802)0,1 - 1
i = (103,62 / 70 )1/10 – 1 ;
i = 0,0399 = 3,99%
10)
i = 0,06
n?
Cn = 1235
Co = 900
900
0
1235
n
log (Cn / Co )
n=
log (1235/900)
; n=
Log ( 1+ i)
;
log (1+ 0,06)
n = 5,43 años = 5 años y 5 meses (0,43.12)
12)
i = (1+ik) k - 1 ;
i = (1+0,06)2 – 1
ik = ( 1+ i ) 1/k - 1 ;
ik = 0,02956 = 2,956 %
i = 0,1236
ik = (1+0,1236) 1/4 - 1
-1211)
Cn = 2 Co
n?
A-
Cn = Co (1+i)n
i = 0,06
2Co = Co (1+0,06)n
2 = (1,06)n
Interpolamos
11 _____________1,898299
x _______________ 2
12 _____________ 2,61219
12 – 11 _______________ 2,012196 – 1,898299
X – 11 ________________ 2 – 1,898299 ;
x – 11 = 0,101701 / 0,113897 = 0,892921 ;
X = 0,892921 + 11 = 11,892921
n = 11,892921 = 11 años , 10 meses(0,892921.12=10,71505) y 21 días(0,71505.30=21,45)
B y C igual pero cada uno con su tanto
13)
C1 , C2 y C 3
9 años :
12 años :
15 años :
14)
n1=16 , n2=13 , n4 =10
Cn = 10000
Cn = Co (1+i)n ;
10000 = Co (1+0,08)16 ;
10000 = 3,4260Co
Co = 2.918,85 €
10.000 = Co (1,08)13 ;
Co = 10.000/2,7196 = 3.677 €
10
10.000 = Co (1,08) ;
Co = 10.000/2,1590 = 4.631,77 €
Cn1 , Cn2 y Cn3 ?
Cn = Co (1+i)n
15)
i = 0,08
Co = 10.000
i = 0,08
Cn1 = 10.000(1+0,08)16 = 34.259,42 €
Cn2 = 10.000(1+0,08)13 = 27.196,23 €
Cn3 = 10.000(1+0,08)10 = 21.589,24 €
Co = 40.000
Cn1?
Cn2 ?
Cn3?
Cn4?
Cn1 = Cn2 = Cn3 = Cn4 = Cn
i = 0,10
n=8
n=6
n=3
n=2
40.000 = Cn1 + Cn2 + Cn3 + Cn4
Cn1 = Cn = C1(1+0.08)8 = 2,143589 C1
Cn2 = Cn = C2 (1,08)6 = 1,771561 C2
Cn3 = Cn = C3 (1,08)3 = 1,331 C3
-13Cn4 = Cn = C4 (1,08)2 = 1,21 C4
2,143589 C1 = 1,33 C3 ;
1,771561 C2 = 1,33 C3 ;
1,21 C4 = 1,33 C3 ;
C1 = 1,33/2,143589 C3 ;
C2 = 0,7513 C3
C4 = 1,1 C3
C1 = 0,6209 C3
0,620921 C3 + 0,751315 C3 + 1,1 C3 = 40.000 ;
C3 = 11.519,95 → capital del 3º hijo
3,472236 C3 = 40.000
Cn = (1,331.11519,95) = 15.333€
16)
¼ Co
Cn1?
¾ Co
Cn2?
n=5
Cn = 3.461,39
Co?
i = 0,06 compuesto
i = 0,08 simple
Cn1 = ¼ Co ( 1+0,06)5 = ¼ Co . 1,338226 = 1,338226/4 Co = 0,33455 Co
Cn2 = ¾ Co ( 1+0,08.5) = ¾ Co . 1,4 = 4,2/4 Co = 1,05 Co
0,33455 Co + 1,05 Co = 3,461,39 ;
1,38 Co = 3461,39 ; Co = 2.500 €
Cn1 = 0,33455 . Co =( 0,33455 . 2500) = 836,39 €
Cn2 = 1,05 . Co = (1,05 . 2500) = 2.625 €
17)
Cn = 5.000
n=3
C. Simple :
Cn = Co (1+i.n) ;
Co = 4.000
5.000 = 4.000(1+i.3) ;
i?
5/4 – 1
I=
=
3
5-4/4
¼
=
=
3
0,25
=
3
C. compuesta :
Cn = Co (1+i)n ;
1,25 = (1+i)3 ;
3
√1,25 = 1+i ;
I = 0,083~ = 8,3~ %
3
5.000 = 4.000(1+i)3 ;
(1,25)1/3 = 1+i ;
5/4 = (1+i)3 ;
(1,25)0,33 = 1+i ;
1,0772 = 1+i ;
i = 1,0772 – 1 = 0,0772 = 7,72 %
18)
Co
Co
n=5
i = 0,08
I
i = 0,09
Í
Í – I = 400 ( se pone 1º I prima pq los valores van a ser mayores)
-14-
Cn
I = Cn - Co
I = Co (1+0,08)5 - Co
I = Co . 1,469328 - Co ; I = 0,469328 Co
Ì = Co(1+0,09)5 - Co ;
Ì = 1,538624 Co ;
Ì = 0,538624 Co
0,538624Co - 0,469328Co = 400;
Co = 400/0,069 = 5.772,34 €
19)
Cn?
Co = 10.000
0,069Co = 400
I = 0,08
n = 7 años y 8 meses
Convenio exponencial :
Cn = 10000(1+0,08)7.(1+i)8/12
Cn = 10000 . 1,713824 . (1,08)0,6 ; Cn 17138,24 . 1,052646 = 18.040,51 €
Convenio lineal :
17138,24 . 1,053328 ;
El error es :
20)
15 – 14 = 1
X – 14
Cn = 10000(1+0,08)7. (1+0,08.8/12) =
Cn = 18.052,28 €
18052,28 – 18040,51 = 11,77
n?
i = 0,11
Co = 10.000
Convenio lineal y exponencial , error?
Cn = 47.000
Cn = Co (1+i)n ;
4,7 = (1+0,11)n
47000 = 10000(1+0,11)n ;
Interpolamos :
11%
14
4,310441
x
4,7
15
4,784589
4,784589 – 4,310441 = 0,474148
4,7 – 4,310441 = 0,389559
X – 14 = 0,821598 ;
x = 0,821598 + 14 = 14,821598
El error que pide el enunciado se saca de hacer la diferencia de 14,821598 con el resultado
que nos de resolviendo el ejercicio con logaritmos.
21)
i = 0,08
0≤𝑛≥1
Cn = 1(1+0,08.n) ;
Co = 1
Cn ? simple y compuesta
C. Simple
Cn = 1+0,08.n
hay que dar valores a n
-15-
n
0
0,25
0,5
0,75
1
C.Compuesta
Cn
1
1,02
1,04
1,06
1,08
n>1
n
0
0,25
0,5
0,75
1
Cn = 1(1+0,08)n = 1,08
Simple
n
1,25
1,5
1,75
2
Cn
1
1,01
1,03
1,059
1,08
Compuesta
n
1,25
1,5
1,75
2
Cn
1,1
1,12
1,14
1,16
Cn
1,1
1,12
1,14
1,16
Si nos fijamos los valores son iguales en simple que en compuesta
22)
n?
Co = 10.000
Cn = Co (1+i)n ;
i = 0,08
Cn = 43.200
43200 = 10000(1+0,08)n ;
4,32 = (1+0,08)n
8%
19
X
20
4.315701
4,32
4,660957
20 - 19
X - 19
4,660957 - 4,315701
4,32 - 4,315701
x – 19 = 0,004299.1/0,345256 = 0,01245163
x = 19,012
-16-
23)
SIMPLE
COMPUESTA
Q = R ( 1+ pb )
Q = R ( 1+ p)b
b
Q
1
Q=R(1+p)
2
Q = R ( 1+ 2p)
3
Q = R (1+3p)
………………………………..
……………………………….
b-1
Q = R(1+p(b-1))
b
Q = R(1+bp)
b
Q
1
R (1+p)
2
R (1+p)2
3
R (1+p)3
………………………..
…………………………
b-1
R (1+p)(b-1)
b
R (1+p)b
24)
0
1
2
1
4
5
2
7
8
3
10
11
4
I cutrimestres = Co . I / 3 = 5000 . 0,09 / 3 = 150 en el primer cuatrimestre
Co = 5000
i = 0,09 anual
Icuatri?
n = 4 años = 12 cuatrimestres
Cn = Co ( 1+ i3)n.3
;
i = ik . k ;
0,09 = i3 . 3
i3 = 0,09 / 3 = 0,03
Cn = 5000 (1+0,03)12 = 5000 (1,03)12
;
Cn = 7128,80 €
Se hace el tanto (i) en simple porque te dice periodo inferior al año pero el montante se hace
en compuesta; si fuese periodo superior al año se aplicaría la formula de compuesta.
25)
Co = 30000 €
a) J3 = 0,12 :
i3 = J3 / 3 = 0,12 / 3 = 0,04
i = (1+i3 )3 - 1 = (1+0,04)3 - 1 = 0,124864 ≈ 12,49%
b) i = 0,12 compuesto
c) i12 = J12 / 12 = 0,12 / 12 = 0,01
; i = (1+0,01)12 - 1 = 0,126825 ≈ 12,7%
El interés más alto es la opción c) , después la opción a) y por ultimo la b)
-17-
26)
Cn = Co (1+i)n
25.000 = 21.000(1+i)5
25 / 21 = (1+i)5
1,190476 = (1+i)5
5
√1,190476 = 1+i ; 1,03548 = 1+i
n=5
Cn = 25.000
Co = 21.000
i?
i = 0,03548 = 3,548 %
27)
i = 0,07
2.500
0
1
C
4.000
2
3
4
6.000
5
C = 2500 (1+0,07)3 + 4000 ( 1+0,07) + 6000 (1+0,07)-1
C = 2500(1,225043) + 4000(1,07) + 6000(0,934579) = 3052,61+4280+5607,48 ;
C = 12950,09
28)
i = 0,06
A = 25.000
B = 30.000
C = 70.000
n=4
i = 0,04
i´ = 0,05
i´´?
25000(1+0,04)4 + 30000(1+0,05)4 + 70000(1+i´´)4 = 25000(1+0,06)4
+30000(1+0,06)4 + 70000(1+0,06)4 ;
29246,475 + 36465,1875 + 70000(1+i´´)4 = 1,262477(125000) ;
65711,65 + 70000(1+i´´)4 = 157809,625 ;
70000(1+i´´) = 92097,98 ;
4
(1+i´´)4 = 1,31569 ;
(1+i´´) = √1,31569 ; (1+i´´) = 1,315691/4 ;
i´´= 0,07099 ≈7,1 %
1+i´´ = 1,07099 ;
-18-