Lógica proposicional: Parte II

Lectura única: Solución del ejercicio
Vamos a demostrar el teorema por contradicción.
Supongamos que α es una fórmula compuesta que no satisface el
enunciado del teorema.
!
Tenemos que considerar dos casos.
Caso I: Existen fórmulas β1 , β2 y γ2 tales que:
!
α = (¬β1 )
!
α = (β2 $ γ2 ), donde $ ∈ {∧, ∨, →, ↔}
Entonces tenemos que (¬β1 ) = (β2 $ γ2 ), por lo que el primer
sı́mbolo de β2 es ¬
!
IIC1253
–
Obtenemos una contradicción: Ninguna fórmula comienza con
el sı́mbolo ¬
Lógica Proposicional
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Lectura única: Solución del ejercicio
Caso II: Existen fórmulas β1 , β2 , γ1 y γ2 tales que:
!
α = (β1 $1 γ1 ), donde $1 ∈ {∧, ∨, →, ↔}
!
α = (β2 $2 γ2 ), donde $2 ∈ {∧, ∨, →, ↔}
!
β1 &= β2
Dado que (β1 $1 γ1 ) = (β2 $2 γ2 ) y β1 &= β2 , concluimos que β1 es un
prefijo propio de β2 o β2 es un prefijo propio de β1 .
!
Suponemos que β1 es un prefijo propio de β2 .
En este caso obtenemos una contradicción usando el siguiente lema:
Lema
Si ϕ es una fórmula y ψ es un prefijo propio de ϕ, entonces ψ no es una
fórmula
IIC1253
–
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Demostración del lema
Supongamos que ϕ es una fórmula y ψ es un prefijo propio de ϕ.
Si ψ no contiene sı́mbolos, entonces no es una fórmula y el lema queda
demostrado.
!
Supongamos entonces que ψ contiene al menos un sı́mbolo
Vamos a demostrar que el número de paréntesis izquierdos en ψ es mayor
que el número de paréntesis derechos en ψ.
!
IIC1253
–
Concluimos que ψ no es una fórmula, ¿por qué?
Lógica Proposicional
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Demostración del lema
Como ϕ es una fórmula, a cada paréntesis izquierdo le corresponde un
paréntesis derecho.
! Asignamos un color distinto a cada par, y ponemos los pares coloreados
en un conjunto A
!
¿Qué significa colorear en términos matemáticos?
Ejemplo
Para la fórmula ((p ∧ q) → (q ∨ (¬r ))) usamos la coloración:
((p ∧ q) → (q ∨ (¬r )))
y creamos el conjunto: A = {(, ), (, ), (, ), (, )}
Usando A obtenemos los números de paréntesis izquierdos y derechos de ϕ.
! ¿Cómo?
IIC1253
–
Lógica Proposicional
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Demostración del lema
Usando A también podemos obtener los números de paréntesis izquierdos y
derechos de ψ.
! Primero eliminamos de A los paréntesis eliminados desde ϕ al construir
ψ, y luego contamos
Como ψ es un prefijo de ϕ, por cada par (, ) en A del mismo color, dejamos ( o
eliminamos ambos paréntesis.
! No es posible dejar sólo a )
Además, sabemos que el último sı́mbolo de ϕ es un paréntesis )
! Ya que ϕ es una fórmula con al menos dos elementos (¿por qué?)
De lo anterior concluimos que el número de paréntesis izquierdos en ψ es mayor
que el número de paréntesis derechos en ψ.
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Lectura única: Eliminación de paréntesis
Si eliminamos algunos paréntesis de una fórmula entonces no
necesariamente vamos a tener lectura única.
!
Vamos a eliminar paréntesis para simplificar la notación, pero
teniendo cuidado de no producir ambigüedades
Ejemplo
Tenemos dos maneras de leer la expresión α = (p ∧ q ∧ r ):
!
α = (β1 ∧ γ1 ), donde β1 = p y γ1 = q ∧ r
!
α = (β2 ∧ γ2 ), donde β2 = p ∧ q y γ2 = r
Notación
Vamos a omitir los paréntesis exteriores de una fórmula: Usamos p ∧ q en
lugar de (p ∧ q).
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Semántica de la lógica proposicional
¿Cómo podemos determinar si una fórmula es verdadera o falsa?
Este valor de verdad depende de los valores de verdad asignados a
las variables proposicionales y de los conectivos utilizados.
Valuación (asignación):
σ : P → {0, 1}.
Ejemplo
σ(socrates es hombre) = 1 y σ(socrates es mortal ) = 0.
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Semántica: Definición
Dado σ : P → {0, 1}, queremos extender σ:
σ̂ : L(P) → {0, 1}.
Definición
Dado ϕ ∈ L(P),
- Si ϕ = p, entonces σ̂(ϕ) := σ(p).
- Si ϕ = (¬α), entonces
σ̂(ϕ) =
- Si ϕ = (α ∨ β), entonces
!
σ̂(ϕ) =
IIC1253
–
Lógica Proposicional
1
0
!
1 si σ̂(α) = 0
0 si σ̂(α) = 1
si σ̂(α) = 1 o σ̂(β) = 1
si σ̂(α) = 0 y σ̂(β) = 0
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Semántica: Definición (continuación)
- Si ϕ = (α ∧ β), entonces
!
1
0
si σ̂(α) = 1 y σ̂(β) = 1
si σ̂(α) = 0 o σ̂(β) = 0
- Si ϕ = (α → β), entonces
!
1
σ̂(ϕ) =
0
si σ̂(α) = 0 o σ̂(β) = 1
si σ̂(α) = 1 y σ̂(β) = 0
σ̂(ϕ) =
- Si ϕ = (α ↔ β), entonces
σ̂(ϕ) =
!
1 si σ̂(α) = σ̂(β)
0 si σ̂(α) &= σ̂(β)
Por simplicidad vamos a usar σ en lugar de σ̂.
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Semántica: Ejemplos
Supongamos que σ(socrates es hombre) = 1 y
σ(socrates es mortal ) = 0.
Entonces:
σ((socrates es hombre → socrates es mortal )) = 0
σ((((socrates es hombre → socrates es mortal ) ∧
socrates es hombre) → socrates es mortal )) = 1
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Tablas de verdad
Cada fórmula se puede representar y analizar en una tabla de
verdad.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
p∨q
0
1
1
1
p∧q
0
0
0
1
p→q
1
1
0
1
p↔q
1
0
0
1
Ejercicio
Suponga que P contiene n variables. ¿Cuántas tablas de verdad distintas
existen para L(P)?
IIC1253
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Tablas de verdad: Comparación de fórmulas
Podemos comparar fórmulas usando tablas de verdad:
p
q
r
(p ∧ q) ∧ r
p ∧ (q ∧ r )
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Concluimos que ∧ es asociativo (vamos a enunciar esto de manera formal más
adelante)
Notación
Vamos a omitir paréntesis para las fórmulas que sólo contienen ∧: Usamos
p ∧ q ∧ r en lugar de (p ∧ q) ∧ r y p ∧ (q ∧ r ).
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Tablas de verdad: Comparación de fórmulas
Otra comparación de fórmulas:
p
q
r
(p ∨ q) ∨ r
p ∨ (q ∨ r )
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Concluimos que ∨ también es asociativo (también vamos a enunciar esto de
manera formal más adelante)
Notación
Vamos a omitir paréntesis para las fórmulas que sólo contienen ∨: Usamos
p ∨ q ∨ r en lugar de (p ∨ q) ∨ r y p ∨ (q ∨ r ).
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Conectivos ternarios
Queremos definir el conectivo lógico: si p entonces q si no r .
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
si p entonces q si no r
0
1
0
1
0
0
1
1
¿Cómo se puede representar este conectivo usando ¬, ∧ y →?
IIC1253
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Conectivos ternarios (continuación)
Solución: (p → q) ∧ ((¬p) → r ).
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
si p entonces q si no r
0
1
0
1
0
0
1
1
(p → q) ∧ ((¬p) → r )
0
1
0
1
0
0
1
1
¿Por qué el conectivo es equivalente a la fórmula?
!
IIC1253
–
Porque tienen la misma tabla de verdad
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Conectivos n-arios
Usando tablas de verdad podemos definir conectivos n-arios:
C (p1 , . . . , pn ).
p1
0
0
..
.
p2
0
0
..
.
1
1
···
···
···
···
···
pn−1
0
0
..
.
pn
0
1
..
.
C (p1 , p2 , . . . , pn−1 , pn )
b1
b2
..
.
1
1
b2n
¿Es posible representar C (p1 , . . . , pn ) usando ¬, ∨, ∧, → y ↔?
IIC1253
–
Lógica Proposicional
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Conectivos n-arios
Veamos un ejemplo: C1 (p, q, r , s).
p
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
C1 (p, q, r , s)
0
1
0
0
0
0
1
0
p
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
C1 (p, q, r , s)
1
0
0
0
0
0
1
0
¿Cómo definimos C1 (p, q, r , s) usando ¬, ∨, ∧, → y ↔?
IIC1253
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Conectivos n-arios
Solución: C1 (p, q, r , s) es equivalente a la siguiente fórmula
((¬p) ∧ (¬q) ∧ (¬r ) ∧ s) ∨ ((¬p) ∧ q ∧ r ∧ (¬s)) ∨
(p ∧ (¬q) ∧ (¬r ) ∧ (¬s)) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ (¬s))
Notación
Desde ahora en adelante ¬ tiene mayor precedencia que los conectivos
binarios. Ası́ por ejemplo, (¬p) → q es lo mismo que ¬p → q y la
fórmula anterior es lo mismo que:
(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨
(p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ ¬s)
IIC1253
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Lógica Proposicional
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Conectivos n-arios
Solución a nuestro problema original:
Suponiendo que σi es la valuación correspondiente a la fila i de la
tabla de verdad de C (p1 , . . . , pn ), este conectivo es equivalente a:
%%
% #
" ## $
$
pj ∧
¬pk
.
i : bi =1
j : σi (pj )=1
k : σi (pk )=0
Conclusión
Basta con los conectivos lógicos ¬, ∨, ∧ para representar cualquier
tabla de verdad.
IIC1253
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Satisfacción de una fórmula
Definición
Una fórmula ϕ es satisfacible si existe una valuación σ tal que σ(ϕ) = 1.
Ejemplo
Las siguientes fórmulas son satisfacibles:
(p ∨ q) → r
p → ¬p
Las siguientes fórmulas no son satisfacibles:
p ∧ ¬p
(p ∨ q) ↔ ¬(p ∨ q)
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Lógica Proposicional
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