UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA

UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA.
Introducción a la trigonometría
Introducción
La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de
la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro
objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la
trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría.
2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar
calculadora.
4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario.
5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones
trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal.
6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando
calculadora.
7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos
cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º)
8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de
argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de
una función de un ángulo agudo.
1. Introducción
.
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos.
Analicemos el siguiente triángulo rectángulo:
β
3 cm
En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que
la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto,
definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si
cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente:
hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente:
90º
θ
β
4 cm
3 cm
θ
5 cm
Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo
(TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones
trigonométricas estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son relaciones
entre los lados de dicho triángulo.
Para la aplicación de las funciones trigonométricas a un TR, se debe tener claro lo que es la
hipotenusa y los catetos: cateto adyacente y cateto opuesto. En un TR, la hipotenusa será
siempre la hipotenusa y el lado mayor de los tres; pero el cateto opuesto puede convertirse en
adyacente y viceversa, todo depende del ángulo a considerar. Tengamos presente que
adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente es el que está
cerca de él, y el otro será el opuesto. Veamos un caso.
En este TR, para θ el lado adyacente es a y el opuesto es b.
β
Pero para el ángulo β, el lado adyacente es b y el opuesto es a.
b
θ
a
2. Funciones trigonométricas de ángulos agudos
Objetivos conceptuales. Definir las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo.
Objetivos procedimentales. Dado un triángulo, calcular las funciones trigonométricas. Comprobar que entre triángulos
semejantes, no varían las funcionmes trigonométricas.
Al considerar un TR, resulta que los ángulos θ y β se restringen al
intervalo [0º, 90º] Es decir que tanto θ como β sólo pueden tomar
valores entre 0º y 90º (se incluyen estos límites)
Para estos ángulos, las funciones trigonométricas ya fueron estudiadas
el año pasado. Estas funciones trigonométricas son razones
trigonométricas como a / b o b / c. Recordémoslas.
c
b
θ
a
Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),
cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la
división de un lado entre otro.
Para el ángulo θ se tiene que:
Sen θ = opuesto / hipotenusa = b / c
Cot = 1 / Tan
Cos θ = adyacente / hipotenusa = a / c
Sec = 1 / Cos
Tan θ = opuesto / adyacente = b / a
Csc = 1/Sen
β
Cot θ = adyacente / opuesto = a / b
Sec θ = hipotenusa / adyacente = c / a
Csc θ = hipotenusa / opuesto = c / b
Si tomamos el ángulo β, obtenemos:
Sen β = opuesto / hipotenusa = a / c
Cot β = adyacente / opuesto = b / a
Cos β = adyacente / hipotenusa = b / c
Sec β = hipotenusa / adyacente = c / b
Tan β = opuesto / adyacente = a / b
Csc β = hipotenusa / opuesto = c / a
¿Variarán las funciones trigonométricas entre 2 triángulos semejantes?... Evidentemente que
NO variarán porque permanece igual el cociente. Por ejemplo, para el TR cuyos lados son 4, 3 y
5, siendo a = 4, b = 3 y c = 5 (hipotenusa), se tiene que:
Sen θ = b / c = 3 / 5
Cos θ = a / c = 4 / 5
Tan θ = b / a = 3 / 4
Cot θ = a / b = 4 / 3
Sec θ = c / a = 5 / 4
Csc θ = c / b = 5 / 3
Un TR semejante al anterior se obtiene multiplicando por una constante los 3 lados.
Multipliquemos por 3, obtenemos: a = 12, b = 9 y c = 15. Recuerda que en los
triángulos semejantes, los ángulos no varían.
Para el TR semejante, tenemos:
Sen θ = b / c = 9 / 15 = 3/5
Cos θ = a / c = 12 / 15 = 4/5
Tan θ = b / a = 9 / 12 = 3/4
Cot θ = a / b = 12 / 9 = 4/3
Sec θ = c / a = 15 / 12 = 5/4
Csc θ = c / b = 15 / 9 = 5/3
Las funciones trigonométricas NO varían
entre TR semejantes. Esto es válido para
cualquier triángulo.
Actividad 1. Para el TR dado (A), calcula las 6 funciones trigonométricas (para β y θ).
Sen θ =
Cos θ = ________________ Tan θ = ________________ Cot θ = ________________ Sec θ =
Csc θ = ________________
Sen β = ________________ Cos β = ________________ Tan β =
Cot β = ________________ Sec β = ________________
Csc β = ________________
________________
________________
________________
Actividad 1b. Para el TR B
θ
20 .81
calcula las 6 funciones
trigonométricas para los ángulos β y
θ.
cm
A
4.5 cm
Ver respuestas en CD
B
β
17 cm
5 cm
Actividad 2. Se sabe que Cot β = 2/5. Calcula las razones trigonométricas para β y el otro
ángulo. Sen β = _______ Cos β = _______ Tan β = _______ Cot β = 0.4 Sec β = _______
Csc β = _______
Cos θ = _______ Sen θ = _______ Cot θ = _______ Tan θ = _______ Csc θ = _______ Sec θ = _______
discusión 1.
1. Se sabe que Sen θ = 0.24. Calculen las otras razones
trigonométricas para θ.
Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________
Sec θ = _________ Csc θ = _________
1b. Se sabe que Cos θ = 0.5. Calculen las otras razones trigonométricas para θ.
.
Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ
= _________ (ver CD)
1c. Se sabe que Sec θ = 1.2. Calculen las otras razones trigonométricas para θ.
.
Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ
= _________ (ver CD)
2. ¿Por qué la expresión Sen θ = 20/15 no tiene lógica matemática?
2b. ¿Por qué la expresión Sec θ = 15/20 no tiene lógica matemática?
(ver respuesta
en CD)
3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el doble del adyacente.
Calculen las razones trigonométricas.
Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________Csc θ =_____
3b. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el triple del adyacente.
Calculen las razones trigonométricas.
(ver respuesta en CD)
Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________Csc θ =_____
4. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de β es de 3 cm. Además, Sen β
= 0.75. Calculen los otros lados del triángulo. Adyacente = _________ Hipotenusa =
__________
5.
Se sabe que Sen θ = 0.554. Calculen el valor del
lado X y el valor de la hipotenusa.
52
θ
X
––– 3cm–––
X
= ________ Hipotenusa = ________
discusión 2. Respondan con falso (f) o verdadero (v) en cada afirmación.
1. Para un TR, Sen θ = Cos β ........................................................................... ___
2. Para un TR, Tan θ = Cot β ........................................................................... ___
3. Para un TR, Sec θ = Csc β ........................................................................... ___
4. Para un TR, la tangente puede ser cero ........................................................ ___
5. Para un TR, la tangente puede ser mayor que 1 ............................................ ___
6. Para un TR, el seno puede ser mayor que 1 .................................................. ___
7. Para un TR, el coseno puede ser mayor que 1 ............................................... ___
8. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces la tangente de θ vale 1...... ___
9. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces Sen θ = Cos θ ................... ___
3. Funciones trigonométricas de ángulos peculiares
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°.
Ocurre que las funciones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º son característicos. En
primer año se vio que:
θ
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
30º
½
3/2
1/ 3
3
2/ 3
2
60º
3/2
½
3
1/ 3
2
2 3 /3
45º
2/2
2/2
1
1
2
2
Para llegar a las anteriores respuestas, se partió de un triángulo equilátero de lado l. Ocurre que
un triángulo equilátero equivale a 2 rectangulares de ángulos 30º y 60º. Se toma en cuenta aquí
que la razón trigonométrica sólo depende de la abertura. Es decir, sólo depende del ángulo.
Altura
A un triángulo equilátero, la altura lo divide en 2 triángulos
rectángulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitágoras,
resulta que la altura es l 3 / 2. Tengamos presente que la altura
30º
l
l
60º
60
l/2
es un cateto del triángulo rectángulo; así como lo es l /2. La altura
también resulta ser la mediana y la bisectriz.
60º
l/2
Sen 30º = opuesto / hipotenusa = (l / 2) / l = 1/2 = 0.5
Cos 30º = adyacente / hipotenusa =
l
3 =l 3= 3
2
.
2
l
2
l
Tan 30º = opuesto / adyacente = (l / 2) / (l
Cot 30º = adyacente / opuesto = (l
3 / 2)
Sec 30º = hipotenusa / adyacente =
Sec = 1 / Cos
Csc 30º = hipotenusa / opuesto = (l )
= 1/
/ (l / 2) =
(l ) / (l
/ (l / 2) = 2
Por un proceso semejante llegamos a que:
Sen 60º = opuesto / hipotenusa = 3
2
3 /2)
3
3
3 / 2)
Cot = 1 / Tan
=
2/
3. Equivale a 2
Csc = 1 / Sen
3 /3
Cos 60º = adyacente / hipotenusa = 1 / 2.
Tan 60º = opuesto / adyacente = 3
Cot 60º = adyacente / opuesto = 3 /3
Sec 60º = hipotenusa / adyacente = 2.
Csc 60º = hipotenusa / opuesto = 2 / 3. Equivale a 2 3 / 3.
Es importante hacer notar que
l
no aparece en ninguna de las respuestas. Esto se debe a que,
para cualquier valor de l, las funciones trigonométricas son las mismas. Es decir que las
funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo (abertura) y no de la longitud de los lados.
Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.
45º
l
l
90º
Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es
de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es l .
2
2
45º
Sen 45º = opuesto / hipotenusa = l /
l
2 = 1/
2. Equivale a 2 / 2
Cos 45º = adyacente / hipotenusa = l / l 2 = 1 / 2. Equivale a 2 / 2
Tan 45º = opuesto / adyacente = l / l = 1
Cot 45º = adyacente / opuesto = l / l = 1
Sec 45º = hipotenusa / adyacente = l 2 / l = 2.
Csc 45º = hipotenusa / opuesto = l 2 / l = 2.
discusión 3. Demuestren que si en un TR los catetos miden l, entonces la
hipotenusa
l 2 mide
discusión 3b. Demuestren que si en un TR los catetos miden 2k, entonces la hipotenusa mide
2k 2
discusión 3c. Demuestren que si en un TR los catetos miden 3m, entonces la hipotenusa
mide
3m
discusión 3d.
2
Demuestren que si en un TR los catetos miden 4b, entonces la hipotenusa
4b 2
mide
discusión 4. Demuestren con los datos del TR siguiente (a la derecha) que
Sen θ / Cos θ = Tan θ.
h
k
discusión 5. Demuestren con los datos del TR anterior (a la derecha) que
2
2
(Sen θ) + (Cos θ) = 1.
discusión 5b. Si los catetos de un TR valen 2k, demuestren que
+ (Cos θ) 2 = 1.
θ
m
(Sen θ) 2
(ver R en CD)
4. 4
Funciones
trigonométricas
de
ángulos
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
complementarios
5.
β
θ
Este es un TR. Por lo tanto, si θ = 10º, β = 80º; si θ = 25º, β = 65º; si θ = 30º,
β = 60º... Esto es así porque θ + β = 90º. Por lo tanto se dice que θ y β son
ángulos complementarios. En general se tiene que si θ es uno de los 2
ángulos agudos, el valor del otro ángulo es 90º - θ ¿Qué ocurre con las
funciones trigonométricas de ángulos complementarios? Para averiguarlo,
realicen la actividad siguiente. Pueden realizarla en grupo.
Actividad 3. Utilizando la calculadora, llena la tabla siguiente. Para calcular la cotangente,
la secante y la cosecante, apliquen las ecuaciones: Cot θ = 1 / Tan θ, Sec θ = 1 / Cos θ, Csc θ = 1 /
Sen θ. Utilicen 2 dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, seno de 15 es 0.25881, coloca
nada más 0.26. Una vez llena la tabla, compara los valores del seno y coseno, tangente y
cotangente, secante y cosecante. ¿Qué observas?
Grados
0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
Sen θ
Tan θ
Sec θ
Infinito
Infinito
Grados
90º
75º
60º
45º
30º
15º
0º
Cos θ
Cot θ
Csc θ
Infinito
Infinito
.........................................................................................................................
.....
Si trabajaste con esmero, y observaste cuidadosamente, te habrás dado cuenta que, por ejemplo,
Sen 15 = Cos 75; Tan 60 = Cot 30; Sec 30 = Csc 60... En general se tiene que: el seno de un
ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario; la tangente de un ángulo es igual a la
Sen θ = Cos (90º - θ)
Tan θ = Cot (90º - θ)
Sec θ = Csc (90º - θ)
cotangente de su ángulo complementario; la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su
ángulo complementario.
Por lo tanto, se tiene que:
Por lo anterior se afirma que el seno y el coseno son cofunciones; También son cofunciones la
tangente y la cotangente; la secante y la cosecante.
5. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
.
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
5.1 Angulo en posición normal.
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el vértice coincide con el origen del
plano cartesiano y un lado coincide con el eje X. ¿Cuál de los 2 lados? El lado a partir del
cual se mide el ángulo. Aquí recordemos que un ángulo es positivo si se mide en el sentido
contrario a las agujas del reloj:
X
X
Los ángulos anteriores están en posición normal. Observemos que el eje X coincide con el lado
desde donde se mide el ángulo.
Consideremos el ángulo β siguiente:
Vértice
β
El ángulo β anterior está en posición normal con respecto al plano cartesiano en el gráfico
siguiente:
P(x, y)
r
θ
β
El ángulo β está en posición normal, pues
el vértice coincide con el origen del plano
cartesiano y el lado inicial coincide con el
eje X.
X
Observemos que el ángulo β es mayor que 90º. El punto P es el final del segundo lado, cuya
longitud es r (se obtiene por Pitágoras)
5.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera
Se tiene que para el ángulo β anterior, las funciones trigonométricas vienen definidas así:
Sen β = y / r
Cos β = x / r
Tan β = y / x
Cot β = x / y
Sec β = r / x
Csc β = r / y
Observemos que las funciones se han calculado como considerando el ángulo θ.
Ejemplo. Calcular las funciones trigonométricas para β en el diagrama siguiente.
3
r
β
X
-4
Solución.
Por Pitágoras se obtiene que r = 16 + 9 = 25 = 5
Sen β = y / r = 3 / 5 = 0.6
r siempre será positivo.
Tan β = y / x = 3 / - 4 = -
Cos β = x / r = - 4 / 5 = -0.8
0.75
Cot β = x / y = - 4 / 3 = -1.333
Sec β = r / x = 5 / - 4 = -1.25
Csc β = r / y = 5 / 3 = 1.666
Observemos que x es negativo.
Actividad 4. Calcula las funciones trigonométricas para β en los diagramas siguientes.
1
4
β
X
-4
2
β
X
-3
-3
Actividad 4b. Calcula las funciones trigonométricas para θ en los diagramas siguientes.
5
1
5
2
θ
-6
6
3
4
θ
-7
6
θ
-7
θ
-8
-5
θ
5
6
θ
-6
10
θ
6
θ
7
-5
8
-4
-5
-5
Ver re sp . e n C D
5.3 Signos de las funciones en los distintos cuadrantes
El signo de una función trigonométrica depende del cuadrante en que se encuentre. Recordemos
que cada cuadrante posee 90º.
I
I
Ir
P(x, y)
r
r
r
III
IV
X
El cuadrante I comprende ángulos desde 0º a
90º, el II desde 90º a 180º, el III desde 180º a
270º y el IV desde 270º a 0º.
El signo de cada función dependerá del signo de x o y; pues r siempre será positivo.
Recordemos que:
Sen β = y / r Cos β = x / r Tan β = y / x
Cot β = x / y Sec β = r / x
Csc β = r / y
Como Cot β = 1 / Tan β, Sec β = 1 / Cos β y Csc β = 1 / Sen β; estas funciones tendrán
el signo de tangente, coseno y seno respectivamente.
Observando el gráfico anterior, se tiene que:
Cuadrante I: x es positiva y y es positiva, por lo tanto las 6 funciones trigonométricas son
positivas.
Cuadrante II: x es negativa y y es positiva, por lo tanto las funciones que involucran a x son
negativas: coseno y tangente; en consecuencia también la secante y la cotangente.
Cuadrante III: x y y son negativas. Por lo tanto son negativas las funciones seno y coseno; en
consecuencia también la cosecante y la secante.
Cuadrante IV: x es positiva y y es negativa. Por lo tanto son negativas las funciones seno y
tangente; en consecuencia también la cosecante y la cotangente.
Utilizando la calculadora es fácil determinar el signo de cada función en un cuadrante
determinado. Tomemos un ángulo en cada cuadrante y saquémosle el seno, coseno y
tangente. Estos ángulos pueden ser: 30º, 100º, 200º y 300º.
Signo de cada función en los cuadrantes.
I: 30º
II: 100º
III: 200º
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
+
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
+
–
–
+
+
–
IV: 300º
–
+
–
–
+
–
En los límites de los cuadrantes, las funciones tienen valores típicos. Recordemos que
los límites son: 0º ó 360º, 90º, 180º y 270º. Estos son los ángulos cuadrantales.
Para 0º el lado inicial coincide con el lado inicial. Por lo tanto el punto P del lado
terminal tiene como coordenadas (x, 0) Lo que se tiene es una línea horizontal en X
positivo.
Esta línea horizontal es el lado adyacente (x) Pero el lado opuesto (y) vale cero. Y la
hipotenusa es igual al lado adyacente (x).
Para 90º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, y) Es decir que el
lado adyacente vale cero. Lo que se tiene es una línea vertical en y positivo que es a
la vez la hipotenusa.
Para 180º se tiene una línea horizontal en el eje X negativo. El punto P del lado
terminal tiene como coordenadas (-x, 0) La hipotenusa es x, pues siempre es positiva.
Para 270º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, -y) Lo que se tiene
es una línea vertical en el eje y negativo, que es a la vez la hipotenusa (su valor es
positivo).
P(0, y)
P(-x, 0)
P(x, 0)
P(0, -y)
Por lo tanto se tiene:
Para 0º
Para 90º
Sen 0º = 0 / x = 0
Cos 0º= x / x = 1
Tan 0º = 0 / x = 0
Csc 0º = x / 0 = ∞
Sec 0º = x / x = 1
Cot 0º = x / 0 = ∞
Sen 90º = y / y = 1
Cos 90º= 0 / y = 0
Tan 90º = y / 0 = ∞
Csc 90º = y / y = 1
Sec 90º = y / 0 = ∞
Cot 90º = 0 / y = 0
Para 180º Sen 180º = 0 / x = 0
Csc 180º = x / 0 = ∞
Para 270º Sen 270º = -y / y = -1
Cos 180º= -x / x = -1
Tan 180º = 0 / -x = 0
Sec 180º = x / -x = -1
Cot 180º = -x / 0 = -∞ o
Sec 270º = y / 0 = ∞
Csc 270º = y / -y = -1
0º
90º
180º
270º
360º
Tan 270º = -y / 0 = -∞ o
Cos 270º= 0 / y = 0
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
∞
1
∞
∞
0
∞
1
0
-∞
-1
∞
-∞
0
∞
-1
0
∞
1
∞
∞
∞
Cot 270º = 0 / -y = 0
Utiliza la calculadora para corroborar los datos. Para
90º y 270º, la tangente te marcará ERROR. Esto se
debe a que se está dividiendo entre cero. La división
entre cero es indeterminada o infinita. Para 360º, los
resultados son los de 0º
5. 4 Funciones trigonométricas de ángulos negativosñu
Un ángulo es negativo cuando se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
Aquí β se ha medido en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo
tanto es negativo. Su valor puede ser –35º o –40º, aproximadamente.
β
¿Recuerdas cuántos grados tiene el círculo?... Tiene 360º. Esto significa que si un
ángulo vale 60º, el ángulo negativo es de -300º. ¿Porqué? Porque 300º es lo que le
falta a 60º para valer 360º:
60º + 300º = 360º.
Supongamos algunos valores de β y calculemos los de θ:
Si β = 10 θ = -350
Si β = 30 θ = -330
β
Si β = 100 θ = -260
θ
Si β = 200 θ = -160
 Actividad 5. Utilizando la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente, y llena
la tabla siguiente:
β
0º
30º
60º
90º
150º
Sen β
Cos β
Tan β
θ
-360º
-330º
-300º
-270º
-210º
Sen θ
Cos θ
Tan θ
180º
200º
270º
300º
360º
-180º
-160º
-90º
-60º
0º
¿Qué observas?
Consideremos ahora las funciones trigonométricas para un ángulo y su negativo. Por
ejemplo 25º y –25º. ¿Será el seno de 25º igual al seno de –25º? Consideremos un
ángulo β y un –β.
(x, y)
Aquí se tiene que:
Sen -β = -y / r = -Sen β
r
β
Cos -β = x/ r = Cos β
-β
r
Tan -β = -y / x = -Tan β
Cot -β = x / -y = -x / y = -Cot β
Sec -β = r / x = Sec β
(x, -y)
Csc -β = r / -y = -r / y = -Csc β
Vemos que para β, positivo o negativo, el coseno y la secante NO cambian (Cos-β = Cosβ) Las
otras funciones sí cambian.
 Cálculo del ángulo a partir de la función trigonométrica.
Para este triángulo se tiene que:
Sen β = 3 / 5.8 = 0.517
Cos β = 5 / 5.8 = 0.862
5.8 cm
β
3 cm
Tan β = 3 / 5 = 0.6
Pero... ¿Cuál es el valor del ángulo β?
5 cm
Utilizando la calculadora, el ángulo β se calcula con las teclas:
Sen -1
Cos -1
Para el caso anterior, como Sen β = 0.517, entonces β = Sen -1 0.517 = 31º
Puede utilizarse cualquier función: Tan β = 0.6, entonces: β = Tan -1 0.6 = 31º
discusión 6.
Para el gráfico mostrado, calculen el menor ángulo que forman: 1.
A y B ___________ 2. A y C ___________ 3. A y D ___________ 4. B y C ___________ 5. B y D ___________ 6. C y D
___________
3
2
Tan -1
B
A
-5
6
-4
4
D
C
-2
-3
discusión 7. Calculen los lados faltantes en los triángulos siguientes:
1
2
3
4
8.06 cm
6
cm
21.8º
18.4º
5 cm
29.71º
36.87º
6 cm
5.5 Reducción de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º se pueden expresar en términos de un
ángulo agudo que el lado terminal forme con el eje X positivo o negativo. Y es que ocurre que
la función trigonométrica de un ángulo mayor de 90º es numéricamente igual al ángulo que el
lado terminal forma con el eje X positivo o negativo (esto se vio en la página 62)
(x, y)
R
β
Aquí ocurre que son numéricamente iguales: el seno de β y
el seno de R; el coseno de β y el coseno de R, la tangente
de β y la tangente de R...
En este caso, el ángulo R se conoce como ángulo de
referencia. El ángulo de referencia es el ángulo positivo
formado por el lado terminal con el eje X (positivo o
negativo) Observemos que el ángulo está en posición
normal.
R
R
Aquí R es el ángulo de referencia en ambos casos
Si β es el ángulo en estudio, y R es el de referencia, se tiene lo siguiente:
Para el segundo cuadrante: Sen β = Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,
Sec β = – Sec R, Csc β = Csc R.
Para el tercer cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = Tan R, Cot β = Cot R,
Sec β = – Sec R, Csc β = – Csc R.
Para el cuarto cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,
Sec β = Sec R, Csc β = – Csc R.
SOLUCIONES.
Actividad 1.
Sen θ = 0.817 Cos θ = 0.577 Tan θ = 1.416 Cot θ = 0.706 Sec θ = 1.733 Csc θ =
1.22
Sen β = 0.577
Cos β = 0.817
Tan β =0.706
Cot β = 1.416
Sec
β = 1.22
Csc β = 1.733
Actividad 2. Sen β = 0.93 Cos β = 0.37 Tan β = 2.5
Cot β = 0.4
Sec β = 2.7
Csc β =
Tan θ = 0.4
Csc θ = 2.7 Sec θ =
1.08
Cos θ = 0.93 Sen θ = 0.37 Cot θ = 2.5
1.08
discusión 1. 1.
Cos θ = 0.97 Tan θ = 0.278
Cot θ = 3.597 Sec θ = 1.03 Csc θ =
4.17 Como Sen θ = 0.24, entonces opuesto es 0.24 y la hipotenusa es 1; o también
se puede multiplicar por 100, y tenemos: opuesto = 24, hipotenusa es 100. Por
Pitágoras, se tiene que: adyacente = 97.
2. Porque aparece que el opuesto es mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible.
3. Sen θ = 0.894 Cos θ = 0.45 Tan θ = 2 Cot θ = 0.5 Sec θ = 2.22 Csc θ = 1.118
Se le puede dar el valor de 2 al opuesto de θ, entonces el adyacente es 1.
4. Adyacente = √ 7 cm Hipotenusa = 4 cm. La hipotenusa se despeja de 0.75 = 3 /
hipotenusa.
5.
X=6
Hipotenusa = 5 El opuesto se calcula despejando de 0.554 = opuesto / √ 52, y es 4.
Con este dato y 3, aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa y X.
discusión 2. 1.
v 2. v 3. v Estas 3 respuestas se confirman en la actividad 2 4. v Esto
ocurre cuando el opuesto es cero 5. v Siempre que el opuesto sea mayor que el adyacente 6.
f La hipotenusa es siempre mayor que cualquier cateto 7. f Sería necesario, como en el caso
anterior, que el cateto respectivo fuera mayor que la hipotenusa. Esto es imposible 8. v 9. v
discusión 4. La hipotenusa es
Este factor se anula al hacer Senθ/Cosθ, y nos
k2 + m2
queda k/m, que es la tangente.
Actividad 3.
Grados
0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
Sen θ
0
0.26
0.5
0.71
0.87
0.97
1
Tan θ
Sec θ Grados
0
1
90º
0.27
1.03
75º
0.58
1.15
60º
1
1.41
45º
1.73
2
30º
3.73
3.86
15º
Infinito Infinito
0º
Cos θ
0
0.26
0.5
0.71
0.87
0.97
1
Cot θ
Csc θ
0
1
0.27
1.03
0.58
1.15
1
1.41
1.73
2
3.73
3.86
Infinito Infinito
Actividad 4.
1. Sen β = -0.6
-1.666
Cos β = 0.8
Tan β = -0.75
2. Sen β = -0.6 Cos β = -0.8 Tan β = 0.75
-1.666
Cot β = -1.333 Sec β = 1.25
Csc β =
Cot β = 1.333
Csc β =
Sec β = -1.25
Actividad 5.
Β
0º
30º
60º
90º
150º
180º
200º
270º
300º
360º
Senβ
0
0.5
0.86
1
0.5
0
-0.34
-1
-0.86
0
Cosβ
1
0.86
0.5
0
-0.86
-1
-0.94
0
0.5
1
Tanβ
0
0.58
1.73
+∞
-0.58
0
0.36
+∞
-1.73
0
θ
-360º
-330º
-300º
-270º
-210º
-180º
-160º
-90º
-60º
0º
Senθ
0
0.5
0.86
1
0.5
0
-0.34
-1
-0.86
0
Cosθ
1
0.86
0.5
0
-0.86
-1
-0.94
0
0.5
1
Tanθ
0
0.58
1.73
+∞
-0.58
0
0.36
+∞
-1.73
0
L@s alumn@s deben observar que el valor de la función es igual para el ángulo positivo que
para el complemento negativo.
discusión 6.
171.8º
1. A y B 116.57º 2. A y C 174.1º 3. A y D 55.3º 4. B y C 57.5º 5. B y D
6. C y D 130.6º
Aquí se calcula el ángulo de cada lado con el eje X positivo o el
ángulo con el eje más cercano. Luego se hacen las sumas y restas necesarias. Por ejemplo, con
Tan-1, encontramos que A forma 36.87 con X; y B forma 26.56º con –X. Por lo tanto entre A y
B hay 180º - (36.87 + 26.56)º = 116.57º
discusión 7. 1.
2 cm y 5.38 cm
2. c cm y 6.32 cm
3. 4 cm y 7 cm
4. 8 cm y 10 cm