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X Congreso Nacional de Matemática Educativa
Universidad de San Carlos de Guatemala
Edison De Faria Campos
21 al 25 de noviembre del 2005
1
Geometría con Cabri: Un viaje con Voyage 200
Edison De Faria Campos
Universidad de Costa Rica
CIMM, ASOMED
edefaria@cariari.ucr.ac.cr
Resumen
En este taller utilizaremos la nueva calculadora graficadora Voyage 200 de Texas
Instruments como un recurso didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
geometría euclidiana. Actividades de simulación, exploración y conexiones entre múltiples
sistemas de representaciones serán desarrolladas por los participantes.
La National Council of Teachers of Matematics ( NCTM) recomienda la integración de la
tecnología en todos los niveles de la enseñanza de matemática para:
¾ Explorar y experimentar con ideas matemáticas tales como relaciones, propiedades
numéricas y algebraicas, y funciones.
¾ Desarrollar y reforzar habilidades tales como cálculos, gráficas, y análisis de datos.
¾ Dar énfasis al proceso de resolver problemas con datos reales, en lugar de
concentrarse en los cálculos asociados con los problemas.
¾ Acceder ideas matemáticas y experiencias que van más allá de los niveles
limitados por los cálculos tradicionales con papel y lápiz, permitiendo elevar el
nivel de abstracción y generalización.
¾ Desarrollar conceptos y reconocer patrones.
¾ Evaluar habilidades matemáticas y conceptos.
¾ Construir modelos.
¾ Experimentar, conjeturar y verificar propiedades matemáticas.
¾ Explorar y desarrollar nuevas formas de enseñar.
Además, investigaciones realizadas por Duval (1992) reportan que en estudios en donde se
presente un enunciado en el cual están en juego varios sistemas de representación, es
importante analizar las articulaciones que hay de un sistema a otro.
Concuerdo la afirmación de Kaput (1992) de que los sistemas de representaciones son un
aspecto central de la comprensión del sujeto acerca de los objetos matemáticos y sus
relaciones y de las actividades matemáticas que éste ejecuta cuando realiza tareas que
tienen que ver con esos objetos.
La aplicación Cabri Geometry nos permite por un lado realizar “experimentos”
geométricos, de manera que los estudiantes lleguen a establecer las relaciones adecuadas y
obtener sus propias conclusiones, y por otro lado facilita la conexión interna entre distintas
representaciones matemáticas (Bongiovanni, V., Campos T., Almouloud, S. 1997; De
Faria, 1999, 2000).
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Actividad 1: Un problema de optimización
Se construirá un oleoducto desde una refinería hasta unos tanques de almacenamiento,
atravesando un pantano. El costo de construcción a través del pantano es de $ 50.000,00 por
kilómetro y sobre tierra firme de $25.000,00. ¿Cómo debe construir el oleoducto para que
el costo de construcción sea mínimo?
Pasos:
1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre aplic1 (en el espacio
correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de
Cabri Geometry.
2. Como haremos el dibujo a escala utilice Š, Format, activar cuadriculado (Grid, on).
Presione „ 2, seleccione dos puntos consecutivos sobre el cuadriculado (grid) y
calcule la distancia entre ellos (ˆ 1). La distancia entre dos puntos consecutivos del
cuadriculado (0,5 cm) representará 1 Km.
3. Construya una recta horizontal L1 („ 4: Line) sobre dos puntos del cuadriculado, e
cuatro puntos del cuadriculado sobre L1, construya una recta horizontal L2.
4. Construya un punto A en un punto del cuadriculado sobre L1 („ 2). Este punto
representará el oleoducto. Construya un punto B en L1 sobre el punto del cuadriculado
que se encuentra a 10 puntos de distancia de A
5. Construya una recta L3 que pasa por B y que sea perpendicular a L1 († 1). Sea C el
punto de intersección entre L2 y L3 („ 3). Oculte L3 (‰ 1).
6. Construya un punto P sobre L2, y los segmentos CP y PA.
7. Construya una recta L4 que pasa por P y que sea perpendicular a L1. Sea D el punto de
intersección de L4 con L1. Oculte L4.
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8. Mida las longitudes de los segmentos AP, PC, AD (ˆ1).
9. Calcule el costo de la construcción del oleoducto Costo = 50000 AP + 25000 PC (ˆ
6).
10. Capture las medidas AD, Costo (ˆ 7, opción 2 para definir entradas), seleccione la
longitud del segmento AD, la medida Costo, y presione ¥ D para capturar estos
datos. Los resultados son almacenados en las dos primeras columnas del archivo
sysdata.
11. Seleccione el punto P y utilice las teclas ‚ y @ (presionadas simultáneamente) para
moverlo a una nueva posición. Presione ¥ D para capturar la nueva información en el
archivo sysdata.
12. Repita el procedimiento anterior varias veces, con el objetivo de determinar
aproximadamente la posición del punto P que produce el valor mínimo para el costo. El
valor observado debe ser multiplicado por dos, y la unidad cambiada de cm a Km,
debido al cambio de escala que estamos utilizando. Las figuras que siguen representan a
cuatro capturas de datos.
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Utilice este procedimiento (registro de figuras del Cabri Geometry) ubicando el origen en el
punto A, para obtener un valor aproximado del costo mínimo de construcción del oleoducto
y la distancia correspondiente entre el punto D y el punto A.
Ahora utilizaremos un sistema semiótico distinto: una tabla con los valores capturados en el
ambiente Cabri Geometry y almacenados en sysdata.
13. Presione O 6, opción 2, seleccione sysdata en el campo Variable y presione dos
veces ¸. Aparecerá una tabla con los datos capturados en Cabri Geometry. La
columna 1, c1, contiene los valores de AD y la columna 2, c2, contiene los valores del
costo de construcción del oleoducto.
14. Presione „ para configurar el tipo de gráfico estadístico a utilizar, escoger el primero
gráfico (plot) desocupado, y presione ƒ para definir los parámetros, seleccione la
opción 1 para Plot Type, opción 1 para Mark, digite c1 para x:, c2 para y: y presione
¸ dos veces.
15. Presione N (Escape) para regresar al editor de datos, presionar ‡, seleccione la
opción 9 para Calculation Type para hacer una regresión cuadrática, digite c1 para x:,
c2 para y: y almacene la ecuación de regresión en la función y1(x). Presione ¸
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Aparece la ecuación de la curva de mejor ajuste para los datos capturados, mediante
regresión cuadrática.
16. Presione ¥ W para ingresar en el editor de funciones (Y=), y observe que la ecuación
de la regresión y del gráfico estadístico se encuentran seleccionadas. Presione „ 9 para
graficar los datos capturados y la función de ajuste. Utilice ‡ 3 para determinar el
punto de mínimo para la curva de ajuste: mueva el cursor con @ hacia la izquierda del
punto de mínimo y seleccione la cuota inferior. Repita el procedimiento para la cuota
superior y capture el punto de mínimo en la pantalla principal presionando ¥ H.
La solución encontrada mediante regresión cuadrática es la siguiente: la proyección
D del punto P que produce un costo mínimo (de acuerdo a los datos anteriores) se
encuentra sobre la recta L1, aproximadamente a 2*1.00492 Km 2.00984 Km del
punto A. El costo mínimo aproximado es de 2*¢ 212.619,00=¢ 425.218,00.
17. Utilice regresión de cuarto grado para la curva de ajuste en el paso 15.
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Para los datos obtenidos y utilizando regresión de cuarto grado, el punto D se encuentra
a aproximadamente 2.3165km del punto A, y el costo aproximado es de ¢ 423.230,00.
Ahora utilizaremos el registro de cálculo simbólico (CAS) de la calculadora.
18. Como ubicamos el origen en A, el costo de la construcción del oleoducto es la siguiente
función de x definida en el intervalo [0,10]: f ( x) = 50000 x 2 + 16 + 25000(10 − x) . La
figura que sigue muestra los pasos seguidos para obtener la solución utilizando
comandos del ambiente de cálculo simbólico de la TI92 desde la pantalla principal. Los
comandos pueden ser digitados directamente, o bien obtenidos del menú † 1 (Define),
… 6 (fMin), … 1 para calcular derivada, „ 1 para resolver la ecuación que permite
determinar los puntos críticos de la función de costo.
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Las soluciones encontradas al utilizar el comando fMin y el comando de derivación
simbólica seguido por el comando solve son bastante parecidas. Para notar la diferencia
entre ellas, tendremos que utilizar mas cifras significativas.
Para finalizar utilizaremos los registros de representación tabular y gráfico de la
calculadora.
19. Presione ¥ W para ingresar en el editor de funciones (Y=) y digite la ecuación
correspondiente a f(x). Presione ¥ E para ingresar en el editor de ventana (WINDOW)
y digite los parámetros para la graficación.
20. Presione ¥ R para graficar e ‡ 3 para determine o ponto de mínimo.
21. Presione ¥ T, escoger los parámetros bien cerca del punto de mínimo, y presione ¥
Y para ver la tabla.
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Podemos reiniciar la tabla en el valor mínimo encontrado y reducir el valor de ∆tbl para
obtener mejores aproximaciones para el costo mínimo.
Actividad 2: Construyendo una caja de volumen máximo
El objetivo de esta actividad es el de construir una caja de volumen máximo, recortando
cuadrados del mismo tamaño en las esquinas de una lámina de dimensiones 25 unidades x
30 unidades.
25
30
Pasos:
1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre aplic2 (en el espacio
correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de
Cabri Geometry.
2. Utilice Š, Format, activar cuadriculado (Grid, on). Display precision (Fix 1). Length
& Area (mm). La distancia entre dos puntos consecutivos del cuadriculado representará
5 unidades.
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3. Construya un segmento OB sobre 5 puntos del cuadriculado (25mm) en la parte
superior derecha de la pantalla. Utilice † para bisecar OB. Sea A el punto medio de
OB.
4. Oculte el segmento original OB y el punto O ( ‰ Hide/Show). Construya el segmento
AB (mide 12.5 mm de longitud). Construya un punto C sobre AB („ Point on Object).
C será utilizado como punto de control de la longitud del recorte de la caja.
5. Construya un rectángulo de 25 unidades x 30 unidades (… Polygon) en el lado
izquierdo de la pantalla.
6. Transfiera la longitud del segmento AC († 8) a cada vértice del rectángulo (Marcar A,
C y después cada vértice del rectángulo. Repita el procedimiento para cada vértice).
7. Construya segmentos conectando los puntos de intersección del polígono con las
circunferencias („ 3, señale la circunferencia y posteriormente el polígono. „ 5 para
construir los segmentos).
8. Oculte el polígono (‰ 1), las circunferencias y sus centros.
9. Construya segmentos DE, FG („ 5) y mida sus longitudes (ˆ 1). Mida la longitud de
AC.
10. Calcule ((ˆ 6) el volumen de la caja: V = AC * DE * FG . El volumen aparece como R
en la figura. Aquí AC es la altura de la caja, DE el ancho y FG el largo.
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11. Construya la caja: Con („ 6) construya 3 rayos y transfiera las medidas de los
segmentos AC, DE y FG sobre los rayos († 9). Para ello señale la medida, el vértice
de la nueva caja y ajuste sobre el rayo el segmento generado.
12. Oculte los rayos (‰ 1) y construya los tres segmentos con los puntos correspondientes.
Utilice Š, Format para desactivar el cuadriculado.
13. Utilice († 2) y („ 3) para construir las rectas paralelas a los segmentos y puntos de
intersección de tal forma que los vértices de la caja sean construidos. Oculte las rectas y
construya los segmentos (‰ 1 y „ 5).
Para cambiar R por V, señale el texto que contiene R con su valor y presione ¸
dos veces. Con las teclas ¥@ posicione sobre la letra R y digite V. Posteriormente
digite =. A indica el ancho, L el largo y H la altura de la caja, es decir, AC = H ,
DE = A , FG = L
14. Capture las medidas AC , V (ˆ 7, opción 2 para definir entradas), seleccione la altura
H el volumen V y presione ¥ D para capturar estos datos. Los resultados son
almacenados en las dos primeras columnas del archivo sysdata.
15. Seleccione C (punto de control) y utilice las teclas ‚ y @ (presionadas
simultáneamente) para moverlo a una nueva posición. Presione ¥ D para capturar la
nueva información en el archivo sysdata. Repita el procedimiento para capturar varios
datos.
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16. Ingrese en el editor de datos (O 6, opción 2), seleccione sysdata en el campo
Variable y presione dos veces ¸. Aparecerá una tabla con los datos capturados en
Cabri Geometry. La columna 1, c1, contiene los valores de la altura y la columna 2, c2,
contiene los valores del volumen de la caja.
17. Configure los parámetros para graficar los datos y la regresión cúbica para la curva de
mejor ajuste.
18. Determine el volumen máximo y el correspondiente valor de la altura de la caja.
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Actividad 3: Algunas propiedades de círculos
El objetivo de la actividad es descubrir algunas propiedades relacionadas con cuerdas o
rectas secantes a un círculo.
Pasos :
1. Construya un círculo arbitrario.
2. Determine un punto arbitrario en el plano y etiquétalo con la letra X.
3. Construya dos cuerdas arbitrarias al círculo que pasen por el punto X (si X es un punto
interior al círculo), o bien dos rectas que pasan por X y que son secantes al círculo (si X
es exterior al círculo).
4. Sean P, Q los puntos de intersección de una de las cuerdas (o recta secante) con la
circunferencia, R, S los puntos de intersección de la otra cuerda (o recta secante) con la
circunferencia.
5. Calcule las longitudes de los segmentos XP, XQ, XR y XS.
6. Arrastre el punto X y registre 5 observaciones con las medidas anteriores.
−−− −−−
−−− −−−
7. Calcule XP. XQ y XR. XS
8. ¿Qué se puede concluir?
Desarrollo :
1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre activ3 (en el espacio
correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de
Cabri Geometry.
2. Construya un círculo. …1 :Circle
3. Construya un punto etiquetado con la letra X. „1 :Point, ‰4 :Label, seleccione el
punto y escriba X.
4. Con „4 :Line, seleccione el punto X y mueva el cursor para colocar la recta en una
posición deseada, y presione ¸.
5. Repita el paso anterior para construir la otra cuerda (o recta secante).
6. Con „3 :Intersection Point, seleccione la circunferencia y cada una de las cuerdas (o
rectas secantes) para obtener los puntos de intersección de ellas con la circunferencia.
Etiquétalos con las letras P, Q, R y S, de tal forma que P y Q se encuentren sobre una de
ellas, R y S se encuentren sobre la otra.
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7. Calcule las longitudes de los segmentos XP, XQ, XR y XS. Utilice ˆ1 :Distance &
Length, seleccione X y P, presione ¸. En la pantalla aparecerá el valor de la
longitud de XP. Repita el procedimiento para calcular las longitudes de XQ, XR y XS.
8. Arrastre el punto X y observe como las medidas de los segmentos cambian. Anote las
observaciones.
Observación
medida de XP
medida de XQ
medida de XR
medida de XS
1
−−− −−−
2
3
4
5
−−− −−−
9. Calcule los productos XP. XQ y XR. XS . Para ello puede utilizar la línea de entrada
de la pantalla Home o bien ˆ6 :Calculate, seleccione cada número, presione la tecla
de multiplicación ù entre los dos números, y apriete la tecla ¸.En la pantalla de
trabajo aparecerá el resultado de la multiplicación precedido por R :.
−−− −−−
10. ¿ Qué se puede conjeturar respecto a los productos XP. XQ y?
11. Investigue el resultado anterior en libros de geometría, y analice su demostración.
Actividad 4: Algunas propiedades de círculos y triángulos
El objetivo es encontrar una fórmula que relaciona tres cantidades que aparecen en una
construcción geométrica envolviendo circunferencias y triángulos.
Pasos :
1. Construya un triángulo rectángulo RIT, con ángulo recto en R.
−−−
2. Construya un círculo con centro en I y radio RI .
3. Construya el punto H de intersección del círculo con el segmento IT.
−−−
4.
5.
6.
7.
Construya un círculo con centro en T y radio RT .
Construya el punto G de intersección del nuevo círculo con el segmento IT.
Oculte los círculos.
Construya la recta perpendicular a RT que pasa por H.
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8. Construya el punto A de intersección de la recta con el segmento RT.
9. Construya la recta perpendicular a RI que pasa por G.
10. Construya el punto N de intersección de la recta anterior con el segmento RI
11. Oculte las rectas perpendiculares.
12. Construya los segmentos HA y GN.
13. Mida los segmentos HG, HA y GN.
14. Haga una tabla con los valores anteriores
15. Arrastre los vértices I o T del triángulo, y registre algunos valores solicitados en 13.
16. Encuentre una fórmula que relacione las medidas de los segmentos HG, HA y GN.
17. Repita los pasos 13, 14 y 15 para encontrar una fórmula que relacione las medidas de
los segmentos GI, GH y HT.
Desarrollo :
1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre activ4 (en el espacio
correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de
Cabri Geometry.
2. Construya un triángulo rectángulo RIT. Utilice …1 :Triangle, ‰4 :Label, seleccione
los vértices y escriba R, I y T. Utilice R para el ángulo recto.
−−−
3. Con …1 :Circle, construya un círculo con centro en I y radio igual a RI .
4. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección del círculo con el
segmento IT. Etiquétalo con la letra H.
−−−
5. Construya el círculo con centro en T y radio RT , con …1 :Circle.
6. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección del círculo anterior con
el segmento IT. Etiquétalo con la letra G.
7. Utilice ‰1 :Hide/Show para ocultar los círculos.
8. Con †1 :Perpendicular Line, construya la recta que pasa por H y que es perpendicular
al lado RT del triángulo.
9. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección de la recta anterior con
el segmento RT. Etiquétalo con la letra A.
10. Con †1 :Perpendicular Line, construya la recta que pasa por G y que es perpendicular
al lado RI del triángulo.
11. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección de la recta anterior con
el segmento RI. Etiquétalo con la letra N.
12. Utilice ‰1 :Hide/Show para ocultar las perpendiculares.
13. Construya los segmentos HA y GN con „5 :Segment. Seleccione los extremos de los
segmentos.
14. Con ˆ1 :Distance & Length, mida las longitudes de los segmentos HG, HA y GN.
15. Haga una tabla con los valores anteriores. Utilice ˆ7 :Collect Data, 2 :Define Entry.
Seleccione el número que representa la medida del segmento HG y presione ¸.
16. Repita el mismo proceso para los números que representan las medidas de los
segmentos HA y GN. Con esto definimos tres columnas de la tabla para almacenar los
−−−
−−−
−−−
valores de HG , HA y GN . Con ¥ D procedemos a almacenar en la tabla los tres
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valores, en el orden en que fueron seleccionados . En la línea de estado aparece la
indicación: Data placed in variable sysdata.
17. Arrastre el punto I o T con la tecla ‚ y el cursor @, manteniendo recto el ángulo
R, al finalizar cada movimiento, presione ¥ D, para que los nuevos valores queden
registrados en la tabla.
18. Para averiguar los valores medidos de los segmentos en la tabla, utilice O 6 :
Data/Matrix Editor, 2 :Open, Folder : main, Variable : sysdata, o bien utilice Š B:
Data View. Esto permite abrir la tabla con los datos registrados en el experimento
realizado con la construcción anterior. ¿ Cuál es la fórmula que relaciona las tres
cantidades representadas en la tabla ? (Su tabla no será exactamente como la que
sigue)
19. Limpie la tabla anterior, para construir una nueva tabla. Utilice ƒ8 :Clear Editor, y
seleccione la opción “yes”.
20. Repita los pasos 13 al 17 con las medidas de los segmentos GH, HT y GI
¿ Cuál es la fórmula que relaciona las tres cantidades representadas en la
tabla ? (Su tabla posiblemente no contiene los mismos números que aparecen en la
tabla que sigue)
.
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Actividad 5: Construcción de dos macros
El objetivo es elaborar una macro que permita construir un triángulo equilátero a partir de
un segmento dado y otra macro que determine el centroide de un triángulo. Las macros
serán utilizadas posteriormente en el teorema de Napoleón.
Macro que construye un triángulo equilátero
Pasos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Construya un segmento AB.
Construya una circunferencia con centro en A y con B como punto para el radio.
Construya una circunferencia con centro en B y con A como punto para el radio.
Determine un punto C de intersección entre las dos circunferencias.
Oculte todos los objetos, excepto los puntos A, B y C.
Construya el triángulo ABC. Verifique que este triángulo es equilátero(calculando los
ángulos o bien las longitudes de los lados. Mueva uno de los vértices del triángulo, para
verificar que el triángulo es verdaderamente equilátero.
7. Utilice † 6 para crear la macro. Seleccione como objeto inicial los puntos extremos
del segmento AB y como objeto final el triángulo equilátero. Defina la macro con el
nombre triequi, nombre del objeto trianguloequilatero y guárdelo en la variable macro1.
8. Borre la pantalla y construya un segmento. Ejecute la macro triequi con † 6 ,1.
Seleccione el nombre de la macro (triequi) y los puntos extremos del segmento.
Macro que construye el baricentro (centroide) de un triángulo
Pasos:
1.
2.
3.
4.
Construya un triángulo ABC.
Construya las tres medianas del triángulo ABC.
Determine el punto común a las tres medianas del triángulo ABC (baricentro).
Arrastre cualquiera de los vértices del triángulo ABC y observe lo que sucede con el
baricentro del triángulo.
5. Construya una macro que reciba como objeto inicial un triángulo, y devuelve el
centroide o baricentro del mismo.
Desarrollo :
1. Ingrese en la aplicación Cabri.
2. Determine tres puntos no colineales A,B y C. Utilice „1 :Point para seleccionar los
puntos, y ‰4 :Label para etiquetar los puntos con las letras A,B,C.
3. Construya el triángulo ABC con …3 :Triangle.
4. Construya las medianas del triángulo ABC. Con †3 :Midpoint, determine el punto
medio de cada uno de los lados del triángulo ABC, y con „5 :Segment, construya el
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segmento que une cada vértice del triángulo, al punto medio del lado opuesto, es decir,
las medianas.
5. Etiquete con la letra Q el punto de intersección de las medianas ( „ 3 :Intersection
Point, y seleccione cada una de las tres medianas).
6. Arrastre cualquiera de los vértices del triángulo ABC, y observe lo que sucede con en
punto Q. ¿ Qué conclusiones se pueden sacar ? ¿ Se encuentra Q siempre en el interior
del triángulo ? Anote sus observaciones.
Observación
1
2
3
4
5
El punto Q es común a las 3 medianas
El punto Q no es común a las 3 medianas
Q es exterior al triángulo
Q es interior al triángulo
7. Construya una macro denominada centroide que recibe como objeto inicial un triángulo
y como objeto final el centroide del triángulo.
Actividad 6: El teorema de Napoleón
El objetivo es utilizar las macros triequi y centroide para “descubrir” el teorema de
Napoleón.
Pasos :
1. Construya un triángulo arbitrario ABC.
Ejecute la macro triequi para construir un triángulo equilátero sobre cada uno de los
lados del triángulo ABC.
2. Ejecute la macro centroide para construir el baricentro de cada uno de los triángulos
equiláteros construidos en el paso anterior. Sean M, N y P los baricentros
construidos.
3. Construya el triángulo MNP. Mida sus lados o bien sus ángulos para verificar que el
triángulo MNP es equilátero. Mueva uno de los vértices del triángulo original ABC, y
compruebe que el triángulo MNP se mantiene equilátero. El triángulo MNP se conoce
como triángulo exterior de Napoleón.
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4. Refleje cada centroide M, N y P respecto a su correspondiente lado en el triángulo ABC.
Sean Q, R y S los puntos reflejados.
5. Construya el triángulo QRS, y verifique que el mismo es un triángulo equilátero,
conocido como triángulo interior de Napoleón.
6. Mida las áreas del triángulo ABC y de los triángulos de Napoleón interno y externo.
¿Qué relación existe entre estas tres áreas?
Actividad 7: Construcción de una parábola
Queremos construir una parábola con foco y directriz conocidos.
Pasos :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Construya una recta L(directriz) y un punto F(foco) fuera de la recta L.
Construya un punto P sobre la recta L.
Construya la mediatriz L’ entre los puntos F y P.
Construya una recta L’’ que pasa por P y es perpendicular a L.
Sea C el punto de intersección entre L’ y L’’.
Oculte las rectas L’ y L’’.
Determine el lugar geométrico del punto C cuando el punto P se mueve sobre la recta L.
† A:Locus, seleccione C, seleccione P.
Otra opción sería utilizar trace. ‰ 2:Trace On/Off, y mover el punto P sobre la recta
L, para obtener la traza del punto C.
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Actividad 8: Construcción de una elipse
El objetivo es construir una elipse con focos y eje mayor conocidos.
Pasos :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Construya el segmento AB que representa el eje mayor de la elipse.
Construya un punto C en el segmento AB.
Oculte el segmento AB. Quedan los tres puntos: A, B y C.
Construya los segmentos AC y CB.
Construya los puntos F1 y F2 (focos) fuera de los segmentos AC y CB.
Utilice el comando compás, † 8:Compass para construir circunferencias centradas en
F1 y F2, con radios iguales a las longitudes de los segmentos AC y CB
respectivamente. Sean P y Q los puntos de intersección de las dos circunferencias. Si las
circunferencias no se intersecan, mueva uno de los focos en la dirección del otro.
7. Oculte las circunferencias, y utilice † A:Locus para construir el lugar geométrico de P
cuando C se mueve sobre el segmento AB. Repita el procedimiento para el punto Q.
8. Mueva uno de los extremos del segmento AB para observar el cambio correspondiente
en la elipse.
Actividad 9: Un problema de máximos y mínimos
Determinar el rectángulo de perímetro constante con área máxima.
Pasos :
1.
2.
3.
4.
5.
Construya el segmento AB que representa el semiperímetro del rectángulo.
Construya un punto C sobre el segmento AB.
Oculte el segmento AB y construir los segmentos AC y CB.
Construya un punto O fuera del segmento AB.
Construya una circunferencia centrada en O con radio igual a la longitud de AC, y otra
con centro O y radio CB. † 8:Compass, seleccione el segmento AC y el punto O.
Repita el procedimiento para el segmento CB y el punto O.
6. Construya un rayo L con punto inicial en O.
7. Construya una recta L’ que pasa por O y que es perpendicular al rayo L.
8. Construya los puntos P y R de intersección de L’ con una de las circunferencias y L con
la otra circunferencia respectivamente.
X Congreso Nacional de Matemática Educativa
Universidad de San Carlos de Guatemala
Edison De Faria Campos
21 al 25 de noviembre del 2005
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9. Construya una recta perpendicular a L por el punto R, y una recta perpendicular a L’
por el punto P. Sea Q el punto de intersección de las dos perpendiculares.
10. Oculte el rayo L, la recta L’ y las dos rectas perpendiculares.
11. Construya el polígono OPQR. Este polígono es un rectángulo cuyas medidas de los
lados son las longitudes de los segmentos AC y CB.
12. Calcule el área del rectángulo OPQR.
Mueva el punto C sobre el segmento AB, hasta encontrar el valor máximo para el área del
rectángulo. ¿Cuándo ocurre esto?
Actividad 10: Utilizar
geométricos.
Cabri para descubrir propiedades invariantes de objetos
Una aplicación didáctica de las macros de Cabri es la producción de cajas negras
(Acosta, 2002). Son macros que producen un determinado resultado en la pantalla, que se
debe analizar para descubrir y reconstruir el proceso de construcción de la mismas e
identificar relaciones invariantes en la figura. El docente prepara la construcción, oculta
todos los objetos excepto los iniciales. Los estudiantes abren la macro, la ejecutan, hacen
conjeturas y al final intentan reproducir la construcción.
Pasos
1. Construya un segmento y un punto sobre el mismo.
2. Abra la macro1: Š, 1 (Open), Seleccione Type: Macro, Folder: main, Variable:
macro1.
3. Oprima †, 6 y seleccione Execute Macro. Señale el paralelogramo ¿Qué aparece?
Estudie los invariantes.
4. Abra un archivo nuevo e intente reproducir la macro.
5. Construya un paralelogramo.
6. Abra la macro2: Š, 1 (Open), Seleccione Type: Macro, Folder: main, Variable:
macro2.
7. Oprima †, 6 y seleccione Execute Macro. Señale el paralelogramo ¿Qué aparece?
Estudie los invariantes.
8. Abra un archivo nuevo e intente reproducir la macro.
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Referencias
Acosta, M. (2002). Macro construcciones y cajas negras en el programa de
geometría. Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en
el Aula de Matemáticas. Colombia: Ministerio de Educación Pública. Serie memorias.
Bongiovanni, V., Campos T., Almouloud, S. (1997) Descobrindo o CabriGéomètre. Editora FTD S.A., São Paulo, Brasil.
De Faria, E. (1999). Descubriendo teoremas con Geometría Dinámica. Memorias
del VII Simposio Internacional en Educación Matemática Elfried Wenzelburger. México:
Grupo Editorial Iberoamérica.
De Faria, E. (2000) La tecnología como herramienta de apoyo a la generación de
conocimiento. Innovaciones Educativas, Año VII, número 12. Costa Rica.
Duval, R. (1992) Registres de representation sémiotique et fonctionnement
cognitive de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. IREM Strasbourg.
Kaput, J. (1992) Technology and Mathematics Education. D. A. Grouws. Handbook
of Research on Mathematics Teaching and Learning. N.Y.: Macmillan.
NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Standards 2000.