matematicas 2º eso primer ciclo

2.
Números enteros
y divisibilidad
Matemáticas 2º ESO
60
1.
Números con signo
2.
Sumas y restas de enteros
3.
Multiplicación y división de
enteros
4.
Potencias y raíces
cuadradas
5.
Divisibilidad
6.
Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo
Números enteros y divisibilidad
1. Números con signo

VIDEOJUEGO
Megalisa, la protagonista, debe llegar al escalón número 100 para salvar a su amigo, preso por el
mago Room. Observa que con el mando puedes añadir o suprimir tanto bajadas como subidas.
61
Matemáticas 2º ESO
a)
¿Qué teclas pulsarías en el mando para que Megalisa suba siete escalones?.
b)
Supón que llega al escalón 18 y un monstruo le cierra el paso. ¿Qué harías para hacerla
retroceder, bajando cinco escalones?. ¿En qué escalón estaría tras realizar esa jugada?.
c)
Está en el escalón 57, sube 5 escalones y la araña voladora la obliga a bajar 8 escalones. ¿Qué
teclas pulsarías para conseguir ese movimiento?. ¿Cómo expresarías matemáticamente esas
jugadas?.

CUENTA CORRIENTE
El movimiento de una cuenta corriente durante un mes viene reflejado en la tabla:
FECHA CONCEPTO HABER DEBE SALDO
5430
29 nov.
Recibo gas
2428
1 dic.
Recibo luz
8532
2 dic.
Nómina
10 dic.
Alquiler
12 dic.
Op. bancaria
20 dic.
Op. bancaria
86430
12000
10000
50000
28900
Los ingresos efectuados se escriben en la columna Haber y los pagos realizados en la Debe.
Completa tú la columna Saldo detrás de cada operación.

RECTA NUMÉRICA
Para sumar dos números enteros, por ejemplo 4+3,
procedimientos:
en la recta numérica podemos seguir dos
1) Estando en la posición 0, aplicamos dos cambios consecutivos de amplitud 4 y 3, siendo el
resultado el número de la recta que se obtiene tras los cambios, osea 7:
2) Estando en la posición +4, aplicamos un cambio de amplitud +3:
62
Números enteros y divisibilidad
a) Realiza las siguientes operaciones utilizando los dos procedimientos anteriores:
2+5
1+3+4
(6)+9+(5)+(1)
b) Sin efectuar las sumas, predice el signo del resultado: 7+ (12)
(15)+(3)
7+(3)
c) Escribe la operación indicada mediante los desplazamientos:

CARTILLA DE AHORRO
En las cartillas de ahorro se reflejan una serie de datos que informan del estado de la cuenta del
cliente. Este es un estracto (incompleto) de una cartilla:
FECHA CONCEPTO CARGO ABONO
3/5/93
SALDO
?
4/5/93
Recibo
3600
147351
8/5/93
Traspaso
95000
?
13/5/93
Alquiler
?
15649
18/5/93
Recibo
21500
?
21/5/93
Efectivo
45000
?
28/5/93
Haberes
?
?
30/5/93
Intereses
20246
264597
a) Completa las anotaciones de la cartilla.
b) Anota los datos anteriores en este otro modelo de cartilla:
FECHA CONCEPTO
MOVIMIENTO
SALDO
3/5/93
4/5/93
Recibo
3600
63
Matemáticas 2º ESO

AVE
El tren de Alta Velocidad Español puede transportar a 329 pasajeros de Madrid a Sevilla realizando
cinco paradas: Madrid, Ciudad Real, Puertollano, Córdoba y Sevilla. El equema informa de las
variaciones del número de pasajeros en las cinco estaciones en que tiene parada.
MADRID
C. REAL
PUERTOLLANO CORDOBA
SEVILLA
Suben
240
45

52

Bajan

28
37
115
157
Con estos datos completa la siguiente tabla:
BAJAN
SUBEN
TOTAL
Madrid

240
+240
C. Real
28
Puertollano
Córdoba
Sevilla
Total
2. Sumas y restas de enteros

TABLA DE SUMAS
Completa la siguiente tabla:
3+(2)=1
3+(1)=2
3+0=
3+1=
3+2=
2+(2)=0
2+(1)=
2+0=
2+1=
2+2=
1+(2)=
1+(1)=
1+0=
1+1=
1+2=
0+(2)=
0+(1)=
0+0=
0+1=
0+2=
(1)+(2)=
(1)+(1)=
(1)+0=
(1)+1=
(1)+2=
(2)+(2)=
(2)+(1)=
(2)+0=
(2)+1=
(2)+2=
(3)+(2)=
(3)+(1)=
(3)+0=
(3)+1=
(3)+2=
¿Qué condiciones deben cumplir dos números enteros para que su suma sea positiva? ¿Y negativa?
¿Y cero?.
64
Números enteros y divisibilidad

COMPLETA
Completa las siguientes igualdades:
173 = 100 + 

(51) = (30) + 
(51) = 30 + 
INVENTA
Inventa un problema que pueda resolverse mediante esta operación:

83 =  + (50)
(3500) + (+5000)
SEMANA CULTURAL
Durante la Semana Cultural, el bar del instituto ha tenido los ingresos y gastos que se muestran en la
siguiente gráfica:
Calcula las ganancias o pérdidas de cada día y ordénalas de mayor pérdida a mayor ganancia.
65
Matemáticas 2º ESO

EVOLUCIÓN DE LA MATRÍCULA
El Ministerio de Educación había previsto para el curso 2001-02 que el número total de alumnos
matriculados sufriría las variaciones que se señalan en la tabla.
PREVISIÓN DEL NÚMERO DE ALUMNOS
Enseñanzas Total alumnos 2000 / 01 Total alumnos 01 / 02 Variación 01-02 / 2000-01
967691
6013
Preescolar
973704
Primaria
4923161
179377
Secundaria
1571937
81993
FP
859105
12164
Universidad
1105649
77068
TOTAL
9433556
9419391
14165
a) Completa la columna correspondiente al curso 01 / 02
b) ¿Qué te sugieren las variaciones correspondientes a Preescolar, Primaria y a la Secundaria ?.
.

ALTURA Y PROFUNDIDAD
Para medir la altura a que se encuentra una zona de La Tierra se toma como referencia el “nivel del
mar”. Es decir, que una zona que se encuentre al mismo nivel que el mar se considera que tiene
altitud cero.
También la profundidad de las zonas marinas se mide tomando como referencia el nivel del mar.
66
Números enteros y divisibilidad
En las tablas se indica la altura de algunos montes famosos y de algunas fosas marinas.
PICOS
ALTURA EN METROS
FOSAS
PROFUNDIDAD EN METROS
Mont Blanc (Alpes)
4810
F. de Puerto Rico
9219
Everest (Himalaya)
8848
F. de las Marianas
10863
Aconcagua (Andes)
6959
F. de Filipinas
10540
a) ¿Cuál de estos picos es más alto?. ¿Qué fosa es más profunda?.
b) ¿Qué diferencia de altura hay entre los montes Everest y Mont Blanc?.
c) ¿Qué diferencia de profundidad existe entre la Fosa de las Marianas y la de Filipinas?.
d) ¿Cuál es la diferencia entre el pico más alto y la fosa más profunda?.
Para contestar estas preguntas puede serte útil representar en una misma recta las alturas y las
profundidades.

CAMBIO DE ESTADO
Las sustancias pueden presentarse en estado sólido, líquido o gaseoso. El paso de un estado a otro
se produce cuando la sustancia alcanza la temperatura de cambio de estado.
En la siguiente tabla se indica la temperatura que necesitan algunas sustancias para pasar del estado
sólido a líquido (punto de fusión) y para pasar de líquido a gaseoso (punto de ebullición).
TEMPERATURA
TEMPERATURA
DE FUSIÓN EN ºC DE EBULLICIÓN EN ºC
Eter
117º
35º
Alcohol
114º
78º
Benzol
5º
80º
Agua
0º
100º
Mercurio
39º
357º
Hidrógeno
259º
252º
a) ¿Cuál es el estado en que se encuentra normalmente en la naturaleza cada una de estas
sustancias?.
b) Ordena de menor a mayor las temperaturas de fusión de las diferentes sustancias. Haz lo mismo
con las temperaturas de ebullición
c) Tenemos hidrógeno líquido a 259ºC. ¿Qué variación de temperatura habrá de producirse para
pasar a gas?
d) En un frasco hay alcohol a 9ºC. ¿Cuánto habrá de variar la temperatura para que pase a estado
sólido?.
e) ¿Qué diferencia de temperatura hay entre los puntos de fusión y de ebullición del benzol.?. ¿Y
entre las del mercurio?.
67
Matemáticas 2º ESO

TEMPERATURAS
a)
Un día en Viena la temperatura descendió 5º entre el mediodía y las nueve de la noche. Al
mediodía era de 1º. ¿Qué temperatura tenían a las nueve de la noche?.
b)
El 31 de enero de 1980 se tomaron estas temperaturas: Viena 6º ; Berlín 3º. Alguien que
fuera de Viena a Berlín, ¿qué variación de temperatura percibiría?.
c)
Barcelona 8º ; Copenhague 1º. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre estas dos
ciudades?.

INVESTIGA
a) Completa la tabla y redacta con tus palabras lo que observes:
a
b
ab
opuesto de b a + opuesto de b
4
5
1
5
7
2
5
2
6
1
8
12
1
21 21
15
9
17 36
b) Completa la siguiente tabla. ¿Qué significa (a)? ¿Cuándo -a será un número negativo? ¿Cuando
será positivo? ¿Y cero?
a
opuesto de a = -a (a)
17
(17)=17
43
43
17
15
0
c) Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números:
1) +13
2) 21
3) +1
4) 0
d) Suma a cada uno de los siguientes números su opuesto:
1) (1)
68
2) (+35)
3) (1500)
4) (+7)
5) 8
Números enteros y divisibilidad

TABLA DE RESTAS
Completa la siguiente tabla:
3(2)=5
3(1)=4
30=
31=
32=
2(2)=4
2(1)=
20=
21=
22=
1(2)=
1(1)=
10=
11=
12=
0(2)=
0(1)=
00=
01=
02=
(1)(2)=
(1)(1)=
(1)0=
(1)1=
(1)2=
(2)(2)=
(2)(1)=
(2)0=
(2)1=
(2)2=
(3)(2)=
(3)(1)=
(3)0=
(3)1=
(3)2=
¿Qué condiciones deben cumplir dos números enteros para que su resta sea positiva? ¿Y negativa?
¿Y cero?.

SUMADO
¿Qué número sumado a 3 da 1? ¿Qué número sumado a 2 da 4?.
¿Qué número sumado a 4 da 7? ¿Qué número sumado a 7 da 4 ?.

PULGA
Una pulga se desplaza hacia el oeste a razón de tres centímetros por segundo.
¿Dónde se encontrará dentro de tres minutos? ¿Dónde estaba hace cuatro segundos?.
69
Matemáticas 2º ESO

CASILLEROS
Completa los siguientes casilleros, de forma que para pasar de una casilla a la siguiente, tengamos
que sumar o restar siempre la misma cantidad:
4
-2
-2
-11
-6
-11
+9
-3
+3
+1
-25
-3
-2
-5
¿Te animas con lo que siguen?
-2

-8
TIRAS
Completa las siguientes tiras, sabiendo que de un cuadrado al siguiente hay que sumar o restar
siempre el mismo número:
a)
-6
b)
c)

2
-21
-25
0
5
EN BUSCA DEL ENTERO
Organización por parejas. Sesiones de diez minutos en varias clases consecutivas o no.
El jugador A escribe un número entero en la calculadora e indica otro distinto. El jugador B tiene que
conseguir que aparezca en la calculadora el número indicado, sin borrar el escrito, con el menor
número de pasos. Cada paso consiste en pulsar + o , un número y la tecla =. Juegan seis veces
intercambiando los papeles. Gana el jugador que necesite menos pasos en total.
ESTA ESCRITO TIENE QUE APARECER NÚMERO DE PASOS
70
Números enteros y divisibilidad

OPERACIONES COMBINADAS
a) Efectúa las siguientes operaciones:
1) 573 + (385)  (193) =
2) (3750)  (-4865) + (-58) + 2845=
3) 9576  (374) (6321) (5280) =
4) 170 + (1510) + (3520) + 3958 =
5) (3)+(5)+(8)=
6) 36 + (15)+(7)=
b) Si a = 302 y b = 521, calcula las siguientes operaciones:
a+b
ab
a + b
a + (b)
(a + b)
a + a
a + (a)
a  b
(a)  b
a  (b)
a  (a)
 (b a)
c) Efectúa las siguientes operaciones:

a) [ 11+ (8) 
b) [ (5)9 
c)  (7  2)
d) [ (23)(40) 
e) (13+5)
f) [ (6)+2 
g) 5[ 3(1) 
h) (7 + 9)[ 1(6) (9)
CALCULO MENTAL
Calcula:
a) 6+9
b) 30+(20)
c) (30)+20
d) (6)+(9)
e) (12)+(8)
f) (12)+(17)
g) (3)+9+(2)
h) (15)+8+(3)
i) (12)+(1)+6
j) 9(11)
k) (9)11
l) (9)(11)
71
Matemáticas 2º ESO

PARÉNTESIS
Quita paréntesis en cada una de las siguientes expresiones y calcula su resultado:

a) 7  (10)  (3) = 7+10+3 = 6
b) 8 (10)  (6) =
c) 2  (4)  (11+5) =
d) 2  (5 9 +6)  (3) =
e) 3  [ (72)+1  4 =
f) 2  [ 4  (9+53)+12 =
QUITA PARÉNTESIS
Quita paréntesis, como se ha hecho en la primera expresión:

1) (+a)+(+b)=a+b
2) (+a)+(b)
3) (+a)(+b)
4) (+a)(b)
5) (a)+(+b)
6) (a)+(b)
7) (a)(+b)
8) (a)(b)
CALCULA M
Calcula el valor de m en cada caso:
a) 7  (m) = 11

b) (+5)  (+m) = 1
c) (m)  (2) = 9
CARRERA CON SORPRESAS
Grupos de cuatro alumnos. Una sesión de clase. Puede usarse en varias ocasiones.
Un tablero, una baraja, cuatro fichas de distintos colores y dos dados, para cada equipo, numerados
0, 1, 2, 3, 1 y 2 en sus caras.
Los alumnos colocan la baraja tapada y sus fichas sobre el cero. Por turno lanzan los dos dados,
calculan la suma y se desplazan según el resultado que obtengan. Cuando caen en una casilla
marcada, destapan la carta superior de la baraja y ejecutan la orden que contiene.
Gana el jugador que consigue salir primero por cualquiera de los extremos del tablero.
72
Números enteros y divisibilidad
73
Matemáticas 2º ESO

CIRCUITOS
Grupos de 3 alumnos. Cinco o más sesiones de 10 minutos. Un circuito por equipo, en cada partida.
Los circuitos contienen números enteros que hay que sumar. Entre ellos hay casillas vacias, por si se
quieren escribir sumas parciales.
Los jugadores eligen una pista y se desplazan por ella, sumando los números que encuentran a su
paso, hasta dar una vuelta completa.
El ganador es quien consigue el resultado correcto en la meta, escribiendo menos resultados
parciales en su recorrido.
74
Números enteros y divisibilidad
75
Matemáticas 2º ESO
76
Números enteros y divisibilidad
77
Matemáticas 2º ESO

LABERINTOS NUMÉRICOS
a) Los números del laberinto representan posibles pérdidas o ganancias de un jugador. Indica qué
camino puede recorrer para llegar a la salida sin pérdidas ni ganancias. Ten en cuenta que no
puedes pasar dos veces por la misma casilla.
-4
-5
3
8
-5
3
-1
0
3
0
7
10
SALIDA
ENTRADA
b) Construye tú otros laberintos que tengan solamente un camino para salir o dos caminos posibles o
de los que se pueda salir. Utiliza en cada caso cuadrículas como éstas:
-5

CAMINOS
Encuentra el número de salida siguiendo el camino señalado:
78
-3
+6
-13
+1
-15
+6
-8
+2
-9
-4
-4
+1
+21
+4
-2
+3
-5
+2
0
-19
-5
-1
+6
+3
-10
+2
-3
+8
+6
0
-1
+16
+7
-1
Números enteros y divisibilidad

CUADRADOS MÁGICOS I
En un cuadrado mágico las sumas en horizontal, vertical y diagonal dan el mismo resultado. Completa
los siguientes cuadrados mágicos:
a)
3
b)
9
4
0
2
4
= 30
11
6
7
15
4

c)
2
3
12
8
5
= 2
5
CUADRADOS MÁGICOS II
Completa los siguientes cuadrados mágicos de forma que la suma de los números de cada fila sea
igual a la suma de los números de cada columna e igual a la suma de los números de cada diagonal.
9
5
3
1
6
8
4
0
3
2
6
3. Multiplicación y división de enteros

NIVEL DE AGUA
El nivel de agua en un depósito que se está llenando sube a razón de 3 cm por minuto.
¿Qué nivel alcanzará el agua dentro de 15 minutos?.
¿Qué nivel tenía hace 10 minutos?.
Al vaciarse, el nivel desciende 2 cm cada minuto. ¿Cuál será su nivel a los 20 minutos? ¿Cuál era
hace 30 minutos?.
79
Matemáticas 2º ESO

a)
TRANSMISIONES I
El dibujo 1 representa dos ruedas de 1 y 2 unidades de radios conectadas mediante una correa.
Cuando la rueda grande dé una vuelta, la rueda pequeña dará 2 vueltas. Entonces diremos que
el factor de transmisión es 2. El dibujo 2 representa una transmisión de factor 5.
En el dibujo 3 se han combinado ambas transmisiones, obteniendo una de factor 10. Podemos
escribirlo de la forma: 2 x 5 = 10.
El funcionamiento puede explicarse como sigue: cuando la rueda A da una vuelta, la B da dos vueltas,
lo que provoca dos vueltas de la rueda C (pues ésta se halla soldada a la B) y esto produce 10 vueltas
de la rueda D. Es decir, funciona como una máquina simple de factor 10 (dibujo 4).
80
Números enteros y divisibilidad
a) ¿Cuántas vueltas da la rueda D por cada vuelta de la A en cada uno de los siguientes casos?
b) Diseña varias transmisiones para que la rueda D dé 12 vueltas cada vez que dé 1 la A.
c) Diseña varias transmisiones con más de dos factores para que la rueda D dé 48 vueltas cada vez
que dé 1 la rueda A.

TRANSMISIONES II
Puede considerarse que una transmisión de factor 2 significa que para cada vuelta de la primera
rueda la segunda da dos vueltas en sentido contrario. Esto se consigue cruzando la correa. Por
ejemplo, el dibujo 5 representa una transmisión de factor 2.
81
Matemáticas 2º ESO
En el dibujo 6 se ha combinado una transmisión de factor 2 con una de factor 3. Por cada vuelta de
la rueda A, da dos vueltas en sentido contrario la rueda B, lo que supone dos vueltas de C en el
mismo sentido que B (ya que están soldadas). Como por cada vuelta de C se producen 3 de D en el
mismo sentido, el resultado final es que D da 6 vueltas en sentido contrario a A por cada vuelta de
ésta, lo que también puede expresarse así:
(2) x 3 = (6)
Observa que coincide con el funcionamiento de la máquina simple de factor 6 (dibujo 7).
Dibujo 7
Observa que (2) x 3 = (2)+(2)+(2) = (6) = (3)+(3)=2 x (3), luego:
(2) x 3 = 2 x (3) =  (2 x 3)
a) Comprueba que 2 x (-5) = (10)
b) Explica por qué las siguientes máquinas producen el mismo efecto de transmisión:
82
Números enteros y divisibilidad

TRANSMISIONES III
El dibujo 8 representa la multiplicación de (2) x (3).
Observa que produce el mismo efecto que la máquina simple de factor 6 (dibujo 9).
Podemos afirmar que (2) x (3) = 6.
Aplicando este modelo calcula los siguientes productos:
(3) x (1) =
(2) x (2) =
(4) x (10) =
2
(6) =
(1) x (5) =
2
(1) =
 El producto de dos números positivos es siempre positivo
 El producto de un número positivo por otro negativo es negativo.
 El producto de dos números negativos siempre es positivo

TABLA DE MULTIPLICACIONES
Completa la siguiente tabla:
3 x (2) = 6
3 x (1) = 3
3x0=
3x1=
3x2=
2 x (2) = 4
2 x (1) =
2x0=
2x1=
2x2=
1 x (2) =
1 x (1) =
1x0=
1x1=
1x2=
0 x (2) =
0 x (1) =
0x0=
0x1=
0x2=
(1) x (2) =
(1) x (1) =
(1) x 0 =
(1) x 1 =
(1) x 2 =
(2) x (2) =
(2) x (1) =
(2) x 0 =
(2) x 1 =
(2) x 2 =
(3) x (2) =
(3) x (1) =
(3) x 0 =
(3) x 1 =
(3) x 2 =
83
Matemáticas 2º ESO
a) Observando los resultados explica qué condiciones han de cumplir dos números enteros para que
su producto sea positivo, negativo o cero.
b) Completa la tabla que resume la “regla de los signos” en la multiplicación de números enteros:
primer factor



factor

OPERACIONES
Calcula

segundo

3 + (2)  (4) =
2 x (5) + 4 x (3) =
(2) x 14 + 14 x 2 =
SUSTITUYE
a) Tienes 5 x a x (3). Si sustituyes a por (2), ¿qué se tiene como resultado?.
2
b) Tienes 7 x a . Si sustituyes a por (3), ¿qué se tiene como resultado?.
c) Tienes 5 x (1) x (a). Si sustituyes a por (3), ¿qué se tiene como resultado?.
a

ENUNCIADOS
Redacta enunciados que se ajuste a las siguientes operaciones:
a) 6 x (3) = 18
84
b) (4) x 5 = 20
c) (6) x (4) = 24
Números enteros y divisibilidad

CALCULADORA Y CALCULO MENTAL
Fijándote en cada caso en la operación que se da resuelta, di la solución de las que se te proponen .
Después, comprueba el resultado con la calculadora:
a) 438  596

437  595 = 158  b) 438  605
c) 537  695

d) 95  ( 32)

( 95) 32 = 3040  e) 950 3200
f) ( 95) ( 320)

g) 593  818
h)  818  ( 593)

( 593) (818) = 225  
i) 225 + ( 818)

 j)  593 + 818

MAS CALCULOS
a) 5  10  4  ( 20)
e) ( 5)  ( 5) + 2  (4 + 6  1)
c) ( 2)  8  4  ( 10)
g) 3  4  6  ( 2)  8  4
b) 5  ( 3) + 7
d) ( 6)  ( 3) 5  ( 2)
f) ( 3)  2  ( 5) + ( 7)  ( 1) (3)
h) 6 + (3  5 + 4)  2  3  (6  9 + 8)
85
Matemáticas 2º ESO

EL CRECIMIENTO DE JUAN
Relaciona cada pregunta con la respuesta adecuada.
Juan crece 6 cm cada año. ¿Cuánto medía o medirá con respecto a lo que mide actualmente?
a) ¿dentro de un año?
1) 6 x 0 = 0 (lo mismo)
2) (6) x 1 = 6 (6 cm menos)
b) ¿dentro de 2 años?
3) 6 x (1) = 6 (6 cm menos)
4) 6 x (3) = 18 (18 cm menos)
c) ¿hace un año?
5) 6 x (2) = 12 (12 cm menos)
6) 6 x 2 = 12 (12 cm más)
d) ¿hace 3 años?
7) 6 x 1 = 6 (6 cm más)
e) ¿en este momento?

ALPINISMO
Mi amigo Fernando me dijo que la última vez que practicó alpinismo ascendió a un promedio de 60 m
cada hora. Fernando escribió en su diario algunos detalles:
 Dos horas antes de acampar el primer día pasaron por el Pico del Vacilón.
 Prevé tardar al día siguiente 3 horas y media en alcanzar el Risco Gordo.
 Desde donde partieron hasta el lugar de acampada del primer día emplearon 6 horas.
Respecto del lugar de acampada del primer día, ¿a qué altura se encuentra el Pico del Vacilón?. ¿Y el
Risco Gordo?. ¿Y el lugar de partida?.
86
Números enteros y divisibilidad

REPOBLACION FORESTAL
Nuestro país viene sufriendo durante los últimos años graves daños medioambientales como
consecuencia de la deforestación provocada por los innumerables incendios producidos en la época
estival. Debido a ello es necesario poner en práctica un plan de reforestación que intente paliar esos
efectos. Si en Andalucía, desde el año 1989, se vienen quemando un promedio de 15000 hectáreas
por año y se repueblan unas 12000:
a) ¿Qué superficie de árboles existía hace 3 años respecto al actual?.
b) ¿Qué superficie de árboles existe actualmente respecto a la que existirá dentro de 4 años?.
c) Si con el esfuerzo de todos se consigue reducir el número de incendios y, por ejemplo, el número
de hectáreas quemadas anualmente se reduce a 7000, ¿en cuántos años se recuperará la
cantidad de hectáreas perdidas desde 1989 si se mantiene el nivel de repoblación?.

TABLAS
Completa las siguientes tablas de operaciones con números enteros:
+
3
1
2
4
X
2
5
7
0
3
5
+48
1
2
2

4
+10
+6
40
2
7
CUADRADOS MÁGICOS II
Completa los cuadros en blanco de manera que las multiplicaciones por filas y columnas coincidan:
2
5
3
3
10
1
2
5
1
En el segundo debe cumplirse que el producto de filas y columnas sea igual a 100.
87
Matemáticas 2º ESO

MULTIPLICADO
(2) da 6
(3) da 9
7 da (21)
(7) da (21)
(1) da 1
(6) da 30
Busca el número que multiplicado por


¿QUIÉN ES M?
Calcula el valor de m en cada caso:
a) 2 x m = 14

b) 3 x m = 12
c) (5) x m = 15
d) (6) x m = 12
TRANSMISIONES IV
a) Las transmisiones I y II que se muestran en la siguiente figura producen el mismo efecto. ¿Cuál es
el factor de transmisión desconocido, t ?. ¿Puede existir una transmisión como la III que produzca
el mismo efecto que la I ?.
88
Números enteros y divisibilidad
Si el efecto de un producto de transmisiones es positivo y uno de los factores es
positivo, el otro factor ha de serlo también.
b) Calcula el factor t de la transmisión IV, sabiendo que produce el mismo efecto que la transmisión I.
89
Matemáticas 2º ESO
Si el efecto de un producto de transmisiones es positivo y uno de los factores es
negativo, el otro factor también ha de ser negativo.
c) Calcula las siguientes divisiones, usando una transmisión como modelo:
(28) : 4
(80) : (4)
81 : (9)
(3) : (1)
d) Completa la tabla de los signos para la división:
divisor

dividendo




DIVISIONES
Efectúa las siguientes divisiones:
a) (99) : (11)
b) (1000) : 25
c) 150 : (712)
d) (2012) : (2)
e) (3515) : (58)
f) (6210) : (511)
g) 80 : [253+(2)
h) [(5)(15) : (68)

TIRO AL BLANCO
Grupos de cuatro alumnos. Varias sesiones de 5 minutos. Se necesita una calculadora para cada
alumno, papel y lápiz. En cada partida los jugadores eligen o sortean un “blanco” (número entero de
dos cifras). Eligen también, o sortean, cuatro cifras (números enteros) que van a utilizarse como
munición. Si se considera conveniente puede sortearse para todos los grupos un “blanco” y la
“munición”. El juego consiste en dar en el “blanco” usando únicamente la munición elegida y las
operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir. En cada partida se puntúa:
10 puntos para quién haga “blanco”.
7 puntos cuando el resultado quede hasta una distancia de 2 del “blanco”
3 puntos cuando el resultado quede a una distancia entre 2 y 5 del “blanco”.
0 puntos cuando el resultado quede a una distancia de 6 o más.
En caso de que nadie consiga “blanco” se concederán 2 puntos de propina para el que más se
acerque. Los resultados de cada partida pueden ir anotándose en una tabla de la clase.
90
Números enteros y divisibilidad
4. Potencias y raíces cuadradas

DOBLANDO TRIÁNGULOS
Coge un papel con forma de triángulo isósceles y dóblalo por la altura correspondiente a la
hipotenusa. Al desplegarlo, observarás que se han formado dos triángulos rectángulos iguales. Vuelve
a plegar el papel y a doblar con la intención de obtener nuevos triángulos rectángulos iguales.
Sigue el proceso hasta que no puedas doblar más el papel y completa la siguiente tabla:
Nº de dobleces
Nº de triángulos
1
2
3
7
10
1
2=2
¿Cuántos triángulos rectángulos obtendrías si fuera posible hacer 20 dobleces? ¿Y si pudiésemos
hacer 30 dobleces ?. ¿Cuántos dobleces hay que hacer para disponer de 10000 triángulos?.

DOBLANDO CUADRADOS
Coge un papel cuadrado y dobla por los puntos medios de cada lado con la intención de obtener 4
cuadrados iguales.
¿Cuántos cuadrados iguales obtienes al efectuar por segunda vez el proceso? ¿Y cuando lo haces
por quinta vez?. Completa la siguiente tabla:
Paso Nº
Nº de cuadrados
1
2
5
7
10
1
4=4
¿Cuántos cuadrados obtendrás si repites el proceso 20 veces?. ¿Cuántas veces tendrías que hacerlo
para disponer de 10000 cuadraditos?.
91
Matemáticas 2º ESO
4
La expresión 2 x 2 x 2 x 2 = 2 es una potencia de 2. La expresión
3
4 x 4 x 4 = 4 es una potencia de 4.

POTENCIAS DE 10
a) En cada casilla hay un número que es 10 veces el anterior:
10
100
1000
...
¿En qué casilla aparecerá el número 100000000000000?. ¿Cuál es la última casilla que puedes
obtener con tu calculadora?. Escribe los números anteriores en forma de potencia.
b) En cada casilla hay la décima parte del número que está en la casilla anterior:
0’1
0’01
0’001
...
¿En qué casilla aparecerá 0’000001 ?. ¿Cuál es la última casilla que puedes obtener con la
calculadora?
2
Para elevar al cuadrado un número en tu calculadora puedes usar la función x que
se activa pulsando SIHFT
.
Al elevar al cuadrado el número 10000 obtendrás en pantalla 1. 10 que es una
10
abreviatura de 1 x 10 . Al elevar al cuadrado el número 99999 aparece en pantalla
9
9.9998 9 que es una abreviatura de 9’9998 x 10 .
Al elevar al cuadrado el número
0.00001
aparece en pantalla 1. -10 que es
una abreviatura de 1 x 1010. Esta forma de escribir números se llama notación
científica.

AREAS
a) Partiendo de un triángulo rectángulo, lo doblamos por la altura correspondiente a la hipotenusa,
obteniendo dos triángulos rectángulos iguales. Suponiendo que el área del triángulo inicial es 1,
¿cuál es el área de los dos nuevos triángulos?. ¿Y el área de los obtenidos después de tres
dobleces?. Fíjate en el tamaño de cada uno de los triángulos que vas obteniendo en cada paso y
completa la siguiente tabla:
Nº de dobleces
1
Área
0’5
2
3
7
10
¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos obtenidos tras hacer 20 dobleces?. ¿Y después de
30 dobleces?.
92
Números enteros y divisibilidad
b) Doblamos un cuadrado por los puntos medios de cada lado, obteniendo así cuatro cuadrados.
Suponiendo que el área del cuadrado inicial es 1, ¿cuál es el área de cada uno de los cuadrados
obtenidos?. ¿Cuál es el área de cada cuadrado obtenido al realizar el proceso por segunda vez?.
Fíjate en el tamaño de cada uno de los cuadrados que se van formando en cada paso y completa
la siguiente tabla:
Paso Nº
1
Área
0’25
2
5
7
10
¿Cuál es el área de cada uno de los cuadrados obtenidos en el paso 20?. ¿Y en el paso 30?.

INVESTIGA CON LA CALCULADORA
a) Sustituye los asteriscos ayudándote de la calculadora:
35  33  3*
5 2  3 2  15*
46 : 44  4*
5 4  5*  5 7
32 3  3*
2 4  3 4  *4
b) Deduce del apartado anterior todas las propiedades de las potencias que puedas.
93
Matemáticas 2º ESO

POTENCIAS DE NUMEROS NEGATIVOS
4
Una potencia de un número positivo es siempre un número positivo:
2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Una potencia de un numero negativo es el producto reiterado de dicho número por sí mismo tantas
3
veces como indica el exponente. Así: (2) = (-2) x (2) x (2) = 8.
Al multiplicar reiteradamente un número negativo por si mismo, vamos obteniendo, alternativamente,
resultados positivos y negativos:
1
negativo
2
positivo
3
negativo
4
positivo
(2) = 2
(2) = (2) x (2) = 4
(2) = (2) x (2) x (2) = 8
(2) = (2) x (2) x (2) x (2) = 16
Al elevar un número negativo a una potencia:
* Si el exponente es par, el resultado es positivo.
* Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
a) Calcula las siguientes potencias:
b) Calcula:
2
3
2 :2
2
5 +3
3 x3
(5+3)
Observa que:
7
5
5
2
4
2
(2)
7
(5) : (5)
2
(64)
6
6
2
(1)
36
(1)
37
4
2
2
2
6 4
n
n
(a)
no es lo mismo que a
2
2
2
(a+b) no es lo mismo que a +b
2
2
2
(ab) no es lo mismo que a  b
c) Calcula el valor de a, b, c y d:
94
(2)
3
(a) = 8
4
b = 81
5
c = 1
5
(d) = 1
Números enteros y divisibilidad

RAICES CUADRADAS
Para calcular la raiz cuadrada de 42 puedes proceder así:
2
2
2
6 = 36, 7 = 49  está entre 6 y 7.
6’5 = 42’25  está entre 6 y 6’5.
2
2
6’3 = 39’69  está entre 6’3 y 6’5.
6’4 = 40’96  está entre 6’4 y 6’5.
2
2
6’45 = 41’6025  está entre 6’45 y 6’5.
6’47 = 41’8609  está entre 6’47 y 6’5
2
6’48 = 42’9904  está entre 6’48 y 6’5
2
6’49 = 42’1201  está entre 6’48 y 6’49. Podemos dejarlo en
Utilizando la tecla
42  6' 48
de la calculadora podemos comprobar que
42  6' 4807407 6' 48
Hemos obtenido, pues, la raíz cuadrada de 42 con una aproximación hasta las centésimas.
Calcula las siguientes raíces cuadradas por tanteo, obteniendo primero una aproximación hasta las
centésimas y después, con precisión hasta las milésimas:
65
1000
2450
625
10000
Comprueba después los resultados, haciendo uso de la tecla

15129
de tu calculadora.
CUADRADOS Y RAÍCES
Observa los siguientes resultados:
2
(2) = (2) x (2)=4
2
(3) = (3) x (3) = 9
2 =4
3 =9
9  ?
2

2

4  2
9  3
2
 ? = 9 No es posible, pues no hay ningún
número cuyo cuadrado sea negativo.
La raiz cuadrada de un número positivo puede ser positiva o negativa
La raiz cuadrada de un número negativo no existe
a) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual al cubo de 16.
b) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual a la cuarta potencia de 9.
c) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual al cubo de 25.
d) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual a la suma de los cuadrados de 25 y 16.
e) Halla dos números enteros tales que al elevarlos al cuadrado se obtenga un resultado igual a la
diferencia de los cuadrados de 117 y 45.
95
Matemáticas 2º ESO

CUIDADO CON LAS RAICES CUADRADAS
Calcula, si existen:
a) 36 + 64
d) 100  36
b) 36  64
e) 16  25
c) 100  36
f) 16  25
La raíz cuadrada de una suma no es la suma de las raices cuadradas. La raiz
cuadrada de una diferencia no es la diferencia de las raices cuadradas.

¿CORRECTOS?
Di si los resultados están bien o mal obtenidos:
( 2 )2  ( 3)  1
( 3)  ( 4 )  2  ( 5)  29
( 3)  ( 4 )  2  ( 5)  19
( 1)3  ( 2 )2  5

( 1)3  ( 2 )2  3
( 1)  2  ( 1)  2  ( 1)  2  7
( 3)  ( 5)  ( 3)  ( 5)  18
DOS CUADRADOS
El lado de un cuadrado mide 16 metros. ¿Cuánto medirá el lado de otro cuadrado de superficie nueve
veces mayor?.

TERRENO
2
Un terreno cuadrado tiene 49 m de área. ¿Cuánto medirá el perímetro de este terreno?.

SOLAR
Un solar cuadrado cuesta 36300 euros, pagándose a razón de 75 euros el metro cuadrado. Halla el
coste de cercar dicho terreno pagando a 10 euros el metro de valla.
96
Números enteros y divisibilidad

BALDOSAS CUADRADAS
Con 42859 baldosas cuadradas formamos el mayor cuadrado posible. ¿Cuántas tendrá por lado y
cuántas sobran?.

CHALET
Para la construcción de un chalet con su correspondiente jardín compramos un terreno cuadrado que
tiene 160 metros de perímetro. ¿Cuánto tendremos que pagar si cuesta a razón de 70 euros el metro
cuadrado?
5. Divisibilidad

EL CARPINTERO
Dispones de una regla de 5 cm sin graduación y de un listón de 120 cm.
a) ¿Puedes conseguir 24 piezas de 5 cm cada una?. ¿Puedes conseguir piezas que midan
exactamente 25 cm sin desperdiciar material?.
b) Escribe cuántas son las piezas que caben exactamente en el listón, todas de la misma longitud y
que puedan medirse con la regla de 5 cm. Ayúdate de una tabla como la siguiente:

Medida de la pieza
5
25
Número de piezas
24

¿Es posible?
Si
No
LA FIESTA
Después de una fiestas en el instituto, organizada por 7 grupos de alumnos para obtener fondos para
la excursión de fin de curso, han conseguido unos beneficios de 6 billetes de quinientos euros, 9
billetes de doscientos euros, 23 billetes de cien euros, 14 monedas de dos euros, 36 monedas de un
euro, 25 monedas de cincuenta céntimos y 72 monedas de veinte céntimos. Suponiendo que no
tienen posibilidades de cambiar las monedas, busca una estrategia para repartirse el dinero y
explícala mediante un diagrama. Plantea varias formas distintas de cambiar las monedas en un banco
para que el reparto sea más fácil de realizar.
97
Matemáticas 2º ESO

EL BASTON DEL ABUELO
El abuelo, apoyado en su bastón que mide 120 cm, está jugando con sus dos nietos pequeños. Cada
uno de ellos coge un palo de madera y se ponen a medir el bastón. Después de un rato uno de ellos
dice: “Abuelo, tu bastón mide 4”.y el otro le contesta “no es verdad, tu bastón mide 3”.
¿Quién tiene razón?. Explica tu respuesta.
Dividir es:

Partir un conjunto u objeto en partes iguales
Repartir equitativamente un número de objetos
Medir una magnitud con una unidad de medida
EL DEPOSITO DE AGUA
Tenemos un depósito de agua de 18 litros que queremos distribuir en recipientes que contengan
exactamente el mismo número de litros. Escribe la capacidad de todos los recipientes distintos que
has obtenido.
Si dispones de recipientes de 2 litros, ¿qué tipos de depósitos puedes llenar con ellos en caso de que
puedas usar todos los que quieras y sin que te sobre agua?. ¿Y si los recipientes fuesen de 3 litros?.
Los números 1, 2, 3, 6, 9, 18 se llaman divisores de 18, porque al dividir
18 entre cada uno de ellos se obtiene cociente exacto (resto 0).
También se dice que 18 es múltiplo de cada uno de dichos números.

CADENAS
Completa cada cadena y escribe los términos siguientes y anteriores, en los casos donde sea posible:
Inventa alguna cadena.
98
2
8
32
6
54
486
243
27
3
128
Números enteros y divisibilidad

SECUENCIAS
En la secuencia 3, 4, 6, 8, 9, 12, 12, ... están mezclados los múltiplos de dos números conocidos
por tí. ¿Qué números siguen al 12?. ¿Y al 80 ?. ¿Qué número ocupa el lugar 10 ?. ¿Y el lugar 50?.

MULTIPLOS Y DIVISORES
a) Al conjunto de los divisores de 12 lo representamos por D(12). Así, se cumple que
D(12)=1,2,3,4,6,12}. Calcula D(15), D(20), D(16), D(7), D(13) y D(42). ¿Estás seguro de haberlos
conseguido todos?.
b) Sin efectuar las operaciones intenta averiguar si 5 es divisor de:
90  15
125  18
45 + 16
65 + 13
Explica cómo lo haces.
c) El número 7 es divisor de 49 y de 63. Comprueba si los siguientes números son múltiplos de 7:
49 + 63
63  49
49 x 63
49 x 29 x 63
63 x 15
¿Qué explicación encuentras para ello?.
d) Observa las siguientes afirmaciones y busca una explicación para las que sean ciertas y pon un
contraejemplo para las que sean falsas:
1) Un múltiplo de 5 más un múltiplo de 7 es igual a un múltiplo de 12.
2) Un múltiplo de 9 menos un múltiplo de 4 es igual a un múltiplo de 5.
3) Un múltiplo de 5 por un múltiplo de 8 es igual a un múltiplo de 5.
4) Un múltiplo de 3 más un múltiplo de 5 es igual a un múltiplo de 3.
5) La suma de dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
6) La diferencia de dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
7) Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
8) El 15 es múltiplo de 3. Como 60 es múltiplo de 15, también lo será de 3.
99
Matemáticas 2º ESO

DE LOS DIVISORES AL NÚMERO
Sabemos que los divisores de 16 son D(16)= {1,2,4,8,16}. A partir de sus divisores podemos obtener
el número 16 de diversas formas. Por ejemplo:
16 = 1 x 16 = 2 x 8 = 4 x 4 = 2 x 2 x 2 x 2
Escribe los números 15, 20 y 42 a partir de sus divisores de todas las formas posibles.

ATAJOS
Observa lo que ocurre en el conjunto de los divisores de un número:
D(60) = { 1,
2,
3,
5,
6,
10,
12,
20,
30,
60 }
6 x 10 = 60
5 x 12 = 60
3 x 20 = 60
2 x 30 = 60
1 x 60 = 60
Completa el conjunto de los divisores de los siguientes números sin hacer más divisiones:
D(42) = {1, ___ , 3, 6, 7, ___ , 21, ___ }
D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, ___ , ___ , ___ , ___ , ____ }
D(72) = {1, ___ , ___, 4, ___ , 8, ___ , 12, ___ , 24 , 36, ___ }
Todo número es múltiplo de si mismo y de la unidad.
La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
La resta de dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero también lo
son del segundo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
¿Cómo averiguar si un número es divisible por 10?
Observando los múltiplos de 10, vemos que todos ellos acaban en 0: 10, 20, 30, ..., 100, 110, ...
Descomponiendo el número en unidades, decenas, centenas,... vemos que las decenas,
centenas, etc, serán siempre múltiplos de 10. El único problema será la cifra de las unidades; pero si
esta es un 0, será múltiplo de 10. Por lo tanto:
Un número es divisible por 10 si acaba en cero.
Una regla de este tipo se llama criterio de divisibilidad.
100
Números enteros y divisibilidad
1) Observa los múltiplos de 2 y basándote en la descomposición decimal de cualquier número, busca
un criterio de divisibilidad por 2.
2) Observa los múltiplos de 4 que tengan 2 cifras. Coloca delante otras cifras y averigua si el número
resultante es también un múltiplo de 4. ¿Cuándo un número es divisible por 4?.
3) Busca un criterio de divisibilidad entre 5.
4) Observa los múltiplos de 3. Suma las cifras de todos ellos. ¿Cuándo es divisible un número entre
3?.
5) Escribe todos los múltiplos de 2 que se puedan formar con las cifras 1, 2 y 3 sin que se repita
ninguna. Escribe todos los múltiplos de 3 que se puedan formar con las cifras 1, 2 y 3 sin que se
repita ninguna.
6) Observa los múltiplos de 9. Sumas las cifras de todos ellos. ¿Cuándo un número es divisible entre
9?.
7) Escribe números que sean divisibles por 2 y 3 al mismo tiempo. ¿Son divisibles por 6?. Escribe
números que sean divisibles por 3 y 5 al mismo tiempo. ¿Son divisibles entre 15?.
8) Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre las sumas de las cifras que aparecen en
lugar impar y las que aparecen en lugar par da múltiplo de 11 (incluído el 0). Escribe 5 números
que sean divisibles por 11 siguiendo este criterio y compruébalo después.
Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es par
Un número es divisible por 4 cuando el número formado por sus dos últimas cifras
es múltipo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó 5.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.
Un número es divisible por 11 si la diferencia entre las sumas de las cifras que
ocupan lugar impar y lugar par es múltiplo de 11.

USA LOS CRITERIOS
a) Dados los números 548, 746, 1512, 7000 y 464, averigua cuáles son divisibles por 2 ó por 4.
b) Entre los números 513, 78, 828, 125 y 693, indica cuáles son múltiplos de 3 y cuáles de 9.
c) Dados los números 7348, 1296 y 6215, indica cuáles son múltiplos de 11.
101
Matemáticas 2º ESO

ASTERISCOS
a) En el número 2 * 4 2 * sustituye los asteriscos por cifras convenientes para que resulten tres
números diferentes múltiplos a la vez de 5 y de 9.
b) En el número 2 * 4 * sustituye los asteriscos por cifras adecuadas para que resulten números que
sean a la vez divisibles por 5 y por 11.

EL MENOR NÚMERO
a) ¿Cuál es el menor número que hay que sumar o restar a 1347 para convertirlo en múltiplo de 4 ?.
b) ¿Cuál es el menor número que hay que sumar o restar al número 37692 para convertirlo en un
múltiplo de 11 ?.

INVESTIGA
¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?. En caso afirmativo busca una explicación; en caso
negativo, pon un contraejemplo:
a) La suma de dos números impares consecutivos es siempre divisible por 4.
b) El producto de dos números consecutivos es siempre divisible por 2.
c) El producto de tres números consecutivos es siempre divisible por 6.
d) La suma de tres números impares consecutivos es siempre un número impar divisible por 3.
e) La suma de dos números pares consecutivos, es múltiplo de 3.

INVESTIGACIONES
¿Qué condiciones ha de cumplir un número n para que se verifiquen las siguientes igualdades?
a) Un múltiplo de 3 más un múltiplo de n es igual a un múltiplo de 3.
b) Un múltiplo de 3 por un múltiplo de n es igual a un múltiplo de 3n.
c) Un múltiplo de n menos un múltiplo de 3 es igual a un múltiplo de n.
102
Números enteros y divisibilidad

CIFRAS OCULTAS
Encuentra para qué valores de p el número 2p35 es múltiplo de 3. ¿Y para que sea múltiplo de 5?.
¿Y para que sea múltiplo de 9?. ¿Y múltiplo de 6?.

COMPLETA
Completa esta tabla decidiendo si los números de la primera columna son divisibles por 2, 3, 6 9, 15.
En caso afirmativo por una cruz y, en caso negativo, pon el resto de la división, procurando no
efectuarla.
Números Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 6 Divisible por 9 Divisible por15
528
X
6012
89145
333
r=1
945
9450
1056
18 x 30
14 x 25

NÚMERO DE DIVISORES
a) Escribe los divisores de los 20 primeros números naturales apuntando el número de divisores de
cada uno de ellos:
NÚMEROS DIVISORES Nº DE DIVISORES
1
1
1
2
1, 2
2
3
....
....
....
....
....
Los números que sólo tienen dos divisores: el 1 y ellos mismos, se llaman números
primos (por ejemplo: 7, 11, 13). Todos los demás números se llaman compuestos (Por
ejemplo, 6, 14)
b) Escribe los números compuestos de la tabla a partir de los números primos, aunque para ello
3
tengas que repetirlos. Por ejemplo: 6 = 2 x 3; 8 = 2 x 2 x 2 = 2 .
103
Matemáticas 2º ESO

LA CRIBA DE ERATÓSTENES
Utilizando los criterios de divisibilidad, tacha de la siguiente tabla los números que no sean primos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
84
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
98
100
¿Cuáles son los números primos menores que 100?.
Este procedimiento fue utilizado por el matemático griego Eratóstenes.

CON CALCULADORA
Con la ayuda de la calculadora, averigua cuáles de los siguientes números son primos y cuáles son
compuestos: 221, 273, 317, 379, 639. Señala en el caso de los compuestos qué divisor o divisores
has encontrado.

PRIMOS
¿Puede terminar un número primo en 0 ?. ¿Cuál es la razón?. ¿Puede terminar un número primo en
5?. ¿Por qué?. Investiga en qué cifras pueden acabar los números primos.

CUATRO NÚMEROS PRIMOS
Las letras A, B, C y D representan dígitos. Busca cuatro números, representados por ADDD, AACA,
BCDB y BDAC, sabiendo que cada uno de ellos es primo.
La búsqueda puedes realizarla teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad.
104
Números enteros y divisibilidad

FACTORES PRIMOS
Un método para hallas los factores primos de un número consiste en usar un diagrama de árbol:
a) Realiza otra descomposición en árbol del número 72. Escribe la descomposición en factores
primos de los siguientes números: 20, 64, 42, 50, 180 y 1000.
También podemos hacerlo con divisiones sucesivas por números primos, para lo que podemos usar
la calculadora. Ejemplo:
b) Descompón en factores primos los números: 64, 128, 242,

1312,
3650 y
20592.
BUSCANDO DIVISORES
¿Cuál es la descomposición de 72 en factores primos si la suma de sus factores es 14 ?. ¿Y si la
suma es 13 ?. ¿Y si es 38 ?.

MONEDAS
Tengo en mi hucha una cantidad de monedas tal que las puedo agrupar de 5 en 5 sin que me sobre
ninguna. Pero lo mismo puedo hacer de 6 en 6 y de 9 en 9 y tampoco me sobra ninguna. ¿Cuántas
monedas tengo en mi hucha?. ¿Cuántas soluciones hay?. ¿Cuál será el resultado si la cantidad de
monedas es inferior a 100 ?.
105
Matemáticas 2º ESO

EL TRIÁNGULO DE PASCAL
En la siguiente figura tienes las cuatro primeras filas del llamado “triángulo de Pascal”. Observa que el
número situado en cada casilla es la suma de los situados en las dos casillas inmediatamente
superiores. Las casillas inicial y final de cada fila siempre son unos.
1) Utiliza la plantilla de la siguiente figura para completar las casillas del triángulo de Pascal:
106
Números enteros y divisibilidad
2) En la plantilla de la figura anterior pinta las casillas pares de un color y las casillas impares de otro
color. ¿Qué figura obtienes?
3) En otra plantilla idéntica a la de la figura anterior, pinta del mismo color las casillas que contengan
números divisibles entre 3 y deja en blanco el resto de casillas. ¿Qué figura obtienes?
Las figuras obtenidas se llaman “triángulos de Sierpinski”. Tienen estructura
fractal y son frecuentes en diversos procesos de la naturaleza, relacionados con el
crecimiento y el azar.
6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

AUTOBUSES
En una parada de autobuses coinciden tres líneas: C1, C2 y C3. En un momento determinado salen
los tres al mismo tiempo. El C1 tarda en recorrer su circuito, aproximadamente, 42 minutos, el C3
tarda 35 minutos y el C4 media hora. ¿Al cabo de cuánto tiempo coincidirán los tres de nuevo en la
misma parada?. ¿Cuántos recorridos habrá hecho cada uno en ese tiempo?.

AUTOPISTA
Acaba de terminarse una autovía de 150 kilómetros. Tráfico quiere poner teléfonos de socorro
(S.O.S.) a la misma distancia unos de otros. Obligatoriamente tiene que ponerlos en los kilómetros 0,
45 y 105. ¿En qué kilómetros deben ponerse los restantes?.
107
Matemáticas 2º ESO

REVISIONES
Rafael acaba de comprarse un coche. Está muy contento porque le ha salido bien de precio y porque
las revisiones (cambios de aceite...) están muy distanciadas. Por ejemplo:
REVISIONES QUE DEBE REALIZAR UN VEHÍCULO
Nº DE KILÓMETROS
Cambio de aceite cada...
8000 Km
Cambio filtro de aceite cada...
10000 Km
Revisión de frenos cada...
12000 Km
Cambio aceite caja de cambios cada...
20000 Km
Cambio correa de distribución cada...
60000 Km
¿Cada cuántos kilómetros debe realizar a la vez....
* cambio del aceite y de los filtros ?
* revisión de los frenos y el cambio de aceite de la caja de cambios ?
* cambio de los filtros del aceite y de la correa de distribución ?
* las cuatro primeras revisiones ?
* todas las revisiones ?.

CADENETAS
En la clase se forman tres grupos de alumnos para hacer cadenetas de papel con idea de adornar el
salón de actos para una fiesta. Después de una hora, un grupo ha conseguido hacer 84 m de
cadeneta, mientras que los otros dos han hecho 48 y 60 m, respectivamente. ¿De qué longitud
deberán cortar las tiras para que sean lo más largas posible sin que a ningún grupo le sobre ni le falte
cadeneta?. ¿Cuántas tiras de cadenetas saldrán en total?.

DIVISORES COMUNES
a) Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y los de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. ¿Cuáles son los
divisores comunes a 12 y 30?. ¿Qué otros números tienen al menos esos divisores comunes?.
b) Los divisores comunes de dos números son: {1, 3, 5, 15}. ¿De qué par de números puede
tratarse?.
c) Busca números que sean divisibles por 2, 3 y 5 a la vez.
108
Números enteros y divisibilidad

MULTIPLOS COMUNES
¿Cuántos números hay de cuatro cifras que sean múltiplos comunes de 450 y 360 ?.

ARBOLES
Se planta un cierto número de árboles. Si se les cuenta de 6 en 6, de 8 en 8 ó de 10 en 10, sobran
siempre 5. Sabiendo que el número de árboles está comprendido entre 200 y 300, ¿cuál es ese
número?.

BARCOS
Tres barcos salen del mismo puerto; el primero, cada 12 días; el segundo, cada 15 días, y el tercero,
cada 20 días. Si hoy salen los tres juntos, ¿cuándo lo volverán a hacer por segunda vez?.

MANZANAS
Contando las manzanas de una caja de 4 en 4, de 5 en 5 ó de 6 en 6, sobran siempre 3 manzanas.
¿Cuántas manzanas tiene esa caja?.

¿QUÉ NÚMEROS?
a) Busca números que al dividirlos por 2 den 1 como resto.
b) Busca números que al dividirlos por 2 y por 3 den 1 como resto.
c) Busca números que al dividirlos por 2, por 3 y por 4 den 1 como resto.
Al mayor de los divisores comunes de dos números se le llama Máximo
Común Divisor (m.c.d.) y al menor de los múltiplos comunes se le llama
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.).
109
Matemáticas 2º ESO

MAXIMO COMÚN DIVISOR
Para calcular el máximo común divisor de los números 156 y 140 puedes utilizar dos procedimientos:
1) Halla todos los divisores de los dos números y elige el mayor de los divisores comunes:
D(156) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156}
D(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}
Observa que el mayor de los divisores comunes es 4. Por lo tanto: m.c.d.(156, 140) = 4.
2) Utiliza la descomposición en factores primos de los dos números:
2
156 = 2 x 3 x 13
2
Observa los factores comunes: 2 . Entonces:
2
140 = 2 x 5 x 7
2
m.c.d.(156, 140) = 2 = 4
a) Utilizando los dos procedimientos anteriores, calcula el máximo común divisor de los siguientes
pares de números: (8, 12), (36, 60), (140, 160).
b) ¿Cuál es el m.c.d. de dos números si su descomposición en factores primos es
2
2
y 5 x 2 x 3 x 7 ?.
3
2 x5x3
2
Si varios números están descompuestos en sus factores primos, se
obtiene su m.c.d. formando el producto de las menores potencias de
los factores primos comunes.
c) Calcula el m.c.d. de los siguientes pares de números: (175, 125), (140, 300), (700, 250). Calcula el
m.c.d. de las siguientes ternas de números: (48, 60, 72), (144, 810, 720).
110
Números enteros y divisibilidad

MINIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para hallar el mínimo común múltiplo de los números 36 y 84 podemos usar tres procedimientos:
1) Hallar las listas de múltiplos de los números hasta encontrar el menor múltiplo común a los dos:
36 = {36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 326, ... }
84 = {84, 168, 252, 336, 420, ... }
Observamos que 252 es el primer múltiplo común a los dos, luego: m.c.m.(36, 84) = 252
2) Utilizar la descomposición en factores primos de los dos números:
2
2
36 = 2 x 3
2
84 = 2 x 3 x 7
¿Qué factores tendrá el mcm(36,84) ? ¿A qué exponente estará elevado cada factor?.
Si varios números están descompuestos en sus factores primos, se
obtiene su m.c.m. formando el producto de las mayores potencias de
los factores primos comunes y no comunes.
3) Observa:
2
2
m.c.m.(36, 84) = 252 = 2 x 3 x 7
2
m.c.d.(36, 84) = 12 = 2 x 3
Al multiplicar los números 36 y 84 se obtiene el mismo resultado que multiplicando el m.c.d. (que
es 12) por el m.c.m. (que es 252), osea:
36 x 84 = 12 x 252.
Esta propiedad es cierta para dos números cualesquiera a y b:
m.c.d.(a, b) x m.c.m.(a, b) = a x b
Por lo tanto, para hallar el mínimo común múltiplo, basta conocer el máximo común divisor.
a) Utilizando los tres procedimientos anteriores, halla el mínimo común múltiplo de los siguientes
pares de números: (8, 12), (12, 20),
(10, 100), (25, 75), (11, 13)
b) ¿Cuál es el m.c.m. de dos números si su descomposición en factores primos es:
4
2
y 2 x 3 x 5 ?.
3
2
2 x3 x5
c) Calcula el m.c.m. de: (16, 48), (8, 12, 20), (15, 27, 30).
d) ¿Tiene sentido hablar de mínimo común divisor de varios números?. ¿Cuál sería ese número?.
¿Cuál sería el máximo común múltiplo de varios números?.
111
Matemáticas 2º ESO

FOCOS
En un escenario hay focos de distintos colores. El grupo que actúa quiere que los rojos se enciendan
cada 15 segundos, los verdes cada medio minuto y los amarillos cada 25 segundos. A las 22 horas
comienza la actuación con todos los focos encendidos. ¿A qué hora volverán a coincidir de dos en
dos?. ¿Y los tres?. ¿Cuántas coincidencias se producen hasta las 23 horas?.

PANTALLA DE PROYECCIÓN
Queremos construir una pantalla para proyectar diapositivas en la pared de la clase. La pantalla tiene
que ser rectangular y sus medidas serán de 175 y 125 cm respectivamente. Para construirla
queremos utilizar cartulinas cuadradas de color blanco. ¿Cuál será el lado de la cartulina si deseamos
que sea lo más grande posible?. ¿Qué sistema has empleado para resolver el problema?.

VISITAS
Dos primos, Luis y Catalina, visitan a su abuela de forma periódica. Luis cada 15 días y Catalina cada
21 días. Si se encuentran en casa de su abuela el 1 de enero, ¿qué día será el primer encuentro?. ¿Y
el segundo?. ¿Y el tercero?.

HABITACIÓN
Se quiere enlosar una habitación rectangular de 520 cm de largo y 240 cm de ancho con losas
cuadradas de la mayor dimensión posible y que no sea preciso cortar ninguna losa. ¿Cuál será la
dimensión de cada losa?.

UNIENDO BALDOSAS
¿Cuál es el lado del menor cuadrado que se puede construir uniendo baldosas de 6 cm x 15 cm ?.
112
Números enteros y divisibilidad

PARCELAS
Se desea dividir una nave rectangular de 12 m de ancha y 18 m de larga, en parcelas cuadradas
iguales, lo más grandes que sea posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela?.

CIFRAS OCULTAS
Averigua las cifras ocultas de todas estas operaciones. ¿Qué divisiones son exactas?:
En las que no son exactas, ¿qué tendrías que cambiar para que lo fueran?. Inventa ejemplos
diferentes en los que aparezcan cifras ocultas.

MCD Y MÚLTIPLOS
Investiga si es cierta o falsa la siguiente afirmación:
“Si tienes el m.c.d. de dos números, cualquier múltiplo de uno de esos números también es múltiplo
del máximo común divisor”.
113
Matemáticas 2º ESO

MCD CON LA CALCULADORA
Con la calculadora se puede calcular el m.c.d. de dos números con comodidad. Aquí tienes las
instrucciones para calcular el m.c.d. de 156 y 140.
1º) Toma los dos números y resta el menor del mayor.
2º) Sustituye el número mayor del par por la diferencia obtenida.
3º) Comprueba si son iguales. Si ves que sí, ése es el m.c.d. y si, por el contrario, son distintos, resta
al mayor el menor y repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que los dos números
coincidan.
Aplica esta técnica con otros pares de números. ¿Por qué es válido este procedimiento?.
114