Situación de la enseñanza de la estadística en bachillerato

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 32, Núm. 123, 1990, págs. 201 a 364
Situación de la enseñanza de la estadística
en bachillerato
por
Jt)SE COLERA
Profesor de lnstituto
INTRODUCCION
Es un hecho que fa estadística y la probabilidad, en el mundo escolar,
están muy relegadas. Se ven, en general, poco y mal. Como consecuencia,
los alurnnos acaban la enseñanza media sin saber casi nada de estos
temas.
Los programas oficiales vigentes en la actualidad contemplan un tratamiento de las mismas suficientemente amplio ^aunque, acaso, no suficientemente acertado) como para que se les dedicara mucha más atención de
la que se les dedica.
^Cuáles son las causas? Posiblemente la preparación del profesorado en
estadística y probabilidad diste rnucho de ser la adecuada para orientar
eficazmente a los alumnos: es frecuente que los profesores sepan poco de
estos temas, no les gusten nada y carezcan por completo de recursos para
desarrollarlos en el aula.
Ser^a interesante estudiar por qué es precisamente esta parte de las
matemáticas la que peor conoce el profesorado, tanto en su aspecto cientí-fico como en el didáctico. ^Acaso porque su formación inicial sea excesivamente abstracta y, en general, no Ilegaron a entender los fundamentos de
aquello que estudiaron? zSe trata de un círculo vicioso consistente en que,
como no gusta y se domina mal, se evita el tratarlo en clase, con lo cual la
que se produce con
adquisición de recur ^ os didácticos
mejoría natural
el ejercicio profesional no se da en estos temas, y así se sigue con poca
inclinación a tratarlos en clase?
Los programas oficiales y, en consecuencia, los libros de texto invitan a
un tratamiento excesivamente academicista. Además son muy densos, muy
Ilenos de contenido por lo que no es fácil propiciar un aprendizaje activo.
ESTADISTICA ESPAÑOLA
ZO2
z Hasta qué punto influye la selectividad, donde rara vez aparecen cuestiones de estadistica o probabilidad para responder las cuales se requieran
ideas claras y no canocimientos anecdáticos, cálculo de parámetros o
propiedades de la axiomática ?.
Para ir mejorando estas deficiencias caben distintas actuaciones:
C.a modificación de los programas, tarea que se encuentra en una
buena fase: programas de la reforma de ia enseñanza no universitaria, con
la experiencia previa que se tiene de los cursos experimentales.
Formación del profesorado.
Modificación de los criterios orientadores del COU y de los ejercicios
propuestos en la selectividad, de modo que induzcan al profesorado a
impartir conocimientos razonables, que requieran saber interpretar y valorar
los métodos estadísticos y no el manejo anecdótíco de técnicas, cálculos y
procedimientos na bien er^tendidos.
A lo largo de este escrito me extenderé con algún detalle en cada uno de
estos temas.
SlTUACION ACTUAL
Los actuales programas de bachillerato provienen de 1970 (La Ley General
de Educación de Villar Palasíl. En elios las matemáticas se presentan
dentro del área "Matemáticas y Ciencias de la Naturaleza" con la que se
trata de "capacitar al alumno para comprender los fenómenos naturales,
científicos y técnicos de su entorno", y en la cual "se resaltará la importancia del mecanismo lógico implicito en el razonamiento científico habituando
al alumno a los métodos deductivo e inductivo y a la experimentación".
En los programas, la presencia de la Estadística y la Probabilidad se
^ oncreta del siguiente modo:
Primer cursa (Alumnos de 1 5 años).
Hay nueve apartados entre los que figuran los dos siguientes:
Combinatoria. Prababilidad.
Variabie estadística. Medidas de posición central y de dispersión.
y como sugerencias metodológicas se recomienda
introducir la teoría combinatoria y noción de probabilidad para el caso
de un universo finito;
continuar el tratamiento estadístico de los colectivos, iniciado en la
EGB.
SITUAC'!ON DE LA ENSEÑANZA DE L.A ESTADISTIC'A EN BACHlLLERATO
2^3
Es de destacar que ta probabifidad aparece como una prolongación de la
combinatoria. Esta supone, por una parte, una invitación a tratar la probabilidad fundamentalmente como "cálculo de probabilidades" y, por otra, a
poner al alumno problemas de probabilidad para que se resuelvan por
combinatoria ciásica, lo cual supone una lirnitación y una dificultad especial.
Segundo curso
No hay nada de estadística ni probabilidad, lo cual es chocante tratándose de un curso terminal para los alumnos que en 3.^ escogen ramas de
letras en las que no vuelven a dar matemáticas ^Esto se ha paliado hace
dos cursos mediante la introducción de una nueva asignatura
Matemáticas ! I de COU
de la cual hablaremos más adelante).
Es significativo que en este mismo curso se inc^uyan temas como trigonometría, cálculo de límites, derivadas, estudio del plano afín y hasta integrales, todo ello para alumnos, rnuchos de los cuales, repitámoslo, van a
seguir estudios de fetras.
Tercer curso
Hay siete apartados entre las que figuran los dos siguientes:
Variable aleatoria. Distribución binomial y normal.
Distribuciones bidimensionales. Rectas de regresión. Correfación.
Entre ios objetivos que aparecen más adelante se encuentra éste:
Adquirir el concepto de variable aleatoria que perrnita la utilización de
las funciones de distribución en su aplicación a las ciencias biológicas,
físicas y sociales.
Y en las orient^ciones metodológicas hay éstas:
Se definirá, mediante ejemplos sencillos, el concepto de función de
distribución, valor medio y varianza de la misma. Se introducirá ei concepto
de variable aleatoria continua. Estos conceptos se aplicarán a las distribuciones binomial y normal, respectivamente, debiendo utilizarse las tablas
correspondientes a la resolución de ejercicios de aplicación.
Las distribuciones estadístícas bidimensionales se limitarán al caso de
variables discretas.
cou
En el Curso de Orientación Universitaria se aconseja que, por un lado,
"sirva de síntesis y ordenación de los cursos anteriores ... por otra, de
preparación para el acceso a la enseñanza superior".
204
ESTADISTI('A F.SPA!V()l_,4
En el programa hay cuatro apartados {Algebra, Geometría, Análisis y
Probabilidad^ y se les da un cierto peso indicando, a título orientativo, el
número de semanas que puede dedicarse a cada uno de ellos: 6, 8, 9 y 4
respectivamente.
Este es el bloque de Probabilidad:
"Ampliación del cálculo de probabilidades. E! alumno deberá profundizar
las nociones de probabilidad, estableciendo una axiomática de esta teoría
en conexión con e! álgebra de sucesos, Ilegando a obtener la noción de
espacio de probabilidad. Conviene Ilegar hasta el Teorema de Bayes como
primer ejemplo de inferencia estadística. Todo el tema deberá dar ocasión
para proponer ejercicios tanto de rnotivacián como de aplicación de este
modelo matemático, en relación con otras disciplinas y con la vida real".
Los programas de estos cuatro cursos, además de ser muy densos,
invitan a un planteamiento fuertemente academicista. Ambos extremos
propician que el profesor, falto de tiempo, los recorte precisamente por
aquellos temas cuya ausencia menos influya en la construcción de los
contenidos del resto del curso o de cursos venideros. En esta poda los
temas de estadística y probabilidad suelen ser los primeros en caer.
Es un hecho que una buena cantidad de profesores relegan por campleto
esta parte, o la dejan para el final de curso y, entonces, o r^o les da tiempo
o, a lo sumo, dedican unos pocos días a enseñar el cálculo rutinario de
algunos parámetros cuyo significado y cuya utilidad los alumnos no alcanzan a entender.
La poda es especialmente grave en tercer curso pues el resto del programa es amplio, fuerte e"importante" (trigonometría, geometría analítica,
números cornplejos, funciones, derivadas, construcción de curvas, integrales); como se ve "muy matemático" e"imprescindible para el alumno de
ciencias"; el núrnero de horas semanales (cuatro) escaso, y"la estadística
es algo de lo que se puede prescindir, pues no se echará en falta en cursos
posteriores'". Además, '"la formalización matemática de los conceptos estadísticos de este curso es fuerte, requiere una buena base de cálculo y de
estadística con lo que su tratamiento en el aula resulta complicado".
En estos razonamientos, comunes a muchos profesores, subyacen las
siguientes concepciones:
"Lo básico, lo imprescindible para cursos posteriores, es la adquisición
de rutínas, procedimientos, cálculos que se requieren para proseguir con 1a
construcción y manejo matemático de conceptos posteriores, cargados de
rigor matemático", a despecho, en muchos casos, de la adquisición de
ideas, de hábitos de trabajo autónomo, de dísposicíón a enfrentarse con
SITUA(:ION DE LA ENSEÑANlA DE LA ESTADISTI('A EN E3.ACHIL,LERATO
ZQ$
de rigor inte%ctual por lo
sencillos pero no triviales
proólemas nuevos
cual sólo se maneja 1o que se ha asimilado y se puede hacer con pleno
conocimiento de causa.
-- "La estadistica, pues, no es un conocimiento básico" salvo, acaso, el
conocer algunas definiciones, las fórrnulas para abtener algunos parámetros y, a lo sumo, resolver algunos problemas de probabilidad utilizando la
Ley de Laplace.
"Para que un resultado matemático pueda ser utilizado es imprescindible que se formalice con rigor". Es decir, los conocimientos ricos en
ideas, bien sustentados por intuiciones, con significado perfectamente asimilable y susceptibles de ser manejados con conocimiento de causa, son
marelegados (ignarados) si no se pueden presentar formalmente
de forma correcta.
temáticamente
En CUU pasa algo parecido. Los contenidos de probabilidad (sorprendentemente más pobres que los de 3.°1 son también los primeros que caen
como consecuencia de ia densidad del programa. Hay distritos universitarios donde la mutilación se da desde la propia coordinación de la universidad (por ejemplo, en algún distrito se han excluído explícitamente los
problemas de cálculo de probabilidades "a posteriori" por ser difícil la
fórmula de Bayes, sin tener en cuenta que, como veremos más adelante, se
pueden resolver con toda sencillez sin conocer la fórmula de Bayes). En
cualquier caso hay una buena proporción de profesores a quienes "no da
tiempo" a ver este bloque en el periodo lectivo -(los alumnos de C4U son
evaluados en sus centros hacia finales de mayo ^ . Algunos de ellOS !os
suplen con clases complementarias a las que los alumnos que van a ir a la
Selectividad acuden voluntariamente y en las cuales, frecuentemente, se
limitan a darles algunas recetas para resolver ejercicios sabre probabilidad.
EL PAPEL DE LA SELECTIVIDAD. UN CASO SINTOMATICO: LAS
MATEMATICAS 11 DE COU
Hay algunos requisitos que debería cumplir todo examen:
que permita rnostrar al alurnno lo que sabe en vez de buscar lo que
no sabe.
que el examinando no sienta desconfianza sobre sus conacimientos.
que el examinando tenga claro qué se le puede pedir, y que no sea
una sorpresa.
No es demasiado aventurado decir que los exámenes de Selectividad, en
muchos casos, distan de cumplir esos requisitos. En general:
seleccionan poco: posiblemente aprueban más alumnos en la Selecti-
20ó
ESTADISTICA ESPAÑOLA
vidad que las que pasarían si la selección se dejara a los Centros de
Bachillerato, pues en muchas ocasiones se aprueba a alumnos flojos para
no privaries de la posibilidad de "probar suerte" en la Selecfividad.
seleccionan mal: las notas que los alumnos consiguen guardan poca
correlación con los méritos mostrados durante el curso.
y, lo que es más grave, condicionan el tipo de preparación que se les
da, al menos en el COU.
Las matemáticas I! de CO U.
Esta asignatura fue concebida para aportar unos conocimientos iniciales
a los afumnos de Ciencias Sociales y Humanístico-Lingiiísticas. En la Resolución correspondiente, establecida por las Direcciones Generales de Enseñanza Superior y la Renovación Pedagógica del M.E.C. se dice:
"La finalidad de este programa es proporcionar a!os alumnos, de una
manera eminentemente práctica, algunas herramientas sencillas del bagaje
matemático que constituyen una ayuda muy eficaz para el trabaja en
Ciencias Humanas y Sociales.
"Se insistírá en el sentido y aplicaciones de los enunciados y no en la
demostración y desarrollo matemático de los mismos ^...)" y se añade la
conveniencia de facilitar el uso de la calculadora y de tomar como referencia de partida los primeros cursos de bachillerato.
Es, pues, una materia dirigida a alumnos " de letras" con la que se
pretende reconciliarlos con las matemáticas y dotarlos de unas herramientas^ indispensabies para sus estudios posteriores, en la que el conocimienta
intuitivo y la utilización razonable de instrumentos matemáticos sencillos
deberían primar sobre las fundamentaciones teóricas, el exceso de nomenclatura, las demostracianes y los desarrollos formales.
EI programa contempla tres grandes bloques a los que se les da el
mismo peso: Algebra lineal (sistemas de ecuaciones, cálculo matricial y programacián lineall, .^t nálisis descriptivo de funciones y gráficas y Elementos de
probabilydad y estadística.
He aquí, pormenorizado, la parte del programa correspondiente a este
último bloque, con sus orientaciones metodológicas:
Elementos de probabilidad y estadística.
Estadística:
Terminología: Población, muestra, individuo, variable...
EI porqu^ de las muestras. Como debe ser una muestra.
SITl1ACIUN DE LA ENSEÑANLA DE LA ESTADtST1CA EN BACHILLERATO
Manejo de tablas. Significado.
G ráficas estadísticas.
Parámetros estadísticos. Significados y cálculo: Media y desviación
típica, varianza. Mediana, cuartiles y centiles.
Distribuciones bidimensionales:
Correlacián. Significado. Cálculo del coeficiente de correlación e interpretación.
Regresión lineal.
Probabilidad:
Azar y probabilidad. Leyes de la probabilidad. Asignación de probabilidades: probabi{idad "a priori" y"a posteriori".
Experiencias compuesta^. Probabilidad condicionada.
Cálculo de probabilidades sencillas.
Distribuciones de probabilidades discretas:
t Qué es una distribución de probabilidad?
Parámetros µ y a en una distribución de probabilidad.
Algunos ejemplos sencillos de probabilidad discreta.
Somera descripc+ón de la distribucíón binomial. Aplicaciones.
Fórmulas para la obtención de µ y Q.
Distribuciones de probabilidad continuas;
Peculiaridades de las distribuciones de variable continua.
Ley de distribución normal. Descripción. Cálculo de probabilidades de
distribuciones normales con el uso de tablas.
La binomial como aproximación a la normal.
Test de normalidad.
La finalidad de esta parte del curso es proporcionar a los alumnos
algunas nociones de estadística aplicada a las Ciencias Sociales y Humanas.
Se debe pretender que el aparato conceptual indispensable para este
objetivo se presente en todo momento firmemente apoyado en la intuición y apoyado en aplicaciones prácticas.
La aproximación a las tareas rutinarias de los cálculos estadísticos rnediante el uso adecuado de la calculadora y el ordenador, facilitará las
aplicaciones reales de la estadística.
A partir del estudio de nubes de puntos se puede Ilegar al concepto de
207
zos
ESTADISTICA ESPAÑOLA
relación estadística y su diferencia con la relación funcional. No es
necesario formalizar el concepto ni el cálculo de recta de regresión.
EI cálculo de frecuencias relativas y las observaciones referentes a su
estabilidad deben ser el cauce para la noción de probabilidad.
Es importante hacer resaltar la diferencia entre la probabilidad que se
asigna, y que dependerá de los elementos de juicio que se posean "a
priori" (Regla de Laplace) y la probabilidad "a posteriori" obtenida experimentalmente (como idealización de la frecuencia relativa).
La asignación de probabilidades debe realizarse mediante la experimentación o aplicando la regla de Laplace. ^ 1 profesor valorará la necesidad
de repasar las técnicas de recuento, la combinatoria en particular, estudiadas en el primer curso.
La propia Dirección General de Renovación Pedagógica publicó unos
meses más tarse unas orientaciones Didácticas como información complementaria útil para los profesores que impartirían dicha materia a partir del
curso 1988-89.
Como es lógico ante una materia nueva el profesorado debe acomodarse
a la misma, tanto más cuanto que es una asignatura de matemáticas con
un "sabor" claramente distinto del habitual. Este acomodo supuso la búsqueda y elaboración de material escrito que se adecuara al espíritu de esta
materia, fundamentalmente actividades de aula acordes para desarrollarla.
En esta tarea de orientación, la coordinación desde la Universidad debió
jugar un importante papel y de hecho lo jugó en muchos casos. Pero en
algunos se procedió a"Ilenar de contenido"" las líneas marcadas por el
M inisterio y, así, aparecieron:
momentos de orden r.
momentos de una variable aleatbria absolutamente continua.
rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.
coeficientes de asimetría y curtosis.
distribuciones marginales, mornentos de orden (r,s1.
varios test de normalidad.
fórmula de Bayes.
la fórmula de la función densidad de la distribución normal.
álgebra de sucesos y axiomas de probabilidad.
De este modo, en algunos distritos, el programa para estos alumnos de
letras se hizo elevado y denso. Los alumnos, así, más que reflexionar y
ZDy
SITI.'AC-'{Ow DE LA f tiSEtiAti7A DE t_.A EST^^DiSTI(^,^ F^.ti f3,^C'H11.LE-R,^1-T^O
resolver casos sencillos que cornprenden a fondo, deben aprender
definiciones, procedimientos, fórmulas con vistas al examen.
morizar
me-
con algunas excepPosiblemente cada uno de los apartados anteriores
puedan ser tratados en el aula aunque los alumnos sean de letras.
ciones
Pero hay una gran diferencia entre la posibilidad de tratar, como recurso
metodolágico, alguno de ellos y la obligación de enseñarlos como contenido exigible y susceptible de ser objeto de examen.
Veamos algunos ejemplo^:
En clase, después de haber estudiado la mediana y los cuartifes, cuando
los alumnos ^ los han manejado en casos concretos y han asimilado su
significado y el papel que juegan, se ies puede proponer que sitúen aproximadamente la mediana y los cuartiles en cada una de estas tres distribuciones:
Q,
M e Q^
Q,
M e Q3
Q,
M e Q^
Posteriormente situará el punto medio de los dos cuartiles Q, + Q3
2
y lo comprará ^menor , igual, mayor) con la mediana. Relacionando las
desigualdades obtenidas con el tipo de asimetría de la curva verá claro que
Q,+Q3 -Me^ Q,+Q3-2Me
2
2
tiene que ver con el tipo de asimetría de la curva. Si se quiere, incluso,
estos aiumnos pueden razonar la conveniencia de conseguir que la unidad
en que venga dada la variable no influya en el valor del parámetro, para lo
cual puede ser interesante dividir por la mediana:
Q, + Q3 - 2 Me
2 Me
Esto, como objeto de una actividad de aula y, por tanto, como rno^ivo de
reflexión sobre el papel de la mediana y 1os cuartiles, puede ser muy
interesante. Pero es supérfluo ^y por tanto contraproducente^ el pretender
que estos alumnos aprendan el proceso y la fórmula.
Ciertamente, es necesario que lo ^ alumnos aprendan alguna fórmula y
algunos procesos, los imprescindibles para resolver, interpretar situaciones,
?!0
E5T.4DISTICA IrSPA V^LA
participar activamente en el proceso estadístico. Pero cuanto menores sean
las exigencias concretas mejor podrá dedicarse a aquello con lo que trabaja.
E! alumno puede entender que las expresiones
^^X`_X I
n
^ {x,_X^2
Y
n
sirven para medir !a dispersión {el grado de alejamiento de la media) de los
valores de la variable. Y, si lo analizan en aigún caso concreto, comprenderán que en la segunda de ellas los valores más alejados de la media tienen
"más peso", "más protagonismo" que en la primera. De ahí, se puede
inferir que en la expresión
^(X^-X^r
n
el "peso" de los valores lejanos es tanto mayor cuanto mayor sea r, y que
esta propiedad puede ser útil para estudiar propiedades sobre la forma de
la curva: más o rnenos picuda, más o menos asimétrica.
Esto, como opción para el profesor, si la ve didácticamente adecuado
para algunos de sus alumnos, puede ser útil como motivo de reflexión. Pero
si es un imperativo del programa
Momentos de orden ^
por el cual está
obligado a hacerlo aprender a todos sus alumnos, en la mayoría de las
casos no producirá atro efecto que cargar el programa y dispersar la
atención de los alurnnos con conocimientos innecesarios.
La fórmula de Bayes es difícil para estos alumnos. Difícil e innecesaria.
"En una casa hay tres Ilaveros, A, B y C, el primero con 5 Ilaves, el segundo
con 7 y el tercero con 8, de las que sólo una de cada Itavero abre la puerta
del trastero. Se escoge ai azar un Ilavero y de él una Ilave para intentar
el trastero. (...) Si la Ilave escogida es la correcta, ^ cuál es la probabilidad
de que pertenezca ai Ilavero A?" (Cuestión de selectividad).
Un alumno que haya aprendido a razonar en las pruebas compuestas
valiéndose del diagrama en árbol, procederá así:
La probabilidad de dar con una Ilave que abra el trastero es
56+40+35 _ 131/840.
840
5(Tl'AC'1C7iti' Df I.A EtiSFti:AN7.A DE LA FSTA[^ISTIC`A E^ti B.1(`Fill.l..E:RATC^
211
De cada 84o intentos conseguirá, por término medio, abrir el trastero en
131 ocasiones. De elias 56 provienen de haber escogido el primer ilavero.
La probabilidad pedida es, pues, 56/131.
{Ni que decir tiene que no se discute que la fórmula de Bayes es
hermosa y útil, pero para usuarios de un nivel superior ai de estos aiumnos ^ . ^ No es preferible que estos aprendices sepan obtener tales resultados
mediante procedimientos sencillos en los que cada paso es razonado, y no
aplicando una fórmula que están lejos de dominar?
Entiendo, pues, que el papel de la Universidad como coardinadora del
COU es aportar ideas, propiciar un intercambio de material didáctico entre
los profesores, recabar opinianes para mejor orientar a todos. Papel, que,
sin duda, se juega en muchos casos, pero que cuando no es asi perturba
seriamente la marcha de COU.
Orientar sobre la buena marcha del curso y diseñar pruebds de seiectividad que sirvan, además de para valorar a!os alumnos, para ratificar el
espíritu de lo +que se persigue. Lo peor de incluir en la prueba de seiectividad ejercicios fuera de lugar no es ya la desventaja que sufren los aiumnos
que se examinan sino, fundamentalmente, el sesgo que produce en el
planteamiento de !os profesores de COU los cursos siguientes. Entre muchos ejemplos qi^e se padrían poner, señalo uno: Es un cierto distrito ha
una integra! racional, claramente fuera de
salido
en Matemáticas !1
lugar en estos programas. Los alumnos que hicieron ese examen pudieron
esquivarla optando por otras cuestiones. Pero raro será el profesor que no
se sienta obligado este curso a explicar este tipo de integrales, y quizá
otras del mismo nivel, "por si acaso", con la consiguiente pérdida de
atención a otras partes de la asignatura más formativas y útiles.
Veamos algunas preguntas de selectividad reiativas a estadistica y probabilidad que han aparecido al final del curso pasado y que, necesariamente, van a producir un vuelco enorme en la concepción de lo que se pretende con estos programas pues, en última instancia, quienes imponen los
programas son los que diseñan las pruebas por las que se decide si un
alumno sabe o no:
Escribe la función de densidad de una distribución normal de media ,c^
y desviación típica a.
Las calificaciones x; de 40 alumnos son como indica la tabla
x;
f;
j
1
2
3
2
2
4? 8 9? 4 3
4 5 6 7 8 9
2l2
E:STA[^IS^TIC'A ESPAti()I~A
Determina las frecuencias que faltan sabiendo que la nata media es 5,3 y
calcula la mediana.
De una estación parte cada 20 minutos un tren. Un viajero ilega de
improviso. Halla la función de distribución de la variable aleatoria " tiempo
de espera"" y calcula su media y su varianza.
t Qué transforrnaciones sufren la media aritrnética y la varianza de
una distribución de frecuencias cuando se dividen sus valores por una
constante K? Razona la respuesta.
Como se ve, en todos ellos el énfasis está puesto en el conocimiento de
la fórmula y en la capacidad del alumno para manipularla algebraicamente.
En algún caso se requiere, incluso, el uso de integrales. Es decir, en el
mejor de los casos son problemas algebraicos o análiticos sobre fórmulas
de estadística. Del mismo tipo son los siguientes:
Se dan las ecuaciones de las rectas de regresión (de Y sobre X y de X
sobre Y) de una distribución bidimensional y se pide obtener diversos
parámetros (p, crX, rrY, ,uX, ,uy,...} (Hay varias pruebas de selectividad de este
estilo).
Se da una tabla estadística con valores que oscilan entre 60 y 140 y
se pide calcular la media "efectuando el cambio x^, = x; -
95 „
10
(Es de señalar que no se trata de una sugerencia para facilitar la tarea del
afumno que haya practicado el cambio de variables. EI alumno que no lo
conozca, dará el problema por perdido con casi toda seguridad}.
Hay varios problemas en los que se pide, entre otras cosas, probar si
dos sucesos son o no independientes. Y se espera que el alumno aplique el
criterio "L P(A r1 B) = P(A} ^ P(B)?". No es fácil que el alumno entienda qué
tiene que ver ese criterio con lo que, intuitivamente, significa que dos
sucesos sean independientes.
Cabría señalar muchos más ejercicios de este tipo con los que parece
que lo que se pretende del alumno es que maneje técnicas muy concretas,
con poco sabor estadístico, muy de tipo aritmético, algebraico o ar^alítico.
(Recordemos que estamos hablando de alumnos de '"letras'").
MIRAI^IDO AL FUTURO: LA REF©RIVIA
En estos momentos se encuentra en periodo de discusión un proyecto de
reforma de las enseñanzas no universitarias que supone modificaciones
muy fuertes con relación al currículum actual.
SITUACION DE LA Et^[SEÑANLA DE LA ESTADISTtCA EN BACNILLERATO
2I3
Dicha reforma tiene una importante componente administrativa f adscripción de profesores, centros docentes, horarios, agrupamiento y promoción
de alumnos,...^ que producen viva inquietud en el profesorado. En nada de
eso vamos a entrar aquí, donde nos limitaremos a comentar algo de los
aspectos curriculares en general, y el tratamiento de la estadística, en
particular.
La Educación Secundaria obligatoria está destinada a la totalidad de
chicos de 12 a 1 6 años.
Los programas de matemáticas están inspirados en las tendencias act^^ales de los profesores y grupos de trabajo más punteros en didáctica de ^as
matemáticas, tanto españoles como extranjeros. Señalemos algunas ^e
estas tendencias:
Se da más protagonismo a las estrategias de pensamiento, a los
procesos generales que se pueden utilizar en campos distintos y con propósitos diferentes, que a los bloques de contenido. ( Más que el "qué
aprende el alumno", importa el "cómo Ilega a adquirir ese conocimiento"^.
Se pone mucho énfasis en la resolución de problemas no rutinarios.
Se da gran importancia al papel de la intuición. La intuición como vía
de adquisición de conocimientos y como cualidad que hay que desarrollar.
Se desmitifica el rigor matemático. Interesa el rigor como meta: hay
que que conseguir que el alumno vaya aprendiendo a ser riguroso. Pero no
como condición que debe cumplir todo lo que el alumno haga o vea en
clase de matemáticas.
Se pone mucho interés en adecuar el grado de abstracción a las
posibilidades del alumno.
Se recupera, dándole enorme importancia formativa, la geometría de
la figura.
Se reivindica el interés educativo del estudio de azar: estadística y
probabilidad.
Se utilizan los juegos como base para la adquisición de intuiciones.
Se sugiere la utilización de la historia de la matemática como importante recurso didáctico.
Se fomenta el uso, bien administrado, de la calculadora.
Además de los objetivos educativos propios de las matemáticas se
considera fundamental otro tipo de objetivos: fomentar la creatividad, el
espíritu crítico del alumno, la constancia y el empeño en la búsqueda de
caminos para resolver situaciones nuevas, el trabajo en equipo y, por encima de todo, se tiene la convicción de que es fundamental que el alumno se
sienta cómodo y motivado, para que lo que aprenda le sea útil y duradero.
2 14
ESTADISTICA ESPAÑOLA
Se deja al profesor, y al centro docente, una gran dosis de libertad en
la elaboración de sus propios programas.
EI diseño curricular base ( D.C.B.j
En el programa de matemáticas aparecen 13 objetivos generales entre
los que se encuentran, cerrando la lista, estos tres:
I nterpretar gráficas relativas a diversos fenómenos (sociales, económicos, científicos, rnatemáticos...), analizando la relación que existe entre
las magnitudes que intervienen y estableciendo predicciones sobre su comportamiento o evolución.
I nterpretar la información relativa a estudios estadísticos presentada
de forma gráfica o numérica, vatorando críticamente su alcance mediante
el análisis de cómo se han obtenido los datos, cómo se presentan y para
qué se utilizan.
ldentificar fenómenos aleatorios presentes en el entorno, analizando la
posibilidad de ocurrencia de cada resultado para establecer predicciones o
criterios de actuación posteriores.
Hay cinco bloques de contenido:
1. Números y operaciones: significado, estrategias y simbolización.
2. Medida, estimación y cálculo de rnagnitudes.
3. Representación y organización del espacio.
4. Interpretación, representación y tratamiento de la información (fenómenos causales y aleatorios).
5. Tratamiento del azar.
Estos bloques de contenido se desglosan con cierta rninuciosidad prestando atención, en cada uno de ellos, a hechos, conceptos y principios;
procedimientos; y actitudes, valores y normas.
Por ejemplo, en el bloque 4 se dan
E n e I a p a rta d o d e hechos, conceptos y principios:
• Obtención de información sobre fenómenos aleatorios. Las muestras y
su representatividad. Las tablas de frecuencias absolutas, relativas y
porcentuales.
• Gráficas estadísticas usuales en los medios de comunicación y en el
conocimiento científico.
• Los parámetros centrales y de dispersión como resumen de un conjunto de datos estadísticos.
SITl1AC'ION DE LA ENSEÑAi`^ZA DE LA ESTADISTICA EN BACHiLLERATO
ZIS
• Algoritmos para calcular parámetros centrales y de dispersión senciIlos.
• Dependencia aleatoria entre dos variables.
E n e I d e procedimien tos:
• Utilización e interpretación de los parámetros de una distribución y
análisis de su representatividad en relacián con ef fenómeno a que se
refieren.
• Construcción de gráficas a partir de tablas estadísticas o funcionales,
de fórmulas y de descripciones verbales de un problema, eligiendo en
cada caso el tipo de gráfico y medio de representacián más adecuado.
• Detección de errores en las gráficas, que pueden afectar a su interpretación.
• Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de una población
de acuerdo con los resultados relativos a una muestra de la misma.
En el de actitudes, va/ores y normas
• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los fenguajes gráfico y
estadístico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y
del conocimiento científico.
Pero más ilustrativo, aún, del espíritu de estos nuevos programas es el
apartado de orientaciones [^idácticas, que incluye más de cien sugerencias de las cuales cito algunas relativas a1 tema que nos ocupa:
• Una de las razones que justifican la presencia y el peso de la estadística en esta etapa, es proporcionar instrumentos básicos para interpretar las informaciones que utilizan este tipo de técnicas. Es conveniente
tener en cuenta esto a la hora de seleccionar contenidos y actividades,
que no deben limitarse al cálculo de parámetros de distribuciones
dadas en forma de tabla. Es más, este tipo de actividades debe refegarse a un segundo plano porque la proliferación de calculadoras y ordenadores hace perder importancia a los algoritmos de cálculo de parámetros y a la elaboración minuciosa de gráficos.
• La estadística invita a la utilización de contextos muy diversos. Es
importante presentar situaciones obtenidas de diversas fuentes íprensa, libros, publicidad, televisión...) y provenientes de distintos campos
del conocimiento ^sociología, economía, psicología, biología, antropología, etc.)
Precisamente por esta gran variedad de situaciones a las que se aplica
la estadística y por la creciente utilización de su terminología como
argumento, es importante desarrollar la actividad crítica ante la información recibida en forma estadistica; la utilización de parámetros no
2!6
ESTADISTIC'A ESPAÑC}LA
adecuados, generalizaciones abusivas, gráficas mal construídas, términos imprecisos, etc... son errores habituales que es preciso conocer y
saber detectar. La prensa y los medios de comunicación en general
brindan abundantes opartunidades para ello.
^ 1.a obtención de información de distinto tipo por {os prapios alumnos
es una actividad que no debería faltar en clase de matemáticas. EI
diseño y realización de medicianes repetidas, encuestas, recuentos, etc.
que sean susceptibles de un tratamiento estadístico o el establecimiento de una relación y trazado de la gráfica correspondiente, hacen
posible dar un mayor sentido a la tarea matemática propuesta y reflexionar sobre las posibilidades y problemas que se pueden encontrar en
este tipo de actividades.
Y sabre el estudio del azar:
• Las ideas sobre el azar y la probabilidad pueden irse introduciendo
pauiatinamente desde los primeros años de la etapa, aunque con un
peso creciente a medida que se avanza en ella. Tados los alumnnos,
antes de Ilegar a 1a Educación Secundaria, tienen ideas previas sobre el
azar, la dependencia e independencia de sucesos, etc., que es preciso
conocer y tener en cuenta a la hora de diseñar y proponer actividades.
No se debe olvidar que éstas deben ir encaminadas, principalmente, al
desarrollo y educación de la intuición sobre la probabilidad.
EI desarrallo de esta intuición se realiza inicialmente a través de valoraciones cuaiitativas sobre la posibilidad de ocurrencia de sucesos (es
muy probabie, es menos prabable que...), para pasar, posteriomente, a
un enfoque frecuencial. E! cálculo de frecuencias no debe utilizarse
sólo como un métado para asignar probabilidad a sucesos; el estudio
de las frecuencias proporciona una información muy rica sobre el
significado y cornportamiento de io aleatorio. Conviene dejar para los
úttirnos añas el lenguaje probabilístico preciso y otros métodos de
asignación de probabiiidades.
Desde luego, no parece deseable Ilegar a la formalización dei álgebra
de sucesos y menos aún al establecimiento de una axiomática de la
probabilidad.
Puesta en práctica
Si el espíritu que emanan estos programas, con las correcciones a las
que se sometan tras el periodo de debate en que ahora se encuentran,
fuera asumido por el profesorado, creo que se conseguiría un aprendizaje
más racianal y más sólido de las matemáticas y de la estadística en
particular.
S[TUAC`IC)N DE LA ENSEÑAN"LA DE LA ESTADISTIC'A EN BACHILLERATn
2^%
La condición con la que se inicia el párrafo anterior, no obstante, parece
que está muy lejos de ser conseguida. Además de los aspectos administrativos que, como queda dicho en páginas atrás, inquietan sobremanera a los
profesores, respecto a lo estrictamente curricular (objetivos, programas,
evaluación,...} hay también fuertes reticencias que pueden resumirse en la
siguiente frase: "Se baja el nivel". Respecto a elia habría que discutir:
qué se entiende por "nivel"
cuál es el verdadero nivel con el que acaban, ahora, nuestros bachilleres.
Y añadir que esos programas están destinados a alumnos de 12 a 16
años y que serán seguidos por otros dos cursos {el Bachillerato) cuyo
diseño se encuentra ahora en fase de elaboración.
No obstante hay que admitir que, con esta forma en entender la enseñanza, si no se procede con acierto, se corre el serio peligro de trivializar la
formación de los alumnos.
Es necesario, pues, proceder muy seriamente a una mentalización y
formación del profesorado previas a la puesta en vigor de estos programas.
RESUMEN
EI aprendizaje de la estadística y la probabilidad en nuestro bachillerato
es, ahora, muy deficiente.
Pueden señalarse como causas:
Lo desacertado (densos, acadernicistasl de los programas vigentes.
La inadecuada formación de los profesores.
La desfavorable influencia de la Selectividad.
Se señalan como remedios:
La elaboración de nuevos programas, más acordes con las necesidades del momento y con las tendencias actuales de la didáctica de las
matemáticas.
La actualización científica y didáctica del profesorado de enseñanza
media.
EI primero de los puntos (nuevos prograrnas} se encuentra en una fase
esperanzadora, aunque inquietante.
EI segundo requiere una buena poiítica de formación (terreno en el que,
últimamente, se están haciendo intent©s serios aunque aún muy parciales y
2^&
ESTADISTICA ESPAÑOLA
no siempre certeros). En esta tarea de formación hay que tener muy en
cuenta
que la formación científica debe ir acompañada, de forma casi inseparable, de la formación didáctica.
que en esta tarea tienen mucho que decir tanto los profesores de
enseñanza media especialmente preparados por una dilatada dedicación a
la docencia y a la investigacidn didáctica, como aquellos profesores universitarios que se han interesado seria y largamente par ia didáctica de estas
niveles. Entre ambos colectivos debe procurarse un cl^ma de respeto y
valaración de cada uno de ellos hacia la importancia de la aportación del
atro.
SITUAC'lON DE LA ENSEÑAN"LA DE LA ESTADISTICA EN BAC'HILLERATO
ZI9
Comentarios sobre la Enseñanza de la Estadistica en
Bachillerato
^Qué es la Estadistica?
MAG DALENA COR DERO VALDAVI DA
Instituto Nacional de Estadistica
ROSARIO GARCIA FERNANDEZ
l.N.B. Tetuán-Vafdeacederas, Madrid
La Estadística es una ciencia de apro.ximación, se cog^en l©s datos
de mil personas, por ejemplo, y de e/los se hace una idea global de
un asunto q^ue puede implicar a millones de personas.
(Juan Muñoz, 14 años, 1.^ de B.U.P.i
La media es la suma de los habitantes dividido entre dos.
(Anónimo, C.O.U.)
INTRODUCCiOlV
Si hace nueve años nos hubiesen preguntado ^Qué sabéis de Estadistica?
nuest-a respuesta habría sido bastante pobre, y nos hubiésemos remitido a
los conocimientos de combinatoria de nuestro primero de BUP, y a la
semana de probabilidad de COU, vivida muy intensamente porque faltaban
tres semanas para un examen de Selectividad y, por supuesto, dejada a
nuestro libre albedrío a la hora de estudiar, ya que, nunca nos examinamos
de esta materia. Con una urgencia increíble, nos instaban a mecanizar la
resolución de unos problemas de Bayes que no entendíamos, pero que
caían fijo, y a memorizar unos axiomas del Algebra de Boole, que, aunque
correctamente enunciados, no motivaban mucho el estudio de los mismos.
En la formación matemática de bachillerato se intenta hacer comprender
conceptos tan abstractos como puede ser el de punto de acumulación y
desarrollos algebraicos con matrices, o espacios vectoriales, que difícilmen-
z^o
ESTADISTICA ESPAÑOLA
te pueden llegar a ser comprendidos, y con unas aplicaciones prácticas tan
lejanas, que escasamente motivan al alumnado. Sin embargo, se desestiman otras disciplinas más cercanas a la vida cotidiana como es el caso de
la Estadística.
Estamos en la época de las estadísticas. En los medios de comunicación
las cifras son muy importantes, los sondeos electorales han contribuido a
ello, así como las estadísticas del paro, e{ I PC, las encuestas de opinión, los
índices de audiencia,... En ei deporte aparecen las estadísticas de !os partidos televisados sobreimpresas en la pantalla. Los adolescentes de hoy
conocen, a grandes rasgos, los conceptos más elementales, y por tanto. son
una población a priori motivada para introducirse seriamente en el mundo
de la Estadística.
Los a#umnos responden mejor cuando están motivados, y nuestro objetivo en este comentario, es.en parte hacer constar esta realidad. ^ Por qué en
éstas circunstancias se olvida una parte de las Mateméticas, tan digna
como !a que más, y se imparten otras? No vamos a entrar en la respuesta
a esta pregunta que está claramente expuesta en e! artículo de José
Co#era, donde trata el tema de la formación del profesorado y la elaboración de los programas.
LA CIENCIA DEL PORCENTAJE
Hay quien ha afirmado que para un gran sector de la población "la Estadística es la ciencia rr^ediante /a cua/ con gráficos, tasas de variación y porcentafes, se manipula la opinión desde la publicídad, /a tecnología o la economía ".
Para conocer la opinión de los alumnos hemos pasado una encuesta en un
centro de bachillerato. Está claro que estos resultados no son representativos pero nos dan una idea, aunque sea parciaf.
- Hemos preguntado tQué es la Estadística?, y e! gráfico 1 muestra las
palabras utilizadas en la definición en diferentes cursos.
En los medios de comunicación se manejan muchas encuestas y sondeos, esto hace que en la definición de Estadística, el 29 % de los alu mnos
de primero y el 2 5% de !os de tercero, hayan utilizado estos términos. De
todas formas la Estadística se destaca como la ciencia de los porcentajes,
33 °lo y 54 °f° respectivarnente. En los comentarios de fos a!u mnos cabe
destacar los referentes a resultados deportivos y estadísticas dei paro. Los
gráficos ocupan el tercer lugar seguidos de los datos, las cifras.
Las respuestas particulares fueron de 1o más variado, hay quien afírma
que "Es un sitio donde se recogen datos'; o"Una rama de las Matemátícas
q^ue se da a finales de primer^ o a principios de segundo'; y otros presentan
222
ESTaDIS^t ^C a ESPa!vOEa
Sólo el 30 °lo supo razonar acertadamente, siendo aceptada cualquier
explícación aproximada, puesto que nos encontramos con otro problema:
no saben expresar sus ideas de forma ciara, y tienen dificultades de redacción y comprensión. EI principal fallo de su raionamiento es el significado
de la media y el desconocimiento de la varianza. Para los alumnos, en una
población todos los individuos deben estar en torno a la media o por
encima de ella, quedando por debajo sálo algunos casos aislados. Fallo éste
que también se da con relativa frecuencia en las afirmaciones que aparecen en los medios de comunicación. Respuestas que utilizasen el concepto
de asímetría no hubo ninguna.
Algunas ejemplos son: "La rr^itad está mejor a/imentada y la otra mitad
está peor alímentada, pvrque unos se encuentran por encima de la media
europea y lvs otros no'; "Está peor alimentada debído a que los niños
europeos tienen una media de mejor a/imentacián"; "Yo creo que ígual, porque la media de España es una parte bastante menor a la equiva/ente a toda
Europa. Por eso más o menos igua/".
Sería deseable fomentar el espíritu crítico de los alumnos ante la información que se les presenta, y para ello es necesar^a dotarles de las herram'rentas adecuadas.
Curiosamente, todos respondíeron bien a lo que es la Trigonometría.
Muchos de estos alumnos no volverán a utilizar estos conceptos, pero
saben definirlos correctamente, lo que hace constar que si se diera igual
impartancia a la Estadística serían capaces de expresarse en esta disciplina
con idéntica precisión.
^PARTIR DE GERO?
Es fácil criticar el programa que actualmente se imparte en los centros
de bachillerato, y difícil hablar sobre la enseñanza sin dedicar unas líneas a
esta crítica.
EI primer curso está concebido como un repaso de las Matemáticas de la
EG B, como consecuencia el programa es muy ampiio. La ídea, en teoría, es
buena, porque esto permite unificar el nivel de los alumnos para cursos
futuros y dar una visión global de las Maternáticas para posteriormente
profundizar en temas concretos, con las herramientas que se han adquirido
en este curso. La realidad es bien distinta. Los alumnos Ilegan al bachillerato sin saber operar con fracciones, ni representar puntos en la recta real, ni
plantear ecuaciones sencíllas, ni ... la lista podría ser demasiado larga. Por
tanto, el programa de primero, tan amplio, resulta demasiado grande. Esto
hace que se tenga que reducír, y dentro de esta reducción una de las
SITUAC'ION DE LA ENSEÑAN"LA DE LA ESTADISTIC'A EN BAC'NILLERATO
223
materias que se ve seriamente afectada es la Estadística. Los conceptos de
"distribución de frecuencias'; "variable aleatoria`; 'inedidas de centralización
y dispersión'; ' ^ráficos estadrstieos'; y algunas nociones de probabilidad,
son reservados para cursos posteriores.
No haremos comentarios al curso de segundo, en el cual no hay Estadística, aspecto éste que podría ser muy criticable.
En tercero, se debería entrar ya en conceptos como modelos teóricos de
distribuciones, con la binomial y la normal, modelos bidimensionales de
variables aleatorias y relaciones entre ellas. La situación es que, o bien hay
que partir de cero, ya que nos encontramos con alumnos que no han
recibido clases de Estadística en primero, o bien hay que hacer un repaso
amplio, puesto que existe una iaguna de un año sin tratar este tema, y en
muchos casos la laguna se hace más profunda ya que en este curso
tampoco se imparte esta materia.
COU es un curso muy especial, y en é1 los intereses son de lo más
variado. Hay un examen de Selectividad que marca bastante las pautas de
lo que se imparte en este curso, donde siempre se acaban los programas, y
se dan las lecciones de Probabilidad y Estadística correspondientes, como
sabemos por propia experiencia.
En el programa, lo que se Ileva el mayor porcentaje de horas es el
Análisis, y lo que menos la Estadística, claro que siempre nos queda el
consuelo de pensar en la Geometría, la gran olvidada de la actual proígramación del bachillerato.
En Maternáticas, a pesar de ser una "ciencia experrmental'; el material
didáctico se reduce en muchos casos a dados, barajas, urnas con bolas, y
botellas de plástico, paradójicamente elementos a utilizar en una clase de
Probabilidad, lo que Ileva a identificar Probabilidad y juegos de azar. Olvidémonos del material informático, quizá demasiado caro, y dejemos el resto
de los elementos a la imaginación del profesor.
Se necesita diseñar un nuevo programa para las IVlaternáticas del bachiIlerato. Esperemos que la próxirna Reforma propicie este cambio y sea
realmente un vehículo eficaz para que los alumnos se acerquen a las
Matemáticas sin el miedo que genera el considerarlas una disciplina abs-tracta y sin aplicaciones en la vida real. En una programación de estas
características la Estadística debería pasar a ocupar un lugar importante en
la formación del alumno. No olvidemos sus múltiples aplicaciones en otras
disciplinas, y el creciente interés que la sociedad actual manifiesta por la
información cuantificada.
224
ESTA[aISTICA ESPAÑQLA
Secuencias y simulaciones aieatorias
SANTIAG O FER NAN DEZ
C.O.P. Txorierri r' ✓izcaya)
1.
INTRODUCCION
tQué es la estadística? En una concepción profana, "estadística" significa información numérica, habitualmente ordenada en tablas, diagramas o
gráficos.
Sin embargo, la estadística es mucho más que eso. De entrada, se puede
divídír en dos amplias ramas:
1)
Estadística Descriptiva, relacionada con el resumen de datos y la
descripción de éstos.
2^
Estadística Inferencial (o Inductivai, estudia el proceso de utilizar
datos para tomar decisiones en el caso más general del que forman
parte estos datos.
Generalmente, cuando un profesor ha tenido que decidir entre escoger
una de las dos ramas, se ha decidido por la primera, privándoles a los
alumnos del acercamiento a una forma de pensamiento interesante, como
lo es el pensamiento inductivo.
Como sabemos, hay dos tipos de pensamiento lógico: el deductivo y el
inductivo. EI primero ha sido cultivado, rnagnificado y encumbrado; ya
desde la antigua cultura griega, míentras que el segundo no tuvo su "prueba de fuego" hasta los últimos años del siglo XVIII. Este pensamiento
aparece en contadísimas ocasiones en nuestras aulas.
Si exceptuamos las observaciones triviales, no es posible la maypría de
las veces acceder a una observación completa de los fenómenos de la
naturaleza; necesitamos una rnuestra sobre la cual actuar, para, a partir de
ella, sacar conclusiones respecto al conjunto que representa la muestra.
Per©:
zCómo elegir, para que la muestra sea represer^tativa?
SITI;A('10^1 DE LA Eti'SFtiAN1A DE LA ESTADISTI(^A E_ti BA^'tilLLf^RATO
Z25
Aunque a nivel superior hay toda una teoría que responde a la cuestión
anterior, sino que damos por supuesto que elegimos la muestra por un
método "fiable" para poder actuar y sacar conclusiones más generales.
Este método "fiable" va a consistir en:
Estab{ecer una tabla de números aleatorios.
2.
NUMEROS A^EATORIOS, SIMULACIONES
Nuestros programas de Enseñanza Secundaria evitan este tema, quizá
porque pensamos que no es adecuado a este nive{, o eien porque las
estrategias de pensamiento y proceso utilizados no son lo suficientemente
interesantes.
Creo, sin embargo, que es un tema adecuado para acceder a{os conceptos de 'azar', 'muestra', 'frecuencia', etc., que se lo puede ir desbrozando a
base de experiencias previas del alumno, que al mismo tiempo {e irán
haciendo adquirir una fuerte base intuitiva que guiará sus "pequeñas investigaciones".
^Cómo desarrollar el tema?
Sin duda, la Simuiación es uno de los mejores caminos: proporciana al
a{umno {a posibilidad de investigar él por su cuenta, y realizar así una serie
de conjeturas que pueden ser reforzadas mediante planteamientos más
"rigurosos" si así lo desea.
En una primera aproximación al tema no conviene presentarles una tabla
de números aleatorios ya confeccionada de antemano. Unas ideas generales pueden ayudarfes a crear su propia tabla y tomar un primer contacto
con el concepto de {o "`a{eatorio".
Así, en un primer acercamiento, podríamos decirles que: una secuencia
de dígitos.es aleatoria si:
Dado un dígito cualquiera, no existe ningún procedimiento para adivinar e{ siguiente con una probabilidad
mayor que 1 /10.
Ante esta presentación, se les ocurre escribir números al azar, y surgen
así secuencias del tipo:
1 23 1 98430 1 567463a...
Utros alumnos proponen los núrneros de lotería en{azados entre sí, o van
abriendo las páginas de un libro y anotando su numeración...
^:s^r.4r^^s^rit^^A F^^r^w^^t_n
Después de una breve discusión, se les presenta otra definición, ésta ya
más aproxímada:
Una secuencia es aleatoria si:
Cada dígito aparece con una frecuencia de 1/1 O;
Cada pareja aparece con una frecuencia de 1/100;
Cada trío de dígitos aparece con una frecuencia de 1^1000
y así sucesivamente...
Tras haber confeccionado una serie de tablas, pueden producirse discusiones interesantes en torno a la aleatoriedad o no de las secuencias
numéricas aparecidas:
ILos alumnos, por ejemplo, dicen: No es aleatoria, ya que, después de haber contado cien dígitos, aparece una vez el '5', y sin
embargo veinticuatro veces el '3'.
E! profesor les plantea preguntas tales como: t,Te parece razonable sacar conclusiones contando únicamente con cien dígitos?
Etc. ^
No tardan mucho en praponer métodos que supuestamente van a generar
secuencias aleatorias. Así por ejemplo:
■
Tirar dardos sobre una diana circular, que está dividida en diez sectores
circulares iguales y numerados del 0 al 9, e ir contabilizando los resultados.
■
Hacer girar una ruleta decimal (dividida en diez sectores iguales y numerados del 0 al 9), e ir anotando los resultados.
C^tros alumnos proponen métodos más sofisticados, tales como:
■
Levantar cada alumno af azar uno de los diez dedos de la mano, y
anotar los resuttados; se comenta la aleatoriedad de la secuencia, pues
parece que ^os dedos indices son los más levantados.
■
C7ar valor numérico ordenado a las letras del abecedario, para, después
de nambrar palabras, anotar sus correspondientes valores numéricos.
Así, por ejemplo:
a
1
b
2
c d e f g h i j k..
3 4 5 6 ^ 8 9 10 11 .
DP acuerda con el1o, !a palabra " café" genera la secuencia 3, 1, 6, 5. Y,
c^ tr^a tanto, "jefe" dará fugar a la secuencia 1, 0, 5, 6, 5.
SI'Tl.'At'IOti DF. l_A E=ti^;E tiA,1ZA DE^ l_A E:STA[^IST-I^'.^ E ti I3;^( Filt_L.E FZAIE)
?^?7
Nuevamente
se plantean discusiones:
,
las vocales salen muchas veces;
hay números que pueden generarse de formas distintas; así, por ejemplo, la letra 'k' genera e1 ' 1 1', pero 1o mismo se genera también
repitiendo dos veces la 'a`;
Pueden experimentarse asimismo otros procesos más matemáticos:
■
Tomar un número al azar y multiplicarlo por otro "suficientemente irregular""; el resultado volverlo a multiplicar por otro "irregular" (© por el
mismo anterior),..
Por ejemplo:
Tomando e! número
multiplicarlo
y de nuevo
45.068
45.068 x 19 = $56.292
856.292 x 19 = 16.269.548
La secuencia así obtenida es:
856292
45068
16269548
Una vez discutidas suficientemente las tablas que ellos proponen, convendría presentarles "a vuela pluma" procedimientos más serios: métodos
tales como ios de Newmann y Ulam son suficientes.
3.
SIMULACIONES ALEATORIAS
En las orientaciones expresadas en el D.C.B, del área de matemáticas en
la E.S.O. aparecen, dentro del tema "Tratamiento de1 azar", expresiones del
siguiente tipo:
Gonviene realizar estimaciones de la probabilidad antes de calcularla.
Hay que desarrollar la intuición sobre lo aleatorio a
'través de situaciones de azar.
Etc.
Uno de los caminos más rápidos para hacer simulaciones es coritar cor^
una buena tabla de números aleatoríos. Si mandamas a un alumno tirar
cien veces una moneda de Laplace para que vaya anotando los resultados
(cuántas veces cae 'cara' y cuántas "cruz'}, seguramente dirá que "'es muy
pesado". Sin embargo, si contamos con una tabla de números aleatorios, el
tiempo invertido pára obtener lo mismo no superará los cir^ca minutos
(basta elegir un número al azar de esa tabla: si es par, anotan-^os el
resultado como 'cara'; si impar, como ^'cruz'}.
,^g
^
ESTAi^ISTICA ESPA^70LA
Unos e^ emplos habituaimente presentados en nuestras aulas pueden ser
objeto de simulaciones:
Lanzamiento de una moneda
Lan2amiento de un dado
^anzamiento de dos monedas o de dos dados
Lluvia aleatoria sobre una cuadrícula
Cálculo de áreas
Movimientos al azar de un borracho .
EI juego de la LOTO
Nacirnientos en un hospital
Diversos juegos
Para seguir los ejemplos anteriores, nos serviremos de la siguiente tabla
de números aleatorios:
72771
64647
54885
76295
8350a
24511
45031
23653
11672
94354
15983
69406
28590
56510
42235
36707
67492
45994
38472
96510
49787
72654
96502
.....
42904
42538
43379
16529
29822
13277
25567
.....
SUPUESTO
Cálculo de
AREAS
Queremos obtener el área de una figura irregular. En primer
lugar se la introduce en un cuadrado de lado 1, y se lanzan
dardos sobre e^ cuadrado, para termínar el proceso con una
regla de tres. (Los dardos vienen definidos por un par de coor^ denadas, que son escogidas de entre 1os números aleatorios).
E, jemplo.^
Tomada la secuencia:
54815 15983 38472
433?9 76295 69403
SITUAC'ION DE LA ENSEÑAtYZA D ^ E LA ESTAD[STICA EN BAt:HILLERATO
229
Coordenadas de los dardos:
1.ef dardo (xl,y1) _ (0,54485; 0,1 5983)
2.° dardo (x2,y2) _ (0,38472; 0,43379)
3.ef dardo (x3,y3) _ (o,7fi295; 0,69403)
4.°, etc.
Se contabiliza el número de dardos caídos dentro de la figura
'A' {1lamamos n a este número) y el número total de dardos
{Ilamamos N a este número).
Lu ego:
Area Cuadrado
N
Area figura A
n
De donde:
Area figura A =
n • Area Cuadrado
N
Movimientos
al aiar de
un borracho
Se considera una persona borracha,
caminando al azar, moviéndose en
ocho posibles direcciones.
t Dónde se encontrará al cabo de
quince pasos? Se puede simular
mediante una secuencia aleatoria.
1
2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
CONCLUS^ONES
■ La simulación parece una de ias mejores formas de desarrollar una
imprescindible base intuitiva.
■ La secuencia de dígitos aleatorios es de fácil y rápida utilización,
permitiendo afrontar prob{emas "difíciies".
■
EI concepto de "lo aleatorio"" es de fácil asimilación.
■ Las nociones de frecuencia y probabilidad de un suceso aleatorio
pueden ser adquiridos fácilmente, sentando bases para posteriores cálculos
,
mas rigurosos.
^ 30
ESTADISTI^'A ESPAÑOL.A
suPUESTo
Lanzamiento
Si el número es par, el resultado es 'cara'; si es impar, el
de
una rr^oneda
resultado es 'cruz'
----------------------------------------------------------Ejempla:
La secuencia 72771 1 1672 67492
s e c o n v i e rt e e n :+C+++ ++C+C C+C+C
Por tanto: resultado de los primeros quince lanzamientos:
frecuencia ( cara) = 6
frecuencia ( cruz) = 9
Lanzamiento
de
un dado
Consideramos únicamente los seis números del dado: 1, 2, 3,
4,5y6
excluyendo los demás (0, 7, 8 y 9)
----------------------------------------------------------Ejempla:
De !a secuencia 64647 94354 45994
42538 54885
nos quedamos con:
6 4 6 4 4 3 5 4 4 5 4 4 2 5 3 5 4 5
frecuencia {n.° 1) = 0
frecuencia ( n.° 4) = 8
Aquí se ve la necesidad de ampliar el conjunto de números
aleatorios para Ilegar a valores próximos a los esperados
Lanzamiento
de
dos monedas
Se toman dos dígitos seguidos. A los pares se les asigna "cara'
y a los impares 'cruz"
-----------------------------------------------------------Ejemplv:
La secuencia: 54885 1 5983
38472 43379
76295 69406
se convierte en:
(+, C ) ; ( C, C ) ; {+,+) ; t+,+) ; { C,+) ;
(+, C ) ; ( C,+) ; ( C, C ) ; {+,+) ; (+,+) ;
(+, C ) ; ( C,+) ; (+, C ) ; ( C,+} ; ( C, C )
Aquí se puede discutir cuál es el valor esperado y contrastar
con 1os resultados obtenidos
SITUACION DE LA ENSEÑANZA DE LA ESTADISTICA EN BA('}{[LLERATO
Laniamiento
231
Similar al ejemplo anterior
de dos
o más dados
Lluvia
aleatoria
En primer lugar se identifica cada una de las casillas de la
cuadrícula (mediante unos ejes cartesianos) y luega se conta-
sobre una
bilizan de dos en dos los dígitos de fa secuencia aleatoria,
cuadricula
despreciando aquellos que no son los de la cuadrícula
Ejemplo:
51
52
53
54
55
56
57
58
59
41
42
43
44
45
46
47
48
49
31
32
33
34
35
36
37
38
39
21
22
23
24
25
26
27
28
29
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Tomada la secuencia: 54885 1 5983 38472
43379 76295 69406
Las gotas de Iluvia caen en
54 88 51 59 83 38 47 24 33 79...
Las siete primeras gotas caen en las casillas enmarcadas con
un círculo
232
ESTADlSTlCA ESPAÑOLA
La estadistica en el Bachillerato actual
COMENTARIo
MANUEL GARCIA MARRERO
PII.AR RAMOS ALCAZAR
Profesores de ^nstituto
La situación de la estadística en el actual B.U.P. es de sobra conocida por
todos los que Ilevamos tiempo impartiendo matemáticas en este nivel. Si
analizamos las programaciones de cada uno de los cursos en los que
aparece la estadística nos encontramos con lo siguiente:
En primero de B.U.P. existen dos temas, Estadística Descriptiva y Cálculo
de Probabilidades. EI primero de ellos se explica generalmente. La gran
cantidad de ejemplos de que se dispone hace que su estudio sea interesante y aceptado por los alumnos. Asignaturas como la Geografía de segundo
de B.U.P. permiten utilizar algunos de los conocimientos de estadística
adquiridos en primero y justifican su tratamiento.
En cuanto al estudio de la prababilidad en este mismo curso, el problema
es totalmente distinto, su introducción de manera axiomática quedaría
fuera de lugar en primero de B.U.P., lo que obliga a resolver todos los
ejercicios que se plantean con métodos de combinatoria. Esto supone una
gran dificultad que generalmente el alumno medio no logra superar. Por
ello la mayoría del profesorado descarta este tema en sus programaciones.
Pienso que es la dificultad que supone para el alumno y no !a falta de
preparación del profesor lo que hace que la probabifidad no se estudie en
este curso.
Por suerte para algunos y par desgracia para otros hada hay que decir de
la estadística en el actual segundo de B.U.P.
En tercero de B.U.P. e! profesor se encuentra con un programa imposible
por su amplitud, lo que le obliga a mutilarlo de manera importante, tenienda en cuenta que 1a asignatura va dirigida fundamentalmente a los alumnos de ciencias, el dilema a la hora de acortar el programa se plantea entre
dos temas las cónicas o la estadística, ya que, los temas de análisis son
SETUA^'lí?N DE^ LA ENSEÑANIA DE LA ESTADISTIC'A EN BAC'}i1LLERATO
233
incuestionables para la formación de estos alumnos. La mayoría del profesorado elige, quizás equivocadamente, el estudio de las cónicas. La razón
de esta elección puede estar en que es en este curso cuando por primera
vez se trata con algo de profundidad la geornetría. Materia esta que es
fundamental en el estudio de las matemáticas. El pralongar el estudio de la
geornetría hasta las cónicas nos satisface nnás que abordar la estadística.
AI contrario de lo que, creemos, ocurre en primero de B.U.P. donde son
fos alumnos quienes ponen las limitaciones, en tercero de B.U.P. es el
gusto o!a mentalidad de la mayoría del profesorado lo que le inclina a
abandonar el estudio de la estadística.
En C.O.U. I se introduce el concepto de probabilidad de un suceso como
el valor alrededor del cual se estaciona su frecuencia relativa cuando aumenta considerablemente el núrnero de veces que se repite el experimento,
este planteamiento basado en la experiencia no supone ningún problema
comprensivo al alumno de este curso que pasa, sin gran dificultad, al
estudio del espacio probabilístico y definicián axiomática de probabilidad.
Tratamiento semejante se da a la probabilidad condicionada para terminar
con los teoremas de la probabilidad total y de Bayes, que al contrario de 10
que suele decirse, resultan asequibles a los alumnos.
Este terna, aunque, como los otros temas de C.O.U., se desarrolle de
forma apresurada, en la mayoría de los casas se trata correctamente y el
alurnno que va a selectividad lo ha estudiado tanta como, por e^empio, la
geometría euclídea, quiero decir que, al contrario que el profesor de tercero,
el de C.O.U. explica la probabilidad a pesaro de la falta de tiempo.
EI curso de C.O.U. II tiene como objetivo principal el estudio de la
estadística, pero las deficiencias de los alurnnos a los que esta dirigido
hacen que este estudio se realice desde un punto de vista práctico sin
ningún tipo de profundización teórica que por otro lado sería muy difícil
Ilevar a cabo en cua{quier curso del nivel que nos ocupa, pues la profundización teórica de la estadística requiere conocimientos de análisis imposibles de abordar, cito como ejemplo el estudio matemático de la distribución normal.
Visto esto y sabiendo que nos salimos del terria pasamos a tratar otras
deficiencias tan graves como las relativ_as a ia estadística, debe estudiarse
la que ocurre en los últimos cursos de E.G.B., probablemente es en sexto
curso cuando nace la confusión con la que Ilegan los alumnos al B.U.P.
Confusión que seguirá aumentando en primero y segundo de B.U.P. Los
alumnos Ilegan al instituto con los conceptas básicos mal comprendidos y
con deficiencias en el cálculo. Pero lo peor es que creen saber las cosas y
no quieren salir de los esquemas en los que se encuentran. Esta actitud les
2 34
EST,ADISTtCA E^SPA!VC)LA
impide aprovechar ta oportunidad que tienen en primero de consolidar los
cvnocimientos insuficientemente adquíridos en los últimos cursos de E.G.B.
En primero de B.U.P. el profesor se ve obligado a repasar temas como
números enteros, fraccionarios y decimales. Ecuaciones, sistemas y polinomios. Con lo que escasamente quedarán tres meses para completar el
programa, esto no sería grave si al final se comprobase que el repaso de
los temas descritos es bien aprovechado, pero suele suceder, que el alumno que arrastra fallos en estos temas termina el curso sin haberlos superado, lo que hace pensar que hay un momento para aprender ciertas cosas
y pasado este, su aprendizaje se hace muy difícíl. Sin embargo, es de gran
importancia que adquiera en primero un nivel aceptable en el cálculo; para
que en el curso siguiente le sean asequibles la física y las matemáticas. De
ahí que lo expresado anteriormente sea tan grave o más que su falta de
conacimientos estadísticos.
La tendencia actual a creer que la solución a los problemas de la enseñanza de las nnatemáticas está en Ilenarla de contenidos de estadística, por
las propias limitaciones de su estudio en los niveles de ^3,U.P. y C.O.U., es
cuanto menos discutible. Personalmente pienso que una asignatura a la
que, en su mayor parte, solo puede dársele carácter superficial es de menor
transcendencia para el alumno que otras partes de las matemáticas que
pueden abordarse con mayor rigor y que suponen ^ aspectos más básicos de
cara a su formación y a lo que necesitará en sus estudios posteriores,
textos como "manual de matemáticas para la enseñanza media" de A. G.
Tsipkin editorial Mir Moscú dan consistencia a esta afirmación.
COMENTARlO
WEIVCESLAO GONZALEZ MAIVTEIGA
Universidad de Santiago de Compostela
En general comparto las consideraciones de José Colera sobre la enseñanza de la Estadística en el Bachillerato. Sin embargo, en lo que sigue
desarrollo algunas opiniones personales sobre ciertos aspectos de interés.
M is consideraciones están basadas no sólo en mi experiencia como
pro#esor de Estadística en ia Facultad de Niatemáticas sino además en mi
participación activa en los últimos dos años en la coordinación de la
asignatura de Matemáticas II de COU, en la elaboración de las pruebas de
selectividad y en la corrección de dichas pruebas.
Uno de los puntos de importancia que apunta J. Colera es el de la
preparación del profesorado. Indudablemente, dicha preparación en el campo de la Estadistica y de la Probabilidad dista mucho de ser la adecuada.
SITUACIO N DE LA ENSFÑANlA DE^ LA ESTADISTtC'A EN KAC'HILLERATU
235
Más aún en un distrito universitario como el nuestro, en donde la mayoría
del profesorado de enseñanza media tiene una clara formación abstracta
(principalmente de tipo algebraico), lo cual dificulta la impartición en su
medida de 1a Estadística en los distintos cursos de Bachillerato. No obstante, esta tendencia comienza a sufrir cambios en base a las recientes promociones de alumnos de nuestra especialidad de Estadística e Investigación Operativa que empiezan a engrosar las plantillas de los institutos de
Galicia.
A pesar de la propuesta de Colera "Forrnación del profesorado"' cara a la
mejora de la enseñanza de la Estadística, la solución no es fácil ya que
mucho del profesorado actual anclado en una enseñanza tradicional ponderada por la rigurosidad de los enfoques formales rnatemáticos es alérgico a
innovaciones como las que pueden representar la enseñanza de la moderna
metodología estadística.
Respecto a los contenidos de las asignaturas de BUP y COU ias deficiencias son numerosas:
i) La realidad nos muestra que en el primer curso de BUP (a pesar del
contenido teórico) el único bagaje probabilístico - estadístico que el alumno
adquiere es una introducción al cálculo cornbinatorial pasando por la fórmula " casos favorables / casos posibles ".
II) Como Colera afirma, es chocante la ausencia de temas de Estadística y Probabilidad en el segundo curso. Mas aún si tenemos en cuenta que
la introducción de la asignatura de Matemáticas I1 en COU es insuficiente.
La realidad nos viene a afirmar que los alumnos de Ciencias, a pesar del
contenido teórico del tercer curso, apenas ven algo de Estadística y Probabilidad en dicho curso.
III) Desde mi punto de vista y sobre todo en base al punto 11), ha sido
un error la inclusión de 1a asignatura Matemáticas II sólo en las opciones C
y D de COU. Ello produce situaciones paradójicas, corno por ejemplo, que
los estudiantes de Biológicas, Medicina, ..., etc. (C^pción B} cursen las Matemáticas I con una ausencia casi total de Probabilidad y Estadística, que
apenas hayan visto algo de Estadística en las matemáticas de tercero de
BUP y finalmente que tengan de forma exclusiva como asignatura relacionada con las matemáticas en su carrera, la Bioestadística.
IV) Esta deficiencia también se extiende a los alumnos de la opción A
(Ingeniería, Matemáticas, Física, ...etc.) que en general son alumnos con
desconocimiento total de la Estadística. En los últimos cursos que he
venido impartiendo en la asignatura de Estadística en el tercer curso de la
licenciatura de Matemáticas tuve la ocasión de contrastar con encuestas
sobre dichos alumnos tal desconocimiento.
^36
ESTADISTIC'A ESPAÑOLA
En lo que concierne a ia selectividad las opiniones de Colera son incluso
a mi juicio excesivamente optimistas. Sus críticas apuntan a que los ejercicios de las pruebas de selectividad tienen poco sabor estadístico con una
clara naturaleza aritmética o algebraica. Mi experiencia de los últimos años
me indica que esto todavia no es Io peor de dichas pruebas. Así, en la
asignatura de Matemáticas I aparece únicamente un ejercicio de Estadística que a su vez es opcional y en la de Matemáticas II, a pesar del gran
contenido probabilístico-estadístico, existe una gran demanda por parte del
profesorado a la coordinación de este distrito de más cuestiones de tipo
teórieo en las pruebas.
En resumen, creo que la introducción de la asignatura Matemáticas II,
exclusivamente para los alumnos de letras, aunque represente un paso
importante, es todavia insuficiente quedando todavía un largo camino por
recorrer en la enseñanza de la Estadística en el Bachillerato. EI contenido
real del bagaje estadístico debe ser superior al actual para los alumnos de
ciencias. Además la formación del profesorado será algo fundamental a
tener en cuenta en Ios próximos años, tanto para aquel profesor con una
larga tradición en la enseñanza clásica de las Matemáticas en el Bachillerato como para ese otro más reciente, que finalizando especialidades de
Matemáticas generales tuvo escaso contacto con las asignaturas de Estadística. Basta con pensar que un profesor de estas características habría
visto una o dos asignaturas de Estadística sobre 23 ó 24 que pueden
constituir ia totalidad de la iicenciatura. Sin duda esto está en consonancia
con la actual licenciatura en Matemáticas ( ver artículo de Girón sobre la
enseñanza de la Estadística en la Licenciatura de Ma^:emáticasy.
COMEtVTARlO
VICTOR HERNANDEZ
{Colmerrero y matemático)
Querido Ricardo:
Tu carta me pone en un serio compromiso. Me pides que exponga mi
opinión sobre la enseñanza de la Estadística en el Bachillerato, concediéndome la gracia de suponer que ia tengo formada y que merece ser difundida. Temo que, como tantas otras veces, me sobrevaloras, pese a lo cual
trato de ordenar las ideas y deslindar hechos de deseos y sentimientos.
Me pongo a la labor con entusiasmo. Como suele ocurrir con las antiguas
novias, me agrada evocar Ios años que dediqué a la enseñanza media.
Mejor aún, si están por medio Probabilidad y Estadística, de las que fui
devoto amante. Pero pronto se apodera de mí el desánimo. Me gustaría
SITUAC'ION DE LA ENSEÑANZ_A DE LA ESTADISTICA EN l3AC'HILLERATO
237
iniciar el alegato con una justificación aplastante, que no dejara lugar a
dudas acerca de las virtudes de !a .muza, algo así como:
La enseñanza de /a Estadística se justifica por su creciente aplícación a los
más diversos campos de las artes, las ciencias y las /etras, y por /a difusión
de sus términos en !a vída cotidíana.
11/las, resulta que otras disciplinas gozan también de tan difusas cualidades, y me parece recordar que razones parecidas se esgrimen para exigir la
incorporacíón a la enseñanza media de la educación sexual, varios dialectos
locales, la informática, la educación vial (que no sé si tiene que ver con
andar, conducir autos o con la red de1 ferrocarril^, la economía y qué sé yo.
Tampoco me sirve de mucho la lectura del escrito de don José Colera,
porque, aparte de la primera frase -que da tono al resto--,
Es un hecho que !a estadística y/a probabilídad, en e/ mundo esco/ar, están
muy re%gadas Se ven, en general, poco y mal.
razones, lo que se dice razones, no encuentro
probabiemente el que ve
poco soy yo. Por el contrario, hay algo que v^lle. Me sorprende que señale
lo apretado de los programas de matemáticas como una causa del abandono de las lecciones de estadística, sin indicar qué otras deben suprimirse en
beneficio de éstas.
Caigo así en la cuenta de que por muchas y muy evidentes que sean sus
gracias, la importancia o la insignificancia de un saber en el bachillerato
depende de dos cuestiones previas: t puede au mentarse el nú mero de
asignaturas o su contenido actual? y^qué se quiere que sea la enseñanza
media?.
Ahora, el malhumor me invade, avanzo en terreno pantanoso y empiezo a
creer que tu encargo terminará, como otros, en la papelera, cuando, ide
pronto!, se hace la fuz. EI sentido común parece dictar que toda nueva
incorporación debiera ser, en realidad, sustrtucíón, y que cada ampliación de
una lección debiera acarrear una reducción equivalente en otra u otras. No
es así. Hay un fenómeno extraordinario, tan singular y maravilloso que sólo
tiene parangón con la expansión de Universo, y que permite incrementar
casi indefinidarnente los planes de estudio y los programas. Fenómeno que,
si tienes la paciencia de seguir leyenda, conocerás hasta donde Ileguen rnis
cortas luces.
Hace treinta años, corrían tiempos pobres y menguados. Tanto era así,
que ahora me parece que, hasta en el bachilferato teníamos pocas explicaciones. Como lo oyes. A menudo, el profesor entraba en clase y decía:
iestudio! Entonces hacíamos los deberes o leíamos. Otras, como debía
escasear la tiza, se nos obligaba a ejercitarnos en el cálculo mental.
ESTADIST[CA ESPAÑOLA
Eran tan flacos los libros como la época, y un curso de Matemáticas
podía reducirse a calcular con fracciones y reglas de tres, lo que te dará
idea, si no lo recuerdas, del tranquilo y perezoso discurrir de nuestra vida
de colegiales.
Así, luego de mucho repetir dictados, redacciones y cuentas, terminábamos por no equivocarnos al pasar de centímetros a metros y escribir con
ortografía y algo de garbo.
Aprendíamos también a plantear ecuaciones, a manejar la tabla de logaritmos, algo de trigonometría y a callar.
Aquella enseñanza encajaba bien en una sociedad con unas valores
de grado o a la fuerza ,
establecidos y, casi universalmente, aceptados
que la escuela transrnitía. Además, estudíar era una suerte, y ese privilegio
Ilevaba implícito un deber.
Hoy, por fortuna, la situación ha variado radicalmente. 1/ivimos un tiempo
de abundancia. Los programas y los libros han engordado bastante, y aún,
me temo, han de engordar más. Por ello no se puede perder el tiempo
dejando a 1os chavales que estudien a su aire o jueguen a los barquitos. Si
se hiciera así, no se expficaría ni la cuarta parte de lo establecido. Además,
estudiar es un derecho, i qué digo derecho!, i es una obligación !, y ya
sabemos que las obligaciones terminan por ser odiosas. También los profesores están más y mejor preparados. Muchos de ellos podrían ser profesores de Universidad, y eso se nota.
Hoy hay rnucho que explicar, y no queda tiempo para dejar que ejemplos
y ejercicios ferrnenten en cada muchacho, al ritmo que marca su propio
impulso vital. En ocasiones me pregunto tqué será del mozuelo que, con
sus catorce, quince o dieciséis años, descubra una tarde que cada vez que
mira a Purita, su vecina, se^ pone colorado y casi no puede hablar? Puede
ser que haga su descubrimiento el día que el profesor explique el teorema
de/ coseno, y que, cuando su imagínación regrese al aula, se encuentre con
que ya desfilaron por la pizarra los números complejos, la geametría métrica del plano, !as cónicas y el cálculo diferencial.
En esta carrera alocada, no sólo se paga el precio de dejar atrás a
quienes los avatares de la vida les exigen hacer un alto en algún instante
del curso. Tarnbién se sacrifica el verdadero contenido de las asignaturas,
en virtud de la ley fundamentai a la que me refería, una ley que acabo de
inventarme y que dice así:
La intensidad corr que se explícan y practican /os fundamentos de urra
asi,gnatura es inversarnente proporcional a! cuadrado de la extensión de su
programa.
SITUACION DE LA ENSEÑAN`LA DE LA ESTADt5TIC'A EN BACNILLERA"TO
239
En serio, engordar los programas equivale a estudiar más deprisa y de
puntillas. Madurar y asimifar Ilevan tiempo. Hay razones históricas que
avalan lo que digo. La mayor parte de las lecciones de Matemáticas de la
enseñanza media tratan temas que no tienen más de doscientos cincuenta
años de antig^edad. Además, posiblemente están formuladas en unos términos que ni sus propios descubridores reconocerían. Francamente, me
cuesta trabajo creer que lo que durante siglos se resistió a las mejores
cabezas del pasado, pueda ser digerido y asimilado, en tan breve periodo,
por los colegiaies.
Este proceso de digestión y asimilación es crucial. Cuando comemos la
carne de un animal, sus nutrientes pasan a ser nuestros, deja de ser su
carne para convertirse en nuestros músculos y en la energía que impulsa
nuestras acciones. Algo así ocurre con las ideas. Un concepto digerido y
asimilado, es plenamente nuestro. Farma parte de nuestra inteligencia, de
nuestro mirar la vida, de nuestro ser, no corno aigo prestado sino propio. Lo
contrario es el empacho: la indigestión permanente, que a la larga, no
produce en los jóvenes más que un rechaza por todo lo que hueia a
educación.
Con el amontonamiento y la prisa, se roba el placer. EI estudio, se quiera
o no, es sacrificio. No es placentero en sí mismo. EI goce y disfrute están
en alcanzar la meta, por próxima que sea, o, en todo caso, en sentir cómo
cada vez está más cerca. Si pretendemos enseñar tantas casas que el
estudiante no tenga nunca ocasión de recrearse y decir, i ahora sí !, i ya sé
esto!, si le obligamos a ir con !a lengua fuera, no tardará en sentarse a
ver{as pasar.
Quizá yo esté totalmente equivocado. Temo que sea superficialidad lo
que se demande: dar una visión general del mundo de hoy y una capa de
barniz de culturilla.
No es la primera vez que tropiezo con editoriales de escritores sesudos
donde se incluye a la enseñanza dentro del sector "servicios", junto ai
turismo y la hostelería. Quizá sea una clasificación j usta y acorde a nuestro
tiempo.
Temo que nuestra sociedad no quiera una escuela frente al mundo, que
divulgue valores y pamplinas platónicas propias de griegos, romanos y
demás escombros del pasado. Sino que prefiera una enseñanza en y desde
el mundo actual, que mire a las picardías de la calle. Quizá por ello tengan
vigor los argu mentos:
su utílidad en los campos más diversos.
su actualidad.
la difusión de sus términos en el mundo actual.
EST A^E^i i^ i E^SPAtiCjLA
y sobre todo
su uso en ta prensa.
Recuerdo que, no hace mucho, un catedrático de Historia cantemporánea
resumía todas sus razones sobre la necesidad de enseñar su ciencia en el
curso de acceso a la Universidad, en una frase: es importante para /eer el
periódico. Y que, a menudo, se insiste en la necesidad de extraer de la
prensa y Ca televísión, porque
añado yo
quizá ése es el baremo, hoy
generalmente admitido, de la importancia de las cosas.
Quizá el estilo periodístico, sobre toda de la televisión, deba ser ilevado a
los planes de enseñanza y a las aulas. Quizá pronto el vídeo inunde ios
colegios, y gracias a él, se pueda enseñar un continente entero en una hora.
Temo que lo que quiera la sociedad sea enseñanza-turismo, pas2r ^
mirar. Hacer una excursión apresurada por las ciencias y!as letras cuyo
animador cultura! sea el profesor
ya el rey Ptolomeo (no sé cuántos)
quería algo parecido de Euclides , y que los textos sean folletos de divul.,
gac^on.
No todas las obras del hombre son tan efímeras, no todas se gastan hoy
y desaparecen mañana. Algunas, pocas, quedan. En ésas, creo, debe fundamentarse la enseñanza general. Esas obras son manantial inagotable de
inspiración y solaz, son el pozo seguro en medio del secarral. Todav^a
recuerdo y bendigo al profesor que me inició en las andanzas de nuestro
señor don Quijote. En la historia de su vida aprendí la fengua de mis padres
y de mi tierra, y hallé un ideaf de vida. Puedo decir que, aún hoy, siempre
que vuelvo a sus páginas, encuentro nueva luz y consuelo, guía y ejemplo.
zQué hubiera sido si en vez de proporcíonarme la navefa de Miguel de
Cervantes, me hubiese dado otra de E/ coyote? Si la so^.:: --.^^ quiere lecciones de usar y tirar, me alegro de haber desertado de la enseñanza.
Por eso, querído Ricardo, e: ^
*almente en contra de enseñar estadística en la enseñanza media, s^^. ._.c^ sea a cambio de aplicar una buena
purga, iel viejo aceite de ricino! al programa actual. Cierto es que tiene la
estadística aplicaciones muy interesantes a las ciencias sociales, económicas y biológicas. Cierto tambíén, que contribuiría a dar un aire renovado
a la asignatura de matemáticas. No menos cierto, que muchos de sus
principios pueden ser entendidos por los jóvenes. Pero el hecho de que
algo pueda ser entendido, no justífica, según creo, que deba ser explicado.
Por último, si me !o permites, te hablaré de otra cuestión que, también
temo, cada vez tiene menos que ver con la enseñanza: el aprender.
Ante todo, te confesaré que encuentro aspectos posítivos en los tiempos
que vivímos. Hoy se puede ver con claridad las cosas, Ilamarlas por su
^r rt ->c ^c^ti r^f ^_^^ r^^r ^-^tir-^ r^r r-^ t^^ ^^r^r^^ ic -^ r^, ^^^^c t^ir r t K,1 r c^
^^1
nombre, y hasta decidir algunas por nuestro santo y libre gusto. Esto, creo,
acontece, cada vez más, con el aprender. No me refiero aquí a aprender un
oficio, profesión o maña para ganarnos la vida, sino a buscar satisfacción a
preguntas que nosotros mismos, gratuitamente, planteamos. En suma, a
aprender por curiosidad y ganas de saber.
Antañ©, todo esto se mezcló con el propio fin de la enseñanza, hasta el
punto de dar por supuesto que un estudiante debía poseer un espíritu
no por ser dado, sino por estar ya
exigente, de insatisfacción con lo dado
Ileno de ambición por hallar nuevas y mejores respuestas.
conseguido
Hogaño esta tramoya parece desmoronarse.
Puede que otra vez vuelva la raza de los curiosos a hacer, pensar y
buscar, por su propia iniciativa y placer, sin el apoyo o la traba de un
mundo que consideraba, al menos de boquilla, que ése era un modelo que
seguir. Esa raza que Goethe definió:
Yo soy del línaje de aquél/os
que de !o oscuro a!o claro aspíran
Pero me cabe la duda de si, a( fin, la mediocridad y la estulticia ganarán
su batalla contra la curiosidad. Porque esta estirpe no ha recibido, como la
de Abraham, la promesa de la innumerabilidad. Por ello, reconozco, no
siento emoción mayor que la de contemplar cómo, generación tras generación, rebrota la débil Ilama de la inteligencia, ni encuentro labor más digna
de un hombre, que la de contribuir a mantenerla viva y anheJante.
COMENTARIO
JULIAN DE LA HORRA
Universidad Autónoma de Madrid
Cuando yo era estudiante de Preu en el Instituto Cardenal Cisneros de
Madrid tuve la suerte de tener un excelente profesor de Matemáticas que
nos fue explicando con claridad los distintos temas. Con una sola excepción: un par de lecciones sobre rectas de regresión y coeficiente de correlación lineal. Dejó estas dos lecciones para el final del curso y una tarde nos
reunió en un aula a todos los alumnos de sus tres grupos para, en una
sesión maratoniana, "explicarnos" todo aquello. Como es natural, la sensación que me quedó fue que la Estadística era algo sumamente desagradable. Por lo que se desprende del trabajo del Profesor Colera, las cosas no
han cambiado demasiado en los últimos veinte años.
E5TAUISTIC.^^ ESP^^^+Of_A
Muchos factores influyen en esta situación:
a^ Por parte de1 M.E.C., poner unos programas enormes, al tiempa que
absurdos. Esto no ocurre sálo en Matemáticas; es un defecto común a1
resto de las asignaturas. Pero es más grave en Matemáticas, por sus
características especiales.
by Por parte de !as Editoriales, presentar unos libros de texto especialmente farragosos y malos en !a parte de Estadística.
c) Por parte de los profesores, !a existencia de un rechazo bastante
extendido hacia los conceptos de la Probabilidad y!a Estadística.
Pero me temo que todos estos factores se reducen a uno solo: !a ignorancia. Así como la mayoría de los maternáticos saben para que sirven
conceptos tales como la derivada o la integral, sin embargo, muchos desconocen la finalidad de los conceptos básicos en Probabiiidad y Estadística.
Esta es una afirmación dura, pero no gratuita. Voy a dar algunos ejemplos
(sólo algunos} que apoyan esta afirmación,
Para empezar, una perla que nos encontramos en e! programa de Matemáticas ! I de C.O.U., y que viene recogida en el artículo del Profesor Coiera:
La binomial como aproximación a la normal
Estoy convencido de que esta aproximación se explicará en algún colegio
o instituto, ya que si viene en e! programa podría "caer" en la Selectividad.
Por si aiguien piensa que esto puede ser simplemente una cosa anecdó-tica voy a dar dos ejemplos de como está tratada (sería preferible decir
rr^altratada) la Probabilidad en un libro de texto de Matemáticas de C.O.U.
(no indico la Editorial porque no pretendo criticar un libro concreto, sino un
estiloy:
a} Dedica cuatro páginas a'"explicar" el concepto de álgebra de sucesos. Para dar una idea del estilo "claro y sencillo" que se utiiiza voy a
recoger textualmente la definición de unión de sucesos:
Se Ilama unión de sucesos y se denomina por U a/a ap/icación
S2 x S^ y> S^
(A, B y
>AUB
q^ue asocia a cada par de sucesos (A, B) el suceso .A U B definido por la
corrdición.- el suceso A U B se realiza si y sólo sr se reali^za al menos uno de
las dos sucesos.
SITUACION DE LA ENSE^JAN7.A DE LA ESTAUISTICA EN fiAC^HII_I_f=FZAT(^
?43
La exposicián continúa con lindezas de este estilo y para terminar de
aclarar las cosas inciuye en un ejempio diversas álgebras de sucesos relativas al lanzamiento de un dado. Posiblemente, el alumna terrnine pensando
que se puede lanzar el dado de acuerdo con diferentes álgebras, o alguna
barbaridad por el estilo.
E1 concepto de álgebra de sucesos es un ejemplo de concepto que no
pinta absolutamente nada en B.U.P. y C.O.U, (yo, incluso, lo evito en cursos
de gioestad+stica en la Universidad). Conviene introducir sólo aquellos conceptos que son necesarios y ayudan a aclarar las ideas; el concepto de
álgebra de sucesos 1o único que hace es estorbar en experimentos con un
número finito de posibles resultados.
b) La expasición del concepto de probabilidad candicionada tampoco
tiene desperdicio. Después de una introducción lamentable, se dedica algo
más de una página a verificar que la probabilidad candicionada efectivamente verifica ios axiomas (esto es algo que está fuera de lugar en este
nivel; no es que sea difícil; es, simplemente, innecesario). Pero lo me^ or es
la guinda; para que e! alumno entienda la utilidad de la probabilidad condicionada, se pone ei siguiente ejemplo:
Una urna contiene 12 bolas rojas y 8 negras. Se sacan dos bolas sin
reemplazamiento. Se pide cua/ es !a probabi/rdad de que /a segunda bo/a sea
negra si se sabe que !a prímera ha sido negra.
En vez de utilizar el sentido común y razonar que si la primera ha sido
negra, quedarán en la urna 12 rojas y 7 negras, y por tanto, la probabilidad
pedida es 7/19, el autor del libro se mete en unos cálculos mucho más
farragosos utilizando la definición de probabilidad condici©nada. Eso sí, el
resultado es el mismo. La conclusión que sacará un alumno avispado es
que la probabilidad condicionada sirve para calcular de manera complicada
lo que se puede obtener de manera inrnediata sin probabilidad condicionada. Un alumno menos avispado se habrá perdido mucho antes.
,
Por si fuera poca la confusión, el examen de Selectividad contribuye
también con su granito de arena. Lo peor de la Selectividad no es que
seleccione poco; es que, además, selecciona mal. Para un alumno que sea
inteligente y trabajador tiene que resultar desalentador encontrarse con un
examen que no puede hacer, sencillamente porque el nivel de dificultad es
de un orden superior. La única vez que he tenido la "fortuna" de estar en
un Tribunal de Selectividad, los alumnos se encontraron con el siguiente
problema:
Sobre un intervalo se eligen dos puntos al azar. ^Cuá/ es Ia probabilidad de
que con los tres segmentos resultantes se pueda formar un triángulo?
t_ST;^[)15T1C^:1 t-SF':lti<)F_;^
^-^^
Incluso en las mejores condiciones (de enseñanza y capacidadj, un alumno de C.O.U. no sabe por donde coger el probfema. Naturalmente, ninguno
1o hizo. Supongo que a algún genio, metido en su torre de marfil, le pareció
que el problema era bonito y lo puso. C2ue fuera adecuado o no, era una
cuestión irrelevante,
En definitiva, habremos ganado mucho cuando se expongan solamente
aquellos conceptos que son realmente necesarios e interesantes, se motiven de manera atractiva y, sobre todo, se ilustren con ejemplos adecua^dos.
^Si, ^demás, los Gxámenes se diseñarán de manera adecuada para medir la
comprensión de es©s conceptos, la situación seria casi perfecta.
Reflexiones en torno a la enseñanza de #a estadística en
bachi^ierato
JULIO MIRAS
Instituto Nacional de Estadística
1.
PLÁNES DE ENSEÑANZA: DESEOS, PROYECTOS Y RECURSOS
Mi dedicación a la enseñanza de matemáticas de bachillerato durante
dos cursos académicos en los años 1968-70, se encuentra lejana en el
tiempo aunque su intensidad la mantiene fresca en mi memoria. Me satisface pensar que acaso mis alumnos han aprendído tanto de mi como yo de
ellos. A falta de experiencias directas recientes, dispongo del interesante
trabajo dei profesor J. Colera que cumple la difícil misión de documentar,
plantear y abrir el debate sobre la enseñanza de la Estadística en bachillerato para este número especial de Estadística Española.
C^bservo que hoy Colera señala algunas características presentes en la
enseñanza de la Estadística en bachillerato (tales como programas y libros
de texto densos, que invitan a un tratamiento en exceso academicista,
junto con exámenes que condicionan a 1a memorización de fórmulas y
recetas que han de aplicarse mecánicamente, propiciando todo ello un
aprendizaje poco activoj que también estaban presentes en la enseñanza
de las matemáticas hace más de veinte años. Debo pensar que algo se
habrá avanzado en este plazo, aunque solo sea por la incorporación de
generaciones de profesores con conocimientos y actitudes más acordes
con los tiempos. Siempre existirán elementos condicionantes de la eficacia
de un sistema educativo, sin embargo es posible mejorarlo si se estudian
todos los factores que intervienen, se fijan objetivos alcanzables y se aportan los recursos necesarios, teniendo presente la experiencia de1 pasado.
SI`i^l!A('l()N [)E:^ L.A E:tiSEÑANI.A DE: LA E:STr^[:)ISTI(' ^^ E-:ti BAC'H1l.LE^Ftr^^1()
?4 ^
Qpino que es conveniente una profunda reflexión acerca de qué ha sido
las matemáticas a lo largo de la historia, cómo han sido creándose, que
problemas intentaban resolver y, por supuesto, qué misión tienen en la
sociedad actual y previsiblemente tendrán en el futuro cercano, para alcanzar algunas líneas de acuerdo acerca de los objetivos deseados en los
grados educativos anteriores al universitario. Debemos de tener en cuenta
que el sistema educativo refleja las ideas, los comportamientos, los intereses de cada momento pero también configura, y de eso se trata, la sociedad futura constituída por nuevas generaciones. Las matemáticas y la
©stadística, que aquí nos ocupa, ni han tenido ni tienen hoy una existencia
al margen dei resto de las actividades intelectuales aplicadas a las preguntas y problemas de todo tipo que en cada momento histórico son objeto de
interés. En los ciclos anteriores al nivel universitario, una presentacián,
digamos aséptica, excesivamente formalista y aislada de su evolución, de
las relaciones con otras ciencias, de las aplicaciones; en otras palabras,
desconectada de la realidad y de la sociedad, además de engañosa creo
que no es pedagógicamente aconsejable y no contribuirá a la formación de
nuevas generaciones inte{ectualmente libres con mayor grado de responsabilidad y de conciencia del universo que viven y modifican.
Cabe pensar que el profesorado de bachilierato va a reproducir el método
aprendido en la universidad y acaso no disponga de conocimientos, textos
y demás elementos pedagógicos que le permitan adaptarse con éxito a una
enseñanza de orientación distinta. Cualquier proyecto del plan de estudios
deberá contemplar este asunto que no es tanto una cuestión de recetas
sino de actitudes en el proceso de introduccíán conducción de los jóvenes
por el camino del conocimiento científico. La universidad debe tomar conciencia de que no solo forma futuros profesionales, hábiles en el manejo de
conceptos abstractos y en los procesos lógico-deductivos, sino también
futuros profesores a los que se les va a exigir algo más.
2.
MATEMATICAS Y ESTADISTICA
Parece que es claro distinguir qué teorías o capítulas de conocimiento
científico pertenecen al terreno de las matemáticas y aunque pudiera haber
dudas con algunas partes de la física o de otras ciencias, creo que no es
mayor problema la decisión en torno a en qué asignatura de bachillerato ha
de incluirse tal o cual tema. En el caso de la Estadística este asunto merece
alguna reflexión. Si bien se estudia con mayor o menor intensidad en muy
diversas facultades universitarias como instrumento necesario, entendida
como ciencia deductiva pertenece al ámbito de las facultades de matemáticas y se incluye en bachillerato formando parte de esta área. Sin embargo, entendida con un sentido más amplio en el que podemos incluir las
24ó
FSTADISTICA ESPAÑOLA
actividades de captación, elaboracián y presentación de datos que son
producto de un proceso de experirnentación u observacíón, así como !as de
elección y determinación de criterios o modelos, más o menos complicados, para describir, analizar e incluso farmular predicciones o previsiones,
nos plantea una faceta que no encaja estrictamente en un cuerpo de
enseñanza, hasta hoy, típico de las matemáticas.
Si bien es cierto que la parte más formalizada es la que se refiere a ios
fenómenos aleatorios, donde los sucesos o casos individuales se supone
que se producen con arreglo a una ley de prababilidad, en un sentido
amplio los métodos y técnicas estadísticas incluyen aplicaciones en las que
no está en juego la probabilidad, o no e^ correcto suponerlo. No existe una
denominación que permita aislar estas partes de la Estadística. Además de
la que suele llamarse Estadístíca Descriptíva que básicamente hace referencia al tratamíento de dístribuciones de frecuencias mediante el cálculo
de parámetros o la aplicación de procedimientos de estimación y ajuste
que correspondería si se tratase de muestras en el contexto de un experimento aleatoria, y de otras técnicas como la de Números Indices, pademos
incluir también procedimíentos empleados en censos, encuestas, formación
de estadísticas administrativas, etc. que no siempre constituyen capítulos
matemáticamente formalizados pero que requieren el manejo y establecimiento de conceptos claros a!a hora de definir, clasifícar y contar, poniéndose en evidencia la distancia que existe entre el fenómeno real y el
modelo o esquema intelectual utilizado.
Lo anterior nos conduce a notar el hecho de que en un sentido amplio, la
Estadística comprende capítulos que no encajan en un temario tradiciona!
de matemáticas, tanto por la variedad de sus técnicas y procedímientos,
que exceden •e! campo de los modelos estrictamente probabilístícos, como
por su vacación, proclamada sin sonrojo, de ciencia aplicada. Habrá que
decidir, en función de los objetivos de cada nivel educativo y rama o
especialidad, qué partes conviene o no incluir en un tarnarío de Estadística,
preguntándose a continuación si el profesorado de matemáticas generales
dispone de formación para una tarea tan específica a puede formarse en
plazos razonables. La inciusión dentro de !a asignatura de matemáticas
hace pensar que los contenidos se referirán a!a parte matemática de !a
estadística y siendo deseable que los alumnos que finalizan el nivei preuniversitario (COU) tengan nociones del álgebra de sucesos, de la teoria
formal de la probabifidad, variable aleatoria, función de distribución, etc.,
sería inconveniente que no tuvieran antes (y al mismo tiempo) un acercamiento a problemas y técnicas empíricas que le permíta comprender su
posterior formalización matemática.
SITUAC[ON DE LA ENSEÑANZA DE LA E5TADISTIC'A EN BACNILLERATO
3.
24^
LOS EXAMENES
EI exámen juega un papel clave puesto que además de servir para la
evaluacián individual de los alumnos y para informar del éxito o fracaso
colectivo respecto de un determinado plan de estudios, inevitablemente
influye en el propio proceso educativo ocasionando una adaptación de los
profesores y alumnos a ser eficaces en tal tipo de prueba. De esta forma
puede resultar un instrumento de observación no neutral, tanto para la
evaluación individual como colectiva, y al rnismo tiempo perturbador de los
objetivos buscados en el plan de estudios. Por tanto es necesario tener en
cuenta esta influencia y reflexionar detenidamente acerca del tipo de cuestiones que se proponen.
Estoy de acuerdo con las observaciones del profesor Colera sobre las
pruebas de selectividad y me gustaría decir algo más sobre este asunto.
Personalmente tengo cierta aversión a que se propongan problemas de
cuestiones que admiten una única vía de solución, muchas veces rebuscada, poco acorde con situaciones reales, impidiendo que cada alumno pueda
hacer uso del razonamiento o técnica más adecuada a sus esquemas
mentales o la posibilidad de que proponga una solución no esperada por el
examinador.
Qbviamente lo anterior debe interpretarse sin extremismos ya que tarnbién son necesarios y formativos muchos tipos de problemas y cuestiones
de única vía de solución, pero pueden tener el inconveniente de que condicionan a que el alumno memorice y aplique reglas o fórmulas mecánicamente, dotándose de un repertorio de casos particulares que le conducirá a
una visión casuística de la asignatura. En este contexta el alumno tiende a
considerar la manipulación algebráica corno un fin y no como un medio, así
como a desechar cualquier intento de razonar de forma autónoma a carnbio de rebuscar en su memoria la fórmula o regla práctica que acaso le
resuelva el problema.
Conviene decir que fa realización de exámenes masivos, con limitaciones
de tiempo, espacio o de consulta de libros y apuntes, condicionan a que los
examinadores propongan preguntas o problemas fácil y rápidamente corregibles. Creo que conviene estimularlos, favoreciendo las condiciones circunstanciales, para que formulen exámenes más creativos. Quizás una
medida útil y en muchas ocasiones fácilmente aplicable, consiste en permitir fa utilización de libros y apuntes; con elio además de acostumbrarse al
uso de textos, los alumnos se descargan de aspectos memorísticos que,
24^3
[_ST ^1 [^[5T I('A E.SP,1 ti()L,^
siendo necesarios puesto que sin memoria no hay aprendizaje posible, no
deben jugar un papel esencial en un exámen de matemáticas o estadística.
De hecho, c^,aiquier profesor, investigador o profesional dispane y utiliza
textos cuando le es necesario para el desarrollo de su trabajo.
4.
PROBABILI DAD Y VARIABLE ALEATORIA
En Ios actuales programas de bachillerato parece que hay excesiva prisa
por introducir !a probabilidad y!as variables aleatorias. Antes de estar en
condiciones de establecer un modelo probabilístico es necesario saber
determinar el contexto y el experimento de referencia así como tener
alguna experiencia en la obtención y manipulación de colecciones de datos.
Las operaciones de definición de los elementos o sucesos integrantes del
colectivo o espacio © bjeto de estudio, así como de las características
observables de los mismos, junto con el problema de clasificación de tales
unidades en conjuntos o sucesos, homogéneos o equivalentes, en relación
con algún criterio, ciertamente no pueden formalizarse a ia manera de una
teoría matemática. Sin embargo de alguna forma el alumno necesita familiarizarse con este aspecto de! problema que es el primer vínculo de ia
reaiidad con la construcción intelectual que de ella va a hacerse.
Definir, c^asificar y contar son, en resumen, !os primeros pasos necesarios
para cualquier operación posterior de descripción, análisis o inferencia acerca del colectivo objeto de estudio. Incluso en alumnos universitarios he
observado la confusión entre suceso y valor de la variable, quizás por la
conveniente simplificación de afirmacíones tales como: sea x1, x2, ..., xn
una muestra, etc., etc. en vez de: sea x(s )^,..., x(snf las observaciones
efectuadas en una muestra s 1, s2, ..., sn; o por suponer que siempre se
trabaja en un espacio contenido en la recta real evitando el enojoso asunto,
especialmente en espacios no finitos, de distinguir entre el experimento
aleatorio que da lugar a la presencia de un elemento o suceso y el proceso
de ©bservación del mismo que da lugar a un valor particular de ia variable.
De otra parte, creo que el proceso anterior, preferiblemente referido a
poblaciones y no a muestras, deberá continuarse con la formación de
frecuencias absolutas y reiativas, estudiando y apiicando sus propiedades
para la presentación de resultados y primera descripción de 1os mismos. Es
aquí donde pueden conienzar a utilizar el concepto de variable observada o
variable estadística (sin referencia todavía a variable aleatoria^ y aprender a
distinguir que, en el caso bidimensional, por ejemplo, los dos valores +del par
corresponden a una misma unidad o suceso, asunto este que a veces
confunden con 1a presencia de dos poblaciones, impidiendo en lo sucesivo
la adquisición de nociones claras acerca del significado de la regresión y fas
SI`T^^l':^C'!Uti UE L.;^ E;NSE:i^irllilA DE L,^ E:S-T,^>DIS^^^1('^> E^_ti F3A('E^#ll_L^:RA^1^^O
^^y
distribuciones condicionadas. También, otras técnicas gráficas y procedimientos de Estadística Descriptiva deberían introducirse antes de entrar en
la probabilidad, variable aleatoria, etc.
En cuanto a la combinatoria, creo estar de acuerdo con Colera en que no
es oportuno tratarla como el atecedente natural de probabilidad. Es más,
me parece inconveniente en el caso de alumnos de bachillerato puesto que
aún siendo un instrumento útil y necesario para más tarde establecer
algunas distribuciones teóricas, la probabilidad es un concepto en el que
pueden iniciarse intuitiva y experimentalme^nte sin necesidad de interponer
una técnica de cálculo de casos que suele resultar en principio árida a
estos alumnos. En Estadística la combinatoria deberá aparecer cuando sea
necesaria para generalizar la distribución de probabilidad de algunas variables aleatorias típicas, como un instrumento útil y necesario, pera no esencialmente ligada a la probabilidad.
5.
CONTENIDOS Y ORIENTACIONES
No voy a entrar en la especificación de contenidos proponiendo aigo así
como un temario. Se está elaborando una Ley de Ordenación del Sistema
Educativo que determina un período de Enseñanza Secundariaobligatoria
para alumnos de 12 a 16 años, al que siguen diversas opciones de BachiIlerato y Formación Profesional. Solamente decir que para el ciclo de E.S.O.
me parecen muy interesantes las tendencias, señaladas por Colera, propugnadas por grupos de profesores interesados en didáctica de las matemáticas; de las citadas me gustaría reforzar, sin menosprecia^r las restantes, la
utilización de la historia de la matemática (en relación con los problemas
planteados en otras ciencias o actividades, añadiría) como importante recurso didáctico; la utilización de los juegos como base para la adquisición
de intuiciones (añadiendo que también contribuyen a comprender y aprender a realizar los procesos de elaboración de esquemas intelectuales, o
modelos, para problemas reales concretos), así como el fornento de {a
creatividad, el espíritu crítico, la constancia y empe "no en la búsqueda de
caminos para resolver situaciones nuevas Íincluso en matemáticas y estadística, mediante el planteamiento de situaciones problemas que admitan
diversas opciones o vías de solución, adaptados a nivel y edad de los
alumnos, sin que necesariamente el rigor expositivo deductivo juegue un
papel de condición esencial).
Deseo también resaltar una de las sugerencias, entre las señaladas por
Co{era en el apartado de orientaciones didácticas. Siempre he pensado que
las matemáticas, y por supuesto la estadística, deberían de contar con
actividades de taller o laboratorio, utilizando cuando sea oportuno instru-
25^
EST,Ab1STICA ESPA^IOL_A
mentos y mecanismos, a modo de máquínas analógicas cuyo funcionamiento sea traducible a modelos matemáticos sencillos. En el caso de la
Estadística, con mayor énfasis debe reforzarse la obtención de información,
medíante el díseño y realización de mediciones repetidas, etc., etc.
En los siguientes ciclos de bachillerato y formación pr©fesional, quizá^s los
pragramas se diversifiquen según una orientacíón preparatoria de estudios
superiores en un caso y laboral en el otro. En general me muestro más
partidario de temarios menos densos pero mejor comprendidos que de lo
contrario. Por lo dernás, considero aplicables todas las anteriores reflexiones adaptando la exigencia de abstracción y rigor a nivel educativo correspondiente.
^-^c^r último, señalar que ha existido una tendencia a identíficar el nivel de
los conocimientos con ^a amplitud de !os temarios y!a introducción de
ciertos conceptos, técnicas o teorías a edades excesivamente tempranas.
Estoy convencido de que tanto en Matemáticas como en Estadística, debe
hacerse un esfuerzo para espigar 1os elementos básicos que deben ser bien
comprendidos por los jóvenes, de modo que en sus etapas inicíales no se
vean abrumados con problemas que resolverán más adelante sin excesivas
dificultades teniendo bases elementales sólidas.
CC^f^IERITARIO
JOSE GABRIEL PAL4M0 SANCHEZ
Universidad Politécnica de Madrid
Considero que el trabajo del profesor José Coiera constituye un esfuerzo
serio y profundo por analizar ías causas de la situación actual de la enseñanza de la estadística en el bachi^lerato y las posibles vías de actuación
para su mejora.
Comparto con él la opinión de que nos encontramos en un momento en
el que la estadística ha quedado relegada, y que sóio la parte correspondiente al cálcuío de pr©babilidades de C.o.U. se estudia con cierta profundidad debido, sobre todo, a su inclusión en los exámenes de selectividad.
En líneas generales estoy de acuerdo con los tres tipos de actuaciones
que propone el autor en su artículo aunque, en mi opinión, deberían tenerse
en cuenta las siguientes consideraciones:
Con relación a ia formación del profesorado, es necesario contemplar,
como una de las causas fundamentaies de la falta de conocimientos de
estadístíca de los profesores de matemáticas, tanto de la enseñanza pública como de la privada, la gran heterogeneidad de este conjunto de
SITUAC'ION DE LA ENSEtiANIA DE LA ESTADISTICA EN BACHILLERATO
^S ^
profesores. Ocurre que muchos de ellos no han estudiado jarnás estadística, porque esta materia no formaba parte de su curriculum universitario. Y
en el caso de los rnatemáticos, es evidente que la formación recibida por
un elevado porcentaje de ellos fue excesivamente abstracta y, desde el
punto de vista de la enseñanza elemental, inadecuada.
Por otra parte, las pruebas de acceso al cuerpo de profesores agregados
de bachillerato, que conforman en la actualidad la gran mayoría de los
profesores de matemáticas de los institutos, tampoco eran muy exigentes
en lo que a conocimientos estadísticos se refiere, tan sólo dos de los cien
temas que componían el temario se dedican a problemas estadísticos:
Tema 94: Probabilidad. Probabilidades totales. Probabilidades compuestas.
Tema 95.• Teorema de Bayes. Aplicaciones.
( B.o. E. 4-3-74 ^
EI temario de los exámenes de acceso a catedráticos de bachillerato eran
un poco más amplios en el aspecto estadístico, cinco temas sobre un total
de ciento tres:
Tema 70: Sucesos aleatorios. Probabilidad.
Tema 71: Variables aleatorias. Función de distribución. Distribución
normal.
Tema 72: La Ley de los grandes números.
Tema 73: EI teorema central del límite.
Tema 74: Distribuciones bidimensionales. Correlación. Líneas de Regresión.
( B.O. E. 4-3-74}
EI contenido de estos temas, y su escasez, pone de manifiesto el escaso
relieve que el Ministerio de Educación concedía a la enseñanza de la
estadística, así como la orientación casi exclusivamente probabilística de la
misma.
Conviene también reflexionar sobre la preparación de los profesores de
las materias que harán uso de la estadística como herramienta y que, en
gran rnedida, serán los encargados de mostrar a los alumnos la utilidad que
la estadística tiene en el desarrollo de muchos estudios no matemáticos.
Así, en el punto n.° 37 del capítulo dedicado a orientaciones didácticas y
para la evaluación del D.C.B. puede leerse que "la estadística no tendrá
sentido si no se ha logrado, a través de las ciencias sociales, que el alumno
comprenda la utilidad de describir situaciones colectivas, de prever su
^ ^-^
E.ti7 .•^ [)IST I( ^.1 E_SPA ti()t_ ^1
evolución para controlar en lo posible consecuencias no deseadas, etc." Es
pues indispensable, en mí opinión, que los profesores de las ciencias sociales y experimentales tengan un conocimiento suficiente y hagan uso en sus
clases de las técnicas estadísticas elementales, lo que resulta imprescindible, además, si se desea "conseguir que los jóvenes asimilen de forma
críiica los efementos básicos de la cultura de nuestro tiempo", que es una
de las dos funciones que la educación secundaria obligatoria está Ilamada a
desempeñar. ^^ibro blanco para la reforma de la enseñanza no universitaria
^ L.B.i ).
Asimismo, dentro de este panorama de amplia heterogeneidad del profesorado de matemáticas, hay que tener presente además que los profesores
de E.G.B. están Ilamados a desempeñar un ímportante papel en el primer
cicio de la enseñanza secundaria obligatoria (L.B. Cap. VII, 4i }.
En consecuencia, y a corto plazo, sería necesario proceder a una oferta
amplia y seria de cursos de formación orientados a superar las deficiencias
que, en este terreno, presentan los profesores de enseñanza secundaria. Sin
olvidar que, desde mi punto de vista, la forrnación del nuevo profesorado y
la forma de acceso a los centros de enseñanza deberían ser abjeto de una
profundísima revisión, que incluiría una modificación sustancial, y específica, en el currículum de todas aquellas personas que deseen dedicarse
profesionaimente a la educación no universitaria, y qu^ otorgue a todos los
futuros profesores unos conocimientos que les permita reafizar con eficacia
sus funciones, que les faciiite mantener su nivel de formación con el
tiempo y que, naturalmente según e! caso, incluiría unos rudimentos más o
menos profundos de las técnicas estadísticas e informáticas básicas.
Por atra parte, y en lo referente a la modificación de los actuales programas de las enseñanzas básica y media, si bien considero acertada !a nueva
orientación de las matemáticas así como la voluntad de potenciar la presencia de la estadística en la enseñanza secundaria obligatoria, estimo que
la propia heterogeneidad del profesorado ya comentada anteriorme^^te y la
falta de preparación, en esta materia, de !os profesores de las ciencias
sociafes, pueden ser un serio inconveniente en el desarrollo de las ideas
propuestas en el D.C.B., máxime si se tiene en cuenta que es e! conjunto de
profesores ei que deberá diseñar el proyecto curricular del centro, que más
tarde se desarrollará en las programaciones definitivas de cada profesor.
Así pues, resulta muy verosímil la posibilidad de que básicamente las
cosas permanezcan como están, si no en lo referente a los programas, sí en
lo relativo a la "filosofia" educativa, que seguirá potenciando ia enseñanza
de lo serio frente a lo falto de nivel, y de que las mayores innovaciones
provengan exclusivamente de iniciativas editoriales y no de la discusión y
S1Tl)AC'1C)^1 C^l^ ^A f^^.^1^F.?^IA^7A D}^ 1..^ ESTAIaI^T^I(^A f-ti HA('}^^Il_1_f=RATO
^^3
del estudio en los centros de enseñanza. Y más aún si no se dota a los
mismos del material informático imprescindible para poder atender los
objetivos propuestos.
Por último, en lo relativo a la selectividad, es obvio que el poder del
examinador es grande y que condiciona el proceso educativo, aunque tal
vez en la enseñanza secundaria obligatoria dicho poder queda restringido
por su lejanía. No obstante, en el nuevo bachillerato este problema se
volverá a plantear con toda su agudeza.
Pero, en mi opinión, el problema de fondo es más grave que la propuesta
de cuestionaríos de examen, y no afecta sólo a ia estadística sino que es
completamente general. Es decir, lo que hay que resolver es la re{ación
entre los distintos niveles educativos como medio de formación de los
profesores. Sería necesario potenciar el paso de profesores de secundaria
por la universidad en estancias más o menos ,breves que permitiera una
puesta al día científica de este profesorado, así como facilitar la investigación en temas docentes y e! desarrollo de tesis doctorales en este campo.
Sin olvidar que, como ya ocurre en otros lugares, la presencia de una
sección sobre didáctica en revistas especializadas podría incentivar el trabajo de muchos profesionales que se encuentran hoy aislados en sus
centros de enseñanza. En definitiva, creo que existen una amplia gama de
posibilidades que permitirían aprovechar de una manera mucho más eficiente el potencial humano que actualmente exis*e en los centros de enseñanza no universitaria. Y que es tarea, en gran rnedida, de la universidad el
crear cauces para el logro de este objetivo.
En resumen, considero que, desde el punto de vista de los contenidos, la
propuesta de la reforma es muy valiosa pero que, sin una actuación decidida que modifique esencialmente la actitud y, en cierto modo, la aptitud del
profesorado, difícilmente se conseguirán logros importantes en la renovación de las enseñanzas elementales y, por supuesto, en la de la estadística.
COMENTARIO
VICENTE QUESADA PALOMA
Universidad Complutense de Madrid
En estos momentos en que hay gran desasosiego e inclus0 apatia por
parte de muchos Profesores de Enseñanza Media en España, es muy loable
el espíritu de renovación y mejora de la enseñanza de la Matemática en
Bachillerato. Profesores como J. Colera en Madrid, M. Balbuena en Canarias y otros, contribuyen a esta tarea con la esperanza puesta en dicha
mejora.
2 54
ESTADIS7 !C'A F.SPAÑULA
Quiero comentar el artículo del profesor Colera refiriéndome a los puntos
que considera como principales causas de la deficiencia en la Enseñanza de
la Estadística en España. En primer lugar estoy de acuerda con el profesor
Colera en que la formación del profesorado en Estadística y Probabilidad no
es ^muy adecuado. Creo que la solucián en este caso sería la del Reciclaje
de los profesores. La Enseñanza de la Matemática como la de cualquier
otra ciencia, varia de forma muy rápida, es pues necesario que el profesorado tenga cada cierto tiempo un contacto con las nuevas metodologías y
aspectos novedosos de la Ciencia en cuesti+ón. Para este reciclaje las Universidades deberían jugar un papel importante. En esta línea, desde la
Facultad de Matemáticas de la U.C.M. se han organizado dos cursos sobre
Probabilidades y Estadística para Profesores de Enseñanza Media, que
creemos han sido fructíferos.
Respecto a la formación de los futuros Profesores de B U P, se imparte
una especialidad de Estadistica, y en general los alumnos que salen de ella,
tienen suficiente preparación para dar cualquier parte de Estadística de
BUP y COU. Hay que hacer notar que fa mayoría de estos alumnos no se
dedican a la Enseñanza, sino que trabajan en la Administración y Empresas.
No obstante en otra especialidad, la de Metadología, de la misma Facultad,
también se cursa una asignatura de Estadística y los alumnos también
están capacitados para el mismo fin.
En resumen debe haber recíclaje y los primeros pasos están dados, existe
voluntad por parte de la Universidad, y por parte de muchos Profesores de
Enseñanza Media; es de esperar que el Ministeria de Educación también
coiabore y que estos primeros pasos no se queden en los únicos.
EI segundo punto a tratar en mi comentario es el de los programas. En
mi opinió^ n los programas de las asignaturas de B U P, junto con el Profesor,
deberían servir en primer lu+gar para formar y, en segundo lugar, para
informar. Sin embargo en España, se da mucha más información que
formación, lo que nos Ileva a que el alumno medio es incapaz de asimilar
tanta información. Desde la óptica de la Estadística que nos ocupa, los
programas proporcionan una cierta información que sería suficiente si además formaran. No creo sin embargo que un carnbio en los programas sería
adecuado, creo más bien en un espíritu de llevar la formación a los alumnos a la par que una no muy extensa inforrnación. Siempre que llega una
nueva Administración a la Educaciór^, debe establecer su "reforma", su
"cambio de programas" y la experiencia nos dice que los resuitados suelen
ser m uy pobres.
SITUACION DE LA ENSEÑANLA DE LA ESTADISTICA EN BA(`HILLERATO
Z^S
Por último quisiera comentar el punto dedicado a la mala influencia que,
según el profesor Colera, tiene la Selectividad en 1a enseñanza de ia Mate^mática y en particular de la Estadística. En particular me referiré a los
juícíos que expresa ei profesor Colera con respecto a la Estadística en las
Matemáticas II de COU. Opina el profesor Coiera que la coordinación de
COU de la Universidad debió jugar un papel importante. He de decir en
honor a la verdad que la Coordinación de COU no supo nada del Programa
de Matemáticas II hasta que estuvo en el Boletín Oficial del Estado, incluso
con erratas importantes en algunos casos, como en el se pedía "aproximar
ia distribución Normal por la Binomial". Una vez que los coordinadores
tuvieron en su poder el citado programa, en determinados distritos Universitarios (Madrid es distrito único), los coordinadores se ponen en contacto
con los Centros y se pasa a una labor de coordinación. Cuando se han
elaborado las pruebas de Selectividad (téngase en cuenta que en el distrito
de Madrid se examinan del orden de 40.000 alumnos) afgunos centros
reciben las "Orientaciones Didácticas", orientaciones que en ningún momento han recibido los coordinadores de forma oficial sino por medío de
fotocopias de algún amigo. AI profesor Colera le parece muy alarmante que
se le pregunte a un alumno "qué le ocurre a la media aritmética y la
varianza cuando los datos se dividen por una constante k". Es quizás más
alarmante, en este contexto, la utilización como receta mágica para el
estudio o comprobación de la Normalidad de unos datos: el contraste de
Kolmogorov-Smirnov, (eso sí, sin decirlo), ya que el alumno no sabe nada
de contrastes, ni mucho menos de Estadística no paramétrica; y lo peligroso no es solo eso, sino que alguno de los textos de BUP también utilizan
este contraste.
También, dentro de las recomendaciones metodológicas, apunta el profesor Colera: plantear la noción de independencia de sucesos. Creo que es
muy fácil explicarla a los alurnnos de BUP, pero para ello habría que
introducirse en el concepto de "información" como antagónico de "incertidumbre" e interpretar la probabilidad como una medida de nuestra incertidumbre; siendo así, los sucesos independientes serían aquellos en que la
ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no proporciona "información"
sobre la ocurrencia o no ocurrencia del otro, esto se expresa mediante la
igualdad de la probabilidad condicionada con la probabilidad del suceso.
En resumen, quisiera que mis comentarios se vieran como un intento de
abrir la Universidad a esta esperanzadora mejora de la Enseñanza de la
Estadística en B U P y COU. Que la colaboración entre los diseñadores de la
"Reforma" y la Universidad, ya sea a través de los ^epartamentos de
Estadística ya sea a través de la Coordinación, sea efectiva y no solo un
cúmulo de críticas entre estos dos colectivos.
256
ESTADISTICA ESPAÑOLA
COMENTARIO
. J. L. SAIVCHEZ-CRESPO
Estadístico Facultativo y Catedrático de Universidad
1.
INTRODUCCION
Coincido con el profesor Coiera en que la enseñanza de la Estadística en
el Bachillerato está muy relegada y en quz se enseña poco y mal.
En mi opinión, un objetivo que debería de incluirse en ei proyecto de
reforma, que en estos momentos se encuentra en periodo de discusión,
podría consistir en proporcionar a ese gran segmento de población que
termina sus estudios con la enseñanza media, unos conocimientos que le
permitiesen seguir con cierto sentido crítico las "cifras estadísticas'" (la
famosa guerra de cifras) que con tanta frecuencia presentan Ios medios de
comunicación. Así, por ejemplo, en el campo económico la Radio, la Televisión y la Prensa nos mencionan las CN (Cuentas Nacionales), el PIB (Producto lnterior óruto), el IPC (Indice de Precios ^al Consumoy etç. y en el
campo social se habla de subidas o bajadas en el desempieo sin indicar si
se trata de la EPA (Encuesta de Población Activa) realizada por el INE
Clnstituto Nacional de Estadística) can un diseño medible, o del paro registrado en las Oficinas de C©locación del Ministerio de Trabajo. Por supuesto
estos datos proceden de distintas fuentes y metodología y no son estrictamente comparables.
En esta reflexión me centraré exclusivamente en ia metodología de las
encuestas p^r muestreo que, en mi opinión, podría y debería introducirse
en la enseñanza media.
2.
CoNOCIMIENTOS DE IUIUESTREO @UE DEBERIAN FIGURAR EN
E L BAC H I LL.E RATO
Existen ciertas encuestas en 1as que sus promotores han de basar decisiones importantes y demandarán que los errores debidos al muestreo sean
rnedibles, así como información sobre la calidad de los datos. Como ejemplo podríamos citar: la EPA que tiene por finalidad e1 estudio de uno de los
factores primordiales de la estructura econórnica y social de un país; el
factor trabajo. La Encuesta de Presupuestos Familiares en la que se recoge
información sobre los gastos de consumo de las familias, y cuyo objetivo
SITUAC'ION UF LA ENSEtifAN7_A DE LA ESTADIST[( A E_ti BAt^HILLER.ATO
?57
, principal es 1a determinación de la denominada "cesta de la compra'" así
como de las ponderaciones subsiguientes que han de utitizarse en el cálcuto del Indice de Precios al Consumo (I PC).
Existe otro tipo de encuestas en las que no se piensa basar decisiones
importantes y el coste de un diseño medible sería prohibitivo. Entre estos
procedimientos el más popular es el muestreo por cuotas que en su fase
final asigna a cada entrevistador un número de entrevistas a personas en
un deterrninado grupo de edad, sexo, nive{ económico, etc. Sujeto a estas
restricciones el entrevistador. queda libre para la elección de las personas a
entrevistar. En esta libertad está el punto débil del método al no poder
calcularse los errores de muestreo, aunque el resto del proceso se haya
realizado siguiendo las normas del muestreo probabilístico. E! rnuestreo por
cuotas puede proporcionar resultados muy útiles pero la dificultad está en
conocer a priori hasta que punto van a serlo.
En otras encuestas se insinúa la aleatoriedad de la muestra, siendo el
caso más grave aquel en que se presenta una "ficha técnica" en la que no
se especifica, con suficiente detalle, como se obtuvo la muestra pero no
obstante se incluyen unos denominados '"márgenes de error" que sin el
conocimiento exacto del proceso de selección carecen de significado.
También es relativamente frecuente, la utilización de un rnuestreo de
conglomerados y presentar unos errores de muestreo como si la muestra
hubiese sido obtenida por muestreo aleatorio simple. En este caso los
errores de muestreo presentados podrían ser muy inferiores a los que se
hubiesen obtenido con las fórrnulas correctas. Sobre este tema hubo una
polémica en los EE.UU., hace ya casi medio siglo, Ilegándose al acuerdo
tácito de presentar los errores de muestreo solamente en los diseños
medibles.
Quiero recatcar que los conocimientos de muestreo que creemos deben
figurar en el Bachillerato, no tienen por objeto formar expertos en la materia. Su ún^ico propósito es que esa gran masa de Bachilleres puedan utilizar
con cierto sentido crítico la información que les proporcionan los medios de
comunicación.
Los conceptos necesarios serían:
Población, marco, muestreo y muestra.
Unidades de muestreo y unidades de análisis.
Métodos de selección de la muestra.
Errores de muestreo y errores ajenos al mismo. Sesgos.
Tipos de muestreo.
258
^:sr.a^^isT^^c^A ^_sPatic^t_^^
Los c^onceptos mencionados pueden verse en el libro ^*} de Azorin y
Sánchez-Crespo, páginas 1-28.
Creemos que en alguna c[ase práctica, o seminario se podrían considerar
las Encuestas de! I N E que se han mencionado en el texto. Ver páginas
293-302 de la Referencia.
3.
COMENTARiOS A LA SITUACfOIV ACTUAL Y REFORMA
FUTURA
En mi opinión solo debería figurar en el Bachillerato la denominada
Estadística Descriptiva, como introduccián a la que se cursa en e! primer
aña de las Facultades de Ciencias Económicas y Empresariales. Abarca las
representaciones gráficas, las distribuciones de frecuencia, medidas de posición y de dispersión rectas y plano de regresión, y nú meros índices más
importantes, corno el I PC.
^
De la Estadística Matemática que, por ejemplo, hoy figura en el cuarto
curso de las Facultades mencionadas en el párrafo anterior, después de
pasar los cursos de Matemáticas en primero y segundo, creo que no
debería figurar nada en el Bachillerato, No obstante podría introduc^rse la
noción de probabilidad en forma intuitiva y muy simple a partir de las
propiedades de las frecuencias relativas, y lo mismo se debería hacer con el
concepto de esperanza matemática o valor medio teárico. Pero desde
luego dejando para la Universidad la axiomática, el teorema de Bayes, y las
distribuciones de probabilidad. No obstante se podría dar una idea de la
distribución norma[ al considerar los histogramas en las distribuciones de
frecuencia.
Lo positivo que encuentro en estos comentarios cansiste en:
Evitar a los alumnos unas materias que no necesitan, que aún no tienen
base apropiada para comprender y que en general, se [es van a enseñar
rnal.
En cuanto a la reforma futura creo puede resultar muy superior a 1a
actual. Doy especial importancia a la construcción y crítica de gráficos
utilizados por los medios de comunicación y en general al tratamiento del
azar recogido en la página 1 7 del artículo del profesor Colera.
( ')
Métodos y Aplicaciones del Muestreo. Alianza Editorial. Madrid. ^ 1 986).
SITUACION DE LA ENSEÑANIA DE^ LA ESTADISTIC'A E^N RAC`F^IILLE^RATC)
?59
COMENTARIO
M.a INES SOBRON
Profesora de Instituto
1.
RELEVANCIA DE LA ^STADISTICA Ehl EL BACHtLLERATO
Parece no haber duda sobre la conveniencia del estudio de la Estadística,
dado el creciente uso de sus técnicas en los más diversos campos de la
actividad humana. Algunos términos estadísticos forman ya parte del vocabulario usual, no exclusivo de expertos, y parece adecuado que sean conocidos por un bachiller.
^eneralmente, los alumnos aprenden distíntas representaciones, determinadas fórmulas y nuevos vocablos. Los mejores, interpretan correctamente
una gráfica, entienden, al menos en parte, el significado de {as fórmulas, y
no es erróneo el sentido que atribuyen a las palabras, aunque posíblemente
incompleto.
Por encima de todo lo anterior, los métodos estadísti^os poseen cualidades que les hacen ser extraordinariamente fructíferos en el ámbito de la
Enseñanza Media, como son:
No necesitan desvincular a los alumnos de sus preocupaciones.
AI aplicarse en situaciones de índole rnuy diversa y pertenecientes a
distintos campos, es posible basar el aprendizaje en cuestiones suscitadas
y elegidas por los propios estudiantes; como, por ejemplo, sus aficiones u
opiniones.
EI hecho de que el estudio verse sobre algo que realmente interesa, hace
.
que todo el contexto psicológico de la clase cambie. EI estudio deja de ser
atgo ajeno a los alumnos. No hay pues ninguna necesidad de otros tipos de
"motivación" artificiales.
Hacen posíble la participación de los estudiantes en el proceso de modelización
Varias razones contribuyen a ello. En primer lugar, el abordar problemas
de su entorno real, hace que se sientan impulsados a desarrollar su intuición y sus propios argumentos, para extraer las características esenciales
de la situación y reflejarlas en un modelo.
Además, prácticamente todos los alumnos del grupo pueden participar
?60
ESTAC)ISTIC'A E:SPAÑOLA
en el proceso de aprendizaje, pues los conocimientos previos necesarios no
resultan exciuyentes. AI fin y al cabo, sólo podemos aprender en relación
con aquello que ya sabe^mos.
Por último, al presentarse e! problema en su contexto, no artificialmente
simplificado, se Ilega a!os conceptos después de un proceso de búsqueda
y razonamiento, en estrecha conexión con la situación real estudiada; sin
que sea necesario dictar definiciones, axiomas o teoremas, como algo ajeno
que debe ser recordado.
A bordan problernas abiertos.
Es decir, situaciones en las que hay grados de información y grados de
"verdad". Problemas de mayor similitud a los que el ser humano debe
enfrentarse en la actividad cotidiana; en contraposición a aquellos, más
frecuentes en el ámbito escolar tradicional, donde lo cognoscible es fijo y
toda respuesta sólo puede ser verdadera o falsa.
AI no pretender Ilegar a"la respuesta correcta", tiene sentido seguir
meditando sobre el terna. EI aprendizaje se observa como un proceso, no
como un acontecimiento definitivo. Siempre se está en trance de ampliar el
significado atribuido a un término, adquirir nuevas técnicas, asimilar nueva
información, formular generalizaciones, etc.
Facilitan /a famí/iarizacíón eon e/ mét©da cientifico.
De forma implícita, la aplicación de las técnicas estadísticas Ileva consigo
la puesta en práctica de ciertas fases del método científico. Además, con
problemas adecuados, es posible desarrollar completamente dicho método.
EI ejercítarse en su uso, es tanto o más importante que hallar ias soluciones de los problemas planteados. Se aprende una estrategia generadora de
conocimiento.
2.
^
^.
ZQUE ENSENAR? Y tCOMO ENSENAR?
Desde el punto de vista del estudiante, la consideración separada de
contenido y método, posiblemente resulte más artificial que real. EI proceso
a cuyo través se realiza el aprendizaje, es parte importante del contenido
de cualquier experiencia de enseñanza. Como resume Marshall McLuhan
en su famoso aforismo: "EI medio es el mensaje".
EI siguiente guión no se propone como un programa, sino como un
esquema general de referencia para las actividades escolares encaminadas
a la enseñanza de la Estadística. De cada problema concreto, es decir, las
circunstancias y pretensiones en cada situación objeto de estudio, dependerá 1a consideración de unas u otras facetas y, por supuesto, de los
conocimientos, capacidad y actitud de ios alumnos de cada grupo.
51TUACION DE LA ENSEÑANZA DE LA ESTADISTI^'A EN BACHILLERATO
Z6I
Se pretende que el orden seguido en el guión, concuerde con la sucesión
lógica de los hechos que acontecen en la mayor parte de las investigaciones.
Esquema general
Población. Espacio de probabilidad asociado a la pobiación.
-- EI problema de selección de una muestra. Técnicas de diseño de
muestras. Espacio muestral teórico 4relativo al experimento de elección de
una muestra). Determinación del tipo de muestreo más adecuado, basada,
por lo general, en el Cálculo de Probabilidades.
Obtención efectiva de la muestra mediante un proceso aleatorio, es decir,
selección de un elemento del espacio muestral teórico. Espacio muestral
práctico.
Clasificación de los datos a obtener mediante experimentación. Escalas de medida.
Caracteres. Variables aleatorias como instru mentos de medida. Distribuciones de probabilidad según los distintos espacios.
Estimación por analogía.
Características de las variables aleatorias: media, desviación típica, moda,
mediana, cuartiles, coeficiente de variación, covarianza, etc. Estandarización
o tipificación de variables aleatorias.
Presentación adecuada de resultados. Gráficas.
Modelos de distribuciones discretas. Las distribuciones binomial e
hipergeométrica.
Modelos de distribuciones continuas. La distribución normal.
Aproximación de la binomial por la normal. EI teorerna centraf del límite.
Introducción a la estimación de parámetros en modelos de prcbabilidad.
Cálculo de la probabilidad de una estimación aceptable para un error
fijado.
Estudio de1 tamaño adecuado de la muestra.
Test de hipótesis basados en distribuciones afines a la normal. Test
de ajuste de una distribución empírica a una ley teórica.
Introducción a los modelos predictivos. La recta de regresión Coeficiente de correlación.
262
ESTADISTIC`A ESPAÑ(^LA
^Comencarios sub^-e el esquema
EI enfoque de ias actividades debiera dirigírse, no al desarrollo de un
programa, sino a la investigacián de distintas situaciones reales en conexión, si es posibie, con_ fenómenos o intereses próximos a!os alumnos. A!
enfrentarse con problemas de un contexto bien conocido, es cuando ei
estudiante mejor puede desarrollar su inteligencia, apoyar sus razonamientos, vislumbrar relaciones, formular conjeturas y validar decisiones. Los
conceptos surgen con mayor oportunidad y más profundo sentido.
Puede ser conveniente, comenzar considerando como población ei conjunto de alumnos del grupo, ampliable a otros colectivos de estudiantes, y
tener en cuenta más de una característiica como objeto de estudio, para
permitir distintos enfoques y la generación de mayor número de conceptos.
La importancia decisiva que la selección de la muestra tiene en los
resultados proporcionados por ios métodos estadísticos es, en general,
mejor comprendida, si se aborda el problema real de su obtención. Debieran considerarse distintos tipos de muestreo: con o sin repetición, estratificado, sistemático, etc., y analizarse ventajas e inconvenientes de uno u
otro.
En relación con ei muestreo estratificado, aparece el problema de fijación
de los estratos, que puede servir de inicio al estudio de problemas más
generales de clasificación.
E1 examen de los distintos tipos de muestreo, Ileva a la determinación de
los espacios muestrales teóricos respectivos y la investigación de sus propiedades (clasificación de las muestras según distintos criterios), motivando
el Cálculo de Probabilidades.
Las experiencias en el aula se pueden referir a fenómenos de diversa
índole: aficiones, hábit©s, opiniones, lanzamientos de monedas y dados,
juegos, distribución de bolas en urnas, tiempo de espera to número de
ensayos) hasta que acontece un suceso, etc. En ocasiones los datos se
obtendrán mediante la utilización de instrumentos de medida con escala
continua ^altura, peso, tiempo dedicado a determinada ocupación, etc.).
Considerando caracteres con dos modalidades, el estudio de la bondad
de una muestra, para estimar la proporción de individuos que presentan
una determinada modalidad, conduce a la utilización de las distribuciones
binomial e hipergeométrica dependiendo del tipo de muestreo.
Con el aprendizaje de métodos de estimación estadística y la utilización
adecuada de test de hipótesis, no sólo se adquieren las técnicas correspondientes, sino que se incita a los alumnos a no aceptar la validez de cualquier información antes de contrastarla y a decidir en condiciones de
SITUAC'lON DE LA ENSEÑAN"hA DE LA ESTADISTIC'A EN HA('HILLERATO
263
incertidumbre. Se considera conveniente e1 planteamiento de ejercicios que
^
requieran la utilización de tablas estadísticas.
En poblaciones apropiadas, como alumnos de un grupo o lanzamientos
de una moneda, se deberán tomar muestras de distinto tamaño, con el fin
de estudiar la repercusión de dicho tamaño sobre dístintas estimaciones.
De esta influencia, se desprenderá la necesidad de calcular el tamaño de la
muestra en función de la precisión que se desee alcanzar en las estimacianes.
La existencia actualmente de publicaciones de diversa índole que suministran datos, facilita la obtención de información para su tratamíento
estadístico con distintos modelos y significados.
Es innegable que el tiempo disponible condiciona la enseñanza. Obligados a elegir, puede ser preferible abordar un problema amplio, capaz de
generar distintos conceptos y ser analizado con distintos grados de información, a optar por la consideración de mayor número de planteamientos
en condiciones excesivamente simplificadas. Un solo problema puede hacer
comprender que la información nunca es completa y por tanto las conclusiones son siempre relativas, que es trascendental saber distinguir entre
"buena" o"mala" información y que el fin de toda investigación es el
enriquecimiento de la información que se posee.
3.
_
LA ENSENANZA ACTUAL DE LA ESTADISTICA
Coincido con el profesor Colera en su opinión sobre la relegación de la
Estadística en los estudios de bachillerato, no así en su consideración de
los programas oficiales como ""suficientemente amplios" y, mucho menos,
en su esperanza de que los nuevos programas de la reforma sirvan de
remedio.
A todos los defectos que sobre la enseñanza de la Estadística se señalan
en el artículo de referencia, añadiría el que considero más esencial: ta
presentación desvirtuada de dicha ciencia. Estadística y Cálculo de Probabilidades se tratan separadamente, en forma fragmentada, y con escasa
relación; el resultado es una Estadística donde poco se estima y nada se
dice de las condiciones de validez de lo que se hace.
No deja de resultar sorprendente que, después de apuntar como tendencia: "Se reivindica el interés educativo del estudio del azar: estadística y
probabilidad", se exponga, en los apartados siguientes, la lectura crítica de
los informes proporcionados por las distintas publicaciones como principal
innovación.
zba
ESTADIS-T!T'A ESPAÑOLA
A pesar de todo, cabe la esperanza. En el campo de las matemáticas, el
terreno que mejor se ajusta a las tendencias de la didáctica más avanzada,
es, sin duda, el de la Estadística y la Investigacián Operativa; especialmente, en lo referente a esta última, los modelos formulados por grafos.