profesor particular, profesor de estadística, clases particulares, clases particulares de estadística Combinatoria Profesor de Estadística, Sevilla (España) http://profesorestadistica.net La combinatoria cuenta los posibles elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez. Se resaltan a continuación seis casos típicos: Permutaciones de n elementos: dados n elementos distintos, el número de secuencia ordenadas de éstos es Pn = n·(n − 1) · · · 2 · 1 = n! Permutaciones con repetición de n elementos, con ni repeticiones del iésimo elemento, i = 1, ..., k: dados n elementos, de los cuales hay sólo k diferentes (n1 iguales, n2 iguales,...,nk iguales, con n1 + n2 + ... + nk = n), el número de secuencias ordenadas de estos elementos es P Rnn1 ,...,nk = n! n1 !· · · · ·nk ! Variaciones de n elementos tomados de m en m (con m ≤ n): dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de m de ellos es Vn,m = n! (n − m)! Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m: dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de m de ellos, pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección, es V Rn,m = nm Combinaciones de n elementos tomados de m en m (con m ≤ n): dados n elementos distintos, el número de maneras de seleccionar m de ellos (sin tener presente el orden) viene dado por 1 Cn,m = n! = m! · (n − m)! � � n m Combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m: dados n elementos distintos, el número de selecciones de m de ellos, sin tener presente el orden y pudiendo haber elementos repetidos en una selección, es CRn,m = � n+m−1 m � Algunas propiedades de los números combinatorios son los siguientes: 1. Números combinatorios extremos: � � m =1 0 � � m =1 m 2. Números combinatorios complementarios: � � � � m m = n m−n 3. Suma de números combinatorios consecutivos: � � � � � � m m m+1 + = n n+1 n+1 4. Suma de una fila completa de números combinatorios: � � � � � � � � � � n n n n n + + + ··· + + = 2n 0 1 2 n−1 n 2