Representación de un segmento de recta. m

Representación de un segmento de recta.
Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma
pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las
líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto,
por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b)
que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente
ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una
sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta
de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que
une dos puntos). También se describe como la sucesión
continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea,
no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al
punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos
ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción
de las características de otros elementos similares. Así, es
posible elaborar definiciones basándose en los Postulados
característicos que determinan relaciones entre los entes
fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra
minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una
ecuación del tipo y = m x + b, donde x e y son variables en
un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente
de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la
recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras
que b es el denominado "término independiente" u
"ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la
recta corta al eje vertical en el plano.
Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la
recta
Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1]
establece varias definiciones relacionadas con la línea y la
línea recta:

Una línea es una longitud sin anchura (Libro I,
definición 2).


Los extremos de una línea son puntos (Libro I,
definición 3).
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto
de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).
También estableció dos teorias relacionadas con la línea
recta:


Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta
(Libro I, postulado 1).
Si una recta secante corta a dos rectas formando a un
lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor
que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente
alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto
postulado).
Características de la recta
Algunas de las características de la recta son las siguientes:



La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
La distancia más corta entre dos puntos está en una
línea recta, en la geometría euclidiana.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de
la intersección de dos planos.
Geometría analítica de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de
cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano,
podemos representar una recta mediante una ecuación, y
determinar los valores que cumplan determinadas
condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.
Ecuación de la recta
En una recta, la pendiente
es siempre constante. Se calcula
mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la
fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele
utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de
uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos,
por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos
dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m
es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y
tiene la pendiente dada m es:
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, −
4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta
al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de
la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se
utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al
origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta
ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a
partir de una ecuación dada.
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación
simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la
abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como
problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b
(la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de
la recta los cuales son los siguientes:
y
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero
primero se debe calcular la pendiente:
Después se sustituye en la ecuación y − y1 = m(x − x1),
usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el
término independiente ab:
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta
ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una
recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y
cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean
conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.
Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación
de Hesse)
Ludwig Otto Hesse ((1811-1874) Matemático alemán. Prof.
en la Univ. de Heidelberg y en el Politécnico de Munich.)
Esta es la forma normal de la recta:
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de
coordenadas. y el ángulo omega ω es el formado entre la
recta y el eje de las ordenadas.
Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la
forma normal, la cual se puede obtener de la forma general
de la recta.
Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B .
Como sigue:
Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la
misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre
k y para calcular p dividimos a C entre k.
Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp,
entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de
k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la
misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el
valor positivo de k.[2]
Ecuación Normal de la recta (Segunda forma)
Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según
corresponda.
La recta en coordenadas cartesianas
La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la
recta r responde a la fórmula general:
La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de
modo que:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:



m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de
la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje
x.
m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas
entre la diferencia de abscisas de un par de puntos
cualesquiera de la recta.
n representa el punto de intersección de la recta con el
eje Y (eje de ordenadas).
Rectas notables

La ecuación de una recta vertical, tal como la v,
responde a la ecuación general x = xv (constante).

La ecuación de una recta horizontal, tal como la h,
responde a la ecuación general y = yh (constante).

Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el
origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su
ecuación:
.

Dos rectas cualesquiera:
serán paralelas si y solo si
coincidentes cuando:
serán perpendiculares si y sólo si
. Además, serán
, es decir:
Rectas que pasan por un punto
Determinar las rectas del plano que pasan por el punto
(x0,y0).
La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:
Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que
cumplirse:
Despejando b, tenemos esta ecuación:
Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:
Ordenando términos:
Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa
por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una
de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un
valor real cualesquiera.
Y ha de pasar por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) luego tendrá que
cumplirse
que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
las incógnitas son m y b, para resolver este sistema,
cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las
dos ecuaciones:
agrupando términos:
despejando m:
este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por
los dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2).
Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del
sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:
y sustituyendo m, por su valor ya calculado;
Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de
las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que
pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya
calculados es:
Rectas perpendiculares
Dada una recta:
Se trata de determinar que rectas:
son perpendiculares a la primera.
Sabiendo que:
Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal,
cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo
(α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que:
y si la pendiente de la primera recta es:
la de la segunda debe de ser:
Esto es, dada una recta cualquiera:
cualquier recta de la forma:
Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del
parámetro b.
Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las
rectas, no intervienen para determinar las rectas
perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un
problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta
no influyen, si la primera recta la sustituimos por una
paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el
resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la
pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.